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    CLCULOI

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    SOMESBSociedade Mantenedora de Educao Superior da Bahia S/C Ltda.

    Presidente Gervsio Meneses de Oliveira

    Vice-Presidente William OliveiraSuperintendente Administrativo e Financeiro Samuel Soares

    Superintendente de Ensino, Pesquisa e Extenso Germano Tabacof

    Superintendente de Desenvolvimento e

    Planejamento Acadmico Pedro Daltro Gusmo da Silva

    FTC EaDFaculdade de Tecnologia e Cincias Ensino a Distncia

    Diretor Geral Waldeck Ornelas

    Diretor Acadmico Roberto Frederico Merhy

    Diretor de Tecnologia Reinaldo de Oliveira BorbaDiretor Administrativo e Financeiro Andr Portnoi

    Gerente Acadmico Ronaldo Costa

    Gerente de Ensino Jane Freire

    Gerente de Suporte Tecnolgico Jean Carlo Nerone

    Coord. de Softwares e Sistemas Rmulo Augusto Merhy

    Coord. de Telecomunicaes e Hardware Osmane Chaves

    Coord. de Produo de Material Didtico Joo Jacomel

    EQUIPE DE ELABORAO / P RODUO DE MATERIAL DIDTICO

    Produo Acadmica

    Gerente de Ensino Jane Freire

    Autor Antonio Andrade do Espirito Santo

    Superviso Ana Paula Amorim

    Coordenao de Curso Geciara Carvalho

    Reviso Final Adriano Pedreira Cattai

    Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

    Produo Tcnica

    Edio em LATEX 2 Adriano Pedreira Cattai

    Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

    Reviso de Texto Carlos Magno

    Coordenao Joo Jacomel

    Equipe Tcnica Ana Carolina Alves, Cefas Gomes, Delmara Brito,

    Fbio Gonalves, Francisco Frana Jnior, Israel Dantas,

    Lucas do Vale, Mariucha Pontes, Alexandre Ribeiro

    e Hermnio Vieira Filho.

    Copyright c

    2006FTC EaD

    Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98. proibida a reproduo total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorizao prvia, por escrito, da FTC EaD -

    Faculdade de Tecnologia e Cincias - Ensino distncia.

    www.ftc.br/ead

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    Sumrio

    Limites 6

    Limites de Funes Reais 61.1 Definies e Exemplos de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2 Noo Intuitiva de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.3.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3.2 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.4 Limite de uma Funo Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.4.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Limite de uma Funo Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.6 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.6.1 Propriedades dos Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.6.2 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.7 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.8 Propriedades dos Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.8.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.9 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    Limites das Funes Transcendentes 242.1 Funes Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.1.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.2 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.2.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.3 Outros Teoremas sobre Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.4 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    Derivadas 32

    Derivada das Funes Reais 323.1 A Reta Tangente e a Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.1.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.2 Derivada da Funo Composta (Regra da Cadeia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.3 Derivada da Funo Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.4 Derivada das Funes Exponencial e Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.4.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.5 Derivada das Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    Tabela de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.5.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6 Derivada das Funes Trigonomtricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.6.1 A Funo Arco Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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    3.6.2 A Funo Arco Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.6.3 As Derivadas das Funes Arco Seno e Arco Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.7 Derivadas Sucessivas ou de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.8 Derivao Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.8.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.9 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    Aplicaes da Derivada 49

    49

    4.1 O Teorema de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.1.1 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.2 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.3 Taxa de Variao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.4 Intervalos de Crescimento e de Decrescimento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51I n t e rp re t a o G e o m t r i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .