Anhanguera Educacional

Faculdade Anhanguera São Caetano

ATPS – Equações Diferenciais e Séries

São Caetano do Sul - SP

2014

Alex Miranda Pelinson RA: 6814018094 Eng. C. A.

Eder Shin Iti Onuki RA: 6814018017 Eng. C. A.

Geraldo José Pereira dos Santos Filhos RA: 6814012734 Eng. C.A.

Rodrigo Vilela RA: 6820478378 Eng. C. A.

Rubens Batista Silva RA: 6814018032 Eng. C. A.

Thiago Lisboa Ferreira RA: 6814012755 Eng. C.A.

Thomas Patrick RA: 6819459228 Eng. C. A.

Virginia Nepomuceno Braz RA: 6814012761 Eng. C.A.

ATPS – Equações Diferenciais e Series

Trabalho de pesquisa apresentado à disciplina de

Equações Diferenciais e Séries, do curso Superior

de Engenharia de Controle e Automação,

Faculdade Anhanguera.

Professor: Roberto Eugênio.

São Caetano do Sul – SP

2014

Desafio

O estudo sistemático de circuitos eletroeletrônicos atualmente é motivado

para o desenvolvimento de novos dispositivos, como tablets, que trazem como uma

das propostas permitir que o usuário tenha boa parte dos recursos de um

computador em um aparelho portátil e mais leve que um notebook. O estudo de

circuitos elétricos permite, também, o avanço de dispositivos já existentes, a citar o

exemplo de telefones celulares, cuja atual funcionalidade vai bem mais além da

comunicação entre dois usuários por uma ligação telefônica.

O desenvolvimento de outros setores também está diretamente relacionado

com o avanço de dispositivos, mediante o estudo de circuitos elétricos e eletrônicos,

a exemplo dos setores de transmissão de energia, telecomunicações e saúde (este

último beneficiando-se de equipamentos cada vez mais sofisticados e que permitem

análises mais detalhadas). O conteúdo aqui exposto evidencia a importância de se

ter uma base sólida nas técnicas de modelagem e tratamento matemático de

circuitos elétricos, que se dá por meio de equações diferenciais, nas quais é

frequente o uso de séries no tratamento matemático. A relevância deste desafio

reside em permitir ao aluno um sólido conhecimento sobre a modelagem de circuitos

elétricos por meio de equações diferenciais, e sobre os métodos de solução dessas

equações, possibilitando, inclusive, a análise de projetos de desenvolvimento de

dispositivos.

São Caetano do Sul - SP

2014

Etapa 1

Passo1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações

diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

Modelagem

A modelagem de acordo com nossos estudos é a forma de analisar um

problema (encontrar qual o foco principal a ser resolvido ou o resultado que

queremos), buscar alternativas e verificar qual a melhor saída comparando com o

objetivo; para isto fazemos um diagrama de blocos ou simples anotações dos

principais fatores do determinado problema.

Na matemática através deste método, elaboramos uma função onde temos uma

variável como “fator” principal em relação ao tempo; e através desta de acordo com

os resultados finais; também podemos fazer uma representação gráfica. Assim,

podendo utilizar em uma pesquisa populacional ou até mesmo para verificar o

crescimento de um tumor. Portanto, as modelagens através de equações

diferenciais nos explicam o comportamento de certos sistemas.

Equações diferenciais

Equação diferencial é conjuntos de derivadas pertencentes ao uma função

desconhecida da variável. A modelagem de sistemas por meio de equações

diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia. O sistema de

modelagem analisa a melhor maneira de alcançar um resultado, enquanto as

equações diferenciais possuem um nível de exatidão muito grande, tornando em

muitas vezes um método bem viável.

A sua aplicabilidade é notada na fórmula S=So + VoT + (AT²)/2 . O que se

percebe na forma de S(t) = F’’(t) + F’(t) + F(t) do qual é um sistema preciso e

completo quesito de calcular a velocidade, espaço, aceleração e tempo. Por este

motivo, está diretamente ligada à modelagem e sua fórmula é na utilização de

Equações Diferenciais.

