APOSTILA MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL

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NDICE

Contedo Conjunto dos nmeros naturais; Operao em N : adio e subtrao , expresso numricas em N, multiplicao e diviso , potenciao e radiciao; Mltiplos e divisores: MMC e MDC Nmero fracionrios: reduo e comparao de fraes . operao com fraes; Numerais decimais: operao de fraes , operao com fraes : Razes e propores: aplicao das propores, grandeza proporcional, regra de trs: Expresses algbricas: operaes algbricas, produtos notveis, fatorao; Conceito de Funo Funo do 1 grau Taxa de Porcentagem Juros Simples ngulos congruentes Equaes do 2 Grau Comprimento da Circunferncia Medida de Superfcie Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo ngulos agudos e ngulos obtusos ngulos complementares ngulos suplementares ngulo opostos pelo vrtice Classificao dos polgonos Bibliografia a Consultar

Pg. 02 02 05 07 08 20 10 14 16 24 26 27 28 31 32 39 44 45 47 48 51 56

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Nmero NaturalNo levando em conta a qualidade dos elementos que constituem os conjuntos que esto em correspondncia biunvoca, verificamos que eles possuem uma propriedade comum a quantidade de elementos ou o nmero de elementos. A propriedade comum aos conjuntos que podem ser colocados em correspondncia biunvoca o que chamamos de nmero natural. Os nmeros naturais constituem um conjunto denominado conjunto dos nmeros naturais . indica-se pela letra N. N = { 0, 1 ,2, 3 , 4 . . . } N* = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . . . } o conjunto dos nmeros naturais excludo o 0.

Operaes fundamentais com nmeros naturaisAdio A reunio de dois conjuntos A e B disjuntos ( sem elementos comuns ) constituda pelos elementos que pertencem a A ou a B. A B Sejam : n(A) = 6 nmero de elementos do conjunto A n(B) = 5 nmero de elementos do conjunto B

Da resulta: n(A U B ) = 11 nmero de elementos do conjunto reunio. Vemos que : n(A) + n(B) = n (A U B ou 6 + 5 = 11 A operao que fizemos chama-se adio, 6 e 5 so as parcelas e o resultado da operao , 11 , a soma . A adio faz corresponder a dois nmeros dados em certa ordem ( par ordenado ) um nico nmero que a soma do primeiro com o segundo. Atividade de Classe 1. Responda: a)Como se chamam os termos de uma adio? b) Na igualdade 36 + 64 = 100 , como chamado o nmero 100 ? c) Na igualdade 21 + 69 = 90 , como se chamam os nmeros 21 e 69 ? 2. Calcule: a) 85 + 135 b) 3025 + 4975 c) 2001 + 299 d) 3025 + 4975 e) 10906 + 3286 f) 43205 + 16895 3. Resolva os problemas: a) Helena tinha um saldo de Cr$ 172 906,00 na sua caderneta de poupana.. No ltimo trimestre, recebeu Cr$43 218,00 de juros e correo monetria. Com que saldo ficou? 2

b) Jnior comprou um aparelho de som para o seu carro por Cr$ 165 400,00. A seguir, pagou Cr$ 13 500,00 para a sua instalao . Quanto gastou ao todo? c) De acordo com o censo de 1980, Rondnia , o mais novo estado da Federao, tem uma populao urbana de 233 301 habitantes e uma populao rural de 259 509 habitantes. Qual a populao total de Rondnia ? Propriedade estruturais a) Fechamento : A soma de dois nmeros naturais um nmero natural . 5N,6N(5+6)N b) Comutativa: A ordem das parcelas no altera a soma. 4 + 8 = 12 4 + 8 =8 + 4 8 + 4 = 12 c) Elemento neutro: No conjunto dos nmeros naturais , zero chamado elemento neutro da adio. 5 + 0 = 5; 0 + 7 = 7 d) Associativa: A adio de trs parcelas pode ser feita associando se as duas primeiras ou as duas ltimas parcelas indiferentemente. ( 5 + 13 ) + 4 = 5 + ( 13 + 4 )

}

Atividade de Classe 1. a) b) c) d) e) f) 2. a) b) c) Nas relaes abaixo, diga qual a propriedade estrutural que est sendo empregada: 9 N , 15 N ( 9 + 15 ) N 8+7=7+8 18 + 0 = 18 (22 + 15) + 17 = 22 ( 15 + 17 ) 0+9=9 32 + 18 = 18 + 32 Copie as sentenas seguintes, completando-as para que fiquem verdadeiras: Numa adio, a ordem das parcelas no altera a .............................................. O elemento neutro da adio o nmero ......................................................... A soma de dois nmeros naturais um nmero ...............................................

Multiplicao Produto de dois nmeros Consideremos a soma de 5 parcelas iguais a 3. 3 + 3 + 3 + 3 +3 = 15 Esta soma pode ser indicada por 3 x 5 = 15 ( ou 3 . 5 = 15 ) que se l : 3 vezes 5 igual a 15, e recebe o nome de produto. Pode se dizer que produto a soma de parcelas iguais e a operao a multiplicao . Ento:

MULTIPLICAR SOMAR PARCELAS IGUAIS

A parcela que se repete, chama-se multiplicando; o nmero de parcelas repetidas, multiplicador e o resultado, produto. 3

3 x 5 = 15 produto multiplicador multiplicador

}

so tambm chamados fatores

No se pode falar em produto, se o multiplicador for 1 ou 0 . Entretanto , aceita-se que a multiplicao de qualquer nmero por 1 d o prprio nmero e a multiplicao de qualquer nmero por zero d zero. Assim: 3 x 1 = 3; 3 x 0 = 0 Pode-se dizer que a multiplicao faz corresponder a dois nmeros dados em certa ordem ( par ordenado ) um terceiro nmero que o produto do primeiro pelo segundo. Assim: ( 3 , 5 ) X 15

ao par ordenado ( 3, 5 ) , a multiplicao faz corresponder o nmero 15 qual o produto de 3 por 5 3. a) b) c) d) e) f) Calcule: 83 x 35 123 x 42 75 x 39 209 x 78 47 x 26 625 x 25

4. Resolva os problema: a) Em junho de 1983, o litro de lcool hidratado custava Cr$ 178,00. O tanque de um Volkswagem Voyage comporta 52 litros. Quanto se gastava para encher o tanque de um Voyage? b) Sabemos que 1 minuto tem 60 segundos. Quantos segundos h em 15 minutos c) O salrio famlia recebido por um trabalhador de Cr$ 1 738,00 por filho menor de 14 anos . Quanto receber um operrio que tem 56 filhos nessa condies? Propriedade estruturais a) Fechamento : O produto de dois nmeros naturais sempre um nmero natural. 2 N, 5 N 2 x 5 N b) Comutativa : A ordem dos fatores no altera o produto. 7 x 4 = 28 7 x 4 = 4 x 7 4 x 7 = 28

}

c) Elemento neutro: O numero 1 multiplicado por qualquer nmero e em qualquer ordem, d por produto aquele mesmo nmero. 5x1= 1x5=5 d) Associativa: Numa multiplicao de trs fatores , podem-se associar os dois primeiros ou os dois ltimos, indiferentemente . 4

( 4 x 5 ) x 2 = 20 x 2 = 40 ( 4 x 5 ) x 2 = 4 x (5 x 2 ) 4 x ( 5 x 2 ) = 4 x 10 = 40 Ateno! Se um produto de trs ou mais fatores um deles zero, o produto igual a zero: 3 x 3 x 5 = 0 ; 8 x 12 x 0 x 7 = 0 e) Distributiva da multiplicao em relao adio ( ou subtrao ): O produto de um nmero por uma soma ( ou diferena ) pode ser obtido, multiplicando se o nmero por cada um dos termos da soma ( ou diferena ) e adicionando-se ( ou subtraindo se ) os produtos parciais. Assim: 9 x ( 3 + 2 ) = 9 x 5 = 45 9 x 3 + 9 x 2 = 27 + 18 = 45 4 x (7 3 ) = 4 x 4 = 16 4 x 7 4 x 3 = 28 12 = 16

