6

Construção das Curvas de Juros

6.1.

Revisão da Literatura

(Nelson & Siegel, 1987) contribuíram para a literatura sobre curva de juros

ao proporem um modelo parcimonioso de decomposição da curva básica em três

funções exponenciais. Essa metodologia tinha como principal característica a

capacidade de conciliar bom ajuste aos dados com simplicidade e clareza da

modelagem.

Logo em seguida, (Litterman & Scheinkman, 1991) utilizaram a

metodologia de análise de componentes principais para concluir que os três

primeiros fatores da curva de juros estavam intimamente relacionados a choques

de nível, inclinação e curvatura sobre as taxas. Então, (Bliss R. R., 1997) reforçou

essa teoria com resultados similares.

(Diebold & Li, 2006), então, construíram a ponte entre esses autores.

Estimaram um modelo de (Nelson & Siegel, 1987) para cada período da maneira

mais parcimoniosa que julgaram possível a fim de valorizar o caráter explicativo

dos parâmetros estimados. Os autores demonstraram que as séries formadas a

partir das seqüências de parâmetros estimados estavam fortemente relacionadas

aos fatores revelados em (Litterman & Scheinkman, 1991).

Outros trabalhos também testaram modelos alternativos para a estimação

da curva de juros. (Svensson, 1994) propõe um modelo de quatro fatores e (Bliss

R. R., 1996) e (Pooter, 2007) fazem um apanhado geral das formas disponíveis de

construir as curvas e concluem que modelos mais complexos do que o proposto

por (Diebold & Li, 2006) se ajustam melhor aos dados dentro da amostra mas não

melhoram a capacidade interpretativa dos fatores e nem geram melhores

previsões.

31

Visando, então, representar o poder explicativo dos fatores da

curva de juros, o presente trabalho utilizou metodologia semelhante a proposta em

(Diebold & Li, 2006), que esta será descrita a seguir:

6.2.

Descrição da Metodologia

Em um primeiro estágio da metodologia de construção das curvas de juros,

foram utilizados o DI de um dia mais todos os dados de swaps pré-DI nas

maturidades disponíveis para estimar um modelo de três fatores da família de

modelos de Nelson e Siegel - tal qual descrito a seguir:

Y��T� = β�,� + β�,� �1 − exp �− Tτ�� + β�,� �1 − exp �− Tτ��Tτ�− exp �− Tτ���

Utilizando a interpretação dos fatores proposta por (Diebold & Li, 2006),

observamos que o parâmetro τ� é responsável pelo decaimento exponencial da

curva e que menores valores para τ� resultam em melhores ajustes na ponta longa.

Somando a isso a observação de que a curva brasileira sofreu um significativo

alongamento dos prazos no período analisado, entendemos que este valor deveria

ser variante no tempo para garantir a boa estimação da ponta longa em todos os

períodos.

Os parâmetros β�,� , β�,� , β�,� podem ser interpretados como três fatores

dinâmicos latentes. Sendo assim, as funções exponenciais que multiplicam os

parâmetros podem ser interpretadas como os pesos responsáveis por dar a taxas de

diferentes maturidades diferentes cargas sobre o fator latente. Nesse caso, a carga

do fator β�,� é claramente independente da maturidade. A carga do fator β�,� tem

como peso uma função monotônica que se inicia em 1 e decai exponencialmente a

zero. Finalmente, a carga do fator β�,� pode ser interpretada como uma função que

se inicia em zero, cresce até atingir seu máximo e então decai a medida que o

maturidade aumenta.

32

Como já destacado anteriormente, essa metodologia se encaixa fortemente

na proposta de (Diebold & Li, 2006). No entanto, uma única diferença

metodológica pode ser destacada. Ao invés de calibrarmos o parâmetro τ� de

acordo com a maturidade média da curva (a fim de garantir que estimação pudesse

ser feita em apenas um estágio), foi utilizada uma metodologia já testada em

(Pooter, 2007) onde os parâmetros β�,� , β�,� , β�,� e τ� são estimados por mínimos

quadrados não lineares e uma restrição é imposta sobre o parâmetro τ� de maneira

a impedir que ele assuma valores muito próximos de zero. Esse procedimento foi

adotado para garantir que as funções que multiplicam β�,� , β�,� sejam bem

comportadas.

O intervalo de variação do parâmetro τ� foi restrito entre 0,2 e 1. Esses

valores formam definidos por um critério prático de forma a garantir a boa

estimação, principalmente nos períodos de grande flutuação econômica (entre

2001 e 2003). Observou-se que quando τ� atingia valores inferiores a 0,2 , ou

superiores a 1, as funções que multiplicam β�,� , β�,� se tornavam instáveis,

comprometendo a interpretação dos resultados estimados antes do alongamento da

dívida pública em 2004.

6.3.

Curvas de Juros Estimadas

Uma vez estimadas as curvas de juros para todos os vértices, foram

escolhidos 15 vértices específicos que formam mantidos fixos para todo o restante

da análise. Esse procedimento é comum na literatura de curva de juros e visa

garantir que as curvas de juros comparadas em diferentes intervalos de tempo

tenham sempre os mesmos vértices.

