Aula - Testes de Hipóteses (Media)

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EFB803 – Estatística

ESCOLA DE ENGENHARIA MAUÁ

EFB803

Testes de Hipóteses (µ)

Aula-1 (3oBim)

• Teremos somente duas afirmações (H0 e H1) a respeito de um

parâmetro da POPULAÇÃO (µ, σ, σ2 ou p), sendo somente uma delas

verdadeira;

• Chamamos essas afirmações de hipóteses estatísticas (elas sempre

são afirmações sobre a população ou distribuição sob estudo);

• Geralmente, as hipóteses são construídas a partir de três maneiras:

- conhecimento do processo ou experiência passada;

- a partir de alguma teoria;

- especificações de projeto ou legislação.

• A partir dos resultados de uma AMOSTRA ( x, s, s2 ou p´) é que iremos

decidir qual hipótese é a verdadeira (a nula H0 ou a alternativa H1);

• Se a informação da amostra for consistente com a formulação feita em

H0, então não a rejeitamos. Caso contrário, concluiremos que H0 é

falsa.

Testes de hipóteses – Idéia

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Veredicto do Júri Réu

Inocente Culpado

Inocente Correto Incorreto

Culpado Incorreto Correto

Os possíveis erros associados

ao julgamento são:

Tipo I: Condenar um inocente

Tipo II: Libertar um culpado

• Em um julgamento, até que se prove o contrário, a hipótese

inicial é de que o réu é inocente.

• Ao final, o júri o proclama inocente (“not-guilty”) ou culpado

(“guilty”) de acordo com as evidências apresentadas pelas

partes (defesa e promotoria).

Testes de hipóteses

Pela natureza da repercussão

do erro, devemos nos preocupar

com o erro de culpar um

inocente.

Decisão com base

na amostra

Situação real de H0 na população

Verdadeira Falsa

Não rejeito H0

Correta

(1-α) Erro tipo II

Rejeito H0

Erro tipo I

(α) Correta

Testes de hipóteses – erros tipo I e II

Nível de significância

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Exemplo 1

As máquinas que enchem latas de uma marca de bebida

são configuradas para preencher todas as latas produzidas com

volume de 350 mL e variabilidade de 10,5 mL.

O diretor da fábrica desconfia que está ocorrendo

desperdício de líquido no processo e manda verificar se, em

média, a máquina de enchimento das latas está envazando com

mais de 350 mL.

Para averiguar esse fato, foi coletada uma amostra de 36

latas durante o processo de enchimento e mediu-se o conteúdo

médio igual a x = 351,5 mL.

Verifique se a suspeita do diretor se confirma, usando o

nível de 5% de significância.

µ > 350?

rejeitamos

ou não a

hipótese que

m = 350 ?

µ = 350

... se a média da

população vale

350 mL

351,5 X

X

395

E se X ?

O resultado obtido da amostra indica que o volume médio de

todas as latas é significativamente superior ao indicado pelo

fabricante (ou seja, está ocorrendo desperdício de líquido) OU o

resultado de 351,5 mL da amostra pode ser decorrência de mero

acaso (devido à variação amostral)?

4


Como saber se o valor de 351,5mL (média da

amostra) é distante o suficiente do valor especificado de

350mL (média populacional) para podermos decidir se está

ocorrendo desperdício ou não???

1) Formulamos duas hipóteses (H0 e H1).

a) H0 é a hipótese aceita como verdadeira até prova em contrário, sendo o ponto

de partida para a análise;

b) As duas hipóteses juntas contém todos os valores possíveis do parâmetro sob

estudo, sendo elas mutuamente exclusivas.

c) H0 é formulada em termos de igualdades (=, ≥ ou ≤) e H1 é formulada em

termos de desigualdades (≠, < ou >).

2) Comparamos o resultado obtido na amostra com um valor

crítico (ponto de corte) obtido de forma a garantir uma

probabilidade pequena (α) de incorrermos em erro de decisão.

Exemplo 1

Região de não

rejeição de Ho

Região de rejeição de Ho

m0 = 350 X

crítico x

_

_

(1 - α)

Teste unilateral à direita:

H0 : m 350 (ou, simplesmente m = 350)

H1 : m > 350

Exemplo 1

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Estatística do teste

(CASO 1: variância populacional σ2 conhecida)

Caso a população de interesse seja normalmente

distribuída com média m e variância 2, já vimos que:

nNX

2

,~

m

OBS: CASO 2: se a variância populacional for desconhecida,

devemos utilizar a estatística (com distribuição t-Student

com (n-1) graus de liberdade.

n

s

XT

m

)1;0(~ Zonde N

n

XZ

m

Conclusão: Não rejeitamos a hipótese nula, isto é, NÃO existem

evidências estatísticas de que há desperdício de líquido, ao nível de

significância de 5% (equivale a um grau de 95% de confiança).

m0 = 350 X

=5%

_

crítico x _ 0 Z

=5%

Região de

rejeição

de Ho

Zcritico = ? (1,645)

zobs = 0,857

Região de

rejeição

de Ho

65,10

3505,351

obsz

n

XZ

m

H0 : m = 350

H1 : m > 350

95% 95%

xobs = 351,5 ???

_

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Exemplo 2

Na mesma fábrica (as máquinas são configuradas para

encher as latas com volume médio de 350 mL e desvio padrão

igual a 10,5 mL), a partir de denúncias de consumidores deseja-se

verificar se esta empresa está lesando o consumidor. Ou seja, se

em média, as latas contêm menos líquido que o anunciado.

Junto com o Inmetro, será verificado se esta acusação

procede. Para isso, foi coletada uma NOVA amostra de 36 latas

da bebida em alguns pontos de comercialização e mediu-se o

conteúdo destas latas, sendo obtido uma média de 346 ml.

Verifique se a acusação dos consumidores procede,

usando o nível de 5% de significância.

µ < 350?

Região de não

rejeição de Ho


m0 = 350 X

= 5 %

crítico x

_

_

Teste unilateral à esquerda:

H0 : m 350 (ou, simplesmente m = 350)

H1 : m < 350

95%

7


= 5%

0

Região de

rejeição

de Ho

m0 = 350

crítico x _

zobs = -2,286

Z

Região de

rejeição

de Ho

Zcritico = ? (-1,645)

=5%

X

_

Conclusão: Aqui rejeitamos a hipótese nula, isto é, existem evidências

estatísticas de que o consumidor está sendo lesado, ao nível de

significância de 5% (que equivale a 95% de confiança).

95% 95%

65,10

350346

obsz

n

XZ

m

xobs = 346 ??? _

H0 : m = 350

H1 : m < 350

Considerando o mesmo processo de produção do

exemplo 1, o gerente da empresa se justifica dizendo que as

máquinas da fábrica são reguladas para encher as latas, em

média, com EXATAMENTE 350mL.

Portanto, deve-se testar se o conteúdo médio das latas é

igual a 350 mL, como anunciado no rótulo. Isto equivale a

verificar se a máquina de enchimento das latas está regulada

para colocar 350 mL ou não.

Uma nova amostra de 20 latas forneceu um volume médio

de 353,7 mL. Verifique se a afirmação do gerente procede,

usando o nível de 5% de significância.

Exemplo 3 – Teste Bilateral

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Com base nas hipóteses do gerente, rejeita-se a

hipótese nula para valores pequenos ou grandes.


Região de não

rejeição de Ho


/2 = 2,5% /2 = 2,5%

m0 = 350

critico1 x _

critico2 x _ X

_

H0 : m = 350

H1 : m ≠ 350

95%

Conclusão: Não rejeitamos a hipótese nula, isto é, existem

evidências estatísticas de que o conteúdo das latas não está fora

das especificações do fabricante, ao nível de significância de 5%.

/2 = 0,5% /2 = 2,5%


Região de não

rejeição de Ho


0

Zcritico2 = 1,96

Z

Zcritico1 = -1,96

n

XZ

mH0 : m = 350

H1 : m ≠ 350

zobs = 1,576

95%

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Resumo

/2 /2 Bilateral: H0: m = mo

H1: m mo

Unilateral à direita: H0 : m = mo

H1 : m > mo

Unilateral à esquerda: H0 : m = mo

H1 : m < mo

Região crítica: Rejeita-se H0 para valores “pequenos” ou “grandes”

Região crítica: Rejeita-se H0 para valores “grandes”

Região crítica: Rejeita-se H0 para valores “pequenos”

(P2-2004)

Em uma linha de produção de um tipo de fitas metálicas, a

largura média delas deve ser 50,0 mm. Para verificar se uma

modificação no processo de fabricação dessas fitas produz

alguma alteração na média, obteve-se, a partir de 10 medidas da

largura após a modificação no processo, uma largura média de

50,7 mm e um coeficiente de variação de 2,2%. Podemos

concluir que, com a modificação, a largura média das fitas não se

alterou, ao nível de 5% de significância?

Exercício (1 de 3)

Tobs = 1,984; Tcrítico1 = -2,262 e Tcrítico2 = 2,262; Conclusão: não rejeitamos H0 (ou seja, µ = 50)

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O controle de qualidade de uma linha de produção quer

verificar se o processo está sob controle analisando se houve

aumento no diâmetro das peças produzidas, que deve ser de

12 cm, em média. Para isso, mediu o diâmetro de 20 peças e

obteve um diâmetro médio de 12,6 cm. Sabendo-se que o

desvio padrão dos diâmetros das peças, especificado pelo

fabricante, é de 1,5 cm, qual seria a conclusão do controle de

qualidade?

Escreva as hipóteses e conclua usando o nível de 5%

de significância. Zobs = 1,79; Zcrítico = 1,645; Conclusão: rejeitamos H0 (ou seja, µ >12).

Exercício (2 de 3)

Um fabricante de pneus afirma que seu produto dura até

o desgaste total, em média, no mínimo 50 mil km. Pneus dessa

marca foram testados quanto à durabilidade deles. Nove

unidades testadas forneceram os seguintes resultados:

percurso médio até o desgaste total igual a 47320 km e desvio

padrão igual a 3600 km. Pode-se dizer que a afirmação do

fabricante procede?

Escreva as hipóteses e conclua usando o nível de 5% de

significância. Tobs = -2,23; Tcrítico = -1,860; Conclusão: rejeitamos H0 (ou seja, µ < 50000).

Exercício (3 de 3)

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Leitura recomendada

• Introdução à Estatística (livro texto)

CAP. 5 - pgs 71 a 78

• Probabilidade e Estatística (DEVORE; bib. complementar)

CAP. 8 - pgs 275 a 282

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