De acordo com Rangel(2013) "Uma das principais razões da importância das

equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples são capazes de

representar sistemas úteis. Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos

comportam modelagens em termos de equações diferenciais bem conhecidas. Por

outro lado, problemas cuja modelagem exige equações diferenciais mais

complicadas podem, hoje em dia, ser tratados através de métodos computacionais.

Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas através de

equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas

reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento e, em

particular, em Ciências Naturais".

Passo 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de

integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da

disciplina (identificado ao final da ATPS).

Equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação com uma série de funções

derivadas de uma mesma função começando pela a de maior ordem. No caso de

uma Equação Diferencial Ordinária, a solução da equação é a sua função original

não derivada.

Integral

A integral foi criada para calcular áreas curvas, geralmente de um plano

cartesiano, porém com o tempo foi-se descobrindo novas formas de seu uso

tornando cada vez mais complexa e importante para a ciência em si. Basicamente

uma integral segue o caminho inverso da derivada. Existem várias maneiras de

calcular uma integral, como a integral definida que se tem os valores máximos e

mínimos definidos da variável. Há também a indefinida, que em seu cálculo chega

em outra equação aplicável, mantendo ainda a variável da função.

Passo 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis

separáveis e de primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina

(identificado ao final da ATPS). Resolução de equações diferenciais lineares de

variáveis separáveis e de primeira ordem.

Resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis.

É toda a solução da equação diferencial que se obtém da solução geral, por

particularização da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas

da família de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral.

Para a particularização das constantes, com vista à obtenção duma solução ou

integral particular, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a um

mesmo valor da variável independente, condições iniciais. Resolver ou integrar uma

equação diferencial consiste em determinar a solução geral ou integral geral ou

sendo dadas condições, determinar a solução ou integral particular que as

satisfazem.

Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma

canónica para a forma a( x ).b( y )dx+c( x ).d( y )dy= 0 . Separando as

variáveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente

funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separadas. 

Assim vem:

a(x)/c(x) dx +d(y)/b(y) dy = 0

Integrando temos:

∫(a(x)/c(x) dx + ∫d(y)/b(y) dy =c)

A equação obtida é a solução geral de uma equação de variáveis separáveis.

Resolução de equações diferenciais de primeira ordem uma equação de primeira

ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função incógnita e na sua primeira

derivada, podendo representar-se simbolicamente por 

y'+P( x )y = Q( x )

Com, P(x) e Q(x), funções contínuas.

Se Q(x)=0, y'+P( x )y = 0 diz-se uma equação linear homogénea, que é uma

equação de variáveis separáveis. Se Q(x) ¹0, a equação linear é não homogénea,

completa ou 

com segundo membro.

Resolução 

Para resolver equações diferenciais lineares utilizamos à expressão:

y=e¿ ¿Com c1 constante arbitrária.

Passo 4

Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos elétricos

por meio de equações diferenciais.

Modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais.

De acordo com os arquivos estudados notamos que a modelagem de circuitos

elétricos por meio de equações diferenciais, é feita através de equações de primeira

e segunda ordem diretamente ligadas a Lei de Nós e Lei das Malhas conhecidas

como Leis de Kirchhoff, que são fundamentais para o sistema elétrico. Porém,

França de Lima e Mor (2013) declaram que “não há necessidade da utilização de

ambas as leis para a construção de um modelo matemático de sistema elétrico

simples. No entanto, o que irá mostrar qual das leis será utilizada é a complexidade

e a aplicabilidade do circuito”.

ExemplosObjetivando ilustrar a modelagem com equações diferencias, desenvolveremos a seguir modelos de sistemas dinâmicos:Circuito RCCircuito RLCO circuito RC é composto de uma fonte de tensão, vi (t), em série com um resistor R e um capacitor C.

A corrente no capacitor é proporcional à taxa de variação da tensão através do capacitor, matematicamente:

Sendo a capacitância C a constante de proporcionalidade. Pela lei de Kirchoff, a soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nula, o que leva à expressão:

Substituindo i(t) em (2) pela relação (1), surge uma equação diferencial de primeira ordem:

Solução analítica

Considere o caso simples onde = 0 para todo t e = (descarga do capacitor).

Então, a solução analítica de (3) pode ser obtida:

Onde k é uma constante.

Portanto, a partir de (4), deduzimos que a tensão no capacitor decresce

exponencialmente na taxa inversa de RC:

Para um circuito RC onde e , a curva de tensão no capacitor em função do tempo pode ser observada na figura abaixo.A curva caracteriza a descarga da energia do capacitor que, por sua vez, é dissipada pelo resistor.

O circuito RLC consiste de uma fonte de tensão vi (t) em série com um resistor R, um indutor L e um capacitor C, de acordo com o diagrama abaixo:

A soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nula:

A queda de tensão no indutor é proporcional à taxa de variação da corrente, sendo L a constante de proporcionalidade. A corrente através do capacitor é proporcional à taxa de variação da queda de tensão no capacitor, obtemos assim o sistema de equações diferenciais de 1a ordem:

O sistema acima pode ser colocado na forma matricial:

Alternativamente, o sistema de primeira ordem (9) pode ser colocado como uma equação diferencial de segunda ordem, bastando para isto substituir (8) em (7):

Aqui ilustramos como se transforma uma EDO de ordem n em um sistema EDO de primeira ordem com n equações.Definindo x como variável de estado:

e estabelecendo u(t) como a entrada e y(t) como a saída, teremos:

Note que a entrada é a tensão vi (t), enquanto a saída (o que é observado) é a queda de tensão no capacitor.Podemos expressar a EDO (10) de 2a ordem em um sistema EDO de 1a ordem:

Solução AnalíticaAs equações diferenciais do circuito RLC, conforme (11), fazem parte dos sistemas de equações diferenciais lineares:

Assumindo u = −Kx, podemos assumir que acima é da forma:

Uma solução analítica para:

Pode ser obtida.Note que tem solução é trivial da forma .

Para o caso geral, definimos a função exponencial de matriz como:

Então, é a solução de (13) com .Basta verificar que:

Estabilidade de um sistema pode ser entendida como a convergência do estado x(t) para um ponto de equilíbrio x*.Dizemos que o sistema (13) é estável se:

Sob quais condições o sistema caracterizado pela equação é estável?Estabilidade é garantida a partir de qualquer ponto inicial

quando a < 0.Isto equivale a dizer que:

O que podemos dizer sobre a convergência de um sistema multivariável caracterizado pelo sistema EDO ˙ x = Ax?

Convergência pode ser garantida quando é convergente.Em outras palavras, quando a série:

é convergente, o que ocorre quando todos os autovalores de A tem parte real negativa.A figura abaixo ilustra a resposta do circuito RLC para uma entrada nula, u(t) = 0, com:

O circuito é estável como pode ser verificado calculando os autovalores de A, a

saber , os quais tem parte real negativa.Isto garante convergência a partir de qualquer estado inicial.

Bibliografia

Modelagem Matemática Baseada nas Leis de Kirchoff. Disponível em:<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3VGMxNE40d3FpMEU/edit?usp=sharing>. Acesso em: 21 Set. 2014. Simulação e Modelagem Computacionais no Auxílio na Aprendizagem Significativa de Conceitos Básicos de Eletricidade. Disponível em:<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3eUtTcXhxQnZCOFk/edit?usp=sharing>. Acesso em: 21 Set. 2014. Circuitos de Corrente Elétrica Alternada II. Disponível em:<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3MWtHVVRJTUVFN00/edit?usp=sharing>. Acesso em: 21 Set. 2014.

Referência:

HUGGES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma Variável. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2004.