A figura abaixo mostra o gráfico com os vértices escolhidos. Nele é

notória essa diferença na variação dos choques em nível na curva de juros antes de

2004. Também podemos observar que na maior parte do tempo as taxas se

deslocam conjuntamente e que alguns movimentos de aproximação e

distanciamento das taxas também podem ser vistos.

33

Figura 2: Maturidades escolhidas

A análise das estatísticas descritivas das taxas aponta para o fato de que as

taxas mais longas possuem maior desvio padrão. Isso sugere que a maior parte dos

choques sobre a curva de juros não são percebidos pelos agentes como

temporários e por isso atingem fortemente as taxas mais longas. Além disso, esse

resultado está de acordo com a teoria do prêmio de liquidez para as taxas longas,

que diz que os agentes exigiriam um prêmio para compensar o maior risco do

investimento em títulos longos. No entanto, cabe a ressalva de que também é

possível que as taxas longas tenham maior variação devido ao fato de não

haverem dados de taxas longas no início da amostra (precisando ser todos eles

estimados).

Tabela 7: Tabela das maturidades escolhidas

0

10

20

30

40

50

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

1 dia1 mês3 meses6 meses9 meses14 meses21 meses35 meses48 meses60 meses84 meses108 meses120 meses186 meses

34

Observamos, da matriz de correlações, que as taxas de diferentes

maturidades são altamente correlacionadas, o que confirma a atuação de fatores

comuns por trás dos movimentos da curva.

Além disso, observamos que essa correlação é decrescente à medida que as

maturidades se afastam. Assim, notamos que choques no nível não são

plenamente repassados à ponta longa - o que indica que a curva também muda de

inclinação ao longo do tempo.

35

Tabela 8: Matriz de correlação das maturidades

36

A curva média é crescente e côncava, atendendo ao mais clássico fato

estilizado sobre modelagem de curva de juros e em concordância com os

resultados obtidos, por exemplo, em (Diebold & Li, 2006).

Figura 3: Curva de juros Média e desvio padrão

Correlação

Estatística t

Valor p 1 DIA 1 MÊS 3 MESES 6 MESES 9 MESES 11 MESES 14 MESES 21 MESES 28 MESES 35 MESES 48 MESES 60 MESES 84 MESES 108 MESES 120 MESES 186 MESES

1 DIA 1.00

-----

-----

1 MÊS 0.97 1.00

215.18 -----

0.00 -----

3 MESES 0.92 0.98 1.00

118.03 242.40 -----

0.00 0.00 -----

6 MESES 0.86 0.92 0.97 1.00

84.56 117.77 215.89 -----

0.00 0.00 0.00 -----

9 MESES 0.81 0.86 0.93 0.99 1.00

68.58 84.12 125.15 316.08 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 -----

11 MESES 0.78 0.82 0.90 0.97 1.00 1.00

62.45 73.50 103.64 213.38 667.40 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

14 MESES 0.75 0.79 0.86 0.95 0.99 1.00 1.00

56.66 64.19 86.45 154.99 308.81 574.40 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

21 MESES 0.70 0.73 0.80 0.90 0.95 0.97 0.99 1.00

49.81 53.66 68.14 106.26 161.32 212.06 335.19 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

28 MESES 0.68 0.69 0.76 0.86 0.92 0.94 0.97 0.99 1.00

46.18 48.26 59.05 85.89 118.45 143.63 191.58 453.77 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

35 MESES 0.66 0.66 0.73 0.83 0.89 0.92 0.94 0.98 1.00 1.00

43.74 44.77 53.38 74.43 97.81 114.55 143.75 257.96 607.61 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

48 MESES 0.63 0.63 0.68 0.78 0.84 0.87 0.91 0.96 0.98 0.99 1.00

40.78 40.75 47.14 62.96 79.28 90.32 108.41 166.57 270.33 493.73 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

60 MESES 0.61 0.61 0.66 0.75 0.82 0.85 0.88 0.94 0.97 0.99 1.00 1.00

39.08 38.54 43.87 57.40 70.99 80.00 94.46 137.94 204.88 314.83 882.42 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

84 MESES 0.59 0.58 0.63 0.72 0.78 0.81 0.85 0.92 0.95 0.98 0.99 1.00 1.00

37.10 36.07 40.35 51.74 62.98 70.32 81.91 114.92 160.29 222.98 415.66 791.19 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

108 MESES 0.58 0.57 0.61 0.70 0.76 0.79 0.83 0.90 0.94 0.97 0.99 1.00 1.00 1.00

36.02 34.76 38.54 48.95 59.16 65.81 76.23 105.23 143.30 192.64 324.06 516.63 1498.01 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

120 MESES 0.58 0.56 0.60 0.69 0.75 0.79 0.83 0.90 0.94 0.96 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00

35.64 34.31 37.92 48.02 57.92 64.35 74.42 102.24 138.25 184.03 301.35 461.97 1117.89 4412.19 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

186 MESES 0.56 0.55 0.58 0.67 0.73 0.77 0.81 0.88 0.93 0.95 0.98 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00

34.47 32.92 36.05 45.26 54.26 60.10 69.18 93.81 124.46 161.48 247.42 347.79 626.29 1079.15 1429.31 -----

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -----

37

6.4.

