Aula 01

Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do Alfa Concursos Públicos Online.

1º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 2 I. Proposição ......................................................................................................................................................................... 2 II. Quantificadores Lógicos ..................................................................................................................................................... 2 III. Propriedade das Proposições ............................................................................................................................................ 2 IV. Negação (NÃO P = ~P = ¬P) ............................................................................................................................................. 3 V. Lei da Dupla Negação ........................................................................................................................................................ 3 VI. Tipos de Proposição ........................................................................................................................................................... 3 VII. Conectivo Lógico ................................................................................................................................................................ 3

2º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 4 I. Tabelas Verdades .............................................................................................................................................................. 4

3º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 6 I. Equivalência Lógica ............................................................................................................................................................ 6 II. Negação das Proposições Compostas ............................................................................................................................... 7

4º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 8 I. Tautologia ........................................................................................................................................................................... 8 II. Contradição ........................................................................................................................................................................ 8 III. Contingência ...................................................................................................................................................................... 8 IV. Relação Entre Todo, Algum e Nenhum .............................................................................................................................. 8

5º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 9 I. Exercícios Relativos ao Encontro ....................................................................................................................................... 9


I. PROPOSIÇÃO

Toda declaração (afirmação ou negação), que pode ser CLASSIFICADA em V (verdadeiro) ou F (falso).

A representação das proposições são letras do alfabeto, maiúsculas ou minúsculas.

Ex:

p: 7 + 2 = 9. (proposição) b: Teresina é a capital do Maranhão. (proposição) q: “Lula” foi presidente do Brasil. (proposição) D: qual o seu nome? (pergunta - não é proposição) S: que dia lindo! (exclamação - não é proposição) F: feche a porta. (ordem - não é proposição)

w: x + 3 = 7 (sentença aberta - não é proposição) Z: y – 4 = 17 (sentença aberta - não é proposição) Obs. 1: perguntas (sentenças interrogativas), ordens (sentenças imperativas) e exclamações (sentenças exclamativas) não são proposições. Obs. 2: as sentenças abertas (com variáveis) também não são proposições, porém elas podem se transformar em uma proposição, através dos quantificadores lógicos, como veremos adiante.

II. QUANTIFICADORES LÓGICOS

Servem para transformar uma sentença aberta em proposição, são eles:

∀ = para todo; qualquer que seja; todos; ∃ = existe; existe pelo menos um; existe um; ∄ = não existe; nenhum;

Exemplo:

x + 2 = 10 (sentença aberta) ∃ x, x + 2 = 10 (observe que com os quantificadores conseguimos classificar a sentença aberta, o que a torna

uma proposição - verdadeira) ∀x, x + 2 = 10 (observe que com os quantificadores conseguimos classificar a sentença aberta, o que a torna

uma proposição - falsa)

III. PROPRIEDADE DAS PROPOSIÇÕES

Identidade: uma proposição verdadeira sempre será verdadeira, assim como uma proposição falsa sempre será falsa.

Ex:

2 + 2 = 4 (verdadeira sempre) 3 x 3 = 6 (falsa sempre)

Não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Ex:

p: essa frase é falsa. (observe que se você classificá-la como verdadeira, ela se tornará falsa também)

Terceiro excluído: uma proposição só admite os valores de verdadeiro ou falso, não existindo outros valores.


IV. NEGAÇÃO (NÃO P = ~P = ¬P)

Serve para alterar o valor lógico das proposições. Logo, transforma uma proposição verdadeira em falsa, ou vice-versa. Também conhecido como modificador lógico.

Ex:

p: este livro é de matemática. ~p: este livro não é de matemática. ¬p: não é verdade que esse livro é de matemática.

V. LEI DA DUPLA NEGAÇÃO

~(~p) = p

Ex:

p: este livro é de matemática. ~p: este livro não é de matemática. ~(~p): não é verdade que esse livro não é de matemática.

Logo, p: esse livro é de matemática.

VI. TIPOS DE PROPOSIÇÃO

Simples: proposição única, que não pode ser dividida.

Ex:

a: Rio de Janeiro é conhecida como a cidade maravilhosa.

Composta: formada por mais de uma proposição, ligadas entre si por conectivos lógicos, podendo ser dividida.

Ex:

p: 4 é par e 7 é impar. (composta) T: se São Paulo é a terra da garoa, então São Paulo é uma cidade quente. (composta)

Obs.:

Somente as proposições compostas possuem conectivos lógicos. Conectivos lógicos são operadores lógicos que se ligam às proposições simples para formar as proposições

compostas. O valor lógico de uma proposição composta depende do valor das proposições simples que a compõem, assim

como do conectivo utilizado.

VII. CONECTIVO LÓGICO

Serve para unir as proposições simples, formando proposições compostas. São eles:

e: conjunção (^) ou: disjunção (v) ou..., ou: disjunção exclusiva (v) se..., então: condicional (→) se, somente se: bi condicional (↔)


I. TABELAS VERDADES

Servem para avaliar o valor lógico das proposições compostas. Obs.: o número de linhas da tabela verdade depende da quantidade de proposições simples que existem na proposição composta. Nº de linhas da tabela = 2n; onde n é o número de proposições simples que compõem a proposição composta (o número de linha esta associado a todas as relações possíveis de V ou F das proposições simples que formam a proposição composta). Demonstração:

Observe que temos 3 proposições simples, logo uma tabela com 8 linhas, e que após o preenchimento dessas linhas com V e F, temos todas as relações possíveis de V e F dessas 3 proposições.

Dica: para uma melhor construção da tabela verdade, comece sempre pelas partes menores, seguindo pelas partes intermediarias, ate chegar ao todo.

Regras: resolva primeiro o que tiver dentro dos parênteses, colchetes e chaves, respectivamente. Caso não tenha parênteses, colchetes ou chaves, resolva primeiro as negações, depois as conjunções e disjunções (na ordem que aparecer primeiro), depois os condicionais e por último o bicondicional.

DEMONSTRAÇÃO: A ^ B → ~B V ~A

TABELA DA CONJUNÇÃO: E (^)

Obs.: uma proposição composta por conjunção só será verdadeira se todas as proposições simples que a compõem forem verdadeiras, caso contrario será falsa.

TABELA DA DISJUNÇÃO: OU (V)

Obs.: uma proposição composta por disjunção só será falsa se todas as proposições simples que a compõem forem falsa, caso contrario será verdadeira.


TABELA DA DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: OU..., OU (V)

Obs.: a proposição composta por disjunção exclusiva sempre será verdadeira quando os valores lógicos das proposições simples que a compõem forem diferentes, caso contrario será falsa.

TABELA DO BICONDICIONAL: SE, SOMENTE SE (↔)

Obs.: a proposição composta por bicondicional será verdadeira sempre que as proposições simples que a compõem tiverem valores lógicos iguais, caso contrario será falsa.

TABELA DO CONDICIONAL: SE..., ENTÃO (→)

Importante: nessa situação do condicional, a primeira proposição (antecedente) é condição suficiente para a segunda proposição (consequente), e o consequente é condição necessária para o antecedente. Obs.: a proposição composta por condicional só será falsa se o antecedente (primeira proposição) for verdadeiro e o consequente (segunda proposição) for falso, caso contrario será verdadeira. Lembrem disso: p (antecedente) (condição suficiente) → q (consequente) (condição necessária)

RESOLVENDO A DEMONSTRAÇÃO: A ^ B → ~B V ~A


I. EQUIVALÊNCIA LÓGICA

Duas proposições compostas são logicamente equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples e o resultado de suas tabelas verdades são idênticos.

Ex:

1) p ^ q = q ^ p

2) p v q = q v p

3) p v q = q v p

4) p↔q = q↔p

5) p→q = ~q→~p

6) p→q = ~p v q


II. NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Outras formas de equivalência, porém, como negações de proposições.

~ (p ^ q) = ~p v ~q: para negar a conjunção, negam-se as proposições simples e troca-se o conectivo e (^) por ou (v).

~ (p v q) = ~p ^ ~q: para negar a disjunção, negam-se as proposições simples e troca-se o conectivo ou (v) por e (^).

~ (p v q) = p↔q: para negar a disjunção exclusiva, basta transformar em um bicondicional.

~(p↔q) = p v q: para negar o bicondicional, basta transformar em uma disjunção exclusiva.

~ (p→q) = p ^ ~q: para negar o condicional, mantém o antecedente e nega-se o consequente.


I. TAUTOLOGIA

É quando em uma tabela verdade o resultado final é sempre verdadeiro, ou seja, quando uma proposição composta é sempre verdadeira, independente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem, aí, diz-se que ocorre uma tautologia.

Ex: a → (a v b).

II. CONTRADIÇÃO

É quando em uma tabela verdade o resultado final é sempre negativo, ou seja, quando uma proposição composta é sempre falsa, independente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem, aí, diz-se que ocorre uma contradição.

Ex: (a ^ b) ^ (~a ^ ~b).

III. CONTINGÊNCIA

É quando em uma tabela verdade não ocorre uma tautologia e nem uma contradição, ou seja, quando a proposição composta não é tautologia nem contradição, aí, diz-se que ocorre então uma contingência.

Ex: p → (p ^ q).

IV. RELAÇÃO ENTRE TODO, ALGUM E NENHUM

Relação de equivalência:

Todo A é B = Nenhum A não é B. Nenhum A é B = Todo A não é B. Ex: Todo Alberto é Beto = Nenhum Alberto não é Beto. Nenhum Aluno é Burro = Todo Aluno não é Burro.

Relação de negação:

Todo A é B = Algum A não é B Algum A é B = Nenhum A é B Ex: Todo estudante é esforçado = Algum estudante não é esforçado. Algum aluno é preguiçoso = Nenhum aluno é preguiçoso.


I. EXERCÍCIOS RELATIVOS AO ENCONTRO

1. Considere as proposições simples:

p: Maly é usuária do Metrô; e q: Maly gosta de dirigir automóvel;

A negação da proposição composta p ∧ ~ q é:

a) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. b) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. c) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. d) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel. e) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel.

2. Uma afirmação equivalente à afirmação “Se bebo, então não dirijo” é:

a) Se não bebo, então não dirijo. b) Se não dirijo, então não bebo. c) Se não dirijo, então bebo. d) Se não bebo, então dirijo. e) Se dirijo, então não bebo.

3. Considere as seguintes premissas:

p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. q: O trabalho enobrece.

A afirmação “Se o trabalho não enobrece então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando:

a) p é falsa e q é falsa. b) p é verdadeira e q é verdadeira. c) p é falsa e q é verdadeira. d) p é verdadeira e q é falsa. e) p é falsa ou q é falsa.

4. Considere a seguinte proposição:

“Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.”

Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:

a) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

b) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional.

c) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

d) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

e) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.


5. Durante uma sessão no plenário da Assembleia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo-se às galerias da casa: “Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação”. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação:

a) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. b) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram

interrompidas. c) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação. d) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação. e) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação.

O conhecido Problema dos Quatro Cartões, proposto em 1966 pelo psicólogo inglês Wason, é apresentado e comentado por Nilson José Machado em seu livro Matemática e Língua Materna. A versão original deste problema tem o seguinte enunciado: Os quatro cartões abaixo têm uma letra numa face e um número inteiro na outra.

6. Considere a seguinte proposição: “Se há uma vogal em uma face, então há um número par na outra”. Indique os

cartões que precisam ser necessariamente virados para que se determine se a proposição acima é verdadeira ou falsa.

Qual é a resposta correta a esse problema?

a) Apenas o cartão 1. b) Apenas os cartões 1 e 4. c) Apenas os cartões 1 e 3. d) Apenas os cartões 1, 2 e 3. e) Todos os cartões.

GABARITO

1 - D 2 - B 3 - E 4 - C 5 - E 6 - C

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