Geração de cenários de estresse para curvas de juros

Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes

Geracao de cenarios de estressepara curva de juros

Alan De Genaro e Mariela Fernandez

9 de setembro de 2011

Alan De Genaro e Mariela Fernandez Geracao de cenarios de estresse para curva de juros


Roteiro:

1 Motivacao.

2 Modelo de Heath-Jarrow-Morton.

3 Construcao de cenarios.

4 Implementacao no mercado brasileiro.

5 Consideracoes finais.



Motivacao

Teste de estresse: avaliacao da perda potencial de uma carteiracontemplando o risco de evento.O teste de estresse tem tido uso crescente no meio academico ou nacomunidade financeira, sendo que, nesta ultima, de maneiraespontanea ou por imposicao regulatoria. Por exemplo:

o uso regulatorio do teste de estresse ocorreu nos Estados Unidos daAmerica no comeco de 2009, quando todas as instituicoes financeirasforam obrigadas a avaliar o risco de suas carteiras e capacidade desuportar situacoes extremas sem comprometer a estabilidade dosistema financeiro;o uso espontaneo do teste de estresse ocorre na BM&FBOVESPApara calculo de margem de garantia, permitindo assim o perfeitofuncionamento do mercado pela certeza dos seus participantes deque seus ganhos serao recebidos e suas operacoes de compra e vendaserao liquidadas conforme estabelecido na negociacao.



Problema

Definicao de metodos e modelos para a construcao de teste de estresse ede cenarios de estresse.

1) Definicao do teste de estresseUm dos possıveis testes de estresse e o “Teste de estresse sistematico”.Consiste na criacao de uma serie de cenarios de estresse para osprincipais fatores de risco de um portfolio.

O trabalho de Vieira-Neto e Urban (2003) apresenta a metodologia daBM&FBOVESPA para a avaliacao das margens de garantia dos contratosderivativos negociados no segmento BM&F. O conceito subjacenteconsiste em decompor os contratos, segundo uma condicao denao-arbitragem, em seus fatores primitivos de risco e avalia-losconjuntamente em um cenario de estresse.



Problema

Definicao de metodos e modelos para a construcao de teste de estresse ede cenarios de estresse.

1) Definicao do teste de estresseUm dos possıveis testes de estresse e o “Teste de estresse sistematico”.Consiste na criacao de uma serie de cenarios de estresse para osprincipais fatores de risco de um portfolio.

O trabalho de Vieira-Neto e Urban (2003) apresenta a metodologia daBM&FBOVESPA para a avaliacao das margens de garantia dos contratosderivativos negociados no segmento BM&F. O conceito subjacenteconsiste em decompor os contratos, segundo uma condicao denao-arbitragem, em seus fatores primitivos de risco e avalia-losconjuntamente em um cenario de estresse.



Exemplo intuitivo de teste de estresse de um contrato futuro de moedas:

F = Se(r−rf )T = SPUrPUrf

S valor do ativo a vista;r taxa de juros local;rf taxa de juros estrangeira.

lnF ′

F= ln

S′

S+ ln

PU ′rPUr

− lnPU ′rf

PUrf

Cenario de estresse para os fatores primitivos de risco:

Ativo a vista ±8% ⇒ S(1± 0, 08).Taxa de juros local +0, 01 e −0, 005 ⇒ r + 1% e r − 0, 5%.Taxa de juros estrangeira +0, 02 e −0, 01 ⇒ rf + 2% e rf − 1%.



Exemplo intuitivo de teste de estresse de um contrato futuro de moedas:

F = Se(r−rf )T = SPUrPUrf

S valor do ativo a vista;r taxa de juros local;rf taxa de juros estrangeira.

lnF ′

F= ln

S′

S+ ln

PU ′rPUr

− lnPU ′rf

PUrf

Cenario de estresse para os fatores primitivos de risco:

Ativo a vista ±8% ⇒ S(1± 0, 08).Taxa de juros local +0, 01 e −0, 005 ⇒ r + 1% e r − 0, 5%.Taxa de juros estrangeira +0, 02 e −0, 01 ⇒ rf + 2% e rf − 1%.



2) Definicao dos cenarios de estresse

Metodo Nelson-Siegel-Svensson. Modelo parametrico deinterpolacao da taxa de juros, amplamente usado na literatura e nasinstituicoes financeiras.

Jamshidian e Zhu (1996) propoem uma estruturacomputacionalmente eficiente para a geracao de cenarios para amensuracao de risco de uma carteira.

Dario (2004) o autor faz uso da Teoria dos Valores Extremos, TVE,para a geracao de cenarios de estresse para fatores de risco spot etemporais nao correlacionados.

Rezende (2008) propoe uma metodologia de construcao de cenariosde estresse probabilısticos para as curvas de juros estimando cenarioscondicionais para as variacoes paralelas e de inclinacao da curva dejuros.



Modelo de Heath-Jarrow-Morton

1 Modelo contınuo para ν fatores de incerteza

rt = r0 +∫ t

0

( ν∑j=1

σjs(t)∫ t

s

σjs(u)du)ds+

∫ t

0

σs(t)dW s.

2 Modelo discreto

rt+∆t − rt = µt∆t+ν∑j=1

σjt√

∆tZjt .

3 Analise de Componentes Principais

rit+1 − rit = µiσi +3∑j=1

√λjV ij σ

iZjt para i = 1, · · · , N.

4 Comparacao dos termos estocasticos

σjt ≈√λj∆tV •j σ

• para j = 1, 2, 3.



Modelo de Heath-Jarrow-Morton

1 Modelo contınuo para ν fatores de incerteza

rt = r0 +∫ t

0

( ν∑j=1

σjs(t)∫ t

s

σjs(u)du)ds+

∫ t

0

σs(t)dW s.

2 Modelo discreto

rt+∆t − rt = µt∆t+ν∑j=1

σjt√

∆tZjt .

3 Analise de Componentes Principais

rit+1 − rit = µiσi +3∑j=1

√λjV ij σ

iZjt para i = 1, · · · , N.

4 Comparacao dos termos estocasticos


• para j = 1, 2, 3.



Estrutura funcional da volatilidade

σjt (T ) =(αj + βj(T − t)

)eγj(T−t) + δj , para j = 1, 2, 3

e do drift correspondente

µt(T ) =3∑j=1

σjt (T )[δj(T−t)+

βjγj

(T−t)eγj(T−t)+(eγj(T−t)−1)(αjγj−βjγ2j

)]Utilizando a relacao abaixo podem ser calibrados os coeficientes da formafuncional da estrutura de volatilidade


• para j = 1, 2, 3.

arg minN∑i=1

((αj+βj

i

252)eγj

i252 +δj−

√λj

1/252Vij σ

i)2

, para j = 1, 2, 3.



Finalmente, para qualquer prazo Ti tem-se que

r0+1(Ti) = r0(Ti)+1

252µ(Ti)+

√1

252

(σ1(Ti)ξ1 +σ2(Ti)ξ2 +σ3(Ti)ξ3

),

sendo ξ1, ξ2 e ξ3 variaveis aleatorias independentes com distribuicaogaussiana padrao,

σj(Ti) =(αj + βj(Ti)

)eγj(Ti) + δj , para j = 1, 2, 3

e

µ(Ti) =3∑j=1

σj(Ti)[δj(Ti) +

βjγj

(Ti)eγj(Ti) + (eγj(Ti) − 1)(αjγj− βjγ2j

)].

Em geral, para qualquer holding period HP

r0+HP (Ti) = r0(Ti)+HP

252µ(Ti)+

√HP

252

(σ1(Ti)ξ1+σ2(Ti)ξ2+σ3(Ti)ξ3

),




252µ(Ti)+

√HP

252


),

Problema

ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?.

Resposta dos gestores de risco

Para 1 dia, cenario de 1%, em 6 meses, cenario de 0, 5% e para mais de3 anos, cenario de −1%.




252µ(Ti)+

√HP

252


),

Problema

ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?.

Resposta dos gestores de risco

Para 1 dia, cenario de 1%, em 6 meses, cenario de 0, 5% e para mais de3 anos, cenario de −1%.



Problema

(T1, choque1), (T2, choque2) e (T3, choque3) ⇒ ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?,

sendo choquei = r0+HP (Ti)− r0(Ti).


252µ(Ti)+

√HP

252


).

Solucao

HP

252

0@µ(T1)µ(T2)µ(T3)

1A +

rHP

252

0@σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1)σ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) σ3(T3)

1A 0@ξ1ξ2ξ3

1A =

0@choque1choque2choque3

1A



Problema

(T1, choque1), (T2, choque2) e (T3, choque3) ⇒ ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?,

sendo choquei = r0+HP (Ti)− r0(Ti).


252µ(Ti)+

√HP

252


).

Solucao

HP

252

0@µ(T1)µ(T2)µ(T3)

1A +

rHP

252

0@σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1)σ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) σ3(T3)

1A 0@ξ1ξ2ξ3

1A =

0@choque1choque2choque3

1A



Caso o sistema anterior nao tenha solucao

det

σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1)σ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) σ3(T3)

= 0,

propoe-se aplicar o seguinte “ajuste numerico” na matriz A

Se σ1(T2)σ2(T3) 6= σ2(T2)σ1(T3),

A =

σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1) + εσ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) σ3(T3)

Se σ1(T2)σ2(T3) = σ2(T2)σ1(T3),

A =

σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1) + εσ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) + ε

2 σ3(T3)



Observacao:


252µ(Ti)+

√HP

252


),

Como√

HP252

(σ1(Ti)ξ1 + σ2(Ti)ξ2 + σ3(Ti)ξ3

)possui distribuicao

gaussiana com media zero e variancia HP252

(σ1(Ti)2 + σ2(Ti)2 + σ3(Ti)2

)tem-se que

P(r0+HP (Ti)− r0(Ti) ≤ choquei

)=

P(√HP

252(σ1(Ti)ξ1 + σ2(Ti)ξ2 + σ3(Ti)ξ3

)≤ choquei −

HP

252µ(Ti)

).



Implementacao no mercado brasileiro

Vencimentos do contrato futuro de DI com maior volume de negociacaona BM&FBOVESPA no 7 de abril de 2009.

Vencimento Dias uteis Percentual de negociosJaneiro/2010 185 33%Janeiro/2012 687 32%Janeiro/2011 436 16%Outubro/2009 122 6%

Julho/2009 57 4%Julho/2010 308 2%

Observando a liquidez dos contratos, foram escolhidos os seguintesvertices para calibrar a estrutura de volatilidade.

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

84 147 210 273 336 462 588 756 840 1008



Decomposicao da variacao da estrutura da taxa prefixada em seuscomponentes principais.

Componente Explicacao1o (nıvel) 88,92%

2o (inclinacao) 7,66%3o (curvatura) 1,82%

Total 98,40%

Estrutura de volatilidade dos tres componentes principais. Os pontosrepresentam os valores historicos (autovetor da matriz de correlacao) e aslinhas contınuas as funcoes calibradas.

-3%

-2%

-1%

0%

1%

2%

3%

4%

0 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600

Vola

tilid

ad

e

du

Função de volatilidade

1º fator 2º fator 3º fator



Estresse estabelecido para construir cenarios de nıvel, inclinacao ecurvatura para 2 dias.

Vertice Estresse positivo Estresse negativo

Cenarios de nıvel

1 1% -1%399 2,4% -1,6%≥ 756 2,5% -1,9%

Cenarios de inclinacao

1 -1% 1%126 0 0≥ 882 2,55% -2%

Cenarios de curvatura

1 1% -1%504 -1,8% 1,6%≥ 1008 2,6% -2,2%

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 300 600 900 1.200 1.500

Taxa (

%)

du

Cenários da taxa Pre

Taxa estressada HJM Taxa de mercado

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 300 600 900 1.200 1.500

Ta

xa

(%

)

du



7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 300 600 900 1.200 1.500

Taxa (

%)

du





Estresse estabelecido para replicar cenarios de estresse observados.

Data Vencimento Estresse HP

1 0%22/5/2006 Jan/2008 (≈ 400 du) 1,2% 2 dias

Jan/2010 (≈ 910 du) 0,7%

1 0%13/8/2007 Jan/2009 (≈ 350 du) 1% 3 dias

Jan/2011 (≈ 860 du) 1,4%

1 0%17/9/2008 Jan/2010 (≈ 330 du) 0,25% 3 dias

Jan/2012 (≈ 840 du) 0,7%

14,5

15,0

15,5

16,0

16,5

17,0

17,5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Ta

xa

(%

)

du


Taxa estressada HJM Taxa de mercado 22/5/06 Taxa de mercado de 24/5/06

10,8

11,0

11,2

11,4

11,6

11,8

12,0

12,2

12,4

12,6

12,8

13,0

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Ta

xa

(%

)

du


Taxa estressada HJM Taxa de mercado 13/8/07 Taxa de mercado 16/8/07

13,4

13,6

13,8

14,0

14,2

14,4

14,6

14,8

15,0

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Ta

xa

(%

)

du


Taxa estressada HJM Taxa de mercado 12/9/08 Taxa de mercado 17/9/08



Consideracoes finais

Foi proposto um metodo de construcao de cenarios de estresse paraa taxa de juros, com base no arcabouco HJM, que incorpore aopiniao de especialistas.

HJM e um modelo livre de arbitragem;foi dada enfase na aplicacao do modelo;interpolador livre de arbitragem.

Desenvolvimento futuro: implementar na decomposicao em PCA adependencia em perıodos de crise.

Publicacao

Revista Brasileira Financas, Vol. 9, No. 3, Junho 2011.


Economy & Finance

Geração de cenários de estresse para curvas de juros