Prof Jusciane da Costa e SilvaMomento Linear e Colises

Momento Linear e Colises

Momento LinearColiso de um caminho (18 rodas) e um carro. Os ocupantes de que carro ficar mais ferido?

O que determina o manejo do taco de bilhar para produzir uma coliso entre as bolas de modo que a bola alvo entre na caapa? Essas respostas no pode ser dadas aplicando as Leis de Newton, j que as foras atuantes no pode ser determinadas com exatido.

considere uma partcula de massa m, como uma acelerao a = dv/dt

a segunda lei de Newton afirma que: a fora resultante que atua sobre a partcula igual a derivada em relao ao tempo da grandeza (mv). Essa grandeza chamada de Quantidade de movimento ou Momento Linear da partcula.Momento Linear e ImpulsoDireo e sentido coincidem com o da velocidade.

Portanto

Momento Linear e Impulso uma variao rpida no momento linear necessita de uma fora grande, enquanto uma variao lenta do momento linear necessita de uma fora menor. Este principio usado no air bag.Podemos expressar o momento de uma partcula em termos de suas coordenadas:

Momento Linear e ImpulsoQual a diferena entre p = mv e k = 1/2 mv2 j que ambos depende da massa e da velocidade?

Matemtica: o momento um vetor cujo mdulo depende da velocidade escalar, enquanto a energia cintica uma grandeza escalar proporcional ao quadrado da velocidade escalar.

Fsica: temos que definir uma grandeza intimamente relacionada com momento linear denominado IMPULSO.

Consideremos uma F resultante atuando sobre uma partcula durante um intervalo de tempo t de t1 e t2. O impulso da fora resultante, J, definido como a fora resultante atuante neste intervalo de tempo.

Impulso uma grandeza vetorial, que possui mesma direo da fora. S.I: N.s Para verificarmos a utilidade do conceito de impulso, vamos examinar a 2 lei de Newton em termos de momento linear.Quando F for constante dp/dt tambm ser.Teorema do Impulso momento linear.Momento Linear e Impulso

Teorema do Impulso momento linear tambm vlido quando as foras no so constantes.

Definio geral de Impulso.Podemos definir uma fora mdia Fmed, de forma que mesmo quando a FR varia com o tempo, o impulso ser

Momento Linear e Impulso

Consideremos um grfico da fora resultante em funo do tempo durante uma coliso.O impulso a rea embaixo da curva no intervalo no dado intervalo de tempo. Essa rea igual a rea do retngulo cuja base (t2 t1) e a altura Fmed.O impulso pode ser representado por suas coordenadas.Momento Linear e Impulso

Comparao entre momento e energia cintica Diferena fundamental entre momento e energia cintica.O teorema Impulso-momento linear J = P2 P1 afirma que as variaes do movimento da partcula so produzido pelo impulso, que depende do tempo durante a qual a F atua. No entanto, o teorema trabalho-energia cintica afirma que quando um W realizado ocorre uma variao na K; o trabalho total depende da distncia ao longo da qual a F resultante atua.Exemplo: Considere uma partcula que parte do repouso no instante t1 de modo que v1 = 0. Seu momento linear inicial p = 0 e K = 0. Suponha agora que uma FR atua sobre a partcula entre os instantes t1 e t2. Durante esse intervalo a partcula se desloca uma distncia d na direo da fora. O momento linear da partcula no instante t2 ser

O momento linear igual ao impulso que acelera do repouso sua velocidade atual.O impulso igual ao mdulo da FR que acelerou a partcula pelo tempo necessrio para essa acelerao. J a energia cintica em t2 K2 = WT = fd, ou seja, igual ao WT realizado sobre a partcula para aceler-lo a partir do repouso.

Exemplo 02: Suponha que voc tenha de escolher agarrar uma bola de 0.5 kg que desloca-se com uma velocidade de 4 m/s ou uma bola de 0,1 kg com v = 20 m/s. Qual das duas bolas seria mais fcil agarrar?

Ambas possui o mesmo mdulo p = mv = 0,5 . 4 = 0,1 . 20 = 2 kg m/s. Porm a K da bola maior mais lenta, dada por K = 4 J enquanto K da bola menor mais veloz, K = 20 J. Como ambas tem o mesmo momento, ento as duas precisam do mesmo impulso para par-la, contudo o W realizado por sua mo para fazer a bola menor par 5x maior do que a bola maior, j que a bola menor possui K cinco vezes maior do que a bola maior. Portanto, para uma dada Fmed exercida por sua mo, ela leva o mesmo tempo para fazer as bolas entrarem em repouso, porm o deslocamento de sua mo e do seu brao cinco vezes maior para agarrar a bola mais leve.

Conservao do Momento Linear O conceito de momento linear particularmente importante quando ocorre interao entre dois ou mais corpos.

Fint = a fora que uma partcula de um sistema exerce sobre a outra. Fext = a fora exercida por um corpo no exterior do sistema sobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.

No caso dos astronautas, a fora que o astronauta A exerce sobre o B FAB e fora que B exerce sobre A FBA no existe nenhuma fora externa, e dizemos que se trata de um sistema isolado As foras resultantes de FAB e FBA so

Os momentos linear de cada partcula varia, porm estas variaes no so independentes. Pela 3 Lei de Newton FAB = -FBA de modo que FAB+ FBA=0As taxas das variaes do momento tambm so iguais e contrrias, de modo que d/dt(pA + pB)= 0.

Portanto o momento linear total P ser

Obtemos finalmente

a taxa de variao do momento linear total P igual a zero. Portanto o momento linear total do sistema constante, embora o momento linear de cada partcula possa variar. Quando foras externas esto presentes, devero ser includas na equao acima, neste caso o momento linear total no permanece constante. Porm, quando a soma vetorial das foras externas igual a zero, o momento total volta a ser conservado.

Para um nmero qualquer de partculas A, B, C,... que interagem apenas mediante a foras internas. O momento total do sistema

a taxa de variao do momento linear total produzida pela soma de cada par de ao e reao das foras internas entre as partculas igual a zero.

quando a soma vetorial das foras externas que atuam sobre um sistema de partcula igual a zero, o momento linear total do sistema permanece constante Conservao do momento linear.

Ponto importante que sua aplicao no depende da natureza detalhada das foras internas entre as partculas do sistema.

Coliso Uma coliso uma interao com durao limitada entre dois ou mais corpos.Bola de bilhar, acidente de carro e meteoro e a terra.Numa Coliso h troca de momento e energia em conseqncia de sua interao.

Veremos colises envolvendo apenas dois corpos que estaro livres que qualquer fora externa, ou seja, a fora externa ser menor que as foras envolvidas nas colises e portanto desprezveis.

ColisesO momento linear do sistema conservado, j que as foras externas resultante so desprezveis. Momento linear final ser igual ao momento linear inicial.

Se a energia total no for alterada pela coliso, ento K do sistema conservada (mesma antes e depois da coliso). Tal coliso chamada Coliso Elstica. Ex: meteoro e bilhar.

Em colises do cotidiano, alguma energia transferida da K para outras formas de energia, como sonora e trmica. Dessa forma a energia total do sistema no se conserva. Tal coliso chamada de Coliso inelstica. Ex: Coliso de automveis.

Colises Inelsticas (1D)Consideremos dois corpos imediatamente antes e imediatamente depois de sofrerem uma coliso unidimensional. Podemos escrever a lei de conservao do momento linear comoPodemos reescrever comoSe conhecermos as massas e a velocidade inicial, saberemos a velocidade final.

Consideremos dois corpos de massas m1 e m2, onde m1 > m2 e com m2 inicialmente em repouso (v2i = 0). Nos referiremos ao corpo parado como alvo e ao corpo incidente como projtil. Aps a coliso os corpos grudam e se movem com velocidade V.

Note que V deve ser menor que a velocidade inicial.Colises Inelsticas (1D)Coliso completamente inelstica

Colises Inelsticas (1D) Demonstrar que a energia K total depois da coliso inelstica menor do que antes da coliso. As energias K antes e depois da coliso

a razo entre a energia cintica final e inicial

O membro direito sempre menor do que 1 porque o denominador sempre maior que o numerador.

Conservao da Energia Mecnica Exemplo 03: Pndulo balstico (mede a velocidade da bala).

Conservao do momento

Conservao da Energia

dai

Colises Elsticas As foras que atuam numa coliso elstica so foras conservativas.Em uma coliso elstica a energia cintica de cada corpo pode variar, no entanto a K total no pode variar.

Coliso elstica entre dois corpos A e B. Comeamos com uma coliso 1D. Pela conservao do momento

e da energia cintica, temos

Se conhecermos as massas e as velocidades iniciais, podemos encontraras velocidades finais.

Consideremos o caso em que uma das partculas est em repouso B antes da coliso. Aplicando a conservao da energia e momento

Reescrevendo

obtemosColises Elsticas

Massas iguais

Alvo macioProjtil macioColiso elstica frontal, o corpo 1 para abruptamente e o 2 segue com a v inicial do corpo 1.

O corpo 1 rebatido com v inicial e o 2 move-se com a v muito baixa

O corpo 1 continua se mover com v, e o corpo 2 dispara para frente com v aproximadamente o dobro da v inicial da bola 1.

Colises Elsticas Alvo mvelExaminar a situao na qual dois corpos esto em movimento antes de colidirem elasticamente um no outro. A conservao do momento linear

Conservao do momento

Usando alguma lgebra

Colises em Duas DimensesQuando dois corpos colidem, o impulso entre o mesmos determina os sentidos que os mesmos seguem aps a coliso.Quando a coliso no frontal, os corpos no seguem ao longo de seus eixos originais. Para colises bidimensionais num sistema isolado, o momento linear deve ser conservado

Se a coliso for elstica, K conserva

Escrevendo o momento em termo desuas componentes:

Centro de MassaReformular a Lei de Conservao em termos do conceito Centro de Massa. Centro de Massa (CM) de um sistema de partcula o ponto que se move como se ali (1) toda massa do sistema estivesse concentrada e (2) todas as foras externas fosse aplicadas.Veremos:Localizar o CM em sistema com poucas partculas; Sistemas com o grande nmero de partculas; Como o CM se move quando foras externas atuam sobre o mesmo.

Centro de MassaSistema de PartculasConsideremos duas partculas de massas m1 e m2 separadas por uma distncia d Escolhemos a origem de um eixo x que coincidindo com a massa m1 definimos a posio do CM desse sistema de duas partculas como

Centro de MassaSe m2 = 0, s tem uma partcula, e o CM deve estar na posio desta partcula; xCM = 0. Se m1 = 0, de novo teremos s uma partcula e xCM = d. Se m1 = m2, o CM deve est a meia distncia entre as duas partculas; xCM = d. Se m1 e m2 0, ento o CM estar entre 0 e d, ou seja, o CM estar em algum lugar entre as duas partculasSituao mais geral.

Se x1 = 0, ento x2 = d.

Centro de MassaSistemas de n-partculasConsideremos diversas partculas cujas massas so m1, m2, m3, ...mn. Suponha que as coordenadas de m1 sejam (x1, y1), as de m2 sejam (x2,y2) e assim por diante. Definimos o CM como

O vetor posio pode ser escrito como

Centro de MassaCorpos SlidosEm um basto de beisebol, contm tantas partculas que nos permite trat-lo melhor como uma distribuio contnua de massa. As partculas so representadas por elementos de massa dm, e portanto a soma se transforma em integral

Quando o corpo homogneo possui um centro geomtrico (cubo, circulo), o CM coincide com o centro geomtrico. Quando o corpo possui eixo de simetria (polia) o CM est sempre situado no eixo. O centro de massa no existe somente na parte macia do corpo, o CM da rosca est situado exatamente no centro do buraco.

Movimento do Centro de Massa O que ocorre com o CM quando as partculas se movem?

vetorialmente

Representando a soma das massas m1 + m2 + mn = M, temos

o momento linear total igual massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa.

Movimento do Centro de Massa Para um sistema de partculas onde a Fext = 0, o momento constante, e a velocidade do centro de massa tambm constante.

Suponha que voc marque o CM de uma chave inglesa, situado em um ponto entre a extremidade e o punho da chave. E a seguir coloque a chave em movimento. Apesar de achar o movimento complicado, ver que o movimento do CM segue em linha reta, como se toda a massa estivesse concentrada neste ponto.

Foras Externas e Movimento CMQuando a fora externa resultante sobre um sistema de partculas no igual a zero, ento o momento linear no se conserva e a velocidade do centro de massa deve variar. derivando a ltima equao, temos

Onde m1a1 a fora que atua sobre a partcula m1 e assim por diante, e portanto o lado direito igual a soma de todas as foras externas que atuam sobre as partculas. Onde o somatrio de todas as foras

Pela terceira lei de Newton todas as foras internas se cancelam aos pares.

Foras Externas e Movimento CM S restam as foras externas, portanto

Quando foras externas atuam sobre um corpo ou sobre um conjunto de partculas, o centro de massa se move exatamente como se toda a massa estivesse concentrada nesse ponto, e estivesse submetida a uma fora igual resultante de todas as foras que atuam sobre o sistema.

Resultado importante, pois sem ele ns no podamos representar uma distribuio contnua como algo puntiforme.

Foras Externas e Movimento CM Suponha um projtil disparado por um canho esteja descrevendo uma trajetria parablica. Os fragmentos seguem novas trajetrias parablicas, porem o CM continua a descrever sua trajetria original, exatamente como se todas a massa estivesse ainda concentrada mo CM.