Apostila de ELE-32manish/ele32/Documentos/ELE32-20180730-Apostila.pdf · 2.2Transformada de Fourier Quando tomamos limf 0!0, isto é, no limite do contínuo de f0, o so-matório torna-se

APOSTILA DE ELE-32Introdução a Comunicações

Prof. Manish Sharmaredigida pela COMP-19

2017.2

SUMÁRIO

1 Sistemas de Telecomunicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Tempo/Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Eficiência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Recursos disponíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Esquemas de sistemas de comunicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Classificação de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Fundamentos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Representação Espectral de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1 Impulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Decaimento espectral de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Representação de sinais no tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Sistemas lineares e invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1 Lineariedade e Invariância no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Resposta sem distorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Caracterização do sistema pela resposta ao impulso . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Função de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5 Filtros e filtragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6 Análise por diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Densidade Espectral de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1 Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Autocorrelação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Como a correlação se altera quando temos SLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.4 Função de Densidade Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.5 Relação entre sinais e sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6 Transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Sinais e sistemas em banda base e banda passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1 Sinais de Banda Base e Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

6.2 Equivalente em Banda Base de Sinais em Banda Passante . . . . . . . . . . . 466.3 Equivalente em Banda Base para Sistema em Banda Passante . . . . . . . . 486.4 Representação vetorial de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Modulações Digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.1 Definições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2 1a Modulação: Modulação em amplitude de pulso - PAM . . . . . . . . . . . 617.3 2o Caso - Modulação em Fase (PSK: Phase Shift Keying) . . . . . . . . . . . . 637.4 Combinação dos dois casos anteriores: QAM (Quadrature Amplitude

Modulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.5 3o Caso: Sinalização multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.6 Sinalização Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.7 Caso Especial: FSK (Frequency Shift Keying) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.8 Modulação Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8 Variáveis aleatórias e Processos Estocáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.1 Revisão de variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.2 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.3 Sequências e processos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9 Modelos de Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.1 Ruído Gaussiano Branco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.2 Modelo de canal AWGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.3 Representação vetorial de um canal Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.4 Receptor ótimo para o canal Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.5 Evento de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10 Transmissão em canais limitados em banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.1 Projeto de sinais para canais limitados em banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.2 Projeto de sinais com zero ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410.3 Equalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

11 Sistemas com múltiplos usuários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.1 Métodos de compartilhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.2 Tipos de sistema de comunicação múltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10611.3 Capacidade em métodos de acesso múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

CAPÍTULO 1

Sistemas de Telecomunicação

Definição 1.1. Sistema de telecomunicação

Um sistema de telecomunicação é uma coleção de redes de co-municação individuais, sistemas de transmissão, aquisição, ar-mazenamento e manipulação de dados que funcionam de formainterconectada. Esse sistema tem por objetivo transferir infor-mação de um tempo/espaço para outro de forma eficiente, usandoos recursos disponíveis.

1.1 Informação

Informalmente, informação é aquilo que não se sabe e depois sesabe.

Definição 1.2. Informação

Informação é a resultante do processamento, manipulação e or-ganização de dados, de tal forma que represente uma modifica-ção (quantitativa ou qualitativa) no conhecimento do sistemaque a recebe.

Podemos representar informações por bytes (cadeias constituídasde sequências de 0 ou 1), e podemos medir a quantidade de infor-mação a partir da entropia1.

1.2 Tempo/Espaço

CRIAR FIGURA AQUIOs canais corrompem as mensagens de algumas maneiras:

• Distorção da mensagem: Perturbação do fator de forma cau-sado por uma resposta imperfeita do sistema ao sinal da men-sagem. Comum quando a natureza do canal é diferente da na-tureza da mensagem.

1ver capítulo 6

5

CAPÍTULO 1 ELE32 - Introdução a Comunicações

Exemplo: alteração no timbre da voz causada por um micro-fone.

• Adição de ruído: sinais aleatórios e imprevisíveis;não-controláveisproduzidos por processos naturaris tanto de dentro quanto defora do sistema.Exemplo: barulho dos carros na rua atrapalhando uma reu-nião dentro do prédio.

• Interferência: contaminação por sinais externos que estejamusando o mesmo canal para se comunicar.Exemplo: superposição de conversas próximas.

1.3 Eficiência

Eficiência2 é grantir a transmissão de uma certa quantidade de infor-mação com probabilidade de falha tão baixa quanto se queira. Po-rém, há um limite máximo para sinais elétricos causado pelas duaslimitações fundamentais: largura de banda e ruído. Pode-se relaci-onar as duas limitações pela Lei de Hartley-Shannon[1]:

R <C = B log2

1+S

N

(1.1)

onde R é a taxa de transmissão de informação, C é definido comocapacidade do canal, B é a largura de banda e S

N é a razão de potênciaentre o sinal e o ruído (signal-to-noise ratio, também chamado deSNR).

1.4 Recursos disponíveis

São, entre outros:

– Potência (Energia por bit);

– Banda disponível

– Capacidade computacional

– Delay Tolerável

– Percentual de falhas toleráveis

– Número de usuários no mesmo canal

1.5 Esquemas de sistemas de comunicação

CRIAR FIGURAS2ver capítulo 10

6

ELE32 - Introdução a Comunicações CAPÍTULO 1

1.6 Classificação de Sinais

Os sinais podem ser classificados de diferentes modos, de acordocom suas características. Algumas das classificações possíveis são:

1.6.1 Contínuo ou discreto

Um sinal é dito contínuo se o seu domínio forR ou um intervalo deR. A maioria dos sinais são contínuos.Notação: x (t ),∀t ∈R

Um sinal é dito discreto se o seu domínio for Z ou um intervalo deZ. Os sinais discretos podem ser armazenados e processados emcomputadores digitaisNotação: x [n ],∀n ∈Z, com x [n ] = x (n∆t )

1.6.2 Quantizado ou não

Se x (t ) puder assumir apenas alguns valores de C, ele é dito quan-tizado

1.6.3 Determinístico ou aleatório

Um sinal determinístico é aquele sobre o qual não há nenhuma in-certeza com respeito ao seu valor em qualquer instante de tempo.Exemplo: x (t ) = 10s e n (t ), como mostra a figura 1.1bUm sinal aleatório é aquele sobre o qual há incerteza com respeitoao seu valor em qualquer instante de tempo.Exemplo: Ruído branco, como mostra a figura 1.1a

(a) Exemplo de sinal aleatório:um sinal com ruído

(b) Exemplo de sinal determinístico:uma senoidal

Figura 1.1. Tipos de sinal quanto a incerteza

Sinais não têm dimensão. Por convensão, são tensões ou correntesaplicadas a um resistor de 1 Ω. Nesse caso, a potência instantânea édada por

Px (t ) =V 2(t )/1= 1 · I 2(t ) = |x (t )|2

A potência média é dada pela Equação (1.2) e a energia do sinal é

7


dada pela Equação (1.3).

Px = limT→∞

1

T

∫ +∞

−∞Px (t ) d t (1.2)

Ex =

∫ +∞

−∞Px (t ) d t =

∫ +∞

−∞|x (t )|2 d t (1.3)

1.6.4 De potência ou de energia

Se 0< Ex <∞, o sinal x é dito um sinal de energiaSe 0< Px <∞, o sinal x é dito um sinal de potênciaNota-se que um sinal pode não ser nem de potência nem de energia.

1.6.5 Periódico ou não-periódico

O sinal é dito periódico se ∃T | x (t +T ) = x (t ),∀tTemos que T = nT0, n ∈Z, onde T0 é o menor valor de T que satisfaza equação acima e é chamado de período fundamental.

Nesse caso, temos que Px =1

T0

∫ τ+T0

τ| x (t ) |2 d t

Quando não existe T que satisfaça o critério, o sinal é dito não-periódico.

1.6.6 Simétrico ou assimétrico

O sinal pode apresentar simetrias:Par: x (t ) = x (−t ),∀tÍmpar: x (t ) =−x (−t ),∀tHermitiana: x (t ) = x ∗(−t ),∀t

1.6.7 Causal ou limitado no tempo

Um sinal é causal se x (t ) = 0,∀t < 0Um sinal é limitado no tempo se ∃ t1, t2 | x (t ) = 0, t < t1 ou t > t2, t1 <t2

8

CAPÍTULO 2

Fundamentos Matemáticos

2.1 Série de Fourier

2.1.1 Série de Fourier

Definição 2.1. Série de Fourier

Uma função periódica pode ser decomposta em uma soma in-finita de exponenciais complexas. Essa série é chamada Sériede Fourier. Sendo v (t ) um sinal de potência, periódico com pe-ríodo fundamental T0, temos a série de Fourier associada dadapor

v (t ) =∞∑

n=−∞cn exp

j 2πn f0t

(2.1)

para n inteiro, com coeficientes cn dados por

cn =1

T0

∫

T0

v (t ) ·exp(− j 2πn f0t )dt = |cn |exp( j ·arg(cn ))

(2.2)onde arg(cn ) retorna a fase do número complexo cn , e f0 =

1T0

.

Exemplo 2.1. Trem de pulsos retangulares

v (t ) =∞∑

k=−∞

A ·Π

t −k T0

τ

onde τ é a largura do pulso centrado em k T0, e a função Π é de-

finida como: Π(x )¬

1 |x |< 1/20 c .c .

.

9


−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2.1. Função Π(x )

=⇒ cn =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

v (t ) ·exp(− j 2πn f0t )dt

=

A

T0·

1

− j 2πn f0·exp(− j 2πn f0t )

τ/2

−τ/2

=A

T0· sin(nπ f0τ) =

Aτ

T0·

sin(nπ f0τ)nπ f0τ

∴ cn =Aτ

T0· sinc(n f0τ)

onde sinc(x )≡ sin(πx )πx .

2.1.2 Teorema de Parseval

É possível calcular a potência média de v (t ) utilizando cn :

Pv =1

T0

∫

T0

|v (t )|2dt =1

T0

∫

T0

v (t ) · v ∗(t )dt

=1

T0

∫

T0

v (t ) ·∞∑

n=−∞c ∗n ·exp(− j 2πn f0t )

dt

=∞∑

n=−∞c ∗n ·

1

T0

∫

T0

v (t )exp(− j 2πn f0t )dt

=∞∑

n=−∞c ∗n · cn =

∞∑

n=−∞|cn |2

∴ Pv =∞∑

n=−∞|cn |2 (2.3)

10


2.2 Transformada de Fourier

Quando tomamos lim f0→0, isto é, no limite do contínuo de f0, o so-matório torna-se uma integral, e obtemos a chamada Transformadade Fourier (TF). A Transformada de Fourier nos permite, agora, ana-lisar também sinais de energia não periódicos.A Transformada de Fourier de um sinal v (t ) é uma função V ( f ) cal-culada através de:

V ( f )¬F v (t )¬∫ ∞

−∞v (t ) ·exp(− j 2π f t )dt (2.4)

Nota: em outras referências, é possível encontrar transformadas cujointegrando é a frequência angular, ω, em cujas integrais haverá umfator 1

2π ; como a integral acima é calculada no domínio da frequên-cia, f , esse fator não está presente. A Transformada de Fourier In-versa (TFI) é definida como:

V ( f )¬F −1v (t )¬∫ ∞

−∞V ( f ) ·exp(+ j 2π f t )d f (2.5)

Exemplo 2.2. Pulso retangular

v (t ) = A ·Π

t

τ

V ( f ) =

∫ τ/2

−τ/2A ·exp(− j 2π f t )dt ∴V ( f ) = A ·τsinc( f τ)

−300−200−100 0 100 200 300−0.5

0

0.5

1

1.5

·10−2

Figura 2.2. Função sinc(x )

11


2.2.1 Teorema de Rayleigh

De maneira semelhante ao teorema de Parseval temos, para sinaisde energia, a seguinte identidade:

E =

∫ ∞

−∞V ( f ) ·V ∗( f )d f =

∫ ∞

−∞|V ( f )|2 (2.6)

O valor de |V ( f )|2 indica a distribuição de energia no espaço de frequên-cias.

2.2.2 Propriedades da Transformada de Fourier

Teorema da dualidade

Se F v (t )=V ( f ) e existe z (t ) tal que z (t ) =V ( f = t ) então

F V (t )= v (− f ) (2.7)

isto é, a TF de uma função z (t ) pode ser calculada através da TFI,com uma troca de variáveis e de sinal, desde que z(t) tenha o formatode uma função cuja TFI conhecemos.

Exemplo 2.3. Par TF/TFI

F Π(t )= sinc( f ) =⇒ F sinc(t )=Π(− f ) =Π( f )

Note que sempre que uma função for par, como é o caso de Π( f ),o resultado da transformada pode ser representado sem o sinalnegativo, tornando-se ainda mais simples!

Linearidade

Se v (t ) = a1 · v1(t ) + a2 · v2(t ), então F v (t ) = a1 ·V1( f ) + a2 ·V2( f ),ou, de maneira mais genérica:

F

¨

∑

k

ak · vk (t )

«

=∑

k

ak ·Vk ( f ) (2.8)

Deslocamento no tempo

Dada uma função v (t ), ela pode ser atrasada em td ao escrevermosv ′(t ) = v (t − td ). Neste caso:

F v ′(t )=∫ ∞

−∞v (t − td ) ·exp(− j 2π f t )dt

12


Com uma transformação de variáveis t ′ = t − td =⇒ t = t ′ + td ,chegamos em:

F v ′(t )=∫ ∞

−∞v (t ′) ·exp[− j 2π f (t ′+ td )]dt ′

= exp(− j 2π f td ) ·∫ ∞

−∞v (t ′) ·exp(− j 2π f t ′)dt ′

∴F v (t − td )=V ( f ) ·exp(− j 2π f td ) (2.9)

Mudança de escala

Se fizermos a mudança de escala de tempo t ′ =αt , obtemos:

F v (αt =∫ ∞

−∞v (t ′) ·exp

− j 2π ft ′

α

dt

|α|

=1

|α|V ( f ′)

∴F v (αt )=1

|α|·V

f

α

(2.10)

Deslocamento em frequência

Seja v (t ) um sinal com TF V ( f ). A multiplicação no tempo por umaexponencial complexa causa a translação em frequência, isto é:

F v (t ) ·exp( j 2π f0t =V ( f − f0) (2.11)

isto é, o espectro fica centrado em f0. Assim, se v(t) é um sinal realcom conteúdo de energia entre ±W , podemos fazer esse sinal ocu-par a faixa de fc ±W multiplicando v (t ) pela exponencial complexaapropriada. O espectro resultante ocupará uma banda de 2W ; sefizermos, ainda, fc >W , as frequências serão exclusivamente posi-tivas, e o novo sinal não possuirá simetria em torno de f = 0. Assim,o sinal resultante é complexo, o que pode ser um problema para otratamento de sinais reais. A solução encontrada é multiplicar v (t )por um seno ou cosseno, resultando no teorema da modulação:

v (t ) · cos(2π fc t +φ)←→V ( f − fc ) ·exp( jφ)

2+V ( f + fc ) ·

exp(− jφ)2

(2.12)Logo, multiplicar um sinal por uma onda senoidal equivale a trans-ladar o seu espectro para ± fc e dividir cada uma de suas cópias pordois. Sendo o sinal original real, o espectro do produto final seráHermitiano.

13


Derivada

v (t ) =∫∞−∞V ( f ) ·exp(+ j 2π f t )d f

=⇒d

dtv (t ) =

∫ ∞

−∞

d

dt

V ( f ) ·exp( j 2π f t )

d f

=⇒d

dtv (t ) =

∫ ∞

−∞V ( f ) ·exp( j 2π f t ) ·exp( j 2π f )d f

=⇒d

dtv (t ) =

∫ ∞

−∞( j 2π f ) ·V ( f ) ·exp( j 2π f t )d f

∴F

§

d

dtv (t )

ª

=V ( f ) · ( j 2π f )

Ou, de forma mais geral, temos o teorema da diferenciação:

F

§

dn

dt nv (t )

ª

=V ( f ) · ( j 2π f )n (2.13)

Integral

Seja z (t ) um sinal de energia que satisfaz:

z (t ) =

∫ t

−∞v (λ)dλ

Se F v (t ) = V ( f ) então, se existir F z (t ), vale a seguinte igual-dade:

F

∫ t

−∞v (λ)dλ

=1

j 2π f·V ( f ) (2.14)

Relação com a Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace (TL) é definida como:

L v (t )=∫

v (t ) ·exp(−s t )dt

onde existir em s. Podemos, a partir dela, obter a TF do sinal:

F v (t )= L v (t )|s= j 2π f

Exemplo 2.4. TF a partir da TL

v (t ) = u (t ) ·exp(−b t )

14


onde u (t ) =

1 t > 00 c .c .

L v (t )=∫ ∞

−∞u (t ) ·exp(−b t ) ·exp(−s t )dt

=

∫ ∞

0

exp[−(b + s )t ]dt =exp[−(b + s )t ]−(b + s )

∞

t=0

=1

b + s

∴F v (t )=1

b + s

s= j 2π f

=1

b + j 2π f

2.3 Convolução

A convolução de duas funções pode ser definida no tempo contínuo:

z (t ) = x (t ) ∗ y (t ) =

∫ ∞

−∞x (τ) · y (t −τ)dτ (2.15)

e, também, no tempo discreto:

z [n ] = x [n ] ∗ y [n ] =∞∑

k=−∞

x [k ] · y [n −k ]dτ (2.16)

2.3.1 Propriedades da convolução

Comutativa:x (t ) ∗ y (t ) = y (t ) ∗ x (t )

Associativa:

x (t ) ∗ [y (t ) ∗ z (t )] = [x (t ) ∗ y (t )] ∗ z (t )

Distributiva:

x (t ) ∗ [y (t ) + z (t )] = x (t ) ∗ y (t ) + x (t ) ∗ z (t )

2.3.2 Teorema da convolução

O teorema da convolução afirma que:

v (t ) ∗w (t )←→V ( f ) ·W ( f ) (2.17)

Isso pode ser provado conforme se segue:

F v (t ) ∗w (t )=∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞v (λ) ·w (t −λ)dλ

·exp(− j 2π f t )dt

15


=

∫ ∞

−∞v (λ)

∫ ∞

−∞w (t −λ) ·exp(− j 2π f t )dt

dt

=

∫ ∞

−∞v (λ) · [W ( f )] ·exp(− j 2π f t )dλ

=W ( f ) ·V ( f )

Vale, também, a seguinte relação:

v (t ) ·w (t )←→V ( f ) ∗W ( f ) (2.18)

2.4 Exercícios

1. Temos duas funções: x (t ) =Π(t ) e y (t ) =Π(t ) = δ(t −2.5) +δ(t +2.5). Definimos z (t ) = x (t ) ∗ y (t ), onde ∗ indica a convolução. Cal-cule Z ( f )e z (t ).2. Projete um sinal no tempo cujo espectro decai proporcionalmentea f 3 e que não seja nem mesmo parcialmente senoidal. Obtenha aequação do seu espectro. O sinal final deve obrigatoriamente termédia zero.3. Classifique os sinais abaixo no que se refere à sua periodicidadee se são sinais de potência/energia, justificando sucintamente: (a)x (t ) do problema anterior; (b) o sinal sonoro do Hino Nacional Bra-sileiro; (c) o sinal sonoro de um alarme que acorda pessoas de ma-nhã; (d) um sinal x (t ) = 418

419 (cuidado neste item).

2.5 Soluções

1.Z ( f ) =F x (t ) ∗ y (t )=F x (t ) ·F y (t )

=⇒ Z ( f ) = sinc(t )·sinc(t )+F δ(t )·[exp(+2π f j ·2.5)+exp(−2π f j ·2.5)]

∴ Z ( f ) = sinc(t ) · [sinc(t ) +2 cos(5πt )]

z (t ) =Π(t ) ∗Π(t ) +Π(t ) ∗δ(t −2.5) +Π(t ) ∗δ(t +2.5)

=⇒ z (t ) =Π(t ) ∗Π(t ) +Π(t −2.5) +Π(t +2.5)

∴ z (t ) =Λ(t ) +Π(t −2.5) +Π(t +2.5)

2.

F t n · v (t )=

j

2π

n

·dn

d f n· (V ( f ))

Assim, tomando v (t ) tal que F v (t ) = Kf , teremos F t 2 · v (t ) =

− 14π2 · K

f 3 . Sabe-se que F sgn(t ) = 1jπ f =⇒ F t 2 · sgn(t ) = −1

4π2 · 12π ·

2jπ f 3 =

j4π4 · 1

f 3

16


3.(a) v (t ) = t 2 sgn(t ). Não é sinal de energia, pois

∫∞−∞Px (t )dt =∞.

Por outro lado, limT→∞1T

∫T2

− T2

Px (t )dt = limT→∞1T

∫T2

− T2

t 4dt = limT→∞2T 4

5 =∞. Logo, não é sinal de potência. Também não é periódico.(b) Não é periódico, mas é de energia.(c) É Periódico, e se não for desligado, é de potência.(d) Não é periódico: por definição, constantes não são periódicas,

pois T0 = 0. Como Px (t ) =

418419

2= c (constante), E =

∫∞−∞ c dt =∞.

Logo, não é sinal de energia. P = limT→∞1T

∫T2

− T2

c dt = c > 0. Logo, é

sinal de potência.

17

CAPÍTULO 3

Representação Espectral de Sinais

3.1 Impulsos

Para continuar o desenvolvimento teórico, é necessário definir umafunção chamada impulso e representada por δ(t ) que satisfaça asseguintes propriedades:

∫ t2

t1

v (t ) ·δ(t )dt =

v (0) t1 < 0< t2

0 c .c .

Se tomarmos v (t ) = 1, teremos:∫ ∞

−∞δ(t )dt = 1=

∫ ε

−εδ(t )dt

com ε tão pequeno quanto se queira.Para que se possa obter a função δ(t ), definimos δε(t ) que tende aδ(t )quandoε→ 0. Além disso, pode-se afimar que

∫∞−∞v (t )·δε(t )dt =

v (0), para qualquer função v (t ) contínua em t = 0.Há, pois, dois candidatos para δε(t ). Eles são apresentados a seguir:

δε(t ) =1

εΠ

t

ε

δε(t ) =1

εsinc

t

ε

3.1.1 Propriedades do impulso

Replicação: v (t ) ∗δ(t − td ) = v (t − td )Amostragem:

∫∞−∞ v (t ) ·δ(t − td )dt = v (td )

Mudança de escala: δ(αt ) = 1|α| ·δ(t )

3.1.2 Transformada de Fourier de um impulso

Se v (t ) = A · sinc(2W t )←→V ( f ) = A2W Π

f2W

Podemos escrever:

δε(t ) =1

εsinc

t

ε

←→Π( f ε)

18


=⇒ limε→0δε(t ) =δ(t )←→Π(0) = 1

δ(t )←→ 1 (3.1)

Nota-se que a energia do impulso é infinita:

Eδ =

∫ ∞

−∞|1|2d f =∞

3.1.3 Impulsos em frequência

Sabemos que:

F v (t ) ·exp(+ j 2π fc t )=V ( f − fc )

Se v (t ) = A =⇒ V ( f ) = A ·δ( f ) (teorema da dualidade)Então, se v (t ) = A ·exp(+ j 2π fc t ) =⇒ V ( f ) = A ·δ( f − fc ).Como:

cos(2π fc t ) =exp( j 2π fc t ) +exp(− j 2π fc t )

2

sin(2π fc t ) =exp( j 2π fc t )−exp(− j 2π fc t )

2 j

Concluímos, finalmente, que:

∴F cos(2π fc t )=δ( f − fc ) +δ( f + fc )

2(3.2)

∴F sin(2π fc t )=δ( f − fc )−δ( f + fc )

2 j(3.3)

Com isso, dada a série de Fourier de um sinal periódico, pode-sefacilmente encontrar sua transformada de Fourier. Veja a seguir:

v (t ) =∞∑

n=−∞cn ·exp( j 2πn f0t )←→V ( f ) =

∞∑

n=−∞cn ·δ( f −n · f0)

3.1.4 Transformada de Fourier da função degrau e si-nal

A função sinal é definida da seguinte maneira:

sgn(t ) =

1 t > 0−1 t < 0

19


O objetivo é calcular a transformada de Fourier do degrau, mas antesserá necessário encontrar a TF da função sinal. Para isso, define-seo sinal x (t ) como sendo:

x (t ) = exp(−bt ) ·u(t )

Nota-se que podemos definir a função sinal a partir de x (t ):

sgn(t ) = limb→0[x (t )− x (−t )]

Aplicando-se a transformada de Laplace na expressão envolvendox (t ), chega-se a:

L x (t )− x (−t ) ≡1

b+ s−

1

b− s=

b− s −b− s

b2− s 2

Aplicando-se o limite b→ 0:

limb→0

L x (t )− x (−t )=−2s

−s 2=

2

s

Da relação existente entre as transformadas de Laplace e Fourier, épossível obter a transformada de Fourier da função sinal:

F sgn(t )=2

s

s= j 2π f

∴F sgn(t )=1

jπ f(3.4)

Para que possamos encontrar a transformada de Fourier do degrau,escrevemos a seguinte relação;

sgn(t ) = 2u(t )−1

Aplicando-se a transformada de Fourier em ambos os lados da equa-ção e conhecendo-se a TF da função sinal:

1

jπ f= 2F u(t )−δ( f )

F u(t )=1

2π f+δ( f )

2(3.5)

3.2 Decaimento espectral de sinais

É interessante que o nosso sinal de interesse possua um rápido de-caimento espectral, para que, assim, ocupe a menor faixa de frequên-cias possível. Vamos, pois, analisar como se comporta o decaimento

20


espectral de alguns sinais para que se possa, a partir disso, encontraralgum tipo de regra ou relação.No caso de um sinal no formato de um pulso, o decaimento é pro-porcional a 1

f . Confira a transformada de Fourier a seguir:

A ·Π

t

τ

←→ A ·τsinc( f τ) = A ·τ ·sin(π f t )π f t

Fazendo-se uma análise mais geral, tomamos um sinal v (t ) e supo-mos que algumas de suas derivadas existam, até encontrarmos umadescontinuidade no tempo. Fica mais claro com a escrita da gene-ralização que se segue.Existem:

v (t ), v ′(t ), ..., v (n−1)(t )

v (n−1)(t ): primeira derivada a possuir descontinuidade no tempo.

=⇒ v (n )(t ) =∑

k

δ(t − tk ) ·dk +w (t )

em que dk é a amplitude do k -ésimo impulso.Notamos que a n-ésima derivada contém impulsos, dado que a (n−1)-ésima derivada possui uma descontinuidade no tempo.Como o que se deseja analisar é o decaimento espectral, é necessá-rio aplicar a Transformada de Fourier para que se possa analisar osinal no domínio da frequência.Segue da propriedade da derivada da TF a seguinte expressão:

=⇒ F v (n )(t )=V ( f ) · ( j 2π f )n =W ( f ) +∑

k

dk ·exp(+ j 2π f tk )

E, portanto, o sinal V ( f ) pode ser escrito como:

∴V ( f ) =W ( f )( j 2π f )n

+∑

k

dk ·exp( j 2π f tk )( j 2π f )n

Nota-se que o decaimento espectral nesse resultado é proporcional

a

1f

n.

Exemplo 3.1.

Função do cosseno levantado

v (t ) =§

cos

πt

τ

+1

A

2

ª

·Π

t

2τ

21


−60 −40 −20 0 20 40 60

0

0.5

1

1.5

2

t · 360

2πv(t)

Figura 3.1. Função v (t )

Pode-se, sem muito esforço, obter as derivadas dessa função atéque apareçam impulsos nas expressões encontradas.

v ′(t ) =−Π

t

2τ

·A

2· sin

πt

τ

·π2

τ

−60 −40 −20 0 20 40 60

−1

−0.5

0

0.5

1

t · 360

2π

v′ (t)

Figura 3.2. Função v ′(t )

v ′′(t ) =−Π

t

2τ

·A

2· cos

πt

τ

·π2

τ2

22


−60 −40 −20 0 20 40 60

−1

−0.5

0

0.5

1

t · 360

2π

v′′(t)

Figura 3.3. Função v ′′(t )

v ′′′(t ) =Π

t

2τ

·A

2· sin

πt

τ

·π3

τ3+

A ·π2

2 ·τ2· [δ(t +τ)−δ(t −τ)]

−60 −40 −20 0 20 40 60

−1

−0.5

0

0.5

1

t · 360

2π

v′′′(t)

Figura 3.4. Função v ′′′(t )

Percebe-se que a segunda derivada já possui descontinuidadesno tempo e que a terceira derivada possui impulsos. Ademais,pode-se escrever:

v ′′′(t ) =−v ′(t ) ·π2

τ2+

A ·π2

τ2· [δ(t +τ)−δ(t −τ)]

23


Aplicando-se a TF já com o uso da propriedade da derivada, obtém-se:

=⇒ V ( f ) · ( j 2π f )3 =−A ·π2

2τ2·

sin(2πτ) ·2 j

−π2

τ2·V ( f ) · ( j 2π f )

E chega-se, finalmente, a:

∴V ( f ) =Aτ · sinc(2 f τ)

1− (2 f τ)2

que possui decaimento proporcional a

1f

3(lembre-se que a fun-

ção sinc(t ) equivale a sin(πt )πt ). Isso já era esperado, uma vez que a

descontinuidade no tempo surgiu na segunda derivada da fun-ção.

3.3 Representação de sinais no tempo discreto

Tomemos um sinal no tempo contínuo e que possui seu espectrolimitado no domínio da frequência. Isto é, |X ( f )|= 0 para | f |>W .

-W 0 W

0

f

X(f)

Figura 3.5. Espectro X ( f ) de um sinal limitado em frequência

Queremos estudar sinais no tempo discreto, no seguinte formato:x [n ] = x (n ·Ts ), em que Ts é o intervalo entre as amostras do sinal.Define-se, então, um sinal no tempo discreto xδ(t ) que carrega a in-formação de x [n ]. Observe a seguir e note que, novamente, Ts é ointervalo entre impulsos:

xδ(t ) =∞∑

k=−∞

x (t ) ·δ(t −k Ts ) = x (t ) ·∞∑

k=−∞

δ(t −k Ts )

∴ xδ(t ) =∞∑

k=−∞

x (k Ts ) ·δ(t −k Ts )

24


Qual é, afinal, o espectro de xδ(t )? A resposta obtida pela mera apli-cação da TF não é boa:

X ( f ) ∗∞∑

k=−∞

exp( j 2π f k Ts )

Pode-se encontrar uma resposta melhor, em que a análise fica maisintuitiva. Veja seu desenvolvimento. Inicialmente, definimos s (t ),em que k vai de −∞ até∞.

s (t ) =∞∑

k=−∞

Π

t −k Ts

τ

Tal função é par e periódica. Assim, pode ser escrita com o auxílioda série de Fourier:

s (t ) = c0+∞∑

n=1

2cn · cos(2πn fs t )

onde cn = fs ·τ · sinc(n fsτ). Nesse modelo, fs equivale a 1Ts

. A partirde s (t ), é possível definir sδ(t ) com a aplicação de um limite.

sδ(t ) = limτ→0

1

τ· s (t ) =

∑

k

δ(t −k Ts )

Agora, com o uso do limite sobre a série de Fourier:

sδ(t ) = limτ→0

1

τ

∞∑

n=0

2 fsτ · sinc(n fsτ) · cos(2πn fs t )

= limτ→0

∞∑

n=0

2 fs · sinc(n fsτ) · cos(2πn fs t ) =∞∑

n=0

2 fs · cos(2πn fs t )

Aplicando-se a TF em sδ(t ):

sδ( f ) =∞∑

n=0

2 fs ·§

δ( f −n fs ) +δ( f +n fs )2

ª

=∞∑

n=−∞fs ·δ( f −n fs )

Então

Xδ( f ) = X ( f ) ∗Sδ( f ) = fs ·∞∑

n=−∞X ( f −n fs )

Isso é representado graficamente pela replicação do espectro de X ( f ).

25


f =− fs f = 0 f = fs

0

f

|X(f)|

Figura 3.6. Replicação do espectro de |X ( f )|

Há três situações possíveis para este cenário, são elas:

fs > 2W

fs = 2W

fs < 2W

Para que seja possível recuperar o sinal, é necessário que fs > 2Wpara que não haja sobreposição de duas ou mais replicações do sinalem frequência. A figura a seguir ilustra o caso em que fc < 2W .

0

f

|X(f)|

Figura 3.7. fs < 2W

Há uma outra questão para ser levada em consideração. Sabemosque o impulso não existe fisicamente (lembre-se que ele foi defi-nido como sendo um limite). Dessa forma, deve-se explorar as con-sequências do uso de um pulso real, aqui chamado de p (t ).Primeiramente, encontra-se a relação entre os impulsos real e ideal.

sδ(t ) =∞∑

k=−∞

p (t −k Ts ) = p (t ) ∗∞∑

k=−∞

δ(t −k Ts )

26


Utilizando o impulso real para o cálculo de xδ(t ), obtemos:

xδ(t ) = x (t ) ·∑

k

p (t −k Ts ) = x (t ) ·

p (t ) ∗∑

k

δ(t −k Ts )

= p (t ) ∗

∑

k

x (k Ts ) ·δ(t −k Ts )

E, portanto,

Xδ( f ) = P ( f ) · fs

∞∑

n=−∞X ( f −n fs )

Nota-se que P ( f ) gera uma distorção no espectro a partir de umefeito de abertura.

3.4 Exercícios

1. Projete um sinal no tempo cujo espectro decai proporcionalmentea f 3 e que não seja nem mesmo parcialmente senoidal. Obtenha aequação do seu espectro. O sinal deve obrigatoriamente ter médiazero.

2. Há dois sinais: x1(t ) =Π(t fc )·cos(2π fc t )e x2(t ) =Π(t fc )·sin(2π fc t ).Ambos possuem a mesma energia. Qual dos dois sinais possui po-tencialmente energia mais concentrada no domínio da frequênciaem torno da origem? Não é necessário desenvolver equações pararesponder esta questão corretamente. Sugestão: desenhe ambos ossinais no tempo.

3. Calcule a transformada de Fourier de z (t ) = z (t )·y (t ), onde x (t ) =∑∞

n=−∞δ(t −nTs ) e y (t ) = A ·Π

tτ

. Considere que τ > Ts . Esboce oformato de z (t ) no tempo e o seu espectro, indicando os valores quedependem de Ts , A e/ou τ. É possível recuperar a onda quadrada apartir de z (t ) com conhecimento de Ts mas sem conhecimento deτ? Justifique.

3.5 Soluções

1. Ideia: comece com um sinal formado por impulsos. Ao integrá-lono tempo, terá um sinal que decai com 1

f . Integre-o novamente e

o sinal decairá com

1f

2. Ao integrá-lo novamente, o sinal decairá

com

1f

3. É o caminho inverso da dedução do decaimento espec-

tral.

27


t

x(t)

Figura 3.8. x (t )

t

y(t)

Figura 3.9. y (t ) =∫

x (t )dt

t

z(t)

Figura 3.10. z (t ) =∫

y (t )dt

28


−2 −1 0 1 2

0

0.5

1

t

v(t)

Figura 3.11. v (t ) =∫

z (t )dt

Adicione os impulsos necessários em x (t )para que v (t ) tenha média

zero. Note que v (t ) decairá com

1f

3.

2.

−200 −100 0 100 200

−1

0

1

Figura 3.12. x1(t )

−200−150−100 −50 0 50 100 150 200

−1

0

1

Figura 3.13. x2(t )

x1(t )possui descontinuidades no tempo, o que não ocorre para x2(t ).

29


Assim, espera-se que x2(t ) tenha energia mais concentrada no do-mínio da frequência em torno da origem.

3. Definimos s (t ) =∑∞

k=−∞Π

t−k Tsτ

e sδ(t ) = limτ→01τ ·s (t ) =

∑∞k=−∞δ(t−

k Ts ) = s (t ). Ou seja, x (t ) = limτ→01τ · s (t ).

Série de Fourier:

s (t ) = c0+∞∑

n=1

2 · cn · cos(2πn1

Tst ), cn =

1

Tsτsinc

nτ

Ts

x (t ) = limτ→0

1

τ·∞∑

n=0

2 ·1

Ts·τ · sinc

nτ

Ts

· cos

2πn t

Ts

=⇒ x (t ) =∞∑

n=0

2 ·1

Ts· cos

2πn t

Ts

=⇒ X ( f ) =∞∑

n=0

2 ·1

Ts

¨

δ

f − nTs

+δ

f + nTs

2

«

=∞∑

n=−∞

1

Ts·δ

f −n

Ts

∴ Z ( f ) = X ( f ) ∗Y ( f ) = X ( f ) ∗A ·Π

t

τ

=1

Ts·∞∑

n=−∞Y

f −n

Ts

30

CAPÍTULO 4

Sistemas lineares e invariantes no tempo

Sistemas lineares e invariantes no tempo podem ser usados paramodelar canais, transmissores e receptores e, portanto, são de im-portância central para o estudo de sistemas de telecomunicações.Um sistema é uma caixa preta que, ao receber um sinal de entrada,gera um sinal de saída. Exemplos de sistemas são: um algoritmo deprocessamento, um filtro ou até mesmo um dispositivo mecânico.

x(t) Sistema y(t)

Figura 4.1. Representação básica de um sistema em que x(t) repre-senta o sinal de entrada e y(t) representa o sinal de saída

4.1 Lineariedade e Invariância no tempo

Definição 4.1. Sistema linear

Seja um sistema tal que a resposta a um sinal de entrada x (t ) sejadado pela aplicação do operador L a este sinal, ou seja, L [x (t )].Este sistema é linear se:

L [a1 · x1(t ) +a2 · x2(t )] = a1 · L [x1(t )]+a2 · L [x2(t )]

A lineariedade do sistema implica que todas as operações feitas pelosistema sejam lineares e, portanto, qualquer sistema linear pode serdecomposto em blocos de processamento lineares.

Definição 4.2. Sistema invariante no tempo

Seja um sistema tal que a resposta a um sinal de entrada x (t ) sejadado pela aplicação do operador L a este sinal, ou seja, L [x (t )]e seja td uma constante. Este sistema é invariante no tempo se:

L [x (t )] = y (t ) =⇒ L [x (t − td )] = y (t − td )

31


A invariância no tempo diz que a resposta do sistema não dependedo tempo e, portanto, apenas do sinal de entrada.

