conexões com a matemática

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Capítulo 29 Polinômios e equações polinomiais

a)P(x)temumaraizreala,talque3,a,5.

b)P(x)édivisívelporx21.

c) P(x)temapenas4raízesreais.

d)P(x)nãotemraizreal.

e) ograudeP(x)émaiorouiguala5.

7. (Unir-RO)OpolinômioP(x)5x421podeserfato-radocomooprodutoP(x)5(x21)8Q(x).SobreQ(x),pode-seafirmarquepossui:

a)quatroraízesimaginárias.

b)trêsraízesreais.

c) trêsraízesimaginárias.

d)umaraizimagináriaeduasraízesreais.

e) duasraízesimagináriaseumareal.

8. (Fuvest-SP)Ográfico:

y

f

x

poderepresentarafunçãof(x)5

a)x(x21) c) x3(x21) e)x 2(x21)

b)x2(x221) d)x(x221)

9. (Fuvest-SP)Dividindo-seopolinômioP(x)por2x223x11,obtêm-sequociente3x211eresto2x12.Nessascondições,orestodadivisãodeP(x)porx21é:

a)2 d)21

b)1 e)22

c) 0

10. (Fuvest-SP)SejaP(x)umpolinômiodivisívelporx23.DividindoP(x)porx21obtemosquocienteQ(x)erestor510.OrestodadivisãodeQ(x)porx23é:

a) 25 b)23 c) 0 d)3 e) 5

11. (UFSM-RS)Paraembalarpastéisfolheados,sãoutili-zadas folhas retangularesdepapelcelofanecujasdimensõessãoasraízesreaispositivasdopolinô-mioP(x)5x 3212x2120x196.Sabendoqueumadas raízes é 22, o produto de duas raízes poderáser:

a)12 b)16 c) 96 d)248 e) 216

12. (UFC-CE) Osnúmerosa,b,cedsãoreais.DetermineoscoeficientesdopolinômioP(x)5ax 31bx21cx1d,sabendo-se que o polinômio Q(x) 5 ax2 1 bx 1 1divideP(x)equeP(a)5Q(a)5ai0.

1. (UFG-GO)Considereopolinômio:

P(x)=(x21)(x23)2(x25)3(x27)4(x29)5(x211)6

OgraudeP(x)éiguala:

a)6 b)21 c) 36 d)720 e) 1.080

2. (Vunesp)Considereamatriz 5 2A

x

x

xx

x

0

2

1

0

12> H

OdeterminantedeAéumpolinômioP(x).

a)Verifiquese2éumaraizdeP(x).

b)DeterminetodasasraízesdeP(x).

3. Umafazendade6.000.000m2iaserdividida,empar-tesiguais,entreosherdeirosdeumamesmafamília.Porém,nomomentodadivisão,surgirammaisdoisherdeiros,eissoimplicouumanovadivisãoempar-tes iguais, na qual os herdeiros iniciais receberam100.000m2amenosdoqueesperavamreceberante-riormente.Determineonúmerototaldeherdeiros.

4. Sejaf (x)5anxn1an21x

n211...1a1x1a 0umpolinô-miodegrauntalqueani0eajÑR,paraqualquerjentre0en.

Sejag(x)5nan xn211(n21)an21x

n221...12a2x1a1opolinômiodegraun21emqueoscoeficientesa1,a2,...ansãoosmesmosempregadosnadefiniçãodef (x).

a)Supondoquen52,mostreque 1g xh2=d n

( ) ( )1 2

h

f x h f x= ,paratodox,hÑR,hi0.

b)Supondoquen53ea351,determineaexpres-sãodopolinômiof(x ),sabendoquef(1)5g(1)55f (21)50.

5. (Unicamp-SP)Sejaaumnúmerorealeseja:

( )2 2

2 22

detP xx

a xx

300

1

4

21

1= > H

a)Paraa51,encontretodasasraízesdaequaçãoP(x )50.

b)EncontreosvaloresdeaparaosquaisaequaçãoP(x)50temumaúnicaraizreal.

6. (Unifesp)Seafigurarepresentaográficodeumpoli-nômioreal,P(x),podemosafirmarque:

y

x2 3

5–2

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Polinômios e equações polinomiaiscapítulo 29

Grau de dificuldade das questões:Fácil Médio Difícil

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13. (Fuvest-SP)OpolinômioP(x)5x31ax21bx,emqueaeb sãonúmerosreais, temrestos2e4quandodivididoporx22ex21,respectivamente.Assim,ovalordeaé:

a) 26 d)29

b)27 e)210

c) 28

14. (UFPel-RS)OpolinômioP(x)estárepresentadonográ-ficoabaixoeopolinômioQ(x)édadopelaexpres-sãoQ(x)5x15.

0

–4

1–1–2 x

y

Combasenostextos,écorretoafirmarqueorestodadivisãodeP(x)porQ(x)é:

a) 2136 d)272

b)2197 e)2100

c) 2144 f ) I.R.

15. (Unifor-CE)NadivisãodeumpolinômioFporx222obtêm-se quociente kx 1 t e resto 2x 1 1. Se F édivisívelporx221,entãoumoutrodivisordeFéopolinômio:

a)2x22x21

b)2x21x21

c) 2x223x21

d)2x23

e) 2x21

16. (Fuvest-SP) SejamR1eR2osrestosdasdivisõesdeumpolinômioP(x)porx21eporx11,respectivamen-te.Nessascondições,seR(x)éorestodadivisãodeP(x)por(x221),entãoR(0)éiguala:

a)R12R2 d)R1R2

b)81

R R

R R

1 2

1 2 e)

1R R

21 2

c) R11R2

17. (UFSCar-SP)Afiguramostraumprismaretangularretodebasequadradacomumcilindrocircularretoinscritonoprisma.Oladodabasedoprismamede

4dmeaalturaédadaporH(x)5x325x218xdm,comx.0.

h (x)

4

4

a)Calculeovolumedoprismaparax53dm.

b)Para x 5 1 dm o volume do cilindro inscrito é16πdm3.Encontreosoutrosvaloresdexparaosquaisistoacontece.

18. (UFG-GO)Sabe-sequetodopolinômiodegrauímparcomcoeficientesreaisadmitepelomenosumaraizreal.DadoopolinômioP(x)5[(m21)(m211)]x511x21kx11,comm,kÑR,ascondiçõessobremek,paraqueopolinômioP(x)nãoadmitaraizreal,são:

a)m=0ek,22

b)m=21e22,k,2

c) m=1ek,22

d)m=1e22,k,2

e) m=0ek .2

19. (UFPel-RS) Encontre um polinômio P(x) de menorgrauindicando-onaformadeproduto,comcoefi-cientesreaistaisque4sejaumaraizdemultiplici-dade3;22sejaraizdemultiplicidade2equeessepolinômiotenhaainda512ie0(zero)comoraízes.

20. (UFPel-RS)Oestudoeodesenvolvimentodosméto-dosderesoluçãodeequaçõesdegraussuperioresa2tiveramgrandeimpulsonosséculosXVeXVI,com grupos matemáticos italianos. O primeiro aencontrar um método para determinar a resolu-çãodeequaçõesdo3ograufoiScipioneDelFerro.Outromatemáticoitaliano,conhecidocomoTarta-glia,tambémdesenvolveuummétododeresoluçãoparaequaçãodo3ograu.As fórmulasdeTartagliasãoasmaiscélebresdaÁlgebra,sendoconhecidascomofórmulasdeCardano.

Considerandoopolinômiodo3ograut324t21t16,écorretoafirmarqueasomadosmódulosdasraí-zesdessepolinômioé:

a)4 d)3

b)5 e)1

c) 6 f ) I.R.

21. (Unifesp)ConsidereopolinômioP(x) 2x3 1ax2 11bx 1c,sabendoquea,becsãonúmerosreaisequeonúmero1eonúmerocomplexo1 1 2i são

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raízesdeP(x),istoé,queP(1)5P(112i)50.Nes-tascondições,existeumpolinômioQ(x)paraoqualP(x) 5(1 2x)8Q(x).Umapossívelconfiguraçãoparaográficodey5Q(x)é:

a)

1 x

y d)

x

y

b)

x

y e)

x

y

c)

1 x

y

22. Determineorestodadivisãodex422x322x21porx12.

23. Resolvaaequaçãox425x2210x2650sabendoque3e21sãoduasdesuasraízes.

24. Escrevaumaequaçãodo3ograucomcoeficientedo-minanteiguala2,sabendoque0,2e3sãosuasraízes.

25. (Udesc)DividindoopolinômioP(x)porD(x)5x211,encontram-se o quociente Q(x) 5 x 1 3 e o restoR(x)527x211.Então,asomadetodasassoluçõesdaequaçãoP(x)50éiguala:

a) 23 b)21 c) 8 d)16 e) 4

26. Sabendo que a soma de duas raízes da equaçãox323x22x 1350éiguala2,determineumadesuasraízes.

27. Determineovalordeknaequaçãox313x226x1k50paraqueumaraizsejaamédiaaritméticadasou-trasduas.

28. (Fuvest-SP)P(x)éumpolinômiocujasraízesformamumaprogressãogeométricaderazão2eprimeirotermo2.Ocoeficientedotermodemaisaltograu

deP(x)é1eotermoindependenteé221.Ograudopolinômioé:

a)4 b)5 c) 6 d)7 e) 8

29. Determineoconjuntosoluçãodaequaçãox329x21123x 21550sabendoquesuasraízesestãoemprogressãoaritmética.

30. (UFBA)ConsiderandoopolinômioP(x)5x422x311 4x2 2 2x 1 3, mostre que z1 5 i é uma raiz deP(x),que,juntamentecomasdemaisraízesz2,z3ez4,satisfazaequaçãoz z z z 101 21 2 3 4

2 2 2 2 = .

31. (Fuvest-SP) AsraízesdopolinômioP(x)5x323x21m,onde m é um número real, estão em progressãoaritmética.Determine:

a)ovalordem;

b)asraízesdessepolinômio.

32. Determineasraízesdaequaçãox32x22x11=0.

33. (Fuvest-SP)Seja F(x) 5 ax2 1 (1 2 a)x 1 1, onde aé um número real diferente de zero. DetermineosvaloresdeaparaosquaisasraízesdaequaçãoF(x)50sãoreaiseonúmerox53pertenceaoin-tervalofechadocompreendidoentreasraízes.

34. (Unifesp)Sejamp,q,rasraízesdistintasdaequaçãox322x21x2250.Asomadosquadradosdessasraízeséiguala:

a)1 b)2 c) 4 d) 8 e) 9

35. Determineosvaloresdemen,reais,sabendoqueaequaçãox326x21mx 1n=0admite12icomoraiz.

36. (Unifor-CE)Osvaloresdea,becquesatisfazema

equação matricial 228

2abc

111

111

111

313

=> > >H H H são raí-

zesdopolinômioF(x)5x428x3114x218x1k,emquekéumnúmeroreal.

Nessascondições,écorretoafirmarque:

a)duasdasraízesdeFsãonegativas.

b)oprodutodasraízesdeFé215.

c) amenordasraízesdeFé25.

d)23éraizdeF.

e) k515

37. (Fuvest-SP)Sabe-sequeoprodutodeduasraízesdaequaçãoalgébrica2x32x21kx1450éiguala1.Então,ovalordeké:

a) 28 b)24 c) 0 d) 4 e) 8

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