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ENGENHARIA MECANICA
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Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: [email protected]
Centro de Educação Superior de Brasília Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília
Curso: Engenharia Civil Professor: Douglas Esteves
Disciplina: Mecânica
Resultante de um Sistema de Forças
Momento de uma Força – Formulação Escalar
Quando uma força não central é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de rotação do corpo
em torno de um ponto que não está na linha de ação da força. Essa tendência de rotação algumas vezes é
chamada de torque, mas normalmente é denominada momento de uma força, ou simplesmente momento.
Nas figuras acima podemos observar os seguintes aspectos:
- Na figura (a) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é diferente de 90º , dessa forma
será mais difícil provocar o giro uma vez que o braço do momento será menor que a distância
d.
- Na figura (b) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é de 90º, dessa forma a chave
tende a girar em torno do ponto O ( ou eixo z), e a intensidade desse momento é proporcional a intensidade da
força F e a distância perpendicular do momento d. ou seja quanto maior for a força e quanto maior for o braço,
maior será o efeito do momento ou o efeito de rotação.
- Na figura (c) a força foi aplicada ao longo do braço ou seja o ângulo formado entre a força e o braço
é de 0º, dessa forma o momento dessa força será zero, ou seja não provoca nenhum momento.
Intensidade do Momento
A intensidade do momento ( MO) é dada pela relação: onde F representa a força que está
sendo aplicada e d representa o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha
de ação da força.
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Direção do Momento
A direção de MO é definida pelo seu eixo do momento, que é perpendicular ao plano que contém a
força F e seu braço do momento d. Utilizando a regra da mão direita podemos estabelecer o sentido da
direção de MO. de acordo com essa regra a curva natural dos dedos da mão direita, quando eles são dobrados
em direção a palma da mão representa a tendência da rotação causada pelo momento e o polegar nos dá a o
sentido direcional de MO.
Momento Resultante
No problemas bidimensionais, onde todas as forças estão no mesmo eixo x~y, o momento resultante
(MR)O em relação ao ponto O ( o eixo z) pode ser determinado pela adição algébrica dos momentos causado
no sistema por todas as forças. Por convenção definimos que o momento é positivo quando o giro é no sentido
anti-horário e o momento é negativo quando a tendência de giro é no sentido horário.
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Exemplos de aplicação
1) Determine o momento da força em relação ao ponto O para cada caso.
a)
Solução: ( ) ( )
b)
Solução: ( ) ( )
2) Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada na figura abaixo.
OBS: A força de 20N deve ser considerada fazendo a sua
decomposição nos eixos x e y.
y
x
20N
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Produto vetorial
O momento de uma força será formulado com o uso de vetores cartesianos assim veremos alguns
conceitos para futuras aplicações.
Produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que é escrito: C = A x B.
Intensidade
A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo entre
eles ( ). Logo, C = AB sen .
Direção O vetor C possui uma direção perpendicular ao plano que contém A e B, de modo que C é
determinado pela regra da mão direita; ou seja dobrando-se os dedos da mão direita a partir do vetor A até o
vetor B, o polegar aponta na direção de C, como mostra a figura.
Para conhecer a direção e a intensidade de C, podemos escrever:
C = A × B = (AB sen ) uC
Onde o escalar AB sen define a intensidade de C e o vetor
unitário uC define sua direção.
Propriedades do produto vetorial
A propriedade comutativa não é válida; ou seja, A x B B x A. Em vez disso temos:A x B = -B x A.
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Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a, ele obedece à propriedade associativa;
a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a
O produto vetorial também obedece à propriedade distributiva da adição,
A × (B + D) = (A × B) + (A × D)
Formulação Vetorial Cartesiana
Maneira prática de obter esses resultados.
Construímos um círculo como o da figura abaixo, então ‘ o produto vetorial’ de dois vetores
unitários no sentido anti-horário do círculo produz o terceiro vetor unitário positivo; por exemplo: K x i = J.
fazendo o produto vetorial no sentido horário do círculo, um vetor unitário negativo é obtido; por exemplo: i x
K = - J.
Desenvolvimento do produto vetorial em forma de vetores cartesianos
Considere agora o produto vetorial de dois vetores quaisquer A e B, expressos na forma de vetores
cartesianos, temos.
Efetuando as operações de produto vetorial e combinando os termos resultantes,
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Essa equação também pode ser escrita de uma forma mais compacta de um determinante como:
A solução através do determinante é feita usando o teorema de Laplace que diz: “O
determinante de uma matriz quadrada 2m aMm x mij pode ser obtido pela soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.”
Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento ija de uma matriz
quadrada de ordem n o número ijA , tal que ij
ji
ij MC)1(A .
Assim temos:
Momento de uma força – formulação vetorial
Momento de uma foça F em relação ao eixo de momento que passa por O ou mais exatamente em
relação ao eixo do momento que passa por O e é perpendicular ao plano de O e F pode ser expresso na forma
de produto vetorial:
MO = r x F
N
Nesse caso, r representa um vetor posição de dirigido de O até algum
ponto sobre a linha de ação de F.
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Intensidade
A intensidade do produto vetorial é definida por onde o ângulo é medido a
partir do encontro de r e F.
Assim podemos escrever: ( )
A direção e o sentido são determinados pela regra da mão direita.
Principio da Transmissibilidade
Esse princípio define que F (vetor deslizante) pode agir em qualquer ponto sobre a sua linha de ação e
ainda produzir o mesmo momento em relação ao ponto O.
Formulação do Vetor cartesiano
Se estabelecemos os eixos coordenados x , y , z , então o vetor posição r e a força F podem ser
expressos como vetores cartesianos. Essa relação é utilizada quando for necessário fazer o cálculo do
momento de corpos tridimensionais na forma cartesiana.
|
|
Onde:
- representam as componentes x, y, z do vetor posição definido no ponto O até qualquer ponto sobre
a linha de ação da força.
- representam as componentes x, y , z do vetor força.
- Se o determinante for expandido, então , teremos:
( ) ( ) ( )
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Momento resultante de um Sistema de Forças
Se um corpo é submetido à ação de um sistema de forças o momento resultante das forças em relação
ao ponto O pode ser determinado pela adição vetorial do momento de cada força. Essa resultante pode ser
escrita na forma de:
∑( )
Exemplo de aplicação.
Determine o momento produzido pela força F na figura abaixo em relação ao ponto O. Expresse o resultado
como um vetor cartesiano.
Solução:
Como mostra a figura tanto rA como rB podem ser usados para determinar
o momento em relação ao ponto O. Esses vetores são:
{ } { }
Veja essas forças na figura ao lado
Dessa forma podemos expressar a
força F como um vetor cartesiano .
Agora que já conhecemos as componentes cartesianas da força F , podemos calcular o momento em relação
ao ponto O. Para isso usamos a relação do determinante.
Cálculo do momento em relação a
RA.
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Cálculo do momento em relação a RB.
O princípio dos momentos Como F = F1 + F2, temos:
MO = r × F = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2
_ O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação
a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em
relação ao mesmo ponto.
Para os problemas bidimensionais podemos usar o princípio dos
momentos decompondo a força em suas componentes retangulares e
depois determinar o momento usando uma análise escalar. Logo temos:
MO = Fxy – Fyx
Exemplo de aplicação
1) Determine o momento da força na figura abaixo em relação ao ponto O.
Solução:
Podemos calcular esse momento de duas maneiras, uma seria usando a
forma escalar e a outra usando o princípio dos momentos, vejamos.
Solução I ( forma escalar )
1º ) encontramos o valor do braço (d) através da trigonometria
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Agora aplicamos a definição de momento na forma escalar.
Solução II ( Princípio dos momentos )
1) Fazemos a decomposição da força F.
2) considerando o sentido anti-horário como positivo e
aplicando o princípio dos momentos temos:
( ) ( )
3) A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura abaixo. Determine o momento
da força em relação ao ponto O.
Solução I ( Análise Escalar):
Fazemos a decomposição da força nas componentes x e y. conforme figura abaixo e depois calculamos o
momento.
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Solução II ( Análise Vetorial )
Empregando a abordagem do vetor cartesiano, os vetores de força e posição podem ser escritos da seguinte
forma:
Desta forma o momento pode ser calculado.
Exercícios:
1) Determine o momento da força em relação ao ponto O.
