Colégio Geração Valparaíso - GV

Professor de Matemática: Engº. Gustavo H. R. Salesse

POTENCIAÇÃO

OPERAÇÕES COM

POTÊNCIAS

POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL

Um produto de fatores iguais pode escrever-se de forma abreviada.

2x2x2x2 = 24

4 fatores

A isto chamamos POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL

24

POTÊNCIA

2 é a BASE (indica o fator que se repete)

4 é o EXPOENTE (indica o número de vezes que o fator se repete)

ATENÇÃO!!

24 é diferente de 2x4

2x4 = 8

24 = 2x2x2x2=16

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS COM A MESMA BASE

DÁ-SE A MESMA BASE E ADICIONAM-SE OS EXPOENTES

Exemplo73x72 = (7x7x7) x (7x7)

= 7x7x7x7x7= 75

=73+2

ENTÃO, 73x72 = 73+2 = 75

POTÊNCIAS DE POTÊNCIAS

DÁ-SE A MESMA BASE E MULTIPLICAM-SE OS EXPOENTES

(52)3 = 52 x 52 x 52

= 52+2+2

= 53x2 = 56

ENTÃO, (52)3 = 52x3

Exemplo

VAMOS PRATICAR

UM BOCADO...

A 105 x 103

105x103 = ___

B 1015

D 10x5 + 10x3C 108

108

A 168

164x16x163 = ___

B 1612

D nenhumaC 164x163

168

A 20 x 25

54x25 = ___

B 58

D 56C 54x53 = 57

56

PotenciaçãoAri vai começar o programa de condicionamento físico para as competições escolares municipais.O programa consiste numa corrida em volta do campo. O número de voltas deve dobrar a cada semana.

Período Nº de voltas

1ª semana 2

2ª semana 2 . 2 = 4

3ª semana 2 . 2 . 2 = 8

4ª semana 2 . 2 . 2 . 2 = 16

Para determinar o número de voltas na 3ª semana, devemos fazer:

2 x 2 x 2 3 fatores iguais

Para determinar o número de voltas na 4ª semana, devemos fazer:

2 x 2 x 2 x 2 4 fatores iguais

Para determinar o número de voltas na 2ª semana, devemos fazer:

2 x 2 2 fatores iguais

Representamos essas multiplicações abreviadamente por:

2 x 2 x 2 x 2 = 24

2 fatores

3 fatores

4 fatores

2 x 2 = 22

2 x 2 x 2 = 23A essa operação

chamamos de

POTENCIAÇÃO

Potenciação - Indica uma multiplicação de fatores iguais.

53 = 5 . 5 . 5 = 125

53 =

?

Base = FATOR QUE SE REPETE

Potência = resultado da operação.

Expoente = fala para base quantas vezes ela vai se multiplicar.

Leitura de Potências

Expoente 2: (lê-se: ao quadrado) - 72 - sete elevado ao quadrado.

Expoente 3: (lê-se: ao cubo) - 53 – cinco elevado ao cubo.

Expoente 4: (lê-se: quarta potência) - 34 – três elevado a quarta potência.

Expoente 5: (lê-se: quinta potência) - 25 – dois elevado a quinta potência.

Expoente 8: (lê-se: a oitava potência) - 48 – quatro elevado a oitava potência.

Propriedades Básicas da Potenciação

Todo número elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo.

Todo número elevado a expoente 0 é igual a 1.

1 elevado a qualquer expoente é igual a 1.

a0 = 1

a1 = a

1n = 1

30 = 1; 50050 = 1; (1/5)0 = 1; (0,25)0 = 1

41 = 4; 19881 = 1988; (1/8)1 = 1/8; (0,25)1 = 0,25

14 = 1; 11875 = 1; 1(1/5) = 1; 1(0,25) = 1

OBS: Quando um número não tiver expoente escrito, por convenção, o número esta elevado ao expoente 1.

Propriedades Operatórias da Potenciação

am.am=am+

n

Repetimos a base e somamos os expoentes.

1. Produto de potência de mesma base.

85 . 87 = 85 + 7 = 812; 12 . 12 = 12 1 + 1 = 122; 52 . 53 = 52 + 3 = 55

am:m=am-

n

Repetimos a base e subtraimos os expoentes.

47 : 45 = 47 - 5 = 42; 113 : 11 = 113 - 1 = 112; 43 : 44 = 4 3 - 4 = 4- 1

2. Divisão de potência de mesma base.

Propriedades Operatórias da Potenciação

3. Potência de potência.

(am)n=am.n

Repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(35)7 = 35 . 7 = 335; (102)3 = 10 2 . 3 = 106

4. Potência de um produto ou de um quociente.(a.b)n=an.

bn

(a/b)n=an/bn

Elevamos cada fator ao expoente.

Elevamos numerador e denominador ao expoente.

(2 . 3)7 = 27 . 37; (12 : 5)3 = 123 : 53

Exercícios

1. Em 72 = 49, responda:

a) Quem é a base?

b) Quem é o expoente?

c) Quem é a potência?

2. Em 25 = 32, responda:

a) Quem é a base?

b) Quem é o expoente?

c) Quem é a potência?

a) base: 7

b) expoente: 2

c) potência: 49

a) base: 2

b) expoente: 5

c) potência: 32

Exercícios

4. Calcule as potências:

5. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade do produto de potências de mesma base:

3. Escreva na forma de potência:

b) 5 . 5 . 5 . 5 =

a) 4 . 4 =

c) 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = d) 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 =

42 54

15 86

a) 1300 =

b) 122 = c) 2850 =

d) 25 =

e) 03 =

f) 1081 =

1

12 . 12 = 144

1

2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

0

1

b) 4- 2 . 46 =

a) 25 . 23 =

d) 33 . 36 . 3-1 =

c) 83 . 8-1 =25 + 3 = 28

4-2 + 6 = 44

83 + (- 1) = 82

33 + 6 - 1 = 38

Exercícios

7. Reduza a uma só potências, aplicando a propriedade da potência de potência:

8. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade potências de um produto ou quociente:

6. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade do quociente de potências de mesma base:

a) (2 . 5)3 =

c) (4 : 7)2 =

b) (4 . 6)5 =

d) (3 . 9)4 =

23 . 53

45 . 65

42 : 72

34 . 94

a) (32)3 =

b) (22)5 =

c) (65)x =

d) (5-2)3 =

b) 55 : 53 =

a) 49 : 46 =

c) 6 : 65 =

d) 108 : 103 =

49-6 = 43

55-3 = 52

61-5 = 6- 4

108-3 = 105

32.3 = 26

22.5 = 210

65x

5(- 2).3 = 5- 6

NÚMEROS RACIONAIS FRAÇÕES

A Joana e o André parecem terem voltado ao tempo da pré-primária! Toda a tarde fazem figurinhas, pintam, contam … que giro!

Afinal, já estão no 6º Ano! Estão trabalhando com números racionais, frações … sei lá … nomes esquisitos ! ! !

Anda ! Vamos olhar!eh..eh!!?

Escreve para cada caso a fração que representa a porção pintada.

3

2

4

1

8

8

3

3

2

3

3

4

4

5

4

4

6

3

Ah!...

Muito bem! Afinal tu também gostas destas brincadeiras…

Então, agora, responde-me :

De todas aquelas frações, quais as que representam números menores que 1?

Parabéns! Está correto.

3

2

4

1

6

3

Concluímos que: Quando o numerador é menor que o denominador, a fração representa um número menor que 1. Chamam-se FRAÇÕES PRÓPRIAS.

Números menores que a unidade?

E quais daquelas frações representam números maiores que 1?

2

3

3

4

4

5

Parabéns, outra vez!

Concluímos que: quando o numerador é maior que o denominador, a fração representa um número maior que 1. Chamam-se FRAÇÕES IMPRÓPRIAS.

Números maiores que a unidade?

E quais representam o número 1?

4

4

8

83

3

Parabéns, pela 3ª vez!

Concluímos que: Uma fração representa o número 1 (a unidade) quando o numerador é igual ao denominador.

Representam a unidade?

Agora eu vou brincar contigo!

2

1

100

5 10

25

4

3

1000

8 10

96

100

312

1000

12

Descubra as duas frações que são “diferentes” neste grupo.

Pois é… também acertou. As diferentes são:

2

1

e

4

3

As outras são: FRAÇÕES DECIMAIS, ou seja, frações cujo denominador é 10, 100, 1000… (potência de base 10).

Considera as frações:

Mais um desafio para você:

Escreva sob a forma de numeral decimal, o número representado por cada uma das frações decimais.

10

25

100

5

1000

12 100

312

10

96

Frações com igual denominador….

Na festa de aniversário da Joana, todos os bolos estavam cortados em doze fatias iguais. O gráfico refere-se ao número de fatias de cada bolo, que se comeu durante a festa.

Amêndoa

Chocolate

Noz

0

2

4

6

8

10

12

Nº

de

fa

tia

s c

om

ida

s

12

8

Escreve a fração correspondente ao número de fatias que se comeu de cada bolo.

Amêndoas Chocolate Noz12

4

12

11

12

4

12

8

12

11

Conclusão: Frações com igual denominador, representa um número maior a que tiver maior numerador.

Frações com igual numerador…

A mãe do André pôs-lhe um problema: tenho uma barra de chocolate para repartir por duas, três ou quatro crianças. Em que caso, ficará cada criança com mais chocolate?

Quando são só duas crianças.

4

1

3

1

2

1

Concorda com o André?

Conclusão: Frações com igual numerador, é maior a que tiver menor denominador.

2

1

3

1

4

1

O André pensou, fez um esquema e depois respondeu.

E se as frações tiverem diferentes numeradores e diferentes denominadores? Como fazer?

4

2

5

1é maior ou menor que ?

É fácil !!!

5,04:24

2 2,05:1

5

1

2,05,0

Logo

5

1

4

2

Podemos dividir o numerador pelo denominador e comparar os resultados.

FRACÕES EQUIVALENTES

A Educadora deu a cada um dos meninos: Zezinho, Pedrinho e Joãozinho, uma folha A4 para pintarem como se fosse uma parede.

O Zezinho pintou da folha, o Pedrinho e o Joãozinho . Qual deles pintou mais?

2

1

4

28

4

Zezinho Pedrinho Joãozinho2

1

8

4

4

2

5,08

4

4

2

2

1

Afinal, pintaram todos a mesma porção de folha. Frações equivalentes são frações que representam o mesmo número.

8

4

4

2

2

1 8

4

4

2

2

1

Repara:

x 2

x 4

x 2

x 4

: 2

: 4

: 2

: 4

ou

Princípio de equivalência de frações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos de uma fração pelo mesmo número inteiro, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à dada.

Faz você:

Por exemplo:

x 3

x 3

: 5

: 5

x 2

x 2

5

4

15

12

30

15

6

3

9

1

18

2

Simplificar uma fração é, obter uma fração equivalente com termos menores.

Então, simplifica até ao máximo a fração:

ou

: 2 : 2

: 2 : 2

: 12

: 12

3

2 não se pode simplificar mais. Chama-se FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.

36

24

18

12

9

6

3

2 36

243

2: 3

: 3

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Exercícios

Apostila de Matemática

Página 22

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07-

a) A fração 4/18, a partir da fração 2/9:

R: 2/9 = 4/18 (x 2)

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07-

b) A fração 4/15, a partir da fração 12/15:

R: 12/15 = 4/5 (: 3)

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07- . Agora, converse com o seu professor e colegas e elaborem uma regra para encontrar uma fração equivalente a outra:

R: Para encontrar uma fração equivalente a outra, devemos multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma das frações (ao mesmo tempo) por um mesmo número diferente de zero.

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08-

a) 6/8 = 42/56b) 44/121 = 4/11c) 20/200 = 2/20d) 12/100 = 3/25e) 3/25 = 15/125f) 20/25 = 4/5

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09-

a) 3/8

b) 8/8

c) 8/8 + 2/8 = 10/8

R: 2/9 = 4/18 (x 2)

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09- d)

. Número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais; número fracionário.

. Em matemática, essa palavra também pode significar uma porção maior que o todo, tomado como referência.

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10-

A – 18/6 18/6 = 3

C – 7/6 7/6 = 1 1/6

D – 18/7 18/7 = 2 4/7

G – 14/9 14/9 = 1 5/9