UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA POLITÉCNICA

Departamento de Estruturas e Fundações

PEF-2404

PONTES E GRANDES ESTRUTURAS

(NOTAS DE AULA)

Prof. Dr. Fernando Rebouças Stucchi

São Paulo 2006

SUMARIO

1. INTRODUÇÃO __________________________________________________________ 1

1.1. Evolução histórica das pontes _________________________________________________ 2

1.2. Concepção de pontes _________________________________________________________ 4

1.3. Princípios básicos da concepção _______________________________________________ 4

2. SUPERESTRUTURA DE PONTES _________________________________________ 11

2.1. Classificação das pontes conforme o tipo estrutural da superestrutura _______________ 11

2.1.1. Pontes em laje __________________________________________________________________ 11

2.1.2. Pontes em viga _________________________________________________________________ 12

2.1.2.1. Ponte em duas vigas Tê, biapoiadas ____________________________________________ 12

2.1.2.2. Ponte em grelha ____________________________________________________________ 14

2.1.2.3. Ponte celular ______________________________________________________________ 15

2.1.2.4. Sistemas longitudinais usuais _________________________________________________ 16

2.1.3. Pontes em treliça, pórtico, arco ou suspensas por cabos – uma abordagem comparativa _______ 16

2.2. Classificação das pontes conforme o método construtivo ___________________________ 23

2.2.1. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento fixo. ______________________________________ 23

2.2.2. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento móvel. ____________________________________ 24

2.2.3. Consolos sucessivos moldados in loco _______________________________________________ 26

2.2.4. Consolos sucessivos pré-moldados __________________________________________________ 28

2.2.5. Vigas pré-moldadas _____________________________________________________________ 32

2.2.6. Lançamentos progressivos ________________________________________________________ 33

2.2.7. Pontes estaiadas ________________________________________________________________ 37

2.2.8. Pontes pênseis __________________________________________________________________ 38

2.2.9. Associação de dois ou mais métodos construtivos ______________________________________ 39

2.3. Classificação das pontes conforme os materiais utilizados nas suas construções ________ 39

2.3.1. Pontes de concreto ______________________________________________________________ 39

2.3.2. Pontes de aço e mista aço - concreto ________________________________________________ 40

2.3.3. Pontes de madeira _______________________________________________________________ 45

2.4. Estudo de alguns tipos estruturais, comportamento estrutural e teorias de cálculo ______ 46

2.4.1. Estruturas de superfície, uma introdução _____________________________________________ 46

2.4.2. Lajes _________________________________________________________________________ 47

2.4.2.1. Comportamento estrutural das lajes ____________________________________________ 48

2.4.2.1.1. Laje retangular simplesmente apoiada ________________________________________ 48

2.4.2.1.2. Outros casos a considerar _________________________________________________ 56

2.4.3. Pontes em vigas – múltiplas (grelhas) ou celulares (caixões)______________________________ 63

2.4.3.1. Análise da torção ___________________________________________________________ 63

2.4.3.1.1. Barras de seção circular maciça ou vazada ____________________________________ 63

2.4.3.1.2. Barras de seção retangular maciça ___________________________________________ 65

2.4.3.1.3. Analogia de membrana (Prandtl – 1903) ______________________________________ 66

2.4.3.1.4. Seções vazadas com dois eixos de simetria ____________________________________ 67

2.4.3.1.5. Torção não uniforme _____________________________________________________ 68

2.4.3.1.6. Centro de torção ou cisalhamento ___________________________________________ 74

2.4.3.2. Estruturas em viga T única ___________________________________________________ 76

2.4.3.3. Pontes em duas vigas ________________________________________________________ 77

2.4.3.4. Pontes em 3 ou mais vigas (Grelhas) ___________________________________________ 77

2.4.3.4.1. Processo de Courbon/Engesser _____________________________________________ 77

2.4.3.4.2. Processo de Fauchart _____________________________________________________ 83

2.4.3.5. Pontes celulares ____________________________________________________________ 90

2.4.3.5.1. Seções unicelulares_______________________________________________________ 90

2.4.3.5.2. Seções multicelulares _____________________________________________________ 95

1

1. INTRODUÇÃO

O projeto de uma ponte ou grande estrutura é o produto de um processo criativo

constituído de uma seqüência de alternativas, onde cada uma procura melhorar a anterior, até que

se atinja uma solução suficientemente boa para ser construída.

Esse processo parte das condições locais, onde a obra deve ser implantada (topografia,

geologia, condições climáticas, tráfego, etc.) e considerando os materiais e as técnicas

construtivas disponíveis, os tipos estruturais e as teorias conhecidas, procura criar uma obra que

atenda às funções previamente definidas, com uma série de qualidades especificadas.

Assim, é preciso que a obra, além de atender às funções para que foi construída, seja

suficientemente segura, econômica e estética. Atenção, não basta que a obra seja segura, ela deve

ser econômica e estética!

Entende-se aqui por segura a obra que tem probabilidade aceitável de manter suas

características ao longo da vida útil e que avisa quando precisa de manutenção.

Estética é a obra agradável de ser observada, bem inserida no local de implantação.

Econômica é a solução que satisfaz as funções, segurança e estética com um custo

próximo do mínimo.

Na verdade, esse processo criativo não termina no projeto, mas estende-se à execução e

inclusive à manutenção.

Em função desse processo criativo e da importância estética do produto final, as pontes e

grandes estruturas são usualmente chamadas "Obras de Arte".

Esse curso tem por objetivo discutir não apenas os tipos estruturais e as teorias de cálculo

conhecidas, mas também os materiais e as técnicas construtivas disponíveis.

De forma a dar uma idéia da evolução dos materiais e das técnicas aplicadas à construção

das pontes, vai a seguir um pequeno histórico.

2

1.1. Evolução histórica das pontes

I. Pré-história

� Estruturas de pedra:

Figura 1 – Estrutura de pedra utilizada na pré-história.

� Estruturas de madeira:

Ficaram sem registro por problema de durabilidade.

II. Idade antiga

������������� ��������������������������� ����

Figura 2 - Aquedutos romanos de pedra.

III. Idade média

�������

�������

��

��

��

��������������������������������

������������ ������������ �����

Figura 3 - Arcos góticos de pedra.

3

IV. 1758 - Ponte de madeira sobre o Reno com 118m de vão. Grubenmann. Alemanha.

V. 1779 - Ponte em arco treliçado de ferro fundido (liga ferro x carbono 2 a 5%) sobre o

Severn na Inglaterra. Vão de 30m. Material frágil.

VI. 1819 - Ponte Pênsil Menai, no País de Gales, com 175m de vão. Ferro laminado (liga ferro

x carbono <0,2% + 3%). Martelai mais maleável.

VII. 1824 - Cimento Portland. J Aspdin, Inglaterra.

VIII. 1860 - Inicia-se a produção de aço na Inglaterra.

IX. 1861 - Primeiras idéias do Concreto Armado. Monier, Coignet na França.

X. 1890 - Pontes ferroviárias sobre o Firth of Forth na Escócia. Treliça de aço (liga de ferro x

carbono <1,5%) com 512m de vão. Material dúctil, mas mais sensível à corrosão.

XI. 1900 - Teoria do Concreto Armado. Mörsch, Alemanha.

XII. 1928 - Freyssinet consegue viabilizar o concreto protendido usando aço de alta resistência

para contrabalancear a retração e deformação lenta do concreto.

XIII. 1930 - E.Baumgart usa pela primeira vez o processo de construção por consolos sucessivos

numa ponte em concreto armado sobre o rio Peixe. Vão de 68m.

XIV. 1945 - Primeira obra em concreto protendido (protensão posterior). Luzancy, França. Vão

de 55m. Freyssinet.

XV. 1952 - Ponte sobre o canal Donzère, França. Vão de 81m. Primeira obra estaiada moderna.

Para fixar idéias vale relacionar alguns dos maiores vãos atualmente existentes:

Viga de concreto: 301m (Stolmasundet, Noruega, 1998)

Viga de aço: 300m (Rio-Niterói, Brasil, 1974)

Treliça de aço: 549m (Quebec, Canadá, 1917)

Arco de concreto: 390m (Krk, Croácia, 1980)

Arco de aço: 510m (New River Gorge, USA, 1977)

Estaiada de concreto: 530m (Skarnsund, Noruega, 1991)

Estaiada de aço: 404m (Saint Nazaire, França 1998)

Estaiada de aço/concreto: 890m (Tatara, Japão 1999)

Pênsil de aço: 1990m (Akashikaikyo, Japão1998)

4

1.2. Concepção de pontes

O processo criativo, ou de concepção, acima descrito, exige do engenheiro boa

informação ao nível dos materiais e técnicas construtivas, bem como dos tipos estruturais e suas

teorias.

Isso, porém, não basta. É preciso boa formação, isto é, todos esses dados devem ser

interiorizados, compreendidos na sua essência e interligados entre si de forma a dar ao

engenheiro capacidade crítica e criativa.

Relativamente aos materiais e técnicas construtivas, são essenciais suas exigências, suas

qualidades e limitações. O que seria essencial nos tipos estruturais? A forma geométrica não é

certamente o essencial, mas sim o seu comportamento, isto é, a maneira como a estrutura

trabalha. Dois aspectos desse comportamento devem ser ressaltados:

� Como a estrutura se deforma sob atuação de um determinado carregamento;

� Como essas cargas caminham ao longo dela. É fundamental visualizar o

caminhamento das cargas desde a origem, seu ponto de aplicação, até o destino, a

fundação. Atenção, qualquer parcela esquecida desse caminho pode representar o elo

fraco!

Interiorizar esse comportamento corresponde a desenvolver o que usualmente se chama

intuição ou sensibilidade estrutural.

Como a concepção estrutural é um processo criativo baseado nessa intuição, quanto mais

desenvolvida e cultivada ela for, maiores são as chances de obter uma boa concepção, uma

verdadeira "Obra de Arte".

1.3. Princípios básicos da concepção

De modo a facilitar o processo de concepção podem-se enunciar alguns princípios. Esses

princípios, como o próprio nome diz, não são gerais, mas têm um campo de validade

suficientemente grande para justificá-los.

1º) É fundamental visualizar o caminhamento das cargas; desde o ponto de aplicação até

a fundação.

2º) É conveniente projetar a fundação sob as cargas a suportar; preferencialmente fazendo

coincidir o centro de gravidade das cargas com o da fundação.

5

�������

��������� � !

�

������ "

����� #

�!$ %��&'� !

�������

(

��)��*���+,�����������-)�������������������.!�����/����������������

!

�

�����0�1

����&� �

2

!

��&

)���

�� �����

Figura 4 – Exemplo de transporte de carga desde o ponto de aplicação até a fundação.

3º) Princípio do caminho mais curto

"O arranjo estrutural mais eficiente é aquele que fornece às cargas o caminho mais curto

desde seus pontos de aplicação até a fundação."

��� ��� 3���+,��! 3���+,�� 4�0��5

6

/ /

� 7 7

/ /

/ /

/� �

Figura 5 – Exemplos de solução estrutural.

������+,�

�����������

�

�������

������

8����0�����

������9

/

����9

Estrutura ineficiente.Só razões arquitetônicaspodem justificar essa solução.

Figura 6 - Edifício Suspenso.

6

4º) Princípio da rigidez

Nas estruturas isostáticas o caminhamento das cargas é definido pelas condições de

equilíbrio, mas nas hiperestáticas ele sofre também influência da rigidez. "Entre dois caminhos

alternativos a carga caminha predominantemente pelo mais rígido."

Estrutura Isostática. O equilíbrio determina o caminhamento das cargas.

�

� �

� $� ��$�

Figura 7 – Viga isostática.

Estrutura Hiperestática

β�$

α�$

�����

β�$

α�$

�����!

�

�

Figura 8 – Duas vigas ortogonais.

Sendo l1 << l2 e I1 = I2 = I, a viga 1 é muito mais rígida transportando muito mais carga.

De fato:

� compatibilidade em x

EI

Pl

EI

Plxflecha

4848

32

31 βα

==

32

31 ll βα = (1)

� equilíbrio vertical

PPP =+ βα

1=+ βα (2)

Assim:

ββα >>>=3

1

32

l

l. pois 12 ll >>

7

ou

21

2

21

1 11kk

ke

kk

k

+=

+= βα (no caso geral quando I1 ≠ I2)

onde 3

48

l

EIk = é a rigidez de uma viga para carga no meio do vão.

A viga 1, por ser bem mais rígida, transporta bem mais carga. A proporção das cargas

transportadas é a proporção das rigidezes:

2

1

k

k=

β

α

Se a viga 1 é 10x mais rígida, transporta 10x mais carga.

Conclusão: "A rigidez define o caminhamento das cargas”.

Nota: Numa estrutura hiperestática de grau de hiperestaticidade n, existem n+1 caminhos

possíveis para as cargas. Verifique que isso vale para os 2 exemplos acima.

Exemplo: Uma outra maneira de ver a hiperestaticidade.

Grau de hiperestaticidade n = (n+1) caminhos alternativos para as cargas.

a) Viga isostática: gh=0

Só existe 1 caminho para as cargas, que é aquele definido pelo equilíbrio.

b) Viga engastada-apoiada: gh=1

Devem existir 2 caminhos.

�

��$�

�

��$!1:

�

%2'�

�

�% '

�!

�

Figura 9 – Caminhos das cargas para a viga engastada-apoioada.

Como: baleng MM ≡

28

22

2 lppl=

4

3

4 12

ppe

pp ==

8

Para esses valores de p1 e p2, os efeitos de p em (1) são iguais à soma dos efeitos de p1 e

p2 em (2) e (3) respectivamente.

(2) e (3) são os 2 caminhos alternativos.

5º) Princípio da distribuição

"O arranjo estrutural mais eficiente é aquele que distribui as cargas pelos seus elementos,

convenientemente, evitando concentrações."

Exemplo: Vãos bem proporcionados.

0,31pl 1,01pl

α � �

4

α �

�

(1,32 = 0,82 + 0,5)

Figura 10 – Diagrama de momentos permanentes para l’ = 0,82l.

l´=α l

128

' 22plpl

=

lll 82,012

8' ==

Boa proporção: α=0,82

7.����7.7 ��

7.1� � 7.1�

4

���� ���+,�5

�

Figura 11 - Diagrama de momentos permanentes para l’ = 0,4l.

Má proporção: α=0,4

9

6º) A eficiência das estruturas depende também da forma como elas são solicitadas.

Considerando materiais adequados para cada caso, pode-se dizer que a eficiência varia como

indica o quadro abaixo:

Força Normal de Tração

Força Normal de Compressão eficiência!

Flexão (M,V)

Torção

�

���+,�

Solução 1 Problema

?

Materiais bons: AçoMadeira

Solução 2 Compressão

P

P

Concreto

(Armado ou Protendido)ConcretoMadeira

Materiais bons: Aço

P

Materiais bons: AçoMadeira

�

Solução 4

Torção

(Armado ou Protendido)ConcretoMadeira

Materiais bons: Aço

Solução 3

Flexão

Figura 12 – Soluções estruturais, considerando os materiais adequados.

Do ponto de vista estritamente estrutural as soluções perdem qualidade de 1 para 4. Isso

se justifica, pois:

Nas soluções 1 e 2, as barras trabalham à força normal usando toda a seção transversal

das barras. (As tensões σ se distribuem uniformemente nas seções transversais). A solução 2 tem

a desvantagem de gerar efeitos de 2a. ordem (“flambagem”).

10

Na solução 3 a flexão não consegue usar integralmente a seção transversal. Sobretudo a

região central fora mal utilizada. Seções I ou caixão melhoram o desempenho.

8������,�

���+,�

σ

/

�

4

Figura 13 – Tensões de flexão ao longo da altura da seção.

Na solução 4, uma parcela importante do transporte da carga é feita por torção. A seção

transversal da barra é solicitada ao cisalhamento desuniformemente. A região central é quase

perdida. Seções caixão melhoram o desempenho.

�

τ

Figura 14 – Tensões de cisalhamento ao longo da seção.

11

2. SUPERESTRUTURA DE PONTES

2.1. Classificação das pontes conforme o tipo estrutural da superestrutura

2.1.1. Pontes em laje

Sistema longitudinal: biapoiada ou contínua

Sistema transversal: maciça ou vazada (= nervurada)

Muro de ala

Travessa de encontroArticulação

PLANTA CORTE TRANSVERSAL

Guarda roda

Guarda corpo

Estaca

ELEVAÇÃO Laje Cortina

Figura 15 – Ponte em laje.

Comportamento estrutural: bidimensional, com boa capacidade de distribuição.

12

Figura 16 – Ponte em laje contínua

M, V - Diagramas de esforços solicitantes no tabuleiro como um todo (M = kN.m; V = kN)

m, v - Diagrama de distribuição dos esforços solicitantes ao longo da largura do tabuleiro

(m = kN.m/m; v = kN/m)

Assim:

dymMb

máx �=

dyvVb

máx �=

2.1.2. Pontes em viga

Sistema longitudinal: biapoiada ou contínua

Sistema transversal: 2 ou mais vigas (tê ou celular)

1 viga celular (caixão)

2.1.2.1. Ponte em duas vigas Tê, biapoiadas

�

)����������������

���

�����)������

Figura 17 – Ponte em duas vigas biapoiadas.

13

Sistema Transversal:

T ~ 0

P

M1 T ~ 0

V1

t ~ 0m

M2

v ~ 0 V2

Figura 18 – Seção transversal e transporte de cargas.

/

�

!

!

7���������)����!η

Figura 19 – Linha de influência de carga na viga 1.

η� %!/η'�

;

��� < ���7. ��;

Figura 20 – Largura colaborante da laje.

14

Transporte de carga:

� Transversal pelo conjunto laje-transversina simulado por uma barra transversal apoiada

nas longarinas1. A linha de influência para reação de apoio dessa barra eqüivale àquela

para carga na longarina correspondente.

� Longitudinal pelas longarinas com a colaboração da laje na flexão.

Sistema longitudinal:

η�

Figura 21 – Esquema estrutural da viga 1.

Comportamento estrutural: observar a figura e notar a pouca capacidade de distribuição.

2.1.2.2. Ponte em grelha

�

! 2 1

���������)����!η∼0,7<1,0

Figura 22 – Seção transversal de ponte em grelha e linha de influência de carga na viga 1.

Preferencialmente 4 vigas ou mais ligadas apenas pela laje ou com transversinas

intermediárias.

Comportamento estrutural semelhante ao da ponte em 2 vigas com melhor capacidade de

distribuição. Essa capacidade não se modifica muito ao se retirarem as transversinas intermediárias.

1 Duas hipóteses justificam esse modelo:

1a) A rigidez à torção das viga é baixa. 2a) O trabalho longitudinal das lajes influi pouco na distribuição transversal.

15

As de apoio devem ser mantidas, admitindo-se a sua eliminação, apenas, em casos excepcionais, e

mesmo assim, acompanhada de medidas especiais.

2.1.2.3. Ponte celular

� �

���:

!

��������������!

η=���7.(

Figura 23 – Seção transversal e linha de influência de carga na alma 1 ou na alma 2.

P centrada provoca flexão igual das duas almas.

T = Pe provoca torção. O acréscimo de flexão na alma 1 provocado pela excentricidade e é

normalmente desprezível.

Comportamento estrutural excelente:

� Grande capacidade de distribuição em função da alta rigidez à torção (a torção, por ser

mais rígida que a flexão diferenciada das almas, transporta praticamente todo o efeito de

excentricidade).

� Grande resistência à torção.

� Grande resistência à flexão, seja para momentos positivos, seja para negativos (pois tem

2 mesas, superior e inferior).

16

2.1.2.4. Sistemas longitudinais usuais

�

���������

8���-��� &� �

! !��

=

= =

Figura 24 – Exemplos de sistemas longitudinais.

- Procurar vãos bem proporcionados: l1 ≈ 0,85 l2 (h variável de 0,65 a 1,0 l2 ).

- Ao adotar h variável prever hmáx nas seções críticas *.

2.1.3. Pontes em treliça, pórtico, arco ou suspensas por cabos – uma abordagem comparativa

Note-se que nos exemplos a seguir todas as estruturas executam o mesmo serviço, isto é,

transportam toda a carga distribuída para os 2 apoios disponíveis. A diferença está na maneira de

transportá-la, cada estrutura, da viga reta à ponte estaiada, o faz à sua maneira.

Tabela 1 – Análise comparativa entre diversos sistemas estruturais.

Viga reta ��

�

4%�'

��$

��$�

��$

�

�

/

Viga poligonal

��$

��$�

17

Viga curva

Equilíbrio nó A:

2

senθplN =

2

cosθplV =

��$

��$�

� θ

Pórtico biarticulado

(H depende da rigidez relativa poste – travessão)

��$

>

0

�

>>0

�

��>0���$�

Arco biarticulado

(Despreza-se a deformação por força normal) Equilíbrio nó A:

θsen2

plN =

h

pl

tg

plH

82

2

==θ

��$

�

>

0>0���$�

�

�7

>

0%�'

���? ���� �� ���)�� *��������� �� �

4%�'� �� >0%�'4� � 0� ���� ������

Treliça

Equilíbrio nó A:

θsen2

plN =

θtg

plT

2=

Cabo – Ponte pênsil

(≡ arco de cabeça para baixo) >0���$�

��$

>

��$

> >

0

�@7���@7

<<�

)�7�@7�

���7

Cabo – Ponte estaiada

θsen

pet =

θtg

pec =

��@7

<<�

>

��$

)�7

��@7 ��@7

>0���$�

>

0

��$

> >�

��

θ

3�� ��������� 4� � �:� 9�75

(Nas pontes pênsil e estaiada os cabos foram admitidos inextensíveis (indeformáveis)).

18

Ponte Pênsil

7

0

�

���������+A�

�$ @7

>��$ �� �$ @��$

0

�

>

�

���$�@7�

)���7

��$

�$

�

�$

�

%�$ '

���

Figura 25 – Esquema estrutural de uma ponte pênsil.

0842

2

=−−= Hhpelpl

M A

888

222plpepl

Hh ≅−=

Como e << l => plpe <<

22 plpe <<<<

Logo:

h

plH

8

2

=

19

Ponte Estaiada

�

�

3�� ��������� 4� � �:� 9�75

��������+A�

���$�@7�)���7

��$ �� �$ @��$ �>

�

�$ @7

>

��$

θ

�$ � �$

�

��

Figura 26 – Esquema estrutural de uma ponte estaiada.

0842

2

=−−= Hhpelpl

M A θsen

pet =

888

222plpepl

Hh ≅−= θtg

pec =

Como e << l: plpe <<

22 plpe <<<<

Logo:

h

plH

8

2

= `

20

Pontes Suspensas por Cabos, Pênseis ou Estaiadas

- Ponte Pênsil

p

parcela suportada parcela suportada pelo cabo pênsil

pela viga de rigidezparcela suportada parcela suportada

Figura 27 – falta legenda!

- Ponte Estaiada

����� �� ��� ��������������� ����������

���� )���� �� �����B������� ����������

! 2

!

2

Figura 28 – Falta legenda!

Observações:

No projeto de pontes em arco, estaiadas ou pênseis, será necessário considerar a deformação

por força normal e os efeitos de 2a. ordem, que não foram considerados aqui.

Esses efeitos são especialmente importantes nas pontes penseis, para cargas não uniformes,

por exemplo, concentradas. Nesses casos o cabo muda de forma, até encontrar a forma funicular do

carregamento. É nessa nova forma que as equações de equilíbrio devem ser escritas.

21

No entanto, os exemplos feitos são muito bons para explicar o comportamento fundamental

dessas obras. Ele é sempre utilizado para um primeiro pré-dimensionamento.

���? ����

*��������� ��� ����������%� ��)��� �� *���� ��� �����=� ������'

=

�

�$ �$ =

Figura 29 – Deformada do cabo na forma funicular.

Exemplos:

Figura 30 – Pontes em pórtico.

22

�� ������ �������

������

����

�

�

�� ������ ��*����

����

�������

%��� ��0�� ��� C�� ����� ������'

Figura 31 – Pontes em arco.

�� ������ �������

����+�� ��?����

�� ������ ��*����

����+�� ��?����

� �

��������� ���?)�� ���� ����+�� *���� ��������� ������

Figura 32 – Pontes em treliça.

23

�� �� ���� ��

�� ������ �� �������� ��� �+�

��� ������

Figura 33 – Ponte estaiada.

�� ������ ��� �+�

�� ��

����� �� ��������

Figura 34 – Ponte pênsil.

Para mais exemplos ver Leonhardt (1979)2.

2.2. Classificação das pontes conforme o método construtivo

2.2.1. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento fixo.

Os tipos mais comuns são três:

��� ������ ��� ������ �

��� ������ ���?���� �

����+��� �� �)����� ��?����� �

Figura 35 – Tipos comuns de cimbramento fixo.

2 Construções de concreto: Princípios básicos da construção de pontes de concreto, vol. 6.

24

Cuidados:

1. Fundação e contraventamento do cimbramento;

2. Contra flechas para compensar recalques ou deformações de vigas e treliças;

3. Cuidados na concretagem - Recalques e deformações devem ocorrer antes do final da

concretagem. Tratar juntas;

4. Cuidados na desforma - Desencunhar do centro para os apoios de cada vão e só após

desmontar o cimbramento;

5. Vistoriar antes, durante e depois da concretagem.

2.2.2. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento móvel.

Figura 36 - Execução, vão por vão, por meio da treliça de escoramento deslizante sobre rolos

dispostos em vigas transversais (Leonhardt, 1979).

Cuidados:

1. Escolher a posição da junta;

2. Influência do método construtivo no cálculo;

3. Cuidado com as interferências que podem impedir o movimento das formas ou da treliça

(Transversinas);

4. Valem os 5 cuidados do item 2.2.1;

5. Tratamento da junta.

25

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Figura 37 - Efeito do método construtivo sobre o diagrama M. (momentos fletores).

O diagrama M da quarta fase é, em princípio, diferente do da viga contínua. Ao longo do

tempo, veremos futuramente, ele tende ao da viga contínua por efeito da fluência.

Verificar, portanto, cada fase construtiva, e a fase final para 2 situações:

1ª) Fase final definida pelo método construtivo. Situação observada no final da construção.

2ª) Fase final com adaptações por fluência. Situação que ocorre alguns anos após a

inauguração.

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II :������ /� *��� �� )���� D���

Figura 38 - Viga contínua com 2 vãos construída em 2 fases, com junta no apoio central.

26

O diagrama I (momento fletor), logo após o fim da construção, depende muito do método

construtivo, enquanto que o diagrama II, ao fim da vida útil, depende bem menos do método

construtivo, pois, devido ao efeito da fluência os esforços tendem aos de viga contínua.

Assim:

8

21lg

M ≅− e

2214

21

,

lgM ≅+

Os carregamentos adicionais, g2 acabamento e q acidental, atuam na viga contínua de 2 vãos,

sem interferência do método construtivo.

2.2.3. Consolos sucessivos moldados in loco

Aplicado pela primeira vez em 1930 no Brasil, para uma ponte de concreto armado (rio do

Peixe, vão de 68m ). Muito usado para obras protendidas no mundo inteiro.

Figura 39 – Balanço sucessivo com treliça de escoramento e fôrmas em balanço deslocável =

veículo de deslocamento de fôrma (Leonhardt, 1979).

27

Figura 40 – Estabilização do balanço: em cima, por meio de engastamento no pilar ou por meio de apoios provisórios, embaixo, através de ancoragem, no paoio extremo do vão adjacente mais curto.

Cuidados:

1. Contra Flecha - As previsões de projeto devem ser aferidas ao longo da obra. Cuidado: o

concreto é solicitado muito novo, de modo que as deformações imediatas e sobretudo

lentas são muito importantes .

2. Tratar juntas - Jatear com água o concreto verde e molhar abundantemente antes da

concretagem seguinte.

3. Influência do método construtivo no cálculo.

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Figura 41 – Efeito da adaptação por fluência sobre o diagrama M (momentos fletores).

28

2.2.4. Consolos sucessivos pré-moldados

Aplicado pela primeira vez em 1952 na França (ponte Choisy-le-Roi sobre o Sena)

Cuidados:

1. Precisão na forma. Uma aduela deve ser a forma da vizinha, considerando as curvas em

planta e em perfil, bem como a superelevação.

2. A junta nesse caso não é atravessada por armadura frouxa. Prover dentes para transmitir

cortante, colar junta e usar protensão completa (isto é, σ sempre de compressão !).

3. Prever canteiro de pré moldados e transporte até o local.

4. Valem os 3 cuidados do item 2.2.3.

Figura 42 - Pont amont du boulevard péripherique.

Figura 43 - Pont de Pierre Bénite.

29

Figura 44 - Viaduct d’Oléron.

Figura 45 - Poutre du Viaduct D’Oleron – Cinematique.

30

Figura 46 - Preparação das Células

Figura 47 - Preparação das células horizontais por axonometria

Regale Profil en Long Regale Devers

31

Figura 48 - Regale d’une cellule de prefabrication

• Modernamente se usam uma série de dentes.

Figura 49 Pont de Chelepikhinsky – Coupe transversale d’un voussoir

32

2.2.5. Vigas pré-moldadas

Figura 50 - Treliça de lançamento (Mathivat, ano).

Alternativas - Guindastes ou guinchos.

��������������������������������C/��������

)������C��������

≤!. 7

∼7.#7

∼7. 77.7#

Figura 51 - Esquema moderno de seção transversal.

Cuidados:

33

1. Limitação dos equipamentos.

Por exemplo: Treliça Sicet (mais comum no Brasil)

Pmáx ~ 120 tf (~ 42m de vão)

largura máxima ~ 1,20m

2. Prever canteiro de pré-moldados e transporte até o local.

3. Precisão de forma.

4. Influência do método construtivo no cálculo.

Por exemplo: Quando a laje é concretada, o peso próprio é suportado integralmente pelas

vigas pré-moldadas, sem logicamente, a contribuição da laje.

5. Verificar a flexão lateral da viga causada por pequena inclinação (da ordem de 5°)

impossível de se evitar no transporte.

Os pontos de pega devem estar acima do C.G. da viga.

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8&

��?)�

8&

Figura 52 – Estabilidade em função do ponto de içamento.

Nota - Se a viga for excessivamente esbelta pode ser necessário verificar a “flambagem

lateral”, melhor dizendo, a flexão lateral com efeito de segunda ordem.

6. Tratar as juntas como no item 2.2.3, especialmente aquelas entre concreto pré-moldado

(viga ou placa) e concreto moldado in loco (complementação da laje)

2.2.6. Lançamentos progressivos

Aplicado pela primeira vez em 1962, na ponte sobre o rio Ager, na Áustria. A primeira

aplicação no Brasil ocorreu em 1978, na passarela de Presidente Altino, sobre os trilhos da Fepasa.

34

Figura 53 - O princípio do processo de execução por deslocamentos progressivos: a fabricação do segmento, com comprimento igual ao comprimento de avanço, é feita atrás do encontro; o avanço é

feito progressivamente, sem apoio, de pilar a pilar.

Figura 54 – Cortes e croqui do processo de execução por lançamentos progressivos.

35

Cuidados:

1. Precisão de nivelamento e de forma de modo a evitar que erros de geometria provoquem

esforços adicionais inaceitáveis (equivalentes aos gerados por recalques de apoio ).

2. Influência do método construtivo no cálculo. Como a estrutura é autolançada inclusive

com o “bico” em balanço, é essencial verificar as fases construtivas. Note-se que ao longo

do lançamento uma mesma seção passa ora pelo Mmáx, ora pelo Mmín, o que exige dela

capacidade de suportá-los.

3. Tratar as juntas como no item 2.2.3.

4. Cuidado com as interferências que podem impedir o movimento das formas.

Figura 55 – Canteiro e Seção Típicos para as Obras sobre a Represa de 3 Irmãos.

36

Figura 56 – Etapas de concretagem da seção celular.

Figura 57 - Berço de Deslizamento (Telefone) e Guia Lateral

Figura 58 – Seção longitudinal.

Figura 59 – Emenda Provisória – Junta de Dilatação Futura

37

2.2.7. Pontes estaiadas

O método construtivo que melhor se adapta às obras estaiadas é o de consolos sucessivos

(pré moldados ou não) e por isso é ele o método mais utilizado.

A cada nova aduela os estais correspondentes são protendidos de forma a suportar todo o seu

peso. Assim, ao final da construção e sob as cargas permanentes, o tabuleiro fica quase

exclusivamente submetido à compressão.

1) Construção do balanço lateral e do mastro

2) Construção do balanço principal até sua união com o lateral.

3) Prolongamento do consolo do vão principal.

Figura 60 – Ponte Brotonne, fases de construção (Mathivat, 1979).

38

2.2.8. Pontes pênseis

As pontes pênseis são usualmente construídas a partir dos cabos que são usados para

transporte de peças e equipamentos como um “Teleférico”. O Tabuleiro, construído em segmentos

pré-moldados, é dependurado, segmento por segmento, nos cabos. A continuidade do Tabuleiro só é

promovida após o lançamento de todos os segmentos.

Figura 61 – Estágios de construção de uma ponte pênsil (Gimsing, 1983).

1ª etapa - Construção dos mastros, pilares principais e blocos de ancoragem.

2ª etapa - Instalação dos cabos principais.

3ª etapa - Inicio da instalação da vigas enrijecedora do centro para o meio do vão. É

quando o peso da viga é aplicado nos cabos principais ocasionando grandes

deslocamentos e as juntas entre as seções da viga são, por esta razão, abertas

para evitar momentos excessivos nas seções.

4ª etapa - Instalação das vigas enrijecedoras nos vão laterais para reduzir os

deslocamentos horizontais no topo dos mastros.

39

5ª etapa - Colocação das peças de fechamento das vigas como os mastros.

6ª etapa - Fechamento de todas as juntas nas vigas enrijecedoras. Atualmente, o

fechamento dessas juntas normalmente começa nas etapas 4 e 5, quando são

ligadas as seções e coloadas na sua posição correta.

2.2.9. Associação de dois ou mais métodos construtivos

Um exemplo é a ponte em arco representada na figura 62.

Figura 62 - Construção de Ponte em Arco associando consolos sussecivos e estais (Mathivat, 1979).

2.3. Classificação das pontes conforme os materiais utilizados nas suas construções

2.3.1. Pontes de concreto

- Concreto Armado (fck 20 a 25 MPa);

- Concreto Protendido (fck 25 a 40 MPa);

- Concreto Leve (γ ≅1.5 tf/m³ << 2.5 tf/m³);

- Concreto de Alta Resistência (fck 40 a 100MPa).

Todos os métodos construtivos se aplicam bem às obras de concreto. Ao nível dos tipos

estruturais estão em desuso as treliças e raramente se usam as pontes pênseis com tabuleiros de

concreto, a não ser em passarelas.

40

As grandes vantagens do concreto são a durabilidade (alguma manutenção é sempre

necessária), a resistência ao fogo, à compressão e a liberdade de escolha da forma.

As desvantagens são a falta de resistência à tração, a retração e a fluência.

As treliças estão começando a ser novamente utilizadas com o advento do CAD – concreto

de alto desempenho.

2.3.2. Pontes de aço e mista aço - concreto

Aço-carbono A36 (fyk~250MPa)

Aço de baixa liga CORTEM

SAC (fyk~350MPa)

COS-AR-COR

Nota: Para efeito de comparação lembrar que:

� Aço CA - fyk varia de 250 a 600 MPa;

� Aço CP - fyk varia de 800 a 1700 MPa.

Todos os tipos estruturais se adaptam bem ao aço. Ao nível dos métodos construtivos, só

não se aplicam aqueles que prevêem moldagem in loco, sobre cimbramento fixo ou móvel ou em

consolos sucessivos, É interessante observar, na figura a seguir, o método construtivo adotado para

o vão central da ponte Rio-Niteroi.

As grandes vantagens do aço ficam por sua grande resistência à compressão ou à tração e

por conseqüência de sua leveza - o peso próprio resulta relativamente pequeno.

As desvantagens se reduzem às dificuldades com durabilidade, resistência ao fogo e aos

problemas de estabilidade gerados pelas pequenas espessuras exigidas.

Exemplos:

Treliças

Arcos

Vigas de alma cheias: Grelhas

Caixões

Pontes Pênseis e Estaiadas

Vigas mista aço-concreto: Grelhas

41

Caixões

Exemplos:

Figura 63 - Vãos principais centrais em estruturas metálicas e vãos adjacentes em concreto

protendido (Pfeil, 1985).

A seguir será mostrado a seqüência de montagem dos elementos metálicos pré-fabricados:

a) Segmento central (3) lançado ao mar após ser deslizado sobre o pier (1). Segmentos laterais (4) fabricados sobre escoramento (2);

b) Segmento lateral (4) apoiado no segmento central flutuante (3) se dirige para o anel de

içamneto (5);

42

c) Içamento dos segmentos laterais;

d) Inicio de içamento do segmento central (3);

e) O segmento central (3) apoiado nas colunas de içamento (7), as quais foram montadas

pela torre (6). Notam-se os cabos de amarração reguláveis (8);

43

f) Segmento central na fase final de içamento;

g) Montagem dos vãos laterais de 44 m (9) com auxílio de torres triangulares (10);

Figura 64 - Seqüência de montagem dos elementos metálicos pré-fabricados.

A figura 65 mostra seções transversais das estruturas metálicas e a figura 66 um exmplo de

de ponte em grelha mista.

44

Figura 65 – Seções transversais das estruturas metálicas: a) seção nos trechos com mísulas; seção

nos trechos centrais. Legenda:

1. palca superior; 7. placa de fundo;

2. enrijecedores longitudinais; 8. enrijecedor longitudional da placa de fundo;

3. transversina; 9. enrujecedor transversal da placa de fundo;

4. chapa da alma das vigas; 10, 11. trilhos para carro de inspeção;

5. enrijecedor longitudonal da alma; 12. revestimento de asfalt-epoxi.

6. enrijecedor transversal da alma;

45

Estrutura Metálica

Figura 66 - Ponte em grelha. Conforme Usimec.

2.3.3. Pontes de madeira

Madeiras estruturais:

- Aroeira do Sertão fwc ~ 75 MPa

- Jatobá fwc ~ 80 MPa

- Gonçalo Alves fwc ~ 65 MPa

- Ipê Roxo fwc ~ 70 MPa

Em princípio todos os tipos estruturais discutidos se adaptam bem às pontes de madeira.

Quanto aos métodos construtivos vale a mesma observação feita às pontes de aço.

46

A grande vantagem da madeira está na economia quando ela está disponível, próximo da

obra, em qualidade e quantidade aceitáveis.

As desvantagens ficam por conta das dificuldades com durabilidade e resistência ao fogo

(bastante diminuídas com os tratamentos modernos), da anisotropia e da grande variabilidade

(reduzidas com as técnicas modernas de construção com pedaços pequenos e classificados de

madeira).

A anisotropia e desuniformidade se caracterizam principalmente por:

- A diferença de resistência e rigidez da direção das fibras para a direção normal a elas

(resistência ~ 5 vezes menor e rigidez ~10 vezes menor na normal às fibras);

- Variação das características do eixo para a periferia do tronco (o cerne, próximo do eixo, é

muito melhor que o albume, próximo da casca);

- Os defeitos da madeira: nós, fendas, furos, curvatura das fibras, etc.

Exemplos: Treliças

Arcos

Vigas Armadas

Vigas Maciças: Lamelas coladas

Tábuas pregadas

Pontes Pênseis e Estaiadas

2.4. Estudo de alguns tipos estruturais, comportamento estrutural e teorias de cálculo

2.4.1. Estruturas de superfície, uma introdução

São estruturas que têm uma de suas dimensões bem menor que as outras duas. Ela é

chamada de espessura.

A superfície média é a definida a meia espessura, perpendicularmente à ela.

As estruturas de superfície são classificadas em:

- Placa: Estrutura de superfície média plana carregada perpendicularmente à ela. As placas

de concreto armado são chamadas lajes.

- Chapa: Estruturas de superfície média plana carregada paralelamente a ela. As chapas de

concreto armado são chamadas vigas parede.

- Casca: Estruturas de superfície média curva.

47

PLACA

LAJE

CASCA

(cúpula) Figura 67 – Exemplos de estruturas de superfície.

2.4.2. Lajes

As lajes são especialmente importantes porque aparecem em praticamente todas as pontes;

não apenas nas pontes em laje, onde constituem toda a superestrutura, mas também nas pontes em

viga, onde constituem o tabuleiro que interliga as vigas.

3���� �� ���

� )����

8���,�

���� ��� �� �����

Figura 68 - Exemplos de Aplicação de Lajes.

48

2.4.2.1. Comportamento estrutural das lajes

Figura 69 – Laje retangular solicitada por uma carga concentrada P.

Nas lajes retangulares em que 1≤ ly/lx< 2 (lx ≤ ly) é importante o trabalho bidimensional.

A carga P pode caminhar para as vigas (pilares e fundações) através de dois caminhos, a

direção x e a y. Para determinar as parcelas de P que caminham nas direções x e y (Px e Py

respectivamente) é preciso resolver o problema hiperestático correspondente.

2.4.2.1.1. Laje retangular simplesmente apoiada

A. Teoria das Grelhas

Considere-se uma laje simplesmente apoiada nos 4 lados, carregada uniformemente (p).

Uma solução aproximada desse problema pode ser obtida considerando a laje como 2

conjuntos de faixas entrelaçadas, de largura 1 m , nas direções x e y.

Figura 70 – Laje simplesmente apoiada nos 4 lados.

49

��

��

�

=

===

espessurah

hIIyIx

12

3

��

��

�

===

+=

idadecompatibil 384

5

384

.5

equilíbrio p44

EI

pylyfy

EI

lxpxfx

pypy

plylx

lxpyp

lylx

lypx

ly

lxpxpy

44

4

44

4

4

4

e +

=+

=→���

�

�=

8 .

8.

8

. 2

4 4

42

44

42 lyp

lylx

lxme

lxp

lylx

lylxpxm ymxm ��

�

�

�

+=��

�

�

�

+==

mx é o momento fletor no meio do vão da faixa central de direção x. Ele é medido em

KNm/m (ou tfm/m ou kgfcm/cm), uma vez que a faixa tem 1 m de largura. Uma faixa de largura b é

solicitada pelo momento bmx = Mx.

1m b

m Mx x

Figura 71 – Momento fletor em uma faixa.

A título de exemplo, considere-se o caso lx=ly=l

px = py = 1/2p => mxm = mym = pl2/16

Nota1: Observando com atenção nota-se que a Teoria das Grelhas faz 2 hipóteses

simplificadoras (em relação à Resistência dos Materiais) adicionais.

1a. Desprezou-se a rigidez à torção das faixas.

��������5 8�����5

Figura 72 – Flechas admitidas pela teoria das grelhas e flechas reais.

50

Na realidade, a continuidade da laje impõe às faixas torção significativa, que foi

desprezada.

2a. Admitiu-se px e py uniformemente distribuídas, o que não é verdadeiro.

����F

�������� ���

*GF *G

���

�GF�G

Figura 73 – Carregamento admitido e carregamento real.

Para que px seja uniforme é preciso que todas as faixas y ao longo do vão lx suportem a

parcela py.

Isso não é na realidade possível.

Embora seja possível para as faixas y centrais, não é para as laterais, próximas dos apoios

da faixa x. Nessas faixas, a flecha fy’ fica limitada pela linha elástica da faixa x.

Como fy’ < fy => py’ < py

No apoio fy’=0 e py’=0 ou px’=p

Nota2: A Teoria das Grelhas faz ainda uma terceira hipótese. Ao cortar a laje em uma série

de faixas ela corta a continuidade transversal às mesmas, tratando-as como barras.

Embora para as barras o efeito do coeficiente de Poisson seja desprezível, para as placas

não é. Considere-se, por exemplo, uma dessas faixas, uma faixa x.

G

��∆

�0

� !�

�

G

! 2 1

! 12

(ν=0)

∆�G

(ν=0)

��0

Figura 74 – Efeito do coeficiente de Poisson na faixa x.

51

Por definição de ν :

xy rr��

�

�−=��

�

� 11ν

ν

, pois εy = - ν.εx

Como:

1. Ix’ = Iy’= I’ (alterados por ν)

2. Nas placas apoiadas nos 4 lados as arestas y impedem a curvatura adicional (1/r)yν

Desenvolve-se então ∆my tal que:

�

���

���

�

�−−=��

�

�∆xy rr

11ν

xoxy mmm .. νν ≅=∆

xoyoy mmm .ν+≅

ou:

yoxox mmm .ν+≅

Como para o concreto o coeficiente de Poisson é da ordem de 0.2, seu efeito é

considerável.

Observação: O coeficiente de Poisson também enrijece a placa de forma que:

)1(12)1('

2

3

2 νν −=

−=

hII

Para levar em conta esses 3 efeitos é conveniente uma nova teoria. Essa nova teoria é a

Teoria das Placas.

B. Teoria das Placas

Em essência a Teoria da Placas corresponde à extensão da R.M. ao comportamento

bidimensional da placa, considerando a contribuição do coeficiente de Poisson.

Ela admite:

- Material homogêneo, isótropo e de comportamento linear ( Lei de Hooke)

- h << lx,ly

- Tensões normais à superfície média desprezíveis

- Retas perpendiculares à superfície média permanecem retas e normais à mesma após

deformação (equivale à hipótese de Navier)

- Deslocamentos pequenos (δ<< h)

- A equação fundamental dessa teoria (equação de Lagrange) pode ser escrita como segue:

52

Considere-se o equilíbrio de um elemento de placa:

dx

FORÇAS

p.dx.dyvx.dx

(vx+dvx).dy

(vx+dvy).dx

vx.dy

dy

xy

(myx+dmyx)dx

(mx+dmx)dy

dxy

x

dy

mx.dx

(my+dmy)dx

my.dx

myx.dx

mxy.dy (mxy+dmxy)dyτxy

yxτ

MOMENTOS

Figura 75 – Equilíbrio de um elemento de placa.

τxy = - τyx � mxy = - myx!

Seja w(x,y) a função que descreve o deslocamento vertical de um ponto (x,y).

Por analogia com a R.M., tem-se:

Viga EI

M

dx

wd−=

2

2

Placa

3.....................)1(

2..............

1..............

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ν

ν

ν

−=

∂∂∂

−=∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

D

m

yx

w

D

m

x

w

y

w

D

m

y

w

x

w

xy

y

x

Rotação D(1-ν) ≈ G It

de Torção

53

Sendo que EIEh

D ≡−

=)1(12 2

3

ν

Do equilíbrio do elemento de placa, tem-se:

(Lembrando que: x

x

x dmdxm

=∂

∂)

Momentos y: 4............y

xy

x

x

x

mmv

∂

∂−

∂

∂=

Momentos x: 5............x

xy

y

y

y

mmv

∂

∂−

∂

∂=

Forças verticais: 6..........................pvv

y

y

x

x −=∂

∂−

∂

∂

(também análogas à R.M.)

Substituindo-se 1 a 5 em 6 tem-se a equação de Lagrange:

D

P

y

w

yx

w

x

w=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂4

4

22

4

4

4

..2

flexão x torção flexão y

A integração dessa equação diferencial é quase sempre impossível. Por isso a solução se

obtém desenvolvendo w e p em séries de Fourier.

No caso considerado, de placa simplesmente apoiada nos quatro lados e uniformemente

carregada, tem-se:

Condições de contorno: ��

��

�

=

=

0

0

m

e

w

nos quatro lados

�∞

=�∞

=

ππ

π=

1m 1n ly

y..nsen.

lx

x..msen

n.m.2p16

)y,x(p

�∞

=�∞

=��

�

�

�+

ππ

π=

1m 1n

2ly

2n2lx

2mn.m

ly

y.nsen.

lx

x.msen

D.6p16

)y,x(w

Como o uso dessa solução é pouco prática, prepararam-se tabelas em função da relação

ly/lx e do coeficiente de Poisson (Ver tabelas de Czerny).

54

- Relação entre mx, my e mxy - Analogia com o estado duplo de tensões. (Estado Duplo

de Flexão).

mxy

mt

mxymx

my

m

x

y

αx

y

m

mt

mymx

m1 m2

x

y

mxy

myx

Polo

Figura 76 - Analogia com o estado duplo de tensões. (Estado Duplo de Flexão).

m - análogo a σ

mt - análogo a τ

m1 e m2 - momentos fletores principais.

� Momentos principais em uma placa simplesmente apoiada e uniformemente carregada:

ly/lx = 1

1 - equivale a estado hidrostático

2 - equivale a cisalhamento puro

Trações por:

====== momentos principais positivos

- - - - - - momentos principais negativos

-.-.-.-.-.- mudança de sinal

ly/lx = 2

55

� Levantamento de canto – momentos volventes (torsores)

P

Canto Livre

Canto presoApoio fictício

m1(-)

m2(+)

mx=my

m2

m1

ly/lx=1

0,0368p.lx

lx

2

-m1=

m2=0,0

463.p

.lx2

Reações de apoio

Real T. das Placas

R

Evitam o levantamento docanto e provocam osmomentos torçores(*)

(*) Desprezada a Torção, R resulta nula! Figura 77 - Valores dos momentos principais m1 e m2 e dos momentos mx e my na diagonal. E

reações de apoio.