}

} }

9x(3+2)=9x3+9x2

4x(73)=4x7 -4x3

Mximo Divisor ComumConsideremos os conjuntos dos divisores, respectivamente, dos nmeros 40 e 16. D(40) = {1,2,4,5,8,10,20,40} D(16) = {1,2,4,8,16} Observando que D(40)D(16) = { 1,2,4,8}, podemos afirma que : a) Os divisores comuns de 40 e 16 so 1,2,4,8. b) O maior divisor comum de 40 e 16 8. Ento, o nmero 8 chamado mximo divisor comum de 40 e 16, que ser representado por mdc ( 40 , 16 ) = 8. Da podemos dizer que : Dados dois ou mais nmeros , no simultaneamente nulos, chama-se mximo divisor comum desses nmeros o maior dos seus divisores comuns. Atividade de classe Determine: a) D (15) b) D (32) D (18) D (28) D (15) D (18) D (32) D (28) mdc (15,18) mdc ( 32 , 28 ) d) D ( 45 ) D ( 36 ) D ( 27 ) D ( 18 ) D(45)D(36)D(27)D(18) mdc (45,36,27,18)

c) D (54) D (42) D (24) D (54) D (42) D (24) mdc( 54, 42, 24 )

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Tcnicas para o clculo do mdc Vamos determinar o mximo divisor comum de 60 e 24. sabemos que: D(60) = { 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} D (60) D (24 ) = {1,2,3,4,6,12} mdc ( 60 , 24 ) = 12.

Mnimo Mltiplo ComumConsideremos os conjuntos dos mltiplos, respectivamente, dos nmeros 6,8 e 12: M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60 . . . } M(8) = {0,8,16,24,32,40,48,56,64 . . .} M(12) = { 0,12,24,36,48,60 . . . } Observando que M (6) M(8) M(12) = {0,24,48 . . .}, podemos afirmar que : a) Os mltiplos comuns de 6,8 e 12 so 0,24,48 . . . b) O menor mltiplo comum, diferente de zero, de 6 ,8, e 12 24. Ento , o nmero 24 chamado mnimo mltiplo comum de 6,18 e 12 , que representaremos pr mmc (6,8,12) = 24

Dados dois ou mais nmeros, diferentes de zero, chama-se mnimo mltiplo comum desse nmeros o menor de seus mltiplos comuns, diferente de zero. Atividade de Classe. Determine o que pede: a) M (9) M(6) M(9) M(6) mmc (9,6)

c) M(10) M (8) M (10) M (8) mmc (10,8)

d) M (6 ) M (15 ) M (10 ) M (6) M(15) M(10) mmc ( 6,15,10)

d) M(12) M(18) M(9 ) M(36) M(12) M(18) M(9) M(36) mmc ( 12,18,9,36)

Tcnicas para o clculo do mmc Podemos determinar o mmc de dois ou mais nmeros diferentes de 0 pelo processo da decomposio em fatores primos, conforme a seguinte regra: a) Decompe-se cada nmero em fatores primos. b) O mmc ser o produto de todos os fatores comuns e no comuns, cada um deles elevados ao maior expoente. 6

6 3 1

2 3

8 4 2 1

2 2 2

12 6 3 1

2 2 3

MMC = 23 x 3 = 24 A idia de nmero fracionrio Para exprimirmos o nmero de elementos de um conjunto finito, empregamos um s nmero natural.

3

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Para expressarmos, matematicamente , uma parte ou algumas parte iguais de um todo, vamos usar um par ordenado de nmeros naturais.

L-se: meio ou um meio Indica-se: 1 . 2

L-se: trs quintos indica-se : 3 . 5

Os pares de nmeros naturais 1 , 3 so chamados fraes ou nmeros fracionrios. 2 5 Ento: Chama-se frao todo par ordenado de nmeros naturais com o segundo 0 onde: a) o primeiro nmero indica quantas partes tomamos do inteiro. b) O segundo nmero indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.

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Atividade de Classe Observando os exemplos dados, expresse qual frao da figura toda a parte colorida: a) b) c)

Operaes Adio 1 + 2 = 3 + 4 = 7 mmc = 6 2 3 6 6 Subtrao 3 - 1 = 3 - 2 = 1 mmc = 4 4 2 4 4 Multiplicao 2 x 3 = 6 . 5 7 35 Diviso 3 : 4 = 15 . 7 5 28

Expresses literais ou algbricas Introduo Sabemos que podemos usar letra (a, b, c, x, y . . .) para representar nmeros e que so denominados numerais literais. Assim, observe as seguintes situaes: 1 situao: A figura abaixo nos mostra um retngulo cujas dimenses so 5 cm e 3 cm.

A medida do permetro do retngulo dada pela expresso 2.(5) + 2 .(3), que contm apenas nmeros. 5 cm Expresses deste tipo so chamadas expresses numricas.

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2 situao: A figura abaixo nos mostra um retngulo cujas dimenses so x e y.

y

A medida do permetro do retngulo dada pela expresso 2.x + 2 . y, que contm nmeros e letras.

x

Expresses deste tipo so chamadas expresses numricas. 3 situao: A figura abaixo nos mostra um bloco retangular cujas dimenses so a, b, e c

A medida do volume do bloco dada pela expresso a . b . c que contm apenas letras.

Expresses deste tipo so chamadas expresses literais.

Expresses literal ou algbrica Uma expresso matemtica que contm nmeros e letra, ou somente letras, denominada expresso literal ou algbrica. Exemplos 5x 1 , a2 + ab , x2 2x + 1 , a - b . 2a

As letras ( ou numerais literais ) representam, indistintamente, um nmero qualquer de um conjunto numrico , por isso, so chamadas variveis . Usaremos, daqui por diante, a expresso nmero a, em vez da expresso

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A expresso algbrica inteira e fracionria Observe as expresses algbricas abaixo. Identifique com a letra I as que no apresentam variveis no denominador, e com a letra F as que apresentam variveis no denominador: a) 3x - 2y b) x + y 2 e) a + b c) x - y x f) a + 1 2x i) x2 y 10

d)

1 . a+b

g) 3 + 1 . x x2

h) x + y 2 3

voc assinalou com a letra I as expresses algbricas: 3x 2y , x + y , a + b , x + y , x2 y 2 2 3 10 voc assinalou algbricas que no contm varveis no denominador so denominadas expresses algbrica inteiras. Voc assinalou com a letra F as expresses algbrica : , a + 1 , 3 + 1 . x- y , 1 x a+b 2x x x2 Expresses algbricas que apresentam variveis no denominador so denominadas expresses algbricas fracionrias Produtos Notveis Existem certas igualdades matemticas, de uso freqente no clculo algbrico, que so denominadas produtos notveis. Os principais produtos notveis so : Quadrado da soma de dois termos De fato , pois: (a + b )2 = ( a + b ) (a + b ) = a2 + 2ab + b2 quadrado do 2 termo duas vezes o produto dos termos quadrado do 1 termo (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2 termo 1 termo

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Da , a seguinte Regra O quadrado da soma de sois termos igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termos. Exemplos 1) (2x + 5)2 = (2x)2 + 2 . (2x) . (5) + (5)2 = 4x2 + 20x + 25 Quadrado da diferena de dois termos De fato, pois: (a b )2 = ( a b ) ( a - b) = a2 2ab + b2 2 termo 1 termo quadrado do 2 termo duas vezes o produto dos termos quadrado do 1 termo ( a b )2 = a2 2ab + b2

Da, a seguinte Regra O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: 1) ( 3x 1)2 = (3x)2 2. (3x) (1) + (1)2 = 9x2 6x +1 cubo da soma de dois termos (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

de fato, pois : ( a + b )3 = ( a + b )2 . (a + b ) = ( a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Exemplos 1) ( a + x )3 = (a)3 + 3(a)2(x) + 3(a)(x)2 + (x)3 = a3 + 3a2x + 3ax2 + x3 2) (y + 2)3 = (y)3 + 3(y)2(2) + 3 (y)(2)2 = y3 + 6y2 + 12y + 8 cubo da diferena de dois termos ( a b )3 = a3 3a2b + 3ab2 - b3

De fato . pois: ( a b )3 = ( a b )2 . (a b ) = ( a2 2ab + b2) ( a b ) = a3 3a2b + 3ab2 b3 Exemplo : ( x 3 )3 = (x)3 3(x)2(3) + 3(x) (3)2 + x3 9x2 + 27x - 27 Produto da soma de sois termos Pela sua diferena ( a + b ) (a - b) = a2 b 2

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De fato , pois 1 termo ( a + b ) ( a - b ) = a (a b ) + b (a b ) = a2 b2 quadrado do 2 termo quadrado do 1 termo Da, a seguinte Regra O produto da soma de dois termos pela sua diferena igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Exemplos: 1) ( x + 3 ) ( x - 3 ) = (x)2 - (3)2 = x2 - 9 Exerccio de fixao a) ( x + 8)2 d) ( 1 + 5m) ( 1 5m) Fatorao Introduo Consideremos os seguintes problemas: 1) Escrever o nmero 90 na forma de um produto indicado. Para isso, decompomos 90 em fatores primos: 90 45 15 5 1 2 3 3 5 b) (2 3a )2 e) (ab c )2 c) (3x + y2)2 f) ( m 1)3

90 = 2 . 32 . 5

2) Escrever a expresso 3 + 12 na forma de um produto indicado. Para isso, usamos a propriedade distributiva da multiplicao: 3 + 12 = 3 . ( 1 + 4 ) 3 . ( 1 + 4 ) = 3 . 1 + 3 . 4 = 3 + 12

forma fatorada da expresso Assim, que escrevemos um nmero ou uma expresso na forma de um produto indicado, dizemos que estamos escrevendo o nmero ou a expresso na forma fatorada Da: Fatorar um nmero u uma expresso significa decompor o nmero ou a expresso num produto indicado. 12

Surgem , ento , as perguntas: a) ser que podemos fatorar um polinmio? b) Quando podemos faz-lo? As respostas sero dadas no estudo desta Unidade, importantssima pela sua aplicao no clculo algbrico. Fatorao de Polinmios Fatorar um polinmio significa transformar esse polinmio num produto indicado de polinmios ou de monmios e polinmios. Estudaremos os caso simples de fatorao de polinmios 1 Caso: Colocao de um fator comum em evidncia Observe as seguintes situaes: A figura abaixo nos mostra um retngulo cujas dimenses so x e y.

y

x A medida do permetro do retngulo pode ser representada pela expresso: 2x + 2y ou 2 . ( x + y ) propriedade distributiva da multiplicao ento : 2x + 2y = 2 . ( x + y ) Nesta igualdade, destacamos: 2( x + y) a forma fatorada da expresso 2x + 2y,. 2 chamado fator comum aos termos da expresso 2x + 2y e que foi colocado em evidncia.

A figura seguinte nos mostra trs retngulos: o retngulo ABCD, o retngulo AMND e o retngulo MBCN. D N C c M a b B

A

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Facilmente , observamos que : rea do retngulo AMND + rea do retgulo MBCN = rea do retngulo ABCD a .c +b.c = (a +b). c ou seja: ac + ac = ( a + b ) c nesta igualdade , destacamos: ( a + b ) c a forma fatorada da expresso ac + bc. C chamado fator comum aos termos da expresso ac + bc e que foi colocado em evidncia Consideremos, agora, o polinmio ax + bx ax + bx = x ( a + b ) pela propriedade distributiva da multiplicao

O conceito intuitivo de funoO conceito de funo um dos mais importantes da matemtica, tendo destaque no openas na maioria das teorias nela desenvolvida, mas tambm no nosso quotidiano. Por isso, vamos apresentar esse conceito primeiro informalmente, para depois formaliz-lo. Suponha que a tabela de preos a seguir corresponda s passagens do Metr de So Paulo:

Passagens 1 2 3 4 5 6 7 8

Preo a Pagar 50,00 100,00 150,00 200,00 250,00 300,00 350,00 400,00

Observe que essa tabela fixa uma dependncia entre o nmero de passagens e o preo a pagar. Se chamarmos de x o nmero de passagens e de y o preo a pagar, esses duas grandezas estaro relacionadas de tal forma que para cada valor de x existe, um correspondncia , um nico calor de y, dado pela expresso y = 50x. Dizemos, ento, que y funo de x. Definio Dados dois conjuntos A e B, chama-se funo de A em B qualquer relao entre tais conjuntos que faa corresponder , a cada elemento de A, um e um s elemento de B.

Indica-se a funo de A em B com a notao. f: A B ou A B 14f

Isto que dizer que existe uma lei f que leva os elementos de A aos elementos de B, de tal modo que : Todo elemento de A tem corresponde em B; Todo elemento de A tem um nico correspondente em B. A chama-se domnio da funo e se indica D (F) = A. B chama-se contradomnio da funo e se indica CD (f) = B Se x um elemento de A e y o seu correspondente em B, dizemos que y a imagem de x obtida pela funo f, indica-se y = f (y). Y = f (y) l-se y igual a f de x O conjunto de todos os valores y assim obtidos chama-se conjunto imagem da funo e se representa por Im (f). Veja o esquema.

Im(f)

A B A o domnio da funo : D(f) = A B o contradomnio da funo : CD(f) = B Im(f) o conjunto imagem da funo. Exemplo: Seja A o conjunto dos naturais, B o conjunto dos naturais e f a lei que a cada natural de A faz corresponder o seu dobro em B . 0 A: 0 B: Logo : D(f): = { 0,1,2,3,4 . . .} CD(f) = { 0,1,2,3,4 . . .} Im(f) = { 0,2,4,6,8 . . .} 1 2 3 4 5 6 7 8... 1 2 3 4...

v-se que: f(0) = 0 f(1) = 2 F(2) = 4

f(3) = 6 f(4) = 8

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A funo do 1 grauConsideremos a seguinte funo: f: R R x y = ax + b, com a e b reais e a 0 Observa-se que a expresso que define a funo ax + b , ou seja , um polinmio do 1 grau. A essa funo demos o nome de funo do 1 grau ou funo afim. Raiz ou zero da funo Y = ax + b Dada a funo y = ax + b, dizemos que x uma raiz ou zero de y = ax + b quando e somente quando o valor corresponder de y zero Exemplo: a) y = 3x 6 para x = 2 y = 0 x = 2 raiz de y = 3x 6 b) y = - x para x = 5 raiz de y = 5 x de um modo geral, para a funo y = ax + b , tem se: Y = 0 ax + b = 0 x -b . a x = - b raiz de y = ax + b a 1. Primeiros exerccios de classe (faa no seu caderno ). Determine as razes das funes dadas pelas expresses seguintes: a) y = 5x 15 b) y = - 12 2x c) y = 3x - 1 4 d) y= - 2x + 6 3

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Valores e sinais da Funo y = ax + bA funo de R em R definida pela frmula y = ax + b assume infinitos valores, quando x varia no campo real. necessrio, ento , conhecer a variao desses valores. Sinais de y = ax + b Seja, como exemplo, y = 3x 6. Desejamos saber para quais valores de x teremos y maior que zero, ou , ainda para que valores de x teremos y menor que zero. Y = 3x 6 Y > 0 3x > 6 3x > 6 x>2 x>2y>0 graficamente

X0 = 2 raiz de y = 3x - 6 Y = 3x 6 Y < 0 3x 6 < 0 3x < 6 x 3 Resolvendo as inequaes , temos : a) 3x 4 >8 3x > 8 + 4 3x > 12 x>4 V1 = { x R / x > 4 } A razo de duas grandezas o quociente dos nmeros que medem essas grandezas numa mesma unidade. Os termos de uma razo so denominados antecedente e conseqente. Assim, em 3:4 ou 3 temor : 2 antecedente : 3 conseqente : 4 Razes equivalentes Vimos que 1,35 e 15 so razes que valem 3 ou 0,75 . Dizemos que so razes equivalentes a 3 ou 20 4 4 3 para 4. Podem-se sempre obter razes equivalente a uma razo dada, por exemplo. A 3 . Basta multiplicar o antecedente e o conseqente por um mesmo nmero no nulo e indicar : 4 3 4 = 6 = 9 = 12 = 15 = 18 . . . 8 12 16 20 24

4. Propores As razes 1 , 2 , 4 , 6 formam igualdades, ou: 2 4 8 12 cada, uma dessa igualdades chama-se proporo. Denomina-se proporo a uma igualdade entre duas razes.

A proporo 1 2

= 2 tambm escrita sob a forma 1 : 2 : : 2 : 4 ou um est para dois, assim como 4 20

dois est para quatro . Essa forma de escrever deu nome prprios aos termos:

1 : 2 : : 2 : 4 meios extremos ou 1 = 2 2 4 meios extremos

Termo desconhecido de uma proporo Vamos considera a proporo 5 = 15 . observe que nessa proporo um de seus termos x 36 desconhecido. Podemos calcular o valor x aplicando a propriedade fundamental das propores: 5 x = 15 . 36

15 . x = 5 . 36 15x = 5 . 36 15 15 x = 12 Vamos, agora, obter o valor desconhecido y na proporo: 3y + 2 = 5y - 22 30 12 30 . ( 5y 22 ) = 12 . ( 3y + 2 ) 150y 660 = 36y + 24 150y 36y = 660 + 24 114y = 684 y=6 verificao: 3y + 2 = 5y - 22 30 12 3.6 + 2 = 5 .6 22 ou 20 = 8 . 30 12 30 12 onde 20 . 12 = 30 . 8 o que confirma a proporo.

21

Exerccio Calcule o valor desconhecido em cada proporo: a) 3 = 2 . x 4 b) x = 3 . 7 21 c) 3 = 12 . x 8 d) 21 = 7 . 8 x e) 8 = 24 . x 36 f) x + 7 = 5 . 2 1 g) x = 5 . 3x 4 h) 8x = x + 1 5 2

Regra de trs simples Vamos considera a seguinte situao : Bianca comprou 3 camisetas e pagou $ 1200,00. Quanto pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preo ? Observe que esto relacionados dois valores da grandeza camisetas com dois valores da grandeza preo. Vamos organizar esses dados numa tabela:

Camisetas 3 5

preos ($) 1 200 x

Note que nessa tabela conhecemos trs de seus elementos e procuramos o valor do quarto. Problemas desse tipo so chamados de problemas de regra de trs simples. Veja que as grandezas camisetas e preo so diretamente proporcionais; assim, podemos escrever o proporo: 3 = 1 200 5 x Aplicando a propriedade fundamental , temos: 3x = 1 200 . 5 x = 1 200 . 5 3 x = 2 000 logo, Binca pagaria $ 2 000,00 pela cinco camisetas. Podemos estabelecer um processo prtico que facilite a resoluo de problemas desse tipo. Acompanhe essas etapas nos problemas resolvidos a seguir. Com velocidade mdia de 500 km por hora, uma avio percorre uma distncia entre duas cidades em 3 horas. Que tempo levaria uma aeronave que desenvolve 800 Km por hora de velocidade mdia para percorrer o mesmo espao? 22

Organizam se os dados: Velocidade( Km/h) 500 800 tempo (h) 3 x

As grandezas velocidade e tempo so inversamente proporcionais. Assim, as flechas tero sentidos discordantes: Velocidade (Km/h) 500 800 tempo(h) 3 x

Escreve-se a proporo ,invertendo-se os termos de umas das razes ; calcula-se o valor da incgnita. 500 = x x = 3 . 500 800 3 800 x = 15 x = 1h 52 mim 30 Seg

logo, a aeronave levaria 1h52 mim 30 Seg para percorrer o mesmo espao. Exerccio 1. Em cada problema seguinte , arme o esquema, a proporo resultante e calcule o valor desconhecido: a) Se 15 operrios levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operrios faro esse mesmo trabalho em 6 dias? b) Com 10 Kg de trigo podemos fabricar 65 Kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo so necessrios para fabricar 162,5 Kg de farinha ? c) Roseli comprou 2m de tecido para fazer um vestido. Quantos metros de tecido seriam necessrios para que Roseli pudesse fazer 7 vestidos iguais ? d) Num acampamento, h 48 pessoas e alimento suficiente para um ms . Retirando se 16 pessoas, para quantos dias dar a quantidade de alimento ? e) Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Quantos dias sero necessrios para que 10 pedreiros construam essa mesma casa? f) Reinaldo trabalhou 30 dias e recebeu $ 15 000,00 . Quantos dias ter que trabalhar para receber $ 20 000,00 ? g) Um carro com velocidade constante de 100Km/h , vai da cidade A at a cidade B em 3 horas. Quanto tempo levaria esse mesmo carro par ir de A at B, se sua velocidade constante fosse 160Km/h ? h) Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas torneiras seriam necessrias para encher a mesma piscina em 2 horas?

23

Taxa de porcentagem Considere o seguinte anncio de jornal: Vendem-se tnis: desconto de 50%. Observe que neste anncio aparece a expresso 50%, que se l cinqenta por cento, e pode ser indicada por 50 em 100 ou 50 . A expresso 50% de desconto pode ser entendida como um desconto de $ 100 50,00 em cada $ 100,00 do preo de uma mercadoria. Expresso 18% no votaram 40% no vieram Leitura 18 por cento no votaram 40 por cento no vieram Significado Em cada 100 eleitores 18 no votarma. Em cada 100 pessoas 40 no vieram

As expresses 18% e 40% podem ser indicadas na forma de frao, por 18 e 40 , respectivamente. Como essa fraes possuem denominadores iguais a 100, so denominadas fraes centesimais. Os numerais 40% e 18% so taxas centesimais ou taxas de porcentagens, pois expressam a razo que existe uma grandeza e 100 elementos do universo dessa grandeza . Escreva as fraes seguintes na forma de taxa de centesimal: a) 15 . 100 b) 3 7 . 100 c) 70 . 100 d) 81 . 100 e) 3 . 100 f) 4 . 25 Escreva cada taxa de porcentagem na forma de frao centesimal : a) 18% b) 52% c) 4% d) 35% e) 10% f) 100% Clculo da taxa de porcentagem O clculo da taxa de porcentagem pode ser realizado utilizando-se uma regra de trs simples. Vejamos algumas situaes onde esse clculo utilizado.

24

1 situao Depositando se $ 60,00 numa caderneta de poupana , ao final de um ms obtm-se $ 75,00. Vamos calcular a taxa de porcentagem desse rendimento : $ 60,00 a quantia principal do problema ; $ 15,00 o rendimento obtido no perodo. Organizamos uma regra de trs simples, onde: $ 60,00 correspondem a 100% investidos; $ 15,00 correspondem a x% do que foi investido. Essa regra de trs simples direta: $ 60,00 $ 15,00 100 x

60 = 100 x = 100 . 15 15 x 60 x = 25 portanto, a taxa de rendimento foi de 25% .

Exerccios 1. a) b) c) d) e) f) 2. a) b) c) d) e) Calcule: 20% de 1 000 pessoas, 70% de 80 cavalos. 9% de 10 000 doentes com dengue. 40% de 90 pregos. 7,5% de 200 ovos. 0,45% de 2 000 laranjas.

Resolva os seguistes problemas: A quantia de $ 945,00 igual a quantos por cento de $ 4 500,00? E uma classe de 50 alunos, compareceram 35. Qual a taxa percentual de ausncia ? Num exame de 110 questes, um aluno errou 10% . Quantas questes ele acertou? Obtive 14% de desconto numa compra de $ 24 000,00 . Quanto paguei ? O preo marcado de um produto era $ 2 500,00 . Paguei apenas $ 2 000,00, pois obtive um abatimento. Qual foi a taxa de porcentagem do desconto ? f) Economizei $ 840,00 ao obter um desconto de 12% na compra de uma roupa. Qual era o preo marcado inicialmente nessa roupa? g) Gastei 20% de meu salrio em uma mercadoria que me custou $ 5 000,00. Qual o valor do meu salrio ?

25

Juros simples Considere a seguinte situao : A importncia de $ 100 000,00 foi emprestado por um Banco ao cliente Epaminondas da Silva. O Banco cobrar do cliente 10% e juros mensal. Quanto ser cobrado? Vamos denominar e convencionar uma representao para cada deado do problema: O dinheiro emprestado, $ 100 000,00, chama-se quantia principal. Representa-se por C A retribuio peridica pela cesso do dinheiro, eu corresponde quantia que ser cobrada pelo Banco, o aluguel que se paga em cada perodo. Recebe o nome de juro e representa-se por j A taxa de juro , 10% a taxa que funciona como o aluguel que o cliente pata por 100 unidades de dinheiro que o Banco lhe empresta; representa-se por i. A referncia de tempo. Um ms em que o dinheiro ficou aplicado, representa-se por t. Problemas desse tipo podem ser resolvidos utilizando-se uma regra de trs. Vamos estabelecer um problema genrico e obter uma formula que permite obter a soluo de problemas semelhantes. Quem aplica $ 100,00 taxa de 1% ao perodo ( ano, ou ms, ou dia etc.) recebe no fim do perodo $ 1,00 de juros. Se aplicasse um capital C taxa i ao perodo, ento receberia o juros j. Monta-se uma regra de trs composta:

Capital 100 C

taxa 1 i

tempo 1 t

juro 1 j

Como so grandezas diretamente proporcionais em relao grandeza juro, podemos escrever: 100 . 1 . 1 = 1 . C i t j J=Cit 100 Vamos calcular o juros pago por uma pessoa que tomou emprestada quantia de $ 50 000,00,durante 8 meses, a uma taxa de 1,2% ao ms: Dados C = $ 50 000,00 I = 1,2% ao ms t = 8 meses j=?

j=Cit 100 j = 50 000 . 1,2 . 8 100 j = 4 800

foram pagos $ 4 800,00 de juro. Vamos, agora , determinar a quantia que deve ser aplicada por uma pessoa a uma taxa de 6% ao ano, para que aps 2 anos receba $ 18 000,00 de juro.

26

Dados C=? I = 6% ao ano t = 2 anos j = $ 18 000,00 j=C i t 100 18 000 = C . 6 . 2 100 12 . C = 1 800 000 C = 18 000 000 12

C = 150 000 A quantia que deve ser aplicada de $ 150 000,00. Exerccio 1. a) b) c) d) e) f) g) h) Resolva os seguintes problemas : Qual o juro sobre $ 25 000,00 taxa de 1% ao ms, em 16 meses? A que taxa foi depositado o capital de $ 15 000,00 que em 4 anos produziu $ 6 000,00 de juros? Qual o capital que, aplicado a 3% ao ms , produz $ 6 000,00 de juro em 10 meses? Uma pessoa toma emprestado de um Banco $ 54 000,00 e aps 6 meses e 15 dias devolve $ 60 000,00 . A que taxa foi tomado o emprstimo ? Uma pessoa empregou $ 50 000,00 . Sabendo-se que aps 10 meses ela ir receber $ 100 000,00 calcule a que taxa de juro foi empregado este dinheiro. Qual o capital que aplicado a 8% ao ms, num perodo de 6 meses , produz $ 24 000,00 de juro? A que taxa foi empregado o capital de # 25 000,00 ,sabendo Uma pessoa toma emprestado $ 10 000,00 durante 5 meses. Qual a taxa de juro que essa pessoa pagou, sabendo-se que ela devolveu $ 15 000,00?

ngulos congruentes Vamos considerar os ngulos. , B e C a seguir , e determinar as suas medidas utilizando um transferidor :

A

B

C

A partir dessas medidas, podemos concluir que: med (A) = med (C) med (A) med (B) med (B) med (C) 27

Diremos, ento: ngulos congruente so aqueles que tm a mesma medida.

Equaes do 2 GrauEquaes do 2 Grau H cerca de 4000 anos os babilnios j resolviam problemas envolvendo clculos que hoje conhecemos como equao do 2 grau. Estes problemas eram escritos em forma de textos e a sua resoluo era atravs de tentativas. Ao longo dos sculos foram aparecendo vrios mtodos para sua resoluo. Hoje, as contribuies deixadas pelos matemticos nos facilitou tanto na escrita como nas tcnicas de resoluo de problemas do 2 grau. Observe as seguintes situaes: Situao - 1 A dimenses de um terreno esto representadas na figura abaixo. A rea desse terrno 30 m2 . Quanto ele mede de comprimento e largura ?

x -2

x3

Vamos encaminhar o nosso raciocnio da seguinte maneira : Sendo o terreno de forma retangular , podemos expressar sua rea como : o produto do comprimento pela largura. Assim A = ( x 2 ) ( x 3 ) Voltando equao x2 5x 24 = 0 O coeficiente a representado por 1 O coeficiente b representado por 5 O coeficiente c representado por 24

28

Para se encontrar a medida do comprimento e da largura do terreno da situao 1 necessrio resolver essa equao do 2 grau Resoluo da equao do 2 grau. Resolver uma equao do 2 grau significa determinar as suas razes . Raiz de uma equao o nmero real que ao substituir a varivel de uma equao transforma-a, numa sentena verdadeira. Podemos resolver a equao do 2 grau atravs da frmula de Bskara: X = - b b2 4ac 2a A expresso b2 4ac (n real ) comumente representada pela letra grega ( delta ) e chamada de discriminante da equao. = b2 4ac x=-b 2a

Vamos resolver a equao do problema da situao 1 x2 5x 24 = 0 a=1 b=-5 c = - 24

= b2 4ac = (5)2 4 . 1 .(-24) = 25 + 96 = 121 X=-b 2a x = - (-5) + 121 x = 5 + 11 x = 16 x = 8 2.1 2 2 x = - (- 5) - 121 x = 5 - 11 x = - 6 x = -3 2.1 2 2 As razes dessa equao so: x' = 8 e x = - 3 As dimenses do terreno da situao 1 so : Comprimento x-2 Largura x3

29

Substituindo x por 8 temos: Comprimento 82=6 Largura 83=5 Substituindo x por -3 temos: Comprimento - 3 2 = -5 Largura - 3 3 = -6 Como no h comprimento e largura menores que zero, conclumos que as dimenses do terreno so 5m por 6 m. Situao 2 Quanto mede o cateto menor do tringulo retngulo abaixo? B 10cm x-6 cm

A

8cm

C

No tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual a soma do quadrado dos catetos. Assim : 102 = 82 + ( x 6 )2 Efetuando os clculos algbricos temos : 100 = 64 + x2 - 12x + 36 x2 12x = 100 - 64 36 x2 12x = 0 Comparando essa equao a forma da equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0 , o que voc observar? Se voc respondeu que falta o termo c est correto.

30

Comprimento da CircunfernciaSe voc fosse colocar renda em volta de uma toalha de mesa. Redonda, com as medidas representadas no desenho abaixo. Quantos metros de renda seriam necessrios ?

2m

Suponha que o crculo abaixo tem um barbante ajustado em sua volta. Se cortarmos o barbante no ponto marcado e estic-lo, como mostra a figura, termos o comprimento do contorno do ao crculo ou comprimento da circunferncia.

raio

raio

dimetro

Aps a realizao de vrias experincias, ficou provado que ,em qualquer circunferncia, a diviso do comprimento da circunferncia pela mediada do dimetro, sempre d o mesmo resultado.

Cumprimento da circunferncia = 3,14159265 . . . dimetro Esse quociente de representao decimal infinita e no peridica: 3,14159262... Chama-se pi, cujo smbolo Para achar o comprimento da circunferncia, basta multiplicar o dimetro pelo ou seja, C = d . ( C = comprimento da circunferncia, d = dimetro ) . Como o dimetro o dobro do raio, podemos tambm representar o circunferncia em funo do raio . comprimento da

Assim : C = 2r

ou

C = 2r

31

Agora, podemos calcular a metragem de renda da toalha da situao anterior, multiplicando o dimetro por Assim: C = 4 x 3,14 C = 12,56m Portanto, gastaria 12,56m de renda nessa toalha. Atividade 1) Complete com a unidade de medida correta: a) Quando vamos confeccionar uma roupa ( vestido , cala, blusa ) usamos o ......................................... b) A largura de um palmo o ..................................................................................................................... c) A medida de seu palmo o ..................................................................................................................... 2) Lembre-se que a unidade de medida de comprimento mais usada depois do metro o centmetro ( cm) e responde: a) Quantos centmetro ( cm ) tem aproximadamente seu palmo? b) Quantos palmos tem sua carteira ? c) Quantos centmetros tem sua carteira ? d) Qual a largura e o comprimento de seu caderno ? Em palmos e em centmetros ( cm )? e) Qual a largura da sala de sua casa ? Utilize seu p, calado. f) Quantos centmetros tem o seu p? 3) Jlia tem , 1,65m de altura. Qual a sua altura em cm? 4) Para medir o comprimento do corredor de sua escola, Robson anotou 16 passos, Se casa passo mede 65 cm, qual o comprimento do corredor em metros? 5) Numa bicicleta em que o raio da roda de 26 cm, qual ser . aproximadamente, o comprimento da circunferncia da roda? 6) O contorno de uma pista de corrida de forma circular, mede 628 m , Qual a medida do dimetro dessa pista: Medida de Superfcie Observe a planta :(Quarto 1) ( Sala ) 5m 4m

3m (Quarto 2 ) circulao rea de servio 3m bwc 3m

32

Essa a planta baixa da casa do Sr. Antnio; ele quer fazer o piso de cermica no quarto 2. Na sala. no banheiro e na rea de servio. Para isso necessita saber quantos metros quadrados de cermica sero necessrios para cada uma dessas dependncias da casa. Situao 1 Iniciamos pelo quarto 2. Que tem a forma de um quadrado de 3m de lado. Vamos tomar como medida de rea um quadrado de lado igual a 1m . Para voc ter noo quantidade de espao ocupada por 1m2 , construa em jornal. Cartolina ou qualquer tipo de papel, um quadrado de 1 metro por 1 metro . Esse quadrado pode ser representado na escala 1: 100 . O metro quadrado a rea de uma superfcie delimitada por um quadrado de 1m de lado. Vamos verificar quantas vezes esta unidade de rea cabe no desenho do quarto 2, com 3m de lado. Para isto, vamos divid - lo na horizontal e na vertical com linhas diferentes uma da outra 1 m ( metro ) Assim obtemos 9 quadradinhos indicadores : esse quarto possui 9 unidades de rea, ou seja, 9 metros quadrados ( 9 m2 ). Verifique:

1m 1m 1m 1m 1m 3m 1m

3m

Uma outra maneira de realizar esse clculo, simplesmente encontrar o produto dos lados.

3m

A = 3m x 3m = 9 m2

3m Observe que a operao 3 x 3 uma multiplicao de fatores iguais . Esse tipo de operao chamamos de potenciao e pode ser representada por 32 ( l-se trs elevado ao quadrado ) Ento : 32 = 3 x 3 = 9 Vimos que o quarto 2 possui forma quadrada e sua rea 9m2. Vamos supor que no saibamos a medida dos lados desse quarto, como calcular essas medidas? 33

Vamos representa por l essa medida. Assim : l

l Sabemos que l x l = 9 e pode ser representado por l2 = 9. Portanto l um nmero que elevado ao quadrado d 9. Como 32 = 9 . l 3 . Esta operao chamamos de radiciao. Indicamos por 2 9 = 3 ( l-se raiz quadrada de 9 igual 3). Radiciao a operao inversa da potenciao . Situao 2 Agora vamos calcular a rea do piso da sala, que tem a forma de um retngulo, do mesmo modo que calcularmos a rea do quarto 2.

4m 1m 1m3 1m 5m Veja que a rea de um retngulo a multiplicao do comprimento pela largura.

4m

A = 5m x 4m A = 20 m2

5m Ento, o Sr. Antnio necessitar de 20 m2 de piso para a sala. Em Matemtica, quando resolvemos um problema de clculo de rea onde a superfcie pode ser representada por um retngulo, dizemos que a rea igual ao produto da base pela altura. Assim: A=bxh Situao 3

34

Para revestir o piso da rea de servio. O Sr. Antnio ficou preocupado. Pois a forma de um trapzio. Cujas medidas esto representadas na figura abaixo. De que modo ele calcularia ? 3m

Vamos calcular da seguinte maneira

2m

5m 5m 3m

2m

3m

5m

2m Colocando um outro trapzio em posio oposta com as mesmas medidas. Obtermos um retngulo cujo lado maior ser de 3m + 5 m e outro de 2m.

Como voc j sabe que a rea do retngulo comprimento multiplicado pela largura , ficou feliz! Mas, a o nosso proprietrio compraria o dobro do piso necessrio. Ento , conclumos que basta dividir essa metragem por dois. Chamaremos a parede de 5 m de B. a de 3m de b e a altura de h com 2m . Assim, a rea do trapzio ser dada pela expresso: A= (B +b)xh 2 A=(5+ 3) x 2 2 A= 8 x 2 A = 8 m2 2 Ento , o Sr. Antnio necessitar de 8 m2 de piso para a rea de servio.

35

Situao 1 No tringulo retngulo abaixo. So dadas as medidas dos catetos. Encontre a medida x que corresponde a hipotenusa.

x 9 cm

12 cm Fazer os clculos, voc deve ter chegado relao x2 = 225 ( essa uma equao do 2o grau ). Como fazer para achar x? Lembre-se de que a operao inversa da potenciao a radiciao. Se x2 = 225 , ento : x = 225 x = 15. Logo , a medida da hipotenusa 15 cm. Situao 2 Observe o tringulo retngulo abaixo: B 5cm 3 cm

A

x

C

Qual a medida do cateto maior ? 52 = 32 + x2 25 = 9 + x2 x2 = 16 x = 16 x=4

( chegamos outra vez em uma equao do 2 grau )

Logo, a medida do cateto maior 4 cm.

Atividade 2 1) os cateto de um tringulo retngulo medem 5 cm e 12 cm. Qual a medida da hipotenusa? 2) A figura abaixo mostra que a distncia entre dois postes 15m. As alturas deste postes so respectivamente 6m e 12 m . Qual dever ser o comprimento do cabo que une as extremidades superiores destes postes ? 36

12 m

6m 15 m

3) Uma escada est apoiada numa parede a 20m do cho , como mostra a figura. Sabendo que a escada tem 25 m de comprimento, qual a distncia do incio da escada at a parede ao nvel do cho (x)?

25 m 20 m

4) Devido a um temporal, um p de eucalipto quebrado de modo tal que sua parte mais alta toca o solo. Sabe-se que a distncia entre o tronco do eucalipto e a parte que tocou o solo de 6m e a parte que ficou fixa no solo tem 4,5 m . Qual era a altura desse eucalipto antes de ter-se quebrado ?

4,5 m

6m

Esse conhecimento vem de muitos milnios atrs, quando no antigo Egito costumava-se medir as Terras a beira do rio Nilo , onde havia as plantaes e , a cada enchente , as mercas deixadas pelos agrimensores eram carregadas pelas guas, necessitando, portanto, de novas remarcaes. Os Hindus, tambm na mesma poca, construam o ngulo reto de modo semelhantes, porm utilizavam outras mediadas. 37

Se voc fizer um tringulo de 6 cm . 8 cm e 10 cm, u dos ngulos ser reto ( 90)? Justifique a sua resposta . Confira com seu professor. O matemtico e filsofo grego Pitgoras, fundou a Sociedade chamada Ordem dos Pitagricos, onde com seus discpulos descobriu a relao existente entre as medidas dos lados de qualquer tringulo retngulo. Se um tringulo tem os lados medindo : 3 : 4 e 5 um tringulo retngulo. Observe:

Considere o tringulo retngulo ABC acima. Os lados que formam o ngulo reto so denominados catetos ( b e c ) e o lado oposto ao ngulo reto denominado hipotenusa (a). A medida da hipotenusa mantm uma relao com as medidas dos catetos. Essa relao mostra uma das propriedades mais importantes da Matemtica. A rea de um quadrado traado sobre a hipotenusa igual a soma das reas dos quadrados traados a partir dos catetos, ou seja. 25 ua = 9 ua . 16 ua (ua) unidades de rea. Essa propriedade conhecida como Teorema de Pitgoras, e, para facilitar os clculos pode ser designada: a2 = b2 + c2

O quadrado da medida do lado maior igual soma dos quadrados dos lados menores. Por exemplo: O tringulo utilizado pelos pedreiros de lados 3, 4 , 5 : 38

a2 = b2 + c2 52 = 32 + 4 2 25 = 9 + 16 25 = 25 Observe que o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos Dissemos que, se as medidas dos lados de um tringulo, em uma dada unidade, so: 3;4 e 5 ou 6; 8 e 10 ou 9;12 e 15 ou 12;16 e 20 ou . . . , ele um tringulo retngulo. Verifique se em todos eles verdade que : O quadrado da medida do maior lado igual soma dos quadrados das medidas dos lados menores. Se voc pegou as medida: 6;8 e 10, o lado maior a hipotenusa (10) e os lados menores ( 6 e 8 ) so os catetos. Se vocs fez: 102 = 62 82 100 = 36 + 64 100 = 100 a igualdade foi comprovada . Ento , os valores 6,8,10 realmente so medidas de um tringulo retngulo. Pegue agora outras medidas quaisquer e verifique se com elas possvel desenhar tringulos retngulos. Consulte seu professor quando houver dvidas.

Relaes Mtricas no Tringulo RetnguloTeorema de Pitgoras Como voc deve saber, antes de fazer uma construo e necessrio planej-la . Esse planejamento feito atravs de um modelo esboado no papel. A esse modelo damos o nome de planta baixa. Todos os clculos da construo de uma casa, de um prdio, de um viaduto, dentre outras, so feitas tendo como base os dados contidos numa planta, que tem como referncia as formas e dimenso da realidade. Vamos verificar, num exemplo, como isso ocorre. Observe a planta baixa que seu Nilo fez para construir a casa de seu filho:

Banho Quarto 1 Hall Quarto 2

Cozinha

Sala

39

A planta est na escala de 1:100. Mas o que significa 1:100? Essa notao significa que a planta foi desenhada na escala 1 por 100, ou seja , para cada 1 cm desenhado no papal, corresponde a 100 cm ou 1m, na realidade . Vamos estudar agora , umas questo referente as construes de maneira geral. Voltando a observar a planta do quarto 2, cujas dimenses na realidade , so 4m de comprimento por 3m de largura. O problema saber se as paredes construdas esto ou no no esquadro, ou se os cantos Cozinha formam um ngulo 90 Esse problema muito comum para os trabalhadores da construo civil, que tm uma maneira prpria para resolv-lo. Vamos supor que o pedreiro de seu Nilo vai examinar se as paredes do quarto 2, da casa de seu filho, foram construdas no esquadro. Para isso, ele estica um fio entre duas estacas cravadas no cho, junto ao comprimento ou a largura das paredes do quarto; no caso, no comprimento. Observe, na figura abaixo, que o fio que liga as pontas A e B tm a mesma medida do comprimento da parede, 4m. c

a

4m

B

Usando sua experincia. O pedreiro dever cravar a 3 estaca num ponto c de modo que AC fique perpendicular a AB. No caso, a distncia entre as estacas situadas nos pontos A e C devero ter uma distncia equivalente a 3 m ( largura do quarto) . A estaca C provisria. A seguir, mede a distncia BC.

c

c 5m

a

4m

B

a

4m

B

Se essa medida for equivalente a 5 m, ele garante que a parede est no esquadro, se no , movimentar a estaca C at dar 5m. Voc sabe porque o pedreiro forma, com as estacas , um tringulo retngulo de lados 3 m , 4 m , 5 m para saber se as paredes esto ou no no esquadro? 40

Se med () = med (), ento indica-se = , que se l: ngulo A congruente ao ngulo A Tambm se pode entender de modo mais intuitivo que os ngulos congruentes so aqueles que coincidem por superposio.

A B O

A

O

AA BB

OO Superposio de AB e AB AB congruente a AB porque coincidem ponto a ponto por superposio. Para superpor uma figura outra, basta desenhar uma delas em papel vegetal ou de seda. A superposio mostrar a congruncia ou a igualdade das medidas. ngulo raso e ngulo nulo Vamos considerar a reta r e os pontos, O, A e B pertencentes a essa reta: B O A

Observe que o ponto O divide a reta r em duas semi-retas opostas: AO e OB . Essas duas semi-retas opostas dividem o plano que as contm em duas regies: B

O

A

Convenciona-se que cada uma dessas regies ser denominada ngulo raso. Assim, AB um ngulo raso, onde: OA e OB so os lados; o vrtice AB mede 180

Agora , vamos considera uma reta s e os pontos O, A e B pertencentes a s: 41

O

A s

Observe que as semi-retas OA e OB so coincidentes : O A B Convenciona-se que o ngulo AB um ngulo nulo, onde: OA e OB so os lados; O o vrtice; AB mede 0 . ngulos consecutivos e ngulos adjacentes Vamos considerar os pares de ngulos a seguir: C B H G

O

A

E Q

F

N

M

P

Observe que esses pares de ngulos tm entre si uma relao, pois em funo da posio relativa que ocupam possuem certos elementos comuns: Pares de ngulos AB e BC FH e FG PMQ e QMN Elementos comuns Vrtice comum : O Lado comum: OB Vrtice comum: F Lado comum: EF Vrtice comum: M Lado comum : MQ

42

Esse pares de ngulos assinalados so chamados ngulos consecutivos, e todos tm o mesmo vrtice e um lado comum. ngulos consecutivos so aqueles que tm o mesmo vrtice e um lado comum. Observe os seguintes pares de ngulos consecutivos: R Q Q O P R P

O

Retas perpendiculares e ngulos retos Vamos considerar as retas das figuras a seguir : C r

A

O

B

O

D

s

Observe que, nos dois casos , as retas se encontram formando quatro ngulos adjacentes congruentes , ou de medidas iguais . Quando isto ocorre, chamamos as retas de perpendiculares, indica-se AB CD, r s e representa-se :

C A D B

r

s

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Cada um dos ngulos formados pelo encontro de duas retas perpendiculares recebe o nome de ngulo reto e mede 90 Veja os ngulos formados pelas retas e pelas semi-retas perpendiculares a seguir: B O A A B Assim Chama-se ngulo reto aquele formado por retas perpendiculares. B

A

AB lados : AO e OB Vrtice : O Medida : med ( AB) = 90 AB lados : AO e OB Vrtice: O Medida: med (AB) 90

ngulos agudos e ngulos obtusos Vamos comparar um ngulo qualquer com o ngulo reto, e a partir dessa comparao estabelecer uma classificao para ngulos: C B s

R

O

A

P

Q

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Note que o ngulo AB menor que o ngulo reto e que o ngulo QPR maior que o ngulo reto. Chama-se agudo ao ngulo que for menor que o ngulo reto e obtuso ao que for maior que o ngulos reto. Assim, podemos afirmar que a medida de um ngulo agudo est entre 0 e 90 e a medida de um ngulo obtuso, entre 90 e 180. Exerccios 1) Classifique em agudo, reto ou obtuso os ngulos das seguistes figuras: a) C B A c) I G

H

b) F Q E M N

D

P

O

2) Sabendo se que med () = 30, med (B) = 50 e med (C) = 60 , verifique quais das afirmaes seguintes so verdadeiras: a) A + B = um ngulo agudo; b) A + B + C um ngulo obtuso; c) med(A) + med(C) igual medida de um ngulo raso; d) med (A) + med (C) igual medida de um ngulo reto; e) A + B C um ngulo obtuso

ngulos complementares

Vamos considerar semi-retas perpendiculares OA e OB e os ngulos AOC e COB da figura a seguir:

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B C

A O

Note que AOB um ngulo reto; logo a soma de AOC e COB igual a 90. Quando isto ocorre , dizemos que AOC e COB so ngulos complementares. Assim: Dois ngulos so complementares quando a soma de suas medidas for igual a 90 Dados dois ngulos cuja soma das medidas 90, chamamos cada um deles de complemento do outro . Assim, se x a medida em graus de um ngulo, ento 90 -x a medida em graus do complemento desse ngulo. Vamos calcular o complemento do ngulo que mede = 30 2015. Complemento do ngulo: x = 90 - 895960 302015 593945 logo , o complemento de mede 593945.

