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95
4. Convecção Natural
4.1 O que causa o escoamento por convecção natural
Figura 4.1 Convecção natural junto a uma parede vertical
Em convecção natural, ou convecção livre, o fluido escoa naturalmente (por si
só), quando ele é movido pelo efeito do empuxo. Este efeito é distribuído através do
fluido, e associado com a tendência de fluidos para expandir ( ou, em casos especiais de
contrair), quando aquecido a pressão constante. A camada que sente a parede vertical
quente na Figura 4.1 se torna mais leve do que o resto do fluido. Esta leveza força-a a
escoar para cima, para varrer a parede e coletar calor da parede numa maneira que
lembra a camada limite externa vista anteriormente, entretanto, o escoamento é um jato
vertical paralelo à parede, enquanto o restante do fluido longe da parede está estagnado.
É instrutivo mostrar que princípio da termodinâmica é responsável pelo movimento do
fluido em convecção natural. Considere um pequeno pacote de fluido de massa mΔ
(sistema fechado) em movimento horário. Próximo a parede aquecida, o pacote fluido é
aquecido por difusão térmica da parede. mΔ expande ao atingir altitudes onde a pressão
estática imposta pelo reservatório é mais baixa. A conservação da massa requer que o
escoamento para cima do jato de parede seja complementado por um escoamento para
baixo suficiente do reservatório fluido frio. Assim, o pacote de fluido mΔ ,
eventualmente, retorna para a parede aquecida, pelo escoamento para baixo (muito
vagarosamente) através do reservatório. Por último, o pacote fluido é resfriado e
comprimido enquanto desce para níveis de maior pressão. Pode-se que o processo forma
um ciclo: aquecimento-expansão-resfriamento-compressão (ciclo de produção de
96
potência). O trabalho finito realizado por mΔ é usado para acelerar e aumentar a
energia cinética de mΔ para o ponto onde qualquer trabalho adicional é dissipado
completamente pelo efeito de atrito entre mΔ e outros pacotes de fluido com os quais
ele entra em contato. Olhando para o campo inteiro de escoamento como a soma de
pacotes de fluido do tipo mΔ , vê-se a roda de um motor térmico movido pela diferença
de temperatura ∞−TTw .
4.2. Camada Limite ao longo de uma parede vertical
4.2.1 Equações simplificadas da camada limite
Considere o escoamento ilustrado na Figura 4.2. Na Fig. 4.2 estão ilustrados
também os perfis de temperatura e de velocidade no caso de fluidos com altos números
de Prandtl. O coeficiente de transferência de calor pode ser definido como
( )∞
=
∞ −∂∂
−=−
=TTxTk
TTq
hw
x
w
ywy
0"
, / (4.1)
Figura 4.2 Escoamento laminar sobre uma superfície plana vertical.
As equações governantes do escoamento considerado, sem hipótese de camada
limite, podem ser escritas como a seguir:
97
1) Equação de Continuidade
0=∂∂
+∂∂
yv
xu (4.2)
2) Equações e Quantidade de Movimento em x e y
x: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
2
2
2
2
yu
xu
xp
yuv
xuu μρ ; (4.3)
y: gyv
xv
yp
yvv
xvu ρμρ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
2
2
2
2
(4.4)
2) Conservação de Energia Térmica
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
2
2
2
2
yT
xT
yTv
xTu α (4.5)
As seguintes condições de contorno se aplicam
0)0,(0),(0),0(
==∞=
xuyuyu
0)0,(0),(0),0(
vxvyvyv
==∞=
)()0,(
)(),(),0(
0 xTxuyTyT
TyT w
==∞=
∞ (4.6)
Para obter as equações de camada limite, aquela região em que o efeito viscoso é
predominante e grandes gradientes de temperatura ocorrem, uma análise de ordem de
grandeza dos termos das equações (4.2)-(4.5) pode ser realizada como no caso da
camada limite forçada sobre a placa horizontal. Assumindo que tδ é muito menor do y (
)yt <<δ pode-se desprezar 2
2
y∂∂ em relação a 2
2
x∂∂ . Também se assume que
)()(),( ypypyxp ∞=≅ e gdy
dp∞
∞ −= ρ . As equações de camada limite então se tornam
98
(m) 0=∂∂
+∂∂
yv
xu (4.7)
(M) ( )gxv
yvv
xvu ρρμρ −+
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∞2
2
(4.8)
(E) 2
2
xT
yTv
xTu
∂∂
=∂∂
+∂∂ α (4.9)
Tomando a massa específica como uma função da temperatura e pressão
),( pTρρ = , pode demonstrar que
( ) ( )+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+≅ ∞∞ 0ppp
TTT Tp
ρρρρ (4.10)
na qual 0p é uma pressão de referência. Em processos de convecção, geralmente,
)()( 0 ∞−<<− TTpp . Assim, a Eq. (4.10) pode ser escrita como
( )+−−≅ ∞∞∞ TTβρρρ (4.11)
ou
( )+−=− ∞∞∞ TTβρρρ (4.12)
em pT⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=ρ
ρβ 1 é o coeficiente de expansão volumétrica térmica. Geralmente,
1)( <<− ∞TTβ . A Eq. (4.8) ode, então ser escrita na seguinte forma:
( )[ ] ( )gTTxv
yvv
xvuTT ∞∞∞∞ −+
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−− βρμβρ 2
2
1 ou
( )empuxo
fricçãoinércia
gTTxv
yvv
xvu ∞−+
∂∂
=∂∂
+∂∂ βν 2
2
(4.13)
99
Na equação de momentum têm-se os termos de inércia, de atrito viscoso e de empuxo.
4.2.2 Análise de escala em regime laminar
Em escoamentos em regime laminar, a ordem de grandeza do coeficiente de
transferência de calor e dos termos nas equações são como a seguir:
ty
khδ
≈ (4.14)
(m) yvu
t
≈δ
(4.15)
(M) Tgvyvvvu
tt
Δ≈ βδ
νδ
,, 2 (4.16)
(E) 2,tt
TyTvTu
δα
δΔ
≈ΔΔ (4.17)
Substituindo a Eq. (4.15) nas Eqs. (4.16) e (4.17) resulta
(M) Tgvy
v
t
Δ+≈ βδ
ν 2
2
(4.18)
(E) 2t
TyTv
δα Δ
≈Δ (4.19)
Empuxo balanceado por atrito
Na Eq. (4.18) pode-se ter o empuxo balanceado por atrito ou por inércia. No
caso de empuxo balanceado por atrito Tgv
t
Δ≅ βδ
ν 2 que combinada com as Eqs. (4.15)
e (4.19) leva aos seguintes resultados:
100
4/1yRa
yu α≈ ; 2/1
yRay
v α≈ ; 4/1−≈ yt yRaδ (4.20)
na qual yRa é o número de Rayleigh definido como
ανβ 3)( yTTgRa w
y∞−
= (4.21)
Também pode-se demonstrar que o coeficiente de transferência de calor convectiva é
proporcional a
( ) 4/1yy Ra
ykh ≈ (4.22)
e portanto o número de Nusselt local, definido como kyh
Nu yy = , será proporcional
( ) 4/1yy RaNu ≈ (4.23)
Os resultados acima são válidos quando 2
2
t
vy
vδ
ν< ou para να < ou Pr1< .
Ou seja, para número de Prandtl da ordem de 1 ou maior que 1, 1Pr ≥ . Uma análise
para a camada limite hidrodinâmica levará ao resultado
2/14/1 Pr−≈ yyRaδ ou
1Pr 2/1 >≈tδδ (4.24)
Se 1Pr1 2/14/14/1 >⇒> yy RaRa . Geralmente, escoamentos com convecção natural são
caracterizados por altos Ra.
Empuxo balanceado por inércia
101
No caso de empuxo balanceado por inércia, Tgy
vΔ≅ β
2
e a ordem de grandeza
da espessura de camada limite e das velocidades será:
( ) 4/1PryRay
u α≈ ; ( ) 2/1PryRa
yv α≈ ; ( ) 4/1Pr −≈ yt Rayδ (4.25)
O produto do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definido como número de
Boussinesq
( )2
3
Prα
β yTTgRaBo w
yy∞−
== (4.26)
Neste caso, o número de Nusslet será proporcional
( ) 4/1PryRaNu ≈
Os resultados obtidos quando o empuxo é balanceado por inércia são válidos
para 1Pr ≤ e as camadas limites e os perfis de velocidade e temperatura são ilustrados
na Figura 4.3
Figura 4.3. Camada limite para fluidos com baixos números de Prandtl.