56

C. Comparação dos resultados

Teoria Torção ν ly/lx=1 ly/lx=2

αx αy αx αy

TG não 0 16,0 16,0 8,50 34,0

TP1 não 0 13,1 13,1 7,10 44,80

TP2 sim 0 27,2 27,2 10,40 40,30

TP3 sim 0,2 22,7 22,7 9,90 23,50

TP4 sim 0,3 20,9 20,9 9,80 21,60

TG - Teoria das grelhas

TP - Teoria das placas

mxm = p.lx2/αx

mym = p.ly2/αy

Note-se a importância da torção; ela transporta metade das cargas, reduzindo os momentos

fletores à metade (no caso ly/lx = 1). Note-se também a importância do coeficiente de Poisson.

2.4.2.1.2. Outros casos a considerar

A. Lajes retangulares com outras condições de contorno

Tudo o que foi desenvolvido para a laje apoiada nos 4 lados pode ser estendido a outras

condições de contorno.

B. Lajes sob Carga concentrada

Embora tenha sido possível resolver, através da Resistência dos Materiais, vigas sob cargas

concentradas, não é possível fazê-lo no caso de placas; os esforços solicitantes locais seriam

“infinitos”. Para evitar esses esforços locais as cargas “concentradas” devem ser distribuídas em

superfícies suficientemente grandes. Na verdade, qualquer que seja a estrutura, inclusive nas vigas,

as cargas “concentradas” devem ser distribuídas em superfícies tais que os esforços locais sejam

aceitáveis.

57

Os esforços solicitantes em placas, decorrentes de cargas “concentradas” dependem

essencialmente da pequena superfície onde se distribuem, referida à superfície média da placa. Ver

figura a seguir.

α

P

b

h

a

b+h

a+h

= 45º

superfície média

Figura 78 – Área de distribuição das cargas “concentradas”.

A carga P distribuída na superfície a x b da face equivale à mesma carga distribuída em

(a+h)(b+h) na superfície média.

Resolver a equação de Lagrange para esses casos é ainda mais difícil. É conveniente

substituir as séries de Fouries pelo Método das Diferenças Finitas ou, mais modernamente o

Métodos dos Elementos Finitos.

Para as aplicações práticas desenvolveram-se superfícies de influência como as de Rüsch

ou de Homberg (ver cópia anexa).

No caso de lajes de pontes Rüsch transformou essas superfícies em tabelas muito práticas

que serão discutidas nas aulas de projeto.

58

Figura 79 – Superfície de influência para momentos my no meio de uma placa retangular com três lados apoiados.

59

Figura 80 – Superfície de influência para momentos mx no centro do apoio de uma placa retangular com três lados apoiados.

60

Figura 81 – Superfície de influência para momentos mx no meio do vão.

61

Figura 82 – Superfícies de influência para momentos mx no aopio.

62

Figura 83 – Superfície de influência para momentos my no meio do vão.

63

2.4.3. Pontes em vigas – múltiplas (grelhas) ou celulares (caixões)

2.4.3.1. Análise da torção

2.4.3.1.1. Barras de seção circular maciça ou vazada

A. Hipóteses básicas

1. A seção transversal permanece plana e perpendicular ao eixo da barra após deformação

2. A deformação angular ou distorção γ varia linearmente do eixo para a periferia da barra

(ela é constante na superfície cilíndrica definida por r).

∆ x

Tγmax maxδ

GR

rmaxγ

γ

Figura 84 – Deformação angular.

x∆=

δγ

x

máx

máx ∆=

δγ r

R

maxγγ =

3. É válida a lei de Hooke : τ= Gγ

4. Os deslocamentos são pequenos

B. Cálculo das tensões tangenciais de torção

Como γ varia linearmente, segundo a lei de Hooke o mesmo vale para τ.

rR

maxγγ =

64

τ=τmáx r � τ=τ (r) R

Do equilíbrio:

p

máx

s

máx

s

máx

s

IR

dsrR

dsrR

rdsTτττ

τ ��� ==== 22

Ip - momento polar de inércia

para seção circular maciça πR4

2

para seção circular vazada π(Re4-Ri4) 2

τmáx = tW

T R =

IpT

wt - modulo de resistência à torção

wt = Ip/R

C. Deformação de torção

x

maxγδmax

Tdθ

d

x

Figura 85 – Deformação de torção

dx

máx

máx

δγ =

Rd máxδ

θ =

�

dxR

d máxγθ =

como G

maxmax

τγ =

px IG

T

d

d

.=

θ

65

�=θ xd.pI.G

T)x(

Caso T e Ip sejam constantes:

1cx.)x( +=θpG.I

T

θ

fb

l

Ip,G

Figura 86 – Viga engastada a torção.

T = f.b

θ (0) = C1 = 0

lIG

Tl

p.)( =θ

2.4.3.1.2. Barras de seção retangular maciça

Nesse caso as hipóteses 1 e 2 não são mais válidas.

As seções transversais empenam deixando de ser planas

A distribuição das distorções γ não é linear.

τmax

Gτ ττ1

2

τ = (r, )τ θ

Figura 87 – Tensões de cisalhamento

Como as superfícies externas são descarregadas: τ1 = τ2 = τ =0

66

Sem essas 2 hipóteses a RM não é capaz de resolver o problema de torção de seções

retangulares. Saint Venant, 1853, usando a TE, encontrou a solução desse problema no caso de

seção qualquer sob torção uniforme (T constante, sem restrição ao empenamento).

Os resultados para seção retangular são:

τmax (meio lado maior) = T/wt

2bc.tw

tI.G

T

dx

d

α=

=θ

b>=c

c

3bc.tI β=

b/c 1,0 1,5 2,0 3,0 6,0 10,0 ∞

α 0,208 0,231 0,246 0,267 0,299 0,312 1/3

β 0,141 0,196 0,229 0,263 0,299 0,312 1/3

2.4.3.1.3. Analogia de membrana (Prandtl – 1903)

A analogia formal das equações que regem a torção uniforme e a deformação de uma

membrana sob pressão uniforme permite dizer que:

1. A tensão de cisalhamento em P é proporcional à inclinação na membrana em P.

2. A direção de τ é definida pela normal à maior declive da membrana em P.

3. O momento de torção resistido pela peça é proporcional ao volume sob a membrana.

Seção elíptica Seção circular vazada

Figura 88 – Analogia de membrana.

67

pτmτ

V1

mτ

2V

mτ

V3

Seção retangularmaciça

Seção delgadafechada aberta

Seção delgada

Figura 89 – Comparação dos momentos fletores resistidos por três tipos de seção.

V1 >V2 >>V3 � Τ1 >Τ2 >>Τ3�

2.4.3.1.4. Seções vazadas com dois eixos de simetria

G

dx

∆s1F

2F

3F

4F

τ1

τ2

τ2

1τ t1

2t

Figura 90 – Seção vazada com dois eixos de simetria submetidas a torção.

Fazendo o equilíbrio: F1 = F3 F4 = F2

qtt

dxtdxt

==

=

1122

1122

..

....

ττ

ττ

q = fluxo de torção

AqdsbqbdsqT

A

2....

2

=== � � ��� ∴ A - área limitada pela linha média da seção:

G

bq.ds

ds

r

A

Figura 91 – Área limitada pela linha média

68

Conclusões:

� O fluxo de torção q = τ.t é constante ao longo de todo o contorno da seção;

� T = q. 2A ∴ tA

T

t

q

.2==τ

� Da Teoria da Elasticidade ou pelos Teoremas de Energia:

�

=

t

ds

2A4It

tIG

T

dx

d

.=

θ

Essas expressões correspondem à chamada Torção de Bredt, aplicável a seções vazadas.

Elas admitem as seguintes hipóteses:

1. As tensões τ não variam ao longo da espessura da parede da seção;

2. Lei de Hooke;

3. Deslocamento pequenos;

4. Torção uniforme, isto é, T constante ao longo da barra e empenamento livre.

Em função da hipótese 1, elas são uma boa solução para perfis delgados, mas não para

perfis de parede espessa.

2.4.3.1.5. Torção não uniforme

O que foi exposto nos itens 2.4.3.1.2 a 2.4.3.1.4 só vale, como foi dito, se a torção for

uniforme, isto é, se T for constante ao longo da barra e o empenamento livre.

Caso isso não ocorra a torção é dita não uniforme e essas soluções não são, em princípio,

válidas.

Na verdade, para seções maciças ou vazadas elas ainda podem se aplicadas sem que se

façam erros importantes. Já para as seções abertas, sobretudo as de parede fina, isso não pode ser

dito, é importante considerar a torção não uniforme.

Para visualizar melhor esse problema considere-se o perfil I da figura 92, solicitado à

torção.

l

H

hT=H.h

Figura 92 – Perfil I solicitado à torção.

69

A seção I facilita a visualização dos 2 sistemas estruturais capazes de transportar o

momento T, da extremidade livre à extremidade engastada.

O primeiro desses sistemas corresponde à Torção Uniforme ou de Saint-Vernanr. Nele, a

torção desenvolve na seção transversal apenas tensões tangenciais. As tensões normais são nulas

uma vez que se admitem as seções livres para se empenarem.

O segundo desses sistemas corresponde à flexão diferenciada das mesas. Nele a torção

desenvolve tensões normais e tangenciais na seção transversal. Para isso é essencial que existam

restrições ao empenamento das seções.

Entende-se aqui por empenamento os deslocamentos que tendem a tornar a seção

transversal não plana após o carregamento.

É interessante notar que é possível definir condições particulares onde só um desses

sistemas trabalha. Se eliminarmos, por exemplo, os engastamentos da extremidade esquerda, o

segundo sistema perde completamente a rigidez, fica hipostático, de modo que toda a torção é

suportada pelo primeiro. Tem-se um problema de torção Uniforme.

Analogamente é possível eliminar a rigidez do primeiro sistema desligando as mesas das

almas. Nessas circunstâncias nenhuma das partes da seção gira e, portanto, nenhuma Torção de

Saint-Venant é gerada, de modo que toda torção é suportada por flexão diferenciada das mesas. Diz-

se que se tem um problema de Flexo-Torção.

Num problema real, onde nenhuma das 2 condições extremas acima ocorre, tem-se um

problema de Torção Mista. Nesse problema o momento total T se subdividirá pelos 2 sistemas

segundo as suas rigidezes. O mais rígido transportará uma maior parcela de T.

70

TT

+u

-u

+u

-u

+u

-u

+u

-u

θu

+u

-u

+u

-u

b) Planta da deformada da mesa superior

a) Perspectiva da deformada

Figura 93 – Torção não uniforme do perfil I (eliminando o engastamento).

b) Planta da deformada da mesa superior

T

θw

a) Perspectiva da deformada

Figura 94 - Flexo-Torção do perfil I (eliminada a alma)

71

T =Tu

τtu

Tensões na torção uniforme Tensões na flexo-torção

twτ

T =Tw

(cte. ao longo da espessura e nulo na alma)

Figura 95 - Tensões tangenciais.

τtuτ tw

+

+-

-

σσσσtu (nulo) σσσσtw (cte. ao longo da espessura e nulo na alma)

Figura 96 - tensões normais

A solução desses problemas hiperestático exige que se escrevam 4 equações:

- Equações de equilíbrio:

T = Tu + Tw qualquer (x) (1)

Numa seção qualquer S(x) o momento de torção T é obtido pela soma dos momentos de

torção uniforme Tu e de flexo-torção Tw.

- Equações de compatibilidade:

wu θθθ == qualquer (x) (2)

Numa seção S(x) a rotação θ em torno de x é a mesma para os 2 sistemas estruturais.

- Equações derivadas das constitutivas:

72

)./( tuuu IGTf=θ

)./( wwww IETf=θ

Essas equações formam um sistema determinado de 4 equações a 4 incógnitas, que são: Tu

, Tw , θu e θw .

Iw é o momento de inércia à flexo-torção, cuja expressão para perfil I é dada a seguir.

A solução completa desse problema é difícil, mas é fácil obter uma solução aproximada

que permite ter uma idéia de qual dos sistemas é mais importante, facilitando a visualização do

problema físico.

Essa solução aproximada corresponde a escrever a equação de compatibilidade apenas na

extremidade livre. Assim:

t

u

uIG

lTl

.

.)( =θ

2/)(

hl w

w

δθ =

m

w

wEI

lH

3

. 3=δ

onde: 12/.

/3

mmm

ww

btI

hTH

=

=

m

w

t

u

EIh

lT

IG

lT2

3

3

.2

.

.=

conforme Saint-Venant: �=3

. 3ii

t

tbI

Por definição, o momento de inércia à flexo-torção de um perfil I com dois eixos de

simetria é dado por:

2

. 2hI

I m

w =

logo:

2.3

.l

EI

IG

T

T

w

t

w

u ==α

Quando α > 10, a torção uniforme faz praticamente todo o serviço. A flexo-torção pode ser

desprezada. É o caso das seções celulares.

Se α < 0,1 , a flexo-torção transporta praticamente toda a carga. A torção uniforme pode

ser desprezada. É o caso dos perfis delgados abertos.

Se 0,1 < α < 10, é preciso considerar a torção mista, com a solução correta.

73

NOTA: essa visão de flexo-torção permite justificar com clareza os critérios usuais para

cálculo das pontes em duas vigas.

Considere-se inicialmente o mesmo perfil I em balanço, mas recebendo agora cargas

laterais. Despreze-se a torção uniforme

h

Pe

P

P/2 P/2 -P.e/hP.e/h

P.e

+

RdRe

Figura 97 – Seção H submetida à carga excêntrica.

)2

1(

h

ePRe +=

)2

1(

h

ePRd −=

Note-se que esses dois valores correspondem exatamente às reações de apoio de uma viga

isostática de vão h, recebendo a carga P excêntrica de e.

eP

h

l .Ri e l .Ri d

Figura 98 – Linha de influência de reação nas almas esquerda e direira.

��

�

� +=��

�

� +==h

ePPe

h

hPR ee 2

1..

2

1.η

��

�

�−=�

�

�

�−=η=

h

e

2

1.PP.e

2

h

h

1P.ddR

Essa conclusão permite dizer que calcular pontes em duas vigas considerando para a linha

de influência de distribuição transversal, a reta 0/1, corresponde apenas a desprezar a torção

uniforme, coisa que é em geral aceitável, podendo inclusive ser verificada através do coeficiente α.

74

(cuidado que a expressão de α varia conforme as condições de contorno da barra: em balanço,

biapoiada, contínua, etc.).

ba a

1 0-b/a

a+ba1

Figura 99 – Linha de influência transversal.

Pi

l

P

1

Figura 100 – Carga sobre a viga esquerda.

Pi (viga esquerda) = P

Pi (viga direita) = 0

Mmax (viga esquerda) = P.l/4

- --+

+

mov.

mov.

Figura 101 - Diagrama σ (meio do vão).

2.4.3.1.6. Centro de torção ou cisalhamento

75

S

z

y

xG

G h

S

b

f1

1f

f2τz

yzτ

Vz= P

Pa

�=A

dsef ..τ y

yz

Ie

SMV

.

..=τ

P

G x

z

yf1

f1f2

C

P

ca

Figura 102 – Exemplo do perfil C.

Do equilíbrio do elemento:

h: f1 – f1 = 0

v: P – f2 = 0

MGx = Pzero - f1h - f2.a ≠ 0 ?

MCx´ = Pzero - f1h + f2.c = 0 � 2

1

f

hfc =

Assim, as tensões τ� decorrentes da flexão simples, ou seja, a própria flexão simples,

ocorre quando P é aplicada em C (Centro de cisalhamento) e não em G.

Como conseqüência, os momentos de torção devem ser calculados em relação a C, e não a

G.

Caso P esteja excêntrica de d em relação a C, as tensões tangenciais resultarão da

76

composição τVz + τT ( T = P.d)

Por isso C também é chamado Centro de Torção.

Assim:

yI.4

2h2b.e

P.yI.4

2h.2b.e.P

2f

h1fc

yI.4

h2b.e.Pb.e

yI.e

2/h.e.b.P.

2

1

yI.e

ySM.P.

2

1

Ads.e.1f

P2f

===

===� τ=

=

e x b x

G

C

C

GC G G = C

2 eixos de simetria

Figura 103 – Centro de torção de algumas seções.

2.4.3.2. Estruturas em viga T única

Estas estruturas são muito comuns nas passarelas de pedestres.

+a-a

P e

η

flexão

=+e

=1 = cte

torção

η

P

Pe

Figura 104 – Viga em seção T.

77

- A carga P centrada é transportada aos apoios por flexão.

- O momento Pe o é por torção uniforme. A flexo-torção nesse caso é usualmente

desprezível.

2.4.3.3. Pontes em duas vigas

- Já foram estudadas anteriormente

2.4.3.4. Pontes em 3 ou mais vigas (Grelhas)

Existem muitas soluções para o problema das grelhas de ponte. A mais simples é aquela

devida a Courbon/Engesser que será apresentada a seguir. Outras soluções devem ser lembradas,

como, por exemplo, aquelas devidas a Leonhardt, Guyon/Massonet/Bares, ao prof. Ferraz, a

Fauchart, etc. Dentre elas será apresentada apenas a última, que é ao mesmo tempo simples e

precisa.

As pontes em vigas múltiplas foram inicialmente providas de transversinas bastante rígidas

com o objetivo de bem distribuir as cargas pelas longarinas e se constituírem nas grelhas.

Posteriormente se verificou que as lajes usuais dessas pontes tinham rigidez suficiente para

garantir uma boa distribuição transversal o que sugeriu a eliminação das transversinas

intermediárias. Essa solução tem sido usada atualmente, especialmente quando as vigas são pré

moldadas, mas, é claro, a armadura da laje deve ser reforçada, com atenção especial para os

problemas de fadiga.

Para o cálculo das grelhas com transversinas muito rígidas propõe-se o processo de

Courbon/ Engesser e para o caso em que elas são flexíveis ou mesmo não existem propõe-se o

processo de Fauchart.

2.4.3.4.1. Processo de Courbon/Engesser

Esse processo se aplica ao caso usual de grelhas de ponte onde são respeitadas as seguintes

condições:

• A largura da obra é menor que metade do vão da mesma

• A altura das transversinas é da ordem de grandeza daquela das longarinas

• As espessuras das longarinas e das lajes são pequenas

Essas condições permitem formular as seguintes hipóteses:

78

1. As transversinas são infinitamente rígidas.

2. A torção uniforme é desprezível.

3. O trabalho longitudinal das lajes também é desprezível.

4. Admitem-se ainda válidas para as longarinas as hipóteses da Resistência dos

Materiais:

• As longarinas são barras (b,h<<<l)

• O material é homogêneo e isótropo

• É valida a lei de Hooke

• É válida a hipótese de Navier

• Os deslocamentos são pequenos.

A Resistência dos Materiais permite dizer que as flechas das longarinas são inversamente

proporcionais ao produto de rigidez EI. Assim, para uma viga biapoiada sob carga uniforme p ou

concentrada P no meio do vão as flechas no meio do vão seriam respectivamente:

EI

pl

384

5 4

e EI

pl

48

3

79

A. Distribuição transversal

V1 2V 3V 4V

4V' v v v

T1 T2T3 4T

F

Figura 105 – Distribuição transversal de uma carga F.

Ti = v ≈ 0 ( desprezíveis) Fi = vi - vi '

Considere uma transversina e sua vizinhança como assim representado. Os momentos

fletores não foram representados porque não interferem no equilíbrio de forças verticais que se

pretende estudar.

As hipóteses feitas permitem reduzir o problema de distribuição da força externa F pelas

vigas (forças Fi = ∆Vi) ao problema de uma viga infinitamente rígida sobre apoios elásticos.

F1 2F F3 4F

1k32 kk

4k

F

θ

x,u

y,δ

Figura 106 – Viga rígida sobre apoios elásticos.

Esse problema tem 3 graus de liberdade: deslocamentos u(//x) , δ(//y) e rotação θ.

Como só temos cargas verticais podemos deixar de lado o deslocamento u (//x).

Por outro lado as transversinas rígidas fazem com que as deformadas de todas as vigas

sejam afins. Assim:

80

F

1 2 3 4

a

b

1

4

ab

Figura 107 – Deformação das vigas 1 a 4.

aibi δα

δ1

= para qualquer viga i.

Isso permite dizer que as rigidezes dos apoios elásticos k variam com a posição da

transversina, mas é mantida a proporção entre elas. Como é essa proporção que define a distribuição

transversal, ela será única qualquer que seja a posição da transversina.

Transversina a k1, k2, k3, k4

Transversina b α.k1, α.k2, α.k3, α.k4

Qualquer transversina β.I1, β.I2, β.I3, β.I4

α e β variam com a posição da transversina e com o tipo de carregamento. "Para justificar

essa conclusão, ver item 2.4.3.4.2."

A solução do problema de barra rígida sobre apoios elásticos se obtém facilmente como se

segue.

Considere-se o caso particular θ = 0 e δ = 1 e procure-se determinar a posição da carga

externa correspondente.

�

�=

���

���

�

�==

� �==

=δ=

ikikix

xx.ikx.FAM

ik.ixix.iFAM

iki.ikiF

x define um ponto tal que se F for a ele aplicado teremos θ = 0 e δ constante.

Esse ponto é chamado Centro Elástico por analogia com Centro de Gravidade.

Considere-se agora o caso geral.

81

ki

F

eCE

θ

i

je

Figura 108 – Deformação de uma viga rígida sobre apoios elásticos devido à carga excêntrica em

relação ao centro de rigidezes das molas.

δi = δ + θ.ei Fi = ki.δi = ki(δ + θ.ei)

As duas equações de equilíbrio necessárias são:

��

���

=+=

=+=

��

���

+==

+==

� ��� ��� �� �

22 ...

).(..

).(

iiiiiiej

iiii

iiiiiej

iii

ekekekF

kekkF

eekeFF

ekFF

θθδ

δθδ

θδ

θδ

Pois � = 0. ii ek por definição do CE.

Assim:

�=

ik

Fδ e

�=θ

2ie.ik

F j e

ijr.F2ie.ik

ie.je

ik

1ik.Fie.

2ie.ik

F

ik

FikiF =

���

�

���

�

�

���

�

�

�

�+

�=

���

�

�

�

�+

�=

j e

como ii Ik .β=

��

�

�

�+=�� 2.

.1

ii

ij

i

iijeI

ee

IIr

Quando as vigas são iguais: (Ii = I = constante)

��

�

�

�+=� 2

1

i

ji

ije

ee

nr

Note-se a semelhança entre essas expressões e aquela das tensões normais na flexão-

composta:

82

eI

M

A

N.+=σ

FN = , jeFM .=

�= ikA , �= 2. ii ekI , iee =

A semelhança não é apenas formal, é física: a transversina rígida faz o papel da hipótese de

Navier e as molas de comportamento elástico linear reproduzem a Lei de Hooke.

B. Esforços longitudinais

Quando a carga externa está sobre uma transversina, ela se distribui pelas longarinas

conforme foi visto. A longarina i recebe força Fi e os esforços longitudinais nessa longarina são

diretamente calculados a partir d Fi.

Quando, porém, a carga externa está fora da transversina, sobre uma longarina por

exemplo, as coisas não são a princípio tão simples. De fato:

a

b

F

1 2 3 4

c

d Longarina 1

F

? ?

Longarina i>1

? ?F

Figura 109 – Carga externa fora da transversina.

É preciso calcular os esforços que as transversinas aplicam nas longarinas.

Façamos isso por superposição.

83

Longarina 1

F

+

RaRb Rc

Rd

Rb Rc1 1

Rb-Rb Rc-Rc

F

1 1

*

F

**

1

**

iF

Rb ii Rc *

Longarina i >1

Deistribuição de Rb e Rcpelas longarinas

Figura 110 – Distribuição da carga F nas longarinas.

Verifica-se que as soluções aproximadas **, embora muito mais simples, fornecem

soluções bastante próximas ds soluções corretas *.

Aconselha-se, portanto, usar a solução aproximada que corresponde, fisicamente, a admitir

uma transversina rígida sob cada carga externa.

Note-se que a distribuição transversal obtida por Courbon/Engesser é válida qualquer que

seja o sistema estrutural longitudinal, viga biapoiada ou contínua.

2.4.3.4.2. Processo de Fauchart

Considere-se o caso de uma ponte em vigas múltiplas sem transversinas intermediárias, só

nos apoios.

Para tratamento desse problema adotam-se as seguintes hipóteses:

1. As longarinas trabalham conforme a Resistência dos Materiais.

2. As longarinas são biapoiadas e têm inércia constante.

3. O trabalho longitudinal das lajes é desprezado.

84

xy

z

Figura 111 – Superestrutura em grelha.

Da super esquematicamente representada na figura 111 isole-se a viga i:

P

v

i

ev

dmem

P

m i

Figura 112 – Equilíbrio da viga i

pi = p + vd - ve

mi = md - me

Da Resistência dos Materiais tem-se:

EI

M

dx

yd−=

2

2

EI

P

dx

yd

dx

Mdp =→−=

4

4

2

2

tGI

T

dx

d=

θ ,

tGI

m

dx

d

dx

dTm −=→=

2

2θ

Assim:

tEIip

4dx

iy4d= e

tiGIim

2dx

i2d

−=θ

Desenvolvendo em série de Fourier as cargas pi e mi e os deslocamentos yi e θi é possível

transformar essas duas equações diferenciais em equações algébricas o que permitirá transformar

85

nosso problema bidimensional (x, z) em unidimensional (z).

Como as vigas são biapoiadas e ainda engastadas à torção nos apoios a série escolhida deve

respeitar as seguintes condições de contorno:

0=x e lx = yi = θi = 0

(θ = rotação em torno de x)

A série adequada é portanto de senos do tipo: l

xj π.sen , nula para 0=x e lx = .

Assim:

l

xjpp

j

iji

πsen�= �=

j

ijil

xjmm

πsen

l

xjyy

j

iji

πsen�= �=

j

ijil

xjπθθ sen

Introduzindo essas séries nas equações acima tem-se para cada termo j:

iijij EIl

j

l

xjy

l

xjp .sen.sen.

4

��

�

�=πππ

e

tiijij GIl

j

l

xj

l

xjm .sen.sen.

2

��

�

�=ππ

θπ

ou

ijfij ykpij..= e ijtij ij

km θ..=

com if EIl

jk

ij

4

��

�

�=π

e tit GIl

jk

ij

2

��

�

�=π

Assim, para cada termo j da série, o problema de distribuição transversal se reduz a

calcular a faixa unitária de laje esquematizada na figura 113.

m ij

pij

1m

Figura 113 – Faixa unitária.

ijfij ykpij..= ijtij ij

km θ..=

86

ijij

pm

f ijk

pk

ijt

j

faixa de lajecom 1 m delargura

Figura 114 – Esquema estrutural transversal para uma faixa unitária.

Essa faixa deve ser carregada com o termo j do desenvolvimento da série Fourier da carga

externa p (pj).

Transformamos assim nosso problema bidimensional em uma série de unidimensionais.

Ocorre que usualmente o 1º termo da série já é suficiente e temos apenas um problema

unidimensional como o acima, com j=1. Sua solução é obtida com facilidade pelo processo dos

deslocamentos bastando dispor de uma calculadora programável (são 8 graus de liberdade, 4 vigas

com um θ e um δ para cada uma ).

Observações complementares:

1. Imaginando a ponte em questão como uma peça única de seção aberta com 4 nervuras a

solução de Fauchart considera flexão do conjunto (δ cte), a torção uniforme e a flexo-torção (θ cte)

e a deformação da seção transversal ou “distorção” representada por θ não constante e δ variável

não linearmente. A figura 115 ilustra esses fatos.

87

carga externa

flexão

torção

distoção

Figura 115 – Deformação de uma seção transversal pelo processo de Fauchart.

2. Para obter as linhas de influência que definem as cargas nas vigas (pi - flexão da viga e

mi - torção da mesma) bem como as solicitações mais importantes na laje de ligação basta resolver a

viga sobre apoios elásticos, num programa conveniente, para uma série de posições de uma carga

unitária. É importante considerar pelo menos uma posição para cada viga e cada seção considerada

relevante. Costuma-se dizer que basta “passear com a carga unitária sobre a estrutura” anotando

para cada posição os esforços de interesse.

3. Para determinação dos trens tipo nas vigas (isto é do carregamento em cada viga)

deveríamos carregar as linhas de influência para pi e mi com o primeiro termo do desenvolvimento

em série das cargas externas. Verifica-se que é mais fácil e preciso carregá-las com as cargas reais.

Isso equivale a dizer que:

11 .1 ifi ykp

i= � iy.

1ifkip =

11 ..1 iti i

km θ= � i.1it

kim θ=

Usamos assim as séries de Fourier apenas para definir a rigidez com que as vigas vinculam

as lajes de ligação. Para carregamentos usamos a sua forma real.

4. É conveniente observar que se for desprezada a torção uniforme (Iti=0) e for admitida

infinita a rigidez da laje de ligação (simulando transversina rígida) o processo do Fauchart se reduz

ao do Courbon. Assim Courbon é um caso particular do Fauchart.

88

5. Extensão da solução às grelhas com transversinas flexíveis.

e

bw

bw+b/5=bm

b/10

longarina

transversina

seção efetivada transversina

(e-bm).1/2

Figura 116 – Ponte em grelha com transversinas flexíveis.

Basta, para tal, definir uma laje de rigidez equivalente ao conjunto laje+transversinas:

e

beIII

mlajetransv

equivlaje

)(.

−+=

6. Extensão da solução às grelhas contínuas.

Basta, para tal, adotar para l um vão biapoiado equivalente, isto é, que apresente a mesma

flecha que um determinado vão da obra real, para um mesmo carregamento considerado

representativo. A carga uniforme é considerada usualmente aceita para esse fim.

7. Esforços na laje do tabuleiro.

7.1. Caso em que existem transversinas.

Calculam-se as lajes como engastadas nas vigas. Um bom procedimento é usar as tabelas

de Rüsch (ver aulas de projetos).

89

7.2. Caso em que não existem transversinas intermediárias.

Calculam-se as lajes por superposição de efeitos conforme sugere a figura 117:

-

P

P1

A

1P

+P

B

C

P (primeiro termo dodesenvolvimento de P)aplicado na viga sobreapoios elásticos

carga concentrada P

P sobre viga biengastada

P sobre placa longabiengastada (Teoria das Placas)

1

1

Figura 117 – Superposição de efeitos para cargas na laje.

Para melhor entender essa superposição é conveniente dividir as solicitações na laje em 2

partes:

- local - que decorre do trabalho do painel da laje carregado e engastado nas vigas que

são admitidas indeslocáveis;

- global - que decorre apenas dos deslocamentos das vigas.

O primeiro termo da série (P1) pode representar bem P do ponto de vista global, mas não

local.

Assim:

Efeito P = Efeito global + Efeito local =

= Efeito P1 - Efeito local P1 + Efeito local P =

A B C

Efeito Global P1 = P

90

O efeito local de P pode ser calculado com as superfícies de influência anteriormente

apresentadas ou se P representar o trem tipo padrão, esse efeito pode ser em geral calculado com as

tabelas de Rüsch.

2.4.3.5. Pontes celulares

As pontes celulares têm sido cada vez mais utilizadas função das grandes qualidades

estruturais das serves celulares (boa rigidez e resistência à torção e flexão, seja para momentos

positivos, seja para negativos) e do progresso dos métodos construtivos. Essas seções são

preferencialmente unicelulares por economia de materiais e de mão de obra. Só se justifica o uso de

seções multicelulares em obras exageradamente largas, sobretudo aquelas em que a largura é bem

superior à metade do vão.

Devido à essas qualidades estruturais essas pontes são calculadas como vigas únicas. Esse

cálculo requer, no entanto, algumas complementações em relação à Resistência dos Materiais usual.

2.4.3.5.1. Seções unicelulares

Considere-se uma ponte unicelular biapoiada sob carga excêntrica como representado na

figura 118.

P

l

P

transversina de apoio

PP/2 P/2 P/2 P/2

flexão torção

+

Figura 118 – Seção celular submetida à carga na alma direita.

A. Estudo da flexão

As tensões normais s podem ser calculadas pela expressão usual da Resistência dos

Materiais exigindo-se, sem dúvida, a determinação dos eixos centrais de inércia. Como no caso

91

usual as seções são simétricas, essa determinação é imediata.

X

Z

Y NMy

yM

MyWyi

NS

Figura 119 – Tensões normais ao longo da altura da seção celular.

zI

M

S

N

y

y .+=σ No caso acima, N = 0.

O cálculo das tensões de cisalhamento requer alguma discussão. A expressão usual da

Resistência dos Materiais vem do equilíbrio de um “naco” de viga na direção do eixo x. Ela só

pode, no entanto, ser aplicada se for conhecido o valor de τ em alguns pontos de partida.

x

z

y

12

3

4

τ

σ

σ+dσ S

dx

x

Figura 120 – Equilíbrio, na direção x, de um elemento infinitesimal.

Sy

y

Sy

y

S y

y

S

MI

dMSdz

I

dMSdz

I

dMSdddxe ........ ==== ��� στ

y

Sz

Ie

MV

.=τ

Nas seções abertas (como o perfil I acima) esse pontos são as extremidades da seção delgada

onde τ=0 (faces laterais 1, 2, 3, 4). Nas seções fechadas a dificuldade está em determinar esses

pontos.

Caso 1 - Seções Simétricas

92

Por necessidade da simetria das tensões de cisalhamento (bem como forças cortantes e

momentos de torção) são nulas nos eixos de simetria. De fato:

τ esq.

dir.

dir.

τ por simetria

por ação/reaçãoττ =0

Figura 121 – Tensão de cisalhamento no eixo de simetria da seção celular.

Assim, nas seções simétricas os pontos de partida estão no eixo de simetria.

G τ= 0maxτ

S

τ (S)

Figura 122 – Tensões de cisalhamento em uma seção celular simétrica.

Caso 2 - Seções Assimétricas

= 0τ

?

Figura 123 – Seção celular assimétrica.

Onde está o ponto de partida onde τ = 0 ? Não se sabe a priori!

93

Na verdade o problema de seções fechadas é internamente hiperestático. Seções

unicelulares são uma vez hiperestáticas. Uma boa maneira de levantar essa indeterminação é usar o

processo dos esforços. A estrutura fechada hiperestática e tornada aberta e isostática através de um

corte longitudinal feito a priori. A essa estrutura aberta é possível aplicar a expressão anteriormente

descrita.

A compatibilidade é somente recuperada se no corte forem introduzidos esforços

hiperestáticos de valor conveniente. Assim:

FC

P P

AC

τ = 0αP α P(1- )

τi

∆Τ

τ = q /eo o

oq = cte.

Figura 124 – Corte longitudinal arbitrado e introdução de esforços que mantêm a compatibilidade.

A solução da flexão da seção assimétrica sob carga P passando pelo seu centro de torção CF

é obtida pela superposição da solução da seção aberta (onde P passa pelo centro de torção da mesma

CA e provoca as tensões τi) e do fluxo de torção q0, que provoca tensões τ0=q0/e, decorrente da

torção ∆T dada por P vezes a distância entre CA e CF na direção y. Assim:

y

Sz

iIe

MV

.τ

Mas como calcular τo?

É preciso obter uma equação de compatibilidade!

Observe-se a deformação da seção aberta.

94

δ

γ

ds

du

x

Figura 125 – Deformação da seção aberta.

As faces do corte se deslocariam de d uma em relação à outra função da deformação por

cisalhamento γ.

Gds

dutg

τγγ ==≅

�� == dsdu .γδ

Deve-se calcular τ0 tal que δ = 0

Como γ = τ/G e G ≠ 0

0. == � dsγδ � 0=� dsτ ou

� =+ 0).( 0 dsi ττ

Essa equação permite calcular τ0.

Conhecida τ0 conhece-se também a vertical que passa por CF. Para determinar a posição

desse centro deveríamos estudar ainda o caso de uma força horizontal.

Convém lembrar que para as seções simétricas usuais, embora G não coincida com CF é

habitual e aceitável admitir CF ≡ G.

95

G

CF

Figura 126 – Centro de gravidade e de torção de uma seção celular simétrica.

CF ≠ G mas CF ≈ G.

B. Estudo da torção

Como visto anteriormente, a tração de seções unicelulares fica resolvida por:

qAT ..2= onde: cteeq == .τ

A = área interna à linha média da célula

�=

e

ds

AI t

4.4 e

tGI

T

dx

d=

θ

2.4.3.5.2. Seções multicelulares

A análise dessas seções se faz analogamente às unicelulares. Seja a seção tri-celular da

figura 127:

P

G

e

P/2P/2

+P/2P/2

flexão

torção

Figura 127 – Seção tri-celular submetida à carga na alma direita.

96

A. Flexão

Só em relação às tensões τ são necessários comentários adicionais. De fato, mesmo sendo a

seção simétrica o problema permanece indeterminado estaticamente. São 3 células portanto 3 graus

de indeterminação. Por simetria essas 3 incógnitas se transformam em apenas uma.

τ = 0

= 0ττ = 0

τi

+ τ = 0

q = cte.= q /eo

o

τ o

Figura 128 – Esquema estrutural transversal considerando a simetria.

A única incógnita hiperestática τ0 se calcula através da equação de compatibilidade:

� =+ 0).( 0 dsi ττ

analogamente à seção unicelular assimétrica.

B. Torção

21 3

TPe

-Pe/2

Pe/2

T

Figura 129 Viga tri-celular submetida à torção.

Aqui, também a torção corresponde a um problema hiperestático, só que com grau de

indeterminação 2. De fato:

Da torção total T, cada célula suporta uma parcela Total que:

T = T1 + T2 + T3 - 3 incógnitas para 1 equação

97

É preciso obter 2 equações de compatibilidade. Elas são:

θ1 = θ2 e θ1 = θ3

É importante, no entanto, tomar cuidado para calcular corretamente Ti e θi.

Cada célula ficará submetida a um fluxo de torção qi tal que:

1

T

q 2q 3q

Figura 130 – Fluxo de torção.

Do capítulo de torção tem-se que:

� � �== iiii qAdsbqT 2 )2( iii qAT =

por superposição das solicitações nas três células.

Para calcular a rotação qi é preciso considerar que o fluxo qi não é constante em todo

contorno. Para isso é preciso estudar com cuidado as deformações por torção de uma seção celular.

Seja uma barra de seção vazada solicitada à torção uniforme como mostra a figura 131.

θ

l

T

Conciderando os Teoremasde energia de deformaçãotemos que:

T,τ

θ,γ

τ (T)e(τ)τ i

ou

Figura 131 – Barra de seção vazada solicitada à torção uniforme.

τe (trabalho externo) = 1/2 T.θ

98

τi (trabalho interno) = 1/2 τ.γ (elementar!)

�= dvie ττ

�= dsleT ....2

1

2

1γτθ

'..2

1θ

θqA

lT =

��� == dsG

qdse

Gdse .

2.

2

1...

2

1 2 ττγτ

�= dsG

qqA .

2'.. τθ � �= dsGA .'...2 τθ

Essa expressão permite calcular as rotações elementares θ’ considerando que q não é

constante em todo contorno.

Voltando ao problema da seção tricelular, considerando a simetria temos que q1=q3 e

θ1'=θ3’ o que reduz o número de incógnitas a 2. Assim:

��

��

�

===

+=

��GA

ds

GA

ds

qAqAT

2

2

1

1

21

2211

2

.

..2

.''

..2..4

ττθθ

Notar que τ1 = q1/e apenas em 3 lados da célula 1. No 4º lado τ1 = (q1 - q2) /e.

Analogamente para a célula 2.

Observação: A expressão acima indicada para cálculo de �’ permite demonstrar a

expressão do momento de inércia de uma seção unicelular. De fato:

=====��

GA

e

dsq

GA

ds

IG

T

dx

d

t ..2..2

.

.'

τθθ

��

==

e

ds

AG

T

e

ds

AG

qA22 .4.4

.

..2

∴

�=

e

ds

AI t

2.4

5.3. Problemas de deformação da seção transversal - Distorção

99

Tudo o que foi descrito até aqui prevê que as seções celulares tenham seção transversal

indeformável. Isso nem sempre é verdade.

Para que a seção seja efetivamente indeformável é preciso prever transversinas não muito

espaçadas. Para as obras usuais esse espaçamento deve ser da ordem de 10m.

De forma a melhor visualizar essa questão retomemos a ponte unicelular sob carga

excêntrica apresentada no item 2.4.3.5.1., reanalisando os esquemas de carregamento em seção

transversal. Merece reconsideração especial o carregamento de torção.

+

P

flexão

P/2 P/2

"torção"

P/2P/2

δ

Figura 132 – Seção unicelular submetida à carga excêntrica.

O carregamento indicado como sendo de “torção” não é, na verdade, da forma em que a

seção unicelular suporta a seção, isto é, através de esforços na direção de suas 4 paredes. Assim o

carregamento de “torção” contém além de torção, mais algum efeito, vejamos qual é:

distorçãotorção

θ

P/2-q.a

+

P/2 P/2

b

a

q.a

q.b q.b

"torção" Figura 133 – Carregamento de “torção” decomposto em duas parcelas: torção e distorção.

a

P

ba

bP

A

Tq

.4..2

2/.

.2===

2

)1

4 ���

�

�+=

a

bPR

Assim, aquele carregamento que parecia de torção contém além disso um carregamento

equilibrado (de resultante nula) chamado de carregamento de distorção.

4.4

.

2

P

a

aPP=−

b

a

R

P.b4.a

100

Esse carregamento corresponde a duas forças de mesmo módulo e direção, mas sentidos

inversos, que tendem a afastar dois vértices opostos da célula, isto é, tendem a distorcê-las.

A transversina é um elemento especialmente imaginado para impedir essa distorção. Se as

transversinas forem convenientemente espaçadas, a região entre elas fica protegida pelas próprias

paredes da seção função de sua grande rigidez à flexão no seu plano.

Se a obra não dispuser de transversinas esse carregamento deve ser suportado pelo quadro

transversal, onde as paredes da seção fletem como placas.

Em qualquer um dos casos é importante, no entanto calcular esse quadro transversal.

Esquema para cálculo do quadro transversal.

Consideremos um quadro correspondente a um pedaço da ponte com 1m de comprimento.

1m

Τ + ∆Τ

V + V∆

TV

Esquema das lajes engastadasnas almas

+

p p'

+

m m'm, p, m', p' - esforços

de engastamento daslajes nas almas

Diagonal biarticuladaque simula a transversinaquando for o caso

∆q ( T, V) - acréscimo de∆ ∆

fluxo de cisalhamentodecorrente de T e V∆ ∆

Figura 134 – Esquema para cálculo do quadro transversal.

3. MESO E INFRAESTRUTURAS DE PONTES

3.1. Considerações iniciais

A meso e infraestruturas das pontes são as responsáveis pelo suporte da superestrutura

e pela sua fixação ao terreno, transmitindo a ele os esforços correspondentes a essa fixação.

Pode-se dizer que enquanto a super é essencialmente responsável pelo transporte horizontal

das cargas, está a cargo da meso o transporte vertical das mesmas e da infra, sua transmissão

ao terreno.

3.2. Nomenclatura

O esquema abaixo fixa a nomenclatura usualmente adotada para descrever cada um

desses elementos.

APARELHODE APOIO

FUNDAÇÃO RASA

(SAPATA)FUNDAÇÃO PROFUNDA

(BLOCO C/ ESTACAS)

SUPER

MESO

INFRA

PilaresEncontros

Ap. Apoio

Fundações

Tabuleiro

PILARENCONTRO

Vigas

Fig.1 Nomenclatura dos elementos das pontes

3.3. Tipos estruturais

3.3.1. Tipos de aparelhos de apoio – vinculação super x meso

Nó de pórtico

MONOLÍTICA FIXA MÓVEL

Unidirecional Multidirecional

Teflon sobre inox

LIGAÇÃO ARTICULAÇÃOARTICULAÇÃO

Fig.2 Tipos de aparelhos de apoio

Essas articulações podem ser metálicas, de concreto e até mesmo de borracha, como

veremos mais adiante.

Rótulas podem ser obtidas com superfícies esféricas no lugar das cilíndricas.

3.3.2. Pilares

Pilar

PilarPilar

PilarAp. apoio Ap. apoio

Ap. apoioAp. apoio

Transversina

TransversinaTravessa

Travessa

Grelha Caixão

Caixão

V

Mt

V

Mt

V

Mt

V

TransversinaUsual

TransversinaObrigatória

Fig.3

Seções: Maciças

Paredes finas

Constantes ou variáveis

TransversalLongitudinal

Fig.4

3.3.3. Encontros

Fig.5 Encontros

Fig.6 Encontro aliviado (bastante comum)

Fig.7 Encontro na super

Fig.8 Encontro na super

3.3.4. Fundações

Os tipos estruturais das fundações não fazem parte do objetivo desta disciplina. Para

tanto, ver cursos específicos.

3.4. Métodos construtivos

3.4.1. Fundações

Quando as fundações estão localizadas no seco, como nos viadutos por exemplo, os

métodos construtivos a aplicar na sua execução são os convencionais. Quando, no entanto, as

fundações estão dentro d’água, tais métodos devem ser revisados.

As novas soluções podem ser divididas em 2 grupos:

� Caso 1 – Lâmina d’água pequena.

Nesse caso as fundações diretas ainda são possíveis, devendo ser executadas em

ensecadeiras. Essas ensecadeiras podem ser construídas com estacas prancha ou barragens de

terra. Em ambos os casos, elas se assemelham a valas a céu aberto onde a estrutura de

contenção suporta empuxos de água em lugar de empuxos de terra.

VALA ESCORADA

ENSECADEIRA DEESTACAS PRANCHA

Estronca

Estronca

Estaca prancha

ENSECADEIRA DE TERRA

VALA ATALUDADA

Estaca prancha Barragem de terra

Barragem de terra

Fig.9 Ensecadeiras

Quando a lâmina d’água é pequena e as fundações a executar profundas, é em geral

possível construir uma plataforma estaqueada provisória, onde se executam as fundações

definitivas, sejam estacas (pré-moldadas, Franki ou escavadas), sejam tubulões (a ar

comprimido, escavados mecanicamente ou mistos), sejam caixões (a céu aberto ou a ar

comprimido).

Os tubulões escavados mecanicamente (tipo Wirth), os mistos e os caixões, serão

descritos a seguir, por não serem usuais, senão nas fundações das pontes.

� Caso 2 – Lâmina d’água grande.

Nesse caso nenhuma das duas soluções anteriores são utilizadas, ambas ficam muito

dificultadas pela altura da lâmina d’água. A solução usual corresponde a execultar fundações

profundas a partir de barcaças ou flutuantes.

Essas barcaças, muitas vezes feitas de concreto, são suficientemente grandes para

suportar, além de equipamentos de perfuração, guindastes, betoneiras e depósito de materiais

(brita, areia, cimento, aço, etc.). Elas são fixadas às margens através de cabos de forma a

garantir uma maior precisão nas locações em planta. Em rios mais largos, elas podem ser

ancoradas no fundo e, quando a velocidade da água for baixa (caso do mar), podem ter pernas

retráteis.

3.4.2. Fundações especiais

� Tubulões mistos

Solução a usar no lugar de tubulões a ar comprimido, quando a pressão superar 3 atms

ou 30 mca.

Fig.10 Seqüência construtiva de tubulões com estacas metálicas (Pfeil, 1983).

1. Escavação e descida da camisa a ar comprimido (camisa de concreto);

2. Desativada a compressão, cravação das estacas por dentro da camisa, com

suplemento;

3. Concretagem submersa.

� Tubulões Mecanizados tipo Bade Wirth

Solução alternativa pode ser usada com Camisa Perdida

Fig.11

NOTA –

1. Conforme Pfeil 1983

2. É possível substituir o tubo Bade e a camisa permanente (pequena espessura) por uma

única camisa perdida (de espessura maior).

� Caixões a Céu Aberto ou Ar Comprimido

Fig.12 Notas: 1. Conforme Pfeil 1983 2. Escavação mecânica, “a céu aberto”, mas em presença de água. Para solos

suficientemente impermeáveis e escavações suficientemente profundas essa água pode ser esgotada e a escavação executada de fato a céu aberto.

Fig.13 Caixões – Formas – conforme Pfeil 1983

3.4.3. Pilares

Além das formas convencionais é preciso, no caso de pilares de pontes, relembrar as

fôrmas saltantes e as fôrmas deslizantes abaixo esquematizadas.

Fig.14 Formas

Atualmente se usam formas saltantes (isto é, que andam aos saltos) com sistema de

sustentação por barras internas ao concreto como nas formas deslizantes.

3.5. Concepção dos apoios da ponte (da vinculação super x mesoestrutura)

3.5.1. Tipos de aparelho de apoio

A. Aparelhos de vinculação rígida

Nestes casos, a super é rigidamente vinculada à mesoestrutura relativamente a alguns

movimentos e a outros são praticamente livres.

Numa articulação fixa, por exemplo, são impedidas translações e rotações, a menos

daquela liberada pela articulação. Numa móvel, uma translação também foi liberada.

� Aparelhos metálicos

As articulações mais antigas se baseavam num cilindro metálico para liberar rotações

(articulação fixa) e deslocamentos unidirecionais (articulação móvel). Ver figura 15.

As articulações mais modernas usam apenas uma parte do cilindro para liberar

rotações e contato, teflon x inox, para liberar deslocamento unidirecional ou multidirecional.

Em lugar do rolamento do cilindro, liberam-se os deslocamentos por escorregamento teflon x

inox.

Fig.15 Detalhe de articulação

Rótulas podem ser obtidas de forma análoga substituindo-se as superfícies cilíndricas

por superfícies esféricas.

Esses movimentos não são completamente livres devido ao atrito teflon x inox. O

coeficiente de atrito correspondente é da ordem de 5%.

Exemplos:

Articulação fixa

Fig.16 Articulação móvel unidirecional

Fig.17 Articulação móvel multidirecional

Fig.18 Articulação móvel multidirecional

Antigamente era difícil obter uma articulação deste tipo.

� Aparelhos de elastômero

Esses aparelhos são constituídos por uma “panela” de aço espessa, cheia de elastômero

e tampada.

Fig.19 Nota – Conforme Leonhardt – 1979

O princípio de funcionamento do aparelho de apoio de borracha em panela: a capacidade de rotação em todas as direções é proporcionada pela deformação por cisalhamento da massa de

borracha incompressível dentro da panela.

As translações são liberadas de forma análoga aos aparelhos metálicos.

Fig.20

� Articulação Freyssinet ou fixa de concreto

Freyssinet criou uma articulação de concreto liberando as rotações através de um

estrangulamento da seção onde as altas tensões, em estado múltiplo de compressão,

plastificam o concreto, permitindo rotações significativas. A área da seção estrangulada deve

satisfazer 2 limites:

( )( )α,,

,,

2

1

mínckmáx

máxckmín

VffA

daVffA

=

=, Rotação≡α

Fig.21 Articulação Freyssinet

Para maiores detalhes ver construções de concreto de F. Leonhardt, vol. 2.

Esse aparelho só se aplica para esforços horizontais baixos ( 8VH ≤ ). Se 8VH > é

preciso armar conforme sugere Mesnager (figura 22).

Fig.22 Articulação Mesnager

B. Aparelhos de vinculação flexível

Nestes casos a superestrutura é vinculada elasticamente à mesoestrutura, em todas as

direções, até na vertical. Essa flexibilidade de corre do fato desses aparelhos serem feitos de

borracha.

A utilização da borracha cria, conforme dito, uma ligação flexível, por outro lado, gera

também um problema delicado, o da durabilidade. Foi preciso encontrar uma borracha que

apresentasse durabilidade compatível com as obras civis, algo em torno de 50 anos.

Como é difícil garantir essa durabilidade, bastante variável com a agressividade do

meio, a qualidade da fabricação e, sobretudo hoje em dia, a qualidade da montagem, é preciso

prever a troca desses aparelhos. Com isso, devem ser previstos nichos entre meso e super,

onde possam ser colocados macacos capazes de aliviar os aparelhos existentes, permitindo a

sua substituição.

A borracha especial utilizada na fabricação desses aparelhos é um elastômero, mais

precisamente o policloroprene, um polímero sintético. O nome neoprene normalmente usado

no lugar de elastômero é o nome dado pela DuPont ao policloroprene que ela fabrica.

Esse material tem basicamente as seguintes propriedades:

2

2

2

m120

m 10

5,0

m 30

kgffc

kgfG

kgfE

≥

≅

≅

≅

ν

O elastômero é bastante flexível, apresentando grandes deformações e deslocamentos

mesmo para as cargas de serviço. Não valem, portanto a Teoria da Elasticidade e a

Resistência dos Materiais para esse material!

A fretagem foi criada para melhorar a resistência e rigidez desses aparelhos. De fato:

numa placa de elastômero não fretada as deformações transversais provocadas por efeito de

Poisson são quase livres, permitindo grandes abatimentos ∆t. Mesmo reduzindo o atrito com

os pratos da prensa, há um aumento pequeno na rigidez e na resistência em relação às placas

não fretadas (figura 23, item a).

Fig.23 Detalhe dos aparelhos com e sem Fretagem

As chapas de fretagem inibem muito as deformações transversais, reduzindo bastante

∆h, isto é, aumentam muito a rigidez e a resistência dos aparelhos fretados (figura 23, item b).

Para isso, é preciso dispor de uma boa ligação aço x elastômero decorrente de atrito mais

adesão (obtida na fabricação, por ocasião da vulcanização).

Esses aparelhos fretados apresentam rigidez e resistência bastante variáveis com a

geometria do aparelho e com as chapas de fretagem, da ordem de:

Módulo de elasticidade: 2m 5000 2000 kgfaE f ≅

Resistência à compressão fretada: 2m 008 600 kgfaf cf ≅

A tensão admissível nesses aparelhos é da ordem de 150 kgf/m².

Num ensaio desses aparelhos em laboratório é obtida a seguinte curva tensão x

deformação.

Fig.24 Curva tensão deformação

O valor ε0 é da ordem de 0,03.

hn é a altura total de elastômero.

A é a área da seção transversal à direção do carregamento.

Como se pode observar, a fretagem só começa a trabalhar a partir de uma deformação

considerável. De forma simples, o aparelho pode ser admitido infinitamente flexível para

00 εε ≤≤ e fretado a partir desse valor.

� Comportamento dos aparelhos de elastômero fretado

(Observado experimentalmente, já que não vale a Teoria da Elasticidade)

a) Sob carga vertical

Fig.25 Comportamento dos aparelhos de elastomêro fretado

Devido à placa de elastômero estar submetida à compressão tridimensional (figura

25), há aumento de rigidez e resistência.

Os diagramas de s e t da placa de elastômero na região de contato com a placa de aço

está indicada na figura 25.

b) Sob momento

c) Sob carga horizontal

O projeto desses aparelhos exige uma série de verificações que são:

i. Verificação da ligação aço x elastômero (limita V, H, M);

ii. Verificação do escorregamento (limita H);

iii. Verificação do bordo menos comprimido (limita relação M/V);

iv. Verificação da estabilidade (limita altura/largura);

v. Verificação das espessuras de aço (define a espessura da chapa).

Ver publicação do IPT sobre o projeto dos aparelhos de elastômero fretado.

A execução de obras com aparelhos desse tipo requer alguns cuidados especiais:

i. Ensaio para verificação da qualidade de fabricação;

ii. Cuidado na instalação de forma a não impor ao aparelho deformações imprevistas.

Superfícies não planas ou não paralelas podem romper o aparelho mesmo que só

sob carga permanente;

iii. Prever a troca dos aparelhos.

3.5.2. Concepção da vinculação

A. Aparelhos de vinculação rígida

Exatamente por causa da rigidez da vinculação promovida por esses aparelhos é

preciso ter cuidado para não impedir deformações inevitáveis como as decorrentes de

temperatura, retração e deformações imediatas e progressivas devido à protensão.

Assim, para uma obra contínua com 4 apoios teríamos:

BA

Articulação fixa

Articulação multidirecional

Articulação móvel unidirecional

Fig.26 Vinculação

Note-se que tanto no sentido do comprimento quanto da largura não se deve fixar mais

que um ponto numa dada direção. Note-se também que quase todo o esforço longitudinal

aplicado à obra vai para o apoio A (não é todo o esforço por causa do atrito mobilizado nos

outros apoios).

� Modelo de cálculo para esforços horizontais

B. Aparelhos de vinculação flexível

Neste caso, como podemos dosar a rigidez dos aparelhos através das suas geometrias,

podemos direcionar os esforços aos apoios e na proporção que se deseja.

A liberdade de concepção ao utilizar aparelhos de apoio flexíveis é muito maior!

Considere a obra contínua sobre 4 apoios da figura 27.

Fig.27 Obra sobre 4 apoios

Como os pilares dessa obra são altos em B e C, é conveniente reduzir ao máximo os

esforços horizontais nesses apoios. Isso é possível prevendo para B e C aparelhos

suficientemente flexíveis em relação a A e D.

A escolha dos aparelhos A e D deve ainda levar em conta outro aspecto. Esses

aparelhos devem ser suficientemente flexíveis para que as deformações decorrentes de

temperatura, retração e protensão não gerem esforços exagerados nos encontros A e D.

É após definir esses aparelhos de apoio A e D que se devem definir aqueles para B e

C, tal que tais apoios resultem mais flexíveis que A e D.

3.5.3. Comentários

i. Os aparelhos de apoio mais econômicos e, portanto, os mais usados são os de

elastômero fretado e as articulações Freyssinet;

ii. Os aparelhos mais caros e sofisticados como os metálicos e os de panela são

normalmente usados para cargas importantes;

iii. A troca de aparelhos de apoio deve ser prevista para todos casos com exceção do

Freyssinet. Elas são especialmente necessárias no caso dos elastômeros fretados

que são os menos duráveis;

iv. Qualquer que seja o tipo de aparelho de apoio, as cargas são por eles suportadas

são transmitidas aos pilares ou encontros em regiões reduzidas, o que exige a

verificação do efeito de bloco parcialmente carregado e a previsão de uma

armadura de fretagem.

3.6. Cálculo da meso e infraestrutura

No caso das pontes em arco ou pórtico, ou mesmo daquelas suportadas por cabos, o

cálculo não pode em geral, ser dividido em dois: super de um lado, meso e infra de outro.

Nesse caso a estrutura deve ser calculada como um todo.

Nas pontes em viga, que constituem a grande maioria das obras executadas, isso é

usualmente feito, o que simplifica bastante o projeto.

A super é assimilada a uma continua articulada nos apoios através dos aparelhos de

apoio. Essas articulações são admitidas móveis com exceção de uma, ou seja, é assumida uma

vinculação isostática (na direção horizontal).

Esse modelo é usado para os efeitos das cargas verticais (permanentes – g1 e g2 e

variáveis – q e Q) na super e as reações de apoio delas decorrentes.

Para o efeito das cargas horizontais esse modelo não serve, devendo ser substituído.

Admite-se usualmente, para esse caso, que a super seja representada por um bloco rígido

sobre apoios elásticos correspondentes a cada um dos conjuntos de apoio (fundação, pilar e

aparelho de apoio).

Fig.28

1. Modelo de viga contínua para o cálculo dos esforços devido às cargas verticais na super

(esforços solicitantes e reações de apoio).

2. Modelo de bloco rígido sem apoios elásticos para o cálculo dos efeitos das cargas

horizontais.

3. Modelo de conjunto de apoio isolado (aparelho de apoio, pilar e fundação) sob cargas

provenientes da super.

Fig.29 Modelo conjunto de apoio pilar isolado

� Cargas verticais

V, Mt (= V.e)

Mt é o momento decorrente da excentricidade transversal de V

� Cargas verticais

Hl - Longitudinal

Ht - Transversal

No dimensionamento da meso e infra, as seguintes combinações de esforços devem

ser consideradas:

( )( )( )tesconcomitan , , ,

tesconcomitan , , ,

tesconcomitan , , ,

, tlmáxt

tltmín

tltmáx

HHVM

HHMV

HHMV

Notas:

i. As deformações impostas no cálculo longitudinal são as que decorrem de

temperatura, retração e protensão (deformação imediata e lenta);

ii. kap é a rigidez do aparelho de apoio, kenc é a rigidez do encontro e k1l é a rigidez

longitudinal do apoio 1;

iii. Observe que para as cargas verticais que solicitam especialmente a super à flexão,

esta deve ser considerada deformável para se obter uma solução aceitável (modelo

de viga contínua). Ao contrário, para as cargas horizontais que solicitam

especialmente meso e infra à flexão, a super pode ser considerada como rígida →

modelo de bloco rígido. Para efeito das cargas transversais em obras longas é

preciso cuidado. A deformabilidade do tabuleiro à flexão horizontal pode não ser

desprezível;

iv. O modelo de bloco rígido sobre apoios elásticos já aparecem algumas vezes: bloco

de fundações sobre estacas e modelo Courbon/Engesser para solução de grelhas.

3.6.1. Rigidez do conjunto meso-infra

Para calcular esses modelos de bloco rígido sobre apoios elásticos é preciso calcular as

rigidezes desses apoios.

Fig.30

Por definição rigidez é o esforço que provoca deslocamento unitário. Assim, como a

força F provoca o deslocamento δ, a rigidez k do apoio é dada por F/δ.

� Rigidez do neoprene

Fig.31 Neoprene

nnkF δ⋅=

kn é a rigidez do neoprene

Neoprene:

nn

n

n

n

h

GAFk

hGA

F

Gtg

⋅==∴≅

⋅==

δ

δτγ

Neoprene + Teflon (despreza-se o atrito no teflon):

000 =∴=∴≠ kFδ

Fixo (articulação fixa qualquer):

∞→∴≠∴= kF 00δ

� Rigidez do pilar

3

3 3

3 h

IEFk

IE

hF

p

pp

⋅⋅==⇒

⋅⋅

⋅=

δδ (seção constante)

� Rigidez da fundação

Fundação direta:

Hipóteses:

� A sapata é rígida e indeslocável;

� O solo tem resposta linear que satisfaz à hipótese de Winckler, isto é:

( )

( )

=

=

=

⋅=3

2

/ solo do reação de ecoeficientk

todeslocameny

/

mtf

mtfpressãop

ykp

Fig.32

xθkykp ⋅⋅=⋅=

sap

a

a

a

a

a

a

IkdxxbkdxxbkdxxbphFM ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= ∫∫∫−−−

θθθ 22

sapIkM

k ⋅==θ

θ (rigidez a rotação da sapata)

f

f

Fk

δ= (rigidez da sapata em relação ao deslocamento do topo do pilar)

22

h

Ik

h

Ikk

h

IkF

hsapsap

fsap

f ⋅=

⋅

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅≅

θ

θθ

θδ

Fundação profunda:

Aqui, não é mais possível admitir a fundação indeslocável, é preciso compor os efeitos

de δ e θ ao nível da fundação para se obter o δf no topo do pilar.

Adote-se como exemplo um pilar sobre 2 tubulões. Os modelos de cálculo transversal

e longitudinal seriam:

Fig.33 Modelo de cálculo dos tubulões

Considerando o pórtico longitudinal tem-se:

Fig.34

( ) hFMFMf ⋅+++= θθδδδ

f

f

Fk

δ=

Note-se que aqui M e F estão acoplados, isto é, provocam ambos θ e δ. Assim:

FF

MM

F

M

θδ

θδ

∴→

∴→

Matricialmente teríamos:

⋅

=

δ

θ

δθδ

δθθ

kk

kk

F

M

Logo, não é possível substituir 1 tubulão ou uma estaca por 2 “molas” kθ e kδ (kθδ =

kδθ ≠ 0).

As estacas devem ser estudadas como vigas sobre apoio elástico para determinar os 3

coeficientes kq, kd e kdq = kqd (simetria!).

Viga sobre apoio elástico:

EI

p

dx

yd

EI

M

dx

yd=⇒−=

4

4

2

2

, (EI constante)

yk

σ=

≡ 3

2

mtf

m

mtf

k depende: do solo

iaconsistênc

e oucompacidad

tipo

das dimensões b, l

da direção { horizvert kk ≠

0 , =⋅⋅−=⋅⋅−= ppara bykbykpp

04

4

=+ kybdx

ydEI

0=p , porque as estacas só recebem cargas externas no topo.

Equação diferencial linear homogênea de 4ª ordem

Solução geral:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xsenDxCexsenBxAey xx ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⋅−⋅ ββββ ββ coscos

4

4 IE

bk

⋅⋅

⋅=β , 1/b é medido em m, representando o comprimento elástico. l ≥ 1,5/β

equivale a l = 1,5/β, isto é, o comprimento além é inútil, não afetando o que ocorre no topo.

Com 4 condições de contorno é possível definir y, exemplo:

Fig.35

EI

V

dx

yde

EI

M

dx

ydlx

yeyx

−=−=⇒=

==⇒=

3

3

2

2

0' 00

A solução dessa equação para várias condições de extremidade encontra-se tabelada.

Ver dissertação R. Teramoto (outros – Shenf, Whiften, Heteny,...).

� Rigidez da fundação

Fig.36 Rigidez do conjunto

hpf

conclusão

hpf

hpf

kkkkk

F

k

F

k

F

k

F

kF

1111++=→++=⇒

⋅=

++=

δ

δδδδ

3.6.2. Distribuição longitudinal de esforços

� Caso de força longitudinal

Como a estrutura tem apenas 1 grau de liberdade δ tem-se que:

∑∑∑∑ =∴=⋅== n

j

n

j

n

jj

n

j

k

FkFkFF

1

111

δδ

onde n é o numero de apoios.

ik

kFkkF i

j

i

iiii ∀=∴=⋅=⋅=∑

,δδδδ

Fig.37

Como não poderia deixar de ser, cada apoio i suporta uma parcela de F dada pela

relação entre sua rigidez e a rigidez total (princípio da rigidez).

� Caso de deformações impostas

Consideremos os efeitos de temperatura, retração e protensão reunidos numa única

variação de temperatura equivalente:

ϕ=∆ eqt (temperatura, retração e protensão)

A solução desse problema se obtém facilmente superpondo 2 soluções: uma em que se

aplica ∆teq à super com extremidade fixa e outra em que se desenvolve à estrutura o esforço

para fixar essa extremidade.

De fato:

a. Efeito ∆teq com δ01 = 0

Fig.38 Efeito da variação de temperatura

Do equilíbrio: ∑=n

iFF1

00

b. Efeito da devolução de F0 à estrutura

Fig.39 Efeito da devolução do F0 à estrutura

∑=∆

j

i

ik

kFF 0

c. Superposição

−∆⋅⋅=∆−=∑ j

eqiiiiik

FtCkFFF 0

0 α

Essa expressão vale inclusive para i = i, pois C1 = 0.

� Caso de empuxo de terra

Se o empuxo de terra se aplicar diretamente à super, vale a mesma solução de força

longitudinal. Se se aplica ao encontro é preciso rever aquela solução:

Fig.40 Caso do empuxo de terra

∑+

=n

i

ap

eq

kk

k

2

111

eqenc

enc

tenckk

kEF

+=

encter FEF −=sup

A força Fsuper vai para a super, mas deve ser distribuída apenas entre os apoios 2 a n.

� Distribuição de esforços transversais

Quando for possível admitir a super rígida o problema é idêntico ao de Coubon-

Engesser.

Quando isso não for possível é necessário calcular uma viga contínua sobre apoios

elásticos. Nesse caso super e meso-infra seriam deformáveis.

Quando a super é muito flexível, é possível calcular os esforços transversais nos

apoios por área de influência.

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA POLITÉCNICA

Departamento de Estruturas e Fundações

PEF-2404 Pontes e Grandes Estruturas

Projeto de Super. em Con. Protendido

Prof. Fernando Rebouças Stucchi Prof. Kalil José Skaf

São Paulo 2006

SUMÁRIO

1. SISTEMA ESTRUTURAL ............................................................................... 3 2. PROPRIEDADES FISÍCAS E CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS

DAS VIGAS ................................................................................................................ 4 3. APLICAÇÃO DO PROCESSO DE FAUCHART .......................................... 5 4. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS ................................................................. 6

4.1. CARGA PERMANENTE ............................................................................ 6 4.2. CARGA VARIÁVEL .................................................................................. 6

5. COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES ................................. 10 6. ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS (Viga 1) .................................................. 10 7. ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS CORTANTES (Viga 1) ........................... 12 8. ENVOLTÓRIA DE MOMENTO TORSOR (Viga 1) .................................. 13 9. ESTIMATIVA DA PROTENSÃO NECESSÁRIA ...................................... 14 10. TRAÇADO DOS CABOS ............................................................................... 15 11. PERDAS DE PROTENSÃO NA SEÇÃO DO MEIO DO VÃO .................. 15

11.1. PERDAS POR ATRITO E ENCUNHAMENTO .................................. 15 11.2. PERDAS POR ENCURTAMENTO ELÁSTICO DO CONCRETO .... 18 11.3. PERDAS PROGRESSIVAS .................................................................. 19

12. ESTADO LIMITE ÚLTIMO NO ATO DA PROTENSÃO ........................ 24 13. VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES EM SERVIÇO ........................................ 25 14. ESTADO LIMITE ÚLTIMO .......................................................................... 26

14.1. SEGURANÇA À FLEXÃO SIMPLES ................................................. 26 14.2. SEGURANÇA ÀS SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS ........................ 29

3

1. SISTEMA ESTRUTURAL

25025060

50

250250

2%

250

V5

2%

250

V6

Laje total = 20 cmPré laje = 7 cm

50760760

60

1620

V7V1 V2 V3 V4

Corte transversal no meio do vão

Corte longitudinal

(medidas em cm)

4

2. PROPRIEDADES FISÍCAS E CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS DAS VIGAS

MPafck 35=

MPaEci 33130355600 ==

MPaEE cics 5,2816085,0 ==

MPaEG cs 21126440 ,, ==

MPaff ckmct 3,2 3,0 3 2, =⋅=

MPaff mctctk 25,27,0 ,inf, ==

inf,, ctkfctk ff ⋅= α

T Duplo 2,1 emSeção∴=α

MPaf fctk 7,225,22,1, =⋅=

Aço CP190 RB

MPaf ptk 1900=

MPaff ptkpyk 171019009,09,0 =⋅==

MPaE p 200000=

1,75,28160

200000==pα

250 (laje colaborante)

20

Viga pré-moldada

(meio do vão)

V1 V2 a V6

185 (laje colaborante)

20

Seções no meio do vão após o endurecimento do concreto da laje.

8

200

70

VIGA PREMOLDADA

2025

135

120

12

(apoio) 30

(vão) 20

5

Viga Extrema (V1 e V7) (meio do vão)

4

3

3

4

2

0103,0

452,0

747,0

500,0

825,0

37,1

83,0

685,0

105,1

mI

mk

mk

mW

mW

my

my

mI

mA

t

i

s

i

s

i

s

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Viga Interna (V2 a V6) (meio do vão)

4

3

3

4

2

0120,0

417,0

806,0

515,0

996,0

45,1

75,0

747,0

235,1

mI

mk

mk

mW

mW

my

my

mI

mA

t

i

s

i

s

i

s

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Viga Premoldada (meio do vão)

mk

mk

mW

mW

my

my

mI

mA

i

s

i

s

i

s

5259,0

5312,0

3865,0

3904,0

005,1

995,0

3884,0

735,0

3

3

4

2

=

=

=

=

=

=

=

=

3. APLICAÇÃO DO PROCESSO DE FAUCHART

ttv GIl

KEIl

K

24

=∴

=

ππ

Viga 1e 7 Vigas 2 a 6

Mola vertical 812 kN/m 886 kN/m Mola a torção 753 kN.m/rd 877 kN.m/rd

Barra tipo 1

Barra tipo 2

2

3 4 5

6

7 8 9 171615

14

131211 252423

22

212019

26

27

10 18

1

1620

Esquema transversal para a determinação dos esforços solicitantes nas vigas principais.

2) tipo(barra 00066660 20

1) tipo(barra 002250 30

4

2

2

2

4

1

2

1

mImA

mImA

,,

,,

=∴=

=∴=

Linha de influência transversal da viga 1

Ponto F(V1) Mt(V1) Ponto F(V1) Mt(V1) Ponto F(V1) Mt(V1) 1 0,715 0,173 10 0,102 -0,044 19 -0,035 -0,018 2 0,634 0,125 11 0,066 -0,045 20 -0,035 -0,014 3 0,553 0,080 12 0,034 -0,045 21 -0,034 -0,010 4 0,467 0,039 13 0,012 -0,042 22 -0,031 -0,007 5 0,387 0,012 14 -0,003 -0,039 23 -0,028 -0,004 6 0,318 -0,007 15 -0,016 -0,035 24 -0,025 -0,001 7 0,253 -0,023 16 -0,026 -0,031 25 -0,022 0,002 8 0,190 -0,036 17 -0,031 -0,026 26 -0,019 0,005 9 0,140 -0,042 18 -0,034 -0,022 27 -0,015 0,008

6

4. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS

4.1. CARGA PERMANENTE

� Viga 1 e 7

kN/m 38,1825735,00 =⋅=g (viga premoldada)

kN/m 25,9252,085,11 =⋅⋅=g (laje)

Guarda roda – 8,3 kN/m

Pavimentação – γ = 24 kN/m³, espessura de 10 cm => 2,4 kN/m²

Repavimentação – 2 kN/m²

Cálculo de g2 considerando o efeito grelha (Guarda roda, pavimentação e

repavimentação)

4,4 kN/m²

8.3 kN/m 8.3 kN/m

20201620

( ) ( )kN/m 75,12

63,124,2016,0688,03,8

2

2

=

⋅++−⋅=

g

g

(c/ engrossamento

23 m8 m 8 m

39 m

na alma)

40,38 kN/m43,7 kN/m

Carga permanente

4.2. CARGA VARIÁVEL

Será utilizado o veiculo classe 45 com carga em cada roda de 75 kN e carga

distribuída de 5 kN/m², exceto na projeção do veiculo. No entanto, de forma a

simplificar os cálculos, será considerada a

carga distribuída também na projeção do

veiculo (trem tipo homogeneizado) e este

acréscimo é subtraído da força pontual, ou

seja,

( )kNQ 60

6

36575 =

⋅⋅−=

7

0,715

0,614

0,358

A =

1, 8

4

507520

052

3

Q

q

Q

A =

-0,

21

5077

2

-0,015

LIN

HA

DE

IN

FLU

ÊN

CIA

DA

VIG

A 1

8

507520

01 3

1169

163

0,008

0,173

0,114

0,004

A =

0,1

3

A =

-0,

3 1

LIN

HA

DE

IN

FL

UÊ

NC

IA D

E T

OR

ÇÃ

O D

A V

IGA

1

q

9

� Viga 1

Coeficiente de impacto:

127,139007,04,1007,04,1 =⋅−=−= lϕ

( ) kNQk 73,65358,0614,0127,160 =+⋅⋅=+

m 37,1084,1127,15 kNqk =⋅⋅=+

3 x 65,73 kN

10,37 kN/m

Trem tipo positivo

kNQk 73,4035,02127,160 −=⋅⋅⋅=−

m 18,121,0127,15 kNqk −=−⋅⋅=−

3 x 4,73 kN

1,18 kN/m

Trem tipo negativo

( ) mkNTk . 98,7004,0114,0127,160 =+⋅⋅=+

m. 73,013,0127,15 mkNtk =⋅⋅=

+

3 x 7,98 kN.m0,73 kN.m/m

Trem tipo de torção positivo

mkNTk . 09,6045,02127,160 −=−⋅⋅⋅=−

m. 75,131,0127,15 mkNtk −=−⋅×=

+

3 x 6,09 kN.m1,75 kN.m/m

Trem tipo de torção negativo

10

5. COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES

Estado limite último: γg = 1,35 (desfavorável), γg =

1,00 (favorável) e γq = 1,5 (pontes)

kqqkggdFFF

,,γγ +=

Estado limite de serviço: ψ1 = 0,5 e ψ2 = 0,3 (longarinas

de ponte rodoviária)

Combinação rara:

kqkgCRd FFF ,,, +=

Combinação freqüente:

kqkgCFd FFF ,1,, Ψ+=

Combinação quase permanente:

kqkgCQPd FFF ,2,, Ψ+=

6. ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS (Viga 1)

Momentos fletores devido à carga permanente e variável.

Seção X Mg0 Mg Mq, máx Mq, mín

m kN.m kN.m kN.m kN.m 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 1,95 709,43 1504,16 725,11 -67,85 2 3,90 1336,35 2842,14 1372,33 -128,44 3 5,85 1880,76 4013,96 1941,67 -181,78 4 7,80 2342,65 5019,61 2433,13 -227,87 5 9,75 2727,11 5864,18 2846,70 -266,70 6 11,70 3041,62 6555,13 3182,39 -298,28 7 13,65 3286,23 7092,54 3445,13 -322,96 8 15,60 3460,96 7476,40 3639,84 -341,10 9 17,55 3565,79 7706,72 3756,66 -351,98

10 19,50 3600,74 7783,49 3795,60 -355,61 11 21,45 3565,79 7706,72 3756,66 -351,98 12 23,40 3460,96 7476,40 3639,84 -341,10 13 25,35 3286,23 7092,54 3445,13 -322,96 14 27,30 3041,62 6555,13 3182,39 -298,28 15 29,25 2727,11 5864,18 2846,70 -266,70 16 31,20 2342,65 5019,61 2433,13 -227,87 17 33,15 1880,76 4013,96 1941,67 -181,78 18 35,10 1336,35 2842,14 1372,33 -128,44 19 37,05 709,43 1504,16 725,11 -67,85 20 39,00 0,00 0,00 0,00 0,00

11

Envoltória de momentos fletores para diversas combinações. Combinações

Seção ELU Rara Freqüente Quase Permanente

Mmáx Mmín Mmáx Mmín Mmáx Mmín Mmáx Mmín 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 3118,27 1402,38 2229,27 1436,31 1866,71 1470,23 1721,69 1483,80 2 5895,39 2649,48 4214,48 2713,70 3528,31 2777,92 3253,84 2803,61 3 8331,36 3741,29 5955,64 3832,18 4984,80 3923,07 4596,46 3959,43 4 10426,17 4677,81 7452,74 4791,74 6236,18 4905,68 5749,55 4951,25 5 12186,69 5464,12 8710,88 5597,47 7287,53 5730,82 6718,19 5784,16 6 13623,01 6107,70 9737,52 6256,85 8146,32 6405,99 7509,85 6465,64 7 14742,61 6608,09 10537,66 6769,57 8815,10 6931,05 8126,07 6995,65 8 15552,89 6964,75 11116,23 7135,30 9296,32 7305,85 8568,35 7374,07 9 16039,06 7178,75 11463,38 7354,74 9585,05 7530,73 8833,71 7601,12

10 16201,11 7250,08 11579,09 7427,88 9681,29 7605,69 8922,17 7676,81 11 16039,06 7178,75 11463,38 7354,74 9585,05 7530,73 8833,71 7601,12 12 15552,89 6964,75 11116,23 7135,30 9296,32 7305,85 8568,35 7374,07 13 14742,61 6608,09 10537,66 6769,57 8815,10 6931,05 8126,07 6995,65 14 13623,01 6107,70 9737,52 6256,85 8146,32 6405,99 7509,85 6465,64 15 12186,69 5464,12 8710,88 5597,47 7287,53 5730,82 6718,19 5784,16 16 10426,17 4677,81 7452,74 4791,74 6236,18 4905,68 5749,55 4951,25 17 8331,36 3741,29 5955,64 3832,18 4984,80 3923,07 4596,46 3959,43 18 5895,39 2649,48 4214,48 2713,70 3528,31 2777,92 3253,84 2803,61 19 3118,27 1402,38 2229,27 1436,31 1866,71 1470,23 1721,69 1483,80 20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Envoltória de momento (ELU)

-18000,00

-16000,00

-14000,00

-12000,00

-10000,00

-8000,00

-6000,00

-4000,00

-2000,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Seção

Mo

men

tos

Mmáx - ELU

Mmin - ELU

12

7. ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS CORTANTES (Viga 1)

Envoltória de esforço cortante. Combinações

Seção Momentos Característicos(kN) ELU Freqüente

Vg Vqmáx Vqmín Vmáx Vmín Vmáx Vmín 0 813,97 391,82 -36,65 1686,59 758,99 1009,88 795,64 1 728,76 362,30 -34,21 1527,27 677,44 909,91 711,65 2 643,54 333,91 -32,89 1369,65 594,21 810,50 627,10 3 558,33 306,65 -43,17 1213,71 493,57 711,65 536,74 4 473,11 280,51 -54,67 1059,46 391,11 613,36 445,78 5 393,71 255,49 -67,29 914,74 292,76 521,45 360,06 6 314,96 231,61 -81,05 772,61 193,39 430,77 274,44 7 236,22 208,84 -95,93 632,17 92,34 340,64 188,26 8 157,48 187,21 -111,93 493,41 -10,41 251,09 101,52 9 78,74 166,70 -129,06 356,35 -114,85 162,09 14,21 10 0,00 147,32 -147,32 220,98 -220,98 73,66 -73,66 11 -78,74 129,06 -166,70 114,85 -356,35 -14,21 -162,09 12 -157,48 111,93 -187,21 10,41 -493,41 -101,52 -251,09 13 -236,22 95,93 -208,84 -92,34 -632,17 -188,26 -340,64 14 -314,96 81,05 -231,61 -193,39 -772,61 -274,44 -430,77 15 -393,71 67,29 -255,49 -292,76 -914,74 -360,06 -521,45 16 -473,11 54,67 -280,51 -391,11 -1059,46 -445,78 -613,36 17 -558,33 43,17 -306,65 -493,57 -1213,71 -536,74 -711,65 18 -643,54 32,89 -333,91 -594,21 -1369,65 -627,10 -810,50 19 -728,76 34,21 -362,30 -677,44 -1527,27 -711,65 -909,91 20 -813,97 36,65 -391,82 -758,99 -1686,59 -795,64 -1009,88

Envoltória de cortante (ELU)

-2000,00

-1500,00

-1000,00

-500,00

0,00

500,00

1000,00

1500,00

2000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Seção

V (

kN)

VmaxVmin

13

8. ENVOLTÓRIA DE MOMENTO TORSOR (Viga 1)

Envoltória de momento torsor. Combinações

Seção X Tg Tq, máx Tq, mín Limite Última Freqüente m kN.m kN.m kN.m Tmáx Tmín Tmáx Tmín

0 0,00 11,12 37,25 -51,69 70,89 -66,42 29,74 -14,73

1 1,95 10,00 34,75 -47,49 65,64 -61,23 27,38 -13,74

2 3,90 8,89 32,50 -43,52 60,75 -56,39 25,14 -12,87 3 5,85 7,78 30,48 -39,80 56,22 -51,92 23,02 -12,12 4 7,80 6,67 28,71 -36,32 52,06 -47,82 21,02 -11,49 5 9,75 5,56 27,17 -33,08 48,26 -44,07 19,14 -10,98 6 11,70 4,45 25,88 -30,09 44,83 -40,69 17,39 -10,60 7 13,65 3,33 24,83 -27,33 41,75 -37,67 15,75 -10,33 8 15,60 2,22 24,03 -24,82 39,04 -35,01 14,24 -10,19 9 17,55 1,11 23,46 -23,06 36,69 -33,47 12,84 -10,42 10 19,50 0,00 23,14 -23,14 34,71 -34,71 11,57 -11,57 11 21,45 -1,11 23,06 -23,46 33,47 -36,69 10,42 -12,84 12 23,40 -2,22 24,82 -24,03 35,01 -39,04 10,19 -14,24 13 25,35 -3,33 27,33 -24,83 37,67 -41,75 10,33 -15,75 14 27,30 -4,45 30,09 -25,88 40,69 -44,83 10,60 -17,39 15 29,25 -5,56 33,08 -27,17 44,07 -48,26 10,98 -19,14 16 31,20 -6,67 36,32 -28,71 47,82 -52,06 11,49 -21,02 17 33,15 -7,78 39,80 -30,48 51,92 -56,22 12,12 -23,02 18 35,10 -8,89 43,52 -32,50 56,39 -60,75 12,87 -25,14 19 37,05 -10,00 47,49 -34,75 61,23 -65,64 13,74 -27,38 20 39,00 -11,12 51,69 -37,25 66,42 -70,89 14,73 -29,74

ENVOLTÓRIA DE MOMENTO TORSOR (ELU)

-80,00

-60,00

-40,00

-20,00

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Seção

T (

kN.m

)

Tmax (ELU)Tmin (ELU)

14

9. ESTIMATIVA DA PROTENSÃO NECESSÁRIA

� Protensão limitada, que deve atender as seguintes condições:

Para a combinação quase permanente das ações, é respeitado o estado limite de descompressão (ELS-D), ou seja, estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da mesma.

( )kN

ek

MP

i

CQP 533615,037,1452,0

17,8922=

−+=

+≥∞

Para a combinação freqüente das ações, é respeitado o estado limite de

formação de fissura (ELS-F), ou seja, estado em que se inicia a formação de fissura. Admite-se que este estado é atingido quando a tensão normal de tração máxima é igual fct,f.

( )kN

ek

fWMP

i

fctiCF 498315,037,1452,0

500,0270029,9681,=

−+

⋅−=

+

⋅−≥∞

Adotando de 12,5 mm e considerando-se perdas de protensão de 25% (10%

imediatas e 15% progressivas), podemos calcular a força útil de cada cordoalha.

tracionada-pós Armadura740 ⇒=ptkpi

f,σ

kNAP ppii 8,1387,989,174,05,12,5,12, =⋅⋅== φφ σ

kNPP iútil 1048,13875,075,0 5,12, =⋅== φ

Com isso, podemos calcular a quantidade de cordoalhas necessárias:

51104

5336==n , serão utilizados 5 cabos de 10φ12,5 mm.

15

10. TRAÇADO DOS CABOS

11. PERDAS DE PROTENSÃO NA SEÇÃO DO MEIO DO VÃO

11.1. PERDAS POR ATRITO E ENCUNHAMENTO

Dados:

20,=µ coeficiente de atrito 0020,=k coeficiente de perda por metro devido às curvaturas não

intencionais do cabo.

∆x

tg γ

= β

∆x

σBσC

σA

A

B

1 2 ∆x∆x

C

A

B

1

C

2

PERDAS POR ATRITO PERDAS POR ENCURTAMENTO

a

Ah

16

� Cabo 1

Perdas por atrito ( ) ( )kx

piex +Σ−= αµσσ

18,018

59,1222 ≅=

∆

∆≅

∆

∆=

x

y

x

yarctgABα

MPapiA

01406,== σσ ( ) MPaeB 1,13091406 18002,0177,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ ( )

MPaeC 8,13031406 20002,0177,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ

Perdas por encunhamento

� 1xa ∆≤

MPa/mx

BA 38518

113091406

11

,,

=−

=∆

−=

σσβ

p

h

ppp E

Adx

EdxN

AE=⋅=⋅= ∫∫ σδ

11

Para p

hE

aaAxa 1

2

12

1

βδβ =⇒=⇒∆≤

)( 18 9,1438,5

006,0200000

1

okmmE

ap

<=⋅

=⋅

=β

δ

( )ptC

AlP σ=2/

( ) kNlP 85,12861000

7,98108,13032/ =

⋅⋅=

� Cabo 2

Perdas por atrito

MPa

A 01406,=σ

( ) MPaeB 7,13211406 15002,0159,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ ( )

MPaeC 6,13081406 20002,0159,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ

Perdas por encunhamento

� 1xa ∆≤

)( 15 6,1462,5

1200okmma <==

17

( ) kNlP 59,12911000

7,98106,13082/ =

⋅⋅=

� Cabo 3

Perdas por atrito

MPaA

01406,=σ ( ) MPaeB 5,13311406 12002,0152,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ ( )

MPaeC 4,13101406 20002,0152,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ

Perdas por encunhamento

� 1xa ∆≤

) ( 12 9,1321,6

1200oknãomma >==

� 21lax ≤<∆

( ) ( ))( 20 1,16

63,2

63,221,6121200 2

2

212

1okmm

xEa

p<=

−−=

−∆−⋅=

β

ββδ

( ) kNlP 36,12931000

7,98104,13102/ =

⋅⋅=

� Cabo 4

Perdas por atrito

MPa

A 01406,=σ

( ) MPaeB 3,13501406 10002,0102,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ ( )

MPaeC 5,13231406 20002,0102,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ

Perdas por encunhamento

� 1xa ∆≤

) ( 10 7,1457,5

1200oknãomma >==

� 21lax ≤<∆

18

( ))( 20 4,18

68,2

68,257,5101200 2

okmma <=−−

=

( ) kNlP 29,13061000

7,98105,13232/ =

⋅⋅=

� Cabo 5

Perdas por atrito

MPa

A 01406,=σ

( ) MPaeB 1,13791406 6002,00367,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ ( )

MPaeC 0,13411406 20002,00367,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ

Perdas por encunhamento

� 21lax ≤<∆

( )) ( 20 4,20

72,2

72,248,461200 2

oknãomma >=−−

=

� ?2 =∆⇒= pla σ

( )

21

222212

211 2

20xx

xxxxEma

p

∆+∆

∆+∆∆+∆−=∆∴=

βββδσ

( )MPa 4,2

20

1472,214672,22648,41200 22

=⋅+⋅⋅⋅+×−

=∆σ

( ) ( ) pCAlP σσ ∆−=2/

( ) ( )kNlP 20,1321

1000

7,98104,20,13412/ =

⋅⋅−=

� Protensão total após perdas por atrito e encunhamento

( ) kNlP 29,64992/ =∑ (6,4% de perda)

11.2. PERDAS POR ENCURTAMENTO ELÁSTICO DO CONCRETO

( )n

ncpgpp 2

1−+=∆ σσασ

MPaeI

M g

g 88,71000

85,0

685,0

74,36000−=×−==σ

19

MPaeI

P

A

P encatencat

cp 93,203884,0

85,0

735,0

1

1000

29,6499 22 =

+⋅=+= ++σ

( ) MPap 53,3110

1588,793,2004,6 =

−−⋅=∆σ

kNP 69,63431000/7,9810553,3129,64990 =⋅⋅⋅−=

Perdas imediatas no meio do vão:

%6,81006940

69,634311001 =×

−=×

Σ

Σ− +

i

encat

P

P

11.3. PERDAS PROGRESSIVAS

( ) ( )

( )pp

pgpcppcs

p t

tEt

ηραϕ

χ

χσϕσαεσ

∞+++

−∞+∞=∆

∞

∞

211 0

0000

,

,,,

( )∞∞ −−= ψχ 1ln

c

c

I

Ae

21+=η

c

pp A

A=ρ

28ci

pp E

E=α

gpc 0,σ é a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, provocada pela

protensão e pela carga permanente mobilizada no instante t0; ( )0, t∞ϕ é o coeficiente de fluência do concreto;

∞χ é o coeficiente de fluência do aço; Relaxação do aço

10005,2 ψψ =∞

%,, 3160

1000=⇒ ψ

ptkf

%,, 52701000

=⇒ ψptk

f

68,019007,98105

63436900

=⋅⋅⋅

=

∑

ptk

p

f

nA

P

Por interpolação linear temos:

%26,21,0

08,02,13,11000 =

⋅+=ψ

20

%65,526,25,2 =×=∞ψ

( ) %6,5056,00565,01ln ==−−=∞χ

Retração do concreto

( ) ( )[ ]00 1, tt scscs βεε −=∞ ∞

Onde:

fic

fic

csh

hUU

3208,0

233,0

159048416,610

24

+

+

+−−= −

∞ε

( )

Et

Dt

Ct

tB

tA

t

ts

+

+

+

+

+

=

100100100

10010010023

23

β

40=A 8,4220282116 23 −+−= hhhB

7,408,85,2 3 +−= hhC

8,649658575 23 −++−= hhhD

8,03958488169 234 +−++−= hhhhE h é a espessura fictícia da seção transversal

t é a idade fictícia do concreto Considerando os seguintes dados:

Umidade relativa do ar (U) de 75%

Abatimento entre 5 cm e 9 cm

Perímetro da seção transversal em contato com o ar (uar) é 5,8 m

Temperatura ambiente média = 20°

Cimento portland CP I

Protensão aos 10 dias após a concretagem

A espessura fictícia é dada por:

ar

c

fic u

Ah

2γ=

Onde:

21

( ) %,,, 90 1 1087 ≤+= +− Uparae Uγ

Logo

mh fic 66,08,5

105,1274,1 =

⋅⋅=

A idade fictícia do concreto é dada por:

∑ ∆+

=i

ief

i tT

t,30

10α

Onde:

α é o coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do cimento, e

podem ser empregados os valores da tabela a seguir.

Ti é a temperatura média diária do ambiente, em graus Celsius.

∆tef, i é o período, em dias, durante o qual a temperatura média do ambiente, Ti, pode ser admitida constante.

Valores de α para o cálculo da idade fictícia. (NBR6118)

Cimento portland (CP) α

Fluência Retração De endurecimento lento (CP III e CP IV, todas as classes de resistência) 1

1 De endurecimento normal (CP I e CP II, todas as classes de resistência) 2 De endurecimento rápido (CP V-ARI) 3

Logo, a idade fictícia do concreto para os cálculos da retração é igual a:

diast 101030

102010 =

+⋅=

Com isso podemos calcular a deformação por retração do concreto:

( ) 02,07,2221,08,5531,06,351,0

1,09,501,0401,010

23

23

=+⋅+⋅+

⋅+⋅+=sβ

42

4 1009,266,03208,0

66,0233,0

1590

75

484

7516,610 −−

∞ ×−=⋅+

⋅+

+−−=csε

22

( ) [ ] 440 1005,202,011009,2, −− ×−=−⋅−=∞ tcsε

Coeficiente de fluência do concreto

dfa ϕϕϕϕ ++=

Onde:

( )( )

−=

∞tf

tf

c

c

a

0180,ϕ , é o coeficiente de deformação rápida.

( ) ( )[ ]00

1 ttfff

βϕϕ −=∞∞

, , é o coeficiente de deformação lenta

irreversível.

( )fic

fic

f h

hU

+

+−=

∞ 200

4200350454

,

,,,ϕ

( )DCtt

BAttt

f ++

++=

2

2

β

11358835042 23 ++−= hhhA

2332343060768 23 −+−= hhhB

183109013200 23 +++−= hhhC

193135343319167579 23 ++−= hhhD

∞dϕ , é o coeficiente de deformação lenta reversível.

40,=∞d

ϕ

t é a idade fictícia do concreto

h é a espessura fictícia da seção transversal

A idade fictícia do concreto para os cálculos da fluência é igual a:

diast 201030

102020 =

+⋅=

A relação entre a resistência na idade t0 e fc(t∞) pode ser calculada através da

expressão abaixo:

23

( )ts

ck

ckje

f

f281 −= (NBR6118)

onde:

s = 0,38 para concreto de cimento CP III e IV;

s = 0,25 para concreto de cimento CP I e II;

s = 0,38 para concreto de cimento CP V-ARI;

t é a idade efetiva do concreto em dias;

Para calcular a relação desejada, basta considerar j no momento da protensão

e j → ∞ e dividir os valores, ou seja:

( )

( )

( )

( )

( )s

s

ck

ck

ck

ck

ck

ck

e

e

fjf

fjf

jf

jf 10281

1010 −

=∞→

=

=∞→

=

( )

( )

( )660

10250

250

10281250

,,,

,

==∞→

=⇒=

−

e

e

jf

jfs

ck

ck

Com isso podemos calcular o coeficiente de fluência do concreto:

[ ] 270660180 ,,, =−=aϕ

( ) 29,266,020,0

66,042,075035,045,4 =

+

+⋅−=∞fϕ

( ) 278,070,135332056,85020

30,9992069,3602020

2

2

=+⋅+

+⋅+=fβ

( ) [ ] 6512780129220 ,,,, =−=∞f

ϕ

40,=∞d

ϕ

32240651270 ,,,, =++=++=dfa ϕϕϕϕ

Cálculo da perda progressiva

%6,5=∞χ

24

4,3685,0

105,122,11 2 =+=η

36

1047,4105,1107,98105 −

−

×=⋅⋅⋅=pρ

04633130200000

28

,===ci

pp E

Eα

MPap 98,13160 =σ

MPaA

Pe

I

M

c

p

g

gpc 66,54,3105,1

34369,622,1

685,0

78349,700, −=−=−= ησ

MPap 11,1791047,44,304,6

2

32,21056,01

056,098,131632,266,504,62005,2

3

=

⋅⋅⋅

+++

⋅+⋅⋅+⋅=∆

−

σ

Com isso, podemos calcular a protensão após as perdas:

%07,191001406

11,17998,131611001 0

=×

−−=×

∆−−

pi

pp

σ

σσ

(ok) 533639,5615 87,1137 kNPMPap >=⇒= ∞∞σ

12. ESTADO LIMITE ÚLTIMO NO ATO DA PROTENSÃO

A NBR6118:2003 permite uma verificação simplificada realizada no estádio

I, para tanto é necessário que a tensão máxima de compressão, em modulo, não

ultrapasse 70% de fckj e a tensão máxima de tração não deve ultrapassar 1,2 vezes a

resistência à tração fctmj.

Assumindo que a protensão foi realizada antes da concretagem da laje, temos:

A resistência é dada por:

MPaeffef ckj

j

ck

t

ckj 5,29351028125,01028125,0

=⋅=⇒=

−=

−

MPafctmj

87252930 3 2 ,,, ==

As tensões nas fibras extremas são:

25

( )

( )[ ]MPa

W

ekPM

s

s

sg

s

77,3103904,0

138,0005,15312,069,634374,36003

00

=×

−−+=

−+=

∑

σ

σ

( )

( )[ ]

(ok) 65,205,297,0 5,13

5,13103865,0

138,0005,15260,069,634374,36003

00

MPaMPa

MPa

W

ekPM

i

i

i

ig

i

=×<=

−=×

−+⋅−−=

+−−=

∑

σ

σ

σ

13. VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES EM SERVIÇO

Os cálculos realizados até o momento, assumiram que o concreto tem uma

relação linear entre tensão e deformação. Segundo a NBR6118, isto é possível para

tensões de compressão menores que 0,5fck. Com isso é necessário que para a

combinação freqüente das ações (uma vez que a protensão é limitada) a máxima

tensão de compressão, em modulo, seja menor que 17,5 MPa.

( )

( )[ ]

(ok) 5,17355,0 43,8

10825,0

138,037,1747,039,561529,96813

MPaMPa

W

ekPM

s

s

s

sCF

s

=×<=

×

−−⋅+=

−+= ∞

σ

σ

σ

As tensões de tração não precisam ser verificadas, pois a protensão após as

perdas é maior que a mínima necessária calculada no item 9.

Vale lembrar que as verificações das tensões são apenas para o meio do vão,

sendo necessário efetuar tais verificações ao longo do comprimento da viga.

26

14. ESTADO LIMITE ÚLTIMO

14.1. SEGURANÇA À FLEXÃO SIMPLES

� Capacidade resistente sem armadura

passiva:

p

p

fpréE

∞≅

σγε

31012,5200

87,11379,0 −⋅=≅préε

Hipótese: O aço de protensão está escoando, logo

kNfAR pydppd 13,733815,1

17135,49 ===

Do equilíbrio de forças temos:

kNAfRR ccdpdcd 137338850 ,, =⇒=

Assumindo y < 20 cm temos:

kNyRcd 13,73381854,1

5,385,0 ==

(ok) 20 7,181855,385,0

13,73384,1<=

××

×= cmy

cmy

x 25,238,0

6,18

8,0===

2 Dominio0,2590,112,206

25,23⇒<==

pd

x

(ok) escoando Aço%1excessivo oalongamentpor Ruptura"" ⇒=∆⇒ pε

Com isso:

( ) ( ) mkNxdRM pcdrd . 144492325,04,0062,213,73384,0 =×−=−=

9

21

13

20

70

20

13

1515

CG

= 1

3.8

27

passiva armadura de Necessita11,16201 ⇒=< sdrd MM

� Cálculo da armadura passiva (CA-50), considerando que o ponto de

aplicação da força de compressão no concreto que o braço de alavanca z

não se altera:

mkNM . 17521444916201 =−=∆

( )2

2

7,195,437,185,0214

101752cm

fz

MA

yd

s =⋅⋅−

⋅=

⋅

∆≅

� Cálculo da armadura passiva (CA-50), por interpolação de duas

configurações de equilíbrio:

Os cálculos desta seção serão realizados impondo o valor de x/d (0,1, 0,2...

0,5). A partir daí, para cada valor adotado, calculam-se as deformações, as tensões e

os esforços resistentes. Sendo que a armadura necessária é calculada por interpolação

linear. O procedimento de cálculo é elaborado a seguir.

� Adotando x/d = 0,1, temos:

Para x/d < 0,259, domínio 2, ou seja, εs = 1%, com isso podemos calcular as

deformações no concreto e no aço protendido da seguinte forma:

cmycmx 121742180 42121410 ,,,,, =×=⇒=×=

xy

εc

εs

∆εp εpré

dpd

28

%,

%,,,,

,%

740

960421214

4212206101111 3

≅>∆+=

=−

−×=

−

−=∆ −

pydpprép

p

pxd

xd

εεεε

ε

Do equilíbrio de forças temos:

simples) (flexão0 ⇒==−− NRRRpdsdcd

2 97,13A035,4915,1

1715,4312,17185

4,1

5,385,0 cmA ss =⇒=×−−×

kNRsd 69,6075,4397,13 −=×−=

Do equilíbrio de momentos temos:

( ) ( ) ( )ssdsppdscdrd

ydRydRxyRM −+−+−= 40,

( ) ( )( ) mkN

M rd

. 54,1325483,014,269,607

83,0062,213,7338214,04,083,030,6730

=−⋅−

−⋅+×−⋅=

� Adotando x/d = 0,2, temos:

cmycmx 243484280 84221420 ,,,,, =×=⇒=×=

Domínio 2 95,08,42214

8,422,206%1%1 =

−

−=

−

−=∆⇒

xd

xd p

pε

forças) de o(equilibri0 ⇒=−−pdsdcd

RRR

LN

4 2.8

0

42

38.2

4

185

A=5645,44 cm²

kNR

kNR

pd

cd

13,733835,4915,1

171

56,1199644,56454,1

5,385,0

=×=

==

kNR

cmA

sd

s

42,46585,4309,107

09,1075,43

13,733856,11996 2

=×=

=−

=

29

Do equilíbrio de momentos temos:

( ) ( )( ) mkN

M rd

. 44,2304683,014,242,4658

83,0062,213,7338428,04,083,056,11996

=−⋅+

−⋅+×−⋅=

� Interpolação linear:

( )[ ] ( ) 2, 46,2297,1397,1309,107

54,1325444,23046

54,1325411,16201cmA necs =−+−−

−

−=

Armadura passiva: 8φ20 mm

14.2. SEGURANÇA ÀS SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS

� Cálculo da componente tangencial da força de protensão

O cálculo da perda de protensão na seção do apoio será feito de forma

estimada. As perdas por atrito e encunhamento são calculadas de forma simples

através das expressões do item 11.1, contudo, as perdas por encurtamento elástico e

as progressivas serão consideradas iguais às que foram calculadas para a seção do

meio do vão, ou seja, MPaprogenc 64,21011,17953,31 =+=∆ +σ .

A figura a seguir mostra o estado de tensões no cabo 1 após as perdas por

atrito e encunhamento.

1406

1309,11303,8

1325,8

1245,6

CABO 1

σ

x (m)

(MPa)

18 2

14.9

A tabela a seguir mostra os resultados para todos os cabos.

30

Cabo σp,at+em

(MPa)

σp∞

(MPa)

P∞

(kN)

αA

(rad) SenαA

P∞ SenαA

(kN)

1 1245,6 1035,0 1021,5 0,177 0,176 179,9

2 1242,0 1031,4 1018,0 0,159 0,158 161,2

3 1235,4 1024,8 1011,4 0,152 0,151 153,1

4 1249,6 1039,0 1025,5 0,102 0,102 104,4

5 1273,6 1063,0 1049,1 0,0367 0,0367 38,5

∑ = 637,1 kN

kNV máxsd 2,11131,6379,059,1686, =⋅−=

� Seção vazada equivalente

cmu

cmA

890

11780 2

=

=

Cálculo de he:

cmch

cmu

Ah

e

e

8422

23,13

1 =⋅=≥

=≤

Sendo que c1 a distância entre o eixo da

armadura longitudinal a face lateral da peça.

Adotando he igual a 8 cm temos:

cmu

cmA

e

e

858

8284 2

=

=

� Segurança ao esmagamento da

diagonal comprimida

Resistência da diagonal comprimida ao

esforço cortante, considerando o modelo I da

NBR6118.

∑ =⋅−=−= cmbb bainhawefw 5,2672

130

2

1, φ

185

32

20

12

163

25

70

30

31

kNdbfV wcdvrd 0,32922145,264,1

5,3

250

35127,027,02 =⋅⋅⋅

−⋅=⋅⋅⋅⋅= α

Resistência da diagonal comprimida à torção, considerando θ = 45°.

mkNhAfT eecdvrd ⋅=⋅

⋅⋅

−⋅=⋅⋅⋅⋅= 4,712

100

88284

4,1

5,3

250

3515,05,02 α

Condição de segurança para ação combinada de cortante e torção

)(144,04,712

89,70

0,3292

2,11131

22

okT

T

V

V

rd

sd

rd

sd ⇒<=+⇒≤+

� Determinação das armaduras

� Cortante

Segundo o modelo I, a parcela do esforço cortante resistida pelo concreto é:

0,

01 c

máxd

c VM

MV

+= , sendo

kNdbfV wctdc 8,5462145,264,1

225,06,06,00 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

( ) ( ) mkNkePM i ⋅=+−⋅=+= ∞ 3,9456452,0138,037,139,56150

kNVc 8668,54611,16201

3,94561 =⋅

+=

A parcela que deverá ser resistida pelo aço é:

kNVVV cmáxsdsw 2,2470,8662,1113, =−=−=

Com isso, podemos calcular a armadura que é dada por:

mcmdf

V

s

A

yd

swsw / 95,21005,432149,0

2,247

9,02=⋅

⋅⋅==

� Torção

32

Para θ = 45°, as armaduras transversal e longitudinal são iguais e dadas por:

mcmfA

T

u

A

s

A

yde

sd

e

sl / 98,05,438284,02

89,70

2290 =

⋅⋅===

� Segurança à fadiga

� Cortante

Para essa análise é considerada a combinação freqüente das cargas.

kNV máxCF 88,1009, =

kNV mínCF 64,795, =

kNVp 1,637−=

kNVcVVV pmáxCFsw 49,300,43339,57388,10095,09,0,1, =−−=−+=

075,21043339,57364,7955,09,0,2, <−=−−=−+= VcVVV pmínCFsw

( )MPa

dsA

V

sw

sw

sw 06,0102149,095,2

49,3

9,0/1

1 =⋅⋅⋅

==σ

(ok) 85 06,0006,0 MPaMPasw <=−=∆σ

� Torção

mkNT máxCF ⋅= 74,29,

mkNT mínCF ⋅−= 73,14,

kNTp 0≅

Como há mudança de sentido, será considerado o valor da torção máxima em

modulo (T = 29,74 kN.m) e o valor mínimo igual à zero.

( )MPa

AsA

T

esw

máxsw 2,1831098,08284,02

74,29

2/, =⋅⋅⋅

==σ

MPaMPasw 85 2,18302,183 >=−=∆σ

Logo

mcmA corrsw / 11,20,85

2,18398,0 2

, =⋅=

A armadura total por ramo é igual a:

mcmAA

A Ts

Vsw

sw / 56,311,22

95,2

22

,,

=+=+=

33

Armadura mínima:

2min, 84,330

500

2,32,01002,0 cmb

f

fA w

yk

ctm

sw =⋅⋅=⋅

=

Logo

mcmAsw / 84,3 2=

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

PEF - Departamento de Estruturas e Fundações

PEF2404 Pontes e Grandes Estruturas

2. Projeto da Infraestrutura

Professores : Fernando Rebouças Stucchi Kalil José Skaf

Editoração : Gregory Kwan Chien Hoo Rodrigo de Souza Lobo Botti

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No2

1. Sistema Estrutural

δ1δ1δ1δ1

1 Equação a 1 incógnita

δ2δ2δ2δ2 δ3δ3δ3δ3δ1δ1δ1δ1

δ4δ4δ4δ4 δ5δ5δ5δ5

5 Equações a 5 incógnitas

NOTA - Super em vãos Isostáticos -> Infra Estrutura mais Complexa

Fig. 1.1 - Esquema do Sistema Estrutural

2. Ações a Considerar

V { g1, g2, G2, q, Q, recalques de apoio, hiperestático de protensão }

Hl { frenação, aceleração, temperatura, retração, deformação lenta, protensão, empuxo de terra, eventual vento }

Ht { vento, força centrífuga, empuxo hidrodinâmico }

Casos de Carga a Considerar : 1 - Nmín. , Mconcomitante 2 - Nmáx , Mconcomitante 3 - Mmáx , Nconcomitante

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No3

3. Determinação das Reações de Apoio

3.1. Dados Geométricos da Ponte

24,00 m 30,00 m 24,00 m

10,00 m

14,00 m

23

φ = 1,20φ = 1,20φ = 1,20φ = 1,20

Fig. 3.1 - Corte Longitudinal Esquemático

Seção Transv. no VãoSeção Transv. nos Apoios Centrais

0,15 0,30

0,20

1,05

0,100,15

0,10

1,35

0,200,20

0,60

0,40

0,90

1,000,10

0,55

1,50 2,43

0,52

0,60

5,60 m 5,60 m

1,0

2,80 m 0,70 0,70 2,80 m5,40 m

Fig. 3.2 - Corte Transversal Esquemático

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No4

3.2. Características Geométricas A. Seção do vão B. Seção dos Apoios Centrais

H = 1,75 m H = 1,75 m

A = 5,463 m2 A = 6,072 m2

I = 2,082 m4 I = 2,569 m4

yi = 1,177 m yi = 1,082 m ys = 0,573 m ys = 0,668 m Wi = 1,769 m3 Wi = 2,373 m3

Ws = 3,633 m3 Ws = 3,848 m3

Ki = 0,324 m Ki = 0,391 m

Ks = 0,665 m Ks = 0,634 m

3.3. Cargas Permanentes

-g1

apoios internos : g1 = 6,072⋅ 25,00 = 151,8 kN/m g1 = 151,8 kN/m

vão e apoios externos : g1 = 5,463⋅ 25,0 = 136,6 kN/m g1 = 136,6 kN/m

-g2

pavimentação : g2 = 0,10⋅ 11,20⋅ 24,0 = 26,88 kN/m g2 = 26,88 kN/m

guarda rodas : g2 = 2⋅ 0,395⋅ 25,0 = 19,75 kN/m g2 = 19,75 kN/m

3.4. Esquema das cargas permanentes

Fig. 3.3 - Esquema das Cargas Permanentes

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No5

3.5. Cargas Variáveis (TT45)

ϕm = 1,4 - 0,007⋅ (24,00 + 30,00)⋅ 0,5 = 1,211 3.5.1. Todo tabuleiro carregado - trem tipo homogeneizado para flexão e cortante

Q = 1,211⋅ 2⋅ 60,0 = 145,32 kN Q = 145,32 kN q = 1,211⋅ 5,0⋅ 11,20 = 67,816 kN/m q = 67,816 kN/m

145,32 kN

67,816 kN/m

Fig. 3.4 - Esquema do TT homogeneizado

para todo tabuleiro carregado

- trem tipo de torção

5,35 m

3,35 m

5,0 ϕ 5,0 ϕ 5,0 ϕ 5,0 ϕ

60,0 ϕ 60,0 ϕ 60,0 ϕ 60,0 ϕ

Fig. 3.5 - Esquema do Carregamento para o Trem Tipo de torção

para todo tabuleiro carregado T = 1,211⋅ 60⋅ (5,35 + 3,35) = 632,142 T = 632,142 kNm

t = 0,0 t = 0,0 kNm/m

Fig. 3.6 - Esquema do Trem Tipo de torção para

todo tabuleiro carregado

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No6

3.5.2. Meio tabuleiro carregado

- trem tipo homogeneizado para flexão e cortante

Q = 1,211⋅ 2⋅ 60,0 = 145,32 kN Q = 145,32 kN q = 1,211⋅ 5,0⋅ 5,60 = 33,908 kN/m q = 33,908 kN/m

Fig. 3.7 - Esquema do TT homogeneizado para

meio tabuleiro carregado - trem tipo de torção

Fig. 3.8 - Esquema do Carregamento para o Trem Tipo de torção

para meio tabuleiro carregado

T = 1,211⋅ 60⋅ (5,35 + 3,35) = 632,142 T = 632,14 kNm

t = 1,211⋅ 5,0⋅ 5,602/2 = 94,9424 t = 94,94 kNm/m

Fig. 3.9 - Esquema do Trem Tipo de torção

para meio tabuleiro carregado

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No7

3.7. Reações de Apoio

- Peso Próprio

Ro = 0,3716⋅ 24,00⋅ (136,6 + 46,63) + 15,2⋅ 5,00/2⋅ (0,4092) + +15,2⋅ 6,00/2⋅ (-0,036) = 1648,026 kN

R0 = 1.648,026 kN

R1 = 1,2534⋅ 24,00⋅ (136,6 + 46,63) + 15,2⋅ 5,00/2⋅ (0,9884) + +15,2⋅ 6,00/2⋅ (0,9878) = 5.594,454 kN

R1 = 5.594,454 kN

- Trem tipo para Todo Tabuleiro Carregado (TTC)

R0máx = 145,32⋅ (1,000+0,923+0,846) + 67,816⋅ (0,4398+0,0167)⋅ 24,00 = 1.145,383 kN

R0máx = 1.145,383 kN

R1máx = 145,32⋅ (1,000+0,990+0,989) + 67,816⋅ (0,6217+0,7099)⋅ 24,00 = 2.600,199 kN

R1máx = 2.600,199 kN

R0mín = -145,32⋅ (0,1094+0,1076+0,1057) - 67,816⋅ 0,0849⋅ 24,00 = -185,077 kN

R0mín = -185,077 kN

R1mín = -145,32⋅ (0,1202+0,1150+0,1185) - 67,816⋅ 0,0783⋅ 24,00 = -178,840 kN

R1mín = -178,840 kN

- Trem tipo para Meio Tabuleiro Carregado (MTC)

R0máx, 1/2 = 145,32⋅ (1,000+0,923+0,846) + 33,908⋅ (0,4398+0,0167)⋅ 24,00 = 773,887 kN

R0máx, 1/2 = 773,887 kN

R1máx, 1/2 = 145,32⋅ (1,000+0,990+0,989) +33,908⋅ (0,6217+0,7099)⋅ 24,00 =1.516,554 kN

R1máx, 1/2 = 1.516,554 kN

R0mín, 1/2 = -145,32⋅ (0,1094+0,1076+0,1057) - 33,908⋅ 0,0849⋅ 24,00 = -115,957 kN

R0mín, 1/2 = -115,957 kN

R1mín, 1/2 = -145,32⋅ (0,1202+0,1150+0,1185) - 33,908⋅ 0,0783⋅ 24,00 = -15,986 kN

R1mín, 1/2 = -115,986 kN

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No8

Fig. 3.10 - Linha de Influência de R0

Fig. 3.11 - Linha de Influência de R1

3.8. Momentos Torçores

24 m 24 m30 m

1,0

Desprezada a variação da inércia à torção no apoio central

632,142 kNm

1,0

T0

T1

632,142 kNm

Fig. 3.12 - Esquema do Cálculo dos Momentos Torçores

- Todo Tabuleiro Carregado (TTC)

T0 = 632,142⋅ (1,000 +0,9375 + 0,8750) = 1.777,899 kNm T0 = 1.777,899 kNm

T1 = 632,142⋅ (1,000 +0,9375 + 0,9500) = 1.825,310 kNm T1 = 1.825,310 kNm

- Meio Tabuleiro Carregado (MTC)

T0, 1/2 = 632,142⋅ (1,000 +0,9375 + 0,8750) + 94,9424⋅ 1,000⋅ 24,00/2 = 2.917,208 kNm

T0, 1/2 = 2.917,208 kNm

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No9

T1. 1/2 = 632,142⋅ (1,000+0,9375+0,9500)+94,9424⋅ (1,000⋅ 24,00/2+1,000⋅ 30,00/2 ) = T1, 1/2 = 4.388,755 kNm

- Reações de Apoio Totais (Rg+ Rq)

Apoio 0 :

R0máx, TTC = 1.648,026 + 1.145,383 = 2.793,409 kN

R0máx, MTC = 1.648,026 + 773,957 = 2.421,913 kN

R0mín, TTC = 1.648,026 - 185,077 = 1.462,949 kN

R0mín, MTC = 1.648,026 - 115,957 = 1.532,069 kN

MTC TTC

R0máx (kN) 2.421,913 2.793,409

R0mín (kN) 1.532,069 1.462,949

T0 (kNm) 2.917,208 1.777,899

Apoio 1 :

R1máx, TTC = 5.594,454 + 2.600,199 = 8.194,653 kN R1máx, MTC = 5.594,454 + 1.516,554 = 7.111,008 kN R1mín, TTC = 5.594,454 - 178,840 = 5.415,614 kN R1mín, MTC = 5.594,454 - 115,986 = 5.478,468 kN

MTC TTC

R1máx (kN) 7.111,008 8.194,653

R1mín (kN) 5.478,468 5.415,614

T1 (kN m) 4.388,755 1.825,310

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No10

Fig. 3.13 - Esquema das reações dos Neoprenes

- Reações para Cálculo dos Neoprenes

Apoio 0 :

RR T

dkNmáx I

max

,

. , . ,

, , ,. ,0 2

2 421 913

2

2 917 208

5 40 0 10 0 451812 443− = + = +

− −= (MTC)

RR T

dkNmáx II

max

,

. , . ,

, , ,. ,0 2

2 793 409

2

1777 899

5 40 0 10 0 451763 282− = + = +

− −= (TTC)

RR T

dkNmín I

max

,

. , . ,

, , ,,0 2

2 421 913

2

2 917 208

5 40 0 10 0 45609 470− = + = −

− −= (MTC)

RR T

dkNmín II

max

,

. , . ,

, , ,. ,0 2

2 793 409

2

1777 899

5 40 0 10 0 451030 127− = + = −

− −= (TTC)

RR

kNmín III

mín

,

. ,,0 2

1462 949

2731 475− = = = (TTC)

Apoio 1 :

RR T

dkNmáx I

max

,

. , . ,

, , ,. ,1 2

8194 653

2

1825 310

5 40 0 10 0 454 473 679− = + = +

− −= (TTC)

RR T

dkNmáx II

max

,

. , . ,

, , ,. ,1 2

7 111 008

2

4 388 755

5 40 0 10 0 454 460 402− = + = +

− −= (MTC)

RR T

dkNmín I

max

,

. , . ,

, , ,. ,1 2

8194 653

2

1825 310

5 40 0 10 0 453720 974− = + = −

− −= (TTC)

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No11

RR T

dkNmín II

max

,

. , . ,

, , ,. ,1 2

7111 008

2

4 388 755

5 40 0 10 0 452 650 606− = + = −

− −= (MTC)

RR

kNmín III

mín

,

. ,. ,1 2

5 415 614

22 707 807− = = = (TTC)

Portanto:

Rmáx,0 = 1.812,443 kN Rmáx,1 = 4.473,679 kN

Rmín,0 = 609,470 kN Rmín,1 = 2.650,606 kN

3.10. Cálculo das Máximas Rotações de Apoio

Admite-se numa primeira aproximação, que a rotação de peso próprio é igual e contrária à da protensão. Muitas vezes, na prática, isto é próximo da verdade, mas é preciso sempre verificar.

E = 31.000.000 kN/m2 I = 2,082 m4

0 1 2 3

67,816 kN/m

145,320 kN

67,816 kN/m

Carregamento 1

0 1 2 3

67,816 kN/m

145,320 kN

Carregamento 2

M = -2.591,6 kNm M = -1.512,2 kNm

M = -4.405,6 kNm M = -4.405,6 kNm Fig. 3.8 - Esquema dos Carregamentos a serem considerados

1a Situação

ϕ0

3467 816 24 00

24

2 591 6 24 00

6

3 145 320 24 00 14 40

68 337 10=

⋅

⋅−

⋅

⋅+

⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ −, , . , , , , ,

,EI EI EI

rad

ϕϕϕϕ0000 = 8,337 = 8,337 = 8,337 = 8,337 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No12

ϕ1

3467 816 24 00

24

2 591 6 24 00

3

3 145 320 9 60 24 00

65 434 10=

⋅

⋅−

⋅

⋅+

⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ −, , . , , , , ,

,EI EI EI

rad

ϕϕϕϕ1111 = 5,434 = 5,434 = 5,434 = 5,434 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad

2a Situação

ϕ1

3467 816 30 00

24

4 405 6 15 00 3 145 320 15 00 30 00

66 648 10=

⋅

⋅−

⋅+

⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ −

, , . , , , , ,,

EI EI EIrad

ϕϕϕϕ1111 = 6,648 = 6,648 = 6,648 = 6,648 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad

3.11. Pré-dimensionamento dos Aparelhos de Neoprene

- Apoio 0 :

Ro, máx = 1.812,443 kN ϕϕϕϕ0, 0, 0, 0, máx = 8,337 = 8,337 = 8,337 = 8,337 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad

Neoprene = 300 x 400 ( 3* 0,008 neo ; 4*0,003 aço); e = 41 mm

- Apoio 1 :

R1, máx = 4.473,679 kN ϕϕϕϕ1, 1, 1, 1, máx = 6,648 = 6,648 = 6,648 = 6,648 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad

Neoprene = 500 x 600 ( 3* 0,011neo ; 4*0,004aço); e = 54 mm

4. Ações Horizontais

4.1. Longitudinais

- Frenação :

Fig. 4.1 - Esquema de cargas de frenação

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No13

F1 = ( 30% do TT ) = 0,3⋅ 450,0 = 135,0 kN F2 = 5% da carga total de multidão sobre a ponte = 0,05⋅ 5,00⋅ 11,20⋅ 78,00 = 218,4 kN Máx( F1; F2 ) = mais desfavorável = 218,4 kN

F = 218,4 kN

- Empuxo de Terra nos Encontros

Fig. 4.2 - Esquemas das cargas devido ao empuxo

ϕ = 30o ( )atrito γ solo = 18 0, kN / m3 c = 0 ( )coesão KA =1

3( )coef . empuxo ativo

E kN= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1

318 00 3 00

3 00

212 40 334 8, ,

,, ,

( Empuxo total devido ao aterro na cortina + travessa)

- Sobrecarga nos Aterros ( 5,0 kN/m2222 ) concomitante com frenação

Fig .4.3 - Esquema das cargas devido à sobrecarga

Es K q h lA= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =0 33 5 00 3 00 12 40 61 38, , , , , kN

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No14

Es = 61,4 kN

- Temperatura (NBR 6118) ∆t Co= ±15

- Retração (NBR 7197)

Ac = área da seção de concreto = 5,463 m2 ; u = perímetro em contato com o ar = 23,41 m;

γ = coef. f ( umidade relativa U) , em geral 0,70 ⇒ γ = 1,5

hA

umfic

c=

⋅⋅ =

⋅⋅ =

2 2 5 463

23 4115 0 70γ

,

,, ,

tomando a idade de desfoma da obra como sendo td = 5 dias tem-se : Ecs ( td ; hfic) ⇒ Ecs = -0,22⋅ 10−3 m ⇒ Temperatura equivalente à retração

ε α= = ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ = −− −∆∆ ∆ ∆

l

lt t t Cc

o0 22 10 10 223 5,

∆∆∆∆t = -22οC - Deformação Imediata e deformação Lenta devido à protensão (NBR 7197) Tensão média no concreto = Somatória dos Esforços de protensão = 3.000 kN/m2

Área com t0 = 30 dias ⇒ ϕ = ϕa + ϕf + ϕd = 2,0 E = 31.000.000 kN/m2

εσ

ϕ α= = ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ + = ⋅−∆

∆ ∆l

l Et t

M

c( ).

. .( , )1

3000

31000 0001 2 0 10 5

⇒ ∆t Co≈ 28 ( temperatura equivalente ao efeito de protensão )

Logo : Σ∆Σ∆Σ∆Σ∆t = 15 + 22 + 28 = 65oC 4.2. Transversais

- Vento

Vm = 40 m/s (gráfico das isopletas da velocidade básica de vento NBR-6123 para um período de retorno de 50 anos). Velocidade característica do Vento

Vk = S1⋅S2⋅S3⋅V0 S1 = fator topográfico = 1,0 (Variações na superfície do terreno); S2 = rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura sobre o terreno;

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No15

Considerando : - Rugosidade 4 : terreno coberto por numerosas e grandes construções com h > 25m; - Classe C : maior dimensão superior a 50m; - Altura sobre o terreno ~ 10m. S2 = 0,58 S3 = fator estatístico = 1,00 (segurança requerida ; vida útil da obra ); Vk = 1,00⋅ 0,58⋅ 1,00⋅ 40,00 = 23,20 m/s q = pressão dinâmica = Vk

2 = 23,202 = 34 kgf/m2 = 0,34 kN/m2 16 16 5. Distribuição Longitudinal das Ações (ver deduções na apostila teórica)

5.1. Determinação das Rigidezes dos Apoios

5.1.1. Apoio 0

- Rigidez do Tubulão

Fig. 5.1. - Esquema do Tubulão para cálculo

Coeficiente de mola = K⋅ b = 15000⋅ 1,20 = 18.000 kN/m2

(Ref. Vigas em apoio elástico. Renato Teramoto e C. Alberto Soares)

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No16

SK b

E I=

⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅⋅

=4

18 000

4 27 400 0001 2064

0 20044

4

.

. .,

,π

S⋅ l = 0,200⋅ 14,00 = 2,80

pP

b lkN mp= ⋅

⋅= ⋅

⋅=η 5 34

1 00

1 20 14 000 32 2,

,

, ,, / δ = = = ⋅ −p

Km

0 32

150002 1 10 5,

.,

KP

kN mTub = =⋅

=−δ

1 00

2 1 1046875 05

,

,. , / (rigidez de um tubulão)

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No17

- Rigidez do Neoprene Dureza Shore 60 ⇒ G = 1.000 kN/m2

KG A

hkN m K para neopreneN

N

N

N=⋅

=⋅ ⋅

⋅ + ⋅=

∑

1000 0 30 0 40

3 0 008 2 0 00254137 9 1

. , ,

, ,. , / ( )

1 1

2

1

27 604 5

00K K K

K kN mT Tub N

T=⋅

+⋅

→ = . , /

5.1.2. Apoio 1 - Pré-dimensionamento da Sapata

Rmáx,1 = 8.194,653 kN (Superestrutura)

Rg,PILAR = 0,70⋅ 5,40⋅ 8,00⋅ 25,0 = 756,0 kN RTotal = 1,04⋅ (8.194,653 + 756,0) = 9.308,679 kN (Nota : 1,04 é para considerar o pp da sapata ) Tensão média no solo : 850 kN/m2

A mS = =9.308,679

85010 95 2,

dimensão transversal = 7,40 m dimensão longitudinal = 10,95/7,40 = 1,48 m como não foram considerados os momentos Longitudinais e Transversais para verificar a

tensão no solo, consideraremos a dimensão longitudinal = 2,50m para posterior verificação

de σσσσsolo.

Fig. 5.2. - Dimensões da sapata

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No18

- Rigidez do Pilar

KE I

hkN mP =

⋅ ⋅=

⋅⋅

⋅=

3 3 27 400 000

10

0 70 5 40

1212 687 6

3 3

3. . , ,. , /

- Rigidez da Sapata

KK I

hkN mS

V Sapata=

⋅= ⋅

⋅=2 2

330 000

10

7 40 2 50

122 890 6

. , ,. , /

Kv = coef. de reação vertical do solo = 30.000 kN/m3

- Rigidez do Neoprene

KG A

hkN mN

N

N

=⋅

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅=

∑

1000 0 50 0 60 2

3 0 011 2 0 002515 789 5

. , ,

, ,. , /

- Rigidez Total do Apoio 1

1 1 1 12 048 8

11

K K K KK kN m

T P S N

T= + + → = . , /

5.1.3. Apoio 2 Aparelho de Apoio = Articulação Freyssinet

1 1 1 12 354 3

22

K K K KK kN m

T P S Apoio

T= + +→ ∞

→ = . , /

5.1.4. Apoio 3

K K kN mT T3 0 7 585 3= = . , /

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No19

6. Distribuição Longitudinal das Ações

6.1. Frenação

ΣKTi = 19.573,7 kN/m

i 0 1 2 3 K

K

Ti

Ti∑

0,387525

0,104671

0,120279

0,387525

Frenação: F = 218,4 kN

Apoio 0 1 2 3

F FK

Ki

Ti

Ti

= ⋅ =∑

84,6 kN

22,9 kN

26,3 kN

84,6 kN

6.2. Empuxo

Empuxo E = 334,8 kN

⋅ lado esquerdo

Fig. 6.1 - Modelos de resolução do empuxo

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No20

Ki K K K kN mT T T1

3

1 2 3 2 048 8 2 354 3 7 585 3 11988 4∑ = + + = + + =. , . , . , . ,

1 1 1 1

8 275 8

1

11988 44 896 0

K K KiK kN m

EQ AP

EQ= + = + ⇒ =∑ . , . ,

. ,

E EK

K KkN

EQ

EQ ENC

1 334 84 896 0

4 896 0 93 750 016 62= ⋅

+= ⋅

+=,

. ,

. , . ,,

E1 = 16,62 kN (empuxo transmitido para o neoprene)

E2 = E - E1 = 334,8 - 16,62 E2 = 318,18 kN (empuxo transmitido para o tubulão)

Fig. 6.2 - Esquema da Distribuição de Cargas

EA0= E1 = 16,6 kN

E EK

Ki

KAn

Tn Tn= ⋅ = ⋅

∑1 16 6

11988 4,

. ,

Empuxo : E kNA0 16 6= ←, E kNA1 2 8= →, E kNA2 3 3= →, E kNA3 10 5= →,

•••• Lado Direito

Pelo fato da rigidez dos tubulões e neoprenes do apoio 3 serem iguais aos do apoio 0 resulta :

Fig. 6.3 - Esquema da Distribuição de Cargas

Empuxo : E kNA0 10 5= ←, E kNA1 2 8= ←, E kNA2 3 3= ←, E kNA3 16 6= →,

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No21

Composições :

Lado Esquerdo

Lado Direito

Fig. 6.4 - Esquema da Composição de Esforços

Logo nos apoios 0 e 3 as forças se somam e nos apoios 1 e 2 se subtraem. E E kNA Total A Total0 3 16 9 10 8 27 7= = + =, , ,

E E kNA Total A Total1 2 0 0= = ,

6.3. Sobrecarga Sobrecarga nos Aterros Es = 61,4 kN

A resolução da sobrecarga é identica ao do empuxo, portanto:

E EK

K KkNS S

EQ

EQ ENC

1 61 44 896 0

4 896 0 93 750 03 05= ⋅

+= ⋅

+=,

. ,

. , . ,,

ES1 = 3,05 kN (sobrecarga transmitida para o neoprene) ES2 = ES - ES1 = 61,4 - 3,05

ES2 = 58,35 kN (sobrecarga transmitida para o tubulão) EA0= ES1 = 3,1 kN

E EK

Ki

KAn S

Tn Tn= ⋅ = ⋅∑

1 3 0511988 4

,. ,

Sobrecarga no lado esquerdo : E kNA0 31= ←, E kNA1 0 5= →, E kNA2 0 6= →, E kNA3 1 9= →,

Sobrecarga no lado direito: E kNA0 1 9= ←, E kNA1 0 5= ←, E kNA2 0 6= ←, E kNA3 3 1= →,

A sobrecarga nos aterros pode atuar só de um lado, ou, nos dois, logo : E kNA0 5 0= , E kNA1 0 5= , E kNA2 0 6= , E kNA3 5 0= ,

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No22

6.4. Temperatura + retração + protensão ∆t C

o=∑ 65

Fig.6.5. Esquema fictício para cálculo

Fi = Ki . δi

δ0 = 0 →F0= 0 δ1 = 10-5 ⋅ 24,00 ⋅ 65 = 0,0156 m →F1= K1 ⋅ δ1 = 2048,8 ⋅ 0,0156 = 31,96 kN δ2 = 10-5 ⋅ (24,00+30,00) ⋅ 65 = 0,0351 m →F2= K2 ⋅ δ2 = 2354,3 ⋅ 0,0351 = 82,69 kN δ3 = 10-5 ⋅ (24,00+30,00+24,00) ⋅ 65 = 0,0507 m →F3= K3 ⋅ δ3 = 7585,3 ⋅ 0,0507 = 384,57 kN

Fig.6.6 Resumo das forças aplicadas

A temperatura é gerada por forças internas portanto, sua somatória deve ser igual a zero. Assim sendo a resultante (R) deve ser reequilibrada pelos quatro apoios.

Fig.6.7. Esquema do reequilíbrio de forças

FK

KRi

i

i

= ⋅∑

Apoio 0 1 2 3

K Ki i∑ 0,388 0,105 0,120 0,388

F

193,65 kN

→→→→

52,41 kN

→→→→

59,90 kN

→→→→

193,65 kN

→→→→

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No23

A força total portanto é a soma destas duas, ou seja: F0 = 0 + 193,65 = 193 kN F1 = -31,96 + 52,41 = 20,45 kN F2 = -82,64 + 59,90 = -22,74 kN F3 = -384,57 + 193,65 = -190,92 kN

Apoio 0 1 2 3

F Ki Ti i= ⋅ =δ

193,4 kN

←←←←

20,45 kN

←←←←

22,74 kN

→→→→

190,92 kN

→→→→

- Resumo

Apoio Frenação

(kN)

Empuxo

(kN)

Sobrecarga

(kN)

Temperatura

(kN)

0 84,6 27,7 5,0 193,4

1 22,9 0,00 0,5 20,45

2 26,3 0,00 0,6 22,74

3 84,6 27,7 5,0 190,92 Os esforços estão sem sinal uma vez que a frenação pode inverter o sentido, a tendência dos esforços de (Sobrecarga + Empuxo) e Temperatura é de subtração uma vez que devido à protensão + retração a ∆Ttotal é negativa.

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No24

7. Análise da Distribuição Transversal - Vento

- Determinação da Rigidez do Apoio 0

Fig. 7.1 - Modelo de cálculo transversal do tubulão

obs: Tenho por hipótese o tubulão engastado na travessa. Rotação no topo sem o engastamento

( )ϕ ηφ= ⋅⋅

⋅S

K bP

2

ϕ = ⋅ ⋅ = ⋅ −198

100

0 200

18 0001 00 4 40 10

26( , )

., , rad

Momento que restitue a rotação

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No25

( )ϕ ηφ= ⋅⋅

⋅S

K bM

3

4 40 10399

100

0 200

18 0006

3

,( , )

.⋅ = ⋅ ⋅− M

M= 2,48 kNm

Pressão no terreno

pl

kN m= ⋅⋅

= ⋅⋅

=ηφ

M

b 2 2215 48

2 48

1 20 14 000 16,

,

, ( , ), /

Deslocamento devido ao Momento (Lei de Hooke)

δ = = = ⋅ −p

K

0 16

150001 07 10 5,

., m

Deslocamento Total (Devido a F e M) δ = (δH - δm) = (2,1 - 1,07)⋅ 10-5 = 1,03⋅ 10-5 m obs: δH foi calculado no item 5.1 Rigidez de um Tubulão

KTUB = =⋅

=−

FkN m

δ

1

1 03 1097 087 05,

. , /

Rigidez de um Neoprene KN = 4.137,9 kN/m Rigidez Total do Apoio 0

1

K=

1

2 K

1

2 KK

T0 TUB NT0⋅

+⋅

→ = 7 937 5. , /kN m

Rigidez Total do Apoio 1

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No26

Pilar (Rigidez transversal do pilar)

K =3 E I

h

3 27.400.000

10PT

3 3

⋅ ⋅=

⋅⋅

⋅=

5 40 0 70

12755039 9

3, ,. , /kN m

Neoprene KN = 15.789,5 kN/m

Sapata K =K I

h

30.000

10SV S

2 2

⋅= ⋅

⋅=

2 50 7 40

1225 326 5

3, ,. , /kN m

Rigidez Total do Apoio 1

1

K=

1

K

1

K

1

KK

T1 P N ST1+ + → = 9 602 3. , /kN m

Rigidez Total do Apoio 2

1

K=

1

K

1

K

1

K=

1

K

1

KK

T2 P F S P ST2+ + + → = 24 504 5. , /kN m

Rigidez Total do Apoio 3 KT3 = KT0 = 7.937,5 kN/m Determinação do centro elástico admitindo a superestrutura como viga rígida sobre apoios eláticos. Centro elástico:

aK S

K

i i

i

=⋅

=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∑

∑

7937 5 0 00 9602 3 24 00 24 504 5 54 00 7937 5 78 00

4 99316

, , , , . , , , ,

. ,

a = 43,47 m

Fig 7.2 - Distâncias ao centro elástico

Força Devido ao Vento por metro (Norma NBR XXX) p C q hx= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + =2 0 0 34 2 0 1 75 2 6, , ( , , ) , kN / m

TT Estr.

Reação em cada apoio (Courbon)

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No27

RK

KP M

K e

K ei

i

i

i i

i i

= ⋅ + ⋅⋅

⋅∑ ∑ 2

RK K e

i

i i i= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

⋅

49 98182 6 78 00 2 6 78 00 4 48

30820 201 33. ,, , , , ,

. . ,

Fig. 7.3 - Esquema das cargas

R0 = 42,4 kN R1 = 44,5 kN R2 = 91,8 kN R3 = 24,1 kN

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No28

8. Dimensionamento dos Apoios

8.1. Apoio 0

- Transversal

4,90

2,70 2,707,00

Rvento

Rsuper RsuperA B Rmuro de ala

Peso Prop da Travessa+Cortina+Lajede Aproximação

8.1 - Modelo estático transversal

Reações da Superestrutura A (kN) B(kN)

Peso Próprio 824,02 824,02 Peso Próprio +Meio Tab. Carreg.(MTC) 1.812,44 609,47 Peso Próprio +Todo Tab. Carreg.(TTC) 1.763,28 1.030,13 R0vento = 42,4 kN

0,80

3,50

3,00e = 0,25

Fig. 8.2 - Esquema do muro de ala

Rmuro de ala = Vol⋅ γc= (3,00+ 0,50)⋅ 0,5⋅ 3,5⋅0,25⋅ 25 = 38,3 kN

0,25

4,00

0,30

1,20

1,80

1,20

Fig. 8.3 - Esquema da travessa, cortina e laje de aproximação

g = Peso Próprio da Travessa + Cortina + Laje de aproximação =

= ( 1,20⋅ 1,20 + 0,25⋅ 1,80 + 0,30⋅ 4,00)⋅ 25,0 = 77,3 kN/m

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No29

Verificação dos Neoprenes do apoio 0 (Encontro)

Rmáx = 1.812,44 kN Rmín = 609,47 kN ϕ = 8,34⋅ 10-4 rd Neoprene: 0,30 x 0,40 m

3 placas de neoprene de 0,008 m aço: 3 x 0,003 m cobrimento: 2 x 0,0025 m hneop= 0,029 m Esforços totais para 2 neoprenes: Hfrenação = 84,6 kN Hsobrecarga = -5,0 kN H∆t = 193,4 kN Hvento = 42,4 kN Hempuxo = -27,7 kN

- Fator de Forma do Neoprene

µ =⋅

⋅ ⋅ +=

⋅

⋅ ⋅ +=

a b

h a b2

0 30 0 40

2 0 008 0 30 0 4010 71

( )

, ,

, ( , , ),

- Verificação da Ligação Elastômero-aço

τ τ ταN H G+ + ≤ 5 G: Módulo de elasticidade transversal do neoprene

τσ

µNN

= ⋅ = ⋅⋅

⋅ =15 1 51812 44

0 30 0 40

1

10 712 115 36 2, ,

. ,

, , ,. , /kN m ≤ 3G = 3000 kN/m2

τH =⋅

H

a b H = Hestático + 0,5 Hdinâmico

Hestático = H∆t = 193,4 = 96,70 kN 2 Hdinânico Long. = Hfrenação = 0,5 ⋅ 84,6 = 21,15 kN 2 Hdinâmico Trans. = Hvento = 0,5 ⋅ 42,4 = 10,60 kN

2

HTOTAL kN= + + =( , , ) ( , ) ,96 70 2115 10 60 118 332 2

Adota-se 0,5 Hdinâmico porque verifica-se experimentalmente que G vale o dobro nestas situações.

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No30

τH =⋅

=⋅

=H

a bkN m

118 33

0 30 0 40986 08 2,

, ,, / > 0,7G = 700 kN/m2

Portanto o neoprene deve ser redimensionado

τ ϕα = ⋅⋅

= ⋅⋅

⋅ =−G a

h htg tg kN m

i2

1000

2

0 30

0 008 0 02934 10 161 76

2 24 2( )

. ,

, ,(8, ) , /

τα = 161 76 2, /kN m ≤ 1,5G = 1.500 kN/m2

τ = + + = < =∑ 2115 36 986 08 161 76 3 263 20 5 5000, , , . , kN / m kN / m2 2G

(em geral OK)

- Condição de Não Deslizamento

f⋅ N > H

f = 0,10 + _600_ (fator de atrito) σNmin

σ Nmín=

⋅=

609 47

0 30 0 405078 92

,

, ,. , kN / m2

f = 0,10 + _600____ = 0,22 5.078,94

f⋅ N = 0,22⋅ 609,47 = 132,95 > HTOTAL = 118,33 kN (OK)

σN ≥ 2.000 kN/m2 = 5.078,92 kN/m2 (OK)

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No31

- Condição de Não Levantamento do Bordo Menor Comprimido

∆ha

Gtg> ⋅ ( )ϕ

a

Gtg⋅ ( )ϕ =

0 3034 10 4 18 104 5,

(8, ) ,G

tg⋅ ⋅ = ⋅− −

∆hh hi i

=⋅

⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅

⋅

⋅ ⋅ + ⋅∑ ∑

σ

µ σ

σ

µ σN

i2

N

N

i2

N4 G 4 G31 4

31

3

1

2

,'

'

hi = Altura dos neoprenes internos = 0,008 m h’i = Altura do combrimento = 0,0025 m µ = Fator de forma das camadas internas = 10,71 µ’ = Fator de forma do cobrimento = 34,29 σN

2

mínkN / m= 15103 67. ,

Resulta ∆h = 74,13⋅ 10-5 m > 4,18⋅ 10-5 m (OK) - Verificação da Resistência das Chapas de Aço

c ≥ 2⋅σNmaxd ⋅ hi Fyk = 25.000 kN/m2 (A36)

Fyd

c ≥ 2⋅ 15103,67 ⋅ 1,4 ⋅ 0,008 25000/ 1,15 c ≥ 0,0156 cmin = 2 mm

- Verificação da Durabilidade

1) tg γ ≤ 0,5 para cargas estáticas 2) tg γ ≤ 0,7 para cargas estáticas + dinâmicas

1) tgG

γτ

= =⋅ ⋅

⋅ = >193 4

2 0 30 0 40

1

10000 806 0 5

,

, ,, , (Não OK)

2) tgG

γτ

= =⋅

⋅ = >118 33

0 30 0 40

1

10000 986 0 7

,

, ,, , (Não OK)

Solução: Aumentar a altura do neoprene e proceder a redistribuição de esforços na infraestrutura.

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No32

- Análise do Pilar do Apoio 1 (70 x 540)

hpilar = 8,00 m Rmax super = 8194,65 kN Rg pilar = 756,0 kN ΣR = 8.950,65 kN Mt =1.825,31 Knm (torçor da super p/ TTC) ec = erro construtivo do pilar na direção da menor inércia ec = Ll = 2 ⋅ 800 = 0,053 m Ll = comprimento de flambagem 300 300 Fl = 43,45 kN (Força horizontal longitudinal) Fl = 42,30 kN (Força horizontal transversal) Kφ = Kv ⋅ Isapata = 7,40 ⋅ 2,503 ⋅ 30.000 = 289062,50 kNm/rad (mola a rotação na base) 12 Modelo estático

Fig 8.4 - Modelo estático

(analise não linear sempre com ações de cálculo)

Momento Longitudinal Total de 1ª Ordem

M1ªd = 1,4⋅ (43,45⋅ 8,00 + 8950,65⋅ 0,053) = 1.150,78 kNm observar que o peso próprio do pilar foi admitido aplicado na cabeça do pilar a favor da segurança Aplicação do Processo do Pilar Padrão

a = Ll2⋅ ( 1/r)base a = excentricidade de 2ª ordem

10 1/r = curvatura na base do pilar Ll = 2⋅ L A expressão acima é obtida admitindo-se a linha elástica uma senóide

ec

Rd Fd

8,00 m

Kθ

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No33

y = a⋅ sen π x Ll

Fig. 8.5 - Linha elástica

A fim de predimensionar a armadura, uma vez que a curvatura na base é função desta, será admitido em 1ª aproximação: Mtotal d = M1ª d + M2ª d = 1,2 M1ª d

pelo ábaco de Montoya: Nd = 1,4⋅ 8.950,65 = 12.530,91 kN Md = 1,2⋅ 1.150,78 = 1.380,99 kNm ν = Nd = 12.530,91 = 0,258 Ac⋅ Fcd 0,70⋅ 5,40⋅ 18.000 1,4 µ = Md = 1.380,93 = 0,041 Ac⋅ hp⋅ Fcd 0,702⋅ 5,40⋅18.000 1,4 ω = 0,0 portanto As min

Asmin = 0,8 ⋅ Ac = 0,8 ⋅ 70 ⋅ 5,40 = 302,40 cm2 ou 151,20 cm2/face 100 100 que corresponde a ω = As⋅ Fyd = 0,27 Ac⋅ Fcd das tabelas momento/curvatura (livro do prof. Fusco) temos

y

x

L

L

a

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No34

µ,ν,ω → 1/r (1/r)base = 0,30⋅ 10-3 m-1 resulta a = (2⋅ 8,0)2 ⋅ 0,00030 = 0,008 m 10 M2ª d = 12.530,91⋅ 0,008 = 96,24 kNm Mtotal d = 1.150,78 + 96,24 = 1.274,02 kNm Acréscimo de excentricidade no topo do pilar devido a rotação da base ∆e = Mtotal d ⋅ l = 1.247,02 ⋅ 8,00 = 0,035 m Kθ 289.082,50 Acréscimode momento da base ∆Md = 0,035⋅ 12.530,91 = 432,47 kNm Momento total na base Mtotal d = 1.150,78 + 96,24 + 432,47 = 1.679,49 kNm Caberia agora mais um ciclo de interação calculando-se novamente a nova excentricidade de 2ª ordem, ∆e, etc, porem, como o pilar foi armado com As min vamos verificar qual é o seu momento resistente para Nd atuantes. com ω = 0,27 e ν = 0,258 pelo ábaco de Montoya → µ = 0,15 → Md = 6.212,35 kNm >>>Md total = 1.679,49 kNm portanto não é necessária nova inteiração Análise da Flexo Compressão Obliqua Nd = 12.530,91 kN → ν = 8,258 Md = 1.679,49 kNm → µ = 0,060 MTd = 1,4⋅ (1.825,31 + 42,30⋅ 10,00) = 3.147,63 kNm → µt = 0,012 → ω ≅ 0,00 → As min OK! portanto 98 φ20 mm CA-50 04 φ20 c/ 12,5 cm