Circunferência e círculo   (condições que os definem)   

Pré-requisitos:        Saber calcular a distância entre dois pontos 

Objectivos deste conteúdo        Saber escrever a equação de uma circunferência e a condição que

define o círculo a partir da medida raio e das coordenadas do centro.         Saber determinar a medida raio e das coordenadas do centro da

circunferência e do círculo a partir das condições que as definem. Saber identificar visualmente a equação de uma circunferência e

a condição que identifica o círculo. Resolução de exercícios

 Distância entre dois pontos :  São dados os pontos A( -5 , 2) e B (7 , -3) Determine a distância entre os pontos A e B. 

Equação da circunferência Imaginemos o ponto P (4 , 3) e um ponto Q, qualquer de coordenadas (x , y), os quais estão a uma distancia “d” um do outro.

        

A distância entre estes dois pontos e as suas coordenadas poderá ser relacionada pela expressão:

 d2 = ( x – 4) 2 + (y – 3) 2                                    recorde:        d2 = ( x – x1) 2 + (y – y1) 2

 Se mantivermos a distância “d” constante, e se unirmos todos os pontos à mesma distância “d” do ponto dado (ponto P), obteremos a figura abaixo, ou seja, uma circunferência.   

    

Concluiremos assim , facilmente, que a equação de uma circunferência será dada pela expressão: 

r2 = ( x – x1) 2 + (y – y1) 2

  ou seja   

( x – x1) 2 + (y – y1)2 = r2

 em que: r        é a medida do raio da circunferênciax1       é a abcissa do centro da circunferênciay1       é a ordenada do centro da circunferência Em relação ao exemplo acima, uma circunferência de centro P (4 , 3) e de raio igual 8, será definida  pela equação 

( x – 4) 2 + (y – 3) 2 = r2

 

Condição que define o círculo 

Como sabemos, um círculo é zona interior de uma circunferência, incluindo esta. E a distância entre qualquer ponto do círculo e o seu centro é sempre inferior ou, no máximo, igual ao raio da circunferência que o contêm.

 Assim, por analogia à equação da circunferência, obteremos a condição que identifica o círculo, isto é, a seguinte expressão: ( x – x1) 2 + (y – y1)2  r2

 

No caso particular acima (centro no ponto P (4 , 3) e raio igual a 8), será: ( x – 4) 2 + (y – 3)2  64

topo Exercícios de aplicação :  1 — Escrever a condição que define as figuras geométricas abaixo indicadas, cujas coordenadas dos centros e medidas dos respectivos raios se indicam. 

Figura geométrica Coordenadas do centro

Medida do raio

a) circunferência (–5 , 4) 4b) círculo ( 2 , 7) 11c) circunferência ( 8 , –5) 7d) circunferência (–7 , -6) 15e) círculo ( 3 , 2) 10f) circunferência (–5 , 11) –12g) círculo ( 13 , –2) 0

Ver solução   2 —  Dadas as condições abaixo indicadas, diga qual a figura geométrica que identifica e o respectivo raio e coordenadas do centro: ( x – 15) 2 + (y + 10)2 = 169( x – 2) 2 + (y – 5)2  11

( x +7) 2 + (y + 2)2 = 36( x + 7) 2 + y2 = 25x 2 + (y – 2)2  13

Ver solução. 

 3 — Escreva as condições que definem as figuras geométricas abaixo representadas:  

                

3 — Um quadrado tem dois vértices opostos situados nos pontos P(-3 . 2) e Q ( 4 , -5).

a)      Determine as coordenadas dos outros dois vértices.b)      Determine a equação de uma circunferência circunscrita ao quadrado

dado.c)      Determine a área da superfície compreendida entre a circunferência e o

quadrado. 4 — Sabe-se que os pontos A( -1 , 5) e D (-1 , 1) são os vértices do mesmo lado de um rectângulo cujo lado maior mede 10 cm.

a)      Deduza as coordenadas dos outros vértices.b)      Determine a condição de um círculo, excluindo a linha da

circunferência, com centro no ponto A e que passa pelo ponto C (vértice diametralmente oposto).

c)      Escreva a condição que define o conjunto de pontos do círculo e que sejam exteriores ao rectângulo (vidé conteúdo dos domínios planos).

 

5 — A figura ao lado mostra um círculo de centro no ponto Q ( -1 , 7) cortado pelos segmentos AB e BC. Sabe-se que o seu raio é 5.

a)      Determine o comprimento do segmento AB.

b)      Deduza as coordenadas dos pontos A, B e C.

c)      Escreva a condição que define o conjunto de pontos sombreados.

d)         

   6 — A figura ao lado mostra uma esfera de centro no ponto Q(5 , 7 , 9), cortada por um plano β de cota igual a 11.

a)      Escreva a equação da superfície esférica (antes de ser cortada), sabendo que o seu raio é de 4 cm.

b)      Escreva a condição que define a esfera depois de sofrer o corte pelo plano β.

c)      A superfície resultante do corte da esfera pelo plano β resultou num círculo. Determine o valor exacto do seu raio.

d)      Calcule a área da superfície de corte.e)      Escreva a condição que define o conjunto

de pontos resultante do corte da esfera pelo plano β.

  

  Solução da questão 1

Figura geométrica Coordenadas do centro

Medida do raio

solução

a) circunferência (–5 , 4) 4 ( x + 5) 2 + (y – 3)2 = 16b) círculo ( 2 , 7) 11 ( x – 2) 2 + (y – 49)2  121c) circunferência ( 8 , –5) 7 ( x – 8) 2 + (y + 5)2 = 7d) circunferência (–7 , -6) 15 ( x + 7) 2 + (y + 6)2 = 225e) círculo ( 3 , 2) 10 ( x – 3) 2 + (y – 2)2  10f) circunferência (–5 , 11) –12 Não há circunferências

deraio negativog) círculo ( 3 , 2) 0 Não há circunferências

deraio igual a zerotopo

  

Solução da questão 2 ( x – 15) 2 + (y + 10)2 = 169 Circunferência de r = 13 e centro em ( 15 , – 10)( x – 2) 2 + (y – 5)2  11 círculo de r = 11 e centro em ( 2 , 5)( x +7) 2 + (y + 2)2 = 36 Circunferência de r = 6 e centro em (– 7 , – 2)( x + 7) 2 + y2 = 13 Circunferência de r = 13 e centro em (– 7 , 0)x 2 + (y – 2)2  81 círculo de r = 9 e centro em ( 0 , 2)