102
A espessura da camada limite hidrodinâmica neste caso será proporcional a
razão do número de Rayleigh pelo número de Prandtl na forma:
4/1
Pr
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈ y
s
Rayδ (4.27)
Pode-se demonstrar, então, que
4/1
Pr
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈
Raysδ ou
1Pr 2/1 <≈tδδ (4.28)
A razão do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definida com o número de
Grashof, ou seja,
( )2
3
Pr νβ yTTgRa
Gr wyy
∞−== (4.29)
Os resultados no limite de baixo Prandtl são válidos se as camadas limites
hidrodinâmica e térmica são estreitas e longas, isto requer que
1Pr
4/1
>⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ yRa; ( ) 1Pr 4/1 >yRa (4.30)
4.2.3 Parede isotérmica (escoamento laminar)
A análise por variável de similaridade também pode ser aplicada neste caso de
convecção natural ou livre. Definindo a variável de similaridade e a velocidade
adimensional como
103
( ) 4/1−=yRayxη (4.31)
( ) ( ) 2/1/Pr,
yRayvG
αη = (4.32)
Definindo a função de corrente por
yu
∂∂
=ψ ;
xv
∂∂
−=ψ (4.33)
a função de corrente adimensional pode ser definida como
( ) 4/1Pr,yRa
Fαψη = (4.34)
Daí pode-se demonstrar queηd
dFG −= . Definindo a temperatura adimensional como
∞
∞
−−
=TTTT
w
Pr),(ηθ (4.35)
Nas variáveis de similaridade, as equações de quantidade de movimento e de
energia são:
θ+′′′−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′−′ FFFF
43
21
Pr1 2 (4.36)
θθ ′′=′F43 (4.37)
com as seguintes condições de contorno
104
)(;;0)0(;;0
)(;0;1)0(;0;0)0(;0;0
∞=∞→→=∞→→′
======′===
TTvFTT
vFuF
w
ηθη
ηθηη
(4.38)
A solução das equações acima permite obter correlações para o coeficiente de
transferência de energia convectiva. O número de Nusselt pode ser calculado na forma
4/1
0
0
y
x
yy
Radd
xTk
Tky
kyh
Nu
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−Δ
==
ηηθ
(4.39)
Uma correlação de Nusselt válida em toda faixa de número de Prandtl é da forma:
4/14/1
2/1 492,0Pr986,0PrPr503,0 yy RaNu ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
= (4.40)
Nos limites de números de Prandtl muito altos ou muito baixos têm-se as correlações:
4/1503,0 yy RaNu = ; ( )1Pr >> (4.41)
( ) 4/1Pr600,0 yy RaNu = ; ( )1Pr << (4.42)
O número de Nusselt global pode ser definido como
ky
TTq
kyh
uNw
ywyy
∞−
′′== , (4.43)
O fluxo de calor num comprimento y de placa pode ser calculado como
105
∫ =′′=′′
y
y ywyw dyqy
q0 ,,
1 (4.44)
Pode-se definir também, yqq ywyw ,, ′′=′ . Se W e a largura da placa, a taxa de calor pode
ser calculada como
yWqWqq ywywyw ⋅′′=′= ,,, (4.45)
O número de Nusselt global definido como TkquN ywy Δ′= /, , será calculado
pela seguinte correlação
4/14/1
2/1 492,0Pr986,0PrPr671,0 yy RauN ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
= (4.46)
No caso de ar ( )72,0Pr = , resulta a correlação:
4/1517,0 yy RauN = (4.47)
Ex.: 4.1. A porta de um forno de cozinha é um retângulo vertical de área 0,5 m de altura
e 0,65 m de largura. A superfície externa da porta do forno está a 40oC, enquanto o ar
do ambiente está a 20oC. Calcule a taxa de transferência de calor da porta par o ar
ambiente.
4.2.4 Transição e Efeito de Turbulência sobre a Transferência de calor
A camada limite permanece laminar se o número de Rayleigh não excede um
determinado valor, ou seja, para baixos valores de y. De acordo com Bejan, a transição
de laminar para turbulento ocorre na posição y onde 910≈yGr . A Figura 4.4 ilustra a
transição de escoamento laminar ara turbulento na parede vertical. Alguns autores
baseiam no em 910≈yRa , independente do número de Prandtl. Mas isso só seria
verdade para 1Pr = . Portanto o critério de transição é adotado como
106
)10Pr10(10 339 ≤≤≈ −yGr (4.48)
Figura 4.4. Seções laminar, transição e turbulenta em convecção natural na parede
vertical
O critério de transição também pode ser baseado no número de Rayleigh,
Pryy GrRa =
)10Pr10(Pr10 339 ≤≤≈ −yRa (4.49)
Desta forma o critério de basear-se em 910≈yRa como critério de transição só é válido
para 1Pr = . Pode-se ver que no caso de metais líquidos ( )23 1010Pr −− −≈ o número de
Rayleigh estaria na faixa 76 1010 − que é bem abaixo de 910≈yRa .
O critério de transição também pode ser baseado no número de Reynolds em
função da espessura da camada limite. Este Reynolds e estimado como
107
Pr/Re 4/12/14/1
yyyt RaRa
yyRav
≈≈≈− α
ννδ
(4.50)
No caso de 1Pr = , obtém-se
)1(PrRe 4/1 =≈ yGr (4.51)
O que leva ao valor de
)1(Pr178)10(Re 4/19 ==≈ (4.52)
na transição.
A correlação para cálculo do coeficiente de transferência de calor na faixa
laminar e transição e turbulenta foi proposta por Churchill e Chu:
[ ]
2
27/816/9
6/1
Pr)/492,0(1
387,0825,0
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++= y
y
RauN (4.53)
Correlação válida para 121 1010 <<−yRa e todos números de Prandtl. Para ar a
correlação (4.53) se reduz a
{ } )72,0(Pr325,0825,0 26/1 =+= yy RauN (4.54)
No faixa laminar, 910<yGr , a correlação que representa os experimentos mais
acuradamente é:
[ ] 9/416/9
4/1
Pr)/492,0(1
67,068,0
++= y
y
RauN (4.55)
A qual no caso do de ar reduz a
)72,0(Pr515,068,0 4/1 =+= yy RauN (4.56)
108
4.2.5 Fluxo de Calor Uniforme na Parede
No caso de fluxo de calor uniforme na parede a temperatura da parede é
desconhecida, então surge um dilema de como definir o número de Rayleigh, uma vez
que ∞−TyTw )( é incógnita também. Para fluidos com altos números de Prandtl foi
demonstrado que ( ) 4/1yy RaNu ≈ , da qual obtém-se
( ) 4/13
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −≈ ∞
ανβ yTTg
kyh wy ou
( )( ) 4/13
)( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −≈
−′′ ∞
∞ ανβ yTTg
ky
TyTq w
w
w (4.57)
da qual se conclui que ∞−TyTw )( é proporcional a 5/1y . Desta forma a Eq. (4.57) pode
ser escrita em função do fluxo de calor na parede como
( )
5/14
)( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′′≈
−′′
∞ kyqg
ky
TyTq w
w
w
ανβ
(4.58)
O lado direito da Eq. (4.58) é definido como um número de Rayleigh modificado, ou
seja,
kyqg
Ra wy αν
β 4* ′′= (4.59)
Para escoamento laminar com alto número de Prandtl, obtém-se a correlação
( ) 5/1*5/1
8,0PrPr616,0 yy RaNu ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
≅ (4.60)
Para fluidos com Prandtl no range ar-água, a transição a turbulência ocorre para 13* 10≈yRa . Neste caso, as seguintes correlações
109
( )( )
13*55/1*
5/1*
1010 laminar, 75,0
6,0<<
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=y
yy
yy RaRauN
RaNu (4.61)
( )( )
16*1322,0*
22,0*
1010 to, turbulen645,0
568,0<<
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=y
yy
yy RaRauN
RaNu (4.62)
Nas correlações (4.61) e (4.62) o Nusselt global é baseado na diferença média de
temperatura, ∞−TyTw )( . Existem várias outras correlações disponíveis na literatura.
Vide Bejan.
4.3 Outras Configurações de Escoamentos Externos
4.3.1 Reservatório Fluido Estratificado Termicamente
Em muitas situações o reservatório que banha a parede aquecida não é
isotérmico. Neste caso define-se um parâmetro de estratificação do fluido como
max
minmax
TTT
bΔ
Δ−Δ= (4.63)
A variação do parâmetro de estratificação é mostrada na Figura 4.5. O caso 0=b
corresponde ao reservatório isotérmico e o caso 1=b corresponde à máxima
estratificação.
110
Figura 4.5 Número de Nusselt global (médio) para escoamento laminar numa parede
isotérmica e fluido estratificado termicamente.
Para escoamento laminar o Nusselt “médio” definido como
ανβ 3
max
max
, ;HTg
RakH
Tq
uN HHw
HΔ
=Δ
′′= (4.64)
é calculado como
4/1Pr),( HH RabfuN = (4.65)
4.3.2 Paredes Inclinadas
Escoamentos por convecção natural sobre paredes inclinadas são ilustrados na
Figura 4.6.
111
Figura 4.6. Transferência de calor por convecção natural em paredes inclinadas.
A seguinte correlação foi proposta para escoamento laminar:
( )[ ] 9/416/9
4/1
Pr/492,01
67,068,0
++= y
y
RauN (4.66)
na qual ( )αν
φβ 3cos yTTgRa w
y∞−
= para parede isotérmica ( )cteTw = e
kyqg
Ra wy αν
φβ 4* cos ′′= para parede com fluxo calor uniforme cteqw =′′ . No caso de
escoamentos turbulentos foi encontrado que as correlações dão melhores resultados com
g no lugar de φcosg . A Tabela 4.1 mostra valores de número de Rayleigh na transição
de escoamento laminar de água para turbulento para fluxo uniforme e parede isotérmica
em função da inclinação da parede.
112
Tabela 4.1. Valores de número de Rayleigh na transição em água ( )5,6Pr ≅ .
cteqw =′′
φ *yRa
0 5x1012 - 1014
30o 3x1010 - 1012
60o 6x107 – 6x109
cteTw =
φ yRa
0 8,7x108
20o 25x108
45o 1,7x107
60o 7,7x105
Dentro deste tópico outras configurações estão também os casos de convecção
natural em paredes horizontais, cilindros horizontais e verticais, esfera e corpos de
outras formas geométricas, cujas correlações podem ser encontradas na literatura. Vide
Bejan (1993).
4.4 Configurações de Escoamentos Internos
4.4.1 Canais Verticais
Agora serão considerados casos em que paredes confinam o fluido em
escoamento por convecção natural. A Figura 4.7 ilustra os casos de escoamentos em
canais largos e estreitos.
113
Figura 4.7 canal vertical com paredes isotérmicas; as extremidades do canal comunicam
com um fluido isotérmico.
No caso do canal largo suficientemente, de modo que, não haja interação das
camadas limites, pode-se usar os resultados do escoamento sobre uma placa. Com os
comprimentos característicos H e L, para 1Pr ≥ , o canal largo pode ser representado
pelos seguintes limites:
4/1−> HRaHL ou 1−> LRa
HL (4.67)
O canal estreito tem interesse especial. Pode-se ver pela Fig. 4.7 que, quando o
canal é estreito, o perfil de velocidade nas paredes interage formando um perfil similar
ao do escoamento num canal de placas paralelas (esc. Hagen-Poiseuille). O perfil de
temperatura tem o comportamento mostrado ao lado do canal estreito, de forma que
pode-se assumir
∞−<− TTyxTT ww ),( (4.68)
O escoamento é puramente vertical e com a hipótese de escoamento
completamente desenvolvido, a equação de quantidade de movimento se reduz a
( )∞−+= TTgdx
vd βν 2
2
0 (4.69)
114
( ) cteTTgdx
vd=−−≅ ∞ν
β2
2
(4.70)
A solução da Eq. (4.70) é similar ao caso de convecção forçada num canal de
placas paralelas e é da forma
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
Δ=
22
2/1
8 LxTLgv
νβ (4.71)
e a vazão mássica por unidade de comprimento pode ser calculada como
νβρρ12
32/
2/
TLgvdxmL
L
Δ==′ ∫− (4.72)
Pela inspeção das Eqs. (4.71) e (4.72), pode-se verificar que a velocidade e
vazão mássica independem da altura do canal H.
A taxa total de transferência de calor extraída pela corrente m′ das duas paredes
verticais é:
( ) ( )ν
βρ12
32 LTcgTTcmq p
wp
Δ=−′=′ ∞ (4.73)
Hqq
2′
=′′ (4.74)
O número de Nusselt “médio” é calculado como
LH RakH
TquN
241
=Δ′′
= (4.75)
Tendo em vista a Eq. (4.68) pode-se concluir que
( ) TTTkLq
w Δ=−<′′
∞ (4.76)
115
Portanto no limite de canal estreito
LHRaL < (4.77)
O escoamento num canal estreito, também denominado de escoamento em
chaminé, em dutos de outras seções, possui hDH RauN / constante, em que hD é o
diâmetro hidráulico. Na Tabela 4.2 apresentam-se alguns resultados
Tabela 4.2. Escoamento em chaminé (canal estreito, h
D DHRa
h< )
Forma da seção do canal hDH RauN /
Placas paralelas 1/192
Circular 1/128
Quadrada 1/113.6
Triângulo equilátero 1/106.4
4.4.2 Cavidades Aquecidas do Lado
Um caso importante de convecção natural interna é o de escoamentos induzidos
em espaços fechados que estão sujeitos a variação de temperatura horizontal. A Figura
4.8 ilustra o caso de um fluido aquecido em uma parede e resfriado na parede oposta.
116
Figura 4.8. Regimes de escoamentos para convecção natural em cavidades aquecidas do
lado para fluidos com 1Pr ≥
Da mesma forma, tem-se neste caso, cavidades largas e cavidades estreitas. A
cavidade é larga quando a espessura da camada limite é menor do que a dimensão
horizontal, Lt <δ o que é equivalente 4/1/ −> HRaHL . As correlações para o número de
Nusselt médio são:
135
09,028,0
10;10Pr;102
Pr2,0Pr22,0
<<<<
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=
H
HH
RaLH
HLRauN
(4.78)
3353
13,029,0
Pr2,0Pr10;10Pr10;21
Pr2,0Pr
18,0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+<<<<<
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=
−
−
HLRa
LH
HLRa
uN
H
HH
(4.79)
O Nusselt médio e número de Rayleigh são definidos como TkHquN H Δ′′
=
( )αν
β 3HTTgRa ch
H−
= .
117
No caso oposto de cavidade estreita, 4/1/ −< HRaHL tem-se
LH
TkH
LTk
TkHquN H =
Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
=Δ′′
= (4.80)
indicando que neste caso a transferência de calor é puramente por condução ou difusão.
Toda a precedente discussão refere-se a cavidades quadradas ou altas em que
1/ ≥LH . No caso de 1/ <LH pode-se Ter jatos horizontais distintos nas paredes de
topo e fundo. Pode-se encontrar o Nusselt médio em função de Rayleigh em gráficos da
literatura (Bejan, pg 370).
No caso de cavidades aquecidas e resfriadas por fluxos de calor constantes
também é possível se obter correlações para o número de Nusselt. No regime de camada
limite , a temperatura varia linearmente na direção vertical ao longo da parede aquecida,
parede resfriada e no centro, e de acordo com Bejan
cteRaLH
HgyT
H =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∂∂ 9/8*
9/4
40425,0βαν (4.81)
Desde que a temperatura aumenta a mesma taxa em ambas paredes na direção vertical,
em cada nível, cteTyTyT ch =Δ=− )()( . A solução teórica para o Nusselt médio
TkHquN H Δ′′
= na camada limite para fluidos com 1Pr ≥ é
9/1
9/2*34,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
LHRauN HH (4.82)
na qual )/(4* kqHgRaH ανβ ′′= . Se o número de Rayleigh for baseado em TΔ ,
)/(/ 3* ανβ THguNRaRa HHH Δ== . Neste caso, a eq. 4.82 fica na forma
7/17/225,0 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
LHRauN HH (4.83)
118
4.4.3 Cavidades aquecidas por Baixo
Nas cavidades aquecidas do lado, o escoamento acontece tão logo a uma
pequena diferença de temperatura ch TT − seja imposta entre as duas paredes. Já na
cavidade aquecida por baixo, a diferença de temperatura imposta deve exceder um valor
crítico para que o escoamento e transferência de calor sejam detectados. Quando a
cavidade é longa e larga na horizontal, para ( ) 1708)(3 ≥−= ανβ HTTgRa chH formam-
se dois rolos quase quadrados que giram em sentidos opostos, como ilustrado na Figura
4.9. Este tipo de escoamento é conhecido com convecção de Bénard.
Figura 4.9 Camada de fluido horizontal entre duas paredes paralelas e aquecidas por
baixo. Esquerda: 1;1708 =< HH uNRa . Direita: 1;1708 >> HH uNRa
O efeito do escoamento celular é aumentar a transferência de calor na direção
vertical. Neste caso o número de Nusselt médio definido como )/( TkHquN H Δ′′= é
dado pela correlação:
95074,03/1 107103;Pr069,0 xRaxRauN HHH <<= (4.84)
na qual as propriedades físicas para se calcular Pr,, HH RauN são avaliadas na
temperatura média ( ) 2/ch TT + .
4.4.4 Cavidades Inclinadas
As correlações para este caso podem ser encontradas no livro de Adrian Bejan
(1993).
119
4.4.5 Outras Formas de Cavidades: Espaço Anelar entre Cilindros e Esferas Concêntricas
Espaços anelares entre um cilindro ou esfera internos aquecidos e os externos
resfriados, por exemplo, formam cavidades onde podem ocorrer escoamentos ou células
de escoamentos por convecção natural. As correlações de transferência de calor são da
forma:
Cilindro:
( )( )[ ]
4/1
4/55/3 Pr861,0Pr
/1
425,2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−≅′ iD
oi
oiRa
DD
TTkq em W/m (4.85)
na qual ( ) )/(3 ανβ ioiH DTTgRa −= . A Eq. (4.85) é válida quando
)(4/1ioDo DDRaD
o−>− (4.86)
Esfera:
( )( )[ ]
4/1
4/55/7 Pr861,0Pr
/1
325,2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−≅′ iD
oi
oiiRa
DD
TTkDq em W/m (4.87)
Nas correlações acima, o sub-índice i refere-se ao cilindro ou esfera internos e o
sub-índice o aos externos. Nestes casos as propriedades são avaliadas a ( ) 2/oi TT − .
120
4.5 Experimento 03: Convecção Natural em Corpos Submersos
Nesta experiência deseja a) analisar o processo de transferência de calor por
convecção natural; b) obter o coeficiente de transferência por convecção natural para
corpos submersos e c) avaliar a influência do material e das dimensões dos corpos no
valor do c coeficiente de transferência por convecção natural.
Para realização desta experiência, corpos metálicos (alumínio e cobre) de
formato cilíndrico, inicialmente, à temperatura ambiente, são imersos em água quente e
cronometra-se o tempo até que o corpo atinja o equilíbrio térmico com a água. São
feitas leituras de temperatura em intervalos de tempo para se obter a dependência da
temperatura com o tempo. A análise baseia-se no principio da capacitância concentrada.
A essência do método da capacitância concentrada é a hipótese de que a temperatura do
sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou
seja, despreza-se o gradiente de temperatura no interior do corpo. Sob determinadas
condições, o modelo de capacitância concentrada pode ser aplicado. Normalmente, um
processo de condução transiente inicia-se pela convecção imposta na superfície do
sólido, mas dependendo do nível de temperatura pode ocorrer transferência radiativa. A
Figura 4.10 ilustra o processo.
Figura 4.10 – Resfriamento de um sólido por imersão num líquido.
Considere uma situação na qual as condições térmicas de um sólido podem ser
alteradas por convecção, radiação e fluxo de calor aplicados à superfície e geração
interna de energia. Assume-se que no instante 0t = a temperatura do sólido seja iT
diferente da temperatura do fluido T∞ e da temperatura da vizinha vizT . Em parte da
121
superfície é imposto um fluxo q′′e a geração interna é gq . Desprezando gradientes de
temperatura no interior do sólido, um balanço de energia fornece
, , ,s h g c s c r s rdTq A q q A q A Vcdt
ρ′′ ′′ ′′+ − − = (4.88)
Substituindo os fluxos de calor convectivo e radiativo na equação (4.88) resulta a
equação
( ) ( )4 4, , ,s h g s c viz s r
dTq A q h T T A T T A Vcdt
εσ ρ∞′′ + − − − − = (4.89)
A equação (4.89) é uma equação diferencial ordinária não linear que pode ser
rearranjada na forma
( )( ) ( )
4 4
, , ,viz
s h g s c s r
T T dTq A q hA A T T VcT T dt
εσ ρ∞∞
⎡ ⎤−′′ ⎢ ⎥+ − + − =
−⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.90)
ou definindo o excesso de temperatura, T Tθ ∞= − , resulta após algumas manipulações
( ) ,, 0s h ge s c q A qh Addt Vc Vc
θθ θρ ρ
′′ +⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠ (4.91)
na qual
( ) ( )( )
4 4,
,
viz s re
s c
T T Ah h
T T Aθ εσ
∞
⎡ ⎤−⎢ ⎥= +
−⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.92)
Definindo
,e s ch Aa
Vcρ= ; ,s h gq A q
bVcρ
′′ += (4.93)
a equação (4.91) pode ser reescrita como
( ) ( ) ( ) ( ) 0d t
a t t b tdtθ
θ+ − = (4.94)
com a condição inicial
( )0 iθ θ= (4.95)
A solução da Eq. (4.94) com condição inicial (4.95) é da forma
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0
t t t t
it exp a t dt exp a t dt b t exp a t dt dtθ θ′
′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′= − + − −∫ ∫ ∫ ∫ (4.96)
No caso em que se tenha somente convecção no contorno do sólido e nenhuma
geração interna
122
, 0shAa bVcρ
= = (4.97)
Em tal caso, resulta a solução
( ) s
i
T t T hAexp tT T Vcρ
∞
∞
− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠
(4.98)
Uma análise mostra que o modelo de capacitância concentrada é válido quando
o número de Biot que é razão da resistência condutiva pela resistência convectiva for
0 1ci
hLB ,k
= < (4.99)
Aplicando logaritmo natural a ambos os lados da equação (4.98) se obtém
( ) shAln y tVcρ
= − (4.100)
na qual foi definido ( )i
T t Ty
T T∞
∞
−=
−. Graficando a função ( )ln y em função do tempo,
com os demais parâmetros fixos, obtém-se uma reta de coeficiente angular negativo, ou
seja, se α é o ângulo de inclinação da reta,
( ) shAtgVc
αρ−
= (4.101)
A partir dos dados experimentais da temperatura em função do tempo, grafica-se
( )i
T t Tln
T T∞
∞
⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦
em função do tempo o obtém-se ( )tg α do gráfico resultante. A partir
desse valor calcula-se
( )s
tg Vch
Aα ρ
= (4.102)
São usados 4 corpos de prova; três de alumínio e um de cobre, cujas dimensões
são:
Dimensões 1(Al) 2(Al) 3(Al) 4(Cu)
D[mm] 50 50 35 50
L[mm] 200 85 200 200
Um esquema do aparato experimental é mostrado na Figura 4.11. As
propriedades do alumínio e do cobre são:
123
Aluminio (Al) c = 903 J/kgK r = 2702 kg/m3
Cobre (Cu) c = 385 J/kgK r = 8933 kg/m3
Figura 4.11 – Aparato experimental para medida de h em convecção natural. (por mvtn)
Os termopares inseridos nos corpos de prova são de cobre-constantan (tipo T) e
tem curvas de calibração na forma
[ ]22,877 3,9395oT C E mV⎡ ⎤ = +⎣ ⎦
As medidas de temperatura em função do tempo podem ser organizadas, por
exemplo, em intervalos de 30 s ou 60 s.
tempo t0 t1 .... tequlibrio ( T=T∞ )
(Al) T1
(Al) T2
(Al) T3
(Cu) T4