Exerccios 1) Calcule o complemento de cada ngulo, cuja medida dada a seguir: a) 72 b) 251040 c) 3345 d) 661602 e) 8010 2)Escreva simbolicamente as seguintes frases (represente a medida de um ngulo por x ): a) O complemento de um ngulo. b) Um tero da medida do complemento de um ngulo. c) Dois tero de um ngulo mais a metade do seu complemento . d) O ngulo mais sua metade mais um tero do seu complemento. e) A soma entre um ngulo e o seu complemento.

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ngulos suplementares Vamos considerar as semi-retas opostas OA e OB e os ngulos AOB e COB de figura a seguir:

C

B

O

A

Note que AB um ngulo raso; logo, a soma de AC e CB igual a 180 . Quando isto ocorre , dizemos que AC e CB so ngulos suplementares. Assim: Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas igual a 180 Dados dois ngulos cuja soma das medidas 180, chamamos cada um deles de suplemento do outro. Assim, se x e a medida em graus de um ngulo, ento 180- x a medida em graus do suplemento desse ngulo, ento Vamos calcular o suplemento do ngulo que mede = 302015. Suplemento do ngulo : x = 180 - 1795960 302015 1493945 logo , o suplemento de mede 1493945. Exerccios 1)Calcule o suplemento de cada ngulo, cuja medida dada a seguir: a) 45 b) 93850 c) 90 d) 11240 e) 14240 f) 1152710 2) Escreva simbolicamente as seguistes frases ( represente a medida de um ngulo por x ) a) Metade do suplemento de um ngulo. b) O triplo do suplemento de um ngulo. c) A soma entre um ngulo e o seu suplemento. d) Metade do complemento menos o suplemento do mesmo ngulo. e) O complemento mais um tero do suplemento do mesmo ngulo.

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ngulo opostos pelo vrtice Considere o ngulo AB da figura a seguir :

A

O B Vamos prolongar os seus lados da seguinte forma :

A

B

O A B

Observe que agora formamos o ngulo AB, cujos lados so semi-retas opostas ao lados do ngulo AB. ngulos assim construdos so chamados opostos pelo vrtice. Assim: Dois ngulos so opostos pelo vrtice ( o.p.v) quando os lados de um so semi-retas opostas aos lados do outro. c b d e

I . a +c = 180 ( a e c so adjacentes e suplementares ) II. b + c = 180 ( b + c ) so adjacentes e suplementares )

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Comparando as igualdades I e II, temos: a=b Dois ngulos opostos pelo vrtice ( o.p.v) so sempre congruentes. Exerccios 1) Determine o valor de x nos seguintes casos : a) 40 x 86 c) d) b) 2x + 20

x + 10

60

2x 10

48

3 Polgonos Vamos considera as figuras planas a seguir: D C E R B A M N P O Q

Observe que estas figuras identificam uma linha poligonal fechada e o conjunto dos seus pontos interiores . Cada uma delas denominada polgono. Assim: 49

Chama-se polgono reunio entre uma linha poligonal fechada e o conjunto dos seus pontos interiores . Um polgono pode ser chamado de convexo ou convexo ou cncavo, de acordo com a regio do plano que estiver sendo determinada pelo polgono. Assim: E D A C B P S T

R

Q

ABCDE um polgono convexo

PQRST um polgono cncavo.

Considere o polgono convexo ABCDEF a seguir:

E D F C

A

B

Vamos identificar alguns de seus elementos ; Vrtices : os pontos A, B, C, D, E e F. Lados: os segmentos AB , BC, . . . , FA. ngulos internos: os ngulos FAB, ABC, . . . , EFA Diagonais : os segmentos determinados por dois vrtices no consecutivos AC, AD, . . . , FD. Note que, no polgono convexo ABCDEF, o nmero de vrtices igual ao nmero de lados , que igual ao nmero de ngulos internos.

50

Classificao dos polgonosOs nomes dos polgonos dependem do critrio que estamos utilizando para classificar lo . Se usarmos o nmero de ngulos ou o nmero de lados, teremos a seguinte nomenclatura: Polgono Nmero de lados ou nmero de ngulos Nome em funo do nmero de ngulos Nome em funo do nmero de lados

3

Tringulo

Triltero

4

Quadrngulo

Quadriltero

5

Pentgono

Pentaltero

6

Hexgono

Hexaltero

7

Heptgono

Heptaltero

8

Octgono

Octoltero

9

Enegono

Enealtero

10

Decgono

Decaltero

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Um outro para classificar um polgono o da congruncia de seus lados e de seus ngulos internos. Vamos comparar os lados e os ngulos internos dos polgonos: P D Q O C

E M N A

B

med ( MN ) = med( NO ) = . . . = med ( QM ) med (M) = med (N) = . . . = med(Q)

med(EA) med(CD) ou med(C) med (D)

Observe que o polgono MNOPQ tem os lados de medidas iguais e tem tambm os ngulos internos de medidas iguais, MNOPQ um polgono regular, enquanto que o ABCDE um polgono irregular. Assim: Um polgono regular se obedece a duas condies: Eqiltero : todos os lados so congruentes, isto , tm medidas iguais. Eqigulo: todos os ngulos so congruentes, ou seja, tm medidas iguais. Exerccios 1) De o nome dos seguintes polgonos , em funo do nmero de ngulos: a) b) E A L B D C M c) J I H F G

O N 52

2) Quantos lados tem o hexgono?

3) Quantos vrtices tem o decgono? 4) Qual o nome, em funo do nmero de lados, de um polgono de 4 lados? Tringulos: elementos e classificao Todo polgono de trs denominado tringulo. Observe o tringulo ABC a seguir, que se indica ABC, e vamos identificar seus principais elementos: A Vrtices: A, B , C Lados : AB, AC, BC ngulos internos : A, B , C B C Note que no tringulo no possvel traar diagonais, pois no h vrtices no consecutivos. possvel classificar ou discriminar os tringulos pela comparao entre as medidas de seus lados ou, tambm , quanto medida de seus ngulos internos. L R

A

B AB BC CA

C

M

N

P

O

LM NL MN

PQ QR RP

Esse tringulo so classificados , respectivamente , em eqiltero, issceles e escaleno. Assim , podemos definir: Tringulo eqiltero : Tringulo que tem trs lados de medidas iguais. Tringulo issceles: tringulo que tem dois lados de medidas iguais. Tringulo escaleno: tringulo que tem trs lados de medidas diferentes.

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Exerccio 1) Dados os tringulos seguintes , classifique-os quanto aos lados: a) b)

4 cm 3 cm 3 cm 3 cm 5 cm 3 cm c)

5 cm 3 cm 5 cm

2) Dados os tringulos seguintes , classifique-os quantos aos ngulos: a) A b) D

120 B c) G 50 C E F

80 50 I H

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Soma dos ngulos internos de um tringulo Observe os tringulos a seguir e seus ngulos internos: A A a a

B

b

c C B b c C

Podemos calcular a soma dos ngulos internos em cada tringulo . Vamos transportar esses ngulos para um vrtice comum, interno ou externo aos tringulos. A A

c B

a b c C a b

B

C

a c b c'

a' b'

Chamando a medida de A, b medida de B, e assim por diante, temos para os dois tringulo: a + b + c = 1 ngulo raso a + b + c = 1 ngulo raso Assim, para os tringulos ABC e ABC a soma das medidas de seus ngulos internos constante e mede 180. O processo de determinao da soma dos ngulos internos pode ser aplicado a qualquer tringulo, e a concluso generalizada : A soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo 180 55