4.2 Resposta sem distorção

Estudando o comportamento de um sinal ao passar por um sistema,convém definir o que seria uma resposta não distorcida.

Definição 4.3. Resposta sem distorção

Seja um sistema tal que a resposta a um sinal de entrada x (t )seja y (t ). Esta resposta é considerada não distorcida se y (t ) édiferente de x (t ) apenas por um atraso temporal e/ou uma mu-dança de amplitude, isto é:

y (t ) = K · x (t − td )

Sendo K e td constantes.

4.3 Caracterização do sistema pela respostaao impulso

Em geral, é difícil obter diretamente uma relação entre a entrada ea saída de um sistema. Porém, uma relação em especial se mostrabastante útil neste aspecto. Seja h (t ) a resposta do sistema ao im-pulso no tempo.

h (t ) = L [δ(t )]

Esta relação se mostra útil pois um sinal qualquer x (t ) pode ser re-escrito como:

x (t ) = x (t ) ∗δ(t )

E portanto:

y (t ) = L [x (t ) ∗δ(t )] = L

∫ ∞

−∞x (λ)δ(t −λ)dλ

Usando a lineariedade do operador L :

y (t ) =

∫ ∞

−∞x (λ)L [δ(t −λ)]dλ=

∫ ∞

−∞x (λ)h (t −λ)dλ =⇒

y (t ) = x (t ) ∗h (t )

32


A reposta ao impulsão é difícil de se obter diretamente, se não im-possível. Porém, ela pode ser obtida indiretamente através da res-posta ao degrau, afinal, o impulso é a derivada do degrau no tempo.

g (t ) = L [u (t )] =⇒ h (t ) =d g (t )

d t

Exemplo 4.1.

Seja um circuito RC em série em que x(t) é a tensão de entrada ey(t) é a tensão de saída.

x (t )

R

C y (t )

Figura 4.2. Circuito RC em série

A soma de tensões no sistema resulta em:

y (t ) +R Cd y (t )

d t= x (t )

No caso em que a tensão de entrada é a função degrau (u (t )), asaída do sistema se torna:

y (t ) =

1−exp

−t

R C

u (t )

A resposta do sistema ao impulso se torna então:

h (t ) =d y (t )

d t=⇒ h (t ) =

1

R Cexp

−t

R C

4.4 Função de transferência

A análise no domínio da frequência é interessante para o estudo dossinais. A função de transferência é definida pela transformada deFourier da resposta do sistema ao impulso:

H ( f ) =F [h (t )]

33


Como a transformada de Fourier da convolução no tempo gera umamultiplicação em frequência:

y (t ) = x (t ) ∗h (t )↔ Y ( f ) = X ( f )H ( f )

Algumas relações interessantes que decorrem desta equação são:

|Y ( f )|= |X ( f )||H ( f )|Ar g [Y ( f )] = Ar g [X ( f )]+Ar g [H ( f )]

4.4.1 Teste da resposta em frequência

É possível descobrir o valor da resposta de um sistema em frequên-cia para valores específicos de frequência através do método a se-guir. Consequetemente, este método pode ser usado para se estimara função de transferência ao se descobrir seu valor para múltiplospontos.Para um dado valor de fx que se queira descobrir a resposta em frequên-cia do sistema, toma-se como entrada do sistema o seguinte sinal:

x (t ) = Ax exp( jφx )exp( j 2π fx t )

A transforma de Fourier deste sinal é:

X ( f ) = Ax exp( jφx )δ( f − fx )

A resposta do sistema a este sinal no tempo será, então:

y (t ) = h (t ) ∗ x (t ) =

∫ ∞

−∞h (λ)Ax exp( jφx )exp[ j 2π fx (t −λ)]dλ

y (t ) = Ax exp( jφx )exp( j 2π fx t )

∫ ∞

−∞h (λ)exp(− j 2π fxλ)dλ

y (t ) = Ax exp( jφx )exp( j 2π fx t )H ( fx ) =H ( fx )x (t )

Alternativamente, podemos escrever y (t ) como:

y (t ) = A y exp( jφy )exp( j 2π fx t )

Desta forma, é possível encontrar o valor de H ( fx ):

|H ( fx )|=A y

Axe Ar g [H ( fx )] =φy −φx

34


4.5 Filtros e filtragem

Um filtro serve para selecionar/rejeitar uma certa banda de frequên-cia e possuem múltiplas utilidades, como isolar um sinal, reduziro ruído ou eliminar interferências. Os filtros apresentados a seguirsão ideais e, portanto, não causam distorções e removem totalmente(ganho zero) as bandas não desejadas. Nas equações apresentadasa seguir, K é o ganho do filtro, B é a banda e td é o deslocamento notempo.Devido a seleção de frequências, os filtros serão definido em frequên-cia, isto é, eles serão definidos através de sua função de transferên-cia.

4.5.1 Filtro passa baixas (LPF)

H ( f ) =

¨

K exp(− j 2π f td ), se f ≤ |B |0, caso contrário

Em tempo:h (t ) = 2B K sinc(B (t − td ))

4.5.2 Filtro passa altas

H ( f ) =

¨

K exp(− j 2π f td ), se f ≥ |B |0, caso contrário

Em tempo:h (t ) = 1−2B K sinc(2B (t − td ))

4.5.3 Filtro passa faixas

H ( f ) =

¨

K exp(− j 2π f td ), se f1 ≤ f ≤ f2

0, caso contrário

A banda é então: B = f2− f1

Em tempo:

h (t ) = 2B K sinc(2B (t − td ))2 cos(πB (t − td ))

4.5.4 Filtro rejeitor de faixas

H ( f ) =

¨

0, se f1 ≤ | f | ≤ f2

K exp(− j 2π f td ), caso contrário

A banda é então: B = f2− f1

35


Em tempo, temos:

h (t ) = 1−2B K sinc(2B (t − td ))2 cos(πB (t − td ))

4.6 Análise por diagramas de blocos

É possível combinar múltiplos sistemas usando um diagrama de blo-cos e fazer uma análise da combinação através das funções de trans-ferências.

4.6.1 Sistemas em série

Um sistema composto pela combinação de dois sistemas em sérietem como função de transferência o produto de ambas funções detransferências

4.6.2 Sistemas em paralelo

Um sistema composto pela combinação de dois sistemas em para-lelo tem como função de transferência dada pela soma ou pela sub-tração das funções de transferência (o sinal é especificado pelo ope-rador que une os sistemas).

4.6.3 Sistema de realimentação negativa

Um sistema composto pela combinação por um sistema de funçãode transferência H1( f )e um sistema de função de transferência H2( f )realimentando o primeiro sistema negativamente tem como funçãode transferência:

H ( f ) =H1( f )

1+H1( f )H2( f )

4.6.4 Sistema de realimentação positiva

Em um sistema semelhante ao anterior, mas de realimentação po-sitiva, a função de transferência é:

H ( f ) =H1( f )

1−H1( f )H2( f )

36

CAPÍTULO 5

Densidade Espectral de Potência

5.1 Correlação

Definição 5.1. Correlação

É um método de comparação que permite determinar a seme-lhança (ou diferença) entre dois sinais, baseado na média do seuproduto temporal.

5.1.1 Correlação de sinais de potência

Para sinais de potência, a potência é dada por:

Pv4=< v (t ) · v ∗(t )>= lim

T→∞

1

T

∫ T /2

−T /2

[v (t ) · v ∗(t )]d t (5.1)

Propriedades do produto interno, < ·>:

• < z (t )>=< z (t )>

• Invariância no tempo: < z (t − td )>=< z (t )>

• Linearidade: < a1z1(t ) +a2z2(t )>= a1 < z1(t )>+a2 < z2(t )>

Se v (t ) e w (t ) são sinais de potência, o produto escalar deles servecomo uma medida de similaridade entre ele, onde essa medida obe-dece a desigualdade de Schwarz:

|< v (t ) ·w ∗(t )> |2 ≤ Pv Pw (5.2)

A partir da média, definimos a correlação cruzada de um par de si-nais de potência:

Rv w (τ)4=< v (t ) ·w ∗(t −τ)> (5.3)

A correlação cruzada também pode ser definida para analisar sinaisaleatórios de potência:

Rv w (τ)4= ε[v (t ) ·w ∗(t −τ)] (5.4)

37


Onde ε é a esperança de f (t ).Propriedades da correlação cruzada, Rv w :

• |Rv w |2 ≤ Pv Pw , a igualdade ocorre quando v =w e τ= 0

• Rv w (τ) =R ∗v w (−τ)

• Rv v (τ= 0) = Pv

Exemplo 5.1. Correlação entre duas exponenciais complexas:

v (t ) =Cv exp ( j 2π f1t ) (5.5)

w (t ) =Cw exp ( j 2π f2t ) (5.6)

Rv w (τ) = limT→∞

1

T

∫ T /2

−T /2

v (t )w ∗(t −τ)d t (5.7)

Rv w (τ) =Cv Cw limT→∞

1

T

∫ T /2

−T /2

exp ( j 2π f1t − j 2π f2t + j 2π f1τ)d t

(5.8)

Rv w (τ) =Cv Cw exp ( j 2π f1τ) limT→∞

1

T

∫ T /2

−T /2

exp ( j 2π( f1− f2)t )d t

(5.9)

Rv w (τ) =

Cv Cw exp ( j 2π f1τ), s e f1 = f2

0, C .C .(5.10)

5.1.2 Correlação para sinais de energia

Para sinais de energia, a energia é dada por:

Ev4=

∫ ∞

−∞v (t )v ∗(t )d t (5.11)

A correlação de dois sinais de energia é dado por:

Rv w (τ)4=

∫ ∞

−∞v (t )w ∗(t −τ)d t (5.12)

Para quaisquer par de sinais de energia, temos que:

|Rv w (τ)|2 ≤ Ev Ew (5.13)

38


5.2 Autocorrelação

A autocorrelação é a correlação de um sinal com ele mesmo, atra-sado em τ.

Rv (τ)4=Rv v (τ) (5.14)

Para qualquer sinal, a autocorrelação tem simetria hermitiana, logo:

Rv (τ) =R ∗v (−τ) (5.15)

• v (t ) real→ V ( f ) simetria hermitiana

• v (t ) simetria hermitiana→ V ( f ) real

5.2.1 Autocorrelação de sinal de potência

Propriedades da autocorrelação:

• Rv (τ= 0) = Pv

• |Rv (τ)| ≤ Pv

Exemplo 5.2.

Definindo z (t ) = cos(2π f0t +φ), temos que:

z (t ) =1

2[exp ( j (2π f0t +φ))+exp (− j (2π f0t +φ))] (5.16)

Logo, utilizando o exemplo anterior, obtemos:

Rz (τ) =1

2

exp( j 2π f0τ) +exp(− j 2π f0τ)2

(5.17)

Rz (τ) =1

2cos(2π f0τ) (5.18)

5.2.2 Autocorrelação de sinal de energia

Propriedades da autocorrelação:

• Rv (τ= 0) = Ev

• |Rv (τ)| ≤ Ev

A Transformada de Fourier permite escrever:

Rv (τ= 0) =

∫ ∞

−∞v (t )v ∗(t )d t =

∫ ∞

−∞|V ( f )|2d f (5.19)

Rv w (τ= 0) =

∫ ∞

−∞v (t )w ∗(t )d t =

∫ ∞

−∞|V ( f )||W ∗( f )|d f (5.20)

39


5.3 Como a correlação se altera quando te-mos SLI

Dado x (t ) com Rx (τ) e o sistema linear invariante no tempo comresposta ao degrau h (t ) gerando a saída y (t ) com Ry (τ).Primeiro Passo: Encontrar Ry x (τ)

Ry x (τ)4=< y (t ) · x ∗(t −τ)> 6=Rx y (τ) (5.21)

Ry x (τ) =

∫ ∞

−∞y (t )x ∗(t −τ)d t =

∫ ∞

−∞[h (t ) ∗ x (t )]x ∗(t −τ)d t (5.22)

Ry x (τ) =

∫ ∞

−∞[

∫ ∞

−∞h (λ)x (t −λ)dλ]x ∗(t −τ)d t (5.23)

Ry x (τ) =

∫ ∞

−∞h (λ)[

∫ ∞

−∞x (t −λ)x ∗(t −τ)d t ]dλ (5.24)

Substituindo t = t −λ, temos que :

Ry x (τ) =

∫ ∞

−∞h (λ)[

∫ ∞

−∞x (t )x ∗(t−(τ−λ)d t ]dλ=

∫ ∞

−∞h (λ)Rx (τ−λ)dλ

(5.25)

Ry x (τ) = h (τ)Rx (τ) (5.26)

Segundo passo: Encontrar Ry (τ)

Ry (τ)4=< y (t ) · y ∗(t −τ)>=

∫ ∞

−∞y (t )y ∗(t −τ)d t (5.27)

Ry (τ) =

∫ ∞

−∞y (t +τ)y ∗(t )d t (5.28)

Ry (τ) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞y (t +τ)h ∗(λ)x ∗(t −λ)dλd t (5.29)

Ry (τ) =

∫ ∞

−∞h ∗(λ)[

∫ ∞

−∞y (t )x ∗(t −λ−τ)d t ]dλ (5.30)

Ry (τ) =

∫ ∞

−∞h ∗(λ)Ry x (τ+λ)dλ (5.31)

Fazendo λ=−λ⇒d λ

dλ=−1, temos que:

Ry (τ) =

∫ ∞

−∞h ∗(−λ)Ry x (τ− λ)d λ (5.32)

40


Ry (τ) = h ∗(−τ)Ry x (τ) (5.33)

Ry (τ) = h ∗(−τ) ∗h (τ) ∗Rx (τ) = g (τ) ∗Rx (τ) (5.34)

Onde g (τ) = h ∗(−τ) ∗ h ∗(τ) é a autocorrelação da resposta ao im-pulso.

5.4 Função de Densidade Espectral

Definição 5.2. Densidade Espectral

A densidade espectral informa sobre a distribuição de energiaem frequência.A densidade espectral é a transformada de Fourier da autocor-relação:

Sx ( f ) =

∫ ∞

−∞Rx (τ)exp(− j 2π f τ)dτ (5.35)

Como Rx (τ) = R ∗(τ), então Rx (τ) tem simetria hermitiana. LogoSx ( f ) é real.A energia de x (t ) pode ser calculada como:

Ex =

∫ ∞

−∞|V ( f )|2 =

∫ ∞

−∞Sx ( f )d f =F −1Sx ( f ),τ= 0. (5.36)

Sabemos que:

Rx (τ= 0) =

∫ ∞

−∞x (t )x ∗(t )d t = Ex (5.37)

Logo, a equação 5.36 é verdadeira.

5.5 Relação entre sinais e sistema

x (t )↔Rx (τ)↔ Sx ( f ) (5.38)

Ry x (τ) = h (τ) ∗Rx (τ) (5.39)

y (t ) = x (t ) ∗h (t )↔Ry (τ) = h (τ) ∗h ∗(−τ) ∗Rx (τ) (5.40)

↔ Sy ( f ) = |H ( f )|2Sx ( f ) (5.41)

g (τ)↔G ( f )⇒ Sy ( f ) =G ( f )Sx ( f ) (5.42)

41


5.6 Transformada de Hilbert

Definição 5.3.

A transformada de Hilbert H [g (t ] de um sinal g (t ) é definidacomo:

H (g (t )) = H = g (t ) ∗1

πt=

1

π

∫ ∞

−∞

g (τ)t −τ

dτ=1

π

∫ ∞

−∞

g (t −τ)τ

dτ

(5.43)Essa transformada é a resposta a g (t ) de um filtro linear invari-ante no tempo (denominado um transformados de Hilbert) tendo

resposta ao impulso1

π ∗ t.

A utilidade dessa transformada é a sua participação na conver-são de um sinal em banda passante para banda base.

Em frequência:

H ( f ) =− j s g n ( f ) =

j f < 0− j f > 0

No tempo: h (t ) =F −1H ( f )=− j

−πt j=

1

πtPropriedades da Transformada de Hilbert:

• Linearidade:ˆ[a1g1(t ) +a2g2(t )] = a1g1(t ) +a2g2(t )

• Transformada de Hilbert de uma constante:se g (t ) = c ⇐ g (t ) = 0.

• Deslocamento temporal e dilatação temporal:Se g (t ) tem como transformada de Hilbert g (t )⇐ a transfor-mada de Hilbert de g (t − t0) é g (t − t0). A transformada de Hil-bert de g (a t ) é s g n (a )g (a t ).

• Convolução:ˆ[g1(t ) ∗ g2(t )] = g1(t ) ∗ g2(t ) = g1(t ) ∗ g2(t )

• Derivação temporal:

H [d

d tf (t )] =

d

d tH [g (t )]

• Transformada de Fourier:

O sinal1

πttem como transformada de Fourier:

=− j s g n ( f ) =

j f < 0− j f > 0

E a transformada de Fourier de g (t ) fica:G ( f ) =− j s g n ( f )G ( f )

42


• Densidade Espectral de Energia:Suponha que g (t ) seja um sinal de energia. Temos que:

x (t ) = x (t ) ∗h (t )

Sx ( f ) = |X ( f )|2

SX ( f ) = |X ( f )|2|= |X ( f )|2|H ( f )|2 = |X ( f )|2

SX ( f ) = SX ( f )

Logo, a transformada de Hilbert não muda a densidade espec-tral de energia.

• Simetria:Se g (t ) é real, então G ( f ) possui simetria hermitiana, isto é,G (− f ) =G ∗( f ). Com isso, G (− f ) =− j s g n (− f )G (− f ) =− j s g n ( f )G ( f ) =G ( f )⇐ G ( f ) também possui simetria hermitiana.

• Ortogonalidade:Se g (t ) é um sinal de energia real, então g (t )↔ g (t ), logo:

< g (t ), g (t )>= 0

• Transformada Inversa de Hilbert:

g (t ) =−H [g (t )] =−g (t ) ∗1

πt+ c

H [g (t )] =−g (t )

43

CAPÍTULO 6

Sinais e sistemas em banda base e bandapassante

O processo de comunicação se baseia na transmissão da saída deuma fonte de informação por um canal de comunicação. Na maio-ria dos casos, as características espectrais da informação não estãode acordo com as características espectrais do canal, e portanto estesinal de informação não pode ser transmitido diretamente pelo ca-nal. Suponha, por exemplo, que um canal consiga apenas transmitirinformação para frequências altas enquanto que o sinal à ser trans-mitido possui seu espectro preso num intervalo de baixa frequência.Para que a comunicação seja possível, no transmissor, a informaçãoé traduzida para um sinal aceitável pelo canal. Este é o processo demodulação pelo qual a informação em banda base é transformadaem banda passante.

6.1 Sinais de Banda Base e Banda Passante

Definição 6.1. Sinal em Banda Base

Sinal cujo espectro de frequência é não nulo somente em umestreito intervalo em torno da origem. A largura de banda deum sinal real em banda base é o mínimo positivo W tal queX

f

= 0 fora do intervalo [−W ,+W ]. Exemplo na figura 6.1.

Definição 6.2. Sinal em Banda Passante

Sinal real cujo espectro de frequência é não nulo somente emum estreito intervalo em torno de uma frequência central f0. Alargura de banda de um sinal em banda base é o mínimo posi-tivo W tal que X

f

= 0 fora do intervalo

f0−W /2, f0+W /2

.Exemplo na figura 6.2.

44


Definição 6.3. Espectro Positivo e Espectro Negativo

Trata-se, como diz o nome, do conteúdo isolado, positivo ou ne-gativo, do espectro em frequência de um sinal x (t ), matemati-camente:

X+

f

=

X

f

f > 012 X (0) f = 0

0 f < 0

X−

f

=

X

f

f < 012 X (0) f = 0

0 f > 0

(6.1)

ou de forma mais curta:

X+

f

= X

f

u

f

X−

f

= X

f

u

− f

(6.2)

em que u

f

é a função degrau de Heaviside unitária.

W

f

X

f

Figura 6.1. Sinal em banda base, notar que a magnitude do sinal sónão é nula dentro de um dado intervalo centrado na origem.

W

− f0

W

+ f0 f

X

f

Figura 6.2. Sinal em banda passante, notar que a magnitude do sinalsó não é nula dentro de um dado intervalo centrado na frequênciaf0

45


6.2 Equivalente em Banda Base de Sinais emBanda Passante

Um sinal em banda passante, por ser um sinal real, sempre apre-senta a simetria mostrada na figura 6.2. Devido à esta simetria noespectro, X+

f

possui toda informação necessária para reconstruir

X

f

. Então se pode escrever:

X

f

= X+

f

+X−

f

= X+

f

+X ∗+

− f

(6.3)

o que mostra que apenas a informação de X+

f

é suficiente para

reconstruir X

f

.

A idéia geral do processo que será aqui descrito se resumirá em des-locar o espectro positivo até a origem e então encontrar a transfor-mada de Fourier inversa deste espectro deslocado. O resultado seráum sinal no tempo em banda base equivalente.

Comecemos então definindo o sinal analítico, ou pré-envelope:

Definição 6.4. Pré-envelope

O pré envelope correspondente de um sinal x (t ) é o sinal x+ (t )cuja transformada de Fourier é o espectro positivo X+

f

. As-sim:

x+ (t ) =F −1

X+

f

=F −1

X

f

u

f

= x (t ) ∗

1

2δ (t ) + j

1

2π t

=1

2x (t ) +

j

2bx (t )

x+ (t ) =1

2x (t ) +

j

2bx (t ) (6.4)

onde bx (t ) é a transformada de Hilbert de x (t ).

46


Agora definimos o equivalente em banda base ou envelope complexode x (t ):

Definição 6.5. Equivalente em banda base

xB B (t ), o equivalente em banda base de x (t ), é o sinal cujo es-pectro é dado por:

XB B

f

= 2 X+

f + f0

(6.5)

Notar que com esta definição, o espectro de xB B (t ) esta claramentecentrado na origem. O motivo da multiplicação por 2 será mostradonos cálculos que seguem.

Encontramos o espectro do equivalente em banda base mas deseja-mos encontrar o sinal no tempo. Aplicaremos então a transformadainversa de Fourier:

xB B (t ) =F −1

XB B

f

=F −1

2 X+

f + f0

= 2x+ (t ) e − j 2π f0 t

=

x (t )+ j bx (t )

e − j 2π f0 t (6.6)

= x (t ) cos 2π f0 t + bx (t )sin 2π f0 t+j bx (t )cos 2π f0 t − x (t )sin 2π f0 t (6.7)

Então, partindo dos cálculos acima, podemos destacar que para ob-ter o equivalente em banda base de um sinal x (t ), utiliza-se a se-guinte expressão:

xB B (t ) =

x (t )+ j bx (t )

e − j 2π f0 t (6.8)

A expressão acima também permite concluir como obter um sinalem banda passante sob conhecimento do sinal em banda base:

x (t ) =R e

xB B (t ) e j 2π f0 t

(6.9)

Por fim, se quisermos trabalhar no domínio da frequência, pode-seobter o espectro em banda passante de um sinal com o conheci-mento do espectro em banda base construindo a seguinte relaçãopor meio das equações 6.3 e 6.5:

X

f

=1

2

XB B

f − f0

+X ∗B B

− f − f0

(6.10)

47


Como xB B (t ) é um sinal imaginário, este possui uma parte real eimaginária. A componente real é chamada de componente em fasee a parte imaginária de componente em quadratura e são denotadasrespectivamente por xi (t ) e xq (t ); ambos são sinais reais em bandabase. De forma que temos:

xB B (t ) = xi (t ) + j xq (t ) (6.11)

Comparando isto com a equação 6.7 encontra-se que:

xi (t ) = x (t )cos 2π f0t + bx (t )sin 2π f0t

xq (t ) = bx (t )cos 2π f0t − x (t )sin 2π f0t (6.12)

Solucionando a equação acima pode-se obter:

x (t ) = xi (t )cos 2π f0t − xq (t )sin 2π f0t

bx (t ) = xq (t )cos 2π f0t + xi (t )sin 2π f0t (6.13)

A expressão acima mostra que qualquer sinal em banda passantepode ser expresso em termos de dois sinais em banda base, nomi-nalmente, suas componentes em fase e em quadratura.

6.3 Equivalente em Banda Base para Sistemaem Banda Passante

Um sistema em banda passante é um sistema cuja função de trans-ferência é localizada em torno de uma frequência f0 e sua imagemespelhada em − f0. Mais formalmente:

Definição 6.6. Sistema em Banda Passante

Um sistema em banda passante é um sistema cuja resposta aoimpulso h (t ) é um sinal em banda passante.

Como h (t ) é um sinal em banda passante, este possui um sinal embanda base equivalente denotado por hB B (t ) de forma que:

h (t ) =R e

hB B (t )ej 2π f0t

(6.14)

Se um sinal em banda passante x (t )passa por um sistema em bandapassante a saída será claramente um sinal em banda passante y (t ).A relação entre o espectro de entrada e saída é dada por:

Y

f

= X

f

H

f

(6.15)

Utilizando a equação 6.5:

YB B

f

= Y

f + f0

u

f + f0

= 2X

f + f0

H

f + f0

u

f + f0

(6.16)

48


Note que para f > f0, que é o intervalo de interesse, podemos dizerque:

u

f + f0

= u 2

f + f0

= 1

Então podemos expandir o u

f + f0

na equação 6.16 para conti-nuar o desenvolvimento:

YB B

f

=1

2

2X

f + f0

u

f + f0

2H

f + f0

u

f + f0

=1

2XB B

f

HB B

f

(6.17)

Então, no domínio da frequência temos:

YB B

f

=1

2XB B

f

HB B

f

(6.18)

e no domínio do tempo:

yB B (t ) =1

2xB B (t ) ∗hB B (t ) (6.19)

6.4 Representação vetorial de sinais

A representação vetorial de sinais é uma forma efetiva e útil de seanalisar sinais digitalmente modulados. O conceito é de que qual-quer conjunto de sinais é equivalente à um conjunto de vetores eque estes possuem as mesmas propriedades básicas. Aqui será abor-dado métodos de se determinar um conjunto de vetores equivalen-tes para um dado conjunto de sinais e será introduzido a noção derepresentação em espaço de sinais, ou constelação de sinais, de umcojunto de formas de onda.

6.4.1 Conceitos de representação em espaço de sinais

Como dito, é possível fornecer um tratamento paralelo de vetores àum conjunto de sinais. Primeiramente, definimos o produto internode dois sinais complexos:

Definição 6.7. Produto interno entre sinais

Dado dois sinais x1 (t ) e x2 (t ), o produto interno entre estes dois

49


sinais é dado por:

⟨ x1 (t ) , x2 (t ) ⟩=∫ ∞

−∞x1 (t ) x

∗2 (t ) d t (6.20)

Para deixar claro definimos também o que são sinais ortogonais:

Definição 6.8. Sinais ortogonais entre si

Sinais cujos produtos internos entre si são nulos

O que é a norma de um sinal:

Definição 6.9. Norma de um sinal

A norma de um sinal é a raiz quadrada do produto interno deum sinal com este mesmo:

‖x (t )‖=∫ ∞

−∞|x (t )|2 d t

1/2

=p

εx (6.21)

em que εx é a energia contida em x (t ).

Vale ressaltar duas propriedades da álgebra linear para este contextotambém, a desigualdade triangular e a desigualdade de Cauchy-Schwarz:Desigualdade triangular:

‖x1 (t )+ x2 (t )‖<= ‖x1 (t )‖+ ‖x2 (t )‖ (6.22)

Desigualdade de Cauchy-Schwarz:

|⟨ x1 (t ) , x2 (t ) ⟩| ≤ ‖x1 (t )‖ · ‖x2 (t )‖ (6.23)

6.4.2 Expansão Ortogonal de Sinais

Nesta seção, será desenvolvido uma representação vetorial para si-nais em formas de onda, e assim demonstrar uma equivalência en-tre a forma de onda do sinal e sua representação vetorial.Suponha que s (t ) seja um sinal determinístico com energia finita esuponha também que existe um conjunto de funções:

φn (t ) , n = 1, 2, . . . K (6.24)

que são ortonormais entre si:

⟨φn (t ) ,φm (t ) ⟩=∫ ∞

−∞φn (t )φ

∗m (t )d t =

¨

1 m = n

0 m 6= n(6.25)

50


Pode-se aproximar o sinal s (t ) por uma combinação linear ponde-rada destas funções:

es (t ) =K∑

k=1

skφk (t ) (6.26)

onde

sk , 1≤ k ≤ K (6.27)

são os coeficientes na aproximação de s (t ). O erro da aproximaçãoé dado por:

e (t ) = s (t )− es (t ) (6.28)

Pode-se demonstrar que o erro no valor da energia do sinal s (t ) énulo quando os coeficientes são:

sn = ⟨ s (t ) ,φn (t ) ⟩ n = 1, 2, . . . , K (6.29)

Sobre esta condição, como o erro é nulo, pode-se expressar s (t ) como:

s (t ) =K∑

k=1

skφk (t ) (6.30)

ou em forma vetorial:

s (t ) = [s1 s2 · · · sN ]Tφ (6.31)

Este vetor é chamado de vetor de símbolos. Além disso, se nós con-ceitualmente estendermos a convencional noção de 2 ou 3 dimen-sões espaços Euclidianos para um N dimensional espaço Euclidi-ano, é possível vizualisar s (t ) como um ponto neste espaço em queexistem N mutualmente perpendiculares eixos nomeados por

φn (t ) , n = 1, 2, . . . K

este N dimensional espaço Euclidiano é chamado de espaço de si-nais e o diagrama geométrico deste espaço é chamado de constela-ção. Para destacar:

Definição 6.10. Espaço de Sinais

O espaço de sinais é o espaço Euclidiano de N dimensões cujoseixos perpendiculares representam a base ortonormalφ que ex-pande completamente todo um conjunto de sinais si (t )

51


Definição 6.11. Constelação

O diagrama, o desenho, do espaço Euclidiano com a presençados pontos correspondentes dos vetores si (t ). (Este desenho sóé possível para o caso em que o número de dimensões é menordo que 4)

A ideia de visualizar um conjunto de sinais de energia geometrica-mente, como descrito, é muito importante. Providenciando a basematemática para representação geométrica de sinais, este conceitopavimenta o caminho para análise de ruídos em comunicações di-gitais numa forma conceitualmente simples.

Exemplo 6.1.

Um conjunto ortogonal de sinais é caracterizado pela proprie-dade de que o produto interno de qualquer par de sinais no con-junto é zero. A figura 6.3 mostra um par de sinais que satisfazemesta condição. Construa a constelação para este par de sinais.

T /2 T

−1

1

t

s1 (t )

(a)

T

1

t

s2 (t )

(b)

Figura 6.3

Solução: O sinais s1 (t ) e s2 (t ) são ortogonais entre si. A energia des1 (t ) é:

E1 =

∫ T /2

0

12d t +

∫ T

T /2

(−1)2 d t = T

A energia de s2 (t ) é:

E2 =

∫ T

0

12d t = T

52


Os sinais são ortogonais porém não são normais. Para representarestes dois sinais, é preciso duas funções base. A primeira funçãobase é dada por:

φ1 (t ) =s1 (t )p

E1

=s1 (t )p

T

A segunda função base é dada por:

φ2 (t ) =s2 (t )p

E2

=s2 (t )p

T

A constelação então é desenhada da seguinte forma:

pT

pT

φ2

φ1

Figura 6.4. Constelação dos sinais s1 (t ) e s2 (t ).

6.4.3 Processo de Gram-Schmidt

Suponha que exista um conjunto de sinais de energia finita

sm (t ) , m = 1, 2, ...M

e que se deseja obter uma base ortonormal a partir deste conjunto.Para tal propósito utiliza-se o processo de ortonormalização de Grand-Schmidt. Primeiramente, precisamos definir o conceito de proje-ção:

Definição 6.12.

A projeção de v em u é dada por

proju (v) =⟨v, u⟩⟨u, u⟩

u (6.32)

53


Agora podemos descrever o algoritmo do processo de Gran-Schmidtcomo:

u1 = s1, φ1 =u1

‖u1‖

u2 = s2−proju1(s2), φ2 =

u2

‖u2‖

u3 = s3−proju1(s3)−proju2

(s3), φ3 =u3

‖u3‖

u4 = s4−proju1(s4)−proju2

(s4)−proju3(s4), φ4 =

u4

‖u4‖...

...

uM = sM −M−1∑

j=1

proju j(sM ), φk =

uM

‖uM ‖.

Onde o conjunto

φm (t ) , m = 1, 2, ...M

representa a base ortonormal obtida.

Exemplo 6.2.

(a) Usando o processo de Gram-Schmidt, encontre uma base or-tonormal para representar os 3 sinais s1 (t ), s2 (t ), s3 (t ) mostra-dos na figura 6.5(b) Expresse cada um desses sinais em termos da base encon-trada no item a.

Solução. (a) Primeiro observamos que os sinais são linearmente in-dependentes. A primeira base é:

φ1 =s1 (t )‖s1 (t )‖

e da definição de norma:

‖s1 (t )‖=

∫ 1

0

(2)2 d t

1/2

=p

4= 2

portanto:

φ1 (t ) =s1 (t )

2

φ1 (t ) =

¨

1, 0≤ t ≤ 1

0, o u t r o l ug a r

54


1 2 3

−4−3−2−1

1234

t

s1 (t )

(a)

1 2 3

−4−3−2−1

1234

t

s1 (t )

(b)

1 2 3

−4−3−2−1

1234

t

s1 (t )

(c)

Figura 6.5

Agora para obter a segunda base precisamos calcular primeiro a pro-jeção de s2 (t ) em u1 (t ), lembrando que u1 (t ) = s1 (t ):

p r o ju1(s2) = ⟨ s2 (t ) , u1 (t ) ⟩φ1 (t )

p r o ju1(s2) =

∫ 1

0

(−4) (1)d t φ1 ()

p r o ju1(s2) =−4φ1 (t )

Então:

u2 (t ) = s2 (t )−p r o ju1(s2)

u2 (t ) = s2 (t ) +4φ1 (t )

u2 (t ) =

¨

−4, 1≤ t ≤ 2


Portanto a segunda função base é:

φ2 (t ) =u2 (t )

r

∫ 2

1(−4)2 d t

φ2 (t ) =

¨

−1, 1≤ t ≤ 2


55


Agora repetimos o processo para encontrar a terceira base, porémagora, como descrito no algoritmo, devemos encontrar 2 projeções.Começando pela projeção de s3 em u1:

p r o ju1(s3) = ⟨ s3 (t ) , u1 (t ) ⟩φ1 (t )

p r o ju1(s3) =

∫ 1

0

(3) (1)d t φ1 ()

p r o ju1(s3) = 3φ1 (t )

Agora a projeção de s3 em u2:

p r o ju2(s3) = ⟨ s3 (t ) , u2 (t ) ⟩φ2 (t )

p r o ju2(s3) =

∫ 2

1

(3) (−1)d t φ2 ()

p r o ju2(s3) =−3φ2 (t )

Então:

u3 (t ) = s3 (t )−p r o ju1(s3)−p r o ju2

(s3)u3 (t ) = s3 (t )−3φ1 (t )+3φ2 (t )

u3 (t ) =

¨

3, 2≤ t ≤ 3


Enfim a terceira função base é:

φ3 (t ) =u3 (t )

r

∫ 3

2(3)2 d t

φ3 (t ) =

¨

1, 2≤ t ≤ 3


(b)

s1 (t ) = 2φ1 (t )s2 (t ) =−4φ1 (t )+4φ2 (t )s3 (t ) = 3φ1 (t )−3φ2 (t )+3φ3 (t )

6.4.4 Bases Ortonormais em Banda Passante e em BandaBase

Vamos considerar o caso em que as formas de onda dos sinais sãosinais em banda passante e representadas por:

sm (t ) =R e

sm B B (t )ej 2π f0t

m = 1, 2, . . . M (6.33)

56


de forma que sm B B (t ) são os sinais em banda base equivalente. Sesinais são ortogonais em banda base então eles também são ortogo-nais em banda passante. Portanto, se:

φn B B (t ) , n = 1, 2, . . . N

é uma base ortonormal para o conjunto de sinais em banda basesm B B (t ), então o conjunto

φn (t ) , n = 1, 2, . . . N

onde

φn (t ) =p

2R e


(6.34)

é um conjunto de sinais ortonormais, sendo op

2 um fator normali-zante para fazer com que cada φn (t ) possua energia unitária. Con-tudo, apesar de ser uma base ortonormal, não há nenhuma garantiaque 6.34 seja uma base completa para gerar o conjunto de sinais

sm (t ) , m = 1, 2, . . . M (6.35)

O objetivo desta sub seção é evidenciar como obter uma base orto-normal para representação de um sinal em banda passante por meiode uma base ortonormal que representa o sinal em banda base equi-valente.

Como já visto, podemos escrever:

sm B B =N∑

n=1

sm B B nφn B B (t ) , m = 1, . . . , M (6.36)

onde

sm B B n = ⟨ sm B B (t ) ,φn B B (t ) ⟩, m = 1, . . . , M n = 1, . . . , N (6.37)

Utilizando as equações 6.33 e 6.36 pode-se escrever:

sm (t ) =R e

N∑

n=1

sm B B nφn B B (t )

e j 2π f0t

m = 1, . . . , M (6.38)

e então:

sm (t ) =R e

N∑

n=1


cos 2π f0t

−I m

N∑

n=1


sin 2π f0t (6.39)

Quando um conjunto de sinais ortonormais

φn B B (t ) , n = 1, 2, . . . N

57


constitui em uma base complexa de N dimensões para a represen-tação do sinal em banda base:

sm B B (t ) , m = 1, 2, . . . M

então o conjunto

φn (t ) , eφn (t ) n = 1, 2, . . . N

onde

φn (t ) =p

2R e

φm B B (t )ej 2π f0t

eφn (t ) =−p

2I m

φm B B (t )ej 2π f0t

(6.40)

constitui em uma base de 2N dimensões que é suficiente para a re-presentação dos M sinais em banda passante:

sm (t ) =p

2R e


m = 1, 2, . . . M (6.41)

Em alguns casos, nem todas bases no conjunto de bases dada por6.40 são necessárias, apenas um sub conjunto destas é preciso paraexpandir os sinais em banda passante.

Da equação 6.38 temos:

sm (t ) =R e

N∑

n=1


e j 2π f0t

=N∑

n=1


e j 2π f0t

(6.42)

=N∑

n=1

(r )sm B B np

2φn (t )+

(i )sm B B np

2eφn (t )

onde se foi assumido que

sm B B n =(r )

sm B B n + j(i )

sm B B n

As equações 6.40 e 6.42 mostram como um sinal em banda pas-sante pode ser expandido em termos da base usada para a expan-são do equivalente em banda base. Em geral, sinais em banda basepodem ser representados por um vetor complexo de N dimensões,e o sinal em banda passante correspondente por um vetor real de2N dimensões.

Enfim, se o vetor complexo:

sm B B = [sm B B 1, sm B B 2, . . . sm B B N ]T (6.43)

58


é a representação vetorial de um sinal em banda base sm B B (t )usandoa base em banda base

φn B B (t ) , n = 1, 2, . . . N

então o vetor

sm B B =

(r )sm B B 1p

2,

(r )sm B B 2p

2, . . . ,

(r )sm B B Np

2,

(i )sm B B 1p

2,

(i )sm B B 2p

2, . . . ,

(i )im B B Np

2

T

(6.44)

é a representação vetorial do sinal em banda passante quando a baseutilizada é a da equação 6.40:

φn (t ) , eφn (t ) n = 1, 2, . . . N

59

CAPÍTULO 7

Modulações Digitais

Relembrando a função de um modulador:

Figura 7.1. Esquema de um modulador

7.1 Definições básicas

• Duração de um símbolo: Ts =Número de símbolos transmitidos

Duração da transmissão.

• Taxa de símbolos: Rs =1

Ts=

1

T.

• Duração de um bit: Tb =Ts

k=

Ts

l o g2[M ].

• Taxa de bits: Rb =1

Tb= k Rs =Rs l o g2[M ].

• Energia do sinal: εm , onde m é o índice do símbolo.

• Energia média do sinal: εa v g =∑M

m=1 εmρm , onde ρm é a pro-

babilidade de transmitir. Para sinais equivalentes: εa v g =1

M

M∑

m=1

εm .

• Energia média por bit: εb a v g =εa v g

k.

60


• Potência média:Energia

Duração=εa v g

Ts=δb a v g

Tb=Rsεa v g =Rbεb a v g .

• A princípio, não há restrição na escolha de si n f ( f ) em BB.

• Na prática, os sinais sm (t ) diferem em uma ou uma combina-ção das três grandezas: amplitude, fase e frequência.

Am c o s (2π f t +φn ) (7.1)

7.2 1a Modulação: Modulação em amplitudede pulso - PAM

Sinais: sm (t ) = Am p (t ), onde p (t ) é o pulso de transmissão, com du-ração Ts = T e cujo formato define o espectro de sm (t )Escolha comum para Am :

Am = 2m −1−M , para m = 0, ..., M = 2k −1 (7.2)

Duração de um bit: Ts/kEnergia do sinal:

εm =

∫ ∞

−∞|sm (t )|2d t =

∫ ∞

−∞A2

m |p (t )|2d t = A2

mεp , (7.3)

onde εp é a energia de p (t ).Energia média para símbolos equiprováveis:

εa v g =1

M

M∑

m=1

A2mεp =

εp

M

M∑

m=1

(2m−1−M )2 =2εp (12+32+ ...+ (M −1)2)

M(7.4)

εa v g =2εp

M

M (M 2−1)6

=εp (M 2−1)

3(7.5)

Energia média por bit:

εa v g =εa v g

l o g2[M ]=εp (M 2−1)

3l o g2[M ](7.6)

Para sinais em banda passante:

sm (t ) =R e Am g (t )e x p ( j 2π f0t ), (7.7)

onde o termo Am g (t ) é o equivalente em banda base.Assim:

p (t ) = g (t )c o s (2π f0t ) e εp =εg

2(7.8)

Sinais PAM são unidimensionais. Base genérica:

φg (t ) =p (t )p

εp(7.9)

61


Base em banda passante:

√

√

√

2

εgg (t )c o s (2π f0t ) =

φ(t )

φ(t )(7.10)

Resultando na descrição:

sml (t ) = Amp

εpφg (t ) em banda base (7.11)

sm (t ) = Am

√

√εg

2φ(t ) (7.12)

Os símbolos são:sml = [Am

p

εp ] (7.13)

sm = [Am

√

√εg

2] (7.14)

Representação gráfica:

Figura 7.2. Representação gráfica dos símbolos para M = 4

Relação de bits para símbolos:

• Natural: 000 - 001 - 010 - 011 - 100

• Grey: 000 - 001- 011 - 010 - 110 - 111 - 101 - 100

Figura 7.3. Relacionando bits para os símbolos das duas maneirasapresentadas

62


Parâmetro importante: Distância Euclidiana entre símbolos

dmn ¬Æ

||sm − sn ||2 (7.15)

No caso PAM, tem-se

dmn =

(

|Am −An |Æ

ξp , no caso de banda base

|Am −An |Ç

ξp

2 , no caso de banda passante

A distância euclidiana mínima no caso do PAM é

dmi n =minm ,n

dmn = 2Æ

ξp =

√

√12 log2 M ·ξb a r g

M 2−1, (7.16)

ξb a r g =(M 2−1) ·ξp

3 log2 M(7.17)

7.3 2o Caso - Modulação em Fase (PSK: PhaseShift Keying)

sm (t ) =Re

g (t )Am exp( j 2π f0t )

(7.18)

Para este caso, Am = exp(j 2π(m −1)

M)

Quando g (t ) é real,

sm (t ) = g (t ) · cos

2π f0t +2π(m −1)

M

, m = 1, · · · , M (7.19)

Para a fase,

φm =2π(m −1)

M(7.20)

Desenvolvendo o cosseno da soma na equação 7.19, encontra-se ostermos g (t )cos(2π f0t ) e −g (t )sin(2π f0t ), que são ortogonais. As-sim, a base ortonormal precisa de 2 elementos. Uma escolha útilpara a base é:

φ1(t ) =

√

√

√

2

ξgg (t )cos(2π f0t )

φ1(t ) =−

√

√

√

2

ξgg (t )sin(2π f0t )

O que resulta nos sinais

sm (t ) =

√

√ξg

2

φ1(t )cos(θm ) +φ2 sin(θm )

(7.21)

Que por sua vez resultam nos símbolos

sn =

√

√ξg

2cos(θm ),

√

√ξg

2sin(θm )

(7.22)

63


Figura 7.4. Representação gráfica dos sinais. Pode-se notar que elestêm a mesma amplitude

Ainda, tem-se as seguintes relações:

ξa v g =1

2ξg

ξB a v g =ξa v g

log2(M )=

1

2

ξg

log2(M )

Desvantagem: Aumento no número de pontos pode tornar os sím-bolos muito próximos, como mostra a figura abaixo:

Figura 7.5. O ângulo θm dentro de um triângulo

64


O ângulo θm fica então assim limitado

a 2 = h 2+ l 2−2hl cos(θm )

θm =2π(m −1)

M

Dessa forma, no caso PSK, tem-se h = l , de modo que um M cadavez maior tornaria a muito pequeno

7.4 Combinação dos dois casos anteriores: QAM(Quadrature Amplitude Modulation)

Seja um sinal PSK

sm (t ) =

√

√ξg

2φ1(t )cos(θm ) +

√

√ξg

2φ2(t )sin(θm )

Ele pode ser escrito como

sm (t ) = A(i )m

√

√ξg

2φ1(t ) +A( j )m

√

√ξg

2φ2(t )

A modulação PSK exige que Am = exp

j 2π(m −1)M

= cos(θm )+ j sin(θm ).

Desse modo, poderíamos permitir que

q: quadrature⇒ A(i )mq =±1,±3, . . . ,±(Mi −1) (7.23)

i: in phase⇒ A(r )mi =±1,±3, . . . ,±(Mr −1) (7.24)

Número de pontos⇒M =Mi ·Mr (7.25)

Definindo Mq = 2n e Mi = 2l , tem-se M = 2n+l = 2k

• Sinal modulado: sm (t ) = Ami

√

√ξg

2φ1(t ) +Amq

√

√ξg

2φ2(t )

• Símbolos: sm =

Ami

√

√ξg

2, Amq

√

√ξg

2

• Energia do Símbolo: ξm = ||sm ||2 =ξg

2(A2

mi +A2mq )

Supondo sinais equiprováveis e Mi =Mr =p

M , conseguimos che-gar em

ξa v g =1

M

ξg

2

M∑

m=1

(A2mi +A2

mq ) =1

M

ξg

2

2M (M −1)3

=M −1

3ξg (7.26)

ξB a v g =(M −1)log2(M )

ξg

3(7.27)

Distância Euclidiana

dmn =Æ

||sm − sn ||2 =

√

√ξg

2

Ai m −Ai n )2+ (Ar m −Ar n )

2

(7.28)

65


Distância Euclidiana Mínima

d Q AMmi n =

√

√ξg

2

22+02

=Æ

2ξg =

√

√6 log2(M )ξB a v g

M −1(7.29)

• Rotulamento: Natural/Grey BidimensionalExemplo: Mi =Mr = 4⇒M = 16. É aproximadamente 2 PAMs emparalelo

φ1(t )

φ2(t )

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Figura 7.6. Representação gráfica da QAM. Pode-se ver as duasPAMs em paralelo (os círculos vermelhos)

Na prática, o esquema geral de um modulador QAM é o seguinte:

Figura 7.7. Esquema de um modulador QAM

7.5 3o Caso: Sinalização multidimensional

Inclui a modulação em frequência

66


• Modulações anteriores tem dimensão menor ou igual a 2

Porque não usar uma modulação com dimensão M?Implicações:

• Todos os símbolos são ortogonais entre si

• A base do espaço tem M elementos

Motivação:

Figura 7.8. Divisão simultânea de uma duração em frações de τ ede uma banda em frações de w

• Sinais duram um certo tempo e ocupam uma certa banda.

• Cada banda tem 2 sinais ortogonais

Logo, uma duraçãoτ1 pode ser dividida em N janelas de tempo comduração τ = τ1

N . Uma banda W1 pode ser dividida em L fatias comlargura W = W1

L .As divisões acima geram N L janelas tempo/frequência ⇒ haverá2N L sinais ortogonais (seno e cosseno).

7.6 Sinalização Ortogonal

Sinais sm (t ); m = 1, ..., M , tq.:

< sm (t ), sn (t )>= 0, m 6= n (7.30)

< sm (t ), sn (t )>↔ εm = ε, m = n (7.31)

67


Onde ε é a energia de cada símbolo.

εa v g = ε=ε

log2[H ](7.32)

Escolha de base:

φi (t ) =si (t )pε

, j = 1, ..., n (7.33)

Resultado:

S1 = (pε, 0, . . . , 0)

S2 = (0,pε, . . . , 0)

.

.

.

Sn = (0, 0, . . . ,pε)

dmi n = d i m =p

2ε=Æ

2 log2[M ]εa v g

Figura 7.9. Representação no espaço tridimensional

68


Figura 7.10. Esquema de modulador de sinalização multidimensi-onal

7.7 Caso Especial: FSK (Frequency Shift Keying)

Sinal em banda passante:

sm (t ) =R e sml (t )e x p ( j 2π f0t ), m = 1, ..., M (7.34)

onde:

sml (t ) =

√

√2ε

Te x p ( j 2πm∆ f t ) (7.35)

e∆ f será definido em breve. Substituindo, obtemos:

sm (t ) =

√

√2ε

Tcos(2π[ f0+m∆ f ]t ) (7.36)

Requisito para ortogonalidade:

< sm (t ), sn (t )>= 0, m 6= n (7.37)

< sm (t ), sn (t )>= ε, m = n (7.38)

Ou, equivalentemente:

R e [

∫ T

0

sml (t )snl (t )d t ] = 0, m 6= n (7.39)

Mostra-se:

R e [

∫ T

0

sml (t )snl (t )d t ] = 2εs i n c (2T (m −n )), m 6= n (7.40)

69


Logo, 2T (m −n )∆ f = i n t e i r o 6= 0

∆ f =K

2T(7.41)

E a taxa? Dado T e W, qual é R?Banda total W

∆ f =W

M(7.42)

∆ f =K

2T=

1

2T(7.43)

T =1

2∆ f=

M

2W(7.44)

Rs =N umb i t s

duração=

2W log2[M ]M

(7.45)

7.8 Modulação Simples

Figura 7.11. Esquema da modulação simples

Modulação Simples usa translação dos símbolos para minimizar ener-gia, mantendo distâncias.

sm (t ) =N∑

j=1

sm jφ j (t ) (7.46)

εm (t ) =

∫ ∞

−∞|sm (t )|2d t =

N∑

j=1

s 2m j

∫ ∞

−∞|φ j (t )|2d t =

N∑

j=1

s 2m j (7.47)

Exemplo numérico:S1 = (1, 0, 0) (7.48)

S2 = (0, 1, 0) (7.49)

S3 = (0, 0, 1) (7.50)

εi = 1, i = 1, 2, 3 (7.51)

C e n t r o = (1

3,

1

3,

1

3) (7.52)

70


S ′1 = (2

3,−

1

3,−

1

3) (7.53)

S ′2 = (−1

3,

2

3,−

1

3) (7.54)

S ′3 = (−1

3,−

1

3,

2

3) (7.55)

εi =2

3

2

+1

3

2

+1

3

2

=6

9< 1 (7.56)

71

CAPÍTULO 8

Variáveis aleatórias e Processos Estocáticos

8.1 Revisão de variáveis aleatórias

1

2

3

ε

espaço amostral

possíveisrealizações

evento aleatório

EVENTO ALEATÓRIO

Figura 8.1. Esquema de eventos aleatórios

Definição 8.1. Evento aleatório e espaço amostral

Se um experimento não é deterministicamente determinável,há mais de uma forma de realizá-lo. Genericamente, esse eventoaleatório pode resultar em qualquer evento dentro de um con-junto. Esse conjunto é definido como Ω, o espaço amostral.

Definição 8.2. Espaço de eventos

Cada subconjunto do espaço amostral é denominado evento ε.Ao conjunto de todos os subconjuntos do espaço amostral Ω dáse o nome de espaço de eventos, denotado por F.

Exemplo 8.1. Lançamento de dado de 6 faces

O espaço amostral é W=1,2,3,4,5,6. Há 6 elementos. Há várioseventos. Por exemplo, temos que o Evento 1= 1 e o Evento par= 2,4,6.

72


Definição 8.3. Probabilidade

A probabilidade pode ser definida axiomaticamente por: P [ξ]com ξ ∈ F tal que:

• P [ξ]≥ 0

• P [ξ=Ω]≥ 0

• Se ξ, h ∈ F são disjuntos, P [ξ∪h ] = P [ξ] +P [h ]

Definição 8.4. Probabilidade condicional

A probabilidade condicional de dois eventos A e B com proba-bilidades P[A] e P[B] e probabilidade de ocorrerem simultanea-mente P [A ∩B ], é dada por:

P [B |A] =P [A ∩B ]

P [A](8.1)

lê-se a probabilidade de B dado A é a razão entre a probabilidadede B e A e a probabilidade de A.

Definição 8.5. Variável aleatória

Para facilitar o tratamento matemático dos eventos aleatórios,utiliza-se de funções que associam, para cada elemento do es-paço de eventos F, um número real X, denominadas VariáveisAleatórias (abreviação, v.a.). Se a imagem da variável aleatóriaX é contável, a v.a. é discreta. Caso contrário, é contínua.

8.1.1 Função distribuição de probabilidade

Tomemos o seguinte evento:

ξ : X (ξ)< x

onde x é um número real e X é uma variável aleatória.

Definição 8.6. Função distribuição de probabilidade

Tal evento possui uma probabilidade (número) associada, que é

P [X < x ] = FX (x )

, com FX (x ) chamada Função distribuição de probabilidade.

73


Para satisfazer a definiição de probabilidade, temos os seguintes re-quisitos para uma PDF:

• FX (∞) = 1

• FX (−∞) = 0

• FX (x )≥ 0

• se x1 < x2, então FX (x1)< FX (x2)

É importante para o entendimento ressaltar a diferença entre X ex: X é uma variável aleatória, cujo valor não é sabido e pode assu-mir vários valores, dependendo da sua PDF; x é um número real. Avariável aleatória X pode assumir o valor de x, e isto acontece comprobabilidade P[X = x]. Quando temos uma v.a. continua, temosque:

P [x1 < X < x2] = FX (x2)− FX (x1)

P [X = x1] = 0⇒ limx2→x1

P [x1 < X < x2] = 0 pois FX é contínua

8.1.2 Função densidade de probabilidade

Definição 8.7. Função densidade de probabilidade – PDF

Se FX (x ) é contínua e diferenciável, definimos sua PDF (proba-bility density function) por

fX (x ) =d FX (x )

d x(8.2)

A funcão densidade de probabilidade tem as seguintes proprieda-des:

1. fX (x )≥ 0

2.∫∞−∞ fX (ε) d ε = 1

3. FX (x ) =∫ x

−∞ fX (ε) d ε = P [X ≤ x ]

4. FX (x2)− FX (x1) =∫ x2

x1fX (ε) d ε = P [x1 < X ≤ x2]

8.1.3 Principais variáveis aleatórias

• Uniforme: V.A contínua. Sejam a , b : a ≥ b . Então

fX (x ) =

1

b −a, se a ≤ x ≤ b ,

0

74


FX (x ) =

0, se a ≤ x ,

x −a

b −a, se a ≤ x ≤ b ,

1, se b ≤ x

• Bernoulli: V.A. discreta

X = 0 ou 1

P [X = 0] = 1−p

P [X = 1] = p

FX (x ) = (1−p ) ·u (x ) +p ·u (x −1)

• Distribuição binomial: Soma de n V.A.’s de Bernoulli com pa-râmetro p

P (X = k ) =

n

k

p k (1−p )(n−k ), k = 0, 1, 2, ..., n

FX (x ) =n∑

i=1

n

k

p k (1−p )(n−k )u (x −k )

• Poisson: V.A. discreta

P [X = k ] =λk exp(−λ)

k !

• Exponencial: V.A. contínua

fx (x ) =λexp(−λx )

FX (x ) = 1−exp(−xλ)

• Gaussiana: fx (x ) =exp(− (x−µ)

2

2σ2 )2p

2πσ2

Com −∞< x <∞ e parâmetros dados µ eσFX (x ) =

∫ α

−∞ f (x )d x

Q (x ) =

∫∞λ

e x p (−u 2

2 )d x2p

2π

Q (x )

Figura 8.2. PDF de uma v.a gaussiana

75


8.1.4 Associação de variáveis aleatórias

Podemos ter pares de variáveis aleatórias com função distribuiçãode probabilidade dada por:

FX Y (x , y ) = P [X ≤ x ∩Y ≤ y ]

E, consequentemente, função densidade de probabilidade dada por:

fX Y (x , y ) =∂ 2FX Y (x , y )∂ x∂ y

São facilmente observáveis as seguintes propriedades:

1. FX Y (−∞,∞) = 0

2. FX Y (−∞, y ) =∞

3. FX Y (∞,∞) = 1

4. FX Y (x ,∞) = FX (x )

5. FX Y (∞, y ) = FY (y )

Ademais, podemos definir a distribuição condicional como

FX |Y (x |y ) = P [X ≤ x |Y ≤ y ]

E podemos escrever:

FX |Y (x , y ) = P [X = x , Y = y ] =

P [X = x ]P [Y = y |X = x ] = P [Y = y ]P [X = x |Y = y ]

Outra relação muito importante entre duas variáveis aleatórias podeser expressa pela Regra de Bayes, explicitada abaixo:

P [Y = y |X = x ] =P [X = x |Y = y ]P [Y = y ]

P [X = x ]

Caso tanto X quanto Y sejam continuas, temos ainda:

fX Y (x |y ) =fY X (y |x ) fX (x )

fY (y )

sendofX Y (x , y ) = fX (x )FY X (y |x ) = fY (y ) fX Y (x |y )

Exemplo 8.2.

Seja um teste médico cuja capacidade de acerto está definidapela figura abaixo

76


Figura 8.3. Probabilidades de acerto e erro do teste médico

Sendo assim,

P [Doente|Positivo] =P [Positivo|Doente] ·P [Doente]

P [Positivo]

P [Doente|Positivo] =0, 99 ·0, 01

0, 0198= 0, 5

8.1.5 Esperança ξ e momentos

Definição:

Definição 8.8.

A esperança ξ de uma variável aleatória é dada por

ξ

g (x )

=

∫ ∞

−∞g (x ) f (x )d x , V.A. contínua (8.3)

ξ

g (x )

=∑

x=1

g (x )P [X = x ], V.A. discreta (8.4)

Propriedades:

- ξX +Y = ξx +ξY - ξconstante= constante- ξa X = aξX

Para caracterizar uma v.a. é necessário saber:

ξX ,ξ

X 2

, ...⇒Mn = n-ésimo momento (8.5)

O valor de ξX também é chamado de média de X , ou µx . Substi-tuindo X por X −µx na equação 8.5, temos os chamados momentoscentrais.

Pares de v.a.’s podem ter momentos conjuntos:

µl n = ξX l Y n (8.6)

ml n = ξ(X −ux )l ((Y −u y )

∗)n (8.7)

77


Momentos conjuntos importantes

Covariância:

Definição 8.9.

Covariância é uma medida de dependência estatística linear

m11 = ξ(X −ux )(Y −u y )∗= ξX Y ∗−µxµ

∗y = cov(X , Y )

• Correlação é covariância normalizada:

ρ(x , y )¬m11p

m02 ·m12

• Se duas V.A. são estaticamente independentes, ρ(X , Y ) = 0

• Se ρ(X , Y ) = 0, elas podem ou não ser E.I.

• Se ρ(X , Y ) 6= 0, elas são estaticamente dependentes

• V.A. Gaussianas com ρ(X , Y ) = 0, então elas são E.I.

8.2 Entropia

A conceito de entropia surge da necessidade de se medir a incertezasobre uma dada variável aleatória X, caracterizada pela distribuiçãoP(X). Podemos esperar da função H (X ) que realizará essa mediçãoas seguintes condições:

• Se X pode assumir os valores x1, x2, ..., xn com probabilida-des PX (x1), PX (x2), PX (x3), ..., PX (xn ), então H (X ) deve depen-der exclusivamente dos valores de PX (x1), PX (x2), PX (x3), ..., PX (xn ),e não dos valores que X pode assumir. Consequentemente,qualquer permutação de PX (x1), PX (x2), PX (x3), ..., PX (xn ) deveresultar no mesmo valor de H (X ).

• Uma pequena variação de PX (x1), PX (x2), PX (x3), ..., PX (xn ) devecausar uma pequena variação em H (X ), ou seja, H (X ) é con-tínua em função de PX (x1), PX (x2), PX (x3), ..., PX (xn ).

• Quanto mais incerto for a variável aleatória, maior deve ser ovalor de H (X ). Por exemplo, se X pode assumir com a mesmaprobabilidade PX (xi ) =

1N qualquer um dentre N valores possí-

veis, o aumento de N deve aumentar o valor de H(X).

• Valores impossíveis não devem afetar a incerteza. É irrelevantepara H (X ) se X = xi , com probabilidade PX (xi ) = 0.

78


• Se a realização de uma variável aleatória pode ser modeladacomo uma sequência de dois eventos aleatórios, a incertezatotal deve ser igual à soma das incertezas dos eventos indivi-duais, ponderadas pela probabilidade dos eventos ocorrerem.

Definição 8.10. Entropia

Dentre todas as funções possíveis, pode-se provar que a únicafunção que cumpre estes requisitos é a função H (X ) dada por8.8, denominada entropia.

H (X )¬−N∑

i=1

PX (xi ) · logb PX (xi ) (8.8)

onde X pode assumir os valores x1, x2, ..., xn . O valor de b definea unidade de H (X ). Quando b = 2, a unidade de H (X ) é bitse pode ser interprertado como a quantidade de bits necessáriospara representar a v.a X, se atribuíssemos um rótulo binário paracada valor possível de X. O valor de H (X ) é sempre positivo.

Definição 8.11. Entropia condicional

Já para medir a incerteza sobre a v.a. X quando sabemos o valorda v.a. Y, tem-se a entropia condicional:

H (X |Y ) =M∑

j=1

PY (x j ) ·H (X |Y = yj )

=M∑

j=1

PY (x j )N∑

i=1

PX |Y (xi |yi ) logb PX |Y (xi |yi )|Y |yi

(8.9)

Além disso, a incerteza conjunta sobre as v.a. X e Y pode ser medidapela função dada pela Equação 8.10:

H (X , Y ) =−M∑

j=1

N∑

i=1

PX Y (xi , yj ) · logb PX Y (xi , yj ) (8.10)

Utilizando que PX Y (xi , yj ) = PY (yj )PX |Y (xi |yj ) = PX (xi )PY |X (yj |xi ), con-cluímos que

H (X , Y ) =H (X ) +H (Y |X ) =H (Y ) +H (X |Y )

De onde percebe-se que H (X , Y )≤H (X )+H (Y ), dado que H (X |Y )≤H (X ). Conclui-se então que saber o valor de uma das variáveis ale-atórias reduz a incerteza sobre a outra.

79


Definição 8.12. Informação mútua

Chama-se essa redução na incerteza de uma variável dado o co-nhecimento da outra de informação mútua, e ela pode ser ex-pressa pela expressão dada por

I (X , Y ) =H (X )−H (X |Y ) =H (Y )−H (Y |X )

Como consequência dessa definição, conclui-se que a quantidadede informação que X guarda sobre Y é a mesma que Y guarda sobreX, independentemente de relações de causalidade. Justamente porisso, tal informação pode é denominada mútua.

Figura 8.4. Diagrama de Venn das entropias

8.3 Sequências e processos aleatórios

Uma Variável Aleatória mapeia uma realização de um evento alea-tório em um número. Na equação 8.11, ζ é uma realização e x umnúmero.

X (ζ) = x (8.11)

Um processo aleatório mapeia uma realização em uma função notempo: X (t ;ζK ) = x (t ).

• Dado ζ, X (t ,ζ) = x (t ) é uma função no tempo.

• Dado t , mas não ζ, X (t ,ζ) = x (t ) é uma variável aleatória.

• Dados t e ζ, X (t ,ζ) é um número qualquer.

• Dados nem t , nem ζ, X (t ,ζ) é um processo aleatório.

Denotaremos X (t ) (caso contínuo) e X [n ] (caso discreto) um pro-cesso aleatório e x (t ) e x [n ] uma realização.Caracterização Estatística: é preciso definir fx (x1; x2; . . . ; xm ; t1; t2; . . . ; tm )para todo m e para todas as possibilidades de t1, t2, . . . , tm .

80


fx (x1; x2; . . . ; xm−1; t1; t2; . . . ; tm−1) =

∫ ∞

−∞Fx (x1; x2; . . . ; xm ; t1; t2; . . . ; tm )d xm

Momentos são funções do tempo.

• Média: µX (t ) = ξx (t )=∫∞−∞X (t ) fx (x ; t )d x

• (Auto)correlação: ξX (t1)−µX (t1)ξ[X (t2)−µX (t2)]∗= KX X (t1, t2)

• Potência instantânea: µ|X (t )|2=RX X (t , t ) = PX (t )

Estacionaridade no sentido restrito: um processo é estacionário nosentido restrito, se um deslocamento temporal não altera a sua ca-racterística, ou seja,

fx (x1; x2; . . . ; xm ; t1; t2; . . . ; tm ) = fx (x1; x2; . . . ; xm ; t1+τ; t2+τ; . . . ; tm+τ)

para todo valor de m de x1, x2, . . . , xm , de t1, t2, . . . , tm e de τ.Consequências da estacionaridade:

• Média: µX (t ) =µ

• Correlação:∫∞−∞

∫∞−∞X (t1)X ∗(t2) fx (x1, x2, t1, t2)d x1d x2 =RX X (t1+

δ, t2+δ) =RX X (t1− t2) =RX X (τ)

• Potência instantânea: µ|X (t )|2=RX X (t , t ) = PX (t )

Nem sempre estacionaridade é necessária para analisar um sistema.Em muitas situações é suficiente que o processo seja WSS: Wide SenseStationary (Estacionário em sentido amplo). As exigências de umprocesso WSS são:

1. µX (t ) é constante

2. RX X (t1, t2) =RX X (t2− t1) =RX X (τ)

Podemos definir a densidade espectral de potência de um processoaleatório como sendo:

SX X ( f ) =

∫ ∞

−∞RX X (τ)e x p (− j 2π f τ)dτ

Caminho contrário:

RX X ( f ) =

∫ ∞

−∞SX X (τ)e x p ( j 2π f τ)dτ

Assim como no caso determinístico, Sx x ( f ) é real, maior ou igual azero para todo f , e se X ( f ) for real, tem simetria par em torno def = 0.Temos então as sequintes relações:

81


• y (t ) = h (t ) ∗ x (t ), x (t ) é WSS e h (t ) é LTI

• RX X (τ)←→ SX X ( f )

• RX Y (τ) = h ∗(−τ) ∗RX X (τ)←→ SX Y ( f ) =H ∗( f )SX X ( f )

• RY Y (τ) = h ∗(τ)∗RX Y (τ) = h (τ)∗h ∗(−τ)∗RX X (τ) = g (τ)∗RX X (τ)

• SY Y ( f ) =H ( f )SX Y ( f ) = |H ( f )|2SX X ( f ) =G ( f )SX X ( f )

A potência de um sinal aleatório WSS é:

PX =

∫ ∞

−∞SX X ( f )

Exemplo 8.3. Ruído AWGN: Additive White Gaussian Noise •s (t ) +n (t ) = r (t ), onde n (t ) é o ruído AWGN

• SX X ( f ) =N02

• RX X (τ) =Π−1SX X ( f )=N02 δ(τ)

Desse modo,

ξn (t1)n∗(t1+τ)=

¨

0, τ 6= 0,N02 δ(τ), n = 0.

fx (x1; x2; . . . ; xm ; t1; t2; . . . ; tm ) =m∏

l=1

fx (xl ; tl )

Para um sistema h (t ) LTI, y (t ) = s (t ) ∗ h (t ) + n (t ) ∗ h (t ). Cha-mando w (t ) = n (t ) ∗ h (t ), temos w (t ) =

∫∞−∞h (c )n (t − c )d c e

SW W ( f ) = |H ( f )|2N02 .

Vamos supor que:

H ( f ) =

¨

1, | f |<W ,

0, c .c .

Assim,

h (t ) = F T −1Π(f

2W)= 2W s i n c (2W t )

Como

|H ( f )|2 =

¨

1, | f |<W ,

0, c .c .

temos,

SW W ( f ) = |HW W ( f )|2¨

N 02 , | f |<W ,

0, c .c .

RW W (τ) = 2WN0

2s i n c (e W τ) =W N0s i n c (2wτ)

82


Definindo a frequência aleatória, w [n ] =w (∆t n ), teremos umasequência aleatória gaussiana com termos estatisticamente in-dependentes se∆t = 1

2W .

83

CAPÍTULO 9

Modelos de Canal

9.1 Ruído Gaussiano Branco

• Um processo é denominado White Process se a densidade es-pectral de potência for constante para todas as frequências.

Sx ( f ) =N0

2(9.1)

• Percebe-se que a potência desse tipo de processo é infinita:

Px ( f ) =

∫ ∞

∞Sx ( f ) d f =

∫ ∞

∞

N0

2d f =∞ (9.2)

• Dessa forma, esse tipo de processo não existe como processofísico. Contudo, esse conceito é útil para modelar certos fenô-menos físicos.

• Assim, o Ruído Gaussiano Branco apresenta a seguinte FunçãoDensidade de Probabilidade (pdf):

fN (n ) =1

Æ

2πσ2N

· e x p

−n 2

2σ2N

(9.3)

• Uma vez conhecida a densidade espectral de potência do RuídoGaussiano Branco, podemos calcular sua Autocorrelação:

SN ( f ) =N0

2

RN (τ) = T F −1SN ( f )= T F −1N0

2

RN (τ) =N0

2·δ(τ) (9.4)

84


Figura 9.1. Densidade Espectral de Potência e Autocorrelação doRuído Gaussiano Branco.

9.1.1 Ruído AWGN Filtrado

Figura 9.2. Ruido AWGN filtrado.

• Seja o filtro passa baixa:

H ( f ) =

¨

1, | f |<W

0, c .c .

• A densidade espectral de potência do ruído filtrado será:

SR ( f ) = SN ( f ) · |H ( f )|2 =

¨

N02 , | f |<W

0, c .c .

• Portanto, a potência será:

PR ( f ) =

∫ ∞

∞SR ( f ) d f =

∫ W

−W

N0

2d f =

N0

2·2W =N0 ·W

(9.5)

• Além disso, a autocorrelação ruído filtrado será:

SR ( f ) =N0

2

85


RR (τ) = T F −1SR ( f )

RR (τ) =W ·N0 · s i n c (2W τ)→∆t =1

2W, p a r a Ru (τ) = 0

(9.6)

9.2 Modelo de canal AWGN

Figura 9.3. Modelo de canal AWGN.

• O sinal recebido é diferente do sinal transmitido.

• Um modelo de canal muito simples é o canal AWGN - Addi-tive White Gaussian Noise. Neste modelo, o sinal recebido r (t )vale:

r (t ) = sm (t ) +n (t ) (9.7)

onde m= 1, 2, ... , M é o índice da informação e n(t) o ruído. Oruído n (t ) é um processo aleatório Gaussiano com densidadeespectral de potência constante valendo N0

2 . É suficiente parao entendimento do que segue saber a relação entre densidadeespectral de potência e a autocorrelação do processo aleató-rio.

9.2.1 Capacidade do Canal AWGN

Figura 9.4. Modelo de canal AWGN.

I r (t ∗), s (t ∗)=H r (t ∗)−H r (t ∗)s (t ∗) (9.8)

86


– A capacidade do canal em bits/símbolo será:

C =1

2· l o g2

1+Ps i na l

Pr ui d o

(9.9)

– A capacidade do canal em bits/segundo será:

C =W · l o g2

1+P

N0W

(9.10)

9.3 Representação vetorial de um canalGaussiano

• O objetivo do receptor é estimar da melhor forma possível ovalor de m ( e consequentemente dos bits associados) atravésda observação de r (t ).

• Uma forma de se realizar a estimativa é representar r no es-paço de sinais. O problema é que a base do espaço, emboraseja capaz de representar exatamente todos os sinais sm (t ), nãoé capaz de representar exatamente todas as possibilidades den (t ).

• O ruído poderia ser decomposto em n (t ) = n1(t )+n2(t ), onde:

n1(t ) =∑N

j=1 n jφ j (t )n j =< n (t ),φ j (t )>=

∫∞∞ n (t )φ∗j (t )d t

(9.11)

isto é, a parte do ruído que pode ser representada pela base. Oresto é n2(t ) = n (t )−n1(t ). Com esta representação, podemosescrever o sinal recebido como:

r (t ) =

N∑

j=1

(s j +n j )φ j (t )

+n2(t )

=

N∑

j=1

(r j )φ j (t )

+n2(t )

(9.12)

onde r j = s j +n j .

Por definição, n (t ) é um processo AWGN com média zero.

N ( f ) =N0

2←→Rn (τ) =

N0

2δ(τ)

87


Como consequência, n j é uma variável aleatória Gaussianascom média zero e variância N0

2 . Isto é, a sua pdf é:

p (n j ) =1

p

πN0

· e x p

−n 2

j

N0

(9.13)

• Calculemos a covariância de ni e n j :

C o v [ni , n j ] = ξni n j −ξni ξn j

Como ξni = 0 e ξn j = 0, temos:

C o v [ni , n j ] = ξ

∫ ∞

−∞n (t )φi (t )d t

∫ ∞

−∞n (s )φ j (s )d s

C o v [ni , n j ] = ξ

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞n (t )n (s )φi (t )φ j (s )d t d s

C o v [ni , n j ] =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞ξn (t )n (s )φi (t )φ j (s )d t d s

C o v [ni , n j ] =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

N0

2φi (t )φ j (s )d t d s

C o v [ni , n j ] =N0

2

∫ ∞

−∞φi (s )φ j (s )d s

C o v [ni , n j ] =N0

2

∫ ∞

−∞φi (s )φ j (s )d s =

¨

N02 , sei = j ,

0, c.c.

• ni e n j são descorrelacionados se i 6= j . Como ambos são va-riáveis aleatórias gaussianas, então eles são estatisticamenteindependentes.

• Qual é a relação entre os ni s e n2(t )?

C o v [n j , n2(t )] = ξn j n2(t )= ξn j n (t )−ξn j n1(t )

C o v [n j , n2(t )] = ξ

n (t )

∫ ∞

−∞n (s )φ j (s )d s

−ξ

¨

n j

N∑

i=1

niφi (t )

«

88


C o v [n j , n2(t )] = ξ∫ ∞

−∞n (t )n (s )φ j (s )d s −ξ

N∑

i=1

n j niφi (t )

C o v [n j , n2(t )] =

∫ ∞

−∞ξn (t )n (s )φ j (s )d s −

N∑

i=1

ξ

n j ni

φi (t )

C o v [n j , n2(t )] =

∫ ∞

−∞

N0

2δ(t − s )φ j (s )d s −

N0

2φ j (t )

C o v [n j , n2(t )] =N0

2φ j (t )−

N0

2φ j (t ) = 0

Logo,∑N

i=1 r jφ j (t ) e n2(t ) são estatisticamente independentes.

• Só estamos interessados em Sm (vetor de símbolos).

• n2(t ) não interfere em r , ou seja, o resto n2(t ) não traz ne-nhuma informação sobre nenhum n j . Assim, podemos ignorá-lo.

• Logo, o canal r (t ) = sm (t ) +n (t ) contínuo no tempo equivaleao canal vetorial r = Sm + n , onde:

r = [r1 r2 · · · rN ]Sm = [sm1 sm2 · · · smN ]

n = [n1 n2 · · · nN ](9.14)

• Lembrar que n j é Gaussiano e apresenta média nula eσ2n j =

N02

9.4 Receptor ótimo para o canal Gaussiano

• O objetivo do receptor é estimar da melhor forma possível ovalor de m .

• A função de um receptor é g (r ) = m , sendo m a estimativa damensagem transmitida. É uma funçãoℜn →1, 2, ..., M

• Ocorre um erro de transmissão se Òm 6=m , o que acontece comprobabilidade Pe = P [Òm 6=m ]. Logo, o melhor receptor é aqueleque minimiza Pe , ou equivalentemente, que maximiza a pro-babilidade de acerto.

