1- INTRODUÇÃO

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. Um sistema é caracterizado por um conjunto de variáveis, bem como leis teóricas e empíricas, do problema em questão.

A modelagem matemática é a area do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, tais como física, química, biologia, economia e engenharias. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial que caracteriza determinado processo, pode-se extrair informações relevantes e, possivelmente, prever o seu comportamento. A modelagem de um sistema em um conjunto de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento geral de vários tipos de sistemas. Historicamente, a evolução do ramo da matemática no qual se insere o estudo das equações diferenciais aconteceu em paralelo com o desenvolvimento da Física, funcionando como ferramenta de cálculo das equações de movimento da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formulação da mecânica quântica e da relatividade. Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais diversas áreas do conhecimento, por exemplo, em Ciências Naturais, temos o problema da dinâmica de populações; a competição de espécies como, por exemplo, no sistema predador versus presa. Fora das Ciências Naturais, as equações diferenciais também encontram aplicação em economia, no sistema financeiro, no comércio, no comportamento de populações humanas, dentre outras. Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis. Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam modelagens em termos de equações diferenciais bem conhecidas. Por outro lado, problemas cuja modelagem exige equações diferenciais mais complicadas podem, hoje em dia, ser tratados através de métodos computacionais. Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento e, em particular, em Ciências Naturais.

Esse trabalho tem como objetivo analisar o crescimento populacional, por meio de modelagem com equações diferenciais.

A utilização de modelagem matemática no estudo das populações é um recurso matemático muito importante para a sociedade, principalmente para os governantes, que usam as taxas de crescimento, ou decrescimento populacional, como parâmetros na tomada de decisões, no que se referem à aplicação dos recursos financeiros públicos, necessários para o atendimento das populações.

2- MODELAGEM

A modelagem de acordo com nossos estudos é a forma de analisar um problema(encontrar qual o foco principal a ser resolvido ou o resultado que queremos)buscar alternativas e verificar qual melhor saída comparando com o objetivo ;para isto fazemos um diagrama de blocos ou simples anotações dos principais fatores do determinado problema.Na matemática através deste método ,elaboramos uma função onde temos uma variável como “fator” principal em relação ao tempo; e através desta de acordo com os resultados finais, também podemos fazer uma representação gráfica. Assim, podendo utilizar em uma pesquisa populacional , a até mesmo para verificar o crescimento de um tumor.

A modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem do mundo real, segundo (BASSANEZI 2002, p. 98). A modelagem pressupõe multidisciplinaridade, nesse sentido, vai ao encontro das novas tendências que apontam para a remoção de fronteiras entre as diversas áreas de pesquisa.

Em seus vários aspectos, é um processo que alia teoria e prática, motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e tem papel importante na busca de meios para agir sobre ela e assim transformá-la. A modelagem matemática surge da necessidade do homem compreender os fenômenos que o cercam de modo que possa interferir ou não em seu processo de construção. São previsões de tendências e aproximações da realidade.

3- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Uma Equação Diferencial é uma equação com uma série de funções derivadas de uma mesma função começando pela a de maior ordem . No caso de uma equação diferencial ordinária, a solução da equação é a sua função original não derivada.

4- MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Equação Diferencial é conjunto de derivadas pertencentes de uma função desconhecida da variável. Uma equação diferencial ordinária geralmente não possui perturbações ou quando há são pequenas por exemplo, em um crescimento de uma população não é levada em consideração acidentes , doenças mas sim um ambiente perfeito para o crescimento populacional em função do tempo.

O sistema de modelagem analisa a melhor maneira de alcançar um resultado, enquanto as equações diferenciais possuem um nível de exatidão muito grande, tornando em muitas vezes um método bem viável.

A sua aplicabilidade é notada na fórmula S= SO+VOT+(AT)/2.O que se percebe na forma de S(t)=F” (t)+F’(t) do qual é um sistema preciso e completo quesito de calcular a

velocidade ,espaço, acelaração e tempo. Por este motivo, está ligada diretamente á modelagem e sua fórmula é na utilização de Equações Diferenciais.

