AULA 2 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II

Fonte: Anton, Stewart, Thomas. Material Daniela Buske

Prof. Guilherme J. WeymarCEng - UFPel

Vetores:

Componentes de um vetor

Operações algébricas com vetores

Vetores unitários

TÓPICOS:

Algumas das coisas que medimos são determinadas simplesmente pela sua

magnitude. Por exemplo:

para registrar a massa, o comprimento ou o tempo precisamos apenas

escrever um nº e especificar uma unidade de medida apropriada;

para descrever uma força, um deslocamento ou uma velocidade

precisamos de mais informação:

a) Força: precisamos registrar a direção e o sentido nos quais ela atua, bem

como seu tamanho;

b) Deslocamento de um corpo: temos de dizer em qual direção ele se moveu,

assim como a distância percorrida;

c) Velocidade de um corpo: temos de saber aonde o corpo está indo, como

também qual é a rapidez do movimento.

Introdução:

Vetor e suas componentes:

O termo vetor é usado por cientistas

para indicar quantidades tais como

deslocamento ou velocidade ou força

que tenham ao mesmo tempo

grandeza, magnitude, direção e sentido.

Por exemplo:

a) um vetor força aponta na direção na qual ela é aplicada e seu

comprimento é a medida da sua intensidade;

b) um vetor velocidade aponta na direção e no sentido do movimento

e seu comprimento é a velocidade do objeto que se move.

A seta do vetor aponta a direção e o sentido da ação, seu comprimento

fornece a magnitude da ação em termos de uma unidade adequada

escolhida.

Exemplo:

As setas que usamos quando desenhamos vetores representam o

mesmo vetor se têm o mesmo comprimento, são paralelas e apontam

para o mesmo sentido independentemente do ponto inicial.

Exemplo ... Vetor com pto inicial não na origem

A magnitude ou comprimento do vetor é o comprimento de

qualquer uma das representações equivalentes de seus segmentos de

reta orientados.

Em particular, se é o vetor posição para

então a fórmula da distância dá a magnitude ou comprimento de v,

denotada pelo símbolo |v| ou ||v|| (também chamado de norma

de v).

OBS.: o único vetor com comprimento 0 é o vetor nulo 0=<0,0> ou 0=<0,0,0> e

o único sem direção específica.

Exemplo ...

Operações com vetores:

Soma de vetores:

Multiplicação porescalar:

Diferençade vetores:

Uma aplicação importante de vetores ocorre em navegação:

Vetores unitários:

Um vetor v de comprimento 1 é chamado vetor unitário.

Os vetores unitários padrão são: i = <1,0,0>, j = <0,1,0> e k = <0,0,1>.

Qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear

dos vetores unitários padrão da seguinte forma:

Exemplo ...

Chamamos o escalar (ou nº) de componente i do vetor v, é a

componente j e a componente k.

Sempre que , o seu comprimento |v| não é zero e

Ou seja, v/|v| é um vetor unitário na direção de v chamado

direção ou versor do vetor não-nulo v.

O processo de multiplicação de um vetor v pelo recíproco de

seu comprimento para obter um vetor unitário com a mesma

direção e sentido é chamado de normalização de v.

Resumo:

Ponto médio de um segmento de reta: