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CIRCUITOS RESSONANTES 1

CEFET-MG

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

PRÁTICA DE LABORATÓRIO DE TELECOMUNICAÇÕES

PROF: WANDER RODRIGUES - 3o e 4o MÓDULOS DE ELETRÔNICA - 2003

EXPERIÊNCIA No 2

TÍTULO: CIRCUITOS RESSONANTES

Os circuitos que apresentam uma variação marcante em suas caracterís-

ticas de resposta sobre uma faixa de freqüência são chamados de circuitos sintoni-

zados ou circuitos ressonantes, e esse fenômeno é conhecido como ressonância.

Os circuitos sintonizados são usualmente utilizados em todas as situa-

ções onde existem a necessidade de discriminação entre sinais de diferentes fre-

qüências. Em rádio, ou TV, os circuitos sintonizados são utilizados para separar os

sinais das estações transmissoras.

01 - Ressonância série

Investigaremos o tão conhecido fenômeno da ressonância série.

Considere o circuito série da FIG. 01. A impedância da parte à direita dos

terminais ab é:

−+=

CLjRZ Lab ω

ω 1Equação 01

Em uma freqüência angular ωωr o termo reativo será igual a zero e a impe-

dância, com característica puramente resistiva. Esta condição é conhecida como

ressonância série, e ωωr ou ωωo ou fr é a sua freqüência de ressonância angular ou fre-


CEFET-MG

qüência de ressonância.

Figura 01 - Circuito Série.

Na forma polar, a expressão geral para a impedância, "olhando" a partir

dos terminais ab, é:

−

−+= −

LLab R

CL

tgC

LRZω

ω

ωω

1

1 1

2

2 Equação 02

e a corrente será:

( )abg ZZE

I+

=

( )C

LjRR

EI

Lg ωω 1−++

= Equação 03

Se a resistência do gerador (Rg = 0), então:

abZE

I =

Da equação 01 podemos ver que Zab exibirá uma impedância mínima

igual a RL ohms. Se a fonte de impedância Rg é puramente resistiva, como indicado,

então a corrente está em fase com a tensão aplicada.


CEFET-MG

Se Rg é diferente de zero ele pode ser adicionado a RL para fornecer um

circuito equivalente total Rt, como segue:

gLt RRR += Equação 04

A freqüência de ressonância série pode ser expressa em termos dos pa-

râmetros do circuito igualando-se o termo reativo da equação 01 a zero, como se-

gue:

01 =−C

Lω

ω

012 =−LCω

LC12 =ω Equação 05

LCor

1=== ωωω Equação 06

LCfff or π2

1=== Equação 07

Nota-se que ωωr é independente da resistência do circuito e depende ape-

nas dos valores de L e de C. O resistor RL representa a resistência total entre os

pontos ab. Isto inclui a resistência CC do enrolamento mais a resistência CA que

depende das perdas no núcleo e do efeito Skin ou peculiar.

Uma representação da maneira pela qual jXL, -jXC e j(XL-XC) variam com

a freqüência está mostrada na FIG. 02. Para ωωr, a distância positiva X é igual à dis-

tância negativa X, e a reatância resultante é zero. A maneira pela qual a corrente va-

ria com a freqüência é a conhecida Curva de Ressonância, mostrada na FIG. 03. A

corrente é máxima para ωωr, porque Zab é mínima e igual a RL, se Rg = 0.


CEFET-MG

Figura 02 - Variação da reatância com a freqüência.

Figura 03 - Curva de Ressonância.


CEFET-MG

02 - Largura de faixa de um circuito ressonante série

Seria interessante termos algum meio de descrever a inclinação da Curva

de Ressonância, uma vez que isso indicaria com que precisão poderíamos selecio-

narmos uma freqüência desejada dentre as freqüências adjacentes. O método usa-

do está baseado nas seguintes considerações: Na ressonância, a potência dissipada

em um circuito ressonante está em um máximo. Existirão então duas freqüências,

uma de cada lado de fr, onde a potência dissipada é a metade da potência na resso-

nância. Essas duas freqüências são chamadas freqüência superior (f2) e freqüência

inferior (f1) de meia potência. Lembre-se que, quando falarmos de potência, estamos

nos referindo à potência real que é dissipada nos elementos resistivos.

Para fr: trr RxIP 2=

Em f222

rPP =

Todavia,2

222

trt

RxIRxI =

rr Ix

II 707,0

22 ==

De maneira similar podemos mostrar que para f1,

rr Ix

II 707,0

21 ==

Agora pode ser desejável determinar a largura de faixa do circuito sintoni-

zado pela inspeção dos parâmetros, ao invés de medidas diretas em um circuito

real. Podemos facilmente estabelecer as proporções seguintes, uma vez que temos

desenvolvida a relação entre I na freqüência de ressonância, Ir e I na freqüência de

meia potência I12. O índice 12 é usado para designar um ponto de meia potência


CEFET-MG

ocorrendo em ωω1 e ωω2.

2

112 =rI

I

t

t

r

RE

XR

E

I

I 212

212 +

=

212

22

1

XR

R

t

t

+= Equação 08

212

2

2

21

XR

R

t

t

+=

Resolvendo para a relação entre X12 e Rt, obtemos:

tRX ±=12

Notamos que a reatância resultante é igual à resistência resultante nos

pontos de meia potência. Isso também nos mostra que o ângulo de fase é de mais

ou menos 45o. Para ωω2, o circuito comporta-se como indutivo e o ângulo de fase é

45o enquanto que para ωω1 a reatância resultante é capacitiva e a corrente avança

45o em relação à tensão. A reatância resultante pode ser expressa em termos de L,

C e ωω como segue:

tRC

LX ±=−=12

1212

1ω

ω

CRLC t12212 1 ωω ±=−

0112212 =−± ωω CRLC t


CEFET-MG

Portanto

LC

LCCRCR tt

2

422

12

+±±=ω

Uma vez que o radical é visivelmente muito maior que RtC, o caso onde o

radical é precedido por um sinal negativo resultará em uma freqüência negativa.

Uma freqüência negativa é sem importância para nós e nesse caso é desconsidera-

do. Com apenas o sinal positivo antes do radical, temos duas freqüências possíveis:

LC

LCCRCR tt

2

422

12

++±=ω

As duas raízes são então:

LC

LCCRCRf tt

2

42

22

11

++−== ωπ

LC

LCCRCRf tt

2

42

22

22

++==ωπ

Temos agora três fórmulas desenvolvidas, que nos permitem determinar a

freqüência de ressonância e as freqüências de meia potência, em termos dos parâ-

metros do circuito. A faixa de freqüência entre ωω1 e ωω2 é denominada Largura de

Faixa, Bw. O que significa que Bw = ωω2 - ωω1. Uma palavra de atenção nesta oportuni-

dade: a quantidade Rt inclui as resistências do gerador e da bobina. A resistência da

bobina varia com a freqüência, devido ao efeito Skin etc., o que significa que Rt de-

vida a RL também varia com a freqüência. O valor de RL não será necessariamente

o mesmo em f1, fr , ou f2.

Embora a resistência CA da bobina varie com a freqüência, a relação en-

tre a reatância e a resistência da bobina permanece constante aproximadamente

dentro da largura de faixa, na maioria dos casos. Como RL aumenta com a freqüên-


CEFET-MG

cia, da mesma forma que XL, a relação de XL para RL permanece aproximadamente

constante. A quantidade XL/RL é conhecida como sendo o Q da bobina, ou QL e

permite-nos analisar de forma conveniente o circuito sintonizado. Enquanto os fabri-

cantes de bobinas não têm comumente gráficos de RL versus freqüência, as curvas

de QL versus freqüência são facilmente disponíveis.

Vejamos se podemos relacionar as freqüências de ressonância e de meia

potência diretamente com os parâmetros do circuito. Se multiplicarmos ωω1 e ωω2, o

resultado é:

LCCL

CRLCCR tt 14

422

2222

21 =−+

=ωω

Mas LCr

1=ω ; Portanto

221 rωωω =

Ou 221 rfff = . Isto é o mesmo que escrever

2

1

ff

ff r

r

= Equação 09

O termo largura de faixa, como temos usado até agora, não nos diz real-

mente muito, a menos que a freqüência de ressonância seja especificada. Por

exemplo, se você dissesse que a largura de faixa de um circuito ressonante série é

de 100 Hz, poderia assegurar que o circuito é também de características aguda de

sintonia? Certamente, não. Se fr é 500 Hz, 100 Hz seria uma grande porcentagem

de fr, resultado em uma curva achatada de resposta, baixa seletividade. Se fr fosse

1 MHz, a sintonia seria muito aguda. Portanto, o que realmente necessitamos como

um indicador de mérito, para julgarmos a seletividade de um circuito sintonizado, é a

relação de largura de faixa com a freqüência de ressonância. Esta relação algumas

vezes referida por unidade de largura de faixa ou apenas por largura de faixa


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(Bw). Podemos, assim, definir:

wrr

Bdeunidadeporf

ff=

−=

− 1212

ωωω

Equação 10

e ωωω ∆=− 12 como largura de faixa.

Portanto, vamos desenvolver uma relação simples entre a expressão an-

terior e os parâmetros do circuito. Mostramos que:

LC

LCCRCR tt

2

422

2

++=ω Equação 11

LC

LCCRCR tt

2

422

1

++−=ω Equação 12

LCr

1=ω Equação 13

Em geral, f2 - fr é diferente de fr - f1. Ou seja, as freqüências de meia po-

tência não são igualmente espaçadas em relação à freqüência de ressonância. Se

todavia, o Q total do circuito (Qt) é 10, o erro é desprezível e as freqüências de meia

potência podem ser consideradas igualmente espaçadas de fr. Portanto se conhe-

cermos o Q do circuito, podemos escrever, quando Qt ≥≥ 10:

t

rr

wr Q

B222

ωωωω +=+= Equação 14

t

rr

wr Q

B221

ωωωω −=−= Equação 15

Se o Q do circuito é cerca de 10 ou mais, a tensão através de L ou C será

também máxima em ωωr e apresentará uma curva de resposta de freqüência similar


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aquela da corrente. A mesma largura de faixa, Q e outras relações podem ser usa-

das. Por exemplo, o Q do circuito pode ser avaliado medindo pontos de tensão igual

a 0,707 da tensão máxima.

03 - AUMENTO DA TENSÃO RESSONANTE:

Um fenômeno interessante e útil relacionado com os circuitos ressonantes

série é o grande aumento da tensão que ocorre através de L e C para ωωr quando Qr

é grande. Podemos provar este fato da seguinte maneira.

A amplitude da tensão através do capacitor é Ec = I.XC, mas na ressonân-

cia I = Ir = E/R. Portanto, Ecr = E.XCr / R, mas para ωωr, XCr = XLr ou

ECr = EXLr / R = EQtr, Equação 16

onde Qtr é o Q do circuito na ressonância.

Notavelmente, a tensão no indutor ou capacitor na ressonância pode ser

Qtr vezes maior do que a tensão aplicada. Se uma tensão de 10 Volts é aplicada a

um circuito ressonante série tendo um Qtr = 100, a tensão no indutor ou capacitor

será de 1000 Volts. Quando circuitos desse tipo são projetados, a tensão de trabalho

do capacitor deve ser determinada nessa base. Realmente, ωωr não é exatamente a

freqüência para a qual EL ou Ec é um máximo, mas a diferença é pequena, se Qtr é

maior ou igual a 10. A freqüência exata para a qual Ec é um máximo é:

2

11

trr Q

−= ωω Equação 17

que resulta aproximadamente abaixo de ωωr. Se Qtr = 10, essa freqüência é essenci-

almente a mesma que ωωr e a tensão máxima do capacitor será aproximadamente

igual à tensão do capacitor na ressonância.


CEFET-MG

A tensão através da bobina na ressonância ( EL ) é complicada pelo fato

que L tem uma resistência ( RL ) associada. Portanto, usaremos ZL ao invés de XL.

( )22 LRZ LL ω+=

uma vez que RL não é usualmente especificada, mas QL é especificada, podemosescrever:

+=2

222

L

LLLL

RZ

ωωω

11

2 +=Lr

LL QZ ω

11

2 +==Lr

rLLrrLr QR

EZIE ω

11

2 +=Lr

trLr QEQE

10≥= LrtrLr QquandoEQE Equação 18

A freqüência exata para a qual a tensão da bobina é máxima é ligeira-

mente superior a e é dada por:

221

1tr

r

Q−

=ω

ω Equação 19

outra vez, se Qtr é maior ou igual a 10, a tensão da bobina pode ser considerada

máxima para ωωr.

Uma nota de alerta: Sempre que você fizer qualquer cálculos envolvendo

o Q da bobina nas proximidades de ωωr, esteja certo de usar o valor de Q correspon-


CEFET-MG

dendo a ωωr. QL pode variar largamente sobre uma grande faixa de freqüências, e

portanto, é melhor medir o Q da bobina para a freqüência de interesse, ou usar os

dados do fabricante, que podem representar QL versus freqüência.

04 – ANTI-RESSONÂNCIA PARALELA

Investigaremos, em seguida, o fenômeno da ressonância paralela, ou an-

ti-ressonância, como ele é algumas vezes chamado. O circuito da FIG. 04 ilustra

completamente um circuito geral anti-ressonante.

A impedância “vista”, olhando a partir dos terminais de entrada pode vari-

ar muito, dependendo do Q dos circuitos indutivos e capacitivos. Para freqüências

abaixo da freqüência de ressonância, a impedância do ramo indutivo é pequena e

uma grande corrente fluirá através da bobina. A corrente através do ramo capacitivo

será pequena, porque XC é grande para baixas freqüências. A corrente da linha flu-

indo nos terminais é, portanto, grande. Em altas freqüências, o ramo indutivo oferece

uma alta impedância, mas o ramo capacitivo tem uma baixa impedância, novamen-

te, a corrente da linha é relativamente alta. Qualquer freqüência intermediária, a im-

pedância de entrada será maior e a corrente da linha será mínima. Essa não é ne-

cessariamente a mesma freqüência para a qual a corrente está em fase com a ten-

são aplicada. Se Q for baixo, da ordem de 5, mesmo assim, o erro está em torno de

1,0 % e, portanto, a impedância máxima será considerada como que ocorrendo à

mesma freqüência, que resulta em um fator de potência unitário. Então para uma

determinada freqüência que nós definimos como a freqüência anti - ressonante (far),

a impedância vista a partir dos terminais de entrada é puramente resistiva. Nosso

primeiro objetivo é determinar como esta freqüência está relacionada com os parâ-

metros do circuito.


CEFET-MG

Figura 04 - Circuito ressonante paralelo.

Uma vez que estamos tratando com um circuito paralelo, é mais conveni-

ente trabalhar com as admitâncias.

CCLLCLenen jXRjXRZZZ

Y−

++

=+== 11111

Racionalizando cada termo, obtemos:

2222CC

CC

LL

Llen XR

jXR

XR

jXRY

++

++

−=

Separando, e então agrupando as componentes resistivas e reativa,

+

−+

+

+

++

= 22222222LL

L

CC

C

CC

C

LL

Len XR

XXR

Xj

XRR

XRR

Y

Para Yen ser puramente resistiva, a componente reativa (susceptância ) de Yen deve

ser nula. Portanto, vamos igualar a susceptância a zero e resolver para aquele valor

de ωω, para o qual a afirmação anterior é verdadeira.


CEFET-MG

02222 =+

−+ LL

L

CC

C

XR

X

XR

X

( ) ( ) 02222 =+−+ CCLLLC XRXXRX

01

222

222

=

+−+

CRL

CLR

CL

ωω

ωω

01

22

2222222 =

+−+

C

RCLCLR C

L ωω

ωω

( ) 012222224222 =+−+ CL RCLCCLRC ωωωω

Fatorando ωω2C fora de cada termo, temos:

( ) 01222222 =+−+ CL RCLCLCR ωω

Expandindo e coletando os termos,

0222222 =−+− LCRRLCCL LCωω

( )2

2

222

22

C

L

C

L

CRLLCCRL

RLCCLCRL

−−=

−−=ω

2

21

C

LAR CRL

CRL

LC −−

==ωω Equação20

Nota-se que a freqüência anti-ressonante paralela é realmente depen-

dente das resistências do circuito. Nos circuitos série, a freqüência de ressonância

era independente das resistências do circuito. A equação 20 é bastante interessante.

Ela indica que a ressonância pode ser estabelecida não apenas variando ωω, L ou C,

mas também pelo controle de RL ou RC. Isso, entretanto, raramente é feito na práti-

ca, visto que RL e RC tendem a deteriorar a seletividade do circuito.


CEFET-MG

Na maioria dos circuitos para comunicações, a resistência no ramo capa-

citivo é desprezível e a do ramo indutivo é pequena se o Q da bobina é razoavel-

mente alto. Então, L será usualmente maior do que 2LCR ou 2

CCR , e a equação 20 se

reduz a:

LCAR

1=ω

que é a mesma do circuito ressonante série. Se 2LCR ou 2

CCR forem maiores do que

L, a quantidade sob o radical será negativa, o que resulta em um valor imaginário de

ωωAR. Isto é alguma coisa que não podemos gerar fisicamente e portanto, não tem

outro significado, a não ser o de que não existirá a condição de ressonância em

qualquer freqüência. Se RL = RC , a quantidade sob o radical é igual a 1 e, portanto,

LCAR

1=ω

para este caso. Se RL igualar a RC e também igualar a CL , ωωAR é indeterminado

e o circuito aparece resistivo para todas as freqüências.

Em circuitos anti-ressonantes práticos, a resistência no ramo capacitivo é

usualmente desprezível e a equação 20 reduz-se a:

LCRL

LCL

AR

21 −=ω

que pode ser manipulada em:

2

221LLCRL

LCL

AR

−=ω


CEFET-MG

Elevando ao quadrado ambos os lados e substituindo a freqüência ressonante série

ωωr por LC1 , obteremos:

2

22

2

22

1

L

RL Lr

rAR

ωωω−

=

−= 22

222 1

LR

r

LrAR ω

ωω

e desde que LLr QRL =ω , temos:

2

11

LrAR Q

−= ωω Equação 21

que indica que as freqüências ressonantes série e paralela são quase idênticas

quando QL é grande nas proximidades da ressonância.

Note que o valor de QL na equação 21 está baseado no Q da bobina para

ωωr e não para ωωAR. Uma expressão ligeiramente diferente para ωωAR é obtida se o Q

da bobina para ωωAR é introduzido. Elevando ao quadrado ambos os lados temos:

−= 2

222 1

LLCRL

LCARω

Substituindo 2rω por LC1 e separando o termo entre parênteses em dois termos,

−= 2

2

22

222 1

LR

LL

rRar ω

ωω

Multiplicando numerador e denominador do termo 22 LR por 2ARω


CEFET-MG

−= 222

2222 1

LR

ARr

ARrAR ωω

ωωω

−= 22

222 1

LR

ARrAR Qω

ωωω

onde QL agora é o Q da bobina determinado para ωωAR . Resolvendo para ωωAR, obte-

mos

2

11

L

rAR

Q+

=ω

ω Equação 22

Comparando as equações 21 e 22, vemos que, embora o Q da bobina

para ωωr possa diferir daquele para ωωAR, a freqüência anti-ressonante ωωAR é ainda es-

sencialmente igual a ωωr se QL está em torno de 10 ou mais.

Uma interpretação física das condições do circuito para ωωAR pode ser ob-

tida da figura 04. A corrente em cada ramo é determinada pela impedância deste

ramo. A corrente no ramo capacitivo (IC) adiantará da tensão aplicada de um ângulo

θθL. Podemos também resolver IL através de uma componente em fase e outra em

quadratura. IL.cos θθL e IL.sen θθL, respectivamente. Para ωωAR, as amplitudes e os ân-

gulos de fase de IL e IC não precisam ser os mesmos, uma vez que RL e RC podem

ser diferentes. As componentes em quadratura IC.sen θθC e IL.sen θθL se cancelam, o

que resulta em uma corrente total em fase de IC.cos θθC mais IL.cos θθL. A impedância

vista "olhando" a partir dos terminais de entrada da figura 04 para ωωAR é então uma

quantidade finita igual à tensão aplicada dividida pela corrente resultante em fase.

Quando o Q de cada ramo é alto, de forma que a reatância do ramo é

muito maior que a resistência no mesmo ramo do circuito, as correntes em quadratu-

ra serão muito maiores que as correntes em fase. Isso está ilustrado na figura 05,


CEFET-MG

diagramas de corrente. A corrente resultante em fase para ωωAR é entretanto baixa, o

que significa que a impedância de entrada na anti-ressonância é mais alta que o

mais alto Q do circuito. Para ωωAR, as correntes do circuito podem ser bastante gran-

des, mas a sua soma vetorial, se Q é alto, resulta em uma corrente de linha peque-

na.

Figura 05 - Diagramas de Corrente.

05 - CIRCUITO ANTI-RESSOANTE PRÁTICO

A FIG. 06 ilustra um circuito anti-ressonante prático comumente usado em

trabalhos de comunicação. Temos desenvolvido a equação 21, que expressa a fre-

qüência ressonante da FIG. 04. Isto, com RC = 0, é o mesmo que a FIG. 06 uma vez

que de nossos objetivos primários é obter experiências na manipulação e interpreta-

ção das equações com números complexos, vamos iniciar de leve a nossa análise

da FIG. 06. Vamos primeiro verificar a equação 21.


CEFET-MG

Figura 06 - Circuito anti-ressonante prático

CLLenen jXjXRZ

Y−

++

== 111

CLL

LLen X

jXR

jXRY

122 +

+−

=

+

−++

= 2222

1

LL

L

CLL

Len XR

XX

jXR

RY

jBGYen +=

( )22

22

22 _ LLC

CLLL

LL

Len XRX

XXXRj

XRR

Y+−+

+= Equação 23

Para Zen ser puramente resistiva, a componente reativa de Yen deve ser igual a zero.

Isto é:

( ) 022

22

=+−+

LLC

CLLL

XRX

XXXR

a expressão anterior é verdadeira quando o numerador é zero ou


CEFET-MG

022 =−+ CLLL XXXR

Resolvendo para o valor de ωω que faz a expressão igual a zero,

0222 =−+CL

LRL ωωω

2

2

2

2

22 1

LR

LCLR

CLL LL −=−=ω

2

21L

RLC

LAR −==ωω

Isto pode ser manipulado na forma da equação 21 se fazermos novamente

LLr R

LQe

LCωω == 12 .

22

222

L

R

r

LrrAR ω

ωωω −=

2

22

L

rrAR Q

ωωω −=

2

11

LRAR Q

−= ωω

que verifica a equação 21.


CEFET-MG

06 - IMPEDÂNCIA DE ENTRADA NA RESSONÂNCIA

A impedância para ωωAR, "vista" olhando a partir dos terminais de entrada

da FIG. 05, é facilmente determinada examinando-se a equação 23. Para ωωAR, a

componente reativa de Yen é zero, o que faz a admitância de entrada igual a G. Por

outro lado, Zen = ZAR = RAR = 1/G; onde RAR é a impedância anti-ressonante.

LL

L

L

L

L

L

L

LLAR

XQ

Q

XR

XR

RXR

R1

111 2

2

2

2

22 +

=+

=+=

Todas as reatâncias são tomadas para ωωAR.

