ALCV CÔNICAS MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq. 2011 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq 2 ROTEIRO Módulo 2 – CÔNICAS

ALCV

CÔNICAS

MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq

2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq2

ROTEIRO

Módulo 2 – CÔNICAS

• Conceito• Parábola

• Lugar Geométrico• Elementos• Translação• Rotação

• Elipse• Hipérbole• Aplicações

• Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill


ROTEIRO



• Lugar Geométrico• Elementos• Translação• Rotação




CONCEITO

Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planas obtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte).

Por isso, são conhecidas pelo nome de cônicas.


ROTEIRO



• Lugar Geométrico• Elementos• Rotação• Translação




PARÁBOLA - ELEMENTOS

Parábola:• Lugar geométrico dos pontos do plano que são

equidistantes de F e d


PARÁBOLA - EQUAÇÃO

• Considere a figura abaixo. Os eixos são definidos pelas coordenadas x’0y’;

• De acordo com a figura: F(0,p/2), P(x’,y’) e P’(x’, - p/2) ;

• Da definição de parábola:

• Logo:

'2'2 pyx

'PPFP


EQUAÇÃO GERAL – 1

PROBLEMA:Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano. Determine: a equação representativa. SOLUÇÃO: “Idéia”:i.Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos

coordenados FIXOS ao vértice;ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem.Estas operações colocarão a parábola na forma canônica!



i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;

ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.

i.y'

x'

'2'2 pyx





ii. Substituindoem

''''''yxxy

''2'' 2 pxy

'2'2 pyx

x'

y'

x''

y''





iii. Substituindoem

0

0

''''yyyxxx

020 2 xxpyy

''2'' 2 pxy

x'

y'

x''

y''


APLICAÇÕES – 1.1

PROBLEMA:Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.



SOLUÇÃO:

i.Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;

ii.Rotacionar eixos == Não necessário! Ok!!!iii.Transladar origem.

Observe que o problema poderia ser colocado de outra maneira:




ii. Transladar origem.

A partir da figura: p = 12

Logo, sendo '2'2 pyx

'24'2 yx




ii. Transladar origem.

A partir da figura:

Logo, sendo

22

0

0

yx

2242 2 yx

0

0

''yyyxxx






SOLUÇÃO:

i.Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;

ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem. == Não necessário! Ok!!!




ii. Rotacionar eixos.


Logo, sendo '2'2 pyx

'16'2 yx





A partir da figura:

Logo, sendo: '16'2 yx

yyxx

''

yx 162






SOLUÇÃO:






ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem


Logo, sendo y'

x'

'2'2 pyx

'4'2 yx





A partir da figura:

Logo, sendo y'

x'

''''''xyyx

'4'2 yx

''4'' 2 xy





A partir da figura:

Logo, sendo y'

x'

''4'' 2 xy

11

0

0

yx

141 2 xy


ROTEIRO


• Conceito• Parábola• Elipse


• Hipérbole• Aplicações



ELIPSE - ELEMENTOS

Elipse:• Lugar geométrico cuja soma das distâncias a F1 e F2 é

CONSTANTE e vale 2a (sendo 2a>2c)


ELIPSE - ELEMENTOS

EXCENTRICIDADE:

• Quanto maior a excentricidade, mais achatada é a elipse, ou seja, maior a distância focal;

ac

10


ELIPSE - EQUAÇÃO


• De acordo com a figura:

• Da definição de ELIPSE:

• Logo:

1''2

2

2

2

by

ax

aPFPF 221

0,,0,,',' 21 cFcFyxP

y'

x'



PROBLEMA:Dado: desenho de uma ELIPSE no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.



SOLUÇÃO:

i.Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;

ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem. == Não necessário! Ok!!!





A partir da figura: a=4 e b=2

Logo, sendo 1''2

2

2

2

by

ax

14'

16' 22

yx

y'

y=x'





A partir da figura:

Logo, sendo y'

y=x'

xyyx

''

14'

16' 22

yx

1416

22

xy



PROBLEMA:Dado: desenho de uma ELIPSE no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.



SOLUÇÃO:

i.Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;

ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem.



i. Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;


A partir da figura: a=3 e b=2

Logo, sendo 1''2

2

2

2

by

ax y'

x'1

4'

9' 22

yx





A partir da figura:

Logo, sendo

''''''

xyyx

y'

x'

14'

9' 22

yx

14''

9'' 22

xy





A partir da figura:

Logo, sendo y'

x'

14''

9'' 22

xy

43

0

0

yx

143

94 22

xy


ROTEIRO


• Conceito• Parábola• Elipse• Hipérbole


• Aplicações



HIPÉRBOLE - ELEMENTOS

Hipérbole:• Lugar geométrico cuja diferença em valor absoluto das

distâncias a F1 e F2 é CONSTANTE e vale 2a


HIPÉRBOLE - ELEMENTOS

EXCENTRICIDADE:

• Há uma proporcionalidade entre a excentricidade e a ABERTURA da hipérbole, ou seja, quanto maior a excentricidade, maior é a abertura da hipérbole.

• (Aluno) Plotar uma hipérbole com diferentes excentricidades!

ac

1


HIPÉRBOLE - EQUAÇÃO


• De acordo com a figura:

• Da definição de HIPÉRBOLE:

• Logo:

1''2

2

2

2

by

ax

aPFPF 221

0,,0,,',' 21 cFcFyxP

x'

y'



PROBLEMA:Dado: desenho de uma HIPÉRBOLE no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.



SOLUÇÃO:

i.Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;

ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem.



i. Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;


A partir da figura:

Logo, sendo 1''2

2

2

2

by

ax

14'

12' 22

yx

x'

y'

122 a9222 acb





A partir da figura:

Logo, sendo

''''''xyyx

x'

y'

14'

12' 22

yx

14''

12'' 22

xy





A partir da figura:

Logo, sendo

13

0

0

yx

x'

y'

14''

12'' 22

xy

143

121 22

xy


ROTEIRO


• Conceito• Parábola• Elipse• Hipérbole


• Aplicações



APLICAÇÕES

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