5- MODELO PARA A DINÂMICA DE POPULAÇÕES

Esse modelo é usado para simular diversos tipos de população, variando de micro-organismos a animais competindo no contexto presa-predador. Como exemplo ilustrativo do processo de modelagem, vamos começar com um caso mais simples. Seja N(t) a população de uma dada espécie em um dado instante do tempo t. O modelo mais simples que podemos imaginar é aquele no qual o crescimento (ou decaimento) da população é proporcional ao número de membros da mesma. Matematicamente isso se escreve na forma da equação diferencial ordinária (EDO)

Onde dN/dt é a variação da população com respeito ao tempo, a constante N0 é a população inicial e r é a taxa de variação. Se r<0 (taxa de natalidade) a população cresce, enquanto que se r<0 (taxa de mortalidade) a população decresce. No entanto, este modelo tem um problema sério. No caso de crescimento (r>0) a população pode crescer indefinidamente. Note que o crescimento é exponencial. Como é que sabemos que o crescimento é exponencial e não algébrico (ou seja, quadrático ou cúbico)? Esse modelo está longe de ser realista pois sabemos que, após um certo período de tempo, a população será tão grande que surgirão problemas de limitação de alimentos, espaço e assim por diante.

Temos então a equação logística

Onde a taxa de variação agora depende da população e é dada por f(N). Vamos construir uma função f(N) que tenha as propriedades desejadas, ou seja:

a) A população cresce exponencialmente enquanto ela for pequena;b) O crescimento vai desacelerando conforme a população vai crescendoc) Observamos mortalidade quando a população for muito grande. Matematicamente

escrevemos isso na forma f(N)<0 quando N>>1.d) A pessoa encarregada de escrever um modelo propõe a seguinte função:

A constante M indica o ponto a partir do qual observaremos a mortalidade de indivíduos, pois quando N>M <<1 (que significa muito pequeno) o termo em parênteses é aproximadamente igual a 1 e a taxa de crescimento é aproximadamente igual a r, de acordo

com o que foi “encomendado” no ítem a acima. Usando cálculo diferencial é fácil ver que quando a população estiver no intervalo [M/2,M], a taxa de variação ainda é positiva, mas começa a decair. Portanto satisfazemos o item b. Podemos ver tudo isso através do gráfico dN/dt versus N apresentado na figura 15.

Um modelo um pouco mais complexo é dado a seguir:

Fazendo o gráfico N versus dN/dt, podemos entender o que este modelo representa. A taxa de variação é negativa quando 0 < N < M1 ou N < M2, e positiva para M1 < N < M2. Os pontos N = 0, N = M1 e N = M2 são chamados de pontos críticos, ou estacionários, pois a população não varia (i.e., dN/dt = 0) se começar com esses valores. Os pontos críticos N = 0 e N = M2 são pontos estáveis pois, se começarmos com valores nas suas respectivas vizinhanças, a população irá gradativamente se aproximando do valor crítico. O ponto crítico N = M1 é instável pois, se tivermos uma população inicial na sua vizinhança ela irá gradativamente se afastando do mesmo.

6- MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAIS DE TEMPO CONTÍNUO

A dinâmica de populações trata das variações, no tempo e no espaço, das densidades e tamanhos de população. Seu estudo visa à melhor compreensão da variação do número de indivíduos de uma determinada população e também, dos fatores que a influenciam em tais variações. Para isso, é necessário o conhecimento das taxas em que se verificam perdas e ganhos de indivíduos e identificar os processos que regulam a variação da população. O interesse neste estudo não é apenas teórico, sendo importante para o controle de pragas, criação de animais, etc (Rachide 2006).

6.1- Crescimento linear

O modelo mais simples de crescimento de uma população pode ser definido através de uma função de crescimento linear, onde o incremento da população responde a uma taxa fixa de crescimento (Figura 25), não correlacionada com o tamanho da população em questão, onde N é igual à população e r a taxa constante de incremento (Equação 1). Por exemplo, um rebanho bovíno em que a população cresce por inseminação artificial e o produtor realiza um número fixo deste procedimento a cada ano.

Equação 1

Gráfico de crescimento linear.

6.2- Crescimento exponencial

O modelo exponencial de crescimento populacional foi descrito por Malthus (1798). Sua dinâmica surge de processos cumulativos (retroalimentação positiva ou de reforço). Esses processos ocorrem quando a variação liquida do sistema é proporcional ao seu estado atual, reforçando a tendência existente. Neste modelo uma população cresce de acordo com a taxa de natalidade constante r. O crescimento populacional exponencial é definido pela seguinte equação.

Equação 2

onde dN / dt é a taxa instantânea de mudança populacional e r é a taxa constante de mudança.

Curva de crescimento exponencial

6.3- Crescimento logístico

O matemático belga Pierre F. Verhurst propôs em 1837 um modelo que supõe que uma população poderá crescer até um limite máximo, a partir do qual tende a se estabilizar. O modelo proposto por Verhurst atende a uma condição em que a taxa de crescimento efetiva de uma população varia ao longo do tempo. Esse modelo é uma alternativa ao modelo de crescimento exponencial em que a taxa de crescimento é constante e não há limitação para o crescimento do tamanho da população.

Quase todos os textos introdutórios de ecologia usam a versão de tempo contínuo do modelo logístico como o modelo que descreve o crescimento populacional. Esse modelo é uma ferramenta útil para entender como funcionam várias populações, mas não descreve a dinâmica de algumas populações reais. Essas populações exibem comportamento mais complexo e suas taxas de crescimento também estão sob os efeitos de outras populações.

Sob as condições do modelo de tempo contínuo, o fluxo de crescimento se ajusta instantaneamente para desacelerar o crescimento populacional quando a população, N, se aproxima da capacidade de suporte, k, do ambiente que a envolve . Por isso, dificilmente uma população ultrapassa essa capacidade suporte. Qualquer perturbação que cause o crescimento acima desse limite, por exemplo, a entrada instantânea de novos indivíduos na população, é absorvida por um mecanismo de retroalimentação negativa que anula o fluxo de crescimento e permite que o fluxo de mortes rapidamente restaure a população ao nível k (Equação 3).

Equação 3

Curva de crescimento logístico

6.4- Modelos de crescimento populacionais de tempo discreto

Os modelos de tempo discreto evoluem em intervalos de tempo, geralmente, fixos e chamados passos. Presume-se que cada passo o sistema representado possa mudar instantaneamente seu estado. No modelo de tempo contínuo não existem passos, mudanças acontecem continuamente.

Dessa forma, a principal diferença entre modelos populacionais de tempo discreto e contínuo é que o modelo de tempo discreto descreve o número de indivíduos no próximo intervalo temporal, enquanto que o modelo de tempo contínuo descreve a taxa de mudança do tamanho populacional. Em ambos modelos logísticos, a constante k determina a capacidade de suporte do ambiente, ou seja, o número máximo de indivíduos que um habitat é capaz de sustentar.

No modelo populacional de tempo discreto, é mais concreta a possibilidade de uma população ultrapassar a capacidade de suporte de seu ambiente. Neste caso não existe o ajuste instantâneo no fluxo de crescimento populacional. O modelo de tempo discreto descreve uma retroalimentação negativa baseada na dependência da densidade populacional, que não é instantânea, ela acontece após atrasos no tempo. Esses   atrasos podem ser entendidos como uma demora na resposta da população, ou sistema, em relação à aproximação da capacidade suporte. Por exemplo, em populações de plantas anuais ou insetos, os indivíduos crescem e reproduzem simultaneamente, mas os jovens não germinam ou eclodem até o próximo ano. Por isso, após um ano em que muitos indivíduos foram produzidos, a população pode ultrapassar a capacidade de suporte do ambiente.

No caso das formigas, onde podemos observar altas taxas de reprodução associadas a um tempo de geração extremamente curto, podemos perceber fortes associações com os modelos de tempo discreto.

6.5- Caos determinístico em ecologia de populações

Até recentemente os sistemas dinâmicos eram classificados em três categorias, segundo o padrão de variação no tempo das grandezas que caracterizam os seus estados:

a) estáveis, convergindo para um valor fixo;

b) periódicos, estabelecendo-se em oscilações periódicas; ou

c) imprevisíveis, caracterizado por flutuações irregulares, também denominados aleatórios ou ruidosos.

Porém, em 1963, Lorenz fez uma descoberta que surpreendeu o mundo, enquanto estudava um modelo de previsão do tempo. Seu modelo seguiu um curso que não se enquadrava como aleatório, periódico ou convergente, exibindo um comportamento bastante complexo, embora fosse definido apenas por poucas e simples equações diferenciais. A dinâmica gerada pelo modelo exibia uma característica não usual: dois pontos localizados a uma distância ínfima seguiam trajetórias bastante divergentes. Esta observação levou Lorenz a concluir que a previsão do tempo em um intervalo de tempo longo não seria possível. Sistemas como o de Lorenz são denominados “caótico determinísticos” ou simplesmente “caóticos”; ou seja, embora apresentem um comportamento aperiódico e imprevisível, a sua dinâmica é governada por equações diferenciais determinísticas simples.

A sensibilidade crítica às condições iniciais é a característica fundamental que diferencia os sistemas caóticos determinísticos dos sistemas que apresentam respostas aleatórias ou estocásticas. Para esses últimos sistemas, a mesma condição inicial pode conduzi-los a estados bastante distintos em pequenos intervalos de tempo, o que não ocorre nos sistemas caóticos determinísticos (Bricmont 1996).

Após a descoberta desse fenômeno nos estudos de sistemas físicos a evolução de sua aplicabilidade para a descrição de outros tipos de sistemas se mostrou extremamente interessante, em especial para os sistemas ecológicos. Em 1976, Robert May, trabalhando com modelos de crescimento populacional extremamente simples, não lineares e com atraso na resposta (discretos), mostrou que eles podiam ter um comportamento dinâmico fantasticamente complexo. Este comportamento incluía flutuações populacionais aparentemente aleatórias que eram geradas por modelos determinísticos, o chamado caos determinístico. As descobertas alcançadas por May na ecologia, e por vários outros pesquisadores em uma ampla variedade de outras ciências, provocaram uma das maiores revoluções científicas e filosóficas do século XX (Fernandez 2004).

Partindo de uma equação logística de tempo discreto (Equação 4), May estudou as possibilidades de flutuações populacionais para diferentes valores de r, onde cada valor representaria diferentes populações.

                Equação 4

Variando-se o valor da constante r, a iteração desta equação em Nt pode conduzir a soluções estáveis, periódicas ou caóticas . Na figura abaixo, em (a), observa-se uma

solução estável. Em (b) tem-se oscilações tendendo a estabilidade. Em (c) tem-se soluções periódicas de período 2. Já em (d), observa-se uma solução aperiódica e imprevisível, característica dos sistemas caóticos. Nos anos que seguiram, os estudos realizados pelo físico matemático Mitchell Feigenbaum (1983) revelaram o processo de duplicação de períodos através do qual os sistemas dinâmicos passavam de um regime laminar e bem comportando para um regime de desordem ou caótico.

Gráficos de flutuações populacionais gerados a partir da equação logística em tempo discreto, nos quais Pop = Nt e k = 100: (a) r = 1,2, (b) r = 3,0, (c) r = 3,5 e (d) r = 4,0.

7- O PROBLEMA

Zill (Equações Diferenciais com aplicações em modelagem), página 107 – problema 34.

A equação diferencial dP/dt = (k cos t) P, onde k é uma constante positiva, é um modelo matemático para a população P(t) que sofre flutuações sazonais anuais. Resolva a equação sujeita a P(0) = P0. Use um programa para obter o gráfico de solução para diferentes escolhas de P0.

8- CONCLUSÃO

O uso da modelagem matemática vem crescendo muito nos últimos anos, pois os modelos matemáticos são utilizados na compreensão de problemas do nosso cotidiano. Como exemplo, temos os modelos matemáticos populacional, que representam o comportamento de uma determinada população através de equações.

Neste trabalho foi analisado.....

9- BIBILIOGRAFIA

Aplicação das Equações Diferenciais. Disponível em: <https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3Y3RWTGdERUwyYVE/edit?usp=sharing >. Acesso em: 29 maio 2013.

BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Editora Contexto, 2002.

BRONSON, R. Moderna Introdução às Equações Diferenciais. São Paulo: Editora McGrew-Hill do Brasil, 1976.

Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações. Disponível em: <https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3TXE2c2xhNXJvVk0/edit?usp=sharing >. Acesso em: 29 maio 2013.

R. RACHIDE, “Dinâmica de Populações: Um Breve Histórico”, Universidade Federal de Viçosa, III Bienal de SBM, 2006, Brasil.

ZILL, Denis G., “Equações diferenciais com aplicações em modelagem”; tradução Cyro de Carvalho Patarra; revisão técnica Antonio Luiz Pereira. São Paulo – Pioneira Thomson Learning, 2003.