+= 2

11

LLLAR Q

QXR Equação 24

se QL é grande, digamos 10 ou mais,

LLar QXR ≈

Podemos expressar RAR em termos de XC resolvendo a equação do circuito prático

anti-ressonante para XC em termos de XL e podemos, em conseqüência, obter:

022 =−+ CLLL XXXR

L

L

L

L

LLC

X

X

R

XRX

X1

1 2

2

22 +=+=

+= 2

11

LLC Q

XX Equação 26


CEFET-MG

Da equação 26 vemos que XC não pode mais igualar a XL em ωωAR, mas a

diferença é pequena se QL é grande. Resolvendo para XL a equação 26, obtemos:

+=

2

11

1

L

CL

Q

XX Equação 27

e substituindo na equação 24, resulta

LCAR QXR ≈ Equação 28

A equação 28 pode ser usada para expressar RAR diretamente em termos dos pa-

râmetros do circuito como segue:

CRL

CRL

QXRLLar

arLCAR ===

ωω

Equação 29

Da equação 29, formas adicionais úteis expressando RAR podem ser derivadas, por

exemplo:

LLL

L

L

C

L

LCAR RQ

RX

R

X

R

XXR 2

22

=≈≈= Equação 30

Se a resistência está presente no ramo capacitivo, ela poderia ser adicionada a RL

quando determinamos RAR. Por exemplo,

( ) CL

C

CL

L

CL

LC

CLAR RR

X

RRX

RR

XX

CRRL

R+

=+

=+

=+

=22

Equação 31

A equação 31 não é exata, mas é suficientemente precisa quando os fatores de mé-

rito do circuito são em torno de 10 ou mais.


CEFET-MG

O Qtotal do circuito paralelo quando a resistência está' presente em ambos

os ramos pode ser tomado como:

CL

Ltotal RR

XQ

+= Equação 32

quando Qr é 10 ou mais.

Com a ajuda das várias expressões para RAR pode ser mostrado que as

correntes dos ramos são aproximadamente Qt vezes a corrente da linha para ωωAR.

Façamos Is igual à corrente de linha forçada por alguma fonte Eg a partir dos termi-

nais de entrada da FIG. 05. Podemos escrever as seguintes expressões:

ARg

g RI

E=

Lg

g ZI

E=

se Qt é alto, portanto,

tL

Lt

L

AR

g

L QXXQ

ZR

II

=≈= Equação 33

Desde que CL XX ≈ para ωωAR, quando Qt é grande, vemos que:

tg

C QII

= Equação 34


CEFET-MG

Observações Pessoais:


CEFET-MG

Questionário da Exp. No 02

Nome: _____________________________________ No _____ Turma: _____

01 - Dado o circuito série abaixo, determine: a freqüência de ressonância, a largurade faixa, a corrente na ressonância se a tensão de entrada é de 15/0o V, e apotência dissipada no resistor de 60 Ω na ressonância.


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02 - Dado o circuito ressonante abaixo, determine: a freqüência de ressonância, acorrente na ressonância e as duas freqüências de meia potência.


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03- Dado o circuito sintonizado paralelo abaixo, determine: a freqüência de anti-ressonância, a tensão de saída, a corrente na indutância, a potência dissipadano circuito tanque, a largura de faixa e o fator de mérito do circuito.


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04 - Para o circuito sintonizado paralelo, determine: a freqüência de ressonância, acorrente no gerador na ressonância, a largura de faixa e o fator de mérito docircuito, a tensão de saída e a potência dissipada no circuito.


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05 - Represente "eo" versus "freqüência" para o circuito abaixo. Explique a funçãodo circuito.

Considere: C1 = 0,1 µF C2 = 0,02 µF L1 = 1H L2 = 0,6H


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06- Projete um circuito de filtro que selecione a freqüência de 10kHz e faça o blo-queio da segunda harmônica, utilizando o princípio da ressonância.

Guias de Telecomunicações

Wander Rodrigues

CEFET – MG 2003

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