2) Determine o momento da força em relação ao ponto O.
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3) Determine o momento da força em relação ao ponto O.
4) Determine o momento da força em relação ao ponto O . Despreze a espessura do membro.
5) Se o momento produzido pela força de 4 KN em relação ao ponto A é 10 KN.m no sentido horário,
determine o ângulo .
6) O cabo do martelo está sujeito à força de F = 100 N. Determine o momento dessa força em relação ao
ponto A.
;
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7) Dois homens exercem forças de F = 400N e P = 250N sobre as cordas, determine o momento de cada
força em relação a A. Em que sentido o poste irá girar, horário ou anti-horário?
O poste irá girar no sentido horário
8) De acordo com a figura da questão 7 , se o homem B exerce uma força P = 150N sobre sua corda,
determine a intensidade da força F que o homem em C precisa exercer para impedir que o poste gire;
ou seja para que o momento resultante em relação a A devido as duas forças seja zero.
9) Se as pinças são usadas para prender as extremidades do tubo de perfuração P . Se um torque (
momento) Mp = 1200 N.m é necessário em P para girar o tubo, determine a força que precisa ser
aplicada no cabo da pinça F. considere º.
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10) Determine o momento mínimo produzido pela força F em relação ao ponto A. Especifique o ângulo Ɵ
( )
Resp: Mmin= 0 e Ɵ = 146,31º
11) Se FB = 150N e FC = 225N, determine o momento resultante em relação ao parafuso localizado em A.
Resp: M = 291,9 N.m
12) A barra do mecanismo de controle de potência de um jato comercial está sujeita a uma força de 80N.
determine o momento dessa força em relação ao mancal em A.
Resp: M = 7,71 N.m
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Momento em Relação a um Eixo Específico
Determina-se o momento da força em relação a um ponto do sistema e depois se realiza a projeção
sobre eixo que se deseja a partir do produto escalar. O momento de uma força em relação a um eixo especificado pode ser determinado desde que a
distância perpendicular da a partir da linha de ação da força até o eixo possa ser determinada. .
Devemos usar uma análise vetorial, ( ) onde Ua define a direção do eixo e r é
definido a partir de qualquer ponto sobre o eixo até qualquer ponto sobre a linha de ação da força.
Se o valor de Ma calculado é calculado como um escalar negativo, então o sentido da direção de Ma é
oposto a Ua.
Exemplos de aplicação.
1) A força F atua no ponto A mostrado na figura. Determine os momentos dessa força em relação ao
eixo x.
Solução:
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2) Determine o momento resultante das três forças na figura abaixo em relação ao eixo x, ao eixo y e
ao eixo z.
Solução:
Lembrando que uma força paralela a um eixo ou na mesma
linha de ação do eixo não produz qualquer momento temos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Momento de um Binário
Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade, mas direções opostas,
e são separadas por uma distância perpendicular d ( conforme figura abaixo).
Como a força resultante é zero, o único efeito de um binário é produzir uma rotação ou tendência de rotação
em uma direção específica.
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Formulação Escalar
O momento de um binário M conforme a figura abaixo é definido como tendo uma intensidade de:
Formulação Vetorial
O momento de um binário também pode ser expresso pelo produto vetorial usando a seguinte
equação. . A aplicação dessa equação deve ser usada quando calculamos o momento de duas
forças em relação a um ponto situado na linha de ação de uma das forças.
Se por exemplo os momentos são tomados em relação ao ponto A da figura abaixo, o momento da
força –F é zero e o momento da F deve ser calculado usando a equação .
Binários Equivalentes
Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. O momento resultante de dois
binários é obtido pela soma dos binários.
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Exemplos de aplicação
1) Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua esse binário por um
equivalente, composto por um par de forças que atuam nos pontos A e B.
Solução:
Ou então:
∑
O momento é positivo pois ambas as forças produzem giro
no sentido anti-horário.
2) Determine a intensidade e a direção do momento de binário agindo sobre a engrenagem.
Solução:
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3) Determine o momento de binário agindo sobre o tubo mostrada na figura abaixo. O segmento AB está
direcionado 30º abaixo do palno x~y.
Solução:
O momento das duas forças pode ser calculado em relação a qualquer
ponto, então vamos calcular em relação ao ponto O.
A força aplicada no ponto A exerce momento só em relação ao eixo y.
A forção aplicada em B exerce momento nos três eixos.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) fazemos o produto vetorial e
temos:
Força aplicada no ponto A
Força aplicada no ponto B
( ) ( ) Assim temos que o momento resultante é igual a:
Exercícios de Aplicação.
13) Determine o momento produzido pela força F em relação a diagonal AF do bloco retangular. Expresse
o resultado na forma de vetor cartesiano.
:
[ ]
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14) Determine o momento da força F em relação ao eixo que se estende entre A e C. expresse o resultado
como um vetor cartesiano.
Resp : (11,51 i + 8,64 j) KN.m
15) Determine o momento produzido pela força F com relação ao segmento AB do encanamento. Expresse
o resultado como um vetor cartesiano.
Resp : (-52,8 i – 70,4 j) N.m
16) Determine o momento de binário resultante que age sobre a viga.
Resp : - 740 N.m
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17) Um homem de peso 600 N caminha numa viga de madeira simplesmente apoiada em A e articulada
em C. A distância entre A e C é de 4,0 m. O peso da viga é de 900 N e seu comprimento é de 6,0 m.
Determine a máxima distância x, indicada na figura, que o homem pode caminhar sobre a viga para
que ela permaneça em equilíbrio?
18) Determine o momento de binário que age sobre o encanamento e expresse o resultado como um vetor
cartesiano.
Resp :
19) Os efeitos do atrito do ar sobre as pás do ventilador criam um momento de binário MO = 6,0 N.m
sobre as mesmas. Determine a intensidade das forças de binário na base do ventilador de modo que o
momento de binário resultante no ventilador seja zero.
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20) Determine a intensidade de F de modo que o momento de binário que age sobre a viga seja 1,5 KN.m
no sentido horário.
Resp : F = 2,33 KN.m
21) Determine a intensidade necessária dos momentos de M2 e M3 de modo que o momento de binário
resultante seja zero.
Resp: M2 = 424,26 N e M3 = 300 N
Simplificação de um sistema de forças e binários
Um sistema é equivalente se os efeitos externos que ele produz sobre um corpo são iguais aos
causados pelo sistema de forças e momentos binários originais.
Nesse contexto, os efeitos externos de um sistema se referem ao movimento de rotação e translação do
corpo se este estiver livre para se mover, ou se refere às forças reativas nos suportes se o corpo é mantido fixo.
Vamos considerar que uma pessoa está segurando o bastão da figura abaixo que está sujeito a uma
força F.
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Se aplicarmos um par de forças F e –F iguais e opostas, no ponto B, onde se encontra a linha
de ação da força F.
Observamos que –F em B e F em A se cancelam, deixando apenas a força F em B, conforme figura abaixo.
Observe que a força F foi movida de A para B sem modificar os efeitos externos sobre o
bastão, ou seja a reação na empunhadura permanece a mesma. Isso mostra o princípio da transmissibilidade,
que afirma que uma força agindo sobre um corpo ( bastão) é um vetor deslizante, já que pode ser aplicado em
qualquer ponto ao longo da sua linha de ação.
Se F for aplicado perpendicularmente ao bastão, como na Figura (a), então podemos aplicar um par de
forças F e –F iguais e opostas no ponto B (b). A força F agora é aplicada em B, e as outras duas forças, F em
A e –F em B, formam um binário que produz o momento de binário M = Fd (c).
a)
b)
c)
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Podemos generalizar esse método de reduzir um sistema de forças e binários a uma força resultante FR
equivalente agindo no ponto O e um momento de binário resultante (MR)O (decorrente do deslocamento das
forças na figura b) usando as duas equações a seguir:
∑ ∑ ∑
Onde a primeira equação estabelece que a força resultante do sistema seja equivalente à soma
de todas forças;
A segunda equação estabelece que o momento de binário resultante do sistema seja
equivalente à soma de todos os momentos de binários ∑ , mais os momentos de todas as forças ∑ em
relação ao ponto O.
Exemplo de aplicação
Substitua o sistema de forças e binários na figura abaixo por um sistema de forças e momento
de binário resultante equivalente agindo no ponto O.
Solução:
Primeiro fazemos as decomposições das forças de 3KN e de 5KN.
Assim temos:
Eixo Y :
3KN . sen 30º = 1,5 KN ( para cima)
( )
Mais a força de 4KN para baixo.
Eixo X
( )
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Usando o teorema de pitágoras encontramos a força resultante;
√( ) ( ) √
Sua direção Ɵ é dada pelo arc tangente.
(
)
Agora substituímos os momentos de binário por o momento resultante.
Os momentos de 3KN e 5KNem relação ao ponto O serão determinados usando as componentes x e y.
( ) ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
) ( ) ( )
Exercícios de Aplicação.
22) Substitua o sistema de forças que age sobre a treliça por um força e momento de binário resultante no
ponto C.
Resp : FR = 4250N , direção 61,9º , M = 9,6 KN.m
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23) Substitua o sistema de forças que age sobre a viga por uma força e momento de binário equivalente no
ponto B.
Resp: FR = 5,93 KN , direção 77,8º , M = -11,6KN.m
24) Substitua as duas forças por uma força e momento de binário resultante equivalente no ponto C.
Considere F = 100N
Resp: FR = 149,6 N, direção 78,4º , M = 26,41N.m
25) Substitua o sistema de forças que age sobre o poste por uma força e momento de binário resultante no
ponto A.
Resp: FR = 542N , direção 10,6º , M = 441 N.m
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Redução de um carregamento distribuído simples
Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua
superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro
exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque.
O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente
uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão
que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função
( )
A intensidade da força resultante é equivalente a soma de todas as forças atuantes no sistema e em
muitos casos deve ser calculada por integração, uma vez que existem infinitas forças atuando sobre o sistema.
A força resultante é igual a área total sob o diagrama de carga.
Exemplo:
Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura.
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Solução
Localização da força resultante:
( Intensidade e localização da força resultante )
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Intensidade da Força Resultante de Formas Geométricas mais Simples Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua
superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro
exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque.
O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente
uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão
que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função
( )
Intensidade da Força Resultante
A força resultante de um carregamento distribuído é equivalente à área sob o diagrama do
carregamento e tem uma linha de ação que passa pelo centroide ou centro geométrico dessa área.
Dessa forma temos:
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Posição de uma Carga Uniformemente Distribuída
- Carga Retangularmente Distribuída: Para esse tipo de carregamento a
carga resultante se encontra no meio do retângulo.
- Carga triangularmente Distribuída: Para essa tipo de carregamento a
carga resultante se encontra a 1/3 da extremidade que possui maior carga.
Carga Trapezoidalmente Distribuída: Para esse tipo de carregamento a
carga resultante se encontra através da relação:
(
)
Exemplos de aplicação
1) Calcule as reações RA e RB nos esquemas abaixo
a)
Solução:
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b)
Solução:
Exercícios de Aplicação.
26) Determine a força resultante e especifique onde ela atua na viga , medindo a
partir do ponto A. Para cada caso.
a)
Resp : FR = 40,5 KN ; Posição = 1,25m
Posição da carga pontual é sempre igual
a 1/3 da base do triângulo do lado da
maior concentração de carga.
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b)
Resp : FR = 9,9 KN ; Posição = 2,51m
c)
Resp : FR = 27 KN ; Posição = 1m
d)
Resp : FR 30 KN ; Posição = 3,4 m
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27)Um carregamento distribuído com p = (800x) Pa atua no topo de uma superfície de uma viga como mostra
a figura. Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente.
Resp: FR = 6,48 KN , x = 6m
28) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na
viga medindo a partir de A.
Resp: FR = 75 KN ; x =1,2m
29) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na
viga medindo a partir de A.
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30) O vento soprou a areia sobre uma plataforma de modo que a intensidade da carga pode ser
aproximada pela função w = (0,5x3) N/m. simplifique esse carregamento distribuído para uma força resultante
equivalente e especifique sua intensidade e posição medida a partir de A.
Resp:
ESTEVES, Douglas. Resultante de um sistema de forças: Momento. 13-14 de mar de 2014. 34 p. Notas de Aula. Material retirado do livro: mecânica para engenheiros ( estática) 12ª ed do Hibbeler.. .