89


• A decisão do receptor pode ser vista como a aplicação de umafunção sobre o vetor recebido, isto é, Òm = g (r ). Desta forma,podemos dividir o espaço em regiões de decisão definidos como:

DÒm = r ∈ℜN | g (r ) = Òm q ua nd o r ∈D

Òm (9.15)

ou, literalmente, a região de decisão pela estimativa Òm é o con-junto de valores de r tal que a decisão do receptor g (r ) é Òm .

• Dado que m é a mensagem transmitida, temos:

P [a c e r t o |m ] = P [g (r ) =m |m ] = P [r ∈D m |m ] (9.16)

• A decisão correta ocorre então se, dado m , o vetor r está den-tro da região Dm . Na média, a probabilidade de acerto podeser calculada como:

P [a c e r t o ] =M∑

m=1

P [a c e r t o |m ] ·P [m ]

=M∑

m=1

P [r ∈Dm |m ] ·P [m ]

=M∑

m=1

∫

Dm

p (r |m )d r

·P [m ]

=M∑

m=1

∫

Dm

p (r |m ) ·P [m ]d r

(9.17)

• Como um valor qualquer de r só pode estar dentro de umaregião de decisão, ele deve estar naquela que maximiza a ex-pressão acima. Isto é, r deve pertencer a D

Òm se:

p (r |Òm ) ·P [Òm ]> p (r |Óm ′) ·P [Óm ′], ∀Óm ′ = 1, 2, ..., M ; Óm ′ 6= Òm(9.18)

• Esta expressão permite definir as regiões de decisão ótimascomo:

DÒm = r ∈ℜN |p (r |Òm )·P [Òm ]> p (r |Óm ′)·P [Óm ′];∀Óm ′ 6= Òm (9.19)

• Esta expressão facilita a tarefa do receptor, pois ele pode subs-tituir a tarefa de encontrar em qual região de decisão o vetorr se encontra pela tarefa de encontrar o valor de m que maxi-miza p (r |Òm ) ·P [Òm ]. Usando o teorema de Bayes temos:

p (r |Òm ) ·P [Òm ]p (r )

= P [Òm |r ] (9.20)

• Como o valor de r é constante para todo Òm , o valor de Òm quemaximiza p (r |Òm ) ·P [Òm ] também maximizará P [Òm |r ]. Logo, aestimativa ótima é:

Òm = a r g maxm[P [m |r ]] (9.21)

90


• Este critério é chamado de Máxima a Posteriori (MAP), poisa decisão é tomada a partir de um máximo após a observaçãodo sinal r e com o conhecimento das probabilidades a prioriPm .

• Quando todos os sinais são equiprováveis, Pm =1

M temos quea r g max

mP [m | r ]= a r g maxP [ r |m ]O critério de decisão

pode ser simplificado para:

Òm = a r g maxp (r |m ) (9.22)

• Este critério é chamado de Máxima Verossimilhança (ML -Maximum Likelihood) pois ele procura o valor de Sm mais pa-recido com r .

• O critério ML só é ótimo (e equivalente ao MAP) quando ossinais ão equiprováveis.

9.5 Evento de erro

• Um erro de transmissão ocorre se transmitirmos sm , mas re-cebemos r 6∈Dm

P [e r r o |m ] = P [r /∈Dm |m ] = P [r ∈D Cm |m ] (9.23)

• A probabilidade do erro será:

Pe =M∑

m=1

P [m ]P [r 6∈Dm |m ] =M∑

m=1

Pm P [e r r o |m ] =M∑

m=1

Pm

∫

Dm

p (r |m )d r ,

onde P [e r r o |m ] =∫

Dmc

p (r |m )d r

Esta é a probabilidade de erro do símbolo. A probabilidadede erro de bit depende dos rótulos dos símbolos (codificaçãonormal, Gray, etc.)

• Cada erro de símbolo causa :

– no máximo K = l o g2[M ] erro de bits

– no mínimo 1 erro de bit

⇒ Pb ≤ Pe ≤ K Pb

sendo Pb a probabilidade de erro de bit. Isolando a probabili-dade de erro de bit Pb :

Pe

K≤ Pb ≤ Pe

91


No caso de sinal gaussiano:

m = a r g ma xmPm p (r |m )

Como r = sm + n , então n = r − sm ,

Pm p (r |sm ) = Pm p (n ) = Pm ·1

(p

πN0)N· e x p

−||r − sm ||2

N0

O valor de m que maximiza Pm p (r |m ) maximizará qualquerf

Pm p (r |m )

se f for monotonamente crescente, como o l o g (∗)

l o g (Pm p (r |sm )) = l o g (Pm )−N l o g (πN0)

2−||r − sm ||2

N0

Ignorando o termo constante N l o g (πN0)2 e multiplicando por

N02

,tem-se

N0l o g (Pm )2

+||sm ||2

2

−||r ||2

2− r sm

Como ||r ||22 − r sm não depende de m,

N0l o g (Pm )2

+||sm ||2

2=ηm + r sm

onde ηm =N0l o g (Pm )

2 + εm2

Logo, o critério equivalente ao MAP para o canal gaussiano é:

m = a r g ma x ηm + r sm

Para sinais equiprováveis:

m = a r g ma x −||r − sm ||2= a r g mi n||r − sm ||

92

CAPÍTULO 10

Transmissão em canais limitados em banda

Figura 10.1. Representação de um sistema com canal limitado embanda.

• O canal é invariante no tempo.

• O canal pode distorcer o sinal transmitido.

• Não haveria distorção se C ( f ) = K e x p (− j 2π f td ), onde td é oatraso de propagação.

• |C ( f )| 6= K , haverá distorção de amplitude.

• Se a r g [C ( f )] =Θ( f ) 6= K1+K2 f , haverá distorção de fase.

Como distorções podem causar ISI (Intersymbol Interference), é ne-cessário estudar a transmissão de uma sequência de símbolos.

10.1 Projeto de sinais para canais limitadosem banda

A equação 10.1 equivale a um sinal transmitido em banda base paravárias modulações. In é a sequência de informação e g (t −nT ) é opulso de transmissão com T.F. G ( f ).

v (t ) =∞∑

n=0

In g (t −nT ) (10.1)

93


Figura 10.2. Representação do modelo do sistema.

A figura 10.2 representa o modelo do sistema estudado. O sinal re-cebido é dado por 10.2, onde h (t ) = g (t ) ∗ c (t ) e H(f) = G(f)C(f)

rl (t ) = v (t ) ∗ c (t ) + z (t ) =∞∑

n=0

In h (t −nT ) + z (t ) (10.2)

O melhor filtro de recepção é H ∗( f ) (filtro casado h (−t )1). Sendox (t ) = h (t ) ∗h ∗(t ), temos:

y (t ) = rl (t ) ∗h ∗(t ) =∞∑

n=0

In x (t −nT ) +ν(t )

yk = y (k T +T0) =∞∑

n=0

In x (k T −nT +T0)+ν(k T +T0) =∞∑

n=0

In xk−n+νk

yk = Ik x0+∞∑

n=0,n 6=k

In xk−n +νk

Arbitrariamente, definindo x0 = 1, temos:

yk = Ik +∞∑

n=0,n 6=k

In xk−n +νk

10.2 Projeto de sinais com zero ISI

Critério para ter zero ISI, assumindo T0 = 0:

x (nT ) =

¨

1, n = 0,

0, n 6= 0, inteiro.(10.3)

A condição necessária e suficiente é que

+∞∑

m=−∞X ( f +

m

T) = T (10.4)

1A prova está no Proakis

94


- A condição imposta pela equação acima é o Critério de Nyquist

IMPORTANTE!! O T não é um valor constante, e sim a função cons-tante c ( f ) = T .

Suponha que o canal tenha banda W :

C ( f )¬ 0, | f |>W (10.5)

Como X ( f ) =G ( f )C ( f )H ∗( f ), então X ( f ) = 0 para | f | >W . Há trêscasos:

1. 12T >W

ou 12W > T

:

É impossível ter interferência intersimbólica igual a 0.

Figura 10.3. Espectro para teste do Critério de Nyquist quando 12T >

W

2. 12T =W :

Figura 10.4. Espectro para teste do Critério de Nyquist quando 12T =

W

A única solução possível é X ( f ) =Π( f2W )T =Π( f T )T . Logo,

x (nT ) =F −1X ( f )= s i n c

t

T

.T

T=

s e n (ΠtT )

ΠtT

(10.6)

• Problemas: pequeno erro no instante de amostragem causaISI infinita:

+∞∑

n=−∞|s i n c

π(n t +T0)T

| (10.7)

95


é semelhante a+∞∑

n=−∞

|constante||n |

(10.8)

• Outro problema: sinc(x) não é causal. Qualquer trunca-mento no tempo fará com que X ( f ) 6= 0 para | f |>W .

3. W > 12T :

Figura 10.5. Espectro para teste do Critério de Nyquist quando 12T <

W

Neste caso, as réplicas se sobrepõem e várias soluções são pos-síveis.

• Solução comum e suave:

XR C ( f )

T , 0≤ | f | ≥ 1−β2T ,

T2

¦

1+ c o s [πTβ (| f | −

1−β2T )]

©

, 1−β2T ≤ | f | ≥

1+β2T ,

0, | f | ≥ 1+β2T .

(10.9)Tal que, W = 1+β

2T =1

2T +β

2T (excesso) XR C ( f ) é chamdo decosseno levantado.

• A taxa de símbolos é 1T .

• A banda disponível é W = 1+β2T

• → T = 1+β2W

• β = fator de roll-off = banda em excessobanda ocupada , 0<β < 1.

• No tempo:

XR C (t ) = s i n c (t

T).

c o s (πβ tT )

1−4β2t 2

T 2

(10.10)

• Quando t =± t2β :

XR C (t ) = s i n c (1

2β).π

4T(10.11)

96


Figura 10.6. Diferentes valores de β

• XR R C (t ) decai com 1t 3

• Erro no instante de amostragem causa ISI finita.

• Causalidade: ainda é não causal e possui infinita dura-ção.

• Para canais planos em frequência:

C ( f ) =

¨

1, | f |<W ,

0, | f |>W .(10.12)

• Neste caso, XR C ( f ) = GT ( f )C ( f )GR ( f ). Utilizando GR ( f )casado com GT ( f ), tem-se que GR ( f ) =G ∗

T ( f )Logo, XR C ( f ) =|Gt ( f )|2.Idealmente, teríamos metade do filtro no transmissor:

GT ( f ) =Æ

|XR C ( f )e x p (− j 2π f T0) (10.13)

• GT ( f ) é chamado de raiz de cosseno levantado (XR R C ( f )).

• XR R C (t ) 6= 0 para t =mT , m 6= 0.

Se o canal não é plano, há duas alternativas:

• e GT ( f ) =p

XR C ( f )|C ( f )| e GR ( f ) =

p

XR C ( f ): Toda a distorção é com-pensada no transmissor.

• GT ( f ) =Ç

XR C ( f )|C ( f )| e GR ( f ) =

Ç

XR C ( f )|C ( f )| : compensação é dividida

entre transmissor e receptor.

No primeiro caso, mostra-se qued 2

mi nσ2 = 2 PAV G T

N0[∫ w

−wXR C ( f )|C ( f )| d f ]−1. No

segundo caso,d 2

mi nσ2 = 2 PAV G T

N0[∫ w

−wXR C ( f )|C ( f )| d f ]−2. O segundo é melhor,

pois fornece um valor maior de d 2

σ2 (esse valor é o valor do SNR).

97


10.3 Equalização

O procedimento de eliminação ou minimização da ISI causada poruma canal não ideal é denominado equalização. Os equalizadoresde canal podem ser classificados em dois grupos:

• MLSE (Maximum-likelihood sequence estimation) - Estimaçãode sequência de máxima verossimilhança

• Equalização com filtros

10.3.1 Transformada Z

Transformada de Laplace no tempo discreto:

F (z ) =∞∑

n=−∞f [n ].z−n (10.14)

10.3.2 Projeto de equalizadores transversais

Figura 10.7. Modelo de transmissão

yn =∞∑

k=0

Ik xn−k +νn (10.15)

Nesta equação, é mais fácil desenvolver soluções se as amostras deruído forem estatisticamente independentes (isso exige que o ruídoseja branco, o que não acontece por causa de GR ( f )). Como xk = x ∗−k ,pois X ( f ) = H ( f )H ∗( f ), satisfazendo ou não Nyquist, a transfor-mada Z de xn será:

X (z ) = F (z )F ∗ 1

z ∗

(10.16)

Se tivermos x0 = 1, x1 = − j e x−1 = j , então a sua T.Z. será: X (z ) =1− j z−1+ j z .

Podemos dizer que seρ for raíz de F (z ), então1

ρ∗também será raíz.

Desta forma:

• F (z ) tem L raízes ρ1, ρ2, ..., ρL .

98


• F ∗

1

z ∗

tem L raízes1

ρ∗L.

1

ρ∗1,

1

ρ∗2, ...,

1

ρ∗L.

Se ρl está fora do círculo unitário,1

ρ∗lestá dentro do círculo unitá-

rio e vice-versa.

Há 2L formas de se fatorar X (z ) = F (z )F ∗ 1

z ∗

.

Uma delas faz com que F ∗ 1

z ∗

tenha todas as raízes (zeros) dentro

do círculo unitário.

O filtro branqueador obtido usando1

F ∗ 1

z ∗

desta forma é estável,

anti-causal e de fase mínima. Ele faz com que o modelo no tempodiscreto seja:

Y (z ) = I (z )X (z ) +ν(z )⇒

Y (z ) ·1

F ∗ 1

z ∗

=

I (z ) · F (z ) · F ∗ 1

z ∗

+ν(z ) ·1

F ∗ 1

z ∗

=

I (z ) · F (z ) +η(z )

Onde temos que:

εη∗k ,ηi =

¨

2N0, s e j = k

0, c .c .

O Modelo resultante encontra-se na figura abaixo:

Figura 10.8. Máquina de estados com L memórias e M L estados,onde M é o número de valores que Ik pode assumir.

vk =L∑

j=0

Ik− j f j +ηk = Ik f0+L∑

j=1

Ik− j f j +ηk (10.17)

99


• Solução ótima: MLSE

– Complexidade depende de M e de M L .

• Solução subótima: utilizar equalizadores.

Modelo equivalente:

Figura 10.9. Posição do equalizador no sistema de comunicação

A estrutura encontra-se na figura 10.10:

Figura 10.10. c2, c1, c0, c−1, c−2 são obtidos pelo algoritmo equaliza-dor.

Equalizadores podem ser DA (Data Aided) e NDA. Projetar um equa-lizador significa escolher seu comprimento e o valor dos seus coe-ficientes. Para equalizadores transversais, os dois critérios mais co-muns para otimização dos seus coeficientes c j são:

- Zerar ISI- Minimizar o erro quadrático médio entre Im e Im

Para o filtro linear transversal mostrado na Figura 10.10, cuja en-trada é a sequência vk e a saída é a sequência de informação es-timada Im, podemos representar a estimativa do n-ésimo símbolo

100


como:

In =k∑

j=−k

c j vn− j (10.18)

Problema: como determinar c j ? Critérios:- Minimizar Pe (difícil pois n é linear)- Minimizar e 2

- Minimizar a máxima ISI

Observa-se que o cascateamento de um filtro linear em tempo dis-creto e um equalizador, cujas respostas ao impulso são fn e cnrespectivamente, pode ser representado por um único filtro equiva-lente com resposta ao impulso dada pela convolução de F(z) comC(z):

qn =+∞∑

j=−∞

c j fn− j (10.19)

Ou seja, qn é a convolução de fn e cn. Assim, a saída do equa-lizador no n-ésimo instante de amostragem pode ser representadapor:

In = q0In +∑

j 6=k

I j qn− j ++∞∑

j=−∞

c jηn− j (10.20)

Convenção:ξI 2

n = 1 (10.21)

O primeiro termo da Equação 10.20 representa o símbolo desejado.Por conveniência, normaliza-se q0 como a unidade. O segundo termorepresenta a interefrência intersimbólica (ISI). Já o terceiro termo,representa o ruído AWGN que só passa pelo equalizador. O valor depico dessa interferência, chamada distorção de pico, é dado por:

D (C ) =∞∑

n=−∞

qn

=∞∑

n=−∞n 6=0

∞∑

j=−∞

c j fn− j

(10.22)

Assim D (C ) é uma função dos pesos dos taps do equalizador. Seo equalizador tiver comprimento infinito é possível determinar ospesos dos taps de forma que D (C ) = 0, e consequentemente qn = 0para todo n , exceto n = 0.Assim pode-se determinar os valores doscoeficientes do filtro a fim de se eliminar a interferência intersimbó-lica com base na seguinte condição:

qn =+∞∑

j=−∞

c j fn− j =

¨

1, n = 0,

0, n 6= 0.(10.23)

Tomando a transformada Z da Equação 10.23, obtém-se:

Q (z ) =C (z )F (z ) = 1 (10.24)

101


Ou, simplesmente, pelo equalizador Z.F.:

C (z ) =1

F (z )(10.25)

Tomando a transformada Z da Equação 10.20, obtém-se:

I (z ) =V (z )C (z )

I (z ) = [I (z )F (z ) + ”η(z )”]C (z )

I (z ) =Q (z )I (z ) + ”η(z )”C (z ) (10.26)

Onde C (z ) denota a transformada Z de cn. Assim, a eliminação daISI requer um equalizador com filtro cuja função transferência C (z )é dada pelo inverso do filtro linear F (z ). Esse filtro é denominadofiltro de forçagem zero.Incorporando o filtro branqueador com função transferência 1/F ∗(1/z ∗),temos um equalizador equivalente com função transferência:

C ′(z ) =1

F (z )F ∗(1/z ∗)=

1

X (z )(10.27)

O desempenho de um equalizador ideal de comprimento infinitopode ser mensurado pela SNR na sua saída. A densidade espectralde potência do ruído na saída do equalizador vale:

Sηη(w ) =N0

X (z = exp( j w T )), |w | ≤

π

T(10.28)

Consequentemente, a variância do ruído na saída do equalizadorvale:

σ2η =

T

2π

∫ π/T

−π/TSηη(w )d w =

T N0

2π

∫ π/T

−π/T

d w

X (exp( j w T ))(10.29)

Para simplificações matemáticas, a energia do sinal recebido foi nor-malizada para a unidade. Assim a relação sinal ruído para o equali-zador de forçagem zero é:

SN R =1

σ2η

= [T N0

2π

∫ π/T

−π/T

d w

X (exp( j w T ))]−1 (10.30)

No mundo real, o equalizador de forçagem zero não funciona namairoria das aplicações pelas seguintes razões:

- Mesmo que a resposta ao impulso do canal tenha comprimentofinito, a resposta ao impulso do equalizador precisa ser infini-tamente longa;

- Em algumas frequências o sinal recebido pode ser fraco (X ( f )muito pequeno). Para compensar, a magnitude do filtro deforçagem zero ("ganho") aumenta muito nesta faixa de frequên-cia. Como conseqüência, qualquer ruído adicionado após ocanal será amplificado por um fator muito grande, destruindoa relação sinal-ruído global (o filtro ZFE tenta planificar a res-posta do sistema);

102


- Se o canal apresentar zeros na sua resposta em frequência (X ( f ) =0 para alguma frequência) a integral da Equação 10.30 não con-verge e como consequência a relação sinal-ruído tende a 0.

A alternativa, então, é eliminar a ISI utilizando o método do erroquadrático médio mínimo: chamado de Mean-Square-Error (MSE)Criterion, esse método consiste em ajustar os valores dos pesos dostaps c j do equalizador para minimizar valor do erro quadráticomédio:

εk = Ik − Ik (10.31)

onde Ik é o símbolo de informação transmitido no k-ésimo intervalode sinalização e Ik é a estimativa desse símbolo na saída do equa-lizador, definido pela equação 10.18. Quando os símbolos Ik as-sumem valores complexos, o índice de performance para o critérioMSE, denotado por J , é definido como:

J = ξεk2 = ξIk − Ik2 (10.32)

Considerando o equalizador com um número infinito de taps, a es-timativa Ik é expressa como:

Ik =∞∑

j=−∞

c j vk− j (10.33)

Para encontrar o valor ótimo, utilizamos o princípio de ortogonali-dade do erro em estimação, ao selecionar os coeficientes c j quegeram erro εk ortogonal à sequência de sinal v ∗k−l , para −∞< l <∞. Com isso:

ξ

εk v ∗k−l

= 0, −∞< l <∞ (10.34)

Substituindo εk da equação 10.34 pelo da equação 10.32, temos:

ξ

(

Ik −∞∑

j=−∞

c j vk− j

!

v ∗k−l

)

= 0 (10.35)

ou seja:

∞∑

j=−∞

c jξ

vk− j v ∗k−l

= ξ

Ik v ∗k−l

(10.36)

Temos ξ

vk− j v ∗k−l

=

∑Ln=0

f ∗n fn+l− j

+N0δl j . Usando ξ

|Ik |2

= 1:

ξ

vk− j v ∗k−l

=

¨

xl− j +N0δl j , |l − j | ≤ L ,

0, caso contrário(10.37)

e também

103


ξ

Ik v ∗k−l

=

¨

f ∗−l , −L ≤ l ≤ 0,

0, caso contrário(10.38)

Substituindo as equações 10.37 e 10.38 em 10.36 e aplicando a trans-formada z nos dois lados da equação, obtém-se:

C (z ) [F (z )F ∗ (1/z ∗)+N0] = F ∗ (1/z ∗) (10.39)

Com isso, a função de transferência do equalizador baseado no cri-tério MSE fica:

C (z ) =F ∗ (1/z ∗)

F (z )F ∗ (1/z ∗)+N0(10.40)

Incorporando um filtro branqueador, obtém-se um equalizador equi-valente com função de trannferência:

C ′(z ) =1

F (z )F ∗ (1/z ∗)+N0=

1

X (z ) +N0(10.41)

104

CAPÍTULO 11

Sistemas com múltiplos usuários

Em um sistema de transmissão de informações qualquer, é inefici-ente reservar recursos (como Banda de Transmissão W, Tempo deTransmissão T e Potência de Transmissão P) para um único usuárioque não utiliza o sistema o tempo todo. A solução óbvia é compar-tilhar tais recursos entre os usuários.O objetivo desse capítulo é analisar os sistemas de comunicação paramúltiplos usuários e links, como alternativa para os sistemas de co-municação ponto a ponto de um usuário apenas. Além disso sãodescritos os métodos de acesso desses múltiplos usuários através deum canal comum para transmissão de informação.

Figura 11.1. Sistema de acesso múltiplo

11.1 Métodos de compartilhamento

Nesse curso, serão estudados

• FDMA (Frequency-Division Multiple Access)

• TDMA (Time-Division Multiple Access)

• CDMA (Code-Division Multiple Access)

• SIC (Sequential Interference Cancellation)

105


11.2 Tipos de sistema de comunicação múl-tipla

Existem diferentes topologias para sistemas com múltiplos usuários:broadcast, Figura 11.2, uma mensagem única transmitida para vá-rios receptores;

Figura 11.2. Topologia Broadcast

multicast, Figura 11.3, mensagens diferentes para cada receptor;

Figura 11.3. Topologia Multicast

multiple access channel, Figura 11.4, vários transmissores para umreceptor recebendo diferentes mensagens);

Figura 11.4. Topologia Multiple Access Channel

e interference channel, interferência de sinal entre transmissores ereceptores.

106


Figura 11.5. Topologia Interference Channel

Dentro de um sistema de acesso múltiplo, o envio de informaçãopara o canal de comuniação com o receptor pode ser por mais deum método possível, destacando-se o FDMA, TDMA e o CDMA.

Figura 11.6. Subdivisão do canal em bandas de frequências que nãose intersectam - FDMA

O método mais simples, FDMA - frequency-division multiple access- é realizado a partir da divisão da largura de banda em um valor K,em subcanais de frequências diferentes. O TDMA - time-divisionmultiple access - é utilizado a partir da subdivisão do período Tf

(frame duration) em K intervalos de tempo de duraçãoTf

K para cadausuário que deseja transmitir informação. O FDMA e TDMA, por-tanto, são métodos de partição de canal em subcanais independen-tes para cada usuário. Por último, o CDMA - code-division multipleaccess - os usuários tem acesso aleatório a canal, ocorrendo super-posições de transmissão de sinais em tempo e frequência.

11.3 Capacidade em métodos de acesso múl-tiplo

A capacidade do canal ideal de banda limitada AWGN para um únicousuário corresponde a :

C =W l o g2

1+P

N

(11.1)

107


onde C é a capacidade em bits por segundo, W é a largura de banda,P, a potência do sinal. Sendo No/2 a densidade espectral de potênciado ruído, define-se N tal que:

N = 2

∫

f0+W2

f0−W2

N0

2df=W N0 (11.2)

A região de capacidade de dois usuários para um canal AWGN podeser observada na gráfico da Figura. (inserir gráfico - fonte 5 - cap 6.1- figure 6.2)Na análise de capacidade de um sistema de acesso múltiplo, os usuá-rios podem ser encarados como dimensões em um "espaço de ta-xas", ou seja, para um sistema com ’U’ usuários, cada indivíduo i ,1 ≤ i ≤ U , possui uma taxa de transmissão Ri associada, dada embits por segundo.Além disso, para todos os agrupamentos de usuários possíveis, o Te-orema de Shannon-Hartley deve ser respeitado, ou seja, em geral,tem-se:

U∑

k=1

Rk <W log2

1+1

N

U∑

k=1

Pk

(11.3)

Tais restrições no "espaço de taxas"geram uma região S onde os pon-tos (R1, R2, ..., RU ) pertencentes à S são tais que é possível transmitira informação com uma probabilidade de erro arbitrariamente pe-quena na recepção.

Exemplo 11.1. Dois usuários

Para o caso com dois usuários, ocorrem os dois limites:

R1 ≤C1 =W l o g2

1+P1

N

R2 ≤C2 =W l o g2

1+P2

N

A soma das taxas então corresponde a:

R1+R2 ≤C =W l o g2

1+P1+P2

N

A região de capacidade, nesse caso, é dada pela Figura 11.7

108


Figura 11.7. Região S em um espaço de taxas de 3 usuários"

Exemplo 11.2. Três usuários

Para o caso com três usuários, ocorrem os dois limites:

R1 ≤C1 =W l o g2

1+P1

N

R2 ≤C2 =W l o g2

1+P2

N

R3 ≤C3 =W l o g2

1+P3

N

A soma das taxas então corresponde a:

R1+R2 ≤C =W l o g2

1+P1+P2

N

R1+R3 ≤C =W l o g2

1+P1+P3

N

R2+R3 ≤C =W l o g2

1+P2+P3

N

A região de capacidade, nesse caso, é dada pela Figura 11.8

109


Figura 11.8. Região S em um espaço de taxas de 3 usuários"[2]

Para cada método de compartilhamento as retrições de taxas defi-nem regiões de capacidade de canal.

• TDMA: Usuários utilizam o canal inteiro durante uma porcen-tagem do tempo. Logo, define-se essa fração de tempo paraum período T tal que:

αi =Ti

T, i = 1, ..., u (11.4)

Figura 11.9. Esquema da divisão do canal TDMA

Normalmente, potência sustentável corresponde ao limite su-perior de potência que um transmissor pode manter durante

110


o intervalo de tempo de utilização do canal. A potência média,portanto, é:

PTi

T= Pαi (11.5)

Logo, a restrição sobre a taxa de cada usuário corresponde a:

Ri ≤Ci =W l o g2(1+P

N)αi (11.6)

Quando U = 2, ou seja, para dois usuários:

C1 =W l o g2(1+P1

N)α (11.7)

C2 =W l o g2(1+P2

N)(1−α) (11.8)

• FDMA: Usuários utilizam o canal inteiro durante uma porcen-tagem da banda de frequência. Logo, define-se essa fração defrequência para uma banda W tal que:

βi =Wi

W, i = 1, ...,U (11.9)

Figura 11.10. Esquema da divisão do canal FDMA

Nesse caso cada usuário irá ter uma percepção diferente doruído, tal que:

Ni = 2

∫ fi−1+Wi

fi−1

N0

2d f =Ni N0 =Nβi (11.10)

111


Onde fi−1 equivale à frequência inicial da banda do usuário i,tal que

fi =i∑

j=1

Wj + f0 (11.11)

Logo, a restrição sobre a taxa de cada usuário é:

Ri ≤βi W l o g2(1+P

Nβi) (11.12)

E, portanto:

Cs o ma =u∑

i=1

βi W l o g2(1+P

Nβi) (11.13)

Supondo distribuição uniforme,

βi =1

u,∀i (11.14)

E neste caso,

Cs o ma =W l o g2(1+uP

N) (11.15)

Analisando-se a capacidade de canal para cada usuário:

Ci =W l o g2(1+uP

N) (11.16)

Figura 11.11. Capacidade total por Hz para acesso múltiplo FDMA

112


Para o aumento do número u de usuários, a capacidade Cs o ma

aumenta e Ci diminui.

Na situação em que u= 2, ou seja, há dois usuários, as capaci-dades de canal para cada usuário são definidas por:

C1 =βW l o g2(1+uP

Nβ) (11.17)

C2 = (1−β )W l o g2(1+uP

N (1−β )) (11.18)

Além disso, para o caso particular em que a banda é equiva-lente para os dois usuários, β é 1

2 , C1 e C2 são equivalentes a12 W l o g2(1+

2uPN ).

Para o FDMA não é necessária a sincronização, os usuáriospodem transmitir ininterruptamente. Porém, quanto maior onúmero de usuários, menor a capacidade individual, tal qualo TDMA.

Exemplo 11.3.

Dois usuários, com potências P1 e P2, respectivamente,dividem uma banda de largura W. Qual a divisão deve serfeita, utilizando o modelo FDMA, de forma que a capaci-dade soma do canal atinja o maior valor possível?

Fazendo α1 =α e α2 = 1−α, temos:

C1 =αW l o g2

1+P 1

N0W α

C2 = (1−a l p ha )W l o g2

1+P 2

N0W (1−α)

C s =C1+C2

Extremizando Cs em relação à alpha:

d C s

dα= 0

logo

W l o g2

(1+P 1

N0W α

−P 1

N0W αln(2)

1+P 1

N0W α

−

−W l o g2

1+P 2

N0W (1−α)

+P 2

N0W (1−α)ln(2)

1+P 2

N0W (1−α)

= 0

113


ln

1+P 1

N0W α

−P 1

N0W α

1+P 1

N0W α

= ln

1+P 2

N0W (1−α)

−P 2

N0W (1−α)

1+P 2

N0W (1−α)

Estudando a função f (x ) = ln(1+k/x )−k/x (1+k/x ), x >0:

d f (x )d x

(x )< 0,∀x > 0(é monotona e decrescente)

limx→0

f (x ) = +∞ e limx→+∞

f (x ) = 0(é sempre positiva)

Assim, para que f(x1) = f(x2) seja válida, devemos ter x1 =x2:

f (α/k 1) = f ((1−α)/k 2), c o mk 1=P 1

N0We k 2=

P 2

N0W

α/k 1= (1−α)/k 2

α(1/k 1+1/k 2) = 1/k 2

α= k 1/(k 1+k 2) = P 1/(P 1+P 2)

Assim, a banda deve ser dividida de forma proporcional àspotências dos usuários.

• CDMA: Cada usuário possui um código diferente para trans-missão através de uma largura de banda comum de um canal.Existem o DS- CDMA (direct sequence) e o FH - CDMA (fre-quency hoping).

Figura 11.12. Esquema da divisão do canal CDMA

114


DS-CDMA: Para o caso de detecção de usuário único, o recep-tor para Cada sinal de utilizador não conhece os códigos e for-mas de onda de espalhamento dos outros utilizadores, ou es-colhe ignorá-los no processo de demodulação. Assim, os si-nais dos outros usuários aparecem como interferência no re-ceptor de cada usuário. Neste caso, o receptor multiusuárioconsiste em um banco de K filtros de mono-usuário combi-nados. Se assumirmos que a forma de onda de sinal pseudo-aleatória de cada usuário é gaussiana, então cada sinal de usuá-rio é corrompido por interferência gaussiana de potência (K-1)P e ruído gaussiano de potência WN o . Portanto, a capacidadepor usuário para detecção de um único usuário é

Ck =W l o g2(1+P

W No + (K −1)P) (11.19)

Para números grandes, utilizando-se a aproximação ln(1+x)<= x,

Ck

W≤

Ckξb

W

N0

1+K (CkW )(

ξbN0)l o g2(e ) (11.20)

Neste caso, observamos que a capacidade total não aumentacom K como para o TDMA e FDMA. A taxa para os K usuáriosnum canal AWGN, Assumindo igual potência para cada usuá-rio, é dada pelas seguintes equações:

Figura 11.13. Capacidade normalizada como ξbN0

para o DS-CDMA

Ri ≤W l o g2

1+P

W N o

, 1≤ i ≤ K (11.21)

115


Ri +R j ≤W l o g2

1+2P

W N o

, 1≤ i , j ≤ K (11.22)

Exemplo 11.4.

Considere o caso de dois usuários em um sistema CDMAque emprega Codificados, como descrito acima.As taxasdos dois usuários devem satisfazer as inequações:

R1 <W l o g2

1+P

W N o

(11.23)

R2 <W l o g2

1+P

W N o

(11.24)

R1+R2 <W l o g2

1+P

W N o

(11.25)

Onde P é a potência média transmitida por cada usuárioe W é a largura de banda do sinal. A região de capacidadepara o sistema CDMA com dois usuários com formas deonda de sinal codificadas, representada pela Figura 11.14,em que

Ci =W l o g2

1+Pi

W N0

, i = 1, 2 (11.26)

correspondem às capacidades de dois usuários com po-tências P1 e P2 iguais a P. Considerando que o usuário 1transmite a uma capacitância C1, a taxa máxima que o se-gundo usuário pode transmitir equivale a:

R2m =W l o g2

1+2P

W N0

−C1 =W l o g2

1+P

P +W N0

(11.27)

A qual é representada na figura a seguir como ponto A.Pode-se observar que a taxa R2m corresponde ao caso emque o sinal do utilizador 1 é considerado como ruído adi-cional para o sinal do usuário 2. A situação é simétricapara o usuário 1, o que se observa no ponto B do gráficoda mesma imagem. A reta AB é representada pela equa-ção da soma das taxas de cada usuário, definida no iní-cio do exemplo. Essa linha reta é a fronteira da taxa, jáque qualquer ponto na linha corresponde à taxa máxima

116


W l o g2(1 +2P

W N0), que pode ser obtida pelo compartilha-

mento de tempo entre os dois usuários.

Figura 11.14. Região de capacidade de dois usuários deum canal de acesso múltiplo CDMA

• Cancelamento de Interferência - Sequential Interference Can-celation (SIC): Supondo r =m1+m2+η , onde:m1=mensagem do usuário 1 "Gaussiano", cuja potência é P1

m2=mensagem do usuário 2 "Gaussiano", cuja potência é P2

η= AW G N , N02

Definimos como a potência do ruído:

(N0

2)2W =N (11.28)

Dessa forma, poderíamos receber m1, tratando como interfe-rência m2. Assim:

C1 =W l o g2

1+P1

P2+N

(11.29)

Se R1 <C1, podemos transmitir m1, com probabilidade de errotão baixa quanto desejado. Assim, saberíamos corretamentem1.

117


- Podemos cancelar a sua interferência em m2 : r ′ = r −m1 =m2+η

Logo:

C2 =W l o g2(1+P2

N)>W l o g2

1+P2

N +P1

(11.30)

O termo mais à direita representa a capacidade sem removera interferência.

Assim:

C1+C2 =W l o g2[(P2+N +P1

P2+N)(

N +P2

N)] =W l o g2(1+

P1+P2

N)

(11.31)Dessa forma, o par (C1,C2) está no vértice do pentágono da re-gião de capacidade.

- Invertendo a ordem de recepção, atingiria-se o outro vértice.

- Alternando entre a ordem nos permite atingir qualquer pontodo segmento Cs =W l o g2(1+

P1+P2N )

- Resultado pode ser generalizado para qualquer número deusuários:

C S I CS =

U∑

i=1

W l o g2

1+Pi

∑Uj=i+1 Pj +N

= (11.32)

W l o g2

U∏

i=1

N +∑U

j=i Pj

N +∑U

j=i+1 Pj

=W l o g2

1+

∑Uj=1 Pj

N

=Cs

- Rate Spliting: 1 usuário real dividido em 2 usuários virtuais.Usuário 1: P1

Usuário 2: P2

No exemplo, o usuário 1 é dividido em dois usuários virtuais(usuário 1’ e usuário 1”):Usuário 1’: αP1

Usuário 2: P2

Usuário 1”: (1−α)P1

118


Objetivo: Ambos os usuários terem a mesma taxa total.Método: Potência do usuário 1 é dividida em 2 usuários virtu-ais.Faz-se P1 = P2 = P

Tabela 11.1: Capacidades dos usuários virtuais em SIC

Usuário Potência Ordem de Interferência Ruído Capacidadevirtual detecção Interferência

1 Pα 1o P +P (1−α) N W l o g2

1+Pα

N +P (1−α) +P

2 P 2o P (1−α) N W l o g2

1+P

N +P (1−α)

3 P (1−α) 3o 0 N W l o g2

1+P (1−α)

N

Taxa total do usuário 1:

C1 =W l o g2

1+Pα

N +P (1−α) +P

+W l o g2

1+P (1−α)

N

(11.33)Taxa total do usuário 2:

C2 =W l o g2

1+P

N +P (1−α)

(11.34)

Queremos que C1=C2 , isto é:

1+Pα

N +P (2−α)

1+P (1−α)

N

=

1+P

N +P (1−α)

(11.35)

Evoluindo chega-se a α, que satisfaz a condição acima.

119

REFERÊNCIAS

[1] SHANNON, C. E., A Mathematical Theory of Communication. The Bell SystemTechnical Journal, Cambridge, v. 27, pp. 379–423, 623–656, jul/out, 1948

[2] CHAABAN, Anas. SEZGIN, Aydin. The Capacity Region of the 3-User Gaus-sian Interference Channel with Mixed Strong-Very Strong Interference. Cor-nell University. v1, 2010.

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Apostila de ELE-32manish/ele32/Documentos/ELE32-20180730-Apostila.pdf · 2.2Transformada de Fourier Quando tomamos limf 0!0, isto é, no limite do contínuo de f0, o so-matório torna-se