Instituto de FísicaUFRJ

Gabarito da AP1 de Física IA15 de setembro de 2013

1a Q

2a Q

3a Q

4a Q

Nota

Obs: Em todas as questões em que for necessário, utilize queg é o módulo da aceleração da gravi-dade.Todas as respostas devem ser justificadas.

1. [1,5 pontos] Considere o movimento de uma partícula em uma única dimensão.Responda asperguntas abaixo,justificando claramente, citando pelo menos um exemplo para cada um dositens.

(a) [0,5 ponto] Como o deslocamento de uma partícula entre os instantes de tempo t1 e t2 podeser obtido a partir do gráfico da função-velocidadeversus tempo dessa partícula?

O deslocamento será a área algébrica sob a curva velocidadeversus tempo. Por exemplo, emum movimento uniforme com velocidadev, o gráfico da velocidade será uma reta horizontal.Sendo assim, o deslocamento em um intervalo de tempo∆t será a área embaixo da linhahorizontal∆x = v∆t

(b) [0,5 ponto] Sejati um instante em que a força sobre uma partícula é nula. O que podemosafirmar sobre o coeficiente angular da reta tangente ao gráficoda função-velocidadeversustempo no instanteti?

Se a força sobre uma partícula é nula, pela segunda Lei de Newton sabemos que a aceleraçãotambém será. Uma vez que a aceleração é a derivada da velocidade, temos que a derivada dacurva velocidadeversus tempo será zero. Ou seja, o coeficiente angular da reta tangente aográfico no instantet1 é zero. Por exemplo, em um movimento de uma massa acoplada a umamola, no instante em que a força é nula temos que o gráfico da velocidade atinge um máximoe tem derivada zero.

(c) [0,5 ponto] Uma partícula que se movimenta com aceleração constante nãonula pode invertero sentido de seu movimento?

Sim, desde que a velocidade inicial tenha sentido contrárioao da aceleração. Por exemplo,em um lançamento de uma pedra para o alto, no ponto máximo da trajetória há a inversão dosentido do movimento.

1

2. [3,0 pontos] Considere uma partícula de massam presa na extremidade inferior de uma mola ideal,vertical, de constante elásticak, cuja outra extremidade está fixa no teto. A partícula está restritaa se mover no eixo verticalOY, que aponta para cima e cuja origem foi escolhida na posiçãoda partícula na qual a mola está com seu comprimento naturalℓ0. A partícula oscila entre duasposições no eixoOY, de coordenadasy1 ey2 (y1 > y2).

(a) [1,0 ponto] Faça um diagrama indicando as forças que atuam na massam em três situações:quando a mola está no seu comprimento naturalℓ0, quando ela está na posiçãoy1 e quandoestá na posiçãoy2.Os diagramas estão apresentados na figura abaixo. Quando a partícula está na posição deequilíbrio da mola, esta não exerce nenhuma força. Portanto, a única força sobre a partículaé a força peso~P . A força peso atua sempre nos mesmos direção e sentido e com mesmomódulo. Quando a partícula está na posiçãoy1, a mola está comprimida e, assim sendo, aforça elástica~Fel aponta no mesmo sentido de~P . Já quando a partícula está na posiçãoy2, amola está distendida e, por isso, a força elástica exercida pela mola é contrária à força peso.Como esse é um ponto de retorno, a força elástica terá módulo maior que a força peso nesseponto.

k ℓ0

mO

Y

~P

kℓ0

y1

m

Y

~P~Fel

kℓ0

y2 m

Y

~P

~Fel

(b) [0,8 ponto] Dertermine a posiçãoy0 da massam em que a força sobre a mesma é nula.Temos 2 forças atuando na partícula: a gravitacional e a elástica. Quando a força for nulateremos

~Fres = ~P + ~Fel = 0 ⇒ m~g − k~y = 0 ⇒ ky0 = −mg ⇒ y0 = −mg

k

O sinal de menos indica que essa posição fica abaixo da posiçãoescolhida como a origem.

(c) [0,5 ponto] Determine a aceleração da massam quando a mesma se encontra na origemy = 0.Quando a massam está na origem, a única força que atua na mesma é a força peso. Portanto

ma = mg ⇒ a = g

(d) [0,7 ponto] Determine as velocidades da massam nas posiçõesy1 ey2.As posiçõesy1 ey2 são os extremos do movimento de acordo com o enunciado. Sendoassim,são as posições onde há a inversão do movimento. Ou seja, a velocidade nesses pontos é nula.

2

3. [3,0 pontos] Uma pedra é atirada do alto de um prédio de alturah = 30m em relação ao solo parao alto de outro prédio de alturaH = 40m por meio de uma atiradeira. A distância entre os prédiosé ded = 30m e observa-se que a pedra atinge o alto do outro prédio após umtempotq = 2s.Considere que a aceleração da gravidade tem módulog = 10m/s2.

X

Y

~r

~v

O

h

H

d

(a) [0,5 ponto] Faça um esboço da trajetória da pedra.

Por se tratar de um projétil a trajetória é parabólica.

(b) [1,0 ponto] Determine o módulo e o ângulo que o vetor velocidade com que a pedra foilançada faz com a direção horizontal.

A única aceleração é devido à força peso. Por ser constante e estar na direção vertical, acoordenaday varia em função do tempo como

y(t) = h + v0senθt − gt2

2

Por outro lado, a coordenadax descreve um movimento uniforme

x(t) = v0 cos θt

No instante em que a pedra atinge o alto do outro prédio, temosque, sua posição é dada pory(tq) = H ex(tq) = d. Esse fato ocorre emtq:

H = h + v0senθtq −gt2q2

⇒ v0senθtq = H − h +gt2

2

v0 cos θtq = d

Dividindo uma equação pela outra temos que

v0senθtqv0 cos θtq

=H − h + gt2

2

d⇒ tan θ =

40 − 30 + 40

2

30⇒ tan θ = 1 → θ = 45o

Substituindo na equação para a coordenaday:

x(tq) = v0 cos 45otq ⇒ v0 =d

cos 45otq⇒ v0 ≈ 21m/s

3

(c) [1,5 pontos] Escreva os vetores posição e velocidade da pedra no instanteem que ela seencontra no ponto mais alto da trajetória. Utilize o sistemade eixos apresentado na figura.Desenhe, na própria figura, tais vetores.

As componentes da velocidade são

vx(t) = v0 cos θ; vy(t) = v0senθ − gt

No ponto mais alto da trajetória, temos quevy(tm) = 0, isso ocorre em

vy(tm) = v0senθ − gtm = 0 ⇒ tm =v0

√2

2g

O vetor velocidade terá apenas a componentex:

~v = vx(tm)ux ⇒ ~v = v0

√2

2ux ≈ 15ux

Com a componente em m/s. O vetor está desenhado na própria figura. O vetor posição éobtido com as componentesx ey encontradas no item anterior, no instantetm:

~r = x(tm)ux + y(tm)uy =

(

v0 cos θv0

√2

2g

)

ux +

(

h + v0senθv0

√2

2g− gv2

0

4g2

)

uy

~r =

(

v2

0

2g

)

ux +

(

h +v2

0

4g

)

uy

O vetor está representado na própria figura.

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4. [2,5 pontos] Considere um fio ideal de comprimentoℓ, cujo extremo superior está preso ao teto, eo inferior preso a uma partícula de massam. Suponha que essa partícula descreva um movimentocircular uniforme. Esse sistema é conhecido como pêndulo cônico. Sabe-se que o ângulo entre ofio e a vertical éθ, como indica a figura abaixo.

m

~P

ℓ~T

θ

(a) [0,8 ponto] Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre a massam.

Atuam na massa as forças peso e tensão no fio. Os vetores estão desenhados na própriafigura.

(b) [0,7 ponto] Qual o módulo da tensão a que o fio está submetido?

Aplicando a segunda Lei de Newton temos

~P + ~T = m~a

Uma vez que não há movimento na direçãoOY, escrevendo apenas tal componente da Se-gunda Lei

T cos θ − mg = 0 ⇒ T =mg

cos θ

(c) [1,0 ponto]Qual o módulo da velocidade com que a massam descreve o movimento circularuniforme?

Usando o fato de que a massa descreve um movimento circular uniforme, sabemos que acomponente da força resultante, no plano do movimento é a aceleração centrípeta, que estárelacionada com o módulo da velocidade. Escrevendo tal componente para a Segunda Lei deNewton

T senθ = macp ⇒ mv2

R=

mg

cos θsenθ ⇒ v =

√

mgR tan θ

Usando que o raio do movimento éR = ℓsenθ, temos que

v =√

mgℓ tan θsenθ

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