Conjuntos

Matemática

Prof.: Junior

Conjunto: Idéia de coleção. (objetos,pessoas,animais...)

- Indicado por letras Maiúscula.

- Os objetos que formam um conjunto são denominados Elementos.

1- Representação:

1.1 – Listagem : A = { 2,4,6,8 }

1.2 – Característica comum a todos os seus elementos

Ex.: a) {x / x N e x<8} b) { x é vogal}

1.3 – Diagrama de Venn

D

2 – Relação de pertinência ( , )

É a relação que se estabelece entre elementos e conjuntos.

N = { 1,2,3 }

1 N

5 N

3. Conjunto Vazio: ou { }

É o conjunto que não possui elementos.

O conjunto vazio é subconjunto de

qualquer conjunto!

4 – Igualdade de Conjuntos:

Possuem os mesmos elementos.

A = { 1,2,3,4 }

B = { 4,3,1,2 }

5 - Subconjuntos

Se todos os elementos de um conjunto A são elementos de outro conjunto B, notamos:

A c B

A está contido em BA é subconjunto de B

A é parte de B

6 - Principais símbolos lógicos

/ Significa tal que

Significa existe ao menos um

| Significa existe um único

Significa qualquer que seja

Significa implica

Significa equivalente

7 – Conjunto das partes de A: P(A)

Formado por todos os subconjuntos de A.

Ex.: Dado A = { 1,2,3 } ,Teremos:

P(A) = { {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, }

Obs.: Se o conjunto A tem “n” elementos, então o conjunto elementos

Exemplo ¹:

B = { a,b,c } n( P(B) )= 2³ = 8 elementos

Exemplo ²:

Quantos elementos tem um conjunto de 2048 subconjuntos?

Exercícios

1 – Dado o conjunto A { 0,1,2,{3} }, diga se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas:

(01) 0 A (64) A

(02) 1 c A (128) 3 A

(04) {3} A

(08) {3} c A

(16) {1,2} c A

(32) c A

8- Operações com conjuntos

União: A B( formado pelos elementos que pertence a A ou B)

Intersecção: A ∩ B (formado por todos os elementos comuns a A e B)

Diferença: A-B (formado pelos elementos que pertencem A e não pertencem a B)

Obs.: Quando A ∩ B = , os conjuntos A e B são chamados de Disjuntos

Exemplo ¹= Considere os conjuntos A = { 0,2,4,6 } ,

B ={ 1,2,3,4 }, C ={ 0,3,6 } e D ={2,4,6}.Determine:

a) (A ∩ B) – (B ∩ D)b) (A U B) – (C U D)c) (A U B U C) – D

Exemplo ² : No diagrama a seguir, sombreie o que se pede:

a) A ∩ B

b) E – (A ∩ B)

c) B – A

d) ( A U B) – ( A ∩ B )

Complementar

Se B c A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em relação a A

Ex.: Se A ={ 1,2,3 } e B { 1,2,3,4} ,então

Resolução de problemas

1- Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte:250 delas lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Pergunta-se:

a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A ?

b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal B ?

c) Quantas pessoas lêem jornais?

d) Quantas pessoas não lêem jornais?

Resolução de problemas

2 – Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos quem lêem ambos.

Resolução de problemas

3 – Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações : Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:

600 leram A Moreninha;400 leram Helena;300 leram Senhora;200 leram A Moreninha e Helena;150 leram A Moreninha e Senhora;100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras.

Calcule;a) O número de pessoas que leram apenas uma das três obras.b) O número de pessoas que não leram nenhuma das três obras.c) O número de pessoas que leram duas ou mais obras.

Resolução de problemas

4 – Numa cidade são consumidos três produtos A, B, e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela ao lado:

Pergunta-se:a) Quantas pessoas consomem apenas o

produto A?b) Quantas pessoas consomem o produto A

ou produto B ou o produto C?c) Quantas pessoas consomem o produto A

ou o produto B?d) Quantas pessoas consomem apenas o

produto C?e) Quantas pessoas foram consultadas?

Produtos Numero de consumidor

A 150

B 200

C 250

A e B 70

A e C 90

B e C 80

A, B e C 60

Nenhum dos três

180

Resolução de problemas

5 – ( FAAP-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo,100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

Resolução de problemas

6 – Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades,O numero de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.

Pergunta-se:

a) Quantos jogam tênis e não jogam vôlei?b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

Conjuntos Numéricos

1- Números Naturais: N = { 0,1,2,3 ... }

2- Números Inteiros Relativos: Z = { ... -2,-1,0,1,2 ... }

3- Números Racionais: Q

Todo Número que pode ser escrito na forma de fração.

Assim, são números Racionais (Q)

Todo Número Inteiro:

Os Decimais Exatos

Ex: 1,3 = 13 10

Ex: 2 = 2 1

Ex: 1,44 ... = 1,4 = 1+ 0,4 = 1 + 4 = 13 9 9

• Os Decimais Não Exatos e Periódicos ( Dízimas )

4 – Números Irracionais : Q’ ou I

Formado por todos os decimais não exatos e não periódicos.

Ex: π = 3,1415926... , √3 = 1,73205...

OBSERVAÇÃO:

Q ∩ Q’ = O ( Disjuntos )

5 – Números Reais: R

R = Q U Q’

6 – Representação:

Q Q’

Z

N

R

Lembrete:

Z+ = { 0,1,2,3, ... }

Z- = { ... ,-3,-2,-1,0 }

Z* = { ...,-2,-1,1,2,3, ... }

+ Z* = { 1,2,3,4, ... }

Exercícios

1-

Exercícios

2-

Resposta:

Exercícios

3-

Resposta:

Exercícios

4-

Resposta:

INTERVALOS

Chama-se intervalo ao conjunto de todos os números compreendidos entre dois outros, chamados de limites.

Tipos Repres. 1 Repres. 2 Repres. 3 Caracter.

Intervalo Fechado

{x Є R / a ≤ x ≤ b} [ a,b ] Inclui limites

Intervalo

Aberto

{x Є R / a < x < b ] a,b [ ou (a,b) Exclui limites

Intervalo Fechado à esquerda

{x Є R / a ≤ x < b} [ a,b [ ou [a,b) Exclui limite à direita

Intervalo Fechado à direita

{x Є R / a < x ≤ b} ] a,b ] ou ( a,b ] Exclui limite à esquerda

• Intervalos Impróprios

São chamados intervalos impróprios os intervalos com um limite apenas.

1. No Conjunto dos números reais, o conjunto

Represent. 1 Represent. 2 Represent. 3

x ≥ a [ a,∞ [ ou [ a, ∞ )

x ≤ a ] -∞,a] ou ( -∞,a ]

x > a ] a, ∞ [ ou ( a, ∞ )

x < a ] -∞,a [ ou ( -∞,a )

Exercício

1) No conjunto dos números reais, o conjunto N = {x; x<5} ∩ ({x;1≤x≤7} U {x;x≥5}) é:

a) Øb) { x; 5 ≤ x < 7 }c) { x; 1 ≤ x ≤ 5 }d) { x; 1 ≤ x < 5 }e) { x; x ≥ 1 }

02) Se A = ] -2,3] , B = [ -1,4 ] e C = [ 0,5 ], então (AUB) – (B∩C) é:

01) [ 0,3 ]02) ] -2,0 [03) ] 4,5]04) [1,3]05) ] 2,5]

Exercícios

1) O diagrama que representa (A-B) C é: U

A

C B

A

CB

A

CB

AC

B A CB

Exercício

2) Se os conjuntos A,B e E são tais que AUB = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A∩B = {4,5}, E - B = { 1,2 }, B – A = { 6,7 }, E∩B = Ø e E A, então CA é:

U E

a) { 1,3 }b) { 1,3,5 }c) { 3,4,5 }d) { 4,5 }e) { 3,5 }