Engenharias: Eltrica e Mecnica

Docentes:Edilson A. de Sousa Filho RA: 5899076586 Eng. Eltrica.Magdiel Ramos Rodrigues RA: 5670128594 Eng. Mecnica.Marcos A. M. da Costa RA: 5222985910 Eng. Mecnica.Thalles Jos da Silva RA: 5899076605 Eng. Mecnica.Lucas Eliathan F. Ferreira RA: 3776753495 Eng. Mecnica.Lucas de Melo RA: 5899076579 Eng. Mecnica.Franciliano C. Lima RA: 3226021138 Eng. Mecnica.Orientador: Toninho Aplicaes de Equaes diferenciais

AnpolisNovembro de 2013

SUMARIO

Introduo

Desenvolvimento Problemas de crescimento e Decaimento.Quedas dos corpos (2 lei de Newton).Temperatura. Diluio. Circuitos eltricos (Kirchhoff)

Concluso

Bibliografia

Introduo

Com base no que foi visto em sala de aula veremos aplicaes das equaes diferencias nas mais diversas reas, para isso colocaremos em pratica os conceitos estudados ate o momento e veremos como e de fato aplicado no cotidiano trazendo alguns exemplos.

Problemas de crescimento

I) Resoluo do modelo de Malthus

Mtodo separao de variveis AnosIBEGE Populao (p0)Taxa media de crescimento anual

2001361311,46% aa

Aplicando-se o Modelo de Malthus encontre a populao presente em um (t = 6) anos.

Ln |p| = kit + c = = P = P0P = 36131.P = 39439 habitantes.II) Suponhamos que tenha 100 bactrias no instante 0 e 200 bactrias no instante 10s.Quantas bactrias tero um minuto do instante 0 (em 60 segundos)?Primeiro temos de resolver a equao, em que a soluo dada por:P(t) = C100 = P(0) = C = C;200 = P(10) = C200 = P(10) = 1002= = k = 0,069P(60)= 100P(60)Portanto em um instante de 1 minuto P(60) teremos 6280 bactrias .III) Uma cultura de bactrias cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente, determine a expresso que fornece o numero de bactrias em funo do tempo.

Ln|Q| = kit + c = = Q = CSabendo que:1h = 1000 bactrias4hrs = 3000 bactriasQual e a quantidade inicial de bactrias presente?Q(1) = 10001000 = CC = Q(4) = 30003000 = C3000 = . 3 =3 = kK = 0. 366C = C = 693,5Quantidade inicial ser:Q(0) = 693,5

Problemas de Decaimento I) Uma substancia radioativa diminui a uma taxa proporcional a quantidade presente. Se inicialmente a quantidade de material e 50mg e aps 2h perde-se 10% da massa inicial. Determine uma expresso para achar massa restante em um tempo t.

Ln|m| = kt + c = = m = C m (0)=50 m(2)=4550 = C

C = 5045 = 50== kK = -0,0527Portanto nossa expresso ser: m = 50II) Use a expresso para achar qual e a massa restante aps 4 horas.: m = 50 m(4) = 40,5 mgIII) Qual o tempo necessrio para que a massa fique reduzida a metade?25= 50== t t = 13,15 anos.

Problemas de Queda dos corpos (2 lei de Newton)Ma = I) Um paraquedista, pesando 70kg, salta de um avio e abre o paraquedas aps 10s. Antes da abertura do paraquedas o seu coeficiente de atrito e kspq = 5 kg s-1, depois kspq = 100 kg s-1Determine a velocidade do paraquedista no instante em que ele abre o paraquedas?= V( t=o) 0= C=V=A velocidade do paraquedista aps 10s e: 70ms-1 II) Qual a distancia percorrida em queda livre?Sendo a velocidade a derivada da distancia percorrida em relao ao tempo temos:V=x=x=Condio inicialx(t=0)= 0 = Cx=A distancia percorrida no tempo 10s e:x== 392mIII) Qual a velocidade mnima que o paraquedista poder atingir aps a abertura do paraquedas? V=Vmin= ===6,86m/s

Problemas de Temperatura

Ln = kt }+ C = = T(t) - Tm = C T(t) = Tm + C I) Quando retiramos um bolo do forno, ele apresenta temperatura de 150 C. Trs minute depois, sua temperatura de 94 C. Quanto tempo demorar para o bolo atingir a temperatura ambiente de 20 C?

150 = 20 + C (t=0)C = 13094 = 20 + 130 (t=3)== kK -0,19Para encontrar a tempo necessrio em que a temperatura seja 20C vamos aproximar a temperatura para 20,1C j que ln(0) tende ao infinito assim teremos:20,1 = 20 + 130=Ln|0,0007|= -0,19tt = =t 38 minutosII) Um objeto temperatura inicial de 50 F colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente de 100 F . Se aps 5 minutos a temperatura do objeto de 60 F, determinar o tempo necessrio para a temperatura atingir 75 F T(t) = Tm + C 60 = 100 + 5060-100 = 50=Ln(-0,8)= 5KK = = 0,0446275-100 = 50-25 = 50Ln|-0,5|= -0,044tt = t = 15,5 minutosIII) Qual a temperatura do corpo aps 20 minutos.T(t) = Tm + C T(20) = 100 + 50 T(20)= 100-20.5T(20)= 79.5 F

Problemas de Diluio

Tent Tsai = Tent: be onde b e a quantidade de sal por l, e a quantidade de l que entra por minuto. Tsai et e o que entrou em t min ft e a quantidade que saiu em t minV0 e o volume inicial

be -ou =beI) Um tanque contm inicialmente 100 litros de salmoura com 0,1 kg de sal. No instante t 0, adiciona-se outra soluo de salmoura com 0, l kg de sal por litro, a razo de 3 litros por minuto, enquanto que a mistura resultante se escoa do tanque mesma taxa, determine a quantidade de sal presente no tanque no instante t;V0= 100, a=1, b=0,1 e e=f=3

Aplicando fator de integrao temos: Q(t) = C+ 10Quando t = 0 e Q = a= 1Q(t)= -9+10II) Encontre o tempo t quando Q = 55 = -9+10=Ln(-0,55555)= -0.03tt= 19,5 minutos III) Um tanque contm inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. No instante t 0, gua pura comea a entrar no tanque a razo de 20 l por minuto, enquanto a mistura sai do tanque a mesma taxa. Determine expresso para a quantidade de sal no tanque no instante t.

V0 = 350 L b=0 e=20 f=20 L/minQ0= 10 KG =0 . 20

= 0Aplicando fator integrante temos I(t) = = e

0 . e Q = CeSendo assim a expresso ser: Q(t) = 10e

Circuitos eltricos Lei de kirchhoffCircuito em serie L R = E(t)

Circuito em serie RC = Aplicando fator integrante temos a soluo geral da equao:Q(t) = CUma fora eletromotriz de 30 volts aplicada a um circuito em srie LR no qual a indutncia de 0,1 henry e a resistncia de 50 ohms. Encontre a corrente i(t) se i(0) = 0.

= 30 .(10) = 300Encontrando o fator integranteI(t) = = e500t e500t e500t300300 dt=+ C= 0,6e500t+ ci = 0,6e -500t+ CC e nossa constante de integrao. (PVI)0= 0,6 + e0+ CC = -0,6nossa funo i(t) e dada: i(t) = 0,6-0,6 e -500tConcluses

Quando aplicamos nosso conhecimento em busca de um melhor resultado encontramos ento mais eficcia na resoluo do problema, com conhecimento nas EDO de primeira ordem, podemos compreender que a partir de uma taxa que e uma derivada, sendo proporcional ao tempo aplicando -a integral temos o numero x em funo do tempo t que pode representar uma populao de bactrias ou a queda de temperatura de algum corpo.Em vista do que aprendemos em sala e aplicando nossos conhecimentos no cotidiano podemos buscar aprimorar o uso e o desenvolvimento dos meios a quais estejam sendo trabalhados.

Bibliografia

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