1

CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II

Funções de várias variáveis

Fonte: Anton, Stewart, Flemming Thomas, Buske

Prof. Guilherme J. WeymarCENG - UFPel

2

Funções de várias variáveis:

3

Funções de várias variáveis:

4

Funções de várias variáveis:

5

Funções de várias variáveis:

Como de costume calculamos funções definidas por fórmulas substituindo os valores das variáveis independentes na fórmula e calculando o valor correspondente da variável dependente.

6

Domínios e imagens:

Ao definirmos funções de mais de uma variável, seguimos a prática habitual de excluir entradas que levem a números complexos ou à divisão por zero.

Se , y não pode ser menor que x2. Se f(x,y) = 1/(xy), xy não pode ser zero .

Consideramos que os domínios das funções sejam os maiores conjuntos para os quais as regras de definição geram números reais a menos que esses domínios sejam especificados de forma explícita. A imagem consiste no conjunto de valores de saída para a variável dependente.

2),( xyyxf

7

Domínios e imagens:

8

Funções de duas variáveis:

Assim como acontece com os domínios de funções definidas em intervalos da reta real, os domínios de funções definidas em porções do plano podem ter pontos interiores e pontos de fronteira. Os intervalos fechados [a,b] incluem seus pontos de fronteira, enquanto os intervalos abertos (a,b) os deixam de fora. Os intervalos definidos como [a,b) não são nem fechados nem abertos.

9

Funções de duas variáveis:

10

Funções de duas variáveis:

11

Funções de duas variáveis:

Como acontece com intervalos de números reais, algumas regiões no plano não são nem abertas nem fechadas. Se começarmos com o disco aberto da figura anterior e adicionarmos alguns pontos de fronteira, mas não todos, o conjunto resultante não será nem aberto nem fechado. Os pontos de fronteira que estão lá impedem que o conjunto seja aberto. A ausência dos pontos de fronteira restantes impede que o conjunto seja fechado.

Exemplos:• conjuntos limitados no plano: segmentos de reta, triângulos, interiores de triângulos, retângulos, circunferências e discos.• conjuntos não limitados no plano: retas, os eixos coordenados, os gráficos de funções definidas em intervalos infinitos, quadrantes, semiplamos e o plano propriamente dito.

12

Funções de duas variáveis:

13

Gráficos e curvas de nível de funções de duas variáveis:

Existem duas maneiras-padrão de visualizar os valores de uma função f(x,y). Uma é desenhar e identificar curvas no domínio nas quais f tem um valor constante. A outra é esboçar a superfície z=f(x,y) no espaço.

14

Gráficos e curvas de nível de funções de duas variáveis:

15

Gráficos e curvas de nível de funções de duas variáveis:

16

Gráficos e curvas de nível de funções de duas variáveis:

A curva no espaço na qual o plano z = c corta uma superfície z = f(x,y) consiste em todos os pontos que representam o valor da função f(x,y). Ela é chamada curva de contorno f(x,y) = c para distingui-la da curva de nível f(x,y) = c no domínio de f.

Contudo, nem todo mundo faz essa distinção, e você pode preferir chamar ambos os tipos de curvas por um único nome e se basear no contexto para especificar qual tem em mente. Na maioria dos mapas, por ex, as curvas que representam altitude constante (altura acima do nível do mar) são denominadas contornos, não curvas de nível (ver figura slide seguinte).

17

Gráficos e curvas de nível de funções de duas variáveis:

18

Funções de três variáveis:

No plano, os pontos onde uma função de 2 variáveis independentes tem um valor constante f(x,y) = c perfazem uma curva no domínio da função.

No espaço, os pontos onde uma função de 3 variáveis independentes tem um valor constante f(x,y,z) = c perfazem uma superfície no domínio da função.

19

Funções de três variáveis:

Como os gráficos de funções de 3 variáveis consistem em pontos (x,y,z,f(x,y,z)) em um espaço quadridimensional, não podemos esboçá-los de maneira eficaz em nosso sistema de coord. Tridimensional de referência. Contudo, podemos ver como a função se comporta analisando suas superfícies de nível tridimensionais.

20

Funções de três variáveis:

Não representamos graficamente a função nesse caso; verificamos as superfícies de nível no domínio da função. As superfícies de nível mostram como os valores da função mudam à medida que nos movemos por seu domínio:

• Se permanecemos em uma esfera de raio c centrada na origem, a função mantém um valor constante: c .• se nos movemos de uma esfera para outra, os valores da função mudam – ela aumenta se nos movemos para longe da origem e diminui se nos aproximamos da origem.

A maneira como os valores mudam depende da direção que seguimos. A dependência da variação em relação a direção é importante e voltaremos ao tópico posteriormente.

21

As definições de interior, fronteira, aberto, fechado, limitado e ilimitado para regiões no espaço são similares aquelas para regiões no plano. Para acomodar a dimensão extra, usamos esferas sólidas em vez de discos.

Funções de três variáveis:

22

Funções de três variáveis:

23

Funções de três variáveis:

24

Gráficos por computador:

Programas de gráficos tridimensionais para computadores e calculadoras tornam possível traçar funções de duas variáveis com apenas alguns comandos. Em geral é mais rápido obter informações a partir de um gráfico que de uma fórmula.

25

Gráficos por computador:

26

Gráficos por computador:

As figuras a seguir mostram gráficos gerados por computador de um grupo de funções de duas variáveis juntamente com suas curvas de nível.

27

Gráficos por computador:

28

Gráficos por computador: