Aplicação de TMD’s usando pisos adicionais · principalmente pelo apoio que me deram ao longo de todo o curso. ... de um modelo em elementos finitos. ... do primeiro modo de vibração

Aplicação de TMD’s usando pisos adicionais

Pedro Miguel Martins Parente

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões

Orientador: Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Vogal: Professor Doutor Mário Manuel Paisana dos Santos Lopes

Outubro 2013

v

Agradecimentos Gostaria de agradecer ao Professor Luís Guerreiro, por todo o conhecimento de Dinâmica Estrutural

cedido, toda a disponibilidade que teve para as inúmeras reuniões que tivemos, por me ter recebido

no seu gabinete para tirar dúvidas mesmo sem comunicação prévia, pela sua simpatia, sinceridade, e

paciência. Por toda a ajuda que me forneceu e que serviu de base para a realização desta

dissertação que tanto prazer me proporcionou.

À Professora Esperança, pelas bases de matemática que me ajudou a adquirir ao longo de 3 anos.

Ao Engenheiro Henrique Casquinha, por todo o conhecimento que me transmitiu ao longo de 4 anos

e por me ter ensinado a raciocinar de forma clara e eficaz.

Queria também expressar os meus mais sinceros agradecimentos aos meus pais, irmã e família, por

sempre me terem apoiado ao longo desta campanha que foi a minha vida como aluno e

principalmente pelo apoio que me deram ao longo de todo o curso. Por me terem ensinado a nunca

desistir e lutar por aquilo que sonho.

Aos meus amigos, agradeço a amizade, os bons momentos que me proporcionaram e pelo apoio

fornecido.

vi

vii

Aos meus pais e avós.

viii

ix

Resumo

Quando é necessário efetuar um reforço sísmico num edifício, uma forma inovadora de o fazer é

acrescer-lhe um piso adicional que funcione como tunned mass damper.

A presente dissertação tem como principal objetivo o estudo de pisos adicionais como TMD’s e a

avaliação das vantagens existentes em se optar por este tipo de reforço de edifícios.

Deste modo, procedeu-se à modelação de um edifício tipo e do mesmo mas adicionado de um piso

adicional de duas formas, a primeira a partir da formulação de osciladores lineares contínuos, e a

segunda partindo de um modelo em elementos finitos.

De seguida correu-se o modelo em elementos finitos com um conjunto de vários sismos. Concluiu-se

que a relação entre a massa do TMD e da estrutura principal deverá rondar os cinco por cento.

Com o objetivo de se deduzir qual o tipo de edifício que iria ter um melhor comportamento quando

possuísse um piso adicional no seu topo correram-se vários edifícios de alturas variáveis com os

sismos anteriores. Concluiu-se assim qual a frequência do primeiro modo de vibração ótima de um

edifício que iria possuir um melhor desempenho nas condições descritas.

Por fim dimensionou-se com relativo detalhe, o piso adicional do edifício com melhor desempenho.

Palavras-chave: reforço de edifícios, análise dinâmica, análise sísmica, amortecedores de massa

sintonizada, pisos adicionais, osciladores lineares contínuos.

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xi

Abstract When a building is in need of a seismic reinforcement an innovative way of preforming such

reinforcement is by adding to the building, an additional storey which will work as tunned mass

damper.

The main objective of this work is to present the study of additional storeys acting as TMD's and

evaluate the advantages in opting by this type of seismic reinforcement in buildings.

The idea was to create a model of a building with and without a TMD on its top. This was done in two

different ways. The first using the formulation of continuous linear oscillators, and the second with a

finite element model.

The finite element model was forced by a set of various earthquakes. Therefore deducing that the ratio

between the TMD’s mass and the main structure’s should be around five percent.

Several buildings of various heights were also ran with the previous earthquakes. It was concluded the

optimal first mode frequency of a building which would have the best performance under the

conditions described.

Finally the additional storey from the building which had best performance on the previous study was

designed with relative detail.

Keywords: buildings reinforcement, dynamic analysis, seismic analysis, tuned mass dampers,

additional storeys, continuous linear oscillators.

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Índice de matérias

AGRADECIMENTOS .............................................................................................................................. V

RESUMO ................................................................................................................................................ IX

ABSTRACT ............................................................................................................................................ XI

LISTA DE FIGURAS .............................................................................................................................XV

LISTA DE TABELAS ...........................................................................................................................XIX

LISTA DE VARIÁVEIS .........................................................................................................................XXI

NOTAÇÕES ...................................................................................................................................... XXIII

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 1

2. AMORTECEDORES DE MASSA SINTONIZADA (TMD- TUNNED MASS DAMPERS) .............. 5

3. O USO DE PISOS ADICIONAIS COMO TUNED MASS DAMPERS .......................................... 11

4. OSCILADORES LINEARES CONTÍNUOS .................................................................................. 13

4.1 MODELAÇÃO DE UM EDIFÍCIO ALTO ATRAVÉS DA FORMULAÇÃO DE OSCILADORES LINEARES CONTÍNUOS ............................ 23

4.2 MODELAÇÃO DE UM EDIFÍCIO COM TMD ATRAVÉS DA FORMULAÇÃO DE OSCILADORES LINEARES CONTÍNUOS .................... 28

5. ANÁLISE DA RESPOSTA DO CONJUNTO EDIFÍCIO E TMD A UM MOVIMENTO DO SOLO 35

5.1 RESPOSTA A UMA SOLICITAÇÃO HARMÓNICA COM BASE NO MODELO DE OSCILADORES CONTÍNUOS .................................. 36

5.1.1 RESPOSTA DA ESTRUTURA SEM TMD ................................................................................................................ 41

5.1.2 RESPOSTA DA ESTRUTURA COM TMD ............................................................................................................... 43

5.2 RESPOSTA COM BASE NUM MODELO EM ELEMENTOS FINITOS.................................................................................... 44

5.2.1 MODELAÇÃO DA ESTRUTURA PRINCIPAL............................................................................................................. 44

5.2.2 MODELAÇÃO DO PISO ADICIONAL (TMD) .......................................................................................................... 49

5.2.3 RESPOSTA DO MODELO EM ELEMENTOS FINITOS .................................................................................................. 54

5.3 COMPARAÇÃO DE RESULTADOS ENTRE A MODELAÇÃO COMO OSCILADOR CONTÍNUO E A MODELAÇÃO COMO ELEMENTOS

FINITOS ................................................................................................................................................................ 57

6. ANÁLISE DA RESPOSTA ÀS AÇÕES SÍSMICAS ..................................................................... 59

6.1 ANÁLISE PARAMÉTRICA À MASSA DO TMD ........................................................................................................... 63

6.2 SOLICITAÇÃO DE SISMOS A EDIFÍCIOS COM DIVERSAS ALTURAS ................................................................................... 70

6.3 DIMENSIONAMENTO DO PISO ADICIONAL DO EDIFÍCIO DE 12 PISOS ............................................................................ 80

6.3.1 CONTROLO DE DESLOCAMENTOS DO PISO ADICIONAL ........................................................................................... 80

6.3.2 DIMENSIONAMENTO DO PISO ADICIONAL E RESPETIVOS APOIOS .............................................................................. 84

7. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ............................................................... 93

7.1 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ........................................................................................................................... 96

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 97

ANEXOS................................................................................................................................................ 99

ANEXO 1 – MODOS DE VIBRAÇÃO DAS CAMADAS DE SOLO ................................................... 101

ANEXO 2 – MODOS DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD ........................................................ 103

ANEXO 3 – MODOS DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD ....................................................... 107

ANEXO 4 - CÁLCULO DOS FATORES DE PARTICIPAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD ................. 111

xiv

ANEXO 5 – CÁLCULO DOS FATORES DE PARTICIPAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD ................ 115

ANEXO 6 – RESPOSTA DO EDIFÍCIO SEM TMD ............................................................................ 119

ANEXO 7 – RESPOSTA DO EDIFÍCIO COM TMD............................................................................ 121

ANEXO 8 – SISMOS UTILIZADOS PARA AS ESTRUTURAS MODELADAS EM ELEMENTOS

FINITOS............................................................................................................................................... 123

xv

Lista de figuras

FIGURA 1-PONTE AKASHI KAIKYO (HTTP://FAMOUSWONDERS.COM/AKASHI-KAIKYO-SUSPENSION-BRIDGE) .................................. 1

FIGURA 2-HOTEL BURJ-AL-ARAB

(HTTP://WWW.EIKONGRAPHIA.COM/IMAGES/COPYRIGHT%20BURJ%20AL%20ARAB%20(2)%20S.JPG) ........................ 2

FIGURA 3-SPIRE OF DUBLIN (HTTP://TIMBARRON.NET/PHOTOGRAPHY/IRELAND-COUNTY_DUBLIN-DUBLIN-OCONNELL_STREET-

SPIRE_OF_DUBLIN_2.JPG) .................................................................................................................................... 2

FIGURA 4-MODELO DE UMA ESTRUTURA DE 1 GDL ACOPLADA DE UM TMD ........................................................................... 5

FIGURA 5 - TAIPEI 101 COM AMPLIAÇÃO DO TMD NO SEU TOPO (ADAPTADO DE

HTTP://UPLOAD.WIKIMEDIA.ORG/WIKIPEDIA/COMMONS/7/72/TMD%28SMALL%29.JPG?USELANG=PT E

HTTP://UPLOAD.WIKIMEDIA.ORG/WIKIPEDIA/COMMONS/C/C9/TAIPEI101.PORTRAIT.ALTONTHOMPSON.JPG)..................... 6

FIGURA 6-ESTRUTURA DO TMD LOCALIZADO NO TAIPEI 101 (ADAPTADO DE

HTTP://DAMIEN.DOUXCHAMPS.NET/MEDIA/PHOTO/_D2H4921/) .............................................................................. 7

FIGURA 7-MODO DE FUNCIONAMENTO DE UM TMD .......................................................................................................... 7

FIGURA 8-PRIMEIRO E SEGUNDO MODO DE UMA ESTRUTURA QUE POSSUA UM TMD SINTONIZADO PARA CONTROLAR OS

DESLOCAMENTOS DO SEU PRIMEIRO MODO .............................................................................................................. 8

FIGURA 9-ESQUEMA DE UM EDIFÍCIO QUE POSSUI UM PISO ADICIONAL COMO TMD ............................................................... 12

FIGURA 10-DEFORMAÇÃO DE UM EDIFÍCIO PORTICADO ..................................................................................................... 13

FIGURA 11-DEFORMAÇÃO DE UM EDIFÍCIO EM PAREDE ..................................................................................................... 14

FIGURA 12- ELEMENTO INFINITESIMAL DE UM OSCILADOR LINEAR QUE POSSUI DEFORMAÇÃO POR CORTE.................................... 15

FIGURA 13-MODELO ADOTADO PARA AS CAMADAS DE SOLO COM DEFORMAÇÃO POR CORTE.................................................... 18

FIGURA 14-PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DAS CAMADAS DE SOLO (F=1,03 HZ; P=6,46 RAD/S) ............................................. 22

FIGURA 15-SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO DAS CAMADAS DE SOLO (F=2,85 HZ; P=17,91 RAD/S) ........................................... 22

FIGURA 16-TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DAS CAMADAS DE SOLO (F=4,76 HZ; P=29,88 RAD/S) ........................................... 23

FIGURA 17-PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD (F=1,00 HZ; P=6,28 RAD/S) ............................................. 26

FIGURA 18-SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD (F=3,00 HZ; P=18,85 RAD/S) ........................................... 26

FIGURA 19-TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD (F=5,00 HZ; P=31,42 RAD/S) ............................................ 27

FIGURA 20-QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD (F=7,00 HZ; P=43,98 RAD/S) ............................................. 27

FIGURA 21-EDIFÍCIO COM UM PISO ADICIONAL MODELADO COM A FORMULAÇÃO DE OSCILADORES LINEARES COM DEFORMAÇÃO POR

CORTE EM QUE 1 REPRESENTA O EDIFÍCIO PRINCIPAL, 2 REPRESENTA OS APOIOS ELÁSTICOS DO PISO ADICIONAL E 3 REPRESENTA A

MASSA DO MESMO ............................................................................................................................................ 30

FIGURA 22-PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD (F=0,85 HZ; P=5,34 RAD/S) ............................................ 33

FIGURA 23-SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD (F=1,16 HZ; P=7,30 RAD/S) ............................................ 33

FIGURA 24-TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD (F=3,02 HZ; P=18,97 RAD/S) ........................................... 34

FIGURA 25-QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD (F=5,01 HZ; P=31,48 RAD/S) ............................................ 34

FIGURA 26- SOLICITAÇÃO HARMÓNICA CONSIDERADA COMO VIBRAÇÃO DE BASE PARA O MODELO DE OSCILADORES CONTÍNUOS ..... 35

FIGURA 27-REPRESENTAÇÃO NUM REFERENCIAL COMPLEXO DA FUNÇÃO H ........................................................................... 39

FIGURA 28-MODO DE CÁLCULO ADOTADO PARA AS GRANDEZAS EM CAUSA ........................................................................... 41

FIGURA 29-PLANTA DO EDIFÍCIO MODELADO EM SAP 2000 .............................................................................................. 45

FIGURA 30-EDIFÍCIO MODELADO EM SAP 2000 .............................................................................................................. 46

FIGURA 31-MODO 1 SEGUNDO Y DO EDIFÍCIO (F= 1,00 HZ; P=6,28 RAD/S) ........................................................................ 46

FIGURA 32-MODO 2 SEGUNDO Y DO EDIFÍCIO (F= 3,07 HZ; P=19,28 RAD/S) ...................................................................... 47

FIGURA 33-MODO 3 SEGUNDO Y DO EDIFÍCIO (F= 5,41 HZ; P= 34,02 RAD/S) ..................................................................... 47

FIGURA 34-MODO 4 SEGUNDO Y DO EDIFÍCIO (F=7,67 HZ; P=48,22 RAD/S) ....................................................................... 48

FIGURA 35-ALÇADO DO MODELO DO TMD EM SAP 2000 ................................................................................................ 50

FIGURA 36-MODELO DO TMD EM SAP 2000 ................................................................................................................ 51

FIGURA 37-MODELO EM SAP 2000 DO EDIFÍCIO SEM TMD À ESQUERDA E COM TMD À DIREITA ............................................. 51

FIGURA 38-MODO 1 SEGUNDO Y DO EDIFÍCIO COM TMD (F= 0,84 HZ; P= 5,28 RAD/S) ........................................................ 52

FIGURA 39-MODO 2 SEGUNDO Y DO EDIFÍCIO COM TMD (F= 1,18 HZ; P= 7,40 RAD/S) ........................................................ 52

xvi

FIGURA 40-MODO 3 SEGUNDO Y DO EDIFÍCIO COM TMD (F= 3,09 HZ; P= 19,42 RAD/S) ...................................................... 53

FIGURA 41-MODO 4 SEGUNDO Y DO EDIFÍCIO COM TMD (F= 5,42 HZ; P= 34,08 RAD/S) ...................................................... 53

FIGURA 42-SOLICITAÇÃO HARMÓNICA CONSIDERADA COMO VIBRAÇÃO DE BASE PARA O MODELO DE ELEMENTOS FINITOS .............. 54

FIGURA 43- LOCALIZAÇÃO DO NÓ 5 ............................................................................................................................... 55

FIGURA 44-DESLOCAMENTOS DO NÓ 5 DO EDIFÍCIO SEM TMD PARA A SOLICITAÇÃO HARMÓNICA SEGUNDO Y ............................ 55

FIGURA 45-DESLOCAMENTOS DO NÓ 5 DO EDIFÍCIO COM TMD PARA A SOLICITAÇÃO HARMÓNICA SEGUNDO Y ........................... 56

FIGURA 46-ZONAMENTO SÍSMICO CONSIDERADO PELO EC8 PARA O TERRITÓRIO PORTUGUÊS (EN 1998-1, 2010) ..................... 59

FIGURA 47- VALORES DA ACELERAÇÃO MÁXIMA DE REFERÊNCIA PARA OS DOIS TIPOS DE SISMOS NAS VÁRIAS ZONAS SÍSMICAS (EN

1998-1, 2010) ............................................................................................................................................... 60

FIGURA 48-TIPOS DE SOLO CONSIDERADOS PELO EC8 (EN 1998-1, 2010) ......................................................................... 60

FIGURA 49-ANÁLISE DE FOURIER DAS ACELERAÇÕES (FFT) ................................................................................................ 77

FIGURA 50-ANÁLISE DE FOURIER DAS ACELERAÇÕES AMPLIADA (FFT) .................................................................................. 78

FIGURA 51-ANÁLISE DE FOURIER DOS DESLOCAMENTOS (FFT) ........................................................................................... 79

FIGURA 52-ANÁLISE DE FOURIER DOS DESLOCAMENTOS AMPLIADA (FFT)............................................................................. 79

FIGURA 53-MODELO DO AMORTECEDOR ADOTADO PARA O SAP 2000 ............................................................................... 82

FIGURA 54-MODELO DO AMORTECEDOR AMPLIADO ......................................................................................................... 83

FIGURA 55-CARATERÍSTICAS ADOTADAS PARA OS AMORTECEDORES ..................................................................................... 83

FIGURA 56-DEFORMAÇÃO DAS BORRACHAS .................................................................................................................... 85

FIGURA 57-IMPEDIMENTO DA DEFORMAÇÃO DAS BORRACHAS ............................................................................................ 85

FIGURA 58-CAMADAS DE BORRACHAS ........................................................................................................................... 86

FIGURA 59-DEFORMAÇÃO DO APOIO FINAL CONSIDERADO PARA SUSTENTAR O PISO ADICIONAL ................................................ 86

FIGURA 60-PLANTA DO PISO ADICIONAL ......................................................................................................................... 89

FIGURA 61-CORTE A-A' DA ESTRUTURA DO PISO ADICIONAL .............................................................................................. 91

FIGURA 62-PLANTA DO PISO ADICIONAL ......................................................................................................................... 95

FIGURA 63-PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DAS CAMADAS DE SOLO (F=1,03 HZ; P=6,46 RAD/S) ........................................... 102

FIGURA 64-SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO DAS CAMADAS DE SOLO (F=2,85 HZ; P=17,91 RAD/S) ......................................... 102

FIGURA 65-TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DAS CAMADAS DE SOLO (F=4,76 HZ; P=29,88 RAD/S) ......................................... 102

FIGURA 66-PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD (F=1,00 HZ; P=6,28 RAD/S) ........................................... 104

FIGURA 67-SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD (F=3,00 HZ; P=18,85 RAD/S) ......................................... 104

FIGURA 68-TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD (F=5,00 HZ; P=31,42 RAD/S) .......................................... 104

FIGURA 69-QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD (F=7,00 HZ; P=43,98 RAD/S) ........................................... 105

FIGURA 70-PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD (F=0,85 HZ; P=5,34 RAD/S) .......................................... 108

FIGURA 71-SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD (F=1,16 HZ; P=7,30 RAD/S) .......................................... 108

FIGURA 72-TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD (F=3,02 HZ; P=18,97 RAD/S) ......................................... 108

FIGURA 73-QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD (F=5,01 HZ; P=31,48 RAD/S) .......................................... 109

FIGURA 74-RESPOSTA DO EDIFÍCIO SEM TMD PARA T=1,2 S ............................................................................................ 120

FIGURA 75- RESPOSTA DO EDIFÍCIO COM TMD PARA T=1,2 S .......................................................................................... 122

FIGURA 76-SISMO TIPO 1 NÚMERO 1 ZONA 1.3 SOLO B .......................................................................................................

FIGURA 77-SISMO TIPO 1 NÚMERO 2 ZONA 1.3 SOLO B ................................................................................................. 123








FIGURA 85-SISMO TIPO 1 NÚMERO 10 ZONA 1.3 SOLO B ............................................................................................... 126

FIGURA 86-SISMO TIPO 2 NÚMERO 1 ZONA 2.3 SOLO B .................................................................................................. 127



xvii







FIGURA 95-SISMO TIPO 2 NÚMERO 10 ZONA 2.3 SOLO B ................................................................................................ 130

xviii

xix

Lista de Tabelas

TABELA 1-CARATERÍSTICAS DAS CAMADAS DE SOLO .......................................................................................................... 20

TABELA 2-EXEMPLO DO CÁLCULO EFETUADO ................................................................................................................... 21

TABELA 3-MODOS DE VIBRAÇÃO PARA AS CAMADAS DE SOLO ............................................................................................. 21

TABELA 4-CARATERÍSTICAS DO EDIFÍCIO .......................................................................................................................... 25

TABELA 5-FREQUÊNCIAS DOS MODOS DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD .......................................................................... 25

TABELA 6-CARATERÍSTICAS ADOTADAS PARA CADA CAMADA DE MATERIAL ............................................................................ 30

TABELA 7-EXEMPLO DO CÁLCULO EFETUADO ................................................................................................................... 32

TABELA 8-FREQUÊNCIAS DOS MODOS DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD ......................................................................... 32

TABELA 9-FATORES DE PARTICIPAÇÃO DA ESTRUTURA SEM TMD ........................................................................................ 42

TABELA 10-RESTANTES GRANDEZAS CALCULADAS PARA CADA MODO DA ESTRUTURA SEM TMD ................................................ 42

TABELA 11-FATORES DE PARTICIPAÇÃO DA ESTRUTURA COM TMD ...................................................................................... 43

TABELA 12-RESTANTES GRANDEZAS CALCULADAS PARA CADA MODO DA ESTRUTURA COM TMD ............................................... 43

TABELA 13-FREQUÊNCIAS DE CADA MODO NAS DUAS DIREÇÕES DA ESTRUTURA SEM TMD ...................................................... 48

TABELA 14-COMPARAÇÃO DE FREQUÊNCIAS ENTRE AMBOS OS MODELOS ............................................................................. 49

TABELA 15-COMPARAÇÃO DE FREQUÊNCIAS ENTRE AMBOS OS MODELOS ............................................................................. 54

TABELA 16-COMPARAÇÃO DE RESULTADOS ENTRE AMBOS OS MODELOS ............................................................................... 57

TABELA 17-RESULTADOS OBTIDOS PARA O EDIFÍCIO DE 20 PISOS SISMOS TIPO 1..................................................................... 61

TABELA 18-RESULTADOS OBTIDOS PARA O EDIFÍCIO DE 20 PISOS SISMOS TIPO 2..................................................................... 62

TABELA 19-CARATERÍSTICAS DO EDIFÍCIO SEM TMD DE 20 PISOS ........................................................................................ 63

TABELA 20-CARATERÍSTICAS CALCULADAS PARA CADA TIPO DE RELAÇÃO ENTRE A MASSA DO TMD E A DO EDIFÍCIO ...................... 64

TABELA 21-RESULTADOS OBTIDOS PARA O SISMO TIPO 1 MTMD=1% MESTRUTURA ............................................................ 65

TABELA 22-RESULTADOS OBTIDOS PARA O SISMO TIPO 2 MTMD=1% MESTRUTURA ............................................................ 65

TABELA 23-RESULTADOS OBTIDOS PARA O SISMO TIPO 1 MTMD=2,5% MESTRUTURA ......................................................... 66




TABELA 27-RESULTADOS OBTIDOS PARA O SISMO TIPO 1 MTMD=10% MESTRUTURA .......................................................... 68

TABELA 28-RESULTADOS OBTIDOS PARA O SISMO TIPO 2 MTMD=10% MESTRUTURA .......................................................... 68

TABELA 29-RESULTADOS OBTIDOS PARA O SISMO TIPO 1 MTMD=12,5% MESTRUTURA ....................................................... 69

TABELA 30-RESULTADOS OBTIDOS PARA O SISMO TIPO 2 MTMD=12,5% MESTRUTURA ....................................................... 69

TABELA 31- RESULTADOS OBTIDOS RESUMIDOS ............................................................................................................... 70

TABELA 32-CARATERÍSTICAS CALCULADAS PARA OS VÁRIOS EDIFÍCIOS ................................................................................... 71

TABELA 33-RESULTADOS OBTIDOS PARA O SISMO TIPO 1 EDIFÍCIO DE 16 PISOS ...................................................................... 72




TABELA 37-RESULTADOS OBTIDOS PARA O SISMO TIPO 1 EDIFÍCIO DE 8 PISOS ........................................................................ 74




TABELA 41-RESULTADOS OBTIDOS RESUMIDOS PARA OS VÁRIOS EDIFÍCIOS ............................................................................ 76

TABELA 42-RESULTADOS OBTIDOS PARA OS DESLOCAMENTOS DO PISO ADICIONAL .................................................................. 84

TABELA 43-RESULTADOS OBTIDOS PARA AS DIMENSÕES DOS APOIOS DO PISO ADICIONAL ......................................................... 87

TABELA 44-MODOS DE DEFORMAÇÃO DAS CAMADAS DE SOLO ......................................................................................... 101

TABELA 45-MODOS DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD ............................................................................................... 103

TABELA 46-MODOS DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD .............................................................................................. 107

TABELA 47-CÁLCULO DO FATOR DE PARTICIPAÇÃO E MASSA MODAL DO PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD .... 111

xx

TABELA 48-CÁLCULO DO FATOR DE PARTICIPAÇÃO E MASSA MODAL DO SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD .... 112

TABELA 49-CÁLCULO DO FATOR DE PARTICIPAÇÃO E MASSA MODAL DO TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD ..... 113

TABELA 50-CÁLCULO DO FATOR DE PARTICIPAÇÃO E MASSA MODAL DO QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO SEM TMD ...... 114

TABELA 51-CÁLCULO DO FATOR DE PARTICIPAÇÃO E MASSA MODAL DO PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD .... 115

