aula 11 - análise combinatória e probabilidade

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 11: Anlise combinatria e probabilidade

1. BOX PLOT ........................................................................................................................................ 2

2. NOES DE ASSIMETRIA ................................................................................................................ 8

2.1. Formas da curva de frequncia e posicionamento relativo de mdia, mediana e moda ..................... 12 2.2. Outros tipos de posicionamento relativo de mdia, mediana e moda ................................................. 25

2.3. Assimetria e diferena entre os quartis ............................................................................................... 35 3. ANLISE COMBINATRIA ............................................................................................................. 40

3.1. Princpio fundamental da contagem (PFC) ........................................................................................ 41 3.2. Arranjos .............................................................................................................................................. 45 3.3. Permutao. ........................................................................................................................................ 48

3.4. Combinao ........................................................................................................................................ 48

3.5. Outros exerccios ................................................................................................................................ 51

3.6. Permutao com repetio ................................................................................................................. 66 4. PROBABILIDADE ........................................................................................................................... 72

4.1. Introduo. .......................................................................................................................................... 72

4.2. Abordagem frequentista da probabilidade .......................................................................................... 78 4.3. Probabilidade condicional .................................................................................................................. 80

4.4. Frmula da probabilidade condicional .............................................................................................. 86

4.5. Probabilidade da unio de dois eventos ............................................................................................. 95

4.6. Probabilidade do evento complementar............................................................................................ 109

4.7. Teorema da probabilidade total ........................................................................................................ 120

4.8. Teorema de Bayes ............................................................................................................................. 131

4.9. Probabilidade e anlise combinatria .............................................................................................. 138 5. QUESTES APRESENTADAS EM AULA ........................................................................................ 152

6. GABARITO ................................................................................................................................... 177



AFRFB e AFT


ERRATA

Na aula 8, cometi um erro na soluo da questo 12.

Era um exerccio de emisso de ttulos, com cupons semestrais. Eu disse que o valor que pago quando da emisso do ttulo o valor de face. Mas isso est errado. Na verdade, tal valor o valor de lanamento do ttulo. o valor pelo qual o ttulo lanado. Ele pode ser igual ao valor nominal, maior (transao com gio), ou menor (desgio).

Visto isso, vamos aula de hoje.

1. BOX PLOT

Trata-se de um assunto que no costuma ser exigido pela Esaf. Em todo caso, vamos abord-lo, no custa nada.

Questo 1 Petrobras 2005 [CESGRANRIO]

O grfico a seguir o box-plot da distribuio de renda, em mil reais, da populao de um determinado municpio.

Qual a probabilidade de um habitante desse municpio ter renda superior a 6 mil reais?

(A) 0,15

(B) 0,20

(C) 0,25

(D) 0,50

(E) 0,75

Resoluo.

Para entender melhor, vamos considerar o seguinte conjunto numrico, que poderia perfeitamente ser representado pelo box-plot acima:



AFRFB e AFT


5; 5; 5,6; 5,8; 6,2; 6,5; 6,6; 7; 7; 8; 9; 10; 10; 11; 12; 22

No possvel, a partir do Box-plot, determinarmos o conjunto de nmeros que lhe deu origem. Eu apenas inventei o conjunto acima. Eu criei um caso que poderia ser representado pelo Box-plot dado na questo.

O box-plot formado por um retngulo e duas perninhas, uma em cima e outra embaixo.

O retngulo indica os quartis. Assim, da figura acima, temos que os quartis so:

61 =Q ; 72 =Q ; 103 =Q De fato, se voc observar o conjunto acima, ver que os quartis so exatamente esses que indicamos.

A amplitude interquartlica, dada pela diferena entre o primeiro e o terceiro quartil, fica:

461013 === QQd Agora vejamos as perninhas (as linhas que saem do retngulo).

A linha de cima vai at a observao mais alta existente. S que tem um detalhe. Esta linha no pode ultrapassar o limite estabelecido por:

dQ 5,13 + Ou seja, o tamanho mximo da linha igual a 1,5 vezes a amplitude interquartlica.

Como a amplitude interquartlica igual a 4, o tamanho mximo da linha igual a 6. Logo, a linha pode ir, no mximo, at:

166105,13 =+=+ dQ A linha pode ir at 16. Logo, a linha no vai poder indicar o maior valor de todos (=22). O efeito disso que o valor 22 considerado atpico, ou ainda, um outlier. Todas as observaes que ficarem fora do limite das linhas so consideradas atpicas.

Bom, excluindo-se os valores atpicos, a maior observao que sobra o 12. Por isso a linha de cima vai at 12.

Para a linha de baixo a mesma coisa. Ela comea no primeiro quartil e desce. Mas ela tem um limite de tamanho. Seu tamanho mximo de d5,1 . Assim, ela vai at:

0665,11 == dQ Todos os valores abaixo de zero so tidos como atpicos. No caso, no h nenhum valor abaixo de zero que possa ser considerado outlier.

Deste modo, a linha de baixo pode ir at 5, que a menor observao.



AFRFB e AFT


Bom, visto o tal do diagrama de box-plot, vamos resolver a questo.

Escolhe-se um habitante aleatoriamente. Pergunta-se a probabilidade de esse habitante ter renda maior que 6 mil reais.

Como 6 o primeiro quartil, ns conclumos que 25% das observaes so menores que 6 e 75% so maiores que 6.

A probabilidade procurada 75%.

Gabarito: E

Questo 2 CEB 2009 [UNIVERSA]

Considere o grfico Boxplot seguinte:

O valor marcado com um asterisco (*) representa

(A) o menor valor;

(B) 1,5

(C) 1,5 ( )

(D) ( )

(E) um outlier.

Resoluo.



AFRFB e AFT


Asteriscos so usados para indicar a existncia de outliers. Eles so alocados fora dos limites definidos por 1,5 e + 1,5.

Gabarito: E

Questo 3 INMETRO 2010 [CESPE]

Nos ltimos cinco meses, uma famlia apresentou o seguinte quadro de despesas:

1. ms: R$ 1.000,00;

2. ms: R$ 1.200,00;

3. ms: R$ 900,00;

4. ms: R$ 1.100,00;

5. ms: R$ 800,00.

Em relao a esse conjunto de dados, assinale a opo correta.

A O desvio padro amostral superior a R$ 200,00.

B O primeiro quartil igual a R$ 1.100,00.

C O terceiro quartil igual a R$ 1.200,00.

D Ao se construir um Box plot para esse conjunto de dados, os limites inferior e superior estaro contidos no intervalo [R$ 400,00, R$ 1.600,00].

E A mdia maior que a mediana dos dados.

Resoluo.

Vamos direto para a alternativa que trata de Box-plot.

Rol:

800, 900, 1.000, 1.100, 1.200

A mediana o termo do meio:

= 1.000

A mediana divide o conjunto de dados em duas partes com 2 elementos cada.

800, 900 1.100, 1.200

=900 + 800

2= 850

=1.200 + 1.100

2= 1.150

O intervalo interquartlico igual a:

= = 1.150 850 = 300

Os limites do Box plot so:

- Limite inferior: 1,5 = 850 1,5 300 = 400



AFRFB e AFT


- Limite superior: + 1,5 = 1.150 + 1,5 300 = 1.600

Os limites do Box-plot so 400 e 1.600. A alternativa D est correta.

Gabarito: D

Agora vejamos as demais alternativas.

A letra a a de verificao mais demorada, pois depende de uma maior quantidade de clculos. Na hora da prova, o ideal marc-la por excluso.

Letra B:

J vimos que o primeiro quartil 850. Alternativa errada.

Letra C:

J vimos que o terceiro quartil 1.150. Alternativa errada.

Letra E:

=800 + 900 + 1.000 + 1.100 + 1.200

5= 1.000

A mdia igual mediana. Alternativa errada.

Finalmente, para analisar a letra a, vamos criar a varivel auxiliar:

= 1.000

100

Os valores de d so:

-2, -1, 0, 1, 2

Logo:

=2 1 + 0 + 1 + 2

5= 0

=4 + 1 + 0 + 1 + 4

5= 2

= 2 0 = 2 = 2

= 100 = 1002

E o desvio padro amostral fica:

= 1002 5

4 100 1,4 1,25 = 175

O desvio padro amostral no superior a 200.



AFRFB e AFT


Questo 4 MS ADM 2009 [CESPE]

A figura acima apresenta os totais anuais de casos de febre hemorrgica da dengue, de 1988 a 2008, em Fortaleza, cidade em que a doena foi confirmada pela primeira vez em 1994. A partir de 1998, verifica-se a ocorrncia anual da enfermidade, iniciando em um patamar de baixa incidncia (1998 a 2000) e seguindo para um patamar elevado que varia de 44 a 254 casos, com exceo de 2004.

Secretaria Municipal da Sade de Fortaleza. Plano de contingncia para o controle da dengue no municpio de Fortaleza em 2009, (com adaptaes).

Com base nas informaes acima, considerando que a varivel X representa o total anual de casos de febre hemorrgica da dengue em Fortaleza, julgue os itens a seguir.

54 Construindo-se o diagrama Box-plot usual, com relao varivel X e com os dados do ano 2001 em diante, correto afirmar que a exceo observada em 2004 no deve ser considerada como um valor atpico.

Resoluo.

Dados:

60, 44, 166, 6, 119, 123, 118, 254.

Rol:

6, 44, 60, 118, 119, 123, 166, 254

Temos:

=118 + 119

2= 118,5

=44 + 60

2= 52

=166 + 123

2= 144,5

Intervalo interquartlico:

= 144,5 52 = 92,5

O limite inferior do Box-plot igual a:



AFRFB e AFT


1,5 = 52 1,5 92,5 = 86,75

Como o valor 6 maior que o limite inferior, ento no considerado valor atpico.

Gabarito: certo

2. NOES DE ASSIMETRIA

Em vez de definir assimetria, vamos a alguns exemplos.

Considere a seguinte sequncia de dados, que representam as idades de 16 pessoas.

ROL: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 10

Vamos colocar estes dados em uma tabela:

Idade Frequncia

2 1

4 2

5 3

6 4

7 3

8 2

10 1

TOTAL 16

Esta sequncia acima simtrica. Temos sete valores diferentes (2, 4, 5, 6, 7, 8, 10).

Por enquanto, vamos esquecer a coluna de frequncias. Vamos considerar apenas a coluna das idades. O valor do meio o 6.

Analisemos agora os termos vizinhos ao seis. Temos o 5 e o 7. Os dois esto igualmente distantes de 6.

Idade Freqncia2 14 25 36 47 38 210 1

TOTAL 16

considerando apenas

a coluna de idades, este o

termo do meio

Idade Freqncia2 14 25 36 47 38 210 1

TOTAL 16

6-1=5

6+1=7

esto a uma distncia de1

em relao a 6



AFRFB e AFT


Na sequncia, afastando-nos do 6, temos o 4 e o 8. E ambos esto igualmente espaados em relao a 6.

Na sequncia, afastando-nos ainda mais de 6, temos o 2 e o 10. E ambos esto igualmente espaados em relao a 6.

Pronto, vimos que, medida que nos afastamos de 6, os valores esto, aos pares, mesma distncia do centro.

Analisemos agora as frequncias.

A frequncia que corresponde ao 6 4.

A partir da frequncia 4, analisemos as demais frequncias.

As frequncias imediatamente vizinhas so 3 e 3.

Idade Freqncia2 14 25 36 47 38 210 1

TOTAL 16

6-2=4

6+2=8

esto a uma distncia de 2

em relao a 6

Idade Freqncia2 13 04 25 36 47 38 29 010 1

TOTAL 16

6-4=2

6+4=10

Esto a uma distncia de

4 em relao a 6

Idade Freqncia2 14 25 36 47 38 210 1

TOTAL 16

frequencia correspondente

ao 6

Idade Freqncia2 14 25 36 47 38 210 1

TOTAL 16

frequencias iguais



AFRFB e AFT


Afastando-nos mais do 4, as prximas frequncias tambm so iguais entre si (2 e 2).

E, afastando-nos ainda mais da frequncia 4, as frequncias continuam iguais.

Quando isto acontece, ou seja, quando os valores esto igualmente espaados em relao ao valor central, e quando as frequncias igualmente espaadas em relao frequncia central so iguais entre si, dizemos que a sequncia de dados simtrica.

Quando uma sequncia simtrica, a mdia e a mediana so iguais ao termo do meio.

Neste caso, a mdia, a mediana (e a moda) so iguais a 6.

A visualizao de uma sequncia simtrica mais fcil por meio de grficos.

Observe o grfico de colunas correspondente nossa srie de dados. Se voc colocar um espelho bem em cima da coluna correspondente idade 6, as duas partes vo se sobrepor perfeitamente.

Quando os dados esto em classes, o raciocnio anlogo.

Idade Freqncia2 14 25 36 47 38 210 1

TOTAL 16

frequencias iguais

Idade Freqncia2 14 25 36 47 38 210 1

TOTAL 16

frequencias iguais

0

1

2

3

4

5

2 3 4 5 6 7 8 9 10Idades

Freq

uen

cia

Prof. Vtor Menezes

Vamos criar um outro exemplo, bem parecido:

Agora, em vez de fazer um grfico de colunas, vamos fazer um histograma.

Novamente, observe que, se colocssemos um espelho bem no meio da classe central (classe de 5 a 6), a parte esquerda se sobreporia com perfeio parte direita.

Esta sequncia de dados simtrica.

A visualizao tambm fica facilitada por meio do polgono de freq

Nestes casos, a mdia e a mediana so justamente iguais ao ponto mdio da classe central. Ou seja, so iguais ao ponto mdio da classe 5 a 5,5.

0

1

2

3

4

5

2 3

Freq

uen

cias


Matemtica e Matemtica Financeira

Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br

Vamos criar um outro exemplo, bem parecido:

Classes de idade Frequncia

2 3 1

3 4 2

4 5 3

5 6 4

6 7 3

7 8 2

8 9 1

TOTAL 16



ncia de dados simtrica.

A visualizao tambm fica facilitada por meio do polgono de frequncia:

Nestes casos, a mdia e a mediana so justamente iguais ao ponto mdio da classe central. Ou seja, so iguais ao ponto mdio da classe 5 6. Portanto, a mdia e a mediana so iguais

4 5 6 7 8Idades



AFRFB e AFT

.com.br 11



ncia:

Nestes casos, a mdia e a mediana so justamente iguais ao ponto mdio da classe central. Portanto, a mdia e a mediana so iguais

9



AFRFB e AFT


Ainda em relao s sequncias simtricas, em geral, a moda tambm coincidir com a mdia e a mediana.

Usei a expresso em geral porque seria perfeitamente possvel a seguinte situao:

Numa situao assim, a sequncia continua simtrica. A mdia e a mediana continuam sendo iguais a 5,5 (o ponto mdio da classe central).

Mas a moda no 5,5. Pelo contrrio. A classe central a classe com menor frequncia. As classes modais so as classes extremas. Nesta situao, talvez nem seja adequado falar em moda, pois os valores com maior frequncia no do mais indicao de centro. O autor Gilberto de Andrade Martins fala que se trata de um conjunto antimodal.

Mas esta situao, embora possvel, no usual. O mais normal que, em sequncias simtricas, a moda seja igual mdia e mediana.

Pois bem, sempre que um conjunto de dados no for simtrico, dizemos que ele assimtrico. Nesses casos, no ser possvel construir um grfico de colunas (ou um histograma, se tivermos dados em classes) de tal forma que existam duas partes que se sobreponham com perfeio.

2.1. Formas da curva de frequncia e posicionamento relativo de mdia,

mediana e moda

As curvas de frequncia (ou os polgonos de frequncia) podem ter vrios formatos. Um, em especial, algumas vezes perguntado em provas. o que tem formato de sino:

0

1

2

3

4

5

2 3 4 5 6 7 8 9Idades

Freq

uen

cias



AFRFB e AFT


As maiores frequncias correspondem aos valores do meio. Um exemplo deste tipo de grfico poderia ser as notas dos alunos em uma dada prova.

A grande maioria das notas girou em torno de 7.

Algumas poucas pessoas tiraram notas baixa. E tivemos algumas poucas notas altas. Note que, se colocarmos um espelho sobre o valor 7, as duas partes se sobrepem com perfeio. A sequncia simtrica. A mdia igual mediana que igual moda, e todas elas so iguais a 7.

0

1

2

3

4

5

6

4 5 6 7 8 9 10Notas

frequ

enci

a



AFRFB e AFT


A partir deste grfico simtrico, podemos imaginar outras curvas, assimtricas.

A primeira a que segue:

Este grfico j representa uma prova mais difcil, em que no houve muitas notas altas. Observe que h uma cauda mais alongada na parte esquerda do grfico. Dizemos que a curva assimtrica negativa, ou desviada esquerda.

0

1

2

3

4

5

6

4 5 6 7 8 9 10Notas

frequ

enci

a

mdia = moda = mediana = 7

0

1

2

3

4

5

6

4 5 6 7 8 9 10Notas

frequ

enci

a

0

1

2

3

4

5

6

4 5 6 7 8 9 10Notas

frequ

enci

a

cauda



AFRFB e AFT


Como lembrar desses nomes?

Bom, lembre sempre da cauda. A cauda est esquerda, ento a curva desviada esquerda. E como a cauda est mais prxima dos nmeros negativos da reta real, ento a curva assimtrica negativa.

Para encontrar a moda no tem erro. A moda corresponde ao termo de maior frequncia que, no caso, o 7.

A mdia sempre estar do lado da cauda. E a mediana estar entre a mdia e a moda. Assim, se tivssemos que apontar, mais ou menos, onde se encontram cada uma destas medidas, ficaria assim:

A moda seria igual a 7. A mdia estaria a esquerda de 7 (portanto, do lado da cauda). E a mediana estaria entre a mdia e a moda.

Agora imagine uma outra prova, em que as questes foram bem fceis. A curva de frequncias das notas seria:

0

1

2

3

4

5

6

4 5 6 7 8 9 10Notas

frequ

enci

a

mdia: est em algum lugar esquerda do 7 (portanto, do lado da cauda)

moda = 7

mediana: entre a mdia e a moda



AFRFB e AFT


Observe que, agora, as notas so bem altas. H uma cauda mais alongada do lado direito. Dizemos que a curva desviada direita ou assimtrica positiva.

Como lembrar desses nomes?

s lembrar da cauda. Se a cauda est do lado direito, a curva assimtrica direita. Como a cauda est do lado dos nmeros positivos, a assimetria positiva.

Vamos localizar as medidas de tendncia central? A moda fcil. A moda igual a 7.

A mdia, novamente, estar do lado da cauda. Ser, portanto, um pouco maior que 7. E a mediana estar entre a mdia e a moda.

0

1

2

3

4

5

6

4 5 6 7 8 9 10Notas

frequ

enci

a

0

1

2

3

4

5

6

4 5 6 7 8 9 10Notas

frequ

enci

a cauda



AFRFB e AFT


Questo 5 MPE PE/2006 [FCC]

Considere a tabela a seguir:

A tabela acima apresenta a distribuio de frequncias relativas do valor do salrio pago aos funcionrios da fbrica Y no ms de abril de 2006. A mdia e a mediana do valor do salrio pago pela fbrica Y no ms de abril de 2006 so, respectivamente,

a) R$ 200,00 e R$ 400,00

b) R$900,00 e R$1.000,00

c) R$1.050,00 e R$1.000,00

d) R$800,00 e R$800,00

e) R$900,00 e R$900,00

Resoluo:

Repare que a distribuio fornecida simtrica.

Nesse caso, a mdia coincide com a mediana. Portanto, j descartamos as letras A, B e C.

0

1

2

3

4

5

6

4 5 6 7 8 9 10Notas

frequ

enci

a

mdia: est em algum lugar direita do 7 (portanto, do lado da cauda)

moda = 7

mediana: entre a mdia e a moda



AFRFB e AFT


Ficamos entre as letras D e E. E para achar a mdia (ou a mediana), no precisa de muita conta. Simplesmente adotamos o ponto mdio da classe central.

90021000800

=

+== MedianaMedia

Gabarito: E.

Questo 6 GDF SEJUS 2010 [UNIVERSA]

Considere a posio relativa da mdia, da moda e da mediana. correto afirmar que nas distribuies assimtricas

(A) positivas Mo Me e a cauda da direita mais comprida que a da esquerda.

(B) positivas Me Mo e a cauda da direita mais comprida que a da esquerda.

(C) positivas Mo Me e a cauda da esquerda mais comprida que a da direita.

(D) negativas Mo Me e a cauda da direita mais comprida que a da esquerda.

(E) Me Mo e a cauda da esquerda mais comprida que a da direita.

Resoluo.

Observe que a questo no define qual smbolo usa para se referir mediana e moda. Usando o bom senso, temos que Me se refere mediana e Mo se refere moda.

Nas distribuies assimtricas positivas, a mdia maior que a mediana, que maior que a moda. Nesta situao, temos uma cauda do lado direito.

Gabarito: A

Questo 7 INMETRO 2010 [CESPE]

Considere que, no estudo de um processo de fabricao de rebites para uso industrial, tenham sido analisadas 36 peas, tomadas da linha de produo, ao longo de um dia, estando as medidas relacionadas ao dimetro da cabea dos rebites sumarizadas nas estatsticas e no grfico seguintes.



AFRFB e AFT


Considere, ainda, que , , representam, respectivamente, a mdia amostral, o valor da i-sima medida e o tamanho da amostra, e que as unidades dos valores apresentados esto de acordo com as unidades utilizadas na obteno dos valores da tabela e do grfico.

Com relao mdia e mediana, citadas na tabela do texto, assinale a opo correta.

A Como interpretao da mdia, correto concluir que 50% dos dimetros dos rebites esto abaixo de 6,7261 e 50% das medidas esto acima desse valor.

B Tanto mdia quanto mediana medem o grau de assimetria de uma distribuio de frequncia.

C A mediana corretamente calculada por

D Para o clculo da mdia, necessrio que os dados estejam ordenados.

E Para distribuies simtricas, a mdia e a mediana so coincidentes.



AFRFB e AFT


Resoluo.

Letra A: no a mdia quem divide os dados em duas partes com o mesmo nmero de elementos. a mediana quem faz isso. Alternativa errada.

Letra B: mdia e mediana so medidas de posio (e no de disperso). Alternativa errada.

Letra C: A frmula fornecida para o clculo da mdia, e no da mediana. Alternativa errada.

Letra D: A mdia no depende de ordenao entre as observaes. Precisamos somar todos os dados, independente da ordem em que estejam apresentados. Isto ocorre porque a ordem das parcelas no altera a soma.

Feita a soma, dividimos pelo nmero de observaes.

Letra E: de fato, para distribuies simtricas, a mdia igual mediana.

Gabarito: E

Questo 8 INEP 2008 [CESGRANRIO]

Analise as afirmaes a seguir.

Numa distribuio simtrica, a mdia e a mediana coincidem.

PORQUE

Numa distribuio simtrica a moda nem sempre existe.

Quanto s afirmaes acima, pode-se concluir que

(A) as duas asseres so verdadeiras e a segunda uma justificativa correta da primeira.

(B) as duas asseres so verdadeiras e a segunda no uma justificativa correta da primeira.

(C) a primeira assero uma proposio verdadeira e a segunda, uma proposio falsa.

(D) a primeira assero uma proposio falsa e a segunda, uma proposio verdadeira.

(E) tanto a primeira como a segunda so proposies falsas.

Resoluo.

A primeira frase est certa. Numa distribuio simtrica, mdia e mediana sempre coincidem.

A segunda frase tambm est certa. Numa distribuio simtrica, a moda pode no existir. Isso ocorre num grfico em forma de U ou de V. Exemplo:



AFRFB e AFT


A classe central tem a menor frequncia. Nesta situao, as classes com maior frequncia esto nas extremidades. No seria muito apropriado falar em moda, dado que perde-se a noo de centro. H autores que classificam estas sequncias como antimodais.

E ainda teria o caso de um grfico totalmente horizontal. Nesse caso, a curva seria amodal. Exemplo:

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3.

A curva correspondente seria horizontal. Mdia e mediana coincidiriam (seriam iguais a 2). E a moda no existiria, pois todos os valores possuem a mesma frequncia.

Entre as duas assertivas no h qualquer nexo de causalidade.

Gabarito: B

Questo 9 PM Manaus 2004 [CESGRANRIO]

A tabela apresenta uma distribuio hipottica de frequncia do nmero de anos trabalhados, em uma amostra de 100 aposentados.

Essa distribuio:

(A) tem moda igual mdia.

(B) tem moda menor que a mdia.

(C) simtrica.

(D) assimtrica direita.

(E) assimtrica esquerda

0

1

2

3

4

5

2 3 4 5 6 7 8 9Idades

Freq

uen

cias



AFRFB e AFT


Resoluo.

Repare que as maiores frequncias se concentram nas ltimas classes. Isso faz com que a moda esteja na classe 30 40. Note que as frequncias menores (correspondentes cauda) so pertencentes s primeiras classes. A cauda ficaria do lado esquerdo do grfico. Seria uma curva assimtrica esquerda. A mdia menor que a mediana, que menor que a moda.

Gabarito: E

Questo 10 TCE RO [CESGRANRIO]

A distribuio de frequncia est representada no histograma a seguir.

Essa distribuio:

(A) simtrica.

(B) apresenta assimetria esquerda.

(C) apresenta assimetria direita.

(D) tem mdia igual mediana.

(E) tem histograma de frequncia em forma de J.

Resoluo.

A cauda est do lado esquerdo. A assimetria negativa, ou esquerda.

Gabarito: B



AFRFB e AFT


Questo 11 Capes 2008 [CESGRANRIO]

A tabela a seguir apresenta algumas estatsticas das notas dos alunos de determinada rea, que participaram do ENADE 2006.

Analisando-se os dados da tabela conclui-se que

(A) a distribuio das notas assimtrica esquerda nos dois grupos de estudantes.

(B) a distribuio das notas dos concluintes apresenta-se mais homognea do que a dos ingressantes.

(C) pelo menos metade dos alunos ingressantes no alcanou a mdia de 1,9.

(D) mais de 90,0% dos alunos dessa rea compareceram ao ENADE 2006.

(E) mais alunos ingressantes do que concluintes dessa rea compareceram ao ENADE 2006.

Resoluo.

Notem que a mdia maior que a mediana, o que indica que a cauda est do lado direito da curva. Seria uma distribuio assimtrica direita. A letra A est errada.

Na letra B, temos uma afirmao sobre qual distribuio mais homognea. Uma distribuio dita homognea quando apresenta baixa disperso relativa (isto , seu coeficiente de variao baixo).

A alternativa B pretende comparar os ingressantes com os concluintes, segundo a homogeneidade da distribuio. Em resumo, temos que ver qual apresenta menor coeficiente de variao.

26,29,13,4

_ ==esingressantCV ; 27,26,32,8int_ ==esconcluCV

Temos que o menor CV o dos ingressantes. Portanto, estes apresentam uma distribuio mais homognea. A alternativa est errada.



AFRFB e AFT


Na verdade, os dois coeficientes foram muito altos, e praticamente iguais. Isto indica que as duas distribuies so bastante heterogneas.

O livro Princpios de Estatstica de Gilberto de Andrade Martins e Denis Donaire, apesar de no usar a expresso homogneo, indica que:

Para efeitos prticos, costuma-se considerar que CV superior a 50% indica alto grau de disperso e,

consequentemente, pequena representatividade da mdia. Enquanto que para valores inferiores a

50%, a mdia ser tanto mais representativa do fato quanto menor for o valor de seu CV

A letra C est correta. Se a mediana dos ingressantes igual a zero porque metade dos alunos tirou nota menor ou igual a zero. Esses mesmos alunos, portanto, no alcanaram a mdia de 1,9.

Gabarito: C

Questo 12 Petrobras 2005 [CESGRANRIO]

A tabela apresenta uma distribuio hipottica de frequncia do nmero de anos trabalhados, em uma amostra de 100 aposentados.

A distribuio:

(A) simtrica.

(B) assimtrica esquerda.

(C) assimtrica direita.

(D) tem moda menor que a mdia.

(E) tem moda igual mdia.

Resoluo.

A cauda est do lado esquerdo do grfico de frequncias. uma curva assimtrica esquerda.

Gabarito: B

Questo 13 TRT 3 REGIAO 2009 [FCC]

Considere uma curva de uma distribuio estatstica unimodal apresentando o valor da mediana superior ao valor da moda e o valor da mdia aritmtica superior ao valor da



AFRFB e AFT


mediana. Ento, com relao s medidas de assimetria e curtose correto afirmar que se trata de uma curva apresentando uma distribuio

(A) leptocrtica.

(B) platicrtica.

(C) assimtrica esquerda.

(D) assimtrica direita.

(E) com coeficiente de curtose igual ao da curva normal.

Resoluo:

Quando a mdia maior que a mediana, que maior que a moda, temos uma curva positivamente assimtrica, ou assimtrica direita.

Gabarito: D

As alternativas a, b e e se referem curtose, assunto que no tem sido cobrado nas provas abertas a candidatos de todas as reas, por isso no ser visto neste curso. Esta questo em particular foi tirada de uma prova para o cargo de estatstico, onde, certamente, a quantidade de tpicos de estatstica maior.

2.2. Outros tipos de posicionamento relativo de mdia, mediana e moda

Agora vamos ver um assunto pouqussimo cobrado. Na verdade, encontrei uma nica questo sobre ele. De todo modo, como est relacionado com o posicionamento relativo de mdia, mediana e moda, vamos v-lo.

O posicionamento relativo de mdia, mediana e moda que estudamos vale para conjuntos de dados bem comportados.

Assim, na distribuio positivamente assimtrica, a mdia maior que a mediana, que maior que a moda.

No conjunto negativamente assimtrico, a mdia menor que a mediana, que menor que a moda.

Pois bem. Existem conjuntos de dados que no se enquadram em nenhuma destas configuraes. Para entender melhor o porqu disso, vamos fazer uma analogia com a fsica.

Se imaginarmos que o histograma (se os dados estiverem em classes) ou o grfico de colunas (se os dados estiverem agrupados por valor) corresponde a um conjunto de pesinhos (ou de barrinhas) dispostos ao longo de uma haste inflexvel, que equivale reta real, o ponto de apoio em que o sistema fica em equilbrio corresponde justamente mdia.

Como exemplo, considerem o seguinte conjunto de dados, representado por um grfico de colunas.



AFRFB e AFT


A mdia desse conjunto igual a 3,38 (aproximadamente). Se considerarmos que cada coluna corresponde a uma barra e que todas elas so feitas de material homogneo, ento seus pesos so diretamente proporcionais s suas alturas. Como todas elas tm a mesma base, as barras com maior altura sero mais pesadas.

Caso o eixo das abscissas seja uma haste em que se pretendem equilibrar as barras, o ponto de apoio de tal forma que o equilbrio se mantenha justamente 3,38, indicado, na figura abaixo, pela seta vermelha.

No vou colocar a demonstrao disso aqui, mas, para quem tiver curiosidade, basicamente a mesma coisa que aprendemos l no ensino mdio, quando estudamos fsica. Basta considerar que as foras so proporcionais s alturas das barras e fazer a condio de que a soma dos produtos foradistncia nula. Voc encontrar que o ponto de apoio em



AFRFB e AFT


relao ao qual devem ser calculadas as distncias para que isso acontea justamente a mdia aritmtica.

Reparem que as barrinhas direita da seta so mais leves. A soma de suas alturas 48.

As barrinhas esquerda da seta so mais pesadas (a soma de suas alturas 85).

Acontece que as barrinhas mais leves esto mais distantes do ponto de apoio, o que compensa o seu peso menor e faz com que a soma de momentos total seja nula. Em resumo, os torques que atuam no sentido horrio compensam os que atuam no sentido anti-horrio e o sistema fica em equilbrio.

A analogia da mdia com os braos de alavanca l da fsica ajuda a entender porque, numa distribuio positivamente assimtrica, a mdia maior que a mediana.

Caso o ponto de apoio seja fixado junto mediana, a soma dos pesos das barras sua direita seria igual soma dos pesos das barras sua esquerda. Contudo, as barras da direita, mais afastadas do ponto de apoio, ganhariam a batalha, fazendo um brao de alavanca maior, fazendo com que a haste (representada pela reta real) tombasse para a direita.

Logo, o ponto de apoio deve estar um pouco direita da mediana, tendo um efeito duplo: diminuir a distncia das barras da direita at o ponto de apoio; diminuir o peso total das barras da direita. Esses dois efeitos permitem o equilbrio do sistema, que ocorrer justamente quando o apoio for colocado sobre a mdia aritmtica.

claro que, numa distribuio negativamente assimtrica, o raciocnio anlogo.

Ento, neste grfico padro, bem representativo de uma distribuio positivamente assimtrica, temos:



AFRFB e AFT


O problema surge quando o conjunto de dados no bem comportado.

Se fizermos qualquer alterao neste padro, pode ser que o posicionamento relativo de mdia, mediana e moda fique prejudicado.

Exemplo: se tivermos uma barra grande afastada da mdia, ou se tivermos uma barra pequena muito prxima da mdia, ou se tivermos barras grandes tanto do lado direito quanto do lado esquerdo, ou se tivermos barras pequenas tanto do lado esquerdo, quanto do lado direito.

Enfim, h vrias formas de fugirmos do padro.

A ttulo de exemplo, considere a seguinte sequncia:



AFRFB e AFT


uma sequncia positivamente assimtrica, com mdia 4,2. H uma cauda do lado direito. As barrinhas menores esto mais afastadas da mdia do que as barras grandes.

A mdia (=4,2) maior que a mediana (=4), que maior que a moda (=3).

A partir do grfico acima, vamos construir outro conjunto, criando buracos. Sero as mesmas barras, mas, entre elas, haver alguns espaos vazios:

O que que acabamos de fazer?

Fizemos com que uma barra grande ficasse afastada da mdia, o que antes s acontecia para barras pequenas.

Isso altera tudo.

Agora a mdia 6,81, a mediana 7 e a moda 6.

O posicionamento relativo de mdia, mediana e moda j era. Agora a mdia est entre a mediana e a moda, o que no caracterstico nem de uma curva assimtrica positiva, nem de uma assimtrica negativa. E por que que isso aconteceu? Porque, para uma das barras



AFRFB e AFT


mais pesadas, ns criamos uma distncia grande em relao ao ponto de apoio, o que, antes, s acontecia com as barras leves.

Vamos ver duas questes sobre isso. Na primeira, o intuito da questo no era trabalhar com estes casos fora do padro. Houve claramente um erro no enunciado.

Na segunda questo, a sim, a banca queria claramente cobrar o posicionamento relativo de mdia, mediana e moda para estes casos fora do padro.

Questo 14 Prefeitura Municipal de Natal 2008 [ESAF]

A coleta de dados do municpio, relativa ao ensino fundamental, apresentou a seguinte composio etria:

Composio Etria dos Alunos do Ensino Fundamental:

Faixa Etria Masc. Fem.

At 06 anos 9.000 10.200

De 07 a 08 anos 10.000 9.300

De 09 a 10 anos 8.000 8.500

De 11 a 12 anos 7.000 5.500

De 12 a 14 anos 5.000 3.500

De 15 a 18 anos 3.000 2.500

Acima de 18 anos 1.000 1.500

Total 43.200 40.800

Com base nos dados acima, temos as seguintes sentenas:

I. A Moda est na faixa etria at os 06 anos.

II. A Mdia de alunos est na faixa etria de 12 a 14 anos.

III. A Mediana superior mdia.

Apontando nos 3 (trs) itens acima como V Verdadeiro e F Falso, a opo correta :

a) V, V, V

b) V, F, V

c) F, V, F

d) F, F, F

e) V, V, F

Resoluo:

Observe que as classes tm amplitudes diferentes.

O primeiro item sobre a moda. No se pediu o clculo da moda. Apenas se afirmou que a classe modal era a primeira, o que falso.



AFRFB e AFT


A segunda classe (de 7 a 8 anos) tem a maior frequncia absoluta (19.300) e, o que realmente importante, a maior relao hf (densidade de frequncia). Algumas crticas questo. Em primeiro lugar, a ltima linha (com os totais) est errada, no representando realmente as somas das colunas.

Em segundo lugar, faltaram classes. De acordo com a tabela acima, no h nenhum aluno com 8 anos e tantos meses. Ou com 10 anos e tantos meses. Ou com 14 anos e tantos meses. Embora seja uma situao possvel, bastante improvvel.

Estas classes faltantes dificultam um pouco a resposta ao item III, sendo necessrio que o candidato faa algumas suposies.

Reescrevendo a tabela, corrigindo a linha com os totais, temos:

Faixa Etria Masc. Fem. Total

At 06 anos 9.000 10.200 19.200

De 07 a 08 anos 10.000 9.300 19.300

De 09 a 10 anos 8.000 8.500 16.500

De 11 a 12 anos 7.000 5.500 12.500

De 12 a 14 anos 5.000 3.500 8.500

De 15 a 18 anos 3.000 2.500 5.500

Acima de 18 anos 1.000 1.500 2.500

Total 43.000 41.000 84.000

O segundo item afirma que a mdia est na classe 12 a 14 anos. Sem fazer contas, isto falso.

Notem como as quatro primeiras classes tm muito mais alunos que as trs ltimas. A mdia deve ser menor que 12 anos.

De todo modo, vamos fazer as contas.

Para achar a mdia, supomos que todas as idades correspondam ao ponto mdio das classes. S que para a primeira e a ltima classes no foram fornecidos os dois limites. Na primeira classe s foi fornecido o limite superior. Na ltima classe s foi fornecido o limite inferior.

Vamos tentar elevar ao mximo a mdia. Vamos supor que a primeira classe represente um valor nico (represente apenas as crianas com exatamente 6 anos). E vamos supor que o limite superior da ltima classe seja 50 anos (uma idade extremamente alta para o ensino fundamental).

A mdia, nesta situao exagerada, ficaria:



AFRFB e AFT


Faixa Etria Ponto mdio da classe ( X )

f fX

6 anos 6 19.200 115.200,00

De 07 a 08 anos 7,5 19.300 144.750,00

De 09 a 10 anos 9,5 16.500 156.750,00

De 11 a 12 anos 11,5 12.500 143.750,00

De 12 a 14 anos 13 8.500 110.500,00

De 15 a 18 anos 16,5 5.500 90.750,00

De 18 a 50 anos 34 2.500 85.000,00

Total 84.000 846.700

08,10000.84700.846

=X

Ou seja, mesmo numa situao exagerada, a mdia no ficou na classe de 12 a 14 anos. Ficou bem longe disso. O segundo item est falso.

Agora vamos mediana.

Creio que a inteno da questo era que o candidato usasse as propriedades de assimetria. Esta curva seria assimtrica direita. A mdia maior que a mediana, que maior que a moda. Conclumos que o terceiro item tambm est falso. E a resposta a letra D.

Gabarito: D

Pronto, utilizamos o posicionamento relativo de mdia, mediana e moda para sequncias assimtricas. Esse era provavelmente o intuito da banca.

S que tem um porm.

Essa questo tem uma falha que atrapalha um pouco as coisas. Esse posicionamento relativo de mdia, mediana e moda vale quando a curva mais bem comportada. No o caso desses dados acima. Como j dissemos, h vrias classes faltantes, o que tornam esta curva atpica. Em situaes assim, no h garantias que mdia, mediana e moda obedeam ao posicionamento visto.

Basta retomar o exemplo que demos acima, em que criamos um buraco no grfico, um espao vazio entre as barras. Isso fez com que uma barra grande ficasse afastada da mdia, e alterasse o posicionamento relativo de mdia, mediana e moda.

Para resolver com segurana a questo, teramos que fazer mais algumas contas.

Contudo, vou deixar de faze-lo. Acho que no vale a pena perdermos tempo com trabalho meramente braal por conta de um enunciado com falhas.

E agora sim, vejamos uma questo sem falhas, em que a banca claramente quis cobrar o posicionamento relativo de mdia, mediana e moda para dados fora do padro.



AFRFB e AFT


Questo 15 TRE PI 2009 [FCC]

Numa pesquisa realizada em 160 domiclios de uma cidade obteve-se o seguinte grfico em que o eixo y representa a quantidade de domiclios e o eixo horizontal representa o nmero de eleitores verificado por domiclio.

Com relao mdia aritmtica (Me), nmero de eleitores por domiclio, a mediana (Md) e a moda (Mo) correspondentes tem-se que:

(A) Me = Md e Md < Mo

(B) Me < Md < Mo

(C) Me < Md e Md > Mo

(D) Me < Md e Md = Mo

(E) Me > Md e Md = Mo

Resoluo

As menores barras, de longe, so as que tm altura 5.

No grfico, h uma barra pequena do lado direito, outra do lado esquerdo. Ou seja, uma de cada lado da mdia. Isso pode atrapalhar o posicionamento padro de mdia, mediana e moda.

A moda fcil de identificar. A moda igual a 2, que o termo de maior frequncia.

= 2

Vamos mediana. So 160 termos. A mediana igual mdia dos termos centrais (X80 e X81).



AFRFB e AFT


X frequncia acumulada

0 5

1 20

2 50

3 90

Conclumos que = = = = = = = 3

A mediana vale 3.

= 3

Falta a mdia. Vamos determinar onde se encontra a mdia, sem efetivamente calcul-la, para ganhar tempo.

Para tanto, vamos lembrar do paralelo com a fsica. A mdia corresponde ao ponto de apoio em que o sistema fica em equilbrio.

Se o ponto de apoio ficasse sob o 3, a haste penderia para a esquerda. Vejam:

Logo, para que a haste no penda para a esquerda, o ponto de apoio deve ficar um pouco a esquerda de 3. Ou seja, a mdia menor que 3.

Disto conclumos que a mdia menor que a mediana.

Juntando tudo, a moda menor que a mdia, que menor que a mediana.

Este posicionamento no caracterstico nem de uma distribuies positivamente assimtrica, nem de uma negativamente assimtrica.

Gabarito: C



AFRFB e AFT


2.3. Assimetria e diferena entre os quartis

As diferenas entre os quartis ajudam a identificar se a curva positivamente assimtrica ou negativamente assimtrica.

Vejamos alguns exerccios sobre isso.

Questo 16 PM Manaus 2004 [CESGRANRIO]

Os quartis de uma distribuio so Q1 = 4, Q2 = 6 e Q3 = 10. Essa distribuio:

(A) simtrica.

(B) assimtrica direita.

(C) assimtrica esquerda.

(D) tem moda maior que a mdia.

(E) tem moda igual mdia

Resoluo.

As diferenas entre os quartis podem nos indicar a assimetria da curva.

Considere os seguintes conjuntos:

A: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5

B: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9

C: 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9

O conjunto A simtrico. Se voc fizer um grfico de colunas, perceber isso.

Os quartis do conjunto A so:

5,21 =Q ; 32 =Q ; 5,33 =Q Observe que:



AFRFB e AFT


5,01223 == QQQQ Quando o conjunto simtrico, a diferena entre o terceiro e o segundo quartil igual diferena entre o segundo e o primeiro quartil. Logo:

0)()( 1223 = QQQQ Vamos para o conjunto B. Se voc fizer seu grfico de colunas, ver que ele assimtrico direita (positivamente assimtrico).

Observe a cauda do lado direito.

Vamos calcular seus quartis.

21 =Q ; 5,32 =Q ; 5,53 =Q Observe que:

1223 QQQQ > Ou ainda:

0)()( 1223 > QQQQ Por fim, o conjunto C assimtrico esquerda. Observe o grfico.



AFRFB e AFT


Agora temos:

5,41 =Q ; 5,62 =Q ; 83 =Q Observe que:

1223 QQQQ



AFRFB e AFT


Questo 17 ABIN 2010 [CESPE]

A figura acima apresenta esquematicamente as distribuies das alturas (em cm) dos estudantes das trs turmas de uma escola. As linhas verticais de cada box-plot se estendem at os valores extremos da distribuio. Com base nessas informaes, julgue os itens consecutivos.

86 A turma 3 tem a maior amplitude de alturas.

87 As distribuies das alturas referentes s turmas 2 e 3 so simtricas.

88 Entre os estudantes da turma 1, 75% possuem alturas iguais ou superiores a 160 cm, enquanto metade dos estudantes da turma 3 tem altura igual ou inferior a 160 cm.

Resoluo.

Item 86.

As amplitudes so:

- Turma 1: 180 120 = 60

- Turma 2: 180 110 = 70

- Turma 3: 190 110 = 80

A maior amplitude a da Tuma 3.

Item certo.

Item 87.

Para a turma 2, temos:

= 160 140 140 130 = 20 10 = 10



AFRFB e AFT


Isto indica assimetria positiva.

J podemos afirmar que o item est errado.

Item 88.

Para os estudantes da turma 1, o terceiro quartil 160 cm. Logo, 75% dos estudantes tm altura menor que 160 cm. O item est errado.

Gabarito: certo, errado, errado

Para encerrar o tpico, um interessante exerccio da prova de Estatstico do Senado, bem diferente de todas as questes que vimos hoje.

Questo 18 Senado 2008 [FGV]

A mdia e a varincia amostral de um conjunto de 20 observaes so, respectivamente, 5 e 1. Uma nova observao, de valor igual a 5, foi acrescentada ao conjunto inicial, passando-se a ter 21 valores. A nova varincia amostral ser igual a [obs: o enunciado original forneceu as frmulas da mdia e da varincia]:

(A) 1,10.

(B) 1,05.

(C) 1,00.

(D) 0,95.

(E) 0,90.

Resoluo:

A mdia inicial 5.

Depois, acrescentamos outra observao, exatamente igual a 5. Com isso, a mdia matem-se inalterada.

Se voc ficou em dvida, podemos pensar assim. A mdia inicial, do conjunto com 20 elementos, dada por:

20

20

1

=

=i

XiX

10020

520

1

20

1==

=

=

i

i XiXi

A soma de todos os vinte elementos 100.

Depois, acrescentamos uma observao igual a 5. A soma dos 21 elementos passa a ser:



AFRFB e AFT


105510021

1=+=

=iXi

E a nova mdia fica:

521

105' ==X

A mdia no se altera. Ela continua sendo igual a 5.

J a varincia, ela alterada quando inclumos mais uma observao igual a 5.

Esta observao ser responsvel por mais um desvio nulo (pois o desvio de 5 em relao mdia, que tambm vale 5, zero). Logo, a mdia dos quadrados dos desvios, que igual varincia, ser reduzida.

S com essa anlise j ficamos entre as alternativas D e E.

Vamos aos clculos.

Inicialmente, a varincia era dada por:

20

)5(20

1

2

2

=

=i

Xi

Portanto:

=

=

=

=

20

1

2

20

1

2

20)(20

)5(1

i

i XXiXi

A soma dos quadrados dos desvios em relao mdia 20.

Quando acrescentamos a vigsima primeira observao, igual a 5, teremos o vigsimo primeiro desvio. Esse desvio adicional ser nulo. Com isso, a soma dos quadrados dos desvios no se altera.

=

=+=21

1

2 20020)5(i

Xi

E a nova varincia fica:

==

=

=

2120

21

)5(21

1

2

2 iXi

0,95

Gabarito: D

3. ANLISE COMBINATRIA

Em anlise combinatria ns vamos basicamente aprender a contar. Isso mesmo. O intuito aqui ser contar de quantas formas um dado processo pode ocorrer.



AFRFB e AFT


Uma forma de resolver este tipo de problema simplesmente listar todas as situaes possveis e, depois, cont-las. Vejamos um exemplo.

Considere que um guia turstico deseje colocar trs pessoas em fila indiana, para percorrer uma trilha. De quantas maneiras possvel formar a tal fila?

um problema de contagem. Precisamos contar quantas so as maneiras de executar o processo descrito, qual seja, formar a fila de trs pessoas.

Chamando as pessoas de A, B e C, temos as seguintes filas possveis:

A, B, C

A, C, B

B, A, C

B, C, A

C, A, B

C, B, A

So seis filas possveis. Listamos todas elas e, depois, contamos. Difcil? Certamente no.

O problema comea quando o nmero de casos possveis aumenta muito. Imaginem se, em vez de trs pessoas na fila, fossem quinze. E a? Listar todas as maneiras de formao da fila seria algo extremamente trabalhoso.

Nestas situaes, muito til conhecer ferramentas de anlise combinatria. So ferramentas que permitem uma contagem mais rpida.

A mais importante delas o princpio fundamental da contagem. Ele pode ser aplicado para resolver qualquer problema de anlise combinatria.

A partir do princpio fundamental da contagem, de aplicao geral, possvel chegar a frmulas que se destinam a problemas com certas particularidades. Neste contexto, aprenderemos os casos de arranjo, permutao e combinao.

3.1. Princpio fundamental da contagem (PFC)

Questo 19 APEX 2006 [UNIVERSA]

Em um laboratrio de pesquisa cientfica, so realizados experimentos de reproduo envolvendo 6 machos e 8 fmeas de uma espcie animal. Todos os animais utilizados nos experimentos gozam de boa sade e esto em perfeitas condies de reproduo. Cada experimento consiste em se colocarem juntos, em um ambiente controlado, um macho e uma fmea, durante um perodo de tempo determinado, formando o casal do experimento. Nessa situao, a quantidade de casais diferentes que podem ser formados igual a:

(A) 8

(B) 14

(C) 28

(D) 48



AFRFB e AFT


(E) 56

Resoluo.

Antes de resolver o problema da forma como foi proposto, vamos modific-lo, para facilitar o entendimento. Vamos considerar que so apenas 3 machos e 4 fmeas. Vamos designar os machos por letras (A, B, C) e as fmeas por nmeros (1, 2, 3, 4).

O esquema abaixo apresenta todas as possibilidades de casal:

O diagrama acima representa doze possveis casais:

1A, 1B, 1C, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B, 3C, 4A, 4B, 4C

H 4 possibilidades para a escolha da fmea. Escolhida a fmea, h 3 possibilidades de macho.

E, para obter a quantidade de casais possveis, basta multiplicar:

4 3 = 12

Este resultado decorre do princpio fundamental da contagem (PFC).



AFRFB e AFT


O princpio fundamental da contagem nos diz que, quando uma tarefa puder se dividida em n etapas, e cada etapa puder ser realizada de mi maneiras diferentes (com i variando de 1 at n), o nmero de maneiras pelas quais podemos concluir a tarefa igual ao produto:

nmmmm ...321

No exemplo acima, a tarefa de formar o casal podia ser dividida em duas etapas. Na primeira etapa, escolhemos a fmea. H 4 formas de fazer isso.

Na segunda etapa, escolhemos o macho. H 3 formas de fazer isso.

O nmero de maneiras de concluirmos a tarefa como um todo dado por:

1 etapa 2 etapa

4 3

4 3 = 12

Bastou multiplicar a quantidade de maneiras de executar cada etapa.

Na anlise combinatria, ns basicamente estudamos como resolver problemas semelhantes a este, em que utilizamos o princpio fundamental da contagem para saber de quantas formas uma dada tarefa pode ser realizada.

Neste primeiro exemplo, at que no foi difcil listar todos os casos possveis para depois cont-los. So apenas 12 casais. Fazer uma lista com todos eles no problema.

Contudo, imagine se fossem 30 machos e 50 fmeas. Listar todos os casais possveis seria muito difcil. a que o princpio fundamental da contagem nos auxilia.

O PFC de aplicao geral (serve para resolver qualquer problema de anlise combinatria). H problemas que apresentam certas particularidades, que fazem com que o PFC resulte em determinadas frmulas. Neste contexto, temos as frmulas de combinao, arranjo e permutao.

Visto isso, podemos voltar ao enunciado original.

So 6 machos e 8 fmeas.

Queremos formar casais. Vamos dividir esta tarefa em duas etapas.

Na primeira etapa, escolhemos a fmea. H 8 maneiras de executar esta primeira etapa.

Na segunda etapa, escolhemos o macho. H 6 maneiras de executar esta segunda etapa.

Aplicando o PFC, calculamos de quantas maneiras podemos formar o casal:

8 6 = 48

So 48 casais possveis.

Gabarito: D

Um detalhe muito importante sobre o exemplo acima:

Observe que etapas diferentes esto relacionadas a conjuntos diferentes.



AFRFB e AFT


Seja A o conjunto das fmeas {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Seja B o conjunto dos machos {a, b, c, d, e, f}.

A primeira etapa (escolha da fmea) pode ser executada com elementos do conjunto A. A segunda etapa (escolha do macho) pode ser executada com elementos do conjunto B.

Quando etapas diferentes esto relacionadas a conjuntos diferentes, basta aplicarmos o PFC. Certo?

De outra forma, quando mais de uma etapa estiver relacionada a um mesmo conjunto, a precisaremos tomar alguns cuidados, que sero vistos mais adiante.

Questo 20 ANAC 2009 [CESPE]

Com relao a anlise combinatria, julgue os itens que se seguem.

1. O nmero de rotas areas possveis partindo de Porto Alegre, Florianpolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, Joo Pessoa, Macei, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Braslia, Rio de Janeiro ou So Paulo mltiplo de 12.

Resoluo.

Vamos dividir o problema em etapas.

Na primeira etapa, escolhemos a cidade de origem.

H 3 opes para a execuo desta primeira etapa: Porto Alegre, Florianpolis e Curitiba.

1 etapa 2 etapa 3 etapa

3

Escolhida a cidade de origem, vamos para a segunda etapa.

Na segunda etapa, escolhemos a cidade de escala. H 4 opes: BH, BSB, RJ e SP.


3 4

Por fim, na terceira etapa, escolhemos a cidade de destino. H 7 opes (FOR, SSA, NAT, JPA, MCZ, REC, AJU).


3 4 7

Aplicando o PFC, temos:

84473 =

So 84 formas de se montar rotas areas. Este nmero, de fato, mltiplo de 12 (pois mltiplo de 3 e de 4).

Gabarito: certo.



AFRFB e AFT


3.2. Arranjos

Questo 21 Ministrio da Sade 2007 [CESPE]

Julgue o seguinte item.

1. Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando um deles com um ingresso para cinema, outro com um ingresso para teatro e o terceiro com um ingresso para show, ele ter mais de 100 maneiras diferentes para faz-lo.

Resoluo.

Vamos dividir o processo em etapas. Na primeira etapa, escolhemos o ganhador do cinema; na segunda, do teatro; na terceira, do show.

Neste problema, temos um fato que no ocorreu nos exerccios anteriores.

Para melhor entendimento, vamos retomar a Questo 19.

Naquele exerccio, queramos formar casais. Para tanto, tnhamos o conjunto das fmeas {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} - e o conjunto dos machos {a, b, c, d, e, f}.

A primeira etapa estava relacionada ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

A segunda etapa estava relacionada ao conjunto {a, b, c, d, e, f}.

Ou seja, etapas diferentes estavam relacionadas a conjuntos diferentes. Quando isso ocorre, a resoluo do problema bem tranquila, no h maiores cuidados a se tomar.

Agora, neste exerccio, temos o conjunto dos servidores {a, b, c, d, e}.

Para escolher o ganhador do cinema, tomaremos um dos elementos deste conjunto. Para escolhemos o ganhador do teatro, novamente tomaremos um dos elementos deste conjunto. Para o show, idem.

Agora, um mesmo conjunto est relacionado a mais de uma etapa. Quando isso ocorre, antes de fazermos qualquer conta, temos que responder a duas perguntas extremamente importantes:

1 h reposio?

2 a ordem de escolha dos elementos importante?

Neste problema no h reposio.

O diretor quer premiar 3 servidores diferentes. Assim, se um servidor j foi premiado com o cinema, ele no pode mais ser premiado com o show ou com o teatro.

Dizemos que no h reposio. Uma vez escolhido um elemento, ele no reposto ao conjunto original, ele no mais uma opo para as prximas etapas.

Primeira etapa: para a escolha do vencedor do cinema, h 6 opes de funcionrios.



AFRFB e AFT


Agora vamos para a segunda etapa. Vamos escolher o vencedor do teatro.

Tnhamos 6 servidores. S que um deles j foi escolhido para ir ao cinema. Como no h reposio, ele no pode ser escolhido novamente. Ento sobram 5 possibilidades para a segunda etapa. H apenas 5 servidores que podem ser escolhidos para ganhar o ingresso do teatro.

Escolhidos os vencedores do cinema e do teatro, sobram 4 opes de servidores para o show.

Ficamos com:


6 5 4

Devido ao fato de no haver reposio, fomos diminuindo a quantidade de possibilidades: 6, depois 5, depois 4.

Tudo bem at aqui?

J vimos o impacto da primeira pergunta. O fato de no haver reposio faz com que o nmero de formas de executar cada etapa v diminuindo. Agora vamos para a segunda pergunta.

A segunda pergunta que temos que responder : a ordem importante?

Ou seja, uma mera alterao na ordem de escolha dos elementos resulta em um novo caso?

Neste problema, a ordem importante. Uma alterao na ordem de escolha muda tudo. Sortear A, B, C diferente de escolher C, B, A. Na primeira formao, A vai para o cinema e C para o show. Na segunda formao, A vai para o show e C vai para o cinema.

Dizemos que a ordem de escolha importante.

Quando isso acontece, ou seja, quando uma alterao na ordem representa um novo caso, no temos maiores preocupaes. Basta aplicar o princpio fundamental da contagem.

Ficamos com:


6 5 4

6 5 4 = 120

Quando a ordem de escolha importante e no h reposio, estamos diante de um caso particular do PFC, denominado arranjo.

Para quem gosta de frmulas, existe uma que calcula a quantidade de arranjos.

A frmula :

, =!

!

O sinal ! indica fatorial.



AFRFB e AFT


Exemplos de fatorial:

5! = 5 4 3 2 1 = 120

4! = 4 3 2 1 = 24

3! = 3 2 1 = 6

2! = 2 1 = 2

Ou seja, para calcular o fatorial de n, basta multiplicar o nmero n pelos nmeros naturais que lhe antecedem, at chegar em 1. As nicas excees so:

1! = 1

0! = 1

muito importante saber como fazer a diviso entre o fatorial de dois nmeros.

Exemplo:

Vamos calcular:

6!

4!

Sempre que tivermos uma diviso de fatoriais, existe uma tcnica interessante que nos facilita bastante. o seguinte.

Queremos calcular: 6! 4!

O maior fatorial 6!

Vamos desenvolve-lo.

6! = 6 5 4 3 2 1

6! = 6 5 (4 3 2 1)

O que que ns temos entre parntesis? justamente 4!. Ou seja, na hora de desenvolver 6! ns podemos fazer assim:

6! = 6 5 4!

Desta forma, temos:

6!

4!=

6 5 4!

4!= 6 5 = 30

Sabendo disso, podemos resolver esta questo do CESPE usando a frmula.

Temos um caso em que no h reposio e a ordem importa. Assim, temos um problema de arranjo. De um total de 6 elementos ( = 6), queremos escolher 3 ( = 3), sem reposio, onde a ordem importa. O nmero de maneiras de fazer isso :

, =6!

6 3!

, =6!

3!

Agora desenvolvemos o numerador at atingirmos 3!, para podermos simplificar.



AFRFB e AFT


, =6 5 4 3!

3!= 6 5 4 = 120

Gabarito: certo.

3.3. Permutao.

Um caso particular de arranjo ocorre quando n = p. Neste caso, temos uma permutao. A frmula fica reduzida a:

!

!=!

0!= !

Assim, a permutao de n elementos dada por:

= !

Exemplo 1

Qual o nmero de anagramas da palavra rato?

Resoluo:

Como a palavra RATO pequena, podemos listar todos os anagramas. So eles:

rato raot rtao rtoa rota roat

arto arot ator atro aort aotr

trao troa Taro taor tora toar

orta orat Otar otra oart oatr

So 24 anagramas.

Observem que cada anagrama formado pelas letras a, o, r, t. A partir deste conjunto de 4 elementos, queremos formar grupos, de 4 elementos, sem reposio, onde a ordem importante. Ou seja, estamos permutando essas 4 letras. Assim, o nmero de anagramas igual a:

= 4! = 24

3.4. Combinao

Questo 22 Ministrio da Sade 2007 [CESPE]

Julgue o item seguinte:

Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando cada um deles com um ingresso para teatro, ele ter mais de 24 maneiras diferentes para faz-lo.

Resoluo.



AFRFB e AFT


Problema bem semelhante Questo 21, com um pequeno detalhe que faz toda diferena: aqui a ordem no importa! Se todos os premiados vo para o teatro, pouco importa a ordem em que sero escolhidos.

Vejamos com calma o porqu disso. Vamos dividir a tarefa em etapas.

Na primeira etapa, temos 6 opes de servidores para ganhar o primeiro ingresso de teatro.

Na segunda etapa, dos 6 servidores, sobram 5 para ganhar o segundo ingresso (pois no h reposio).

Na terceira etapa, sobram 4 servidores para ganhar o terceiro ingresso.


6 5 4

6 5 4 = 120

O problema que nos 120 casos acima, temos casos repetidos.

Suponha que os servidores A, B e C tenham sido escolhidos nesta ordem (ou seja, A ganhou o primeiro ingresso, B ganhou o segundo e C, o terceiro).

Este caso representado por:

ABC.

Agora, considere outro caso, abaixo indicado:

CBA

Agora, C ganha o primeiro ingresso, B ganha o segundo e A ganha o primeiro.

Em termos prticos, qual a diferena entre ABC e CBA?

Nenhuma!

Se todos eles vo ao teatro, pouco importa a ordem em que foram escolhidos, o prmio o mesmo. Neste tipo de questo, no importa a ordem de escolha. S o que importa quais elementos foram escolhidos.

Dizemos que a ordem de escolha dos elementos no importante.

Quando isso ocorre, temos que eliminar as contagens repetidas. Isto feito por uma diviso.

Como exemplo, vamos nos concentrar no caso em que A, B e C so escolhidos.

Observe que este caso foi contado seis vezes:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Todos os 6 casos acima representam, na verdade, um nico caso.

Isso ocorreu com todas as possibilidades de premiao. Todas elas foram contadas 6 vezes.

Temos que dividir por 6, para eliminar a contagem repetida.

120

6= 20

H 20 formas de premiar 3 dos 6 servidores.



AFRFB e AFT


Gabarito: errado.

Assim, sempre que a ordem no for importante, aps a aplicao do PFC precisamos fazer um ajuste.

Este ajuste destina-se a eliminar as contagens repetidas. Isto feito por meio de uma diviso.

Como fazer esta diviso?

Neste exerccio, a ordem de escolha dos trs vencedores no relevante.

De quantas formas podemos montar grupos com estas trs pessoas, apenas alterando a ordem de escolha?

Temos um caso de permutao. Queremos apenas permutar trs elementos.

= 3! = 6

H 6 formas de permutar 3 elementos.

Ou seja, h 6 formas de permutar os elementos A, B e C (ou seja, de formarmos grupinhos onde apenas alteramos a ordem). So elas:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Por isso dividimos por 6, pois cada conjunto de premiados foi contado seis vezes.

Quando no h reposio e a ordem no importante, temos um caso de combinao.

Se tivermos n elementos e quisermos escolher p, sem reposio, de forma que a ordem no importante, temos um caso de combinao de n elementos, tomados p a p. A frmula da combinao :

, =!

! !

A frmula da combinao j tem o fator que elimina as contagens repetidas.



AFRFB e AFT


Neste exerccio do CESPE, poderamos ter aplicado esta frmula.

Temos um caso em que a ordem no importa e onde no h reposio. um problema de combinao. Temos 6 elementos (n = 6) e queremos combin-los 3 a 3 (p = 3). Aplicando a frmula:

, =!

! !

, =6!

6 3! 3!

, =6!

3! 3!

Agora desenvolvemos 6! at chegar em 3!

, =6 5 4 3!

3! 3!=

6 5 4

3!=

6 5 4

3 2 1= 20

3.5. Outros exerccios

Os exerccios de anlise combinatria podem ser resumidos da seguinte forma:

H reposio? A ordem importante? Forma de resoluo

Sim Sim PFC

No Sim arranjos, permutaes, PFC

No No combinaes, PFC

Professor, e quando a ordem no importante e h reposio?

Resposta: Falamos sobre este tipo de exerccio posteriormente, quando estudarmos permutao com repetio.

Alguns alunos tm dificuldade em saber se um dado problema de arranjo, de permutao ou de combinao.

Por este motivo, no vou mais separar os exerccios por assunto, para que vocs tenham que quebrar a cabea decidindo que ferramenta usar. Assim, se houver alguma dvida, ela necessariamente vai aparecer.

!)!(!),(

ppnnpnC

=

elimina as contagens repetidas



AFRFB e AFT


Questo 23 CGU 2008 [ESAF]

gata decoradora e precisa atender ao pedido de um excntrico cliente. Ele, o cliente, exige que uma das paredes do quarto de sua lha seja dividida em uma sequncia de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que gata possui apenas 8 cores disponveis, ento o nmero de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada igual a:

a) 56

b) 5760

c) 6720

d) 3600

e) 4320

Resoluo:

Temos uma tarefa a realizar: preencher as cinco listras com cores diferentes.

Queremos calcular de quantas formas possvel fazer isso. Para tanto, dividimos nossa tarefa em etapas.

Na primeira etapa, preenchemos a primeira listra. Na segunda etapa, escolheremos a cor para a segunda listra. Na terceira etapa, escolheremos a cor para terceira listra. E assim por diante.

Sempre que tivermos uma tarefa que pode ser dividida em etapas, e pudemos calcular de quantas maneiras cada etapa pode ser realizada, ento podemos usar a anlise combinatria.

A anlise combinatria nos permite partir das etapas para descobrir de quantos modos podemos executar a tarefa como um todo (no caso, preencher as cinco listras da parede).

Muito bem, vamos dividir nossa tarefa em etapas.

So 5 listras. O preenchimento de cada listra vai corresponder a uma etapa.

Para a primeira etapa, temos 8 opes de cores. Assim, h 8 modos de executarmos a primeira etapa. Vamos deixar isso indicado em um quadro:



AFRFB e AFT


Bom, agora vamos com calma.

Em todos os problemas de anlise combinatria, h duas perguntas muito importantes, que devem ser respondidas:

1 H reposio?

2 A ordem entre os elementos importante?

Por enquanto, vamos analisar apenas a primeira pergunta.

Precisamos saber se h reposio ou no.

J escolhemos uma cor para a primeira etapa. Esta cor pode ser novamente escolhida? No, no pode. Uma mesma cor no pode ser usada em duas listras diferentes, porque o cliente de gata no quer repetio de cores.

Logo, no h reposio. Ou seja, um vez escolhido um dado elemento, este elemento no reposto no conjunto de possibilidades para as prximas etapas.

Resposta primeira pergunta: no h reposio.

Isto importante para preenchermos as demais etapas.

Vamos agora para a segunda etapa. Temos que escolher uma cor para a segunda listra.

De incio, tnhamos 8 cores. Uma delas j foi escolhida e no pode ser mais usada (pois no h reposio). Com isso, para a segunda etapa, sobram 7 cores. Ou seja, h 7 formas de executarmos a segunda etapa.

Vamos para a terceira etapa. Tnhamos 8 cores disponveis. Duas j foram usadas nas etapas anteriores e no podem mais ser usadas (no h reposio!). Para a terceira etapa sobram 6 cores.



AFRFB e AFT


E o raciocino se repete nas demais etapas.

Agora, aplicamos o princpio fundamental da contagem (PFC). Este princpio nos diz que basta multiplicarmos as quantidades de cada etapa, para podermos achar o nmero de formas de executar a tarefa como um todo.

Usando o PFC, temos:

8 7 6 5 4 = 6720

Agora vamos para a segunda pergunta: a ordem de escolha dos elementos importante?

Resposta: sim. Se alterarmos a ordem de escolha das cores, modificamos completamente a parede.

Da primeira vez em que dei esta questo num curso, um aluno no conseguiu visualizar porque que alterando a ordem das cores temos uma parede diferente.

Se voc est com dificuldade, vamos para outro exemplo.

Queremos pintar uma bandeira, com duas cores, usando duas listras horizontais. As cores escolhidas so branco e vermelho.

Se usarmos branco em cima e vermelho em baixo, acabamos de pintar a bandeira da Polnia.

Se usarmos vermelho em cima e branco em baixo, acabamos de pintar a bandeira de Mnaco.

Ou seja, uma mera alterao na ordem das cores mudou a bandeira. Com a parede anlogo.

Muito bem, vimos que a ordem importante.

Sempre que a ordem for importante, basta aplicar o PFC. No necessrio qualquer ajuste.

A resposta mesmo 6720.

J vimos que este tipo de problema, em que a ordem importante e no h reposio, recebe um nome especial. Dizemos que se trata de um caso de arranjo.

Lembrando, a frmula do arranjo :



AFRFB e AFT


)!(!

, pnnA pn

=

Neste caso, temos 8 cores (n = 8) e queremos escolher 5 (p = 5). Assim, temos um arranjo de oito cores, tomadas cinco a cinco.

Em outras palavras: de um conjunto de 8 cores, queremos escolher 5, sem reposio, onde a ordem importa. O nmero de maneiras de fazer isso :

)!(!

, pnnA pn

=

)!58(!8

5,8

=A

672045678!3

!3456785,8 ==

=A

Vocs sempre devem dar preferncia utilizao do PFC. Isto porque ele de aplicao geral, serve para resolver qualquer problema de anlise combinatria.

J a frmula do arranjo s serve para situaes bem especficas. So elas:

- a ordem importa

- no h reposio

- no h restries nas etapas

Simplesmente decorar a frmula sem saber exatamente quando ela pode ser usada um perigo. Ento, melhor ficar com o PFC, que mais garantido.

Gabarito: C

Questo 24 IPEA 2008 [CESPE]

Com relao a contagem e combinatria, julgue os itens que se seguem.

1. Considere que as senhas dos correntistas de um banco sejam formadas por 7 caracteres em que os 3 primeiros so letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, e os 4 ltimos, algarismos, escolhidos entre 0 e 9. Nesse caso, a quantidade de senhas distintas que podem ser formadas de modo que todas elas tenham a letra A na primeira posio das letras e o algarismo 9 na primeira posio dos algarismos superior a 600.000.

Resoluo.

Vamos dividir o processo de formao da senha em etapas. Cada etapa vai corresponder a um caractere escolhido.

Note que agora temos reposio. Uma vez escolhida uma letra, ela pode ser novamente escolhida. Uma vez escolhido um nmero, ele pode novamente ser escolhido.



AFRFB e AFT


Note tambm que temos restries em algumas etapas. A primeira letra s pode ser a. O primeiro algarismo s pode ser 9.

primeira etapa: 1 opo (s temos a letra A)

segunda etapa: 26 opes (pois h reposio)

terceira etapa: 26 opes

quarta etapa: 1 opo (s pode ser o algarismo 9)

quinta etapa: 10 opes (so 10 algarismos possveis)

sexta etapa: 10 opes

stima etapa: 10 opes

Aplicando o PFC:

1 26 26 1 10 10 10 = 676.000

Gabarito: certo

Questo 25 APEX 2006 [UNIVERSA]

Pretende-se formar uma equipe masculina de atletismo para a modalidade revezamento 4 100 m rasos. Para isso, uma seleo ser realizada com o objetivo de se selecionarem 7 atletas, sendo dois atletas com altura inferior a 1,65 m, trs atletas com altura de 1,65 m a 1,70 m, e dois atletas com altura entre 1,70 m e 1,75 m. Inscreveram-se para a seleo 24 atletas, 9 com altura inferior a 1,65, 8 com altura de 1,66 a 1,69, e 7 com altura de 1,73 m ou 1,74 m. A quantidade de diferentes equipes que podem ser formadas a partir desse conjunto de inscritos est entre:

(A) 10.000 e 20.000.

(B) 20.000 e 30.000.

(C) 30.000 e 40.000.

(D) 40.000 e 50.000.

(E) 50.000 e 60.000.

Resoluo.

Para facilitar a escrita, vou chamar os intervalos de altura de: baixo (inferior a 1,65m), mediano (1,65 a 1,70m) e alto (superior a 1,70m).

Precisamos escolher:

- dois atletas baixos;

- trs atletas de altura mediana;

- dois atletas altos.



AFRFB e AFT


Para a escolha dos atletas baixos temos 9 opes.

Para a escolha dos atletas medianos temos 8 opes.

Para a escolha dos atletas altos temos 7 opes.

Vamos dividir a escolha da equipe em etapas. Cada etapa vai corresponder escolha de um atleta.

Para a escolha do primeiro atleta baixo, temos 9 opes.

Para a escolha do segundo atleta baixo, sobram 8 opes (no h reposio; escolhido um atleta, ele no pode mais ser escolhido novamente).

Baixo Mediano Alto

1 etapa 2 etapa 3 etapa 4 etapa 5 etapa 6 etapa 7 etapa

9 8

Agora vamos aos atletas medianos.

Para a escolha do primeiro atleta mediano, temos 8 opes.

Para a escolha do segundo, temos 7 opes (pois no h reposio).

Para a escolha do terceiro, temos 6 opes.

Baixo Mediano Alto


9 8 8 7 6

Para o primeiro atleta alto, temos 7 opes.

Para o segundo atleta alto, temos 6 opes.

Baixo Mediano Alto


9 8 8 7 6 7 6

Aplicando o PFC:

9 8 8 7 6 7 6

Agora observem um detalhe importante.

Nesta questo, a ordem no importante. No importa em que ordem os atletas foram escolhidos. O que importa quais foram escolhidos.

A equipe ABCDEFG exatamente a mesma coisa que a equipe BACDEFG.

Precisamos fazer as divises para eliminar as contagens repetidas.



AFRFB e AFT


Certo???

Errado!!!

Lembrem-se de que possveis contagens repetidas s ocorrem dentro de cada conjunto.

L na Questo 19, por exemplo, nem precisamos nos preocupar em saber se a ordem era relevante ou no. No precisamos nos preocupar em saber se era relevante escolher primeiro o macho e depois a fmea (e vice-versa).

Isto porque cada etapa estava relacionada a um conjunto diferente. Entre conjuntos diferentes no tem como haver contagem repetida.

A preocupao em eliminar contagens repetidas s surge quando um mesmo conjunto est relacionado a mais de uma etapa.

Portanto, possveis contagens repetidas s ocorrem dentro de cada conjunto. A forma correta de eliminar as contagens repetidas assim:



AFRFB e AFT


Agora sim, ficamos com:

9 8 8 7 6 7 6

2! 3! 2!= 42.336

Gabarito: D

Outra maneira de resolver usando a frmula da combinao.

Para a escolha dos atletas baixos, temos 9 opes e temos que escolher 2, sem reposio, onde a ordem no importante. um caso de combinao.

, =9!

(7!) 2!=

9 8

2= 36

H 36 modos de escolhermos os atletas baixos.

Analogamente, para os atletas medianos, temos:

, =8!

(5!) 3!=

8 7 6

3 2= 56

Por fim, para os atletas altos, temos:

, =7!

(5!) 2!=

7 6

2= 21

Podemos dividir o problema em trs etapas.

Na primeira etapa, escolhemos os atletas baixos. H 36 formas de fazer isso.

Na segunda etapa, escolhemos os atletas medianos. H 56 formas de fazer isso.

Na terceira etapa, escolhemos os atletas altos. H 21 formas de fazer isso.

Aplicando o PFC:

36 56 21 = 42.336

H 42.336 forma

Documents

aula 11 - análise combinatória e probabilidade