Análise dos Parâmetros Estimados

As estatísticas descritivas dos parâmetros (β�,� , β�,� , β�,� , τ�� indicam que

as estimações do parâmetro τ� foram preservadas em um valor baixo de maneira a

garantir o lento decaimento exponencial dos pesos associados ao fator inclinação

e assim melhorar as estimações da ponta longa.

Tabela 9: Estatísticas dos parâmetros nível, inclinação e curvatura.

A observação do coeficiente de variação nos indica que o parâmetro β�,� (nível) é menos volátil do que os parâmetros β�,� (inclinação) e

38

β�,� (curvatura). Além disso, quando olhamos para os gráficos, notamos que essa

observação se torna ainda mais forte no período posterior a 2004. (Ang &

Piazzesi, 2003) argumentam que variações nesse fator são correlacionadas com

mudanças nas expectativas de inflação dos agentes. Isso pode tornar, então, a

observação desse fator ainda mais interessante, pois podemos interpretar esse

resultado como fruto do ganho de credibilidade do Banco Central e do modelo de

metas de inflação no controle das expectativas dos agentes.

Figura 4: Parâmetros nível, inclinação e curvatura

A seguir estão dispostos dos gráficos dos componentes principais extraídos

pela metodologia proposta em (Litterman & Scheinkman, 1991). São esses

componentes que serão utilizados nos modelos propostos e neles podemos

observar a similaridade dos componentes principais extraídos com os fatores de

(Diebold & Li, 2006). Podemos notar, também, que em ambos os procedimentos a

volatilidade dos choques era muito maior no período anterior a 2004.

Figura 5: Componentes principais da curva de juros

39

6.5.

Extração dos Componentes Principais

6.5.1.

Metodologia

A extração dos componentes principais das curvas de juros estimadas se

deu através do mesmo procedimento proposto originalmente por (Litterman &

Scheinkman, 1991), onde os três primeiros componentes principais da curvas de

juros são extraídos.

Y�� = l��F�� + l��F�� + l��F�� + ϵ�

40

Inicialmente optamos por utilizar todo o período de análise para esse

procedimento. Como, no entanto, o período estudado possui grande variação

econômica (contemplando as crises da Argentina em 2001 e do Brasil em 2002,

mas também a crise dos subprime em 2007 e a financeira mundial em 2008),

optou-se em seguida em dividimos as amostras em sub-períodos e repetimos o

procedimento. Concluímos que a análise de componentes principais é robusta à

quebra do período analisado em sub-amostras e que com a diminuição da

volatilidade na economia pós-2004 o primeiro fator ganhou em poder explicativo.

6.5.2.

Análise da Amostra Completa

Ao analisarmos a tabela de decomposição da variância, observamos que os

três primeiros componentes principais explicam praticamente a totalidade da

variância. Esse seria mais um indicativo de que o modelo de três fatores para a

curva de juros é o correto para o caso brasileiro.

Tabela 10: Análise dos autovalores da curva de juros

A interpretação dos resultados da análise de componentes principais para

os dados brasileiros consolida a hipótese apresentada por (Litterman &

Scheinkman, 1991) de que a curva de juros pode ser decomposta em três

componentes principais.

Assim como no modelo dos autores, o primeiro componente tem poder

explicativo sobre grande parte dos dados - o que indica que a maior parte dos

choques sobre a curva de juros podem ser interpretados como choques em nível.

41

O segundo fator, por afetar positivamente as taxas da ponta curta e negativamente

as da ponta longa, pode ser entendido como um fator que altera a inclinação da

curva. Ele indica que choques nesse fator estão tornando a curva mais ou menos

inclinada. Por fim, o terceiro componente principal, aponta para mudanças na

curvatura da curva de juros.

Figura 6: Carga dos autovalores sobre as maturidades

6.5.3.

Análise das Sub-amostras

A análise de componentes principais para toda a amostra levantou uma

dúvida sobre a relevância do terceiro fator na modelagem da curva de juros no

Brasil. Para sanar essas dúvidas, o período analisado foi dividido em 3 sub-

amostras.

A primeira entre 01/09/1999 e 30/06/2003 contempla o período de maior

instabilidade econômica no Brasil com as crises da Argentina e do Brasil nos

meses que antecederam e imediatamente sucederam a eleição de Lula. A

segunda entre 01/07/2003 e 31/07/2007 pode ser interpretada com um período de

transição pós-eleição do governo Lula. Finalmente a terceira, entre 01/09/2007 e

42

26/11/2009 representa o período após o início da crise dos suprimes americanos e

contempla a crise econômica mundial.

Ao analisarmos os dados em sub-amostras, observamos que os principais

resultados se mantiveram robustos. No entanto, notamos que com a diminuição da

volatilidade na economia o primeiro fator ganhou em poder explicativo nos

períodos 2 e 3. Assim, podemos inferir que a incerteza no mercado provoca

movimentos na forma da curva de juros (ao promover o poder explicativo dos

fatores 2 e 3).

Tabela 11: Análise dos autovalores por período