TABELA 52-CÁLCULO DO FATOR DE PARTICIPAÇÃO E MASSA MODAL DO SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD.... 116

TABELA 53-CÁLCULO DO FATOR DE PARTICIPAÇÃO E MASSA MODAL DO TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD .... 117

TABELA 54-CÁLCULO DO FATOR DE PARTICIPAÇÃO E MASSA MODAL DO QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO DO EDIFÍCIO COM TMD ..... 118

TABELA 55-RESPOSTA DO EDIFÍCIO SEM TMD À VIBRAÇÃO DE BASE PARA VÁRIOS INSTANTES ................................................. 119

TABELA 56-VALORES DE YN PARA CADA MODO PARA VÁRIOS INSTANTES DO EDIFÍCIO SEM TMD ............................................. 120

TABELA 57- RESPOSTA DO EDIFÍCIO COM TMD À VIBRAÇÃO DE BASE PARA VÁRIOS INSTANTES ................................................ 121

TABELA 58- VALORES DE YN PARA CADA MODO PARA VÁRIOS INSTANTES DO EDIFÍCIO COM TMD ........................................... 122

xxi

Lista de variáveis

MTMD - representa a massa adicional do TMD;

KTMD - representa a rigidez das molas que suportam a estrutura do TMD;

MEstrutura Principal - representa a massa da estrutura principal;

KEstrutura Principal - representa a rigidez ao longo da estrutura principal;

𝑥 – Eixo principal da barra;

𝑡 – Unidades de tempo;

𝑢(𝑥, 𝑡) – Deslocamento ao longo do eixo perpendicular ao eixo principal da barra;

𝑉(𝑥, 𝑡) – Esforço transverso da barra;

𝜌 – Densidade volúmica da barra;

𝐴(𝑥) – Área transversal da barra;

𝑚(𝑥) – Massa por unidade de comprimento da barra [𝑚(𝑥) = 𝜌𝐴(𝑥)];

G - Módulo de distorção da barra ou do apoio;

A’ - Área de corte da barra;

𝑝 - Frequência angular da estrutura;

f – Frequência escalar da estrutura;

�̅�(𝑥) – Configuração deformada da barra;

𝑌(𝑡) – Variação no tempo da barra;

�̇�(𝑡) – Primeira derivada de 𝑌(𝑡);

�̈�(𝑡) – Segunda derivada de 𝑌(𝑡);

C0 - Velocidade de propagação de ondas elásticas transversais;

𝛾 − Peso volúmico da camada;

𝑉 − Volume da camada 𝑉 = 𝐴′ × 𝐿;

𝑔 − Aceleração gravítica;

𝐿 − Comprimento da camada;

𝑝𝑛 – Frequência angular do modo n da estrutura;

Ynx - componente da linha n e coluna x da matriz;

𝐺𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑇𝑀𝐷 – Módulo de distorção da zona referente à massa do TMD;

h – Altura dos apoios do TMD;

𝑀 – Massa do TMD;

xxii

𝐺𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 – Módulo de distorção final dos apoios elásticos do TMD;

𝛾𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠 – Peso volúmico final dos apoios;

�̈�𝑠𝑜𝑙𝑜- Aceleração de base;

�̅�𝑛(𝑥) – Configuração deformada do modo n;

𝐹𝑃𝑛 −Fator de participação do modo n;

𝑀𝑛 −Massa modal do modo n;

c - Coeficiente de amortecimento da estrutura;

k - Rigidez da estrutura;

�̈� - Aceleração da estrutura;

�̇� - Velocidade da estrutura;

𝑥 - Deslocamento da estrutura;

�̈�𝑠 - Aceleração do solo;

𝜉 – Coeficiente de amortecimento;

𝑤 - Frequência angular de excitação;

A - Amplitude do sinal harmónico de excitação;

�̅� - Relação entre a frequência de excitação e a frequência da estrutura;

Im - Parte imaginária do vetor;

Re - Parte real do vetor;

ρ - Comprimento do vetor;

φ - Ângulo de fase da estrutura, dá-nos o desfasamento entre a solicitação e a reação da estrutura;

𝛽1 - Coeficiente de amplificação dinâmica;

𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) – Resposta modal da estrutura (modo n);

𝑌𝑛(𝑡) – Função que dá a resposta modal, em função do tempo, da estrutura;

∆𝑧 - Intervalo de alturas na qual a estrutura foi discretizada;

𝐸 – Módulo de elasticidade do material;

𝑀𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑑𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜 – Massa total da laje do edifício;

𝑀𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 – Massa total da laje do piso adicional;

agR - Aceleração máxima de referência do solo;

𝜈𝑠30 – Velocidade média das ondas de corte;

NSPT – Número de pancadas do ensaio SPT;

xxiii

cu – Resistência não drenada do solo;

∆𝑓 – Intervalo de frequências;

∆𝑡 – Intervalo de tempo;

𝜈 - Coeficiente de poisson;

𝑝𝑑 - Frequência angular amortecida da estrutura;

D – Diâmetro da seção do apoio do piso adicional.

Notações

EC8 – EN 1998 – 1;

RSA – Regulamento de Segurança e Ações.

TMD – Tuned Mass Damper (Amortecedor de massa sintonizada);

FFT – Fast Fourier Transformation.

xxiv

1

1. Introdução

O controlo de vibrações na indústria da engenharia tem-se tornado num fator com cada vez maior

importância nas últimas décadas. O estudo e a consequente utilização de dispositivos que efetuem o

controlo dessas vibrações é, no presente, uma boa solução. O uso de, tuned mass dampers ou de

tuned liquid dampers para restringirem vários tipos de vibrações mecânicas nos projetos de

engenharia tornou-se numa opção com cada vez maior peso. Quer na indústria da aviação,

automóvel, construção ou mesmo na indústria eletrónica o uso desses dispositivos com o objetivo de

realizar esse tipo de controlo tem proporcionado resultados credíveis e que justificam a continuidade

e mesmo o aumento da sua utilização.

Na engenharia civil, o comportamento dinâmico de uma estrutura é um capítulo de um projeto que

carece de um enorme e aprofundado estudo. Por vezes existem estruturas que, por serem

relativamente flexíveis, quando solicitadas por ações dinâmicas como por exemplo o vento, um sismo

ou até mesmo a passada de peões demonstram possuírem deslocamentos ou vibrações quer

horizontais quer verticais que ou provocam deficientes níveis de conforto nos seres humanos que as

utilizam, ou simplesmente são tão elevados que colocam em risco a segurança estrutural das

mesmas.

Isto acontece porque a frequência natural de um ou mais modos de vibração da estrutura em causa é

solicitada pelo vento, sismo, ou passada de peões com uma frequência que faz com que a estrutura

tenda a entrar em ressonância.

Na ponte Akashi Kaikyo, localizada no Japão, com cerca de 3,9 km de comprimento, por ser uma

ponte suspensa metálica com relativa baixa rigidez foram adotados um total de 20 tunned mass

dampers em cada torre para controlo de vibrações horizontais das mesmas quando sujeitas às ações

do vento e sísmicas.

Figura 1-Ponte Akashi Kaikyo (http://famouswonders.com/akashi-kaikyo-suspension-bridge)

2

No hotel Burj-al-Arab, localizado em Dubai, Emirados Árabes Unidos, com 280 metros de altura, para

controlo de vibrações horizontais causadas pelo vento, foram instalados nos seus braços metálicos

11 tuned mass dampers com 5 toneladas de peso cada de forma a serem controladas frequências

entre os 0,75 Hz e os 2 Hz.

Figura 2-Hotel Burj-al-Arab (http://www.eikongraphia.com/images/Copyright%20Burj%20Al%20Arab%20(2)%20S.jpg)

O monumento Spire of Dublin, com 121,2 metros de altura, a cerca de 70 metros de altura possui dois

tuned mass dampers um com 1250 kg de massa, outro com 800 kg, para garantir a sua estabilidade

aerodinâmica quando solicitado por uma tempestade de vento.

Figura 3-Spire of Dublin (http://timbarron.net/photography/ireland-county_dublin-dublin-oconnell_street-

spire_of_dublin_2.jpg)

http://www.eikongraphia.com/images/Copyright%20Burj%20Al%20Arab%20(2)%20S.jpg

http://timbarron.net/photography/ireland-county_dublin-dublin-oconnell_street-spire_of_dublin_2.jpg


3

Como se pode constatar pelos exemplos apresentados, são vários os tipos de estruturas nas quais se

podem adotar TMD’s para controlo de vibrações.

Uma solução possível para adoção de um dispositivo de massa sintonizada será utilizar o TMD como

piso adicional no topo de um edifício alto. Este inovador tipo de TMD possui a vantagem de permitir

que o mesmo se encontre aplicado no local onde existem as maiores deformações da estrutura

principal permitindo-lhe possuir um maior efeito na mesma. Este tipo de solução irá ser estudado com

grande detalhe ao longo desta dissertação.

O presente trabalho tem como principal objetivo o estudo de pisos adicionais como TMD’s e a

avaliação das vantagens existentes em se optar por este tipo de reforço sísmico de edifícios.

Assim, o estudo efetuado é constituído pelos seguintes pontos:

No capítulo 4 procedeu-se à modelação de um edifício alto com e sem um TMD no seu topo a

partir da formulação de osciladores lineares contínuos;

No capítulo 5.2 foi efetuada a modelação do mesmo edifício com e sem um TMD no seu topo

a partir de um modelo em elementos finitos;

No capítulo 5.3 procedeu-se à comparação de resultados entre ambos os modelos a partir da

análise das suas respostas a uma vibração de base;

No capítulo 6 retiraram-se conclusões relativamente à vantagem em se adotar um piso

adicional nas condições em estudo com base na resposta do modelo em elementos finitos a

várias solicitações sísmicas;

No capítulo 6.3 procedeu-se ao dimensionamento do piso adicional.

4

5

2. Amortecedores de massa sintonizada (TMD- tunned mass dampers)

A vibração e os deslocamentos horizontais provocados pela ação sísmica num edifício são muito

relevantes em termos de segurança estrutural. De forma a reduzir, e também controlar o nível de

vibração/deslocamentos da estrutura existem várias formas de o fazer. Uma forma possível será

aumentando o amortecimento da mesma. Outra forma de o fazer é a partir da introdução de

dispositivos de controlo de vibrações. Como exemplo destes aparelhos para controlo de vibrações

existem os tuned liquid dampers (amortecedores de liquido viscoso sintonizado), tuned mass

dampers (amortecedores de massa sintonizada) também conhecidos como harmonic absorvers, entre

outros.

Nesta dissertação foi estudada uma aplicação específica de tuned mass dampers (TMD’s) que

efetuam o controlo de vibrações horizontais em edifícios relativamente altos.

Um TMD é um dispositivo constituído por uma massa indeformável fixada à estrutura por um meio

elástico flexível (geralmente molas) e por um amortecedor disposto em paralelo com a mola, este

último com o objetivo de controlar os deslocamentos do aparelho TMD.

Estes dispositivos podem ser utilizados em vários tipos de estruturas. Exemplos clássicos da sua

utilização são em estruturas como viadutos, pontes, edifícios altos, entre outros.

Nesta dissertação estudar-se-á a utilização de um piso adicional como sistema de TMD a utilizar num

edifício relativamente alto. No topo do edifício é adicionado um piso assente sobre uma base flexível

por forma a funcionar como um grau de liberdade adicional da estrutura principal. Na figura 4 pode

ser visualizado o modelo de uma estrutura acoplada de um TMD no seu topo.

Figura 4-Modelo de uma estrutura de 1 GDL acoplada de um TMD

Em que:

MTMD - representa a massa adicional do TMD;

KTMD - representa a rigidez das molas que suportam a estrutura do TMD;

6

MEstrutura Principal - representa a massa da estrutura principal;

KEstrutura Principal - representa a rigidez ao longo da estrutura principal.

Um exemplo clássico e muito famoso deste tipo de aparelhos é o que se encontra instalado no

edifício Taipei 101 localizado em Taipei, Taiwan. Este edifício tem cerca de 509,2 metros de altura,

constituído por 101 pisos acima do solo e 5 abaixo do mesmo. Entre o 92º e o 87º andar, o edifício

possui o maior e mais pesado tuned mass damper do mundo com um peso total de 660 toneladas e

com um custo de aproximadamente 4 milhões de dólares americanos. O fato de possuir, no seu

interior, este dispositivo de caraterísticas excecionais e a sua qualidade estrutural permitem que este

edifício consiga resistir a tufões com ventos com velocidades de aproximadamente 216 quilómetros

por hora e a sismos de magnitude elevadíssima com um período de retorno de aproximadamente

2500 anos.

Figura 5 - Taipei 101 com ampliação do TMD no seu topo (Adaptado de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/TMD%28small%29.jpg?uselang=pt e

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Taipei101.portrait.altonthompson.jpg)

7

O dispositivo em causa ampliado pode ser visualizado na figura 6.

Figura 6-Estrutura do TMD localizado no Taipei 101 (Adaptado de http://damien.douxchamps.net/media/photo/_d2h4921/)

Uma vez que o meio onde a massa do tuned mass damper se encontra apoiada é um meio muito

flexível, quando a estrutura principal é solicitada e se movimenta numa determinada direção, pela lei

da inércia, a massa do tuned mass damper tem tendência a continuar em repouso, estando o

movimento desta assim desfasado em relação ao da estrutura principal, se o tuned mass damper se

encontrar sintonizado, este desfasamento irá ser de tal ordem que as vibrações da estrutura principal

são reduzidas. Assim, quando o oscilador principal é solicitado, o TMD produz forças de inércia

proporcionais à massa do aparelho, que irão exercer uma reação no sistema de sentido contrário ao

movimento da estrutura principal. O resultado obtido irá ser uma diminuição dos deslocamentos da

estrutura principal, por transferência de energia do oscilador principal para o secundário, e uma

tendência para aumentar dos deslocamentos do TMD. Estes posteriormente terão de ser controlados

utilizando amortecedores como foi referido anteriormente.

Figura 7-Modo de funcionamento de um TMD

8

O dimensionamento do TMD consiste simplesmente em igualar a frequência do mesmo com a

frequência do modo da estrutura que se pretende controlar.

Uma das variáveis em causa é a massa que o TMD irá possuir de forma a ter o efeito na estrutura

principal que se deseja, normalmente esta deve rondar os 2 a 10% (Antunes, 2006) da massa da

estrutura principal de forma que o TMD seja eficaz. Por um lado o valor da massa do TMD não deve

ser demasiadamente elevado para não exercer carregamento estático relevante para a mesma, por

outro não ser muito baixo de forma a ter efeito na estrutura principal. Nesta dissertação ir-se-á fazer

um estudo detalhado acerca dos valores mais aconselháveis para a massa do TMD relativamente à

massa da estrutura principal em estudo.

Determinada a massa necessária para o TMD, calcula-se de seguida a rigidez da mola para que a

frequência do TMD seja a exigida (igual à frequência do modo da estrutura principal que queremos

controlar). Quando uma estrutura se encontra sintonizada com um TMD para uma dada frequência de

um dado modo de vibração da estrutura principal, a estrutura total irá possuir uma frequência do

primeiro modo um pouco inferior e uma frequência do segundo modo um pouco superior à frequência

para qual o TMD foi sintonizado e original da estrutura principal. Por fim estuda-se o amortecimento

necessário para controlo de vibrações do sistema secundário TMD.

Os TMD’s devem ser aplicados nos pontos críticos da estrutura principal isto é, deverão estar

localizados nos pontos das configurações modais (para as quais queremos que o TMD fique

sintonizado) onde ocorrem as maiores amplitudes de deformação. Daí normalmente num edifício alto,

o TMD encontra-se localizado no topo do mesmo visto estar sintonizado para controlar os

movimentos do primeiro modo da estrutura principal e ser no seu topo que os maiores deslocamentos

se verificam. Neste caso, quando o TMD se encontra sintonizado para controlar os deslocamentos do

primeiro modo da estrutura principal, o simétrico do primeiro e o segundo modo da estrutura já com

TMD irão ser excitados (ou vice-versa). Na figura 8 encontram-se ilustrados de forma qualitativa o

primeiro e segundo modo de uma estrutura acoplada de um TMD sintonizado para controlar as

vibrações do seu primeiro modo de vibração.

Figura 8-Primeiro e segundo modo de uma estrutura que possua um TMD sintonizado para controlar os deslocamentos do

seu primeiro modo

9

De salientar que se as frequências de modos consecutivos forem afastadas o suficiente é possível

adotar vários sistemas TMD na mesma estrutura. Cada sistema TMD controlará os deslocamentos

provocados pela excitação de um dado modo de vibração, aumentando assim a gama de frequências

de excitação de forma que as vibrações possam ser ainda mais controladas. Normalmente,

dimensionando o TMD para o primeiro modo, é suficiente para que se obtenha um controlo de

vibrações/deslocamentos satisfatório uma vez que frequentemente o primeiro modo do edifício em

causa é o que possui uma maior participação na vibração global da estrutura.

10

11

3. O uso de pisos adicionais como Tuned Mass Dampers

Por vezes existem edifícios em que é necessário proceder-se ao seu reforço sísmico. Isto pode

acontecer por várias razões:

O edifício degradou-se ao longo do tempo;

A função do edifício ter sido alterada para outra, esta que possua maiores exigências de

controlo de vibrações;

Alteração dos regulamentos, nomeadamente quando certos procedimentos eram, à luz do

regulamento anterior (RSA) seguros, já não o são no atual regulamento (EC8);

Por simplesmente se constatar que o edifício não possui segurança sísmica.

Este processo de reforço sísmico poderá ser feito de várias formas. A mais usual é intervir

diretamente na sua estrutura, reforçando os elementos principais que absorvem a solicitação de um

sismo, pilares, paredes, vigas, sapatas. Uma outra forma é a introdução de sistemas de proteção

sísmica que reduzam a resposta do edifício a este tipo de ação. A solução proposta nesta dissertação

de utilizar um piso adicional como TMD enquadra-se numa abordagem inovadora de proteção

sísmica numa tentativa de controlar a resposta dinâmica do edifício.

O fato do piso adicional estar construído no topo do edifício é uma vantagem já que, como foi referido

anteriormente, um TMD deverá estar aplicado no ponto de amplitude máxima de deformação do

modo para o qual está sintonizado. Ora o piso adicional supostamente irá estar sintonizado para

controlar os deslocamentos do primeiro modo de vibração do edifício e é no topo do mesmo que

ocorrem as maiores deformações do seu primeiro modo.

Este irá estar ligado à estrutura principal por meio de apoios que funcionarão como as já referidas

molas elásticas. Este facto limita de certa forma a funcionalidade do piso adicional uma vez que é

complicado que um elemento como um elevador vindo da estrutura principal seja ligado ao mesmo, e

por isso é mais aconselhável que seja acedido por escadas.

12

Na figura 9 encontra-se esquematizada a localização do piso adicional e os seus constituintes.

Figura 9-Esquema de um edifício que possui um piso adicional como TMD

O piso adicional irá estar apoiado num determinado número de apoios elásticos como se mostra na

figura 9. Os apoios do piso adicional poderão ser de vários tipos, de neoprene, de borracha natural,

de borracha com núcleo de chumbo, de borracha de alto amortecimento (todos estes tipos de apoios

deformar-se-ão por distorção) ou molas. Nesta dissertação optou-se apenas por estudar apoios em

neoprene.

O piso adicional que foi estudado nesta dissertação é constituído por duas lajes espaçadas por um

determinado valor de pé direito e que irão constituir a maior parte da massa do TMD. Toda a outra

restante massa poderá ser materializada pelas paredes interiores ou até a partir equipamentos fixos

que terão como único objetivo de funcionarem como massas adicionais. A subestrutura estudada

possuirá igual pé direito e secção de vigas e pilares iguais às da estrutura principal. Os

amortecedores para controlo dos deslocamentos do piso adicional irão estar localizados na interface

entre a superfície superior do edifício e a superfície inferior da laje do piso adicional.

13

4. Osciladores Lineares contínuos

A análise dinâmica de uma estrutura normalmente, e por simplicidade é feita dando uso a modelos

discretos. Estes são modelos nos quais se concentra parte da massa da estrutura num respetivo

número de pontos, dando origem a modelos com um número de graus de liberdade igual ao número

de massas considerado. Uma alternativa mais complexa é efetuar-se o estudo da estrutura utilizando

modelos contínuos, ou seja modelos com infinitos graus de liberdade.

Neste caso efetuou-se o estudo de osciladores lineares contínuos que possuam apenas deformação

por corte. Isto foi feito, com o intuito de posteriormente ser feita a passagem para os edifícios que são

estruturalmente caracterizados como sendo porticados ou seja que, quando solicitados

dinamicamente, possuem uma deformada semelhante a uma deformada por corte de um oscilador

contínuo. O simples fato de um edifício possuir uma deformada análoga a uma deformada típica de

corte permite-nos modelar o mesmo utilizando a teoria de osciladores lineares contínuos que

possuem deformação por corte.

Uma deformada deste tipo é definida como sendo uma deformada na qual os deslocamentos relativos

entre pisos diminuem em altura. Os mesmos deslocamentos diminuem em altura pois os pilares

inferiores têm de suportar maiores níveis de carga que os pilares superiores (ver figura 10). Os pares

de forças às quais os pilares que constituem o primeiro piso estão sujeitos são iguais a nF dividida

pelo número de pilares do alinhamento desse piso. Essa mesma força irá diminuir à medida que se

analisam pisos superiores, daí o fato de a respetiva deformação também diminuir em altura.

Figura 10-Deformação de um edifício porticado

14

A deformada de um edifício inversa à deformada por corte é a deformada de flexão, ou de um edifício

em parede nas quais os deslocamentos relativos entre pisos aumentam em altura ao invés de

diminuírem.

Neste caso, em vez de o mesmo ser modelado como um oscilador linear com deformação por corte,

será modelado como um oscilador linear com deformação por flexão (ver figura 11).

Figura 11-Deformação de um edifício em parede

15

A formulação matemática do problema de um oscilador linear contínuo com deformação por corte é

feita com base no equilíbrio de forças de uma parcela infinitesimal de uma barra sujeita apenas à

referida deformação por corte. A partir daí podem ser tiradas as frequências e configurações modais

dos infinitos modos de vibração. A formulação pode ser consultada na publicação Guerreiro,L.

Osciladores lineares contínuos, 1999.

Figura 12- Elemento infinitesimal de um oscilador linear que possui deformação por corte

Pelo equilíbrio da parcela infinitesimal da figura 12 chega-se à equação (1).

−𝑉(𝑥, 𝑡) − 𝑚(𝑥)

𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2𝑑𝑥 + 𝑉(𝑥, 𝑡) +

𝜕𝑉(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥𝑑𝑥 = 0

(1)

Em que:

𝑥 – Eixo principal da barra;

𝑡 – Unidades de tempo;

𝑢(𝑥, 𝑡) – Deslocamento ao longo do eixo perpendicular ao eixo principal da barra;

𝑉(𝑥, 𝑡) – Esforço transverso da barra;

𝜌 – Densidade volúmica da barra;

16

𝐴(𝑥) – Área transversal da barra;

𝑚(𝑥) – Massa por unidade de comprimento da barra [𝑚(𝑥) = 𝜌𝐴(𝑥)];

𝑚(𝑥)𝜕2𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡2 – Força de Inércia.

Simplificando a equação anterior impondo a relação força-deformação descrita em (2),

𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝐺𝐴′(𝑥)

𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥 (2)

Em que:

G - Módulo de distorção da barra;

A’ - Área de corte da barra.

Obtém-se uma forma diferente de expressar a equação descrita em (1).

−𝑚(𝑥)

𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2+𝜕

𝜕𝑥[𝐺𝐴′(𝑥)

𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥] = 0 (3)

Separando a parcela 𝑢(𝑥, 𝑡) em duas componentes, representando uma delas a configuração

deformada e a outra a variação no tempo,

𝑢(𝑥, 𝑡) = �̅�(𝑥)𝑌(𝑡) (4)

Assumindo as seguintes características para Y(t) e as seguintes manipulações matemáticas:

𝑌(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑡) (5)

�̇�(𝑡) = 𝑝𝑐𝑜𝑠(𝑝𝑡) (6)

�̈�(𝑡) = −𝑝2𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑡) = −𝑝2𝑌(𝑡) (7)

17

𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2= �̅�(𝑥)�̈�(𝑡) = −�̅�(𝑥)𝑝2𝑌(𝑡) (8)

𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= �̅�′(𝑥)𝑌(𝑡) (9)

𝑚(𝑥)�̅�(𝑥)𝑝2𝑌(𝑡) +

𝜕

𝜕𝑥[𝐺𝐴′(𝑥)�̅�′(𝑥)𝑌(𝑡)] = 0 (10)

Em que:

𝑝 - Frequência angular da estrutura.

E impondo que a barra é uniforme ou seja, possui densidade e características mecânicas constantes

ao longo do eixo e que a sua secção transversal é também constante então a equação 3 toma a

seguinte forma:

𝑚�̅�(𝑥)𝑝2𝑌(𝑡) + 𝐺𝐴′�̅�′′(𝑥)𝑌(𝑡) = 0 (11)

A variável Y(t) não poderia ser eliminada da equação 11 pois pode tomar o valor de zero. Mas

quando Y(t)=0 estamos perante uma situação de carater estático não existindo qualquer movimento

dinâmico na estrutura. Esse caso não é objeto de estudo nesta dissertação.

Desta forma, eliminando a variável Y(t) da expressão, chega-se a uma nova equação a qual apenas

depende da variável que representa a deformada da estrutura.

𝑚�̅�(𝑥)𝑝2 + 𝐺𝐴′�̅�′′(𝑥) = 0 (12)

Dividindo tudo por GA’ chega-se à equação (13).

�̅�′′(𝑥) +

𝑚𝑝2

𝐺𝐴′�̅�(𝑥) = 0 (13)

18

Inserindo na equação (13) a constante C0 designada de velocidade de propagação de ondas elásticas

transversais (expressão (14)) (Guerreiro, 1999), obtém-se a equação de equilíbrio (15).

𝐶0 = √𝐺𝐴′

𝑚 (14)

A resolução da equação (15) conduz a um problema de valores e vetores próprios com a solução

geral apresentada na expressão (16):

�̅�(𝑥) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (

𝑝

𝐶0𝑥) + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 (

𝑝

𝐶0𝑥) (16)

Na equação (16), as constantes A e B podem ser obtidas impondo as respetivas condições de

fronteira do caso em estudo.

A título de exemplo, e como acessório para posteriormente se passar para a real formulação do

problema em causa, resolver-se-á um caso que envolve uma coluna com 1 × 1m de área de seção

transversal constituída por duas camadas de solos de alturas e módulos de distorção diferentes. Toda

a formulação referente à modelação de estruturas como osciladores lineares contínuos ao longo

desta dissertação foi resolvida com auxílio do programa excel.

O objetivo será estudar a deformabilidade desta coluna ao corte e por conseguinte, obter os três

primeiros modos de vibração e as respetivas frequências próprias.

A primeira camada possui 15 metros de altura e 50 MPa de módulo de distorção, a segunda 20

metros e 30 MPa. Ambos os solos têm peso volúmico 𝛾 = 20 𝑘𝑁/𝑚3.

Figura 13-Modelo adotado para as camadas de solo com deformação por corte

�̅�′′(𝑥) + (

𝑝

𝐶0)2

�̅�(𝑥) = 0 (15)

19

É de notar que para se ter obtido a massa por unidade de comprimento para cada camada de solo (e

assumindo que esta é constante ao longo do comprimento da mesma) utilizou-se a expressão (17).

𝑚 =

𝛾 × 𝑉

𝑔 × 𝐿 (17)

Em que:

𝛾 −é o peso volúmico da camada;

𝑉 −é o volume da camada 𝑉 = 𝐴′ × 𝐿;

𝑔 −é a aceleração gravítica;

𝐿 −é o comprimento da camada.

Sabendo que a deformada correspondente ao modo n de uma barra apenas com deformabilidade ao

corte é regida pela equação (16) conclui-se então que a deformada final das duas camadas será

definida pelas equações (18) e (19). Foram utilizados os referenciais locais x1 e x2 relativos à primeira

e segunda camada respetivamente (ver figura 13).

�̅�1 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (

𝑝𝑛𝐶01

𝑥1) + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 (𝑝𝑛𝐶01

𝑥1) (18)

�̅�2 = 𝐶 𝑠𝑒𝑛 (

𝑝𝑛𝐶02

𝑥2) + 𝐷 𝑐𝑜𝑠 (𝑝𝑛𝐶02

𝑥2) (19)

Em que:

𝑝𝑛 – Representa a frequência angular do modo n da estrutura;

Como se possuem 4 incógnitas, é necessário que sejam impostas 4 condições de fronteira para que

estas sejam determinadas. Impuseram-se as seguintes condições ao longo da coluna de solo:

�̅�1(0) = 0 (20)

�̅�1(15) = �̅�2(0) (21)

𝜏1(15) = 𝜏2(0) (22)

𝜏2(20) = 0 (23)

20

Em que 𝜏 é a tensão de corte numa dada secção que é dada pela expressão 24.

𝜏 = 𝐺𝐴′�̅�′(𝑥) (24)

A razão da primeira imposição é a de que a base da primeira camada encontra-se fixa ao terreno

rígido e assim não poderá ter qualquer tipo de deslocamento. A segunda impõe que o deslocamento

na interface das camadas logicamente tenha de ser igual, não pode existir translação entre camadas.

A terceira condição impõe que a tensão na interface entre camadas tenha de ser igual pois não existe

qualquer força concentrada na secção. A quarta e última condição exige que a tensão na última

camada tem de forçosamente ser nula pois sendo uma superfície livre, não existe qualquer força

concentrada nessa secção.

Considerou-se:

𝐴′ = 1 × 1 = 1 𝑚2

Na tabela 1 encontram-se resumidos, os dados considerados para as duas camadas de solo.

Tabela 1-Caraterísticas das camadas de solo

g (m/s2) 9,81

L1 (m3) 15

L2 (m3) 20

ϒ (kN/m3) 20

m1 (ton/m) 2,04

m2 (ton/m) 2,04

A' (m2) 1

G1 (kPa) 50000

G2 (kPa) 30000

C01 (m/s) 156,52

C02 (m/s) 121,24

A partir destas imposições, e sendo �̅�1 e �̅�2 funções dependentes de A,B,C e D, resolveu-se um

problema de valores e vetores próprios, em que se calculou os valores de 𝑝𝑛 , correspondentes aos

vários modos da coluna de solo.

Esse procedimento foi efetuado da seguinte forma: cada argumento respetivo de cada incógnita (A,

B, C, D) e para cada equação ((20), (21), (22) e (23)) representa um elemento de uma determinada

matriz (tabela 2), o valor desse mesmo argumento encontra-se calculado mediante um valor genérico

da frequência angular da estrutura (p). Calcularam-se os três primeiros valores de p que faziam com

21

que o determinante da matriz (matriz composta por todos os elementos Ynx que podem ser

consultados na tabela 2), fosse igual a zero. Os primeiros três valores consecutivos de p retirados são

as frequências angulares respetivas de cada modo (primeiro, segundo e terceiro).

Na tabela 2, encontram-se ilustrados como foram efetuados os cálculos para este exemplo ilustrativo.

Tabela 2-Exemplo do cálculo efetuado

A B C D

Eq.x Y11 Y12 Y13 Y14

Eq.x Y21 Y22 Y23 Y24

Eq.x Y31 Y32 Y33 Y34

Eq.x Y41 Y42 Y43 Y44

Em que:

Ynx - componente da linha n e coluna x da matriz

As frequências angulares calculadas correspondentes aos três primeiros modos da estrutura

encontram-se representadas na tabela 3.

Tabela 3-Modos de vibração para as camadas de solo

Modo n 1 2 3

pn (rad/s) 6,46 17,91 29,88

fn (Hz) 1,03 2,85 4,76

Para cada modo de vibração, impôs-se A=1. Uma vez que os modos de vibração de uma estrutura

são linearmente dependentes a menos de uma variável, retiraram-se os valores de B, C e D (vector v)

a partir da multiplicação matricial expressa em (25).

𝑣 = 𝐹−1 × (−𝐷) (25)

Em que:

F – Matriz assinalada a azul escuro na tabela 2;

D – Matriz assinalada a azul claro na tabela 2.

Determinados os valores de A, B, C, e D, traçou-se o modo respetivo para cada frequência. Nas

figuras seguintes podem-se observar os três primeiros modos de vibração da estrutura. As soluções

22

foram obtidas nos respetivos referenciais locais (x1 e x2) e depois transferidas para um referencial

global obtendo-se finalmente as representações modais.

O primeiro e segundo modo de vibração encontram-se representados nas figuras 14 e 15.

Figura 14-Primeiro modo de vibração das camadas de solo (f=1,03 Hz; p=6,46 rad/s)

Figura 15-Segundo modo de vibração das camadas de solo (f=2,85 Hz; p=17,91 rad/s)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,5 1 1,5

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 1

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -0,5 0 0,5 1

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 2

23

O terceiro modo de vibração encontra-se representado na figura 16.

Figura 16-Terceiro modo de vibração das camadas de solo (f=4,76 Hz; p=29,88 rad/s)

Como se pode constatar, pela interpretação dos gráficos apresentados acima, as deformadas obtidas

são claramente deformadas típicas de uma barra com deformação por corte, especialmente visível na

configuração do primeiro modo. É de realçar que em todos os modos, para x=15 metros existe uma

clara mudança de declive no andamento das curvas uma vez que os módulos de distorção abaixo e

acima da interface são diferentes. Para x=35 a deformada possui tangente nula uma vez que se

impõe a tensão de corte nessa secção nula e, por conseguinte, a derivada da deformada igual a zero.

Os modos de vibração calculados encontram-se listados no anexo 1.

4.1 Modelação de um edifício alto através da formulação de

osciladores lineares contínuos

Estudou-se uma estrutura com planta retangular constante em altura, de 20 por 30 metros e com 60

de altura, equivalente a um edifício de 20 pisos com 3 metros de altura de pé-direito. Apenas foi

estudado o comportamento desta estrutura numa das direções horizontais.

Calculou-se o peso volúmico típico para um edifício porticado.

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -1 0 1 2

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 3

24

Adotaram-se valores típicos para o peso e volume de um edifício deste tipo retirados de um trabalho

efetuado no curso.

𝛾𝑒𝑑𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜 =

𝑃𝑒𝑠𝑜

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒=32664,3

8352= 3,91 𝑘𝑁/𝑚3 (26)

Para o caso de uma barra com deformação por corte na qual a extremidade inferior encontra-se

encastrada e a superior encontra-se livre, as frequências próprias serão traduzidas pela expressão

(27), (Guerreiro, 1999).

𝑝𝑛 =

(2𝑛 − 1)𝜋𝐶02𝐿

𝑛 = 1,2,3, … (27)

Em que:

L - Comprimento total da barra.

Impôs-se que o edifício em estudo possuísse uma primeira frequência de 1Hz ou seja 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 de

frequência angular. Assim calculou-se o módulo de distorção que o edifício necessitaria para que tal

imposição fosse satisfeita.

𝑝1 =𝜋𝐶02𝐿

⇔ 2𝜋 =𝜋√𝐺𝐴′𝑚

2𝐿

(28)

Em que:

L=60 metros;

𝐴′ = 20 × 30 = 600 𝑚2

𝑚 =𝛾 × 600

𝑔=3,91 × 600

9,81= 239,14 𝑡𝑜𝑛/𝑚

Obteve-se deste modo um módulo de distorção, G=22981,22 kPa

25

Na tabela 4 podem ser consultados os dados resumidos da estrutura.

Tabela 4-Caraterísticas do edifício

M (ton) 239,39

g (m/s2) 9,8

ϒ1 (kN/m3) 3,91

L (m) 60

G (kPa) 22981,22

C0 (m/s) 240

O modo n para a estrutura nas condições descritas acima será dado pela expressão (29) (Guerreiro,

1999).

�̅�(𝑥) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (

(2𝑛 − 1)𝜋

2𝐿𝑥) 𝑛 = 1,2,3, … (29)

Foram calculados os 4 primeiros modos. Na tabela 5 podem ser consultadas as respetivas

frequências dos modos calculados.

Tabela 5-Frequências dos modos de vibração do edifício sem TMD

Modo n 1 2 3 4

pn (rad/s) 6,28 18,85 31,42 43,98

fn (Hz) 1,00 3,00 5,00 7,00

26

Nas figuras 17 e 18 encontram-se representados respetivamente o primeiro e o segundo modo de

vibração da estrutura.

Figura 17-Primeiro modo de vibração do edifício sem TMD (f=1,00 Hz; p=6,28 rad/s)

Figura 18-Segundo modo de vibração do edifício sem TMD (f=3,00 Hz; p=18,85 rad/s)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 1

0

10

20

30

40

50

60

70

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 2

27

Nas figuras 19 e 20 encontram-se representados o terceiro e o quarto modo de vibração da estrutura.

Figura 19-Terceiro modo de vibração do edifício sem TMD (f=5,00 Hz; p=31,42 rad/s)

Figura 20-Quarto modo de vibração do edifício sem TMD (f=7,00 Hz; p=43,98 rad/s)

Os modos de vibração encontram-se listados no anexo 2.

0

10

20

30

40

50

60

70

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 3

0

10

20

30

40

50

60

70

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 4

28

4.2 Modelação de um edifício com TMD através da formulação de

osciladores lineares contínuos

Pretende-se estudar o comportamento do edifício estudado no capítulo 4.1 com a aplicação de um

TMD para controlo das vibrações do primeiro modo. Este foi dimensionado para estar sintonizado

com o primeiro modo da estrutura principal. Como foi referido anteriormente, o primeiro modo do

edifício possuirá 1Hz (2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠) de frequência. Assim, a estrutura extra que iremos colocar no topo

do edifício para funcionar como TMD, terá de possuir também 1Hz de frequência própria para que se

encontre sintonizada. Essa subestrutura é constituída por uma massa indeformável no topo que é

suportada por uma mola de rigidez KTMD o equivalente a um oscilador de um grau de liberdade (figura

7). Este piso adicional irá, numa primeira instancia possuir a mesma área que o edifício principal, o

mesmo pé direito e o mesmo peso volúmico.

A zona referente à massa do piso adicional irá ser considerada como uma estrutura muito rígida, pois

não se deseja que a mesma se deforme. Isso é o equivalente, em termos teóricos, a impor que

possui um módulo de distorção muito elevado. Assim para módulo de distorção da massa do TMD

adotou-se o G do edifício estudado anteriormente, multiplicado por 10000 (expressão (30)).

𝐺𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑇𝑀𝐷 = 22981,22 × 10000 ~ 2,3 × 108 𝑘𝑃𝑎 (30)

O objetivo, para o TMD ser modelado será, partindo de um número de hipóteses, determinar o

módulo de distorção dos seus apoios necessário para que o TMD possua 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 de frequência

angular.

Assumindo que o piso adicional está suportado por 4 apoios, (hipótese pouco realista devido ao

grande vão que o piso adicional possui em ambas as direções), e que cada apoio será quadrado com

uma área de 1 m2, uma altura de 0,3 metros, e um peso volúmico 𝛾 = 12,3 𝑘𝑁/𝑚3 (valores comuns

para este tipo de material), a rigidez total da estrutura (TMD) com os apoios que se irão deformar por

distorção, será obtida pela expressão (31).

𝐾 =

4𝐺𝐴

ℎ (31)

Em que:

G - Módulo de distorção de cada apoio

A - Área de um apoio (1m2);

h – altura de um apoio (0,3 metros).

29

Para que a subestrutura possua 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 de frequência, a rigidez total terá então de ser igual a:

2𝜋 = √𝐾

𝑀⇔𝐾 = 4𝜋2𝑀 (32)

Em que:

𝑀 =𝛾

𝑔× Á𝑟𝑒𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 × ℎ′ = 718,16 𝑡𝑜𝑛 – Massa do TMD;

Em que:

h’ – Representa o pé-direito do piso adicional.

Assim, o módulo de distorção será igual a:

𝐺 =

4𝜋2𝑀ℎ

4𝐴= 2126,4 𝑘𝑃𝑎 (33)

Este módulo de distorção calculado é um valor pouco realista e apenas será utilizado nesta fase

teórica do estudo. Quando se proceder ao dimensionamento do TMD obviamente ir-se-ão utilizar

valores mecânicos dos materiais que suportam o TMD mais reais e usuais para o tipo de material que

constitui os apoios do TMD, respeitando sempre as restrições para as quais se quer que o TMD

funcione.

Uma vez que no modelo não se fará a distinção entre os 4 apoios, de 0,3 metros de altura, apenas

aplicar-se-á uma camada de 0,3 metros de altura com 20 × 30 metros quadrados de área como apoio

para o TMD, o módulo de distorção obtido anteriormente para os apoios, terá de ser corrigido

mediante uma relação entre áreas, apresentada na expressão (34).

𝐺𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐺 × 4 ×

𝐴𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜

𝐴𝑝𝑖𝑠𝑜= 2126,4 ×

4 × 1

600= 14,18 𝑘𝑃𝑎 (34)

A mesma situação verificou-se para o peso volúmico dos apoios:

𝛾𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠 = 12,3 ×

4

600= 0,082 𝑘𝑁/𝑚3 (35)

Assim, o problema a ser estudado com o modelo de osciladores contínuos de um edifício com

deformação por corte acoplado de um piso adicional suportado por 4 apoios elásticos que se

30

deformam por distorção reduz-se a um problema análogo ao exposto no capítulo 4. Em vez de se

possuírem 2 camadas de solo, possuem-se 3 camadas de materiais, alturas e módulos de distorção

diferentes.

Na figura 21 pode-se visualizar o modelo adotado para o cálculo da estrutura.

Figura 21-Edifício com um piso adicional modelado com a formulação de osciladores lineares com deformação por corte em

que 1 representa o edifício principal, 2 representa os apoios elásticos do piso adicional e 3 representa a massa do mesmo

Na tabela 6 encontram-se resumidos os dados considerados para as várias camadas de material a

serem modeladas.

Tabela 6-Caraterísticas adotadas para cada camada de material

g (m/s2) 9,8

ϒ1 (kN/m3) 3,91

ϒ2 (kN/m3) 0,08

ϒ3 (kN/m3) 3,91

L1 (m) 60

L2 (m) 0,30

L3 (m) 3

G1 (kPa) 22981,22

G2 (kPa) 14,18

G3 (kPa) 2,3 × 108

C01 (m/s) 240,00

C02 (m/s) 41,16

C03 (m/s) 24000,00

31

Neste caso, analogamente ao calculado no capítulo 4, as deformadas do modo n de cada camada de

material serão regidas pelas seguintes equações (36), (37) e (38).

Utilizaram-se novamente três referenciais locais diferentes para cada camada (x1, x2 e x3).

�̅�1 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (

𝑝𝑛𝐶01

𝑥1) + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 (𝑝𝑛𝐶01

𝑥1) (36)

�̅�2 = 𝐶 𝑠𝑒𝑛 (

𝑝𝑛𝐶02

𝑥2) + 𝐷 𝑐𝑜𝑠 (𝑝𝑛𝐶02

𝑥2) (37)

�̅�3 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛 (

𝑝𝑛𝐶03

𝑥3) + 𝐸 𝑐𝑜𝑠 (𝑝𝑛𝐶03

𝑥3) (38)

Nesta situação, possuem-se 6 incógnitas a serem determinadas, assim é necessário serem impostas

6 condições de fronteira para as determinar (equações (39), (40), (41), (42) (43) e (44)).

�̅�1(0) = 0 (39)

�̅�1(60) = �̅�2(0) (40)

𝛤1(60) = 𝛤2(0) (41)

�̅�2(0,3) = �̅�3(0) (42)

𝛤2(0,3) = 𝛤3(0) (43)

𝛤3(3) = 0 (44)

Novamente foi resolvido um problema de valores e vetores próprios em que, determinando o

determinante da matriz composta pelos argumentos respeitantes a cada incógnita, para cada

equação e igualando-o a zero, pelo mesmo procedimento adotado anteriormente, determinaram-se

as frequências 𝑝𝑛 respetivas de cada modo. Neste caso fez-se o estudo dos quatro primeiros modos

da estrutura com TMD.

32

Na tabela 7, pode-se consultar um exemplo de como foram efetuados os cálculos para este caso.

Tabela 7-Exemplo do cálculo efetuado

A B C D E F

EQx Y11 Y12 Y13 Y14 Y15 Y16

EQx Y21 Y22 Y23 Y24 Y25 Y26

EQx Y31 Y32 Y33 Y34 Y35 Y36

EQx Y41 Y42 Y43 Y44 Y45 Y46

EQx Y51 Y52 Y53 Y54 Y55 Y56

EQx Y61 Y62 Y63 Y64 Y65 Y66

As frequências correspondentes aos quatro primeiros modos da estrutura encontram-se

representadas na seguinte tabela:

Tabela 8-Frequências dos modos de vibração do edifício com TMD

Modo n 1 2 3 4

pn (rad/s) 5,34 7,30 18,97 31,48

fn (Hz) 0,85 1,16 3,02 5,01

Como foi referido anteriormente e pode-se constatar, pela consulta da tabela 8, uma estrutura

sintonizada com um TMD possui uma primeira frequência um pouco inferior e uma segunda um

pouco superior à frequência do modo para qual o TMD foi sintonizado (5,34 < 2𝜋 e 7,3 > 2𝜋).

Impondo novamente A=1, retirou-se o valor das constantes B,C,D,E e F a partir da manipulação

matricial apresentada na equação (45).

𝑣 = 𝐹−1 × (−𝐷) (45)

Em que:

F-Matriz assinalada a azul escuro na tabela 7;

D- Matriz assinalada a azul claro na tabela 7.

Sabendo os valores das constantes de A a F, traçou-se o modo respetivo para cada frequência. Nas

figuras seguintes podem-se observar os quatro primeiros modos da estrutura traçados. Para os

mesmos terem sido obtidos foi necessário efetuar-se uma translação das deformadas obtidas nos

referenciais locais x1, x2 e x3 para um referencial global.

33

Na figura 22 e 23 encontram-se representados o primeiro e o segundo modos de vibração da

estrutura.

Figura 22-Primeiro modo de vibração do edifício com TMD (f=0,85 Hz; p=5,34 rad/s)

Figura 23-Segundo modo de vibração do edifício com TMD (f=1,16 Hz; p=7,30 rad/s)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 1

0

10

20

30

40

50

60

70

-4 -3 -2 -1 0 1 2

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 2

34

Nas figuras 24 e 25 encontram-se representados o terceiro e o quarto modos de vibração da

estrutura.

Figura 24-Terceiro modo de vibração do edifício com TMD (f=3,02 Hz; p=18,97 rad/s)

Figura 25-Quarto modo de vibração do edifício com TMD (f=5,01 Hz; p=31,48 rad/s)

Os modos encontram-se listados no anexo 3.

0

10

20

30

40

50

60

70

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 3

0

10

20

30

40

50

60

70

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 4

35

5. Análise da resposta do conjunto edifício e TMD a um movimento do solo

Para um estudo mais aprofundado do efeito de um TMD como piso adicional num edifício e de forma

a otimizar o seu efeito na estrutura principal, solicitou-se o edifício com uma vibração de solo de

carater harmónica com frequência semelhante à frequência do primeiro modo do edifício sem TMD

(modo para qual o TMD foi sintonizado).

Deste modo, foi adotada uma solicitação harmónica com uma frequência de 1,1 Hz de forma a

solicitar a estrutura fortemente (evitou-se o valor 1,0 Hz para que a estrutura não entrasse em

ressonância), e amplitude 1,5.

�̈�𝑠𝑜𝑙𝑜 = 1,5 cos (2𝜋 × 1,1𝑡) (46)

Em que:

�̈�𝑠𝑜𝑙𝑜- representa a ação

Figura 26- Solicitação harmónica considerada como vibração de base para o modelo de osciladores contínuos

Assim, usando os modelos com e sem TMD analisados anteriormente, estudou-se a resposta de

ambas as estruturas e calculou-se o máximo deslocamento das mesmas (o deslocamento no topo da

estrutura principal) para este tipo de solicitação para posteriormente, serem retiradas conclusões

relativamente à vantagem em se adotar um piso adicional no topo do edifício.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8 10

Ace

lera

ção

(m

/s)

Tempo (s)

Solicitação Harmónica

36

5.1 Resposta a uma solicitação harmónica com base no modelo de

osciladores contínuos

Para se calcular a resposta de uma estrutura à uma solicitação de um solo, começou-se por calcular

os fatores de participação modal, estes apenas dependem da massa por unidade de comprimento da

estrutura e do modo em questão uma vez que a solicitação é exterior à estrutura (na base desta). A

fórmula que permite o cálculo do fator de participação modal é descrita pela expressão (47),

(Guerreiro, 1999).

𝐹𝑃𝑛 =

∫ �̅�𝑛(𝑥)𝑚(𝑥) 𝑑𝑥𝐿

0

𝑀𝑛

(47)

Em que :

𝐹𝑃𝑛 −Fator de participação do modo n;

𝑀𝑛 −Massa modal do modo n;

�̅�𝑛(𝑥) – Configuração deformada do modo n.

A massa modal é determinada com base na expressão (48) (Guerreiro, 1999).

𝑀𝑛 = ∫ 𝑚(𝑥)�̅�𝑛(𝑥)�̅�𝑛(𝑥) 𝑑𝑥

𝐿

0

(48)

Assim, o fator de participação modal para um dado modo n, é dado pela expressão (49).

𝐹𝑃𝑛 =

∫ �̅�𝑛(𝑥)𝑚(𝑥) 𝑑𝑥𝐿

0

∫ 𝑚(𝑥)�̅�𝑛(𝑥)�̅�𝑛(𝑥) 𝑑𝑥𝐿

0

(49)

Se a massa por unidade de comprimento m for constante ao longo da altura da estrutura o que

acontece se apenas estivermos a fazer os cálculos para o edifício sem TMD, a expressão toma o

formato apresentado na equação (50).

𝐹𝑃𝑛 =

∫ �̅�𝑛(𝑥) 𝑑𝑥𝐿

0

∫ �̅�𝑛(𝑥)�̅�𝑛(𝑥) 𝑑𝑥𝐿

0

=∫ �̅�𝑛(𝑥) 𝑑𝑥𝐿

0

∫ �̅�𝑛2(𝑥) 𝑑𝑥

𝐿

0

(50)

37

Após o cálculo dos fatores de participação modal ser efetuado, é necessário proceder-se ao cálculo

de duas grandezas que irão ser necessárias para se obter a resposta de ambas as estruturas

(comunicação pessoal, Guerreiro).

A equação diferencial de equilíbrio de forças de uma estrutura sujeita a uma solicitação de um solo

encontra-se representada na expressão (51):

𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = −𝑚�̈�𝑠 (51)

Em que:

c- é o coeficiente de amortecimento da estrutura;

k- é a rigidez da estrutura;

�̈�- é a aceleração da estrutura;

�̇�- é a velocidade da estrutura;

𝑥- é o deslocamento da estrutura;

�̈�𝑠- é a aceleração do solo.

𝑚�̈� representa a força de inércia, 𝑐�̇� representa a força de amortecimento, 𝑘𝑥 representa as forças de

restituição elásticas e por fim, −𝑚�̈�𝑠 representa a força provocada pela vibração do solo.

Dividindo ambos os membros da expressão (51) pela massa obtém-se a equação (52),

�̈� +

𝑐

𝑚�̇� +

𝑘

𝑚𝑥 = −�̈�𝑠 (52)

Sabendo que:

𝑘

𝑚= 𝑝2;

𝜉 =𝑐

𝑐𝑐=

𝑐

2𝑚𝑝 - Coeficiente de amortecimento, relação entre o amortecimento da estrutura (c) e o

amortecimento crítico 𝑐𝑐;

𝑐

𝑚= 2𝑝𝜉 .

38

A expressão anterior toma uma nova forma apresentada na equação (53).

�̈� + 2𝑝𝜉�̇� + 𝑝2𝑥 = −�̈�𝑠 (53)

Para uma solicitação de um solo do tipo,

�̈�𝑠 = 𝐴𝑒

𝑖𝑤𝑡 (54)

Em que:

𝑤- é a frequência angular de excitação;

A- É a amplitude do sinal harmónico de excitação.

A solução da equação (53) terá o formato da expressão apresentada em (55).

𝑥 = 𝐻𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (55)

Em que H é uma função que depende da frequência angular da estrutura e do coeficiente de

amortecimento ξ.

𝐻(𝑝, 𝜉) (56)

Derivando uma e outra vez, portanto a velocidade e a aceleração serão descritas pelas seguintes

expressões ((57) e (58)):

�̇� = 𝑖𝑤𝐻𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (57)

�̈� = −𝑤2𝐻𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (58)

Inserindo �̇� e �̈� na equação original (53) obtém-se:

−𝑤2𝐻𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 + 2𝑖𝑤𝜉𝑝𝐻𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 + 𝑝2𝐻𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 = −𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (59)

39

Efetuando algumas simplificações, a solução da equação (59) será:

𝐻 = −

1

[𝑝2 −𝑤2] + 2𝜉𝑝𝑤𝑖= −

1

𝑝2×

1

[1 −𝑤2

𝑝2] + 2𝜉

𝑤𝑝𝑖

(60)

Inserindo na equação a relação entre a frequência de excitação e a frequência da estrutura �̅� =𝑤

𝑝.

A função H toma o novo formato (61).

𝐻 = −

1

𝑝2×

1

[1 − �̅�2] + 2𝜉�̅�𝑖= −

1

𝑝2×

1

[1 − �̅�2] + 2𝜉�̅�𝑖= −

1

𝑝2[1 − �̅�2] − 2𝜉�̅�𝑖

[1 − �̅�2]2 + (2𝜉�̅�)2 (61)

Assim, H é uma função complexa. Podendo ser representada pelas suas componentes na figura 27.

Figura 27-Representação num referencial complexo da função H

Em que:

Im- é a parte imaginária do vetor;

Re- é a parte real do vetor;

40

ρ- é o comprimento do vetor.

φ- é o ângulo de fase da estrutura, dá-nos o desfasamento entre a solicitação e a reação da estrutura.

Deste modo o comprimento do vetor ρ será então dado pela expressão (62).

𝜌 =1

𝑝2√

[1 − �̅�2]2 + [2𝜉�̅�]2

[[1 − �̅�2]2 + (2𝜉�̅�)2]2=1

𝑝21

√(1 − �̅�2)2 + (2𝜉�̅�)2=1

𝑝2𝛽1 (62)

Em que:

𝛽1 =1

√(1−�̅�2)2+(2𝜉�̅�)2 – é o coeficiente de amplificação dinâmica.

E φ, o ângulo de fase da estrutura, será dado pela equação por ramos (63).

{

φ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

𝐼𝑚

𝑅𝑒) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−

2𝜉�̅�𝑝2[[1 − �̅�2]2 + (2𝜉�̅�)2]

(1 − �̅�2)𝑝2[[1 − �̅�2]2 + (2𝜉�̅�)2]

) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2𝜉�̅�

(1 − �̅�2)) , se (1 − �̅�2) ≥ 0

φ = π + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2𝜉�̅�

(1 − �̅�2)) , se (1 − �̅�2) < 0

(63)

O ângulo de fase é uma função por ramos e dependente do sinal de (1 − �̅�2) porque a parte

imaginária do vetor será sempre negativa, a parte real poderá ser positiva ou negativa o que implica

que poderemos estar no terceiro ou no quarto quadrante do referencial imaginário. Como se pretende

o ângulo com a horizontal, no caso em que a parte real é negativa adiciona-se π radianos para se

obter o ângulo correto.

Após a introdução do conceito de fator de participação modal, coeficiente de amplificação dinâmica e

o ângulo de fase, a resposta modal da estrutura será dada pela multiplicação de duas funções, uma

dependente do tempo, e outra função espacial que é o modo em questão, expressão (64)

(comunicação pessoal, Guerreiro).

𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝑌𝑛(𝑡) × 𝑢𝑛(𝑥) (64)

Em que a função 𝑌𝑛(𝑡), que nos dá a resposta modal em função apenas do tempo será dada pela

expressão (65) (comunicação pessoal, Guerreiro).

𝑌𝑛(𝑡) =

1

𝑝2𝛽1𝐹𝑝𝑛�̈�𝑠𝑜𝑙𝑜(𝑡) = 𝜌𝐹𝑝𝑛�̈�𝑠𝑜𝑙𝑜(𝑡) (65)

41

A multiplicação dos termos 𝛽1 × 𝐹𝑝𝑛 × �̈�𝑠𝑜𝑙𝑜(𝑡) representa a resposta da estrutura em função do tempo

em aceleração. Multiplicando 𝛽1 × 𝐹𝑝𝑛 × �̈�𝑠𝑜𝑙𝑜(𝑡) por 1

𝑝2 (rigidez por unidade de massa) obtém-se a

resposta em função do tempo da estrutura em deslocamentos.

Finalmente, a resposta final da estrutura, para um determinado instante t será dada pela expressão

(66) (comunicação pessoal, Guerreiro).

𝑢(𝑥, 𝑡) =∑𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 𝑓𝑖𝑥𝑜 (66)

5.1.1 Resposta da estrutura sem TMD

Ir-se-á calcular a resposta da estrutura sem TMD, com base no modelo de osciladores contínuos,

para a solicitação enunciada no capítulo 5.

Os modos de vibração foram discretizados em pontos, e pela utilização do método dos trapézios, a

integração numérica da função contínua exposta em (50), passou a um somatório finito de áreas

trapezoidais finitas.

Na figura 28 encontra-se esquematizado o procedimento adotado para o cálculo de 𝐹𝑃𝑛.

Figura 28-Modo de cálculo adotado para as grandezas em causa

Em que X, representa a variável em causa de cada ponto (e.g. Xi= 𝑚�̅�𝑖 ou Xi= 𝑚�̅�𝑖2);

42

A expressão utilizada para o cálculo dos fatores de participação encontra-se representada em (67).

𝐹𝑃𝑛 =∑𝑚(�̅�𝑖 + �̅�𝑖+1)

2∆𝑧

∑𝑚(�̅�𝑖

2 + �̅�𝑖+12 )

2∆𝑧

(67)

Em que:

∆𝑧- é o intervalo de alturas na qual a estrutura foi discretizada.

�̅�𝑖 𝑜𝑢 �̅�𝑖+1 – Representa o valor da deformação de um determinado modo num determinado ponto i ou

i+1.

Assim, os fatores de participação modal calculados podem ser consultados na tabela 9.

Tabela 9-Fatores de participação da estrutura sem TMD

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4

Fpn 1,27 0,42 0,25 0,18

Como se pode constatar, o primeiro modo da estrutura, é o que irá possuir maior participação. Todas

as tabelas necessárias para o cálculo dos fatores de participação modal da estrutura sem TMD ser

efetuado podem ser consultadas no anexo 4.

Após os cálculos dos fatores de participação modal, foram calculadas todas as grandezas restantes,

necessárias para se determinar a resposta da estrutura (tabela 10).

Tabela 10-Restantes grandezas calculadas para cada modo da estrutura sem TMD


β1n 4,22 1,15 1,05 1,03

φn (rad) 3,62 -0,04 -0,02 -0,02

Yn (m) 0,2040 -0,0018 -0,0004 -0,0001

Mais uma vez evidencia-se, pela interpretação dos resultados obtidos do cálculo de Yn, que o primeiro

modo é o que irá ser mais solicitado uma vez que Y1 é muito maior que Y2, Y3 e Y4.

A resposta final da estrutura em vários instantes pode ser consultada com maior detalhe no anexo 6.

Após o cálculo da resposta da estrutura em função do tempo, o valor mais importante a ser retirado,

para de seguida ser comparado é o valor da resposta da estrutura para z= 60 metros pois é

obviamente neste ponto que se obtém o maior deslocamento ao longo do edifício.

O deslocamento máximo obtido foi de 0,206 metros. Isto acontece a primeira vez no instante t=0,84

segundos.

43

5.1.2 Resposta da estrutura com TMD

Da mesma forma que os fatores de participação modal foram calculados para a estrutura sem TMD,

calculou-se os mesmos para a estrutura com TMD. É de notar que se desprezou a massa dos apoios

do TMD.

Os resultados obtidos podem ser consultados na tabela 11.

Tabela 11-Fatores de participação da estrutura com TMD


Fpn 0,72 0,57 0,44 0,24

Como se pode verificar pela interpretação da tabela 11, obviamente os modos mais solicitados serão

o primeiro e segundo pois são os modos resultantes da sintonização do TMD para o primeiro modo

da estrutura sem TMD. Todas as tabelas necessárias para o cálculo dos fatores de participação

modal ser efetuado podem ser consultadas no anexo 5.

De seguida calcularam-se as grandezas restantes necessárias para se obter a resposta da estrutura

com TMD. As mesmas podem ser consultadas na tabela 12.

Tabela 12-Restantes grandezas calculadas para cada modo da estrutura com TMD


β1n 1,45 7,11 1,15 1,05

φn (rad) 3,33 -0,74 -0,04 -0,02

Yn (m) -0,0065 0,0986 0,0007 0,0001

Novamente constata-se que o primeiro e o segundo modo serão os mais solicitados pois são os que

possuem maior valor de Yn e porque são os modos resultantes da sintonização do TMD para o

primeiro modo da estrutura sem TMD.

A resposta final da estrutura em vários instantes pode ser consultada com maior detalhe no anexo 7.

Após o cálculo da resposta da estrutura em função do tempo, o valor mais importante a ser retirado,

para de seguida ser comparado é o valor da resposta da estrutura para z= 60 metros pois é

obviamente neste ponto que se obtém o maior deslocamento ao longo da estrutura principal.

O deslocamento máximo obtido foi de 0,088 metros. Isto acontece a primeira vez no instante t=0,64

segundos.

44

Assim conclui-se que, pela modelação da estrutura como um oscilador contínuo existe uma redução

de 57% dos deslocamentos quando se acopla no topo da estrutura um piso adicional com as

características descritas anteriormente.

5.2 Resposta com base num modelo em elementos finitos

A par do estudo efetuado das estruturas (com e sem TMD) a partir de um modelo de osciladores

contínuos, foi feita a modelação das mesmas em elementos finitos num programa para análise de

estruturas (SAP 2000) com o objetivo de posteriormente compararem-se ambos os modelos e

tirarem-se conclusões dos resultados obtidos.

5.2.1 Modelação da estrutura principal

Nesta fase de estudo não foi feito qualquer tipo de pré-dimensionamento dos elementos estruturais a

adotar para a modelação da estrutura, uma vez que as únicas condições necessárias e suficientes

para que se possua um bom modelo e posteriormente se possam tirar conclusões do mesmo e

comparar-se com a modelação com osciladores contínuos são que a estrutura principal seja

classificada como pórtico para que possua deformação por corte e que possua valores de frequências

de vibração do primeiro, segundo, terceiro e quarto modos o mais próximas possível das estudadas

para o modelo com a formulação de osciladores contínuos.

Para se satisfazer a primeira condição, não foram adotados quaisquer elementos verticais do tipo

parede no edifício em estudo, apenas se adotaram pilares. Para além disso a estrutura é o mais

regular possível quer em altura como em planta. Ou seja, a área e disposição de elementos verticais

em planta são constantes em toda a altura, e não existem quaisquer tipos de recuos ao longo da

altura da estrutura.

Desta forma, foram adotadas secções correntes para os elementos estruturais (pilares e vigas) e,

para se conseguir obter o valor das frequências desejadas, iterativamente foi-se alterando o módulo

de elasticidade do material adotado para a estrutura. Isto foi feito porque a rigidez da estrutura varia

linearmente com o módulo de elasticidade desta e, por outro lado, a frequência varia com a raiz

quadrada da rigidez da mesma.

Pelas razões expostas acima, adotaram-se secções de 0,5 por 0,5 metros para os pilares, e 0,8 por

0,3 para as vigas. O pé direito da estrutura é constante ao longo da altura do edifício e possui o valor

de 3 metros como já foi referido para a modelação anterior.

45

As dimensões em planta da estrutura são iguais às adotadas para a modelação com formulação

continua 30 por 20 metros, possuindo uma malha de vigas de 5 em 5 metros e em todos os nós da

malha um pilar a intersectar.

A modelação da estrutura em planta pode ser visualizada na figura 29.

Figura 29-Planta do edifício modelado em SAP 2000

Para a modelação das fundações, encastraram-se os elementos verticais na base da estrutura.

Modelaram-se as lajes como diafragmas para que estas distribuam as forças sísmicas pelos pilares.

Cada diafragma apenas compatibilizará movimentos horizontais, concentrando toda a massa da laje

adicionada de metade da massa da estrutura do piso superior e metade da massa da estrutura do

piso inferior no nó central da malha correspondente ao piso em questão. A massa adotada para a

mesma foi obtida multiplicando a massa por unidade de comprimento adotada para a modelação

como oscilador contínuo por três que é o pé direito da estrutura (equação (68)).

𝑀𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑑𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜 = 𝑚 × 3 = 239,14 × 3 = 717,4 𝑡𝑜𝑛 (68)

O valor do módulo de elasticidade do material adotado para a estrutura ao qual se chegou

iterativamente é de 𝐸 = 1,427 × 108 𝑘𝑁/𝑚2.

46

A estrutura final em 3D pode ser visualizada na figura 30.

Figura 30-Edifício modelado em SAP 2000

Na figura 31 encontra-se ilustrado o primeiro modo de vibração da estrutura em causa segundo Y.

Figura 31-Modo 1 segundo Y do edifício (f= 1,00 Hz; p=6,28 rad/s)

47

Nas figuras 32 e 33 encontram-se ilustrados o segundo e terceiro modos de vibração da estrutura em

causa segundo Y.

Figura 32-Modo 2 segundo Y do edifício (f= 3,07 Hz; p=19,28 rad/s)

Figura 33-Modo 3 segundo Y do edifício (f= 5,41 Hz; p= 34,02 rad/s)

48

Na figura 34 encontra-se ilustrado o quarto modo de vibração da estrutura em causa segundo Y.

Figura 34-Modo 4 segundo Y do edifício (f=7,67 Hz; p=48,22 rad/s)

Na tabela 13, apresentam-se os resultados modais da estrutura retirados após a sua modelação.

Tabela 13-Frequências de cada modo nas duas direções da estrutura sem TMD

Modo Direção Frequência (Hz) Frequência (rad/s) Período (s)

1 Y 1 6,283 1,000

2 X 1,054 6,622 0,949

3 Y 3,069 19,283 0,326

4 X 3,203 20,125 0,312

5 Y 5,414 34,017 0,185

6 X 5,549 34,865 0,180

7 Y 7,674 48,217 0,130

8 X 7,84 49,260 0,128

De notar que o modelo feito a partir da teoria de osciladores lineares contínuos com deformação por

corte é um modelo plano enquanto o modelo criado com elementos finitos em SAP 2000 é um modelo

tridimensional como se pode constatar. Assim estudou-se o modelo em elementos finitos na direção

em que o mesmo demonstrasse ser o mais parecido possível com o primeiro modelo. Deste modo

optou-se por estudar o comportamento da estrutura a partir daqui apenas segundo a direção Y, pois

foi nesta direção que os resultados modais obtidos são mais próximos dos resultados modais

calculados através da formulação de osciladores contínuos.

49

Isso pode-se constatar pela interpretação da tabela 14.

Tabela 14-Comparação de frequências entre ambos os modelos

Edifício sem TMD

Modelo SAP Modelo Contínuo

Modo Direção Frequência

(Hz) Frequência

(rad/s) Modo

Frequência (Hz)

Frequência (rad/s)

1 Y 1,00 6,28 1 1,00 6,28

3 Y 3,07 19,28 2 3,00 18,85

5 Y 5,41 34,02 3 5,00 31,42

7 Y 7,67 48,22 4 7,00 43,98

5.2.2 Modelação do piso adicional (TMD)

O piso adicional, como foi referido anteriormente, é uma extensão da estrutura principal, uma vez que

possui nesta fase de estudo, a mesma área em planta e o mesmo pé direito. Como o próprio nome

indica, é um piso adicional constituído por duas lajes, pilares e vigas com as mesmas dimensões que

as adotadas para a estrutura principal. No edifício principal existe uma laje de três em três metros, no

TMD existirão duas lajes num desenvolvimento de três metros. Por forma a manter o mesmo valor da

massa por unidade de comprimento adotado no modelo de osciladores contínuos também ao longo

da altura do TMD, cada laje do piso adicional irá possuir metade da massa das lajes da estrutura

principal.

𝑀𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 =

𝑀𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑑𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜

2=717,4

2= 358,7 𝑡𝑜𝑛 (69)

Para o TMD funcionar como se deseja é suposto que as massas que o constituem sejam rígidas e

indeformáveis. Para impedir que houvesse qualquer tipo de deformação nos pilares e vigas do piso

adicional foram feitas duas coisas: primeiro foram colocados dois elementos muito rígidos ou seja,

com um elevado módulo de elasticidade, verticalmente e na diagonal em forma de cruz de cinco em

cinco metros de desenvolvimento em planta mas apenas no seu contorno.

50

Pode-se visualizar o que foi descrito na figura 35.

Figura 35-Alçado do modelo do TMD em SAP 2000

No entanto a primeira estratégia descrita foi insuficiente para tornar o piso adicional numa estrutura

rígida e indeformável. Assim de seguida, em todos os nós do piso adicional foi criado um elemento do

tipo BODY, este é um elemento modelado no SAP 2000 que garante que não existem deslocamentos

relativos entre os vértices do corpo em questão, assim garantiu-se um elemento de corpo rígido.

Todos os tipos de movimentos relativos foram fixos (translação segundo X,Y e Z, e rotação segundo

X,Y e Z).

Relativamente aos apoios de borracha do TMD foram criados 4 apoios nos quatro cantos da base

inferior da estrutura em planta, com secção quadrangular com um metro de lado e com módulo de

distorção igual ao calculado na expressão (33), ou seja 𝐺 = 2126,4 𝑘𝑃𝑎, para que a estrutura possua

1 Hz de frequência modal nos dois modos de vibração existentes (modo segundo X e segundo Y). De

forma a garantir que a deformação dos apoios fosse apenas por distorção nas características da

secção criada para os apoios, alterou-se os valores da rigidez referente a cada esforço existente e

foram colocados valores relativamente grandes na rigidez dos esforços que não se quer que existam

neste tipo de material, rigidez axial, inércia segundo os dois eixos, e constante de torção.

51

O aspeto final da modelação em elementos finitos do piso adicional pode ser visualizado na figura 36.

Figura 36-Modelo do TMD em SAP 2000

O modelo final dos edifícios com e sem TMD pode ser visualizado na figura 37.

Figura 37-Modelo em SAP 2000 do edifício sem TMD à esquerda e com TMD à direita

52

Nas figuras (38 e 39) encontram-se ilustrados os 2 primeiros modos do edifício com TMD.

Figura 38-Modo 1 segundo Y do edifício com TMD (f= 0,84 Hz; p= 5,28 rad/s)


53

Nas figuras (40 e 41) encontram-se ilustrados o terceiro e o quarto modo do edifício com TMD.



54

Na tabela 15 comparam-se as frequências obtidas para a estrutura com TMD segundo a direção Y no

programa referente ao modelo em elementos finitos e no modelo com osciladores contínuos.

Tabela 15-Comparação de frequências entre ambos os modelos

Edifício com TMD

Modelo Elementos finitos Modelo Contínuo

Modo Direção Frequência (Hz) Frequência (rad/s) Modo Frequência (Hz) Frequência (rad/s)

1 Y 0,84 5,28 1 0,85 5,34

3 Y 1,18 7,40 2 1,16 7,30

5 Y 3,09 19,42 3 3,02 18,97

7 Y 5,42 34,08 4 5,01 31,48

5.2.3 Resposta do modelo em elementos finitos

Foi solicitada a estrutura com o mesmo tipo de vibração de base, neste modelo foi necessário ter-se

em consideração o efeito da fase transitória. Para se evitar este efeito, os valores da função descrita

em 5 foram multiplicados por uma função Z com variação linear entre zero e um nos primeiros 5

segundos do movimento e constante, de valor unitário para a restante duração da ação. Esta

modelação foi feita para impedir que nos resultados o efeito do regime transitório fosse evidenciado

nos instantes iniciais.

A função final que de seguida foi utilizada no programa SAP 2000 pode ser visualizada no gráfico da

figura 42.

Figura 42-Solicitação harmónica considerada como vibração de base para o modelo de elementos finitos

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 5 10 15 20 25

Ace

lera

ção

(m

/s)

Tempo

Solicitação

55

Calculou-se a resposta à solicitação descrita acima, na estrutura com e sem TMD, e retiraram-se os

máximos deslocamentos no nó mais alto da estrutura principal. Retiraram-se os deslocamentos

segundo a direção Y do nó 5 de ambas as estruturas.

A localização do nó 5 pode ser visualizada na figura 43.

Figura 43- Localização do nó 5

Assim os deslocamentos do nó 5 do edifício sem TMD para a solicitação descrita encontram-se

representados na figura 44.

Figura 44-Deslocamentos do nó 5 do edifício sem TMD para a solicitação harmónica segundo Y

56

Os deslocamentos do nó 5 do edifício com TMD para a solicitação descrita encontram-se

representados na figura 45.

Figura 45-Deslocamentos do nó 5 do edifício com TMD para a solicitação harmónica segundo Y

Deste modo, pela interpretação dos gráficos das figuras 44 e 45, constata-se que o deslocamento

máximo obtido para a estrutura sem TMD para a solicitação descrita anteriormente, é de

aproximadamente 0,217 metros, e para a estrutura com TMD é de 0,078 metros. Estes

deslocamentos foram obtidos de forma aproximada e ignorando o regime transitório que ambas as

estruturas apresentam nos onze primeiros segundos quando excitadas por este tipo de solicitação.

Tentou-se evitar que este regime não existisse mas apenas se conseguiu minimizá-lo. Assim, os

deslocamentos obtidos até aproximadamente t=11 segundos foram ignorados.

Conclui-se que, pela modelação da estrutura no programa SAP 2000, existe uma redução de 64%

dos deslocamentos quando se acopla no topo da estrutura um piso adicional com as características

descritas anteriormente.

57

5.3 Comparação de resultados entre a modelação como oscilador

contínuo e a modelação como elementos finitos

Na tabela 16 apresenta-se um quadro resumo onde se podem comparar os resultados obtidos na

modelação em elementos finitos e como osciladores contínuos.

Tabela 16-Comparação de resultados entre ambos os modelos

Sem TMD (m) Com TMD (m) Redução

Deslocamento máximo

Elementos finitos 0,217 0,078 64%

Deslocamento máximo

Osciladores contínuos

0,206 0,088 57%

Erro 5% 12%

Como se pode constatar, conseguiram-se ótimas reduções dos deslocamentos provocados pela

solicitação descrita. No entanto há que referir que a solicitação que foi utilizada como vibração de

solo é uma solicitação muito teórica e muito pouco realista, pois possui uma frequência de excitação

fixa. Quando uma estrutura deste tipo é solicitada por um sismo, este possui uma vasta gama de

frequências de excitação ou seja, o TMD (que foi dimensionado para funcionar quando frequências

próximas de 1Hz excitam a estrutura) irá ter um menor efeito na estrutura, podendo no limite existir

um aumento dos deslocamentos entre a estrutura sem e com TMD. Assim, o piso adicional irá ser

menos eficaz.

Outro pormenor que é importante realçar é que, na estrutura sem TMD, por ser mais simples, possui

um erro relativamente pequeno entre os deslocamentos máximos obtidos entre os dois modelos. Por

outro lado, a tabela 16 demonstra que a estrutura com TMD possui mais que o dobro do erro entre os

deslocamentos referidos anteriormente. Isto acontece porque a frequência do terceiro modo da

estrutura com TMD do modelo em elementos finitos é um pouco superior à frequência do segundo

modo de vibração obtida para a estrutura do modelo como osciladores contínuos, isto pode ser

consultado na tabela 15 apresentada anteriormente. Os modos referidos são modos análogos entre

modelos diferentes e, pela consulta da tabela 12, são modos que possuem coeficientes de

amplificação dinâmica e valores de Yn muito elevados comparativamente com os dos outros modos o

que implica que por muito pequena que seja a variação entre as frequências dos dois modos, o

resultado na resposta final da estrutura irá ser relativamente grande. Isto demonstra a sensibilidade

da estrutura face a ser adicionado no seu topo um TMD.

58

59

6. Análise da resposta às ações sísmicas

Neste capítulo, o objetivo é efetuar uma análise da resposta da estrutura com e sem TMD às ações

sísmicas e analisar o benefício que possa ou não apresentar a solução de um piso adicional que

funcione como TMD.

Para avaliar a resposta da estrutura às ações sísmicas, solicitou-se a mesma por um conjunto de

sismos com características variadas. Os sismos utilizados são representativos dos dois tipos

existentes em Portugal. Optou-se por considerar que as estruturas estavam localizadas em Lisboa

que corresponde à zona 3 indicada no zonamento afeto ao Eurocódigo 8. Foi considerado um solo de

fundação do tipo B (solo rígido).

Um sismo do tipo 1 é um sismo cujo epicentro ocorre longe da localização da estrutura em causa e

caracterizado por ser de grande magnitude/energia. Como este tipo de sismo é afastado da

localização da estrutura, as altas frequências atenuam-se e assim as estruturas de baixas

frequências ou menos rígidas irão ser mais condicionadas por este tipo de sismo.

Um sismo do tipo 2 é um sismo que possui um epicentro perto da localização da estrutura em causa,

possui uma baixa magnitude/energia. Como este é próximo da localização da estrutura, as altas

frequências não se irão atenuar e as estruturas mais rígidas ou de maiores frequências irão ser as

mais condicionadas por este tipo de sismo.

Todos os sismos considerados poderão ser consultados no anexo 8.

Na figura 46 pode-se localizar a zona em estudo para os dois tipos de ações sísmicas.

Figura 46-Zonamento sísmico considerado pelo EC8 para o território Português (EN 1998-1, 2010)

60

Os valores da aceleração máxima de referência - agR (m/s2) para os dois tipos de sismos nas várias

zonas sísmicas podem ser consultadas na figura 47.

Figura 47- Valores da aceleração máxima de referência para os dois tipos de sismos nas várias zonas sísmicas (EN 1998-1,

2010)

Como se pode constatar, a zona em estudo possui um valor de aceleração máxima de referência

intermédio entre os valores máximos e mínimos para as zonas existentes em Portugal.

O tipo de solo escolhido (Tipo B) é um solo que possui as características assinaladas na figura 48.

Figura 48-Tipos de solo considerados pelo EC8 (EN 1998-1, 2010)

Em que:

𝜈𝑠30 – Velocidade média das ondas de corte;

NSPT – Número de pancadas do ensaio SPT;

cu – Resistência não drenada do solo.

61

Mais uma vez foi este o tipo de solo escolhido por ter características intermédias entre os tipos de

solos existentes e considerados no EC8.

Foram analisados, para o modelo da estrutura em elementos finitos, 10 sismos do tipo 1 e 10 do tipo

2. Retirou-se o deslocamento máximo em valor absoluto, para as estruturas com e sem TMD

(deslocamento no nó 5, figura 43 que se encontra à altura de 60 metros).

De seguida compararam-se os resultados obtidos efetuando a média de todos os dez deslocamentos

máximos do sismo tipo 1 e do tipo 2 para as estruturas com e sem TMD retirados do programa, e

calculou-se a redução obtida.

Os resultados obtidos para os sismos tipo 1 encontram-se representados na tabela 17.

Tabela 17-Resultados obtidos para o edifício de 20 pisos sismos tipo 1

Sismo tipo 1 Deslocamento

máximo Sem TMD (m)

Deslocamento máximo Com TMD

(m)

1 0,105 0,077

2 0,094 0,091

3 0,104 0,086

4 0,111 0,066

5 0,083 0,080

6 0,129 0,098

7 0,094 0,078

8 0,077 0,083

9 0,099 0,079

10 0,097 0,076

Média 0,099 0,081

Redução 18,18%

62

Os resultados obtidos para os sismos tipo 2 encontram-se representados na tabela 18.

Tabela 18-Resultados obtidos para o edifício de 20 pisos sismos tipo 2


máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,057 0,046

2 0,050 0,035

3 0,047 0,044

4 0,031 0,025

5 0,057 0,040

6 0,043 0,042

7 0,040 0,057

8 0,068 0,034

9 0,036 0,034

10 0,045 0,044

Média 0,047 0,040

Redução 15,75%

Comparando com a solicitação harmónica enunciada no capítulo 5, constata-se que o benefício em

se possuir um piso adicional que funcione como TMD num edifício com as características descritas

anteriormente e quando o mesmo é solicitado por um sismo não é tão elevado como já era

espectável. Uma solicitação sísmica não possui uma frequência fixa, possui uma infinidade de

frequências com quantidades de energias variáveis. Deste modo, o efeito de controlo de vibrações do

TMD não irá ser tão elevado já que este apenas foi dimensionado para atuar numa dada frequência,

neste caso 1Hz.

Pela interpretação das tabelas anteriores, conclui-se que para um sismo afastado (tipo 1) a estrutura

sem TMD, por possuir uma baixa frequência, irá ter maiores deslocamentos isto porque neste tipo de

sismo as baixas frequências possuem maior energia do que as altas e por isso verificam-se menores

valores de deslocamentos da mesma estrutura para um sismo tipo 2 pois a frequência da estrutura

em causa irá ser solicitada com uma menor energia neste tipo de sismo.

Se a frequência de 1Hz possuir elevada energia num dado sismo, a estrutura irá vibrar mais mas

também o TMD irá ser mais eficiente em vez de apenas ser um peso “morto” daí o fato de se terem

obtido melhores resultados para o sismo afastado do que para o próximo. Por outro lado, se a mesma

frequência possuir baixa energia num outro sismo, a estrutura irá vibrar menos e além disso o TMD

não irá funcionar podendo em certos casos a estrutura com TMD possuir um maior deslocamento

para uma altura de Z=60 metros do que a mesma estrutura sem TMD.

63

6.1 Análise Paramétrica à massa do TMD

A variação da massa do TMD relativamente à massa da estrutura principal poderá conduzir a

melhores ou piores comportamentos do efeito do TMD na mesma. Assim, utilizando o modelo

constituído por elementos finitos, fez-se um estudo à percentagem ótima da massa do TMD

relativamente à massa total do edifício. Essa percentagem conduz aos melhores valores de redução

de deslocamentos no edifício de 20 andares estudado anteriormente.

Por estudos anteriores sabe-se que, para que o TMD seja eficiente, a massa do mesmo deverá

rondar os 2 a 5% da massa total da estrutura principal (Antunes, 2006).

Assim, estudou-se o comportamento de edifícios acoplados de um TMD cuja massa do mesmo fosse

de um 1%, 2,5%, 5%, 7,5%, 10% e por fim 12,5% da massa total do edifício. É de salientar que os

valores da massa do TMD relativamente à massa da estrutura principal em análise (de 20 pisos)

superiores a 5% são valores pouco realistas pois representam mais do que um piso adicional.

Nomeadamente a relação de 12,5% representa mais do que dois pisos adicionais.

Desta forma para cada caso, utilizou-se a estrutura com TMD original, que possuía um TMD com uma

massa igual a x% da massa do edifício, correram-se no programa os sismos estudados anteriormente

no capítulo 6, e retiraram-se as reduções obtidas.

De notar que para se fazer este estudo, foi necessário não só alterar as massas das lajes do piso

adicional mas também o módulo de elasticidade das molas que o sustentam, isto para que o TMD

continue a possuir uma frequência própria de 1Hz e assim continue sintonizado da forma desejada.

As características do edifício sem TMD podem ser consultadas na tabela 19.

Tabela 19-Caraterísticas do edifício sem TMD de 20 pisos

E (kPa) Massa do edifício

(ton)

5523,00 14348,60

Visto as molas do TMD funcionarem por distorção, é de notar que para se obter o módulo de

distorção do material constituído pelas mesmas utiliza-se a expressão (70):

𝐺 =

𝐸

2(1 + 𝜈) (70)

Em que:

𝜈- é o coeficiente de poisson adotado para o material, neste caso adotou-se o valor corrente de 0,3.

64

As massas e módulos de elasticidade adotados para os vários casos encontram-se representados na

tabela 20.

Tabela 20-Caraterísticas calculadas para cada tipo de relação entre a massa do TMD e a do edifício

Percentagem da massa do TMD em relação à do edifício

Massa para cada laje do TMD (ton)

E molas TMD (kPa)

1,0% 71,74 1104,60

2,5% 179,36 2761,50

5,0% 358,72 5523,00

7,5% 538,07 8284,49

10,0% 717,43 11045,99

12,5% 896,79 13807,49

65

Nas tabelas 21 e 22, encontram-se representados os resultados obtidos para MTMD=1% MEstrutura.

Tabela 21-Resultados obtidos para o sismo tipo 1 MTMD=1% MEstrutura


máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,105 0,089

2 0,094 0,077

3 0,104 0,080

4 0,111 0,070

5 0,083 0,082

6 0,129 0,096

7 0,094 0,076

8 0,077 0,077

9 0,099 0,109

10 0,097 0,086

Média 0,099 0,084

Redução 15,14%



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,057 0,052

2 0,050 0,046

3 0,047 0,049

4 0,031 0,039

5 0,057 0,050

6 0,043 0,035

7 0,040 0,048

8 0,068 0,049

9 0,036 0,033

10 0,045 0,036

Média 0,047 0,044

Redução 8,10%

66

Nas tabelas 23 e 24, encontram-se representados os resultados obtidos para MTMD=2,5% MEstrutura.

Tabela 23-Resultados obtidos para o sismo tipo 1 MTMD=2,5% MEstrutura


máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,105 0,085

2 0,094 0,072

3 0,104 0,081

4 0,111 0,056

5 0,083 0,077

6 0,129 0,095

7 0,094 0,077

8 0,077 0,080

9 0,099 0,077

10 0,097 0,082

Média 0,099 0,078

Redução 21,49%



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,057 0,049

2 0,050 0,042

3 0,047 0,049

4 0,031 0,032

5 0,057 0,049

6 0,043 0,039

7 0,040 0,056

8 0,068 0,036

9 0,036 0,032

10 0,045 0,035

Média 0,047 0,042

Redução 11,44%

Nas tabelas 17 e 18, apresentadas anteriormente, encontram-se representados os resultados obtidos

para MTMD=5% MEstrutura.

67




máximo Sem TMD (m)


1 0,105 0,078

2 0,094 0,086

3 0,104 0,087

4 0,111 0,062

5 0,083 0,078

6 0,129 0,090

7 0,094 0,086

8 0,077 0,099

9 0,099 0,081

10 0,097 0,091

Média 0,099 0,084

Redução 15,50%



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,057 0,045

2 0,050 0,032

3 0,047 0,040

4 0,031 0,028

5 0,057 0,039

6 0,043 0,047

7 0,040 0,053

8 0,068 0,041

9 0,036 0,043

10 0,045 0,049

Média 0,047 0,042

Redução 12,17%

68

Nas tabelas 27 e 28, encontram-se representados os resultados obtidos para MTMD=10% MEstrutura.



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,105 0,075

2 0,094 0,081

3 0,104 0,089

4 0,111 0,063

5 0,083 0,100

6 0,129 0,087

7 0,094 0,091

8 0,077 0,099

9 0,099 0,087

10 0,097 0,094

Média 0,099 0,087

Redução 12,80%



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,057 0,044

2 0,050 0,033

3 0,047 0,043

4 0,031 0,029

5 0,057 0,038

6 0,043 0,060

7 0,040 0,047

8 0,068 0,045

9 0,036 0,052

10 0,045 0,052

Média 0,047 0,044

Redução 6,55%

69




máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,105 0,082

2 0,094 0,083

3 0,104 0,085

4 0,111 0,060

5 0,083 0,103

6 0,129 0,085

7 0,094 0,089

8 0,077 0,094

9 0,099 0,091

10 0,097 0,101

Média 0,099 0,087

Redução 11,98%



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,057 0,048

2 0,050 0,034

3 0,047 0,049

4 0,031 0,033

5 0,057 0,037

6 0,043 0,062

7 0,040 0,043

8 0,068 0,050

9 0,036 0,052

10 0,045 0,055

Média 0,047 0,046

Redução 2,75%

70

Na tabela 31 apresentam-se os resultados obtidos resumidos para este caso de estudo.

Tabela 31- Resultados obtidos resumidos

Percentagem da massa do TMD em relação à do

edifício

Redução obtida

Sismo tipo 1 Sismo tipo 2

1,0% 15,14% 8,10%

2,5% 21,49% 11,44%

5,0% 18,18% 15,75%

7,5% 15,50% 12,17%

10,0% 12,80% 6,55%

12,5% 11,98% 2,75%

Conclui-se que os melhores resultados obtidos para a relação entre a massa do TMD e a do edifício

correspondem a 2,5% e 5%. Elegeu-se o valor de 5% como melhor entre os dois pois, apesar de

possuir ligeiramente um menor desempenho para o sismo tipo 1 que o valor de 2,5%, este possui

francamente melhores resultados para o sismo tipo 2 quando comparado com os resultados obtidos

com a massa do TMD a 2,5%.

De notar que o desempenho do TMD aumenta até a sua massa ser 5% da massa da estrutura

principal e de seguida diminui até aos 12,5%.

Curiosamente, a massa do TMD que produz um maior desempenho na estrutura principal é a que

originalmente foi estudada, de 5%. A partir deste ponto, todos os estudos efetuados e resultados

obtidos foram para um TMD que possuísse um valor da massa de 5% da massa da estrutura

principal.

6.2 Solicitação de sismos a edifícios com diversas alturas

Depois de se ter estudado a percentagem de massa do TMD que introduzia um maior efeito na

estrutura principal, ir-se-á estudar agora a altura (o número de pisos) da estrutura principal que irá ter

uma maior eficiência quando acoplada de um piso adicional com as características referidas

anteriormente e com uma massa de 5% da massa da estrutura principal.

Foram estudados 5 tipos de edifícios de alturas variáveis, com 4, 8, 12, 16 e o original de 20 pisos

que possuíssem cada um, um TMD sintonizado para o 1º modo de vibração segundo Y.

71

Analogamente ao que se fez no capítulo 6.1, para além de ser necessário alterar a massa das lajes

do TMD para que estas possuam um valor de 5% da massa do edifício principal, foi também

necessário alterar o módulo de elasticidade das molas para que o TMD possua uma frequência igual

à frequência que o edifício em causa irá possuir. Esta frequência irá obviamente ser diferente de 1Hz

exigido anteriormente, uma vez que se estão a alterar as características estruturais do edifício

principal.

Na tabela 32 encontram-se resumidos os resultados obtidos para as características dos vários

edifícios antes destes serem analisados.

Tabela 32-Caraterísticas calculadas para os vários edifícios

Número de pisos

Frequência ( Hz) M total (ton)

M TMD (ton)

E (kPa)

20 1,00 14348,60 717,43 5522,99

16 1,28 11478,88 573,94 7275,79

12 1,75 8609,16 430,46 10103,77

8 2,65 5739,44 286,97 15509,64

4 5,24 2869,72 143,49 30318,00

Com base nestes valores adotados, estudaram-se os 5 edifícios (apenas 4 na realidade uma vez que

o edifício de 20 andares já tinha sido analisado) com os sismos apresentados anteriormente de forma

a posteriormente serem retiradas conclusões.

Nas tabelas 17 e 18 apresentadas anteriormente, encontram-se os resultados obtidos para o edifício

de 20 andares.

72

Nas tabelas 33 e 34 encontram-se apresentados os resultados obtidos para o edifício de 16 pisos.

Tabela 33-Resultados obtidos para o sismo tipo 1 edifício de 16 pisos


máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,064 0,050

2 0,064 0,058

3 0,067 0,073

4 0,067 0,057

5 0,081 0,070

6 0,091 0,064

7 0,077 0,066

8 0,071 0,048

9 0,064 0,076

10 0,081 0,065

Média 0,073 0,063

Redução 13,80%



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,024 0,029

2 0,039 0,032

3 0,050 0,034

4 0,028 0,028

5 0,043 0,032

6 0,045 0,027

7 0,037 0,037

8 0,036 0,039

9 0,039 0,024

10 0,036 0,033

Média 0,038 0,031

Redução 16,21%

73




máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,039 0,036

2 0,054 0,044

3 0,052 0,049

4 0,049 0,037

5 0,066 0,037

6 0,059 0,038

7 0,050 0,045

8 0,043 0,038

9 0,047 0,036

10 0,051 0,046

Média 0,051 0,041

Redução 20,09%



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,019 0,018

2 0,031 0,019

3 0,034 0,020

4 0,020 0,017

5 0,028 0,022

6 0,039 0,022

7 0,029 0,021

8 0,030 0,026

9 0,029 0,015

10 0,023 0,021

Média 0,028 0,020

Redução 29,07%

74




máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,027 0,021

2 0,021 0,024

3 0,023 0,018

4 0,025 0,022

5 0,022 0,020

6 0,023 0,021

7 0,028 0,019

8 0,022 0,019

9 0,031 0,023

10 0,035 0,024

Média 0,026 0,021

Redução 18,31%



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,016 0,011

2 0,020 0,012

3 0,016 0,013

4 0,016 0,012

5 0,021 0,015

6 0,017 0,016

7 0,017 0,017

8 0,021 0,018

9 0,025 0,012

10 0,015 0,013

Média 0,018 0,014

Redução 24,39%

75




máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,0051 0,0049

2 0,0056 0,0058

3 0,0063 0,0053

4 0,0054 0,0053

5 0,0056 0,0054

6 0,0055 0,0053

7 0,0059 0,0049

8 0,0059 0,0046

9 0,0056 0,0052

10 0,0061 0,0053

Média 0,0057 0,0052

Redução 8,94%



máximo Sem TMD (m)


(m)

1 0,0062 0,0054

2 0,0071 0,0066

3 0,0060 0,0044

4 0,0070 0,0046

5 0,0066 0,0049

6 0,0072 0,0068

7 0,0065 0,0048

8 0,0065 0,0056

9 0,0061 0,0059

10 0,0066 0,0049

Média 0,0066 0,0054

Redução 17,92%

76

Na tabela 41 encontram-se resumidos os resultados obtidos para as reduções de deslocamentos dos

edifícios de vários pisos.

Tabela 41-Resultados obtidos resumidos para os vários edifícios

Número de pisos

Redução obtida

Sismo tipo 1 Sismo tipo 2

20 18,18% 15,75%

16 13,80% 16,21%

12 20,09% 29,07%

8 18,31% 24,39%

4 8,94% 17,92%

Como se pode constatar, pela interpretação dos dados fornecidos nas tabelas anteriores, o edifício

que possui maior eficiência quando acoplado com um TMD com as características descritas

anteriormente e com uma massa de 5% da massa total da estrutura principal é o edifício de 12

andares.

A conclusão a retirar não é que um edifício igual ao edifício de 12 andares com um piso adicional é

que é mais eficaz mas sim que um edifício com a frequência de vibração do seu primeiro modo igual

à do edifício de 12 pisos é que irá ter melhores resultados quando no seu topo o mesmo possui um

piso adicional que funcione como TMD.

É importante realçar que quanto mais rígido ou quanto maior for a frequência do modo da estrutura

principal para o qual queremos sintonizar o TMD, maior será a diferença entre a primeira e a segunda

frequência do modo do edifício com um tuned mass damper sintonizado.

Como foi referido anteriormente, as estruturas mais rígidas serão mais sensíveis ao sismo próximo

(sismo tipo 2). Isto constata-se pela interpretação da tabela 40, no edifício de 4 andares existe uma

maior redução de deslocamentos para o sismo tipo 2, o que será benéfico.

De forma a justificar as conclusões a que se chegou de uma forma mais clara, foi feita uma análise de

Fourier (Fast Fourier Transformation (FFT)) ao sinal de acelerações provocadas pelo sismo tipo 1

número 5 e outra ao sinal de deslocamentos existentes no topo do edifício quando o mesmo sismo

solicita a estrutura de 12 pisos.

A transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor qualquer tipo de sinal numa

sobreposição de harmónicas com uma dada frequência e amplitude. O objetivo é concluir quais as

frequências que possuem maior amplitude no sinal que está a ser analisado. A maior ou menor

amplitude obtida para cada frequência é uma forma indireta de se concluir quais as frequências que

possuem maior ou menor energia no sinal em análise. Desta forma é definida uma malha de

frequências que são o número de pontos a considerar para a análise. Este número de pontos não

poderá ser um qualquer mas sim ser igual a uma potência de 2 (2𝑛).

77

Com base na solicitação do sismo tipo 1 número 5, que foi o sismo que provocou maiores reduções

de deslocamentos no edifício de 12 andares, foi efetuada uma análise de Fourier para serem

retiradas conclusões relativamente à gama de frequências que iriam possuir maior energia.

Visto possuirmos em colunas no programa excel a distribuição de acelerações provocadas no solo do

sismo em função do instante em que estas ocorrem e que os mesmos se encontram discretizados em

intervalos de tempo com ∆𝑡 = 0,01s e vão de t=0 a t=40,95 segundos (isto com o intuito de

possuirmos o número de instantes igual a 212 = 4096). Assim criou-se uma terceira coluna com os

valores de frequências para os quais se queria tirar as respetivas amplitudes. A variação de valores

de frequência adotado foi de ∆𝑓 =1

2𝑛×∆𝑡=

1

40,96. O programa em causa apenas retira valores de

amplitudes para 𝑓 ≤1

2∆𝑡= 50𝐻𝑧 por isso os resultados superiores a esse valor foram ignorados.

A partir do comando Transformada de Fourier (Fast Fourier Transformation, FFT) do programa

colocaram-se como dados de entrada a coluna de acelerações. De seguida numa nova coluna

calculou-se o módulo das respetivas coordenadas obtidas. O resultado obtido é a amplitude/energia

que cada frequência possui no sismo em causa.

No gráfico representado na figura 49 pode ser consultada a distribuição de amplitudes/energia para

cada valor de frequência para a solicitação do sismo tipo 1 número 5.

Figura 49-Análise de Fourier das acelerações (FFT)

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

Am

plit

ud

e/En

ergi

a

Frequência (Hz)

Análise de Fourier das acelerações

78

No gráfico da figura 50, encontra-se representada uma ampliação do gráfico anterior entre os valores

de frequências de 0 a 10 Hz.

Figura 50-Análise de Fourier das acelerações ampliada (FFT)

Como se pode constatar a gama de frequências que possuem maior energia neste tipo de solicitação

são as frequências que se encontram entre 1,5 Hz e 2,5 Hz.

A frequência de 1,75 Hz que é a frequência do primeiro modo do edifício de 12 andares encontra-se

dentro do intervalo de frequências com maior energia pela interpretação do gráfico anterior. Daí o

edifício de 12 andares ter sido mais eficaz entre os 5 tipos de edifícios que foram estudados

(4,8,12,16,20 pisos), pois foi para essa mesma frequência que o seu TMD foi sintonizado.

Paralelamente à análise de Fourier efetuada para as acelerações foi feito o mesmo para o sinal de

deslocamentos que o mesmo sismo (tipo 1 número 5) provoca no topo do edifício principal de 12

pisos.

Correu-se o respetivo sismo para o edifício de 12 andares no programa SAP 2000 e retiraram-se os

deslocamentos de um dos 4 nós do topo da estrutura principal. Os respetivos deslocamentos foram

discretizados da mesma forma que anteriormente as acelerações foram.

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10

Am

plit

ud

e/En

ergi

a

Frequência (Hz)

Análise de Fourier das acelerações

79

Correu-se o comando Análise de Fourier (FFT) e retiraram-se os resultados que podem ser

consultados nos gráficos representados nas figuras 51 e 52.

Figura 51-Análise de Fourier dos deslocamentos (FFT)

Figura 52-Análise de Fourier dos deslocamentos ampliada (FFT)

Neste caso obtiveram-se claramente dois picos de energia, um nas frequências da ordem dos 1,5 Hz

e outro pico ainda que menos pronunciado nas frequências da ordem dos 2 Hz. Irá ser nessas gamas

de frequências que os deslocamentos irão possuir maior amplitude/energia. O edifício sozinho possui

uma frequência de 1,75 Hz. E com o TMD sintonizado a primeira frequência é de 1,48 Hz e a

segunda 2,04 Hz que correspondem aos picos referidos anteriormente. Neste caso conclui-se que o

primeiro modo do edifício com TMD foi mais solicitado do que o segundo modo.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10

Am

plit

ud

e/En

ergi

a

Frequência Hz

Análise de Fourier de Deslocamentos

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Am

plit

ud

e/En

ergi

a

Frequência Hz

Análise de Fourier de Deslocamentos

80

6.3 Dimensionamento do Piso adicional do edifício de 12 pisos

Uma vez que foi o edifício constituído por 12 andares que nos ofereceu um melhor comportamento

quando amortecido por um piso adicional que funcione como um TMD com as características

descritas anteriormente, deciciu-se dimensionar com relativo pormenor, o piso adicional com as

características deste caso.

6.3.1 Controlo de deslocamentos do Piso adicional

Como foi referido no capítulo 2, quando um TMD é sintonizado para controlar os deslocamentos

provocados quando um determinado modo de vibração é excitado, os deslocamentos da estrutura

principal são reduzidos, mas os deslocamentos do TMD tendem a disparar. Assim torna-se

necessário controlar as vibrações do mesmo pela adoção de amortecedores.

A equação diferencial de equilíbrio de uma estrutura sujeita a um movimento harmónico sem qualquer

tipo de solicitação externa encontra-se descrita na expressão (71).

𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 0 (71)

Dividindo tudo pela massa obtém-se a expressão (72).

�̈� +

𝑐

𝑚�̇� + 𝑝2𝑥 = 0 (72)

Fez-se uma ligeira alteração da equação (72) para a expressão apresentada em (73).

�̈� + 𝑎�̇� + 𝑏𝑥 = 0 (73)

Em que:

𝑎 =𝑐

𝑚;

𝑏 = 𝑝2;

81

As soluções existentes para a equação diferencial apresentada em (73) podem ser de três tipos:

- Se 𝑎2 > 4𝑏 obtêm-se duas raízes reais com a configuração apresentada na expressão (74).

𝑞(𝑡) = 𝐶1𝑒

𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑒𝜆2𝑡 (74)

Em que 𝐶1 e 𝐶2, 𝜆1 e 𝜆2 são constantes provenientes da forma canónica da equação diferencial.

- Se 𝑎2 = 4𝑏, limite a partir do qual existe movimento oscilatório, obtém-se uma raiz real dupla com a

seguinte configuração:

𝑞(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2𝑡)𝑒

−𝑎𝑡2 (75)

- Se 𝑎2 < 4𝑏, obtêm-se duas raízes imaginárias com a seguinte configuração:

𝑞(𝑡) = (𝐶1𝑐𝑜𝑠(𝑝𝑑𝑡) + 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑑𝑡))𝑒

−𝑎𝑥2 (76)

Em que 𝑝𝑑 representa a frequência angular amortecida da estrutura dada por:

𝑝𝑑 = 𝑝√1 − 𝜉

2 ~ 𝑝 (77)

Como foi referido anteriormente, o limite para existir movimento oscilatório é quando:

𝑎2 = 4𝑏 ⇔

𝑐2

𝑚2= 4𝑝2⇔ 𝑐 = 2𝑚𝑝 = 𝑐𝑐 (78)

Assim, para se verificar a existência de um movimento oscilatório tem que:

𝑐 < 2𝑚𝑝 = 𝑐𝑐 ⇒

𝑐

𝑐𝑐< 1 (79)

82

A relação entre o amortecimento e o amortecimento crítico é chamada de coeficiente de

amortecimento ξ que já foi enunciado no capítulo 5.1.

Um valor típico para o coeficiente de amortecimento do amortecedor de um TMD análogo ao que está

sendo objeto de estudo é 20% ou seja:

𝑐

𝑐𝑐= 0,2 ⇔ 𝑐 = 0,2𝑐𝑐 = 2 × 0,2 × 𝑀𝑇𝑀𝐷 × 𝑝𝑇𝑀𝐷 (80)

Sabe-se, pelos dados apresentados na tabela 32, que:

𝑀𝑇𝑀𝐷 = 430,46 𝑡𝑜𝑛;

𝑝𝑇𝑀𝐷 = 1,746 𝐻𝑧 (utilizando 3 casas decimais).

Então:

𝑐 = 0,4 × 430,46 × 2𝜋 × 1,746 = 1888,93 𝑘𝑁𝑠𝑚−1 (81)

Deste modo, considerou-se o modelo do edifício de 12 andares com TMD, e aplicou-se no nó central

da figura 53 que representa o plano intermédio dos apoios do TMD, um amortecedor em cada

direção.

Figura 53-Modelo do amortecedor adotado para o SAP 2000

No plano intermédio dos apoios do TMD (ou seja entre o plano inferior da laje inferior do piso

adicional e o plano superior da laje do último piso da estrutura principal), nos nós iniciais e terminais

83

de ambos os amortecedores criaram-se duas barras verticais e rígidas a partir de onde se iria criar

cada elemento representativo de cada amortecedor, isto encontra-se ilustrado na figura 54, a azul as

vigas e pilares tanto do TMD como do edifício principal, a vermelho as referidas barras rígidas e a

preto, o amortecedor.

Figura 54-Modelo do amortecedor ampliado

No programa SAP 2000, quando se pretende criar um amortecedor seguindo esta ordem de ideias

ele é criado acoplado por defeito, de uma mola em série. Assim, para que não existisse qualquer tipo

de deformação na mesma evitando-se assim a alteração dos resultados atribuiu-se um valor de 106 a

esse termo de rigidez. Considerou-se um dissipador linear com a velocidade.

Figura 55-Caraterísticas adotadas para os amortecedores

84

Efetuou-se o procedimento referido para ambos os amortecedores modelados e escolheu-se um

sismo dos 20 disponíveis, o sismo tipo 1 número 5. Este sismo foi escolhido por ser o caso em que o

TMD reduzia mais os deslocamentos do edifício de 12 andares como já foi referido. Retiraram-se os

resultados relativamente aos deslocamentos do nó 5. Sendo este nó o nó imediatamente abaixo da

base de um dos apoios do TMD e já pertencente à estrutura principal. Retiraram-se resultados

relativamente aos deslocamentos do nó 2, sendo este o nó existente na vertical do nó 5,

imediatamente acima da parte superior do apoio do TMD e já pertencente à laje inferior do mesmo.

Na tabela 42 encontram-se os resultados referidos.

Tabela 42-Resultados obtidos para os deslocamentos do piso adicional

Sem amortecimento

Com amortecimento

Deslocamento do TMD nó 2 (m)

0,126 0,088

Deslocamento do edifício nó 5

(m) 0,037 0,039

Variação de deslocamento

(m) 0,089 0,049

Ou seja, com a utilização de amortecimento no TMD a variação de deslocamentos nos apoios reduz-

se sensivelmente para metade da existente sem amortecimento, o valor de 0,049 metros é um bom

valor visto representar cerca de 16% da altura inicial dos apoios (0,3 metros), e assim provocar uma

distorção nos apoios do piso adicional satisfatória.

6.3.2 Dimensionamento do piso adicional e respetivos apoios

Apesar de se ter sempre considerado que a geometria da área das lajes do TMD numa primeira

instância seria igual à geometria da área do edifício em planta, na realidade isto não se irá concretizar

uma vez que temos uma determinada massa a impor por laje com um determinado peso volúmico e

com um determinado pé-direito (ver tabela 32).

𝑀 =

𝛾

𝑔× 𝐴 × ℎ⇔

430,46

2=3,91

9,81× 𝐴 × 3⇔ 𝐴 = 180 𝑚2 (82)

Iterativamente chegaram-se às dimensões finais da laje em planta, sendo elas de 11 × 16,5 m2.

85

Como já foi referido anteriormente, os aparelhos de apoio irão ser produzidos em neoprene. Este tipo

de elastómero para além de se deformar por distorção para cargas horizontais, quando carregada

verticalmente, possui uma deformação sem variação de volume, apenas com variação de área da

forma ilustrada na figura 56 (de A para B). Este é o tipo de deformação mais condicionante nas

borrachas. De notar que este tipo de deformação não é por efeito de poisson.

Figura 56-Deformação das borrachas

Figura 57-Impedimento da deformação das borrachas

Para uma estrutura análoga à estrutura em estudo, este tipo de deformação não poderá existir pois

irá provocar instabilidade no piso adicional. O ideal seria impedirmos os apoios de terem a deformada

anterior, como se encontra ilustrado em C (figura 57).

Como este tipo de apoio é difícil de materializar com as condições que possuímos, opta-se por

colocar várias camadas muito pouco espessas apoiadas sucessivamente umas nas outras até se

obter a altura de apoios desejada D (figura 58).

86

Deste modo, as camadas quando carregadas na vertical ir-se-ão deformar da maneira ilustrada em E

(figura 59).

Figura 58-Camadas de borrachas

Figura 59-Deformação do apoio final considerado para sustentar o piso adicional

Relativamente às dimensões dos aparelhos de apoio, em vez da hipótese pouco realista de 4 apoios

quadrangulares em cada vértice da planta do TMD, optou-se por colocar aparelhos de apoio

cilíndricos, todos iguais, um em cada intersecção de vigas da malha do TMD o que, com a área a que

se chegou no cálculo anterior, dá um total de 9 aparelhos de apoio.

Sabendo que o módulo de distorção do material mais comum que compõe os aparelhos de apoio do

piso adicional varia entre 0,4 Mpa a 1,4 Mpa impôs-se um módulo de distorção intermédio G=1MPa.

Uma vez que a frequência própria do TMD tem de igualar a frequência própria do primeiro modo do

edifício sem TMD (f=1,75Hz), possuímos todas as condições para iterativamente serem

dimensionados os aparelhos de apoio do TMD.

𝑓 =1

2𝜋√𝐾𝑇𝑀𝐷𝑀𝑇𝑀𝐷

⇔𝐾𝑇𝑀𝐷 = (1,75 × 2𝜋)2 × 430,46 = 52043,76

𝑘𝑁

𝑚 (83)

𝐾𝑇𝑀𝐷 =

9𝐺𝐴

ℎ⇔ 52043,76 =

9 × 1000𝐴

ℎ⇔𝐴

ℎ= 5,78 𝑚2/𝑚 (84)

87

Retiraram-se as seguintes dimensões (apresentadas na tabela 43) que respeitassem a imposição a

que se chegou.

Tabela 43-Resultados obtidos para as dimensões dos apoios do piso adicional

D (mm) A (m2) h (mm) A/h

(m2/m)

800 0,50 86,90 5,78

900 0,64 110,00 5,78

1000 0,79 136,00 5,77

Assim optou-se por adotar um diâmetro de 900 mm para os aparelhos de apoio e uma altura de 110

mm.

Foram também pré-dimensionadas as dimensões das vigas e da laje que constituem a estrutura do

piso adicional.

Chegaram-se aos valores de 0,5 metros de altura por 0,3 metros de largura para as vigas, e uma

espessura de 0,20 metros para a laje.

Nas figuras 60 e 61 podem ser consultados uma planta do piso adicional e um corte, ambas cotadas.

88

89

Figura 60-Planta do piso adicional

90

91

Figura 61-Corte A-A' da estrutura do piso adicional

92

93

7. Conclusões e Desenvolvimentos futuros

Quando num edifício é necessário efetuar um reforço sísmico, uma forma inovadora e pouco usual de

o executar é acrescer-lhe um piso adicional que tenha como principal função a de funcionar como

tunned mass damper.

Assim, um piso adicional é um TMD constituído por:

Duas lajes espaçadas de um determinado pé direito no qual irá estar concentrada a maior

parte da massa do mesmo. Toda a restante será materializada à custa de equipamentos que

funcionarão como massas adicionais;

Um número de apoios que funcionarão como molas elásticas deformando-se por distorção

para solicitações horizontais e que o sustentarão.

Amortecedores localizados na base do piso e que possuem o objetivo de controlarem os

deslocamentos do TMD.

Quando o TMD se encontra sintonizado com a estrutura e um sismo a solicita, o aparelho irá produzir

forças de inércia proporcionais à massa do TMD e de sentido contrário ao movimento do edifício. O

resultado será uma diminuição dos deslocamentos da estrutura principal.

O dimensionamento do TMD passa por determinar a massa e a rigidez do TMD necessárias para

igualar a frequência de um determinado modo de vibração da estrutura principal. Quando isto se

concretiza, o TMD encontra-se sintonizado. De salientar que um TMD apenas poderá estar

sintonizado para controlar os deslocamentos de um determinado modo de vibração do edifício. Para

mais modos de vibração serem controlados será necessário proceder-se ao dimensionamento de

mais TMD’s sintonizados cada um para um determinado modo de vibração da estrutura principal.

No sentido de se compreender melhor este fenómeno, estudou-se um edifício de 60 metros (20

pisos), porticado, com dimensões retangulares em planta de 20 por 30 metros, e constantes em

altura. O objetivo foi avaliar a vantagem em se acrescentar no topo do edifício, um piso adicional que

funcionasse como TMD, sintonizado para o primeiro modo de vibração do edifício numa das direções.

Deste modo, modelou-se a estrutura de duas formas. O primeiro modelo foi partindo da teoria de

osciladores lineares contínuos por corte. O segundo modelo foi um modelo em elementos finitos

criado no programa SAP 2000.

Impôs-se que a frequência do seu primeiro modo de vibração fosse igual a 1 Hz. De seguida,

modelou-se o mesmo edifício mas adicionado de um tunned mass damper no seu topo sintonizado

para primeiro modo de vibração da estrutura principal.

Tendo os dois modelos sido criados, ambos foram solicitados por uma vibração de base muito

teórica, igual para os dois e com carater harmónico, com uma frequência muito parecida à frequência

do modo para o qual o TMD foi sintonizado. Isto foi feito com o objetivo de otimizar ao máximo o

desempenho do TMD. Os resultados obtidos foram, como era de esperar, bastante satisfatórios e

muito parecidos para ambos os modelos sendo que o fato de se possuir um TMD no topo do edifício

94

com as caraterísticas descritas permite uma redução de cerca de 60% dos deslocamentos que se

obtêm se não se possuir o TMD no topo da estrutura.

É de salientar que o valor obtido é pouco real visto a solicitação de base provocada na estrutura em

estudo ser uma solicitação bastante teórica.

De seguida, utilizando apenas o modelo criado em elementos finitos, foi estudado o comportamento

dos edifícios com e sem TMD quando solicitados por um determinado número de diferentes sismos.

Obviamente que a eficiência do TMD no edifício foi menor. Correram-se 10 sismos do tipo 1 e outros

10 do tipo 2 em ambas as estruturas (com e sem TMD) e calculou-se a redução nos deslocamentos

que o TMD impunha no edifício principal. Concluiu-se que o efeito do TMD provocava uma redução

de deslocamentos de cerca de 18% para os sismos tipo 1 e 16% para sismos tipo 2. Constata-se

novamente que, apesar do efeito do TMD no edifício ainda ser significativo, é no entanto menor que o

efeito obtido pela vibração de base de carater harmónico como já era de esperar.

De seguida, foi feita uma análise à resposta da estrutura com TMD variando a massa do mesmo. O

objetivo foi concluir qual a relação entre a massa do amortecedor de massa sintonizada e a do

edifício que proporcionaria um melhor desempenho ao TMD relativamente ao controle de

deslocamentos quando a estrutura é solicitada por um sismo. Correram-se os 20 sismos que foram

utilizados anteriormente para as estruturas com e sem TMD para os casos em que a massa do

tunned mass damper representava 1%, 2,5%, 5%, 7,5%, 10% e 12,5% da massa da estrutura

principal. Todos os casos referidos foram executados estando o TMD sintonizado para atuar no

primeiro modo de vibração da estrutura principal em questão. Concluiu-se então que a relação entre

as massas de ambas as estruturas (edifício e TMD) que conferia ao TMD o melhor desempenho seria

quando a massa do TMD representasse cerca de 5% da massa da estrutura principal.

Posteriormente, foi efetuada uma análise à altura do edifício. O objetivo foi concluir qual o tipo de

edifício acoplado de um piso adicional com o qual se iriam obter os melhores resultados possíveis no

que toca ao comportamento sísmico. Deste modo, foram estudados edifícios com as mesmas

características do edifício de 60 metros em termos de elementos estruturais mas com alturas

diferentes. Para além do edifício de 20 pisos, foram estudados também edifícios de 16, 12, 8, e 4

pisos. Todos os edifícios possuíam os respetivos TMD’s sintonizados para o primeiro modo de

vibração e cuja massa representava 5% da massa do edifício em causa. Correram-se os 20 sismos

para cada caso concluindo-se posteriormente que um edifício com uma frequência do primeiro modo

igual à frequência do primeiro modo do edifício de 12 pisos seria o tipo de edifício que iria possuir um

melhor desempenho sísmico quando o mesmo possuísse um piso adicional com as caraterísticas

descritas. Nestas circunstâncias, o efeito que o piso adicional impõe no edifício em causa é uma

redução das suas vibrações de cerca de 20 a 30%, dependendo do sismo.

Paralelamente ao estudo anterior foi feita uma análise de Fourier às acelerações do sismo tipo 1

número 5. Chegou-se à conclusão que as frequências que possuíam maior energia neste sismo e nos

sismos tipo 1 em geral eram as frequências que se encontram compreendidas entre 1,5 Hz e 2,5 Hz.

95

É por essa razão que o edifício de 12 andares (sem TMD), que possui uma frequência do primeiro

modo de cerca de 1,75 Hz, teve o melhor desempenho entre todos os edifícios analisados. É nessa

gama de frequências que existe maior excitação por parte dos sismos em causa e como existe uma

maior excitação nessa frequência, mais eficiente irá ser o seu piso adicional no controlo de

deslocamentos do edifício em causa uma vez que se encontra sintonizado para atuar nessa mesma

frequência.

Considerando o edifício de 12 pisos e no seu respetivo TMD dimensionou-se, com relativo detalhe, o

seu piso adicional quando a estrutura é solicitada pelo sismo tipo 1 número 5. Na figura 62 encontra-

se ilustrada a planta do piso adicional (cujas dimensões obtidas foram de 11 por 16,5 metros)

comparada com a planta do edifício corrente.

Optou-se por apoiar o piso adicional em 9 apoios neoprene circulares com 900mm de diâmetro e

110mm de altura situados nas interseções entre vigas e pilares como se encontra ilustrado na figura

62.

Figura 62-Planta do piso adicional

Calculou-se o amortecimento necessário para serem obtidos valores de deformações horizontais

aceitáveis para o sismo em causa.

É de realçar que todo o estudo efetuado a partir do capítulo 5.2 poderá ser realizado não só para

edifícios tipo pórtico como também para edifícios em betão armado com outra classificação estrutural

para ações sísmicas horizontais e para edifícios construídos noutro tipo de material. Ou seja, em

qualquer tipo de edifício poder-se-á aplicar um piso adicional que funcione como TMD de forma a

efetuar um reforço sísmico do mesmo.

96

7.1 Desenvolvimentos futuros

Quando um edifício necessita de um reforço sísmico é aconselhável a análise da possibilidade da

aplicação de um piso adicional que funcione como TMD como foi estudado nesta dissertação. Assim

sugerem-se os seguintes desenvolvimentos futuros:

I) Efetuar uma modelação aproximada do edifício em causa, podendo o mesmo ser estruturalmente

classificado de uma forma diferente da estudada nesta dissertação, ou ser constituído por outro

tipo de material (aço ou madeira);

II) Efetuar uma análise não linear da estrutura em causa com tuned mass damper no seu topo, e

avaliar se a adoção do TMD é viável ou não;

III) Analisar a eventualidade em se poder adotar não apenas um mas vários TMD’s. Os outros não

com as caraterísticas de pisos adicionais mas que sejam dispositivos que possam ser

sintonizados para efetuarem o controlo de vibração de outros modos do edifício em causa.

97

Referências

Antunes, G. (2006). Aplicação de “TUNED MASS DAMPERS” (TMD) no controlo de vibrações em

pontes pedonais. (Trabalho final de Curso) Instituto Superior Técnico.

Azevedo, J & Proença, J. (1991). Dinâmica de Estruturas.

EN 1998-1 (2010). Eurocódigo 8- Projecto de Estruturas para resistência aos sismos – Parte

1:Regras gerais, acções sísmicas, e regras para edifícios.

Guerreiro, L. (1999). Osciladores lineares contínuos. Apontamentos da Disciplina de Dinâmica e

Engenharia Sísmica.

Internet:

http://www.civil.ist.utl.pt/~luisg/

http://famouswonders.com/akashi-kaikyo-suspension-bridge/



http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/TMD%28small%29.jpg?uselang=pt

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Taipei101.portrait.altonthompson.jpg

http://damien.douxchamps.net/media/photo/_d2h4921/

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http://damien.douxchamps.net/media/photo/_d2h4921/

98

99

Anexos

100

101

Anexo 1 – Modos de vibração das camadas de solo

Tabela 44-Modos de deformação das camadas de solo

Deformação

Altura (m) Modo1 Modo2 Modo3

0,0 0,00 0,00 0,00

0,5 0,02 0,06 0,10

1,0 0,04 0,11 0,19

1,5 0,06 0,17 0,28

2,0 0,08 0,23 0,37

2,5 0,10 0,28 0,46

3,0 0,12 0,34 0,54

3,5 0,14 0,39 0,62

4,0 0,16 0,44 0,69

4,5 0,18 0,49 0,76

5,0 0,21 0,54 0,82

5,5 0,23 0,59 0,87

6,0 0,25 0,63 0,91

6,5 0,27 0,68 0,95

7,0 0,29 0,72 0,97

7,5 0,30 0,76 0,99

8,0 0,32 0,79 1,00

8,5 0,34 0,83 1,00

9,0 0,36 0,86 0,99

9,5 0,38 0,89 0,97

10,0 0,40 0,91 0,94

10,5 0,42 0,93 0,91

11,0 0,44 0,95 0,86

11,5 0,46 0,97 0,81

12,0 0,48 0,98 0,75

12,5 0,49 0,99 0,69

13,0 0,51 1,00 0,61

13,5 0,53 1,00 0,53

14,0 0,55 1,00 0,45

14,5 0,56 1,00 0,36

15,0 0,58 0,99 0,27

15,5 0,61 0,97 0,12

16,0 0,64 0,95 -0,04

16,5 0,66 0,92 -0,19

17,0 0,69 0,89 -0,35

17,5 0,72 0,86 -0,49

18,0 0,74 0,81 -0,63

18,5 0,77 0,77 -0,76

19,0 0,79 0,72 -0,88

19,5 0,81 0,66 -0,99

20,0 0,84 0,61 -1,08

20,5 0,86 0,54 -1,15

21,0 0,88 0,48 -1,21

21,5 0,90 0,41 -1,25

22,0 0,92 0,34 -1,27

22,5 0,94 0,27 -1,27

23,0 0,96 0,20 -1,25

23,5 0,98 0,13 -1,21

24,0 1,00 0,05 -1,16

24,5 1,02 -0,02 -1,08

25,0 1,03 -0,09 -0,99

25,5 1,05 -0,17 -0,89

26,0 1,07 -0,24 -0,77

26,5 1,08 -0,31 -0,64

27,0 1,09 -0,38 -0,50

27,5 1,11 -0,45 -0,35

28,0 1,12 -0,51 -0,20

28,5 1,13 -0,58 -0,04

29,0 1,14 -0,64 0,12

29,5 1,15 -0,69 0,27

30,0 1,16 -0,74 0,42

30,5 1,17 -0,79 0,57

31,0 1,17 -0,84 0,70

31,5 1,18 -0,88 0,83

32,0 1,19 -0,91 0,94

32,5 1,19 -0,94 1,04

33,0 1,19 -0,96 1,12

33,5 1,20 -0,98 1,19

34,0 1,20 -1,00 1,23

34,5 1,20 -1,00 1,26

35,0 1,20 -1,01 1,27

102

Figura 63-Primeiro modo de vibração das camadas de solo (f=1,03 Hz; p=6,46 rad/s)

Figura 64-Segundo modo de vibração das camadas de solo (f=2,85 Hz; p=17,91 rad/s)

Figura 65-Terceiro modo de vibração das camadas de solo (f=4,76 Hz; p=29,88 rad/s)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,5 1 1,5

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 1

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 0 1

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 2

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -1 0 1 2

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 3

103

Anexo 2 – Modos de vibração do edifício sem TMD

Tabela 45-Modos de vibração do edifício sem TMD

Deformação

Altura (m) Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4

0 0,00 0,00 0,00 0,00

0,5 0,01 0,04 0,07 0,09

1 0,03 0,08 0,13 0,18

2 0,05 0,16 0,26 0,36

3 0,08 0,23 0,38 0,52

4 0,10 0,31 0,50 0,67

5 0,13 0,38 0,61 0,79

6 0,16 0,45 0,71 0,89

7 0,18 0,52 0,79 0,96

8 0,21 0,59 0,87 0,99

9 0,23 0,65 0,92 1,00

10 0,26 0,71 0,97 0,97

11 0,28 0,76 0,99 0,90

12 0,31 0,81 1,00 0,81

13 0,33 0,85 0,99 0,69

14 0,36 0,89 0,97 0,54

15 0,38 0,92 0,92 0,38

16 0,41 0,95 0,87 0,21

17 0,43 0,97 0,79 0,03

18 0,45 0,99 0,71 -0,16

19 0,48 1,00 0,61 -0,33

20 0,50 1,00 0,50 -0,50

21 0,52 1,00 0,38 -0,65

22 0,54 0,99 0,26 -0,78

23 0,57 0,97 0,13 -0,88

24 0,59 0,95 0,00 -0,95

25 0,61 0,92 -0,13 -0,99

26 0,63 0,89 -0,26 -1,00

27 0,65 0,85 -0,38 -0,97

28 0,67 0,81 -0,50 -0,91

29 0,69 0,76 -0,61 -0,82

30 0,71 0,71 -0,71 -0,71

31 0,73 0,65 -0,79 -0,57

32 0,74 0,59 -0,87 -0,41

33 0,76 0,52 -0,92 -0,23

34 0,78 0,45 -0,97 -0,05

35 0,79 0,38 -0,99 0,13

36 0,81 0,31 -1,00 0,31

37 0,82 0,23 -0,99 0,48

38 0,84 0,16 -0,97 0,63

39 0,85 0,08 -0,92 0,76

40 0,87 0,00 -0,87 0,87

41 0,88 -0,08 -0,79 0,94

42 0,89 -0,16 -0,71 0,99

43 0,90 -0,23 -0,61 1,00

44 0,91 -0,31 -0,50 0,98

45 0,92 -0,38 -0,38 0,92

46 0,93 -0,45 -0,26 0,84

47 0,94 -0,52 -0,13 0,73

48 0,95 -0,59 0,00 0,59

49 0,96 -0,65 0,13 0,43

50 0,97 -0,71 0,26 0,26

51 0,97 -0,76 0,38 0,08

52 0,98 -0,81 0,50 -0,10

53 0,98 -0,85 0,61 -0,28

54 0,99 -0,89 0,71 -0,45

55 0,99 -0,92 0,79 -0,61

56 0,99 -0,95 0,87 -0,74

57 1,00 -0,97 0,92 -0,85

58 1,00 -0,99 0,97 -0,93

59 1,00 -1,00 0,99 -0,98

60 1,00 -1,00 1,00 -1,00

104

Figura 66-Primeiro modo de vibração do edifício sem TMD (f=1,00 Hz; p=6,28 rad/s)

Figura 67-Segundo modo de vibração do edifício sem TMD (f=3,00 Hz; p=18,85 rad/s)

Figura 68-Terceiro modo de vibração do edifício sem TMD (f=5,00 Hz; p=31,42 rad/s)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,5 1 1,5A

ltu

ra (

m)

Deformação

Modo 1

0

10

20

30

40

50

60

70

-2 -1 0 1 2

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 2

0

10

20

30

40

50

60

70

-2 -1 0 1 2

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 3

105

Figura 69-Quarto modo de vibração do edifício sem TMD (f=7,00 Hz; p=43,98 rad/s)

0

10

20

30

40

50

60

70

-2 -1 0 1 2A

ltu

ra (

m)

Deformação

Modo 4

106

107

Anexo 3 – Modos de vibração do edifício com TMD

Tabela 46-Modos de vibração do edifício com TMD

Deformação

Altura (m) Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4

0 0,00 0,00 0,00 0,00

1 0,02 0,03 0,08 0,13

2 0,04 0,06 0,16 0,26

3 0,07 0,09 0,23 0,38

4 0,09 0,12 0,31 0,50

5 0,11 0,15 0,38 0,61

6 0,13 0,18 0,46 0,71

7 0,16 0,21 0,53 0,79

8 0,18 0,24 0,59 0,87

9 0,20 0,27 0,65 0,92

10 0,22 0,30 0,71 0,97

11 0,24 0,33 0,76 0,99

12 0,26 0,36 0,81 1,00

13 0,29 0,39 0,86 0,99

14 0,31 0,41 0,89 0,96

15 0,33 0,44 0,93 0,92

16 0,35 0,47 0,95 0,86

17 0,37 0,49 0,97 0,79

18 0,39 0,52 0,99 0,70

19 0,41 0,55 1,00 0,60

20 0,43 0,57 1,00 0,50

21 0,45 0,60 1,00 0,38

22 0,47 0,62 0,99 0,25

23 0,49 0,64 0,97 0,12

24 0,51 0,67 0,95 -0,01

25 0,53 0,69 0,92 -0,14

26 0,55 0,71 0,89 -0,27

27 0,57 0,73 0,85 -0,39

28 0,58 0,75 0,80 -0,51

29 0,60 0,77 0,75 -0,61

30 0,62 0,79 0,70 -0,71

31 0,64 0,81 0,64 -0,80

32 0,65 0,83 0,58 -0,87

33 0,67 0,84 0,51 -0,93

34 0,69 0,86 0,44 -0,97

35 0,70 0,87 0,37 -0,99

36 0,72 0,89 0,29 -1,00

37 0,73 0,90 0,22 -0,99

38 0,75 0,92 0,14 -0,96

39 0,76 0,93 0,06 -0,92

40 0,78 0,94 -0,02 -0,86

41 0,79 0,95 -0,10 -0,79

42 0,80 0,96 -0,18 -0,70

43 0,82 0,97 -0,25 -0,60

44 0,83 0,97 -0,33 -0,49

45 0,84 0,98 -0,40 -0,37

46 0,85 0,99 -0,47 -0,25

47 0,87 0,99 -0,54 -0,12

48 0,88 0,99 -0,61 0,01

49 0,89 1,00 -0,67 0,14

50 0,90 1,00 -0,72 0,27

51 0,91 1,00 -0,78 0,40

52 0,92 1,00 -0,82 0,51

53 0,92 1,00 -0,87 0,62

54 0,93 1,00 -0,90 0,72

55 0,94 0,99 -0,93 0,80

56 0,95 0,99 -0,96 0,87

57 0,95 0,99 -0,98 0,93

58 0,96 0,98 -0,99 0,97

59 0,97 0,97 -1,00 0,99

60 0,97 0,97 -1,00 1,00

60,1 1,82 -0,27 -0,63 0,66

60,2 2,66 -1,52 -0,25 0,31

60,3 3,50 -2,76 0,12 -0,04

61 3,50 -2,76 0,12 -0,04

61,5 3,50 -2,76 0,12 -0,04

62 3,50 -2,76 0,12 -0,04

62,5 3,50 -2,76 0,12 -0,04

63 3,50 -2,76 0,12 -0,04

63,3 3,50 -2,76 0,12 -0,04

108

Figura 70-Primeiro modo de vibração do edifício com TMD (f=0,85 Hz; p=5,34 rad/s)

Figura 71-Segundo modo de vibração do edifício com TMD (f=1,16 Hz; p=7,30 rad/s)

Figura 72-Terceiro modo de vibração do edifício com TMD (f=3,02 Hz; p=18,97 rad/s)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4A

ltu

ra (

m)

Deformação

Modo 1

0

10

20

30

40

50

60

70

-4 -2 0 2

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 2

0

10

20

30

40

50

60

70

-2 -1 0 1 2

Alt

ura

(m

)

Deformação

Modo 3

109

Figura 73-Quarto modo de vibração do edifício com TMD (f=5,01 Hz; p=31,48 rad/s)

0

10

20

30

40

50

60

70

-2 -1 0 1 2A

ltu

ra (

m)

Deformação

Modo 4

110

111

Anexo 4 - Cálculo dos fatores de participação do edifício sem TMD

Tabela 47-Cálculo do fator de participação e massa modal do primeiro modo de vibração do edifício sem TMD

Altura (m) Deformada m (ton/m) m*u*u (ton/m) Área (ton) m*u (ton/m) Área (ton)

0 0,00 239,14 0,00 0,01 0,00 0,78

0,5 0,01 239,14 0,04 0,05 3,13 2,35

1 0,03 239,14 0,16 0,41 6,26 9,39

2 0,05 239,14 0,66 1,06 12,52 15,64

3 0,08 239,14 1,47 2,04 18,76 21,88

4 0,10 239,14 2,61 3,34 25,00 28,11

5 0,13 239,14 4,07 4,96 31,21 34,31

6 0,16 239,14 5,85 6,90 37,41 40,49

7 0,18 239,14 7,94 9,14 43,58 46,65

8 0,21 239,14 10,34 11,68 49,72 52,77

9 0,23 239,14 13,03 14,53 55,83 58,86

10 0,26 239,14 16,02 17,65 61,89 64,91

11 0,28 239,14 19,29 21,06 67,92 70,91

12 0,31 239,14 22,84 24,74 73,90 76,86

13 0,33 239,14 26,65 28,68 79,83 82,76

14 0,36 239,14 30,71 32,87 85,70 88,61

15 0,38 239,14 35,02 37,29 91,51 94,39

16 0,41 239,14 39,56 41,94 97,27 100,11

17 0,43 239,14 44,32 46,81 102,95 105,76

18 0,45 239,14 49,29 51,87 108,57 111,34

19 0,48 239,14 54,45 57,12 114,11 116,84

20 0,50 239,14 59,79 62,54 119,57 122,26

21 0,52 239,14 65,29 68,11 124,95 127,60

22 0,54 239,14 70,94 73,83 130,24 132,85

23 0,57 239,14 76,72 79,67 135,45 138,01

24 0,59 239,14 82,62 85,62 140,56 143,07

25 0,61 239,14 88,62 91,67 145,58 148,04

26 0,63 239,14 94,71 97,79 150,50 152,90

27 0,65 239,14 100,87 103,97 155,31 157,66

28 0,67 239,14 107,07 110,19 160,02 162,31

29 0,69 239,14 113,31 116,44 164,61 166,86

30 0,71 239,14 119,57 122,70 169,10 171,28

31 0,73 239,14 125,83 128,95 173,47 175,59

32 0,74 239,14 132,07 135,17 177,72 179,78

33 0,76 239,14 138,27 141,35 181,84 183,85

34 0,78 239,14 144,43 147,47 185,85 187,78

35 0,79 239,14 150,52 153,52 189,72 191,60

36 0,81 239,14 156,52 159,47 193,47 195,27

37 0,82 239,14 162,42 165,31 197,08 198,82

38 0,84 239,14 168,20 171,03 200,56 202,23

39 0,85 239,14 173,85 176,60 203,90 205,50

40 0,87 239,14 179,36 182,02 207,10 208,63

41 0,88 239,14 184,69 187,27 210,16 211,62

42 0,89 239,14 189,85 192,33 213,08 214,46

43 0,90 239,14 194,82 197,20 215,84 217,15

44 0,91 239,14 199,58 201,85 218,47 219,70

45 0,92 239,14 204,12 206,27 220,94 222,10

46 0,93 239,14 208,43 210,46 223,26 224,34

47 0,94 239,14 212,49 214,40 225,42 226,43

48 0,95 239,14 216,30 218,08 227,44 228,36

49 0,96 239,14 219,85 221,49 229,29 230,14

50 0,97 239,14 223,12 224,61 230,99 231,76

51 0,97 239,14 226,11 227,46 232,53 233,22

52 0,98 239,14 228,80 230,00 233,91 234,52

53 0,98 239,14 231,20 232,24 235,14 235,67

54 0,99 239,14 233,29 234,18 236,20 236,64

55 0,99 239,14 235,07 235,80 237,09 237,46

56 0,99 239,14 236,53 237,10 237,83 238,12

57 1,00 239,14 237,67 238,08 238,40 238,61

58 1,00 239,14 238,48 238,73 238,81 238,94

59 1,00 239,14 238,98 239,06 239,06 239,10

60 1,00 239,14 239,14 - 239,14 -

M1 (ton) 7174,18 Soma (ton) 9133,95

Fp1 1,27

112

Tabela 48-Cálculo do fator de participação e massa modal do segundo modo de vibração do edifício sem TMD


0 0,00 239,14 0,00 0,09 0,00 2,35

0,5 0,04 239,14 0,37 0,46 9,39 7,04

1 0,08 239,14 1,47 3,66 18,76 28,09

2 0,16 239,14 5,85 9,44 37,41 46,62

3 0,23 239,14 13,03 17,93 55,83 64,86

4 0,31 239,14 22,84 28,93 73,90 82,71

5 0,38 239,14 35,02 42,15 91,51 100,04

6 0,45 239,14 49,29 57,29 108,57 116,76

7 0,52 239,14 65,29 73,95 124,95 132,76

8 0,59 239,14 82,62 91,74 140,56 147,94

9 0,65 239,14 100,87 110,22 155,31 162,20

10 0,71 239,14 119,57 128,92 169,10 175,47

11 0,76 239,14 138,27 147,40 181,84 187,66

12 0,81 239,14 156,52 165,19 193,47 198,68

13 0,85 239,14 173,85 181,85 203,90 208,49

14 0,89 239,14 189,85 196,99 213,08 217,01

15 0,92 239,14 204,12 210,21 220,94 224,19

16 0,95 239,14 216,30 221,21 227,44 229,98

17 0,97 239,14 226,11 229,70 232,53 234,36

18 0,99 239,14 233,29 235,48 236,20 237,30

19 1,00 239,14 237,67 238,40 238,40 238,77

20 1,00 239,14 239,14 238,40 239,14 238,77

21 1,00 239,14 237,67 235,48 238,40 237,30

22 0,99 239,14 233,29 229,70 236,20 234,36

23 0,97 239,14 226,11 221,21 232,53 229,98

24 0,95 239,14 216,30 210,21 227,44 224,19

25 0,92 239,14 204,12 196,99 220,94 217,01

26 0,89 239,14 189,85 181,85 213,08 208,49

27 0,85 239,14 173,85 165,19 203,90 198,68

28 0,81 239,14 156,52 147,40 193,47 187,66

29 0,76 239,14 138,27 128,92 181,84 175,47

30 0,71 239,14 119,57 110,22 169,10 162,20

31 0,65 239,14 100,87 91,74 155,31 147,94

32 0,59 239,14 82,62 73,95 140,56 132,76

33 0,52 239,14 65,29 57,29 124,95 116,76

34 0,45 239,14 49,29 42,15 108,57 100,04

35 0,38 239,14 35,02 28,93 91,51 82,71

36 0,31 239,14 22,84 17,93 73,90 64,86

37 0,23 239,14 13,03 9,44 55,83 46,62

38 0,16 239,14 5,85 3,66 37,41 28,09

39 0,08 239,14 1,47 0,74 18,76 9,38

40 0,00 239,14 0,00 0,74 0,00 -9,38

41 -0,08 239,14 1,47 3,66 -18,76 -28,09

42 -0,16 239,14 5,85 9,44 -37,41 -46,62

43 -0,23 239,14 13,03 17,93 -55,83 -64,86

44 -0,31 239,14 22,84 28,93 -73,90 -82,71

45 -0,38 239,14 35,02 42,15 -91,51 -100,04

46 -0,45 239,14 49,29 57,29 -108,57 -116,76

47 -0,52 239,14 65,29 73,95 -124,95 -132,76

48 -0,59 239,14 82,62 91,74 -140,56 -147,94

49 -0,65 239,14 100,87 110,22 -155,31 -162,20

50 -0,71 239,14 119,57 128,92 -169,10 -175,47

51 -0,76 239,14 138,27 147,40 -181,84 -187,66

52 -0,81 239,14 156,52 165,19 -193,47 -198,68

53 -0,85 239,14 173,85 181,85 -203,90 -208,49

54 -0,89 239,14 189,85 196,99 -213,08 -217,01

55 -0,92 239,14 204,12 210,21 -220,94 -224,19

56 -0,95 239,14 216,30 221,21 -227,44 -229,98

57 -0,97 239,14 226,11 229,70 -232,53 -234,36

58 -0,99 239,14 233,29 235,48 -236,20 -237,30

59 -1,00 239,14 237,67 238,40 -238,40 -238,77

60 -1,00 239,14 239,14 - -239,14 -

M2 (ton) 7174,02 Soma (ton) 3043,26

Fp2 0,42

113

Tabela 49-Cálculo do fator de participação e massa modal do terceiro modo de vibração do edifício sem TMD


0 0,00 239,14 0,00 0,26 0,00 3,91

0,5 0,07 239,14 1,02 1,27 15,64 11,71

1 0,13 239,14 4,07 10,05 31,21 46,55

2 0,26 239,14 16,02 25,52 61,89 76,70

3 0,38 239,14 35,02 47,40 91,51 105,54

4 0,50 239,14 59,79 74,20 119,57 132,57

5 0,61 239,14 88,62 104,10 145,58 157,34

6 0,71 239,14 119,57 135,04 169,10 179,41

7 0,79 239,14 150,52 164,94 189,72 198,41

8 0,87 239,14 179,36 191,74 207,10 214,02

9 0,92 239,14 204,12 213,62 220,94 225,96

10 0,97 239,14 223,12 229,09 230,99 234,04

11 0,99 239,14 235,07 237,10 237,09 238,12

12 1,00 239,14 239,14 237,10 239,14 238,12

13 0,99 239,14 235,07 229,09 237,09 234,04

14 0,97 239,14 223,12 213,62 230,99 225,96

15 0,92 239,14 204,12 191,74 220,94 214,02

16 0,87 239,14 179,36 164,94 207,10 198,41

17 0,79 239,14 150,52 135,04 189,72 179,41

18 0,71 239,14 119,57 104,10 169,10 157,34

19 0,61 239,14 88,62 74,20 145,58 132,57

20 0,50 239,14 59,79 47,40 119,57 105,54

21 0,38 239,14 35,02 25,52 91,51 76,70

22 0,26 239,14 16,02 10,05 61,89 46,55

23 0,13 239,14 4,07 2,04 31,21 15,61

24 0,00 239,14 0,00 2,04 0,00 -15,61

25 -0,13 239,14 4,07 10,05 -31,21 -46,55

26 -0,26 239,14 16,02 25,52 -61,89 -76,70

27 -0,38 239,14 35,02 47,40 -91,51 -105,54

28 -0,50 239,14 59,78 74,20 -119,57 -132,57

29 -0,61 239,14 88,62 104,10 -145,58 -157,34

30 -0,71 239,14 119,57 135,04 -169,10 -179,41

31 -0,79 239,14 150,52 164,94 -189,72 -198,41

32 -0,87 239,14 179,36 191,74 -207,10 -214,02

33 -0,92 239,14 204,12 213,62 -220,94 -225,96

34 -0,97 239,14 223,12 229,09 -230,99 -234,04

35 -0,99 239,14 235,07 237,10 -237,09 -238,12

36 -1,00 239,14 239,14 237,10 -239,14 -238,12

37 -0,99 239,14 235,07 229,09 -237,09 -234,04

38 -0,97 239,14 223,12 213,62 -230,99 -225,96

39 -0,92 239,14 204,12 191,74 -220,94 -214,02

40 -0,87 239,14 179,36 164,94 -207,10 -198,41

41 -0,79 239,14 150,52 135,04 -189,72 -179,41

42 -0,71 239,14 119,57 104,10 -169,10 -157,34

43 -0,61 239,14 88,62 74,20 -145,58 -132,57

44 -0,50 239,14 59,78 47,40 -119,57 -105,54

45 -0,38 239,14 35,02 25,52 -91,51 -76,70

46 -0,26 239,14 16,02 10,05 -61,89 -46,55

47 -0,13 239,14 4,07 2,04 -31,21 -15,61

48 0,00 239,14 0,00 2,04 0,00 15,61

49 0,13 239,14 4,07 10,05 31,21 46,55

50 0,26 239,14 16,02 25,52 61,89 76,70

51 0,38 239,14 35,02 47,40 91,51 105,54

52 0,50 239,14 59,78 74,20 119,57 132,57

53 0,61 239,14 88,62 104,10 145,58 157,34

54 0,71 239,14 119,57 135,04 169,10 179,41

55 0,79 239,14 150,52 164,94 189,72 198,41

56 0,87 239,14 179,36 191,74 207,10 214,02

57 0,92 239,14 204,12 213,62 220,94 225,96

58 0,97 239,14 223,12 229,09 230,99 234,04

59 0,99 239,14 235,07 237,10 237,09 238,12

60 1,00 239,14 239,14 - 239,14 -

M3 (ton) 7173,69 Soma (ton) 1824,30

Fp3 0,25

114

Tabela 50-Cálculo do fator de participação e massa modal do quarto modo de vibração do edifício sem TMD


0 0,00 239,14 0,00 0,50 0,00 5,47

0,5 0,09 239,14 2,00 2,49 21,88 16,37

1 0,18 239,14 7,94 19,33 43,58 64,64

2 0,36 239,14 30,71 48,00 85,70 105,33

3 0,52 239,14 65,29 86,18 124,95 142,48

4 0,67 239,14 107,07 128,79 160,02 174,87

5 0,79 239,14 150,52 170,18 189,72 201,40

6 0,89 239,14 189,85 204,85 213,08 221,18

7 0,96 239,14 219,85 228,19 229,29 233,56

8 0,99 239,14 236,53 237,10 237,83 238,12

9 1,00 239,14 237,67 230,39 238,40 234,70

10 0,97 239,14 223,12 208,97 230,99 223,42

11 0,90 239,14 194,82 175,67 215,84 204,66

12 0,81 239,14 156,52 134,92 193,47 179,04

13 0,69 239,14 113,31 92,12 164,61 147,43

14 0,54 239,14 70,94 52,98 130,24 110,88

15 0,38 239,14 35,02 22,68 91,51 70,62

16 0,21 239,14 10,34 5,25 49,72 27,99

17 0,03 239,14 0,16 3,01 6,26 -15,57

18 -0,16 239,14 5,85 16,25 -37,41 -58,62

19 -0,33 239,14 26,65 43,22 -79,83 -99,70

20 -0,50 239,14 59,78 80,33 -119,57 -137,44

21 -0,65 239,14 100,87 122,65 -155,31 -170,58

22 -0,78 239,14 144,43 164,56 -185,85 -198,00

23 -0,88 239,14 184,69 200,50 -210,16 -218,80

24 -0,95 239,14 216,30 225,68 -227,44 -232,26

25 -0,99 239,14 235,07 236,78 -237,09 -237,95

26 -1,00 239,14 238,48 232,30 -238,81 -235,67

27 -0,97 239,14 226,11 212,84 -232,53 -225,50

28 -0,91 239,14 199,58 181,00 -218,47 -207,77

29 -0,82 239,14 162,42 141,00 -197,08 -183,09

30 -0,71 239,14 119,57 98,14 -169,10 -152,27

31 -0,57 239,14 76,72 58,14 -135,45 -116,36

32 -0,41 239,14 39,56 26,30 -97,27 -76,55

33 -0,23 239,14 13,03 6,84 -55,83 -34,17

34 -0,05 239,14 0,66 2,36 -12,52 9,35

35 0,13 239,14 4,07 13,46 31,21 52,56

36 0,31 239,14 22,84 38,64 73,90 94,00

37 0,48 239,14 54,45 74,58 114,11 132,30

38 0,63 239,14 94,71 116,49 150,50 166,17

39 0,76 239,14 138,27 158,81 181,84 194,47

40 0,87 239,14 179,36 195,92 207,10 216,26

41 0,94 239,14 212,49 222,89 225,42 230,81

42 0,99 239,14 233,29 236,13 236,20 237,63

43 1,00 239,14 238,98 233,89 239,06 236,49

44 0,98 239,14 228,80 216,46 233,91 227,43

45 0,92 239,14 204,12 186,16 220,94 210,75

46 0,84 239,14 168,20 147,02 200,56 187,01

47 0,73 239,14 125,83 104,22 173,47 157,01

48 0,59 239,14 82,62 63,47 140,56 121,76

49 0,43 239,14 44,32 30,17 102,95 82,42

50 0,26 239,14 16,02 8,75 61,89 40,33

51 0,08 239,14 1,47 2,04 18,76 -3,12

52 -0,10 239,14 2,61 10,95 -25,00 -46,46

53 -0,28 239,14 19,29 34,29 -67,92 -88,24

54 -0,45 239,14 49,29 68,96 -108,57 -127,07

55 -0,61 239,14 88,62 110,35 -145,58 -161,65

56 -0,74 239,14 132,07 152,96 -177,72 -190,81

57 -0,85 239,14 173,85 191,14 -203,90 -213,58

58 -0,93 239,14 208,43 219,81 -223,26 -229,20

59 -0,98 239,14 231,20 235,17 -235,14 -237,14

60 -1,00 239,14 239,14 - -239,14 -

M4 (ton) 7173,22 Soma (ton) 1301,32

Fp4 0,18

115

Anexo 5 – Cálculo dos fatores de participação do edifício com TMD

Tabela 51-Cálculo do fator de participação e massa modal do primeiro modo de vibração do edifício com TMD


0 0,00 239,14 0,00 0,06 0,00 2,66

1 0,02 239,14 0,12 0,30 5,32 7,98

2 0,04 239,14 0,47 0,77 10,63 13,29

3 0,07 239,14 1,06 1,48 15,95 18,60

4 0,09 239,14 1,89 2,42 21,25 23,90

5 0,11 239,14 2,95 3,59 26,54 29,18

6 0,13 239,14 4,23 4,99 31,82 34,45

7 0,16 239,14 5,75 6,62 37,08 39,71

8 0,18 239,14 7,49 8,47 42,33 44,94

9 0,20 239,14 9,46 10,55 47,55 50,15

10 0,22 239,14 11,64 12,84 52,75 55,34

11 0,24 239,14 14,03 15,33 57,93 60,50

12 0,26 239,14 16,64 18,04 63,08 65,63

13 0,29 239,14 19,44 20,95 68,19 70,73

14 0,31 239,14 22,45 24,05 73,27 75,79

15 0,33 239,14 25,65 27,34 78,32 80,82

16 0,35 239,14 29,03 30,81 83,32 85,81

17 0,37 239,14 32,59 34,46 88,29 90,75

18 0,39 239,14 36,33 38,28 93,21 95,65

19 0,41 239,14 40,23 42,26 98,08 100,50

20 0,43 239,14 44,29 46,39 102,91 105,30

21 0,45 239,14 48,49 50,66 107,69 110,05

22 0,47 239,14 52,84 55,08 112,41 114,74

23 0,49 239,14 57,32 59,62 117,08 119,38

24 0,51 239,14 61,92 64,27 121,68 123,96

25 0,53 239,14 66,63 69,04 126,23 128,48

26 0,55 239,14 71,45 73,91 130,72 132,93

27 0,57 239,14 76,37 78,87 135,14 137,32

28 0,58 239,14 81,37 83,91 139,50 141,64

29 0,60 239,14 86,45 89,02 143,78 145,89

30 0,62 239,14 91,59 94,19 148,00 150,07

31 0,64 239,14 96,79 99,41 152,14 154,17

32 0,65 239,14 102,03 104,67 156,20 158,20

33 0,67 239,14 107,31 109,96 160,19 162,15

34 0,69 239,14 112,61 115,26 164,10 166,02

35 0,70 239,14 117,92 120,58 167,93 169,80

36 0,72 239,14 123,24 125,90 171,67 173,51

37 0,73 239,14 128,55 131,20 175,34 177,12

38 0,75 239,14 133,85 136,48 178,91 180,65

39 0,76 239,14 139,11 141,72 182,39 184,09

40 0,78 239,14 144,34 146,93 185,79 187,44

41 0,79 239,14 149,52 152,07 189,09 190,70

42 0,80 239,14 154,63 157,16 192,30 193,86

43 0,82 239,14 159,68 162,17 195,42 196,92

44 0,83 239,14 164,65 167,09 198,43 199,89

45 0,84 239,14 169,53 171,92 201,35 202,76

46 0,85 239,14 174,31 176,65 204,17 205,53

47 0,87 239,14 178,99 181,27 206,89 208,20

48 0,88 239,14 183,54 185,76 209,51 210,76

49 0,89 239,14 187,97 190,12 212,02 213,22

50 0,90 239,14 192,27 194,34 214,43 215,58

51 0,91 239,14 196,42 198,42 216,73 217,83

52 0,92 239,14 200,41 202,33 218,92 219,97

53 0,92 239,14 204,25 206,09 221,01 222,00

54 0,93 239,14 207,92 209,67 222,99 223,92

55 0,94 239,14 211,42 213,08 224,85 225,73

56 0,95 239,14 214,73 216,30 226,61 227,43

57 0,95 239,14 217,86 219,32 228,25 229,02

58 0,96 239,14 220,79 222,15 229,78 230,49

59 0,97 239,14 223,52 111,76 231,20 115,60

60 0,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

60,1 1,82 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

60,2 2,66 0,00 0,00 146,69 0,00 41,88

60,3 3,50 239,14 2933,79 2053,66 837,61 586,33

61 3,50 239,14 2933,79 1466,90 837,61 418,81

61,5 3,50 239,14 2933,79 1466,90 837,61 418,81

62 3,50 239,14 2933,79 1466,90 837,61 418,81

62,5 3,50 239,14 2933,79 1466,90 837,61 418,81

63 3,50 239,14 2933,79 880,14 837,61 251,28

63,3 3,50 239,14 2933,79 - 837,61 -

M1 (ton) 14786,40 Soma (ton) 10673,41

Fp1 0,72

116

Tabela 52-Cálculo do fator de participação e massa modal do segundo modo de vibração do edifício com TMD


0 0,00 239,14 0,00 0,11 0,00 3,64

1 0,03 239,14 0,22 0,55 7,27 10,91

2 0,06 239,14 0,88 1,44 14,54 18,17

3 0,09 239,14 1,99 2,76 21,80 25,41

4 0,12 239,14 3,52 4,51 29,03 32,63

5 0,15 239,14 5,49 6,68 36,24 39,82

6 0,18 239,14 7,88 9,28 43,41 46,98

7 0,21 239,14 10,68 12,28 50,54 54,09

8 0,24 239,14 13,89 15,69 57,63 61,14

9 0,27 239,14 17,48 19,47 64,66 68,15

10 0,30 239,14 21,46 23,63 71,63 75,09

11 0,33 239,14 25,79 28,14 78,54 81,96

12 0,36 239,14 30,48 32,99 85,38 88,75

13 0,39 239,14 35,49 38,16 92,13 95,47

14 0,41 239,14 40,82 43,63 98,80 102,09

15 0,44 239,14 46,44 49,38 105,38 108,62

16 0,47 239,14 52,32 55,39 111,86 115,05

17 0,49 239,14 58,46 61,64 118,24 121,37

18 0,52 239,14 64,82 68,10 124,51 127,58

19 0,55 239,14 71,39 74,76 130,66 133,67

20 0,57 239,14 78,13 81,58 136,69 139,64

21 0,60 239,14 85,03 88,54 142,60 145,48

22 0,62 239,14 92,05 95,61 148,37 151,19

23 0,64 239,14 99,18 102,78 154,00 156,75

24 0,67 239,14 106,38 110,00 159,50 162,17

25 0,69 239,14 113,63 117,27 164,84 167,44

26 0,71 239,14 120,90 124,54 170,04 172,56

27 0,73 239,14 128,17 131,79 175,07 177,51

28 0,75 239,14 135,41 138,99 179,95 182,30

29 0,77 239,14 142,58 146,13 184,66 186,92

30 0,79 239,14 149,68 153,17 189,19 191,37

31 0,81 239,14 156,66 160,08 193,55 195,65

32 0,83 239,14 163,50 166,84 197,74 199,74

33 0,84 239,14 170,18 173,43 201,74 203,64

34 0,86 239,14 176,67 179,82 205,55 207,36

35 0,87 239,14 182,96 185,98 209,17 210,89

36 0,89 239,14 189,00 191,90 212,60 214,22

37 0,90 239,14 194,79 197,55 215,83 217,35

38 0,92 239,14 200,31 202,91 218,87 220,28

39 0,93 239,14 205,52 207,97 221,70 223,01

40 0,94 239,14 210,42 212,70 224,32 225,53

41 0,95 239,14 214,98 217,08 226,74 227,84

42 0,96 239,14 219,18 221,10 228,95 229,94

43 0,97 239,14 223,02 224,75 230,94 231,83

44 0,97 239,14 226,47 228,00 232,72 233,51

45 0,98 239,14 229,53 230,86 234,29 234,96

46 0,99 239,14 232,19 233,30 235,64 236,21

47 0,99 239,14 234,42 235,33 236,77 237,23

48 0,99 239,14 236,23 236,92 237,68 238,03

49 1,00 239,14 237,61 238,08 238,38 238,61

50 1,00 239,14 238,55 238,80 238,85 238,97

51 1,00 239,14 239,05 239,08 239,10 239,11

52 1,00 239,14 239,11 238,92 239,13 239,03

53 1,00 239,14 238,73 238,32 238,94 238,73

54 1,00 239,14 237,91 237,28 238,52 238,21

55 0,99 239,14 236,65 235,80 237,89 237,46

56 0,99 239,14 234,95 233,89 237,04 236,50

57 0,99 239,14 232,83 231,56 235,96 235,32

58 0,98 239,14 230,29 228,81 234,67 233,92

59 0,97 239,14 227,34 113,67 233,17 116,58

60 0,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

60,1 -0,27 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

60,2 -1,52 0,00 0,00 90,87 0,00 -32,96

60,3 -2,76 239,14 1817,32 1272,13 -659,24 -461,47

61 -2,76 239,14 1817,32 908,66 -659,24 -329,62

61,5 -2,76 239,14 1817,32 908,66 -659,24 -329,62

62 -2,76 239,14 1817,32 908,66 -659,24 -329,62

62,5 -2,76 239,14 1817,32 908,66 -659,24 -329,62

63 -2,76 239,14 1817,32 545,20 -659,24 -197,77

63,3 -2,76 239,14 1817,32 - -659,24 -

M2 (ton) 13562,53 Soma (ton) 7712,90

Fp2 0,57

117

Tabela 53-Cálculo do fator de participação e massa modal do terceiro modo de vibração do edifício com TMD


0 0,00 239,14 0,00 0,75 0,00 9,44

1 0,08 239,14 1,49 3,71 18,88 28,26

2 0,16 239,14 5,92 9,56 37,64 46,90

3 0,23 239,14 13,19 18,15 56,16 65,25

4 0,31 239,14 23,11 29,27 74,34 83,20

5 0,38 239,14 35,43 42,64 92,05 100,62

6 0,46 239,14 49,85 57,93 109,19 117,42

7 0,53 239,14 66,01 74,76 125,64 133,48

8 0,59 239,14 83,50 92,70 141,31 148,71

9 0,65 239,14 101,90 111,31 156,10 163,01

10 0,71 239,14 120,73 130,13 169,92 176,29

11 0,76 239,14 139,53 148,69 182,67 188,48

12 0,81 239,14 157,84 166,52 194,29 199,49

13 0,86 239,14 175,19 183,18 204,69 209,25

14 0,89 239,14 191,16 198,25 213,81 217,70

15 0,93 239,14 205,34 211,36 221,60 224,80

16 0,95 239,14 217,39 222,19 228,01 230,50

17 0,97 239,14 226,99 230,45 232,99 234,75

18 0,99 239,14 233,92 235,96 236,52 237,54

19 1,00 239,14 238,00 238,56 238,57 238,85

20 1,00 239,14 239,12 238,19 239,13 238,67

21 1,00 239,14 237,27 234,87 238,20 237,00

22 0,99 239,14 232,48 228,68 235,79 233,84

23 0,97 239,14 224,87 219,76 231,90 229,23

24 0,95 239,14 214,65 208,35 226,56 223,19

25 0,92 239,14 202,05 194,72 219,82 215,75

26 0,89 239,14 187,40 179,22 211,69 206,97

27 0,85 239,14 171,05 162,24 202,25 196,90

28 0,80 239,14 153,42 144,19 191,55 185,60

29 0,75 239,14 134,95 125,52 179,65 173,14

30 0,70 239,14 116,10 106,71 166,62 159,59

31 0,64 239,14 97,33 88,22 152,56 145,06

32 0,58 239,14 79,11 70,51 137,55 129,61

33 0,51 239,14 61,91 54,02 121,68 113,36

34 0,44 239,14 46,14 39,17 105,04 96,40

35 0,37 239,14 32,20 26,32 87,76 78,84

36 0,29 239,14 20,44 15,80 69,92 60,79

37 0,22 239,14 11,16 7,86 51,65 42,35

38 0,14 239,14 4,57 2,71 33,06 23,66

39 0,06 239,14 0,85 0,47 14,25 4,81

40 -0,02 239,14 0,09 1,20 -4,63 -14,06

41 -0,10 239,14 2,31 4,88 -23,49 -32,85

42 -0,18 239,14 7,45 11,42 -42,21 -51,43

43 -0,25 239,14 15,39 20,65 -60,66 -69,70

44 -0,33 239,14 25,92 32,35 -78,73 -87,52

45 -0,40 239,14 38,79 46,23 -96,31 -104,80

46 -0,47 239,14 53,67 61,93 -113,29 -121,43

47 -0,54 239,14 70,19 79,07 -129,56 -137,29

48 -0,61 239,14 87,95 97,22 -145,03 -152,31

49 -0,67 239,14 106,49 115,93 -159,58 -166,37

50 -0,72 239,14 125,36 134,73 -173,15 -179,39

51 -0,78 239,14 144,09 153,15 -185,63 -191,29

52 -0,82 239,14 162,20 170,73 -196,95 -202,00

53 -0,87 239,14 179,25 187,04 -207,04 -211,45

54 -0,90 239,14 194,82 201,66 -215,85 -219,57

55 -0,93 239,14 208,51 214,24 -223,30 -226,33

56 -0,96 239,14 219,98 224,46 -229,36 -231,67

57 -0,98 239,14 228,95 232,07 -233,99 -235,57

58 -0,99 239,14 235,19 236,87 -237,16 -238,00

59 -1,00 239,14 238,55 119,27 -238,85 -119,42

60 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

60,1 -0,63 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

60,2 -0,25 0,00 0,00 0,18 0,00 1,48

60,3 0,12 239,14 3,65 2,55 29,54 20,68

61 0,12 239,14 3,65 1,82 29,54 14,77

61,5 0,12 239,14 3,65 1,82 29,54 14,77

62 0,12 239,14 3,65 1,82 29,54 14,77

62,5 0,12 239,14 3,65 1,82 29,54 14,77

63 0,12 239,14 3,65 1,09 29,54 8,86

63,3 0,12 239,14 3,65 - 29,54 -

M3 (ton) 7109,84 Soma (ton) 3146,33

Fp3 0,44

118

Tabela 54-Cálculo do fator de participação e massa modal do quarto modo de vibração do edifício com TMD


0 0,00 239,14 0,00 2,05 0,00 15,64

1 0,13 239,14 4,09 10,09 31,28 46,65

2 0,26 239,14 16,08 25,62 62,02 76,86

3 0,38 239,14 35,16 47,58 91,69 105,74

4 0,50 239,14 60,01 74,47 119,79 132,81

5 0,61 239,14 88,93 104,44 145,84 157,60

6 0,71 239,14 119,96 135,45 169,37 179,68

7 0,79 239,14 150,95 165,38 190,00 198,68

8 0,87 239,14 179,80 192,16 207,36 214,26

9 0,92 239,14 204,53 213,99 221,16 226,16

10 0,97 239,14 223,44 229,35 231,16 234,17

11 0,99 239,14 235,25 237,20 237,19 238,17

12 1,00 239,14 239,14 237,00 239,14 238,07

13 0,99 239,14 234,85 228,76 236,99 233,87

14 0,96 239,14 222,67 213,06 230,76 225,67

15 0,92 239,14 203,44 190,95 220,57 213,58

16 0,86 239,14 178,47 163,97 206,59 197,83

17 0,79 239,14 149,47 133,94 189,06 178,67

18 0,70 239,14 118,42 102,94 168,28 156,45

19 0,60 239,14 87,45 73,07 144,61 131,54

20 0,50 239,14 58,68 46,38 118,46 104,37

21 0,38 239,14 34,08 24,70 90,27 75,40

22 0,25 239,14 15,32 9,51 60,53 45,14

23 0,12 239,14 3,70 1,86 29,75 14,11

24 -0,01 239,14 0,01 2,25 -1,54 -17,17

25 -0,14 239,14 4,50 10,68 -32,80 -48,15

26 -0,27 239,14 16,86 26,56 -63,50 -78,31

27 -0,39 239,14 36,25 48,80 -93,11 -107,12

28 -0,51 239,14 61,34 75,88 -121,12 -134,09

29 -0,61 239,14 90,42 105,96 -147,05 -158,75

30 -0,71 239,14 121,49 136,96 -170,45 -180,69

31 -0,80 239,14 152,43 166,78 -190,93 -199,52

32 -0,87 239,14 181,12 193,36 -208,12 -214,93

33 -0,93 239,14 205,60 214,90 -221,74 -226,64

34 -0,97 239,14 224,20 229,91 -231,55 -234,46

35 -0,99 239,14 235,63 237,38 -237,38 -238,26

36 -1,00 239,14 239,12 236,78 -239,13 -237,95

37 -0,99 239,14 234,43 228,16 -236,78 -233,57

38 -0,96 239,14 221,89 212,11 -230,35 -225,16

39 -0,92 239,14 202,34 189,73 -219,97 -212,89

40 -0,86 239,14 177,13 162,55 -205,81 -196,96

41 -0,79 239,14 147,98 132,43 -188,12 -177,65

42 -0,70 239,14 116,88 101,43 -167,19 -155,29

43 -0,60 239,14 85,97 71,67 -143,39 -130,26

44 -0,49 239,14 57,36 45,19 -117,12 -102,99

45 -0,37 239,14 33,01 23,79 -88,85 -73,95

46 -0,25 239,14 14,58 8,96 -59,05 -43,64

47 -0,12 239,14 3,33 1,69 -28,23 -12,58

48 0,01 239,14 0,04 2,48 3,07 18,70

49 0,14 239,14 4,93 11,29 34,32 49,65

50 0,27 239,14 17,66 27,51 64,98 79,75

51 0,40 239,14 37,36 50,03 94,52 108,48

52 0,51 239,14 62,69 77,30 122,44 135,35

53 0,62 239,14 91,91 107,47 148,26 159,89

54 0,72 239,14 123,03 138,47 171,53 181,69

55 0,80 239,14 153,91 168,17 191,85 200,36

56 0,87 239,14 182,43 194,55 208,87 215,59

57 0,93 239,14 206,66 215,80 222,31 227,12

58 0,97 239,14 224,93 230,46 231,93 234,74

59 0,99 239,14 235,99 117,99 237,56 118,78

60 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

60,1 0,66 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

60,2 0,31 0,00 0,00 0,02 0,00 -0,50

60,3 -0,04 239,14 0,42 0,29 -10,00 -7,00

61 -0,04 239,14 0,42 0,21 -10,00 -5,00

61,5 -0,04 239,14 0,42 0,21 -10,00 -5,00

62 -0,04 239,14 0,42 0,21 -10,00 -5,00

62,5 -0,04 239,14 0,42 0,21 -10,00 -5,00

63 -0,04 239,14 0,42 0,13 -10,00 -3,00

63,3 -0,04 239,14 0,42 - -10,00 -

M4 (ton) 7070,60 Soma (ton) 1699,76

Fp4 0,24

119

Anexo 6 – Resposta do edifício sem TMD

Tabela 55-Resposta do edifício sem TMD à vibração de base para vários instantes

Deslocamento (m)

Altura (m) t=1,1 s t=1,2 s t=1,3 s t=1,4 s t=1,5 s

0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,5 0,001 0,002 0,003 0,002 0,000

1 0,001 0,004 0,005 0,004 0,001

2 0,003 0,008 0,010 0,007 0,001

3 0,004 0,012 0,015 0,011 0,002

4 0,005 0,017 0,020 0,015 0,003

5 0,006 0,021 0,026 0,019 0,003

6 0,008 0,025 0,031 0,022 0,004

7 0,009 0,029 0,036 0,026 0,004

8 0,010 0,033 0,041 0,030 0,005

9 0,011 0,037 0,046 0,034 0,006

10 0,013 0,041 0,051 0,037 0,006

11 0,014 0,045 0,056 0,041 0,007

12 0,015 0,049 0,061 0,045 0,008

13 0,016 0,053 0,066 0,048 0,008

14 0,017 0,057 0,071 0,052 0,009

15 0,019 0,061 0,076 0,056 0,010

16 0,020 0,065 0,081 0,059 0,011

17 0,021 0,069 0,086 0,063 0,011

18 0,022 0,073 0,091 0,067 0,012

19 0,023 0,077 0,095 0,070 0,013

20 0,024 0,080 0,100 0,074 0,013

21 0,025 0,084 0,105 0,077 0,014

22 0,026 0,088 0,109 0,081 0,015

23 0,027 0,091 0,114 0,084 0,016

24 0,028 0,095 0,118 0,087 0,016

25 0,029 0,098 0,123 0,091 0,017

26 0,030 0,102 0,127 0,094 0,018

27 0,031 0,105 0,131 0,097 0,018

28 0,032 0,108 0,135 0,100 0,019

29 0,033 0,111 0,139 0,103 0,020

30 0,033 0,115 0,143 0,106 0,020

31 0,034 0,118 0,147 0,109 0,021

32 0,035 0,121 0,151 0,112 0,022

33 0,036 0,123 0,154 0,115 0,022

34 0,036 0,126 0,158 0,117 0,023

35 0,037 0,129 0,161 0,120 0,023

36 0,038 0,131 0,165 0,122 0,024

37 0,039 0,134 0,168 0,125 0,024

38 0,039 0,136 0,171 0,127 0,025

39 0,040 0,139 0,174 0,129 0,025

40 0,040 0,141 0,177 0,131 0,026

41 0,041 0,143 0,179 0,134 0,026

42 0,042 0,145 0,182 0,135 0,027

43 0,042 0,147 0,185 0,137 0,027

44 0,043 0,149 0,187 0,139 0,028

45 0,043 0,151 0,189 0,141 0,028

46 0,043 0,152 0,191 0,142 0,028

47 0,044 0,154 0,193 0,144 0,029

48 0,044 0,155 0,195 0,145 0,029

49 0,044 0,156 0,197 0,146 0,029

50 0,045 0,158 0,198 0,148 0,029

51 0,045 0,159 0,199 0,149 0,030

52 0,045 0,160 0,201 0,150 0,030

53 0,046 0,161 0,202 0,151 0,030

54 0,046 0,161 0,203 0,151 0,030

55 0,046 0,162 0,204 0,152 0,030

56 0,046 0,162 0,204 0,152 0,031

57 0,046 0,163 0,205 0,153 0,031

58 0,046 0,163 0,205 0,153 0,031

59 0,046 0,163 0,205 0,153 0,031

60 0,046 0,163 0,205 0,153 0,031

120

Tabela 56-Valores de Yn para cada modo para vários instantes do edifício sem TMD

t (s) Y1 (m) Y2 (m) Y3 (m) Y4 (m)

1,1 0,047 0,001 0,000 0,000

1,2 0,163 -0,001 0,000 0,000

1,3 0,204 -0,002 0,000 0,000

1,4 0,152 -0,002 0,000 0,000

1,5 0,030 -0,001 0,000 0,000

Figura 74-Resposta do edifício sem TMD para t=1,2 s

0

10

20

30

40

50

60

70

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

Alt

ura

(m

)

Deslocamento (m)

Resposta do edifício sem TMD

121

Anexo 7 – Resposta do edifício com TMD

Tabela 57- Resposta do edifício com TMD à vibração de base para vários instantes

Deslocamento (m)

Altura (m) t=1,1 s t=1,2 s t=1,3 s t=1,4 s t=1,5 s

0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

1 0,003 0,002 0,000 -0,002 -0,003

2 0,006 0,003 -0,001 -0,004 -0,006

3 0,009 0,005 -0,001 -0,006 -0,009

4 0,011 0,007 -0,001 -0,009 -0,012

5 0,014 0,008 -0,002 -0,011 -0,015

6 0,017 0,010 -0,002 -0,013 -0,018

7 0,020 0,012 -0,002 -0,015 -0,021

8 0,023 0,013 -0,002 -0,017 -0,024

9 0,026 0,015 -0,003 -0,019 -0,027

10 0,028 0,016 -0,003 -0,021 -0,029

11 0,031 0,018 -0,003 -0,023 -0,032

12 0,034 0,020 -0,003 -0,025 -0,035

13 0,036 0,021 -0,003 -0,027 -0,038

14 0,039 0,023 -0,004 -0,028 -0,040

15 0,041 0,025 -0,004 -0,030 -0,043

16 0,044 0,026 -0,004 -0,032 -0,045

17 0,046 0,028 -0,004 -0,034 -0,048

18 0,049 0,029 -0,004 -0,035 -0,050

19 0,051 0,031 -0,004 -0,037 -0,053

20 0,054 0,032 -0,004 -0,038 -0,055

21 0,056 0,034 -0,004 -0,040 -0,057

22 0,058 0,035 -0,004 -0,041 -0,060

23 0,060 0,037 -0,004 -0,042 -0,062

24 0,062 0,038 -0,004 -0,044 -0,064

25 0,064 0,040 -0,003 -0,045 -0,066

26 0,066 0,041 -0,003 -0,046 -0,068

27 0,068 0,042 -0,003 -0,047 -0,069

28 0,070 0,044 -0,003 -0,048 -0,071

29 0,072 0,045 -0,003 -0,049 -0,073

30 0,074 0,046 -0,002 -0,050 -0,074

31 0,075 0,047 -0,002 -0,051 -0,076

32 0,077 0,049 -0,002 -0,051 -0,077

33 0,078 0,050 -0,002 -0,052 -0,079

34 0,080 0,051 -0,001 -0,053 -0,080

35 0,081 0,052 -0,001 -0,053 -0,081

36 0,082 0,053 -0,001 -0,054 -0,082

37 0,083 0,054 0,000 -0,054 -0,083

38 0,085 0,055 0,000 -0,055 -0,084

39 0,086 0,056 0,001 -0,055 -0,085

40 0,087 0,057 0,001 -0,055 -0,086

41 0,087 0,058 0,001 -0,055 -0,087

42 0,088 0,058 0,002 -0,056 -0,087

43 0,089 0,059 0,002 -0,056 -0,088

44 0,090 0,060 0,003 -0,056 -0,088

45 0,090 0,061 0,003 -0,056 -0,089

46 0,091 0,061 0,004 -0,055 -0,089

47 0,091 0,062 0,004 -0,055 -0,089

48 0,091 0,062 0,005 -0,055 -0,089

49 0,091 0,063 0,005 -0,055 -0,089

50 0,092 0,063 0,006 -0,054 -0,089

51 0,092 0,064 0,006 -0,054 -0,089

52 0,092 0,064 0,007 -0,053 -0,089

53 0,091 0,064 0,007 -0,053 -0,089

54 0,091 0,064 0,008 -0,052 -0,088

55 0,091 0,065 0,008 -0,051 -0,088

56 0,091 0,065 0,009 -0,051 -0,087

57 0,090 0,065 0,010 -0,050 -0,087

58 0,090 0,065 0,010 -0,049 -0,086

59 0,089 0,065 0,011 -0,048 -0,085

60 0,088 0,065 0,011 -0,047 -0,084

60,1 -0,033 0,050 0,110 0,119 0,074

60,2 -0,154 0,036 0,208 0,286 0,232

60,3 -0,274 0,021 0,307 0,452 0,389

61 -0,274 0,021 0,307 0,452 0,389

61,5 -0,274 0,021 0,307 0,452 0,389

62 -0,274 0,021 0,307 0,452 0,389

62,5 -0,274 0,021 0,307 0,452 0,389

63 -0,274 0,021 0,307 0,452 0,389

63,3 -0,274 0,021 0,307 0,452 0,389

122

Tabela 58- Valores de Yn para cada modo para vários instantes do edifício com TMD

T (s) Y1 (m) Y2 (m) Y3 (m) Y4 (m)

1,1 -0,003 0,095 0,001 0,000

1,2 0,032 0,034 -0,001 0,000

1,3 0,053 -0,043 -0,002 0,000

1,4 0,050 -0,101 -0,002 0,000

1,5 0,023 -0,112 -0,001 0,000

Figura 75- Resposta do edifício com TMD para t=1,2 s

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Alt

ura

(m

)

Deslocamento (m)

Resposta do edifício com TMD

123

Anexo 8 – Sismos utilizados para as estruturas modeladas em elementos finitos

Sismos tipo 1

Figura 77-Sismo tipo 1 número 2 Zona 1.3 solo B


-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 1


124




-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2)

Tempo (s)

Sismo 5

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 6

125




-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 7

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2)

Tempo (s)

Sismo 8

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 9

126


-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 10

127

Sismos tipo 2

Figura 86-Sismo tipo 2 número 1 zona 2.3 solo B



-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 3

128




-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2)

Tempo (s)

Sismo 5

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 6

129




-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 7

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2)

Tempo (s)

Sismo 8

-3

-2

-1

0

1

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 9

130


-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ace

lera

ção

(m

/s2 )

Tempo (s)

Sismo 10

131

Documents

Aplicação de TMD’s usando pisos adicionais · principalmente pelo apoio que me deram ao longo de todo o curso. ... de um modelo em elementos finitos. ... do primeiro modo de vibração