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CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO COMPUTACIONAL DAS LAJES DE
UMA EDIFICAÇÃO EM CONCRETO ARMADO
Daniel Macedo Cesar
Projeto de Graduação apresentado ao
curso de Engenharia Civil da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro.
Orientador:
Sérgio Hampshire de Carvalho Santos
Rio de Janeiro
Julho de 2016
ii
CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO COMPUTACIONAL DAS LAJES DE
UMA EDIFICAÇÃO EM CONCRETO ARMADO
Daniel Macedo Cesar
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos
Professor Titular, D Sc., EP/UFRJ (Orientador)
________________________________________________
Prof. Bruno Martins Jacovazzo
Professor Adjunto, D Sc., EP/UFRJ
________________________________________________
Profª Cláudia Ribeiro Éboli
Professora Associada, D Sc., EP/UFRJ
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
Julho de 2016
iii
AGRADECIMENTOS
A toda minha família, em especial aos meus pais, por todo carinho,
dedicação, incentivo e paciência durante todos os anos de minha vida. Agradeço
de coração, pois sem vocês não teria conseguido chegar onde cheguei.
A todos os amigos que eu fiz durante a faculdade, por terem não só me
salvado em diversas situações de dificuldade, mas também por terem sido a fonte
de vários momentos divertidos. Em especial um agradecimento a Paula, por todas
as caronas ao Fundão, a Karine, pela sua companhia em quase todos os almoços,
e ao Fábio, por ter sido a pessoa que até hoje mais me fez dar risadas.
Aos meus amigos do curso de japonês, Mayara, Marianna e João que
propiciaram os melhores momentos de amizade que eu já tive nos últimos anos.
A organização Sokka Gakkai e a todos os amigos que eu fiz nela, que me
incentivaram e me fizeram perceber que não há oração sem resposta, e que todo
o esforço é recompensado.
A todos os professores da Escola Politécnica por toda dedicação,
profissionalismo e conhecimentos transmitidos ao longo do curso, em especial ao
professor Sérgio Hampshire, meu orientador deste trabalho, à professora Cláudia
Éboli, minha orientadora da monitoria, e à minha professora e grande amiga
Alessandra Conde, do Departamento de Construção Civil.
E finalmente a todas as outras pessoas presentes na minha vida que
torceram por mim e que também não deixam de ser importantes. Muito obrigado a
todos.
iv
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Considerações sobre o projeto computacional das lajes de uma edificação em
concreto armado
Daniel Macedo Cesar
Julho/2016
Orientador: Sergio Hampshire de Carvalho Santos
Curso: Engenharia Civil
O avanço e difusão da informática, nos últimos anos, tem sido cada vez mais
importante em diversas áreas da tecnologia, como na Engenharia Civil. Isso se dá,
por exemplo, pela ampla utilização de ferramentas computacionais especializadas
durante a fase de cálculo estrutural de um projeto. Entretanto, por mais simples que
o mesmo seja, é de vital importância saber interpretar e questionar os resultados
fornecidos pelo (s) programa(s) utilizado(s), para que se tenha certeza que as
decisões tomadas não comprometam a segurança e a funcionalidade da estrutura.
Para isso, podem ser utilizadas outras ferramentas como a análise manual ou um
segundo “software”, para efeitos de comparação. O presente trabalho tem como
objetivo apresentar os resultados obtidos na análise e dimensionamento
automatizados das lajes de um edifício de 30 pavimentos em concreto armado,
realizado em projeto de graduação passado, e suas devidas interpretações e
correções. Para isso foram utilizados os “softwares” CAD/TQS e SAP2000, assim
como foram feitos cálculos expeditos, seguindo os procedimentos e diretrizes
explícitos na ABNT NBR 6118:2014.
Palavras chave: dimensionamento, CAD/TQS, SAP2000, cálculos expeditos,
resultados, comparação
v
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/ UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Engineer.
Considerations in the Computational Design of Slabs in a Reinforced Concrete
Building
Daniel Macedo Cesar
July/2016
Advisor: Sergio Hampshire de Carvalho Santos
Course: Civil Engineering
The advancement and diffusion of computing in recent years has been increasingly
important in many areas of technology, such as in Civil Engineering. This happens,
for example, in the extensive use of specialized computer tools during the structural
design phase of a project. However, no matter how simple it is, the questioning and
interpretation of the results provided by the program used is of vital importance so
that it is certain that the decisions taken do not compromise the safety and
functionality of the structure. Therefore, other tools can be used such as a manual
analysis or a second software, for the sake of comparison. This work aims to present
the results obtained in the analysis and automated design of slabs of a building of
30 floors of reinforced concrete, developed in past projects, and their respective
interpretations and corrections. For that the software CAD/TQS and SAP2000 were
used and manual analysis were done, following the procedures and explicit
guidelines of ABNT NBR 6118: 2014 - Concrete Design of Structures - Procedure.
Keywords: design, CAD/TQS, SAP2000, manual analysis, results, comparison
vi
Sumário
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 1
1.1. Objetivo ........................................................................................................ 1
1.2. Metodologia.................................................................................................. 1
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ......................................................................... 3
2.1. Propriedades do concreto ............................................................................ 3
2.1.1. Classes .................................................................................................. 3
2.1.2. Massa específica ................................................................................... 3
2.1.3. Resistência à tração .............................................................................. 3
2.1.4. Módulo de elasticidade longitudinal ....................................................... 4
2.1.5. Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal ............... 5
2.2. Propriedades do aço de armadura passiva .................................................. 5
2.2.1. Categorias ............................................................................................. 5
2.2.2. Diagrama tensão-deformação ............................................................... 6
2.3. Análise estrutural ......................................................................................... 6
2.4. Estados-Limites ............................................................................................ 8
2.5. Lajes ............................................................................................................ 9
2.5.1. Conceituação e classificação ................................................................. 9
2.5.2. Lajes maciças ........................................................................................ 9
3. CRITÉRIOS DE PROJETO .............................................................................. 27
3.1. Combinação de Ações ............................................................................... 27
3.2. Dimensões mínimas ................................................................................... 30
3.3. Armaduras mínimas ................................................................................... 30
4. PROGRAMAS COMPUTACIONAIS UTILIZADOS .......................................... 32
4.1. CAD/TQS ................................................................................................... 32
vii
4.1.1. Concepção estrutural ........................................................................... 32
4.1.2. Análise estrutural ................................................................................. 37
4.1.3. Dimensionamento e detalhamento ...................................................... 38
4.1.4. Emissão de Plantas ............................................................................. 38
4.2. SAP2000 .................................................................................................... 39
5. ESTUDO DE CASO ......................................................................................... 40
5.1. Apresentação ............................................................................................. 40
5.2. Objetivos .................................................................................................... 41
5.3. Características gerais ................................................................................ 42
5.3.1. Parâmetros iniciais............................................................................... 42
5.3.2. Pré-dimensionamento .......................................................................... 43
6. CÁLCULO EXPEDITO ..................................................................................... 47
6.1. Método das Grelhas ................................................................................... 47
6.1.1. Pavimento Tipo .................................................................................... 47
6.1.2. Cobertura ............................................................................................. 49
6.2. Método das Charneiras Plásticas ............................................................... 51
6.2.1. Pavimento Tipo .................................................................................... 51
6.2.2. Cobertura ............................................................................................. 52
6.3. Dimensionamento a flexão ......................................................................... 53
6.4. Flechas ...................................................................................................... 56
7. ANÁLISE AUTOMÁTICA .................................................................................. 59
7.1. SAP2000 .................................................................................................... 59
7.1.1. Materiais .............................................................................................. 60
7.1.2. Seções ................................................................................................. 60
7.1.3. Geometria ............................................................................................ 63
7.1.4. Ações ................................................................................................... 65
viii
7.1.5. Combinações de ações ....................................................................... 65
7.1.6. Análise ................................................................................................. 66
7.2. CAD/TQS ................................................................................................... 73
7.2.1. Momentos fletores ............................................................................... 74
7.2.2. Deslocamentos .................................................................................... 75
7.2.3. Consideração do momento volvente.................................................... 75
7.2.4. Consideração da fluência .................................................................... 79
8. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS.............................................................. 81
8.1. Comparação entre os momentos fletores .................................................. 81
8.1.1. Pavimento Tipo .................................................................................... 81
8.1.2. Cobertura ............................................................................................. 82
8.2. Comparação dos deslocamentos ............................................................... 83
8.3. Comparação dos momentos volventes ...................................................... 84
8.3.1. Pavimento tipo ..................................................................................... 84
8.3.2. Cobertura ............................................................................................. 84
9. CONCLUSÕES ................................................................................................ 85
10. BIBLIOGRAFIA .............................................................................................. 86
ANEXO ................................................................................................................. 88
1
1. INTRODUÇÃO
A utilização de ferramentas computacionais na análise e dimensionamento
de estruturas é, atualmente, crucial no desenvolvimento de um projeto, não só
possibilitando maior rapidez, precisão e segurança em cada uma de suas etapas,
mas também permitindo projetar formas arquitetônicas cada vez mais complexas.
Cada ferramenta disponível no mercado contém recursos e finalidades
próprias. Algumas, como o SAP2000, são utilizadas somente para a parte de
análise, utilizando como base o método dos elementos finitos. Outras, como o
sistema CAD/TQS, oferecem também, ferramentas de detalhamento das
armaduras em cada elemento estrutural.
Entretanto, ter completa confiança nos resultados apresentados por tais
ferramentas não é uma prática adequada de engenharia. É preciso que o
engenheiro calculista tenha experiência e conhecimento suficientes para interpretá-
los, validá-los ou ajustá-los, quando for necessário.
1.1. Objetivo
Este trabalho tem como objetivo avaliar os resultados obtidos do cálculo
automatizado das lajes de um edifício em concreto armado tomado como estudo
de caso, por meio da utilização de outros métodos de análise e interpretação de
resultados, sendo ser dada especial atenção a situações em que o “software” gerou
um resultado incomum ou duvidoso, fazendo-se necessária uma investigação mais
detalhada, por meio de outro método de cálculo.
Este trabalho também tem como objetivo dar continuidade ao que já foi
apresentado em BELLAS (2015) em que foram realizadas análises automatizadas
do mesmo estudo de caso com ênfase nas lajes.
1.2. Metodologia
A metodologia utilizada para este trabalho engloba a norma brasileira NBR
6118: 2014 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento como referência
técnica, diversos programas computacionais como ferramentas principais, e
métodos de cálculo expeditos disponíveis na literatura.
2
O estudo de caso em questão é um edifício comercial de 30 andares,
projetado em concreto armado e localizado na cidade do Rio de Janeiro. A análise,
dimensionamento e detalhamento iniciais de todos os elementos estruturais da
construção foram já apresentados em BELLAS (2015), assim como a arquitetura e
a concepção estrutural, bases para a realização do pré-dimensionamento.
3
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
2.1. Propriedades do concreto
2.1.1. Classes
Os concretos têm uma classificação com base em sua resistência
característica à compressão. Segundo o item 8.2.1 da NBR 6118:2014, os
concretos na classe C20 ou superior devem ser utilizados quando há somente
armadura passiva, na classe C25 ou superior quando há armadura ativa e na classe
C15 somente para obras provisórias ou para concreto sem fins estruturais.
2.1.2. Massa específica
Segundo o item 8.2.2 da NBR 6118:2014 os concretos de massa específica
normal, os quais ela se aplica, são aqueles cuja massa específica é compreendida
entre 2000 kg/m³ e 2800 kg/m³. Quando a massa específica real não for conhecida,
pode-se adotar, para efeito de cálculo, o valor de 2400 kg/m³ para o concreto
simples e 2500 kg/m³ para o concreto armado. Se a massa específica do concreto
for conhecida, pode-se acrescentar de 100 a 150 kg/m³ ao valor da massa
específica referente ao concreto simples para se obter a do concreto armado.
2.1.3. Resistência à tração
O concreto é um material predominantemente resistente à compressão,
enquanto que sua resistência à tração é muito baixa para fins de dimensionamento
estrutural. Entretanto, ela não deve ser desprezada, pois pode estar diretamente
ligada à capacidade resistente da peça em diversos aspectos.
O valor característico da resistência à tração direta pode ser avaliado através
das expressões a seguir, na ausência de ensaios:
����,��� = 0,7 ���,� (����� ��������) (1)
����,��� = 1,3 ���,� (����� ��������) (2)
Onde para concretos com classe até C50:
���,� = 0,3 ����/�
(����� ���) (3)
4
E para concretos com classe de C55 a C90:
���,� = 2,12 �� (1 + 0,11���) (����� ���) (4)
2.1.4. Módulo de elasticidade longitudinal
Segundo o item 8.2.8 da NBR 6118, o módulo de elasticidade deve ser obtido
a partir do método de ensaio descrito na NBR 8522 – Concreto – Determinação do
módulo de elasticidade à compressão, sendo considerado nesta norma o módulo
de deformação tangente inicial, obtido aos 28 dias de idade.
Entretanto, quando não for possível realizar os ensaios, o valor do módulo
de elasticidade inicial pode ser estimado a partir das seguintes expressões:
Para fck de 20 MPa a 50 MPa:
��� = �� .5600���� (5)
Para fck de 55 MPa a 90 MPa:
��� = 21,3 .10� .�� .����
��+ 1,25�
�/�
(6)
os valores de Eci e fck são dados em megapascal. Os valores de α� são função do
agregado graúdo utilizado no concreto, e são os seguintes:
α� = 1,2 para basalto e diabásio
α� = 1,0 para granito e gnaisse
α� = 0,9 para calcário
α� = 0,7 para arenito
Já o módulo de deformação secante pode ser estimado pela expressão (7).
��� = �� .��� (7)
onde o valor de α� é dado por (8).
�� = 0,8 + 0,2 .���
��≤ 1,0 (8)
Na tabela 8.1 da NBR 6118:2014 (Figura 2.1) podem ser encontrados os
valores estimados para os módulos de elasticidade longitudinal com dependência
à classe do concreto considerado.
5
Figura 2.1 - Valores estimados de módulo de elasticidade longitudinal em função da resistência característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como
agregado graúdo)
(ABNT NBR 6118:2014)
A deformação elástica do concreto vai depender da composição de seu
traço, principalmente no que se refere à natureza dos agregados.
Para avaliação de um elemento estrutural ou seção transversal,
independentemente de esta estar sob tração ou compressão, pode-se utilizar um
valor de módulo de elasticidade único, igual ao módulo de deformação secante.
2.1.5. Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal
O coeficiente de Poisson deve ser considerado com valor igual a 0,2, e o
módulo de elasticidade transversal pode ser assumido como ���/2,4.
2.2. Propriedades do aço de armadura passiva
Segundo a NBR 6118: 2014, define-se, no âmbito das estruturas de concreto
armado, armadura passiva como aquela que não é utilizada para produzir forças
de protensão, isto é, que não seja previamente alongada.
2.2.1. Categorias
Em projetos de concreto armado, devem-se utilizar aços classificados pela
ABNT NBR 7480:2007 – Aço destinado a armadura para estruturas de concreto
armado – Especificação, com valor característico de resistência de escoamento nas
categorias CA-25, CA-50 e CA-60, conforme definido no item 8.3.1 da NBR
6118:2014.
6
2.2.2. Diagrama tensão-deformação
Pelo item 8.3.6 da NBR 6118:2014 o valor característico da resistência ao
escoamento fyk para aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão que
corresponde à deformação permanente de 0,2%.
Para cálculos nos estados limite último e de serviço, pode ser utilizado um
diagrama simplificado, mostrado na Figura 2.2, tanto para o caso de aços com
patamar quando sem patamar de escoamento.
Figura 2.2 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas
(ABNT NBR 6118:2014)
2.3. Análise estrutural
De acordo com a NBR 6118:2014, os métodos de análise estrutural são
diferenciados pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da
estrutura, não perdendo de vista em cada caso as limitações correspondentes. Para
estruturas na situação de pequenos deslocamentos, podem ser divididos nas
categorias apresentadas a seguir:
i) Análise linear: admite-se o comportamento elástico-linear para os materiais
constituintes. Na análise global, as características geométricas podem ser
determinadas pela seção bruta de concreto dos elementos estruturais. Em análises
locais, como para cálculo dos deslocamentos, na eventualidade de fissuração, esta
deve ser considerada. Os resultados de uma análise linear são normalmente
empregados para verificação de estados-limites de serviço, podendo
eventualmente servir de base para o dimensionamento no estado-limite último,
desde que se garanta uma ductilidade mínima às peças.
7
ii) Análise linear com redistribuição: os efeitos das ações, determinados em uma
análise linear, são redistribuídos na estrutura, para combinações de carregamento
de estado-limite último. Neste caso, as condições de equilíbrio e ductilidade devem
ser obrigatoriamente satisfeitas, por isso, todos os esforços internos devem ser
recalculados, de modo a garantir o equilíbrio de cada um dos elementos estruturais
e da estrutura como um todo. As verificações de combinações de carregamento de
estados-limites de serviço ou de fadiga podem ser baseadas na análise linear sem
redistribuição, sendo desejável que não haja redistribuição de esforços em serviço.
iii) Análise plástica: é denominada plástica a análise estrutural em que as não
linearidades podem ser consideradas, admitindo-se materiais de comportamento
rígido-plástico perfeito ou elastoplástico perfeito. Este tipo de análise deve ser
utilizado somente para verificações de estado-limite último. Em estruturas
reticuladas, a análise plástica não deve ser utilizada quando se consideram os
efeitos de segunda ordem global ou não houver suficiente ductilidade para que as
configurações adotadas sejam atingidas.
iv) Análise não linear: considera-se o comportamento não linear dos materiais.
Toda a geometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precisam ser
conhecidas para que esse tipo de análise seja realizada, pois a resposta da
estrutura depende de como ela foi armada. Condições de equilíbrio, de
compatibilidade e de ductilidade devem ser necessariamente satisfeitas. Análises
não lineares podem ser efetuadas tanto para verificações de estados-limites de
serviço como para estado-limite último.
v) Análise através de modelos físicos: o comportamento estrutural é determinado
através de ensaios realizados com modelos físicos de concreto, considerando os
critérios de semelhança mecânica. Neste caso, a interpretação dos resultados deve
ser justificada por modelo teórico de equilíbrio nas seções críticas e análise
estatística dos resultados. Obrigatoriamente, devem ser obtidos resultados para
todos os estados-limites últimos e de serviço a serem empregados na análise da
estrutura. Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer
durante a vida útil da estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos
8
ensaios. Este tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são
insuficientes.
2.4. Estados-Limites
Segundo o item 12.5 da NBR 6118:2014, na verificação da segurança das
estruturas de concreto, devem ser atendidas as condições construtivas e as
condições analíticas de segurança.
Do ponto de vista das condições analíticas, define-se que as resistências
disponíveis não podem ser menores que as solicitações atuantes, com relação a
todas as seções estruturais, todos os estados-limites e a todos os carregamentos.
Ou seja: �� ≥ ��.
Define-se que uma estrutura, ou parte dela, atingiu um estado limite quando,
de modo efetivo ou convencional, se torna inutilizável, ou deixa de satisfazer as
condições previstas para sua utilização. Ou seja, em um estado limite: �� = ��. Em
um projeto de estruturas de concreto armado, a NBR 6118:2014 exige a
consideração dos estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS).
Os estados limites últimos tratam dos estados em que a estrutura é levada
ao colapso, ou qualquer tipo de ruína estrutural que leve à sua completa
inutilização. Um exemplo desse estado, é quando a capacidade resistente da
estrutura, no seu todo ou em parte, é esgotada.
Os estados limites de serviço (ou de utilização) são aqueles relacionados ao
pleno funcionamento, boa estética e conforto do usuário. Ou seja, ao ser atingindo
esse estado, a estrutura não necessariamente será levada a ruína, mas irá deixar
de funcionar de maneira adequada. Segue abaixo os ELS obrigatoriamente levados
em consideração para o concreto armado:
Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W): situação em que as
fissuras atingem valores de abertura considerados como prejudiciais ao uso ou à
durabilidade das peças.
Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF): situação em que
as deformações ultrapassam os limites aceitáveis para a utilização normal da
estrutura.
9
Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE): situação em que as
vibrações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da construção.
2.5. Lajes
2.5.1. Conceituação e classificação
As lajes são elementos estruturais definidos como elementos planos, ou
seja, elementos em que uma de suas dimensões, usualmente a espessura, é muito
menor em comparação com as outras duas. Elas se destinam a receber e resistir
os carregamentos aplicados a elas em uma construção, normalmente aplicados em
seu plano vertical, e então transmiti-los para os elementos estruturais que as
suportam, como vigas, pilares e paredes.
As lajes podem ser classificadas de acordo com seu método construtivo,
podendo ser então lajes maciças, lajes nervuradas ou lajes lisas (ou lajes
cogumelo, caso estejam apoiadas em um capitel).
Também pode-se classificar as lajes ou seu contorno de acordo com suas
condições de apoio, como simplesmente apoiadas, engastadas, isoladas ou em
balanço. Deve-se também considerar a influência desfavorável de apoios elásticos
se não for possível garantir as condições ideais de apoio simples e engastamento
perfeito.
De acordo com o método construtivo da laje (maciça, lisa ou nervurada),
prescrevem-se métodos diferenciados para realizar sua análise estrutural. Para
este trabalho, somente serão abordados os métodos referentes às lajes maciças.
Os conceitos abordados neste trabalho servem de complemento àqueles
abordados em BELLAS (2015), com os resultados obtidos nos respectivos cálculos
sendo utilizados como base de comparação. Portanto, somente serão descritos
neste trabalho os conceitos ausentes em BELLAS (2015), devendo o dito trabalho
ser consultado para possíveis esclarecimentos.
2.5.2. Lajes maciças
As lajes maciças são aqueles em que toda a espessura é composta por
concreto, contendo armaduras longitudinais de flexão e eventualmente armaduras
10
transversais. Nas construções convencionais como nos edifícios de múltiplos
pavimentos, é o tipo mais difundido de sistema estrutural para as lajes.
2.5.2.1. Classificação quanto a armação
Especificamente para as lajes maciças retangulares com comportamento
linear elástico, pode-se fazer uma classificação com relação às direções das
armaduras principais, que serão as direções com esforços significativos de flexão,
com base na relação entre o comprimento de seus vãos �� e ��:
a) Laje armada em uma direção
� = ��
��> 2 (9)
b) Laje armada em duas direções
� =��
��≤ 2 (10)
2.5.2.2. Análise estrutural
Para a análise estrutural de elementos de placa, configuram-se basicamente
todos os tipos explicitados no item 2.3 deste trabalho, com exceção da análise por
modelos físicos. No caso de lajes maciças, pode-se dividir em dois grupos os
métodos de cálculos de esforços.
O primeiro grupo são os métodos baseados na teoria da elasticidade, que
supõem que o material é homogêneo e isotrópico. Nesse grupo, estão inclusos os
métodos computacionais como o método dos elementos finitos e o método dos
elementos de contorno, o método de resolução da equação diferencial das placas,
os métodos simplificados, como o método de Marcus e o método das grelhas, e os
métodos por tabelas, como as tabelas de Czerny.
O segundo grupo são os métodos em ruptura, baseados na teoria da
plasticidade, os quais julgam que o material se comporta como um corpo rígido-
plástico perfeito. Nesse grupo está incluído o método das linhas de ruptura, também
conhecido como método das charneiras plásticas.
11
A seguir, serão descritos todos os métodos que se encontram no escopo
deste trabalho.
2.5.2.2.1. Tabelas de Czerny
As tabelas de Czerny são grupos de tabelas baseadas na teoria da
elasticidade, utilizadas para cálculo dos momentos fletores em lajes. Elas são
aplicáveis a lajes retangulares armadas em duas direções, perfeitamente apoiadas
ou engastadas em seu contorno, sujeitas a cargas uniformes.
Os momentos fletores, tanto positivos quanto negativos, e em ambas as
direções, podem ser calculados a partir do grupo de fórmulas descritas a seguir:
a) Momento na direção do menor vão:
��� =
� .ℓ��
− �� (11)
��� =
� .ℓ��
�� (12)
b) Momento na direção do maior vão:
��� =
� .ℓ��
− �� (13)
��� =
� .ℓ��
�� (14)
No caso, os parâmetros ��, − ��, �� e − ��, são retirados das tabelas nas
figuras 2.3 e 2.4 para os nove tipos de condições de apoio dos bordos e a partir da
relação entre os vãos da laje ℓ�/ℓ�, sendo ℓ� o maior vão.
12
Figura 2.3 - Tabelas de Czerny para momentos fletores em lajes retangulares com carga distribuída – Tipos 1 a 5
13
Figura 2.4 - Tabelas de Czerny para momentos fletores em lajes retangulares com carga distribuída – Tipos 6 a 9
2.5.2.2.2. Método das grelhas
O método das grelhas é um dos métodos simplificados para cálculo dos
esforços em lajes maciças, armadas em duas direções. Consiste em se considerar
que um painel de laje é constituído somente por duas faixas de larguras unitárias e
14
ortogonais, com comprimentos iguais a seus vãos ℓ� e ℓ�, formando assim uma
pequena grelha (Figura 2.5)
Do estudo de grelhas, sabe-se que cada faixa é responsável por conduzir
parte (quinhão) do carregamento total � até os respectivos apoios. Uma vez
conhecidas as parcelas de carga em cada faixa (�� e ��), pode-se determinar os
diagramas de momentos e cortantes, conhecendo-se as condições de apoio do
contorno do painel.
Figura 2.5 - Modelo de laje utilizado no método das grelhas
Para a montagem do problema, fazem-se as seguintes hipóteses:
As faixas são independentes entre si;
Os quinhões de carga são constantes em cada direção;
O carregamento é uniformemente distribuído na faixa.
Logo, é possível escrever os valores das flechas no ponto central da laje,
comum às duas faixas (�� e ��).
�� = �� ��ℓ�
�
384 ��; �� =
�� ��ℓ��
384 �� (15�; 15�)
Entretanto, considerando a rigidez da laje a mesma nas duas direções
(isotrópica), e por compatibilidade de deformações (�� = ��), tem-se que:
�� ��ℓ�� = �� ��ℓ�
� (16)
Do fato que a carga total � é dividida entre duas parcelas, tem-se que:
15
� = �� + �� (17)
Portanto, de (20) e (21), tem-se que:
�� =��
�=
1
�� ℓ��
��ℓ�� + 1
(18)
�� = 1 − �� (19)
�� = �� �; �� = �� � (20�; 20�)
Com os valores dados acima, pode-se calcular os esforços para cada uma
das faixas utilizando um modelo de viga de largura unitária, submetidas ao quinhão
de carga correspondente. Portanto:
a) Momento na direção do menor vão:
��� =
�� .ℓ��
�′� (21)
��� =
�� .ℓ��
�′� (22)
b) Momento na direção do maior vão:
��� =
�� .ℓ��
�′� (23)
��� =
�� .ℓ��
�′� (24)
Os valores de �, ��, ��� � são dados em função das condições de contorno
do modelo de viga adotado, explicitados nas figuras 2.6 e 2.7 abaixo:
Figura 2.6 - Valores de � em função das condições de contorno do modelo de viga
(SANTOS, 2015)
16
Figura 2.7 - Valores de �, � e � em função das condições de contorno do modelo de viga
(SANTOS, 2015)
2.6.2.2.3. Método das charneiras plásticas
O método das charneiras plásticas é um método que permite avaliar a carga
de ruína das lajes baseando-se somente na sua etapa de comportamento plástico.
Esse método pode ser aplicado para lajes armadas em uma ou duas direções,
porém, somente para lajes subarmadas, devido a seu comportamento dúctil.
O método pode ser simplificado pelo seguinte procedimento: seja a laje
retangular, com condições de apoio quaisquer nos quatro bordos, definida na
Figura 2.8.
Figura 2.8 - Laje modelo para o método das charneiras plásticas
(SANTOS, 2015)
Supõe-se que os momentos positivos na duas direções sejam iguais a � e
��. Os momentos negativos em cada bordo são pré-definidos pelo projetista, a
partir dos momentos positivos � e �� e de coeficientes � , escolhidos
preferencialmente de forma a se obter momentos negativos próximos dos obtidos
pela Teoria da Elasticidade. Naturalmente, os coeficientes � podem ser iguais a 0,
se o bordo for apoiado. As fórmulas para cálculo dos momentos são dadas a seguir.
17
� =� ����
8 �1 + ��
��+
��
���
(25); �� =2�
�1 + �� + �1 + ��
(26�);
�� =2�
��1 + �� + �1 + ���√� (26�)
�������� ���������:� � ��
�������� ��������:�� = ����; �� = ���; �� = ����; �� = ���
2.6.2.2.4. Método dos elementos finitos
O método dos elementos finitos é um método numérico com ampla aplicação
computacional, utilizado na análise de estruturas, inclusive lajes. Baseado no
método dos deslocamentos, ele tem como característica principal a discretização
da estrutura em elementos de dimensões finitas, usualmente retangulares ou
triangulares, com comportamento mais simples e mais adequado para seu estudo.
Existem diversos programas computacionais no mercado que realizam
análise estrutural com base nesse método. Um deles, o SAP2000, será utilizado
neste trabalho para a realização das análises.
2.6.2.2.5. Lajes armadas em somente uma direção
Nas lajes armadas em uma só direção, considera-se que as curvaturas na
direção do vão menor são preponderantes com relação às do vão maior, o que
conduz a que somente os esforços internos na direção do vão menor sejam
significativos.
As lajes contínuas armadas em uma só direção podem ser calculadas como
se fossem vigas contínuas. Quando isoladas e perfeitamente engastadas ou
apoiadas, a expressão utilizada para os momentos será a dada pela seguinte
equação:
� = ℓ�
�.(� + �)
� (27)
Sendo (g+q) as cargas permanentes e variáveis e β um parâmetro que depende
da condição de apoio da laje (Figura 2.9).
18
Figura 2.9 - Valores de β de acordo com a condição de apoio da laje
(SANTOS, 2015)
Ainda, nos casos em que há engastamento em pelo menos um dos vãos
menores, surgem momentos negativos que não devem ser desprezados. Estes
momentos podem ser avaliados com base nas Tabelas de Czerny pela equação
abaixo:
��� =
� .ℓ��
− �� (28)
Os valores de My são definidos em função das condições de engastamento,
como apresentado abaixo na Figura 2.10.
Figura 2.10 - Valores de My de acordo com a condição de engastamento da laje
(SANTOS, 2015)
2.6.2.3. Flechas
O cálculo das flechas nas estruturas é necessário para a verificação do
estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF), cuja definição foi
apresentada no item 2.4. Para os cálculos nesse estado é necessário considerar a
possibilidade de fissuração do concreto, ou seja, a estrutura trabalhando no estádio
II, o que acarreta alterações na rigidez efetiva do elemento estrutural.
Segundo o item 17.3.1 da NBR 6118:2014, nos estados limites de serviço, a
estrutura trabalha parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II. A
separação entre esses dois comportamentos é definida pelo valor do chamado
momento de fissuração (��), cuja expressão é dada a seguir:
19
�� =������
�� (29)
Sendo:
� = 1,2 para seções T ou duplo T
� = 1,5 para seções retangulares
Para ELS-DEF, o valor de ��� pode ser dado pelos valores de ���,�
encontrados em (3) e (4), dependendo da classe do concreto.
Caso o valor de �� seja menor que o momento fletor solicitante de
combinação quase permanente de serviço na seção em estudo, a seção está
trabalhando no estádio I, ou seja, não há fissuras. Caso contrário, ela está no
estádio II.
Após essa verificação, deve ser calculada a posição da linha neutra da seção
em seu respectivo estádio.
A expressão para o cálculo da linha neutra no estádio II encontra-se na
solução da equação de 2º grau dada em (30), a seguir:
Figura 2.11 - Seção retangular no estádio II
� ���
2+ ����
�(�� − ��) − ����(� − ��) ≡ 0 → �� (30)
Sendo que:
20
�� =��
��� (31)
Em seguida, calcula-se o momento de inércia da seção fissurada (estádio
II):
��� =���
3+ ����(� − ��)� + ����
�(�� − ��)� (32)
Após esses cálculos, as flechas nas lajes podem ser avaliadas. Para este
trabalho, consideram-se as flechas imediatas e as flechas diferidas no tempo.
2.6.2.3.1. Flecha imediata
A flecha imediata é aquela que ocorre quando é aplicado o carregamento na
peça, sem levar em conta os efeitos de fluência. Para avaliar esta flecha, utiliza-se
a seguinte expressão de rigidez equivalente:
(��)�� = ��� ����
���
�
�� + �1 − ���
���
�
� ���� ≤ ��� �� (33)
Sendo �� , o momento fletor da seção em estudo na combinação quase
permanente.
Por fim, pode-se obter o valor da flecha imediata pela seguinte expressão:
�� =�
12
� ℓ��
�� (34)
Onde � é um valor extraído de tabelas que podem ser encontradas nos
anexos A1 a A4 deste trabalho, e:
Se �� > �� ⇒ �� = (��)��
Se �� < �� ⇒ �� = ��� ��
2.6.2.3.2. Flecha diferida no tempo
A flecha diferida no tempo é aquela que leva em conta o fato do
carregamento atuar na estrutura ao longo do tempo, causando a sua deformação
21
lenta ou fluência. Ela pode ser avaliada multiplicando-se o valor da flecha imediata
pelo coeficiente ��, dado pela expressão abaixo:
�� =∆�
1 + 50�′ (35)
Sendo:
�� =��
�
�� (36)
∆� = �(�) − �(��) ���� � < 70 ����� (37�)
�(�) = 2 ���� � > 70 ����� (37�)
�(��) pode ser retirado da seguinte tabela presente no item 17.1 da NBR
6118:2014:
Figura 2.12 - Valores de �(��)
(ABNT NBR 6118:2014)
Sendo que:
� é a idade do concreto, em meses, no tempo em estudo
�� é a idade do concreto, em meses, quando da aplicação das cargas
2.6.2.3.3. Flecha total
O valor da flecha total é então dado por:
�� = �� (1 + ��) (38)
2.6.2.3.4. Flechas máximas admitidas
A NBR 6118:2014, em seu item 13.3, preconiza valores máximos de
deslocamentos para o ELS-DEF, visando um comportamento adequado da
estrutura. Tais valores podem ser encontrados nas tabelas das figuras 2.13 e 2.14
abaixo:
22
Figura 2.13 - Limites para deslocamentos
(ABNT NBR 6118:2014)
23
Figura 2.14 - Limites para deslocamentos (continuação)
(ABNT NBR 6118:2014)
2.6.2.4. Momento volvente
Nas lajes armadas em duas direções com pelo menos dois de seus bordos
adjacentes apoiados, ao ser submetida ao seu carregamento, existe uma tendência
de levantamento de canto do suporte. Caso haja restrição a esse movimento,
surgem esforços de momentos fletores positivos (causando tração na parte inferior
24
da laje) e principais (sem componentes cisalhantes) na direção diagonal, e
momentos fletores negativos (causando tração na parte superior da laje) e
principais na direção perpendicular à diagonal.
O dimensionamento ideal de uma laje em concreto armado deve considerar
todos os esforços solicitantes, inclusive esses causados pelo fenômeno de
levantamento de borda. Entretanto, fazer o dimensionamento considerando os
valores dos momentos principais e dispor as armaduras das lajes segundo as
direções principais tem pouco sentido prático, visto que as direções principais
variam para cada ponto da laje. Do modo a contornar esse problema, define-se um
sistema de eixos fixo coincidente com as direções em que as armaduras serão
dispostas, e realizam-se os cálculos baseