Analise Estrutural I - Linhas de Influencia

Disciplina: Anlise Estrutural I UFSC

Eng. Andr Labanowski Jnior, M.Sc. 1

CLCULO DOS ESFOROS DEVIDO S CARGAS MVEIS: LINHAS DE INFLUNCIA

Para estruturas sujeitas s cargas mveis deve-se determinar para cada seo a ser dimensionada, os esforos mais desfavorveis de maneira que estas podem ocupar quaisquer posies ao longo da viga principal. Neste caso pode-se determinar para diversas posies do trem-tipo os esforos solicitantes em uma seo qualquer. Entretanto, este um procedimento dispendioso, sendo mais adequado adotar-se o mtodo de Linhas de Influncia (LI).

Neste caso, a situao mais desfavorvel obtida a partir do diagrama de esforos de interesse (esforo cortante ou momento fletor) provocado por uma carga concentrada unitria, que percorre a estrutura.

O valor do efeito produzido por cargas concentradas iF , a partir da definio da linha de influncia, dada por i iF . Pelo princpio da superposio de efeitos, quando atuarem todas as cargas, teremos que o esforo atuante

dado por i iF . J no caso de cargas distribudas, tem-se que o efeito dado por rea do diagrama em questoq . Para uma viga bi-apoiada com balanos, observa-se que as linhas de influncia para determinao dos diagramas de esforo cortante e momento fletor so os apresentados nas Figs. (1) e (2).

LIV

l

a V

MS i

LIM

-a

-

-

1x

(x)

(x)A

A Figura 1 Linhas de Influncia para a carga situada no balano da viga

contnua.



x1

+ LIV

iSM

Va

lb

cbl lb

R = 1+(l -x)/l b c cbR = (l -x)/l

1x

V

MSiPelo eq.: V = (l -x)/l b c bM = aR -(l +a-x)

a b

a

Carga na viga em balano esquerda:

Carga na viga central esquerda de S:

aM = aR -(l +a-x)bcbV = (l -x)/l Pelo eq.:iS

M

V

x1

R = (x-l )/l b cb

R = 1-(x-l )/l b c

1x

S iPelo eq.: V = 1-R b bM = bR -[x-(l +a)]

a

b

Carga na viga central direita de S:

MV

VM bM = bR -[x-(l +a)]bbV = 1-R Pelo eq.:iS

x 1

LIM

Carga na viga em balano direita:

l /l b c

aR = [x-(l +l )]/l b c

a cbR = 1-(x-l )/l

b cbR = (x-l )/l

c b/l

-

+

-

-a/l c b-l /l c

c ccbR = 1+[x-(l +l )]/l b

ab/l c

+

-

-

c/l bb -al /l c

Figura 2 Linhas de Influncia para a carga situada no vo central da viga

contnua.



Exemplo: para o exemplo apresentado na Fig. (3), determinar o diagrama de esforo cortante e momento fletor proveniente das cargas mveis.

Seo 1S : Neste caso a posio mais desfavorvel ser com o trem-tipo encostado na extremidade em balano da longarina, conforme Fig. (3.19).

=1,8

=1,0

=0,3

a=1,8

Lp = 31,68kN/m

1,5m

LIV

P = 100,44kNL

lb

-

x1

- LIM

1S

Figura 3 Linhas de Influncia para a seo 1.

Os esforos atuantes so os seguintes:

1 0qV+

= ,

1 2 100,44 ( 1) 31,68 1,8m ( 1)= 257,90kNqV = + 1 0qM

+=

( ) ( )1 1,8m 1,8100,44 1,8 0,3 31,68 = 262, 24kN.m2qM

= +



Seo 2S : Neste caso a posio mais desfavorvel ser com o trem-tipo encostado na extremidade em balano da longarina, conforme Fig. (3.20).

=2,1

=1,0

=3,6

-

bl

LIV

1,5m

p = 31,68kN/mL

a=3,6

S2

LIM-

1x

P = 100,44kNL1,5m

=0,6

Figura 3.20 Linhas de Influncia para a seo 2.


2 0qV+

= ,

( ) ( )2 3 100,44 1 31,68 3,6m 1 = 415,37kNqV = + 2 0qM

+=

( ) ( )2 3,6m 3,6100,44 3,6 2,1 0,6 31,68 = 838,06kN.m2qM

= +



Seo 3S Esquerda do Apoio: Neste caso a posio mais desfavorvel ser com o trem-tipo encostado no bordo em balano da longarina, conforme mostra a Fig. (3.21).

=5,6

=1,0-

bl

LP = 100,44kN

LIV

1,5m

p = 31,68kN/mL

S3

LIM-

1x

1,5m

=4,1=2,6

Figura 3.21 Linhas de Influncia para a seo 3 esquerda do apoio.


3 0q EV+

= ,

( ) ( )3 3 100,44 1 31,68 5,6m 1 = 478,73kNq EV = + 3 0q EM

+=

( ) ( )3 5,6m 5,6100,44 5,6 4,1 2,6 31,68 = 1.732,15kN.m2q EM

= +



Seo 3S Direita: Neste caso, a posio mais desfavorvel depende do esforo a ser calculado (esforo cortante ou momento fletor, positivo ou negativo), conforme Fig. (3.22).

Lp = 31,68kN/mP = 100,44kNL

LP = 100,44kN

p = 31,68kN/mL

LP = 100,44kN

p = 31,68kN/mL

=2,6=4,1

x1

-

LIM

3S

b /l =-5,6c

cb=l =22,4m

a=0

l =5,6mb bl =5,6m

1,5m 1,5m

1,5m1,5m

1,5m1,5m

V +

-V

M -

=0,183=0,116

=0,85=0,925

+ LIV

l /l =0,25b c

c b/l =1

+

-

b-l /l =-0,25cLIV

Figura 3.22 Linhas de Influncia para a seo 3 direita.


( )3 0,25 5,6 1,0 22, 431,68 100,44 1,0+0,925+0,85 =655,71kN2 2q Dm mV + = + +

,

( )3 0,25 5,631,68 100,44 0,25+0,183+0,116 = 77,32kN2q DV

= +

,

3 0q DM+

= ,

( )3 5,6m 5,631,68 +100,44 5,6+4,1+2,6 = 1732,15kN.m2q DM

=

.



Seo 4S : Neste caso, a posio mais desfavorvel depende do esforo a ser calculado (esforo cortante ou momento fletor, positivo ou negativo), conforme Fig. (3.23).

=0,75=0,825

-M

V -

+V

1,5m 1,5m

1,5m 1,5m

1,5m1,5m

+ LIV

l /l =0,25b c

c b/l =0,9

+

-

b-l /l =-0,25c

c/l =-5,04b

LIV

LIM-

x

=3,96=2,34

1,5m1,5m

M+

a = 2,24m

S4

b = 20,16m

-

-a/l =-0,1c

+-

=1,866=1,716

c ab/l =2,016

c -al /l =-0,56b

p = 31,68kN/mLLp = 31,68kN/mLP = 100,44kN

P = 100,44kNL

Lp = 31,68kN/m p = 31,68kN/mL

p = 31,68kN/mLLp = 31,68kN/mP = 100,44kNL

P = 100,44kNL

Lp = 31,68kN/m

l =5,6mb l =22,4mcbl =5,6m

=0,116=0,183



( )4 0,25 5,6 0,9 20,1631,68 100,44 0,9+0,825+0,75 =558,17kN2 2qm mV + = + +

,

( )4 0,1 2,24 0, 25 5,631,68 100,44 0,25+0,183+0,116 = 80,87kN2 2qm mV = + +

,

( )4 22, 4 2,01631,68 100,44 2,016+1,866+1,716 =1277,57kN.m2qmM + = + ,

( )4 5,04 0,5631,68 5,6 100,44 5,04+3,69+2,34 = 1608,61kN.m2 2qM m

= + +

.




b -al /l =-1,12c

ab/l =3,584c=2,984

=3,284

-

+

c -a/l =-0,2-

5S

+M1,5m 1,5m

=2,08=3,28

x1

-

LIM

LIV

b -bl /l =-4,48c

-

+

b/l =0,8ccbl /l =0,25

LIV+

1,5m 1,5m

1,5m1,5m

1,5m1,5m

V +

-V

M -

=0,725=0,65

p = 31,68kN/mLP = 100,44kN

Lp = 31,68kN/mL

p = 31,68kN/mLLP = 100,44kN

Lp = 31,68kN/m

LP = 100,44kN

p = 31,68kN/mL

p = 31,68kN/mLP = 100,44kNL p = 31,68kN/mL

l =5,6mb cl =22,4m bl =5,6m

b = 17,92ma = 4,48m

b-l /l =-0,25c=0,183=0,116



( )5 0,25 5,6 0,8 17,9231,68 100,44 0,8+0,725+0,65 =467,72kN2 2qm mV + = + +

,

( )5 0,20 4, 48 0,25 5,631,68 100,44 0,25+0,183+0,116 = 89,10kN2 2qm mV = + +

,

( )5 22,40 3,58431,68 100,44 3,584+3,284+2,984 =2261,20kN.m2qmM + = + ,

( )5 4, 48 1,1231,68 5,6 100,44 4,48+3,28+2,08 = 1485,07kN.m2 2qM m

= + +

.




=0,55=0,625

-M

V -

+V

1,5m 1,5m

1,5m 1,5m

1,5m1,5m

+ LIV

l /l =0,25b cc b/l =0,7

+

-

c -bl /l =-3,92b

LIV

LIM-

1x

=2,87=1,82

1,5m1,5m

M+

S6

-

-a/l =-0,3c

+

-

=4,254=3,804

c ab/l =4,704

c -al /l =-1,68b

=0,225=0,15

p = 31,68kN/mLp = 31,68kN/mL

P = 100,44kNL

P = 100,44kNLLp = 31,68kN/m

p = 31,68kN/m p = 31,68kN/mLP = 100,44kN

P = 100,44kNL

Lp = 31,68kN/m p = 31,68kN/mL

L L

l =5,6mb l =22,4mc l =5,6mb

b = 15,68ma = 6,72m

b-l /l =-0,25c=0,183=0,116



( )6 0,25 5,6 0,7 15,6831,68 100,44 0,7+0,625+0,55 =384,36kN2 2qm mV + = + +

,

( )6 0,30 6,72 0,25 5,631,68 100,44 0,3+0,225+0,15 = 121,91kN2 2qm mV = + +

,

( )6 22,40 4,70431,68 100,44 4,704+4,254+3,804 =2950,87kN.m2qmM + = + ,

( )6 3,92 1,6831,68 5,6 100,44 3,92+2,87+1,82 = 1361,53kN.m2 2qM m

= + +

.




b -al /l =-2,24c

ab/l =5,376c=4,776

-

+

c -a/l =-0,4

-

7S

+M1,5m 1,5m

=1,56=2,46

x1

-

LIM

LIV

b -bl /l =-3,36c

-

+

b/l =0,6ccbl /l =0,25

LIV+

1,5m 1,5m

1,5m1,5m

1,5m1,5m

V +

-V

M -

=0,525=0,45

=0,325=0,25

=4,476

b = 13,44ma = 8,96m

l =5,6mb l =22,4mc l =5,6mb

P = 100,44kNL

LP = 100,44kN

P = 100,44kNL

LP = 100,44kNp = 31,68kN/mLLp = 31,68kN/m

Lp = 31,68kN/m Lp = 31,68kN/m

Lp = 31,68kN/m

Lp = 31,68kN/m

p = 31,68kN/mL

b-l /l =-0,25c=0,183=0,116



( )7 0,25 5,6 0,6 13,4431,68 100,44 0,6+0,525+0,45 =308,10kN2 2qm mV + = + +

,

( )7 0,40 8,96 0,25 5,631,68 100,44 0,4+0,325+0,25 = 176,88kN2 2qm mV = + +

,

( )7 22, 40 5,37631,68 100,44 4,476+5,376+4,776 =3376,73kN.m2qmM + = + ,

( )7 3,36 2, 2431,68 5,6 100,44 3,36+2,46+1,56 = 1237,99kN.m2 2qM m

= + +

.




=4,85

=0,35=0,425

=0,35=0,425

-M

V -

+V

1,5m 1,5m

1,5m 1,5m

1,5m1,5m

+ LIV

l /l =0,25b cc b/l =0,5

+

-

c -bl /l =-2,8b

LIV

LIM-

1x

=2,05=1,30

1,5m1,5m

M+

S8

-

-a/l = -0,5c

+

-

=4,85c ab/l =5,6

c -al /l =-2,8b

b = 11,20ma = 11,20m

l =5,6mb l =22,4mc l =5,6mb

p = 31,68kN/mL

p = 31,68kN/mLLP = 100,44kNp = 31,68kN/mL

Lp = 31,68kN/mP = 100,44kNL

p = 31,68kN/mP = 100,44kNL

p = 31,68kN/mL

Lp = 31,68kN/mLP = 100,44kN

b-l /l =-0,25c=0,183=0,116



( )8 0, 25 5,6 0,5 11, 231,68 100,44 0,5+0,425+0,35 =238,94kN2 2qm mV + = + +

,

( )8 0,50 11,2 0,25 5,631,68 100,44 0,5+0,425+0,35 = 238,94kN2 2qm mV = + +

,

( )8 22,4 5,631,68 100,44 4,85+5,0+4,85 =3342,91kN.m2qmM + = + ,

( )8 2,8 2,831,68 5,6 100,44 2,8+2,05+1,3 = 1114,45kN.m2 2qM m

= + +

.

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