DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

a1v1+ a2v2+ a3v3 + .... + anvn = 0.

Definição 1:- Seja B = {v1, v2, v3, ... vn} um conjunto de vetores.

Os vetores de B são ditos linearmente dependentes

se existirem os escalares a1, a2, a3 ... an, nem todos nulos,

de modo que

Se todos os ai forem nulos os vetores v1, v2, v3, ... vn são ditos linearmente independentes.

Conseqüência da definição, podemos fazerv1 = (-a2/a1)v2+ (-a3 /a1)v3 + .... + (-an/a1)vn     v1 = b1v2+ b2v3 + .... + bnvn.Se existirem b1, b2, ..., bn então os vetoresv1, v2, v3, ..., vn são linearmente dependentes.

Definição 2:- Um conjunto de vetores é linearmente dependente se um deles for uma combinação linear dos demais.

Exemplo 1: verificar se o conjunto (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1) é linearmente dependente ou independente.

Aplicando a definição 2, verifiquemos se existem x e y, tais que (2, 1, 1) = x(-1, 0, 2) + y(1, 2, 1).

Da igualdade tiramos: (1) -x + y = 2                (2) 0 + 2y = 1 e             (3) 2x + y = 1.

Resolvendo o sistema:

De (2) y = 1/2. (4) De (4) e (1): x = y – 2 = (1/2) – 2 = -3/2

Estes valores devem verificar a equação (3).

2.(-3/2) + 1/2 = -3 + 1/2 = - 5/2 1.

Portanto, não existem valores para x e y que satisfaçam às três igualdades.

O conjunto é então: linearmente independente.

Exemplo 2:- Verificar se o conjunto (2, 1, 3), (3, 1, 2), (5, 2, 5) é linearmente dependente ou independente.

Temos então: (1) 2x + 3y = 5 , (2) x + y = 2  e (3) 3x + 2y = 5.

Pela definição: x.(2, 1, 3) + y.(3, 1, 2) = (5, 2, 5)

Assim, o sistema tem solução única x = 1 e y = 1. Portanto, cada vetor  é uma combinação linear dos outros dois. Concluindo, os vetores são: linearmente dependentes.

De (1) e (2): 2x + 3(2 – x) = 5 2x + 6 – 3x = 5-x = -1 x = 1. Levando esse valor em (2) 1 + y = 2 y = 1

Verificando a equação (3): 3.1 + 2.1 = 5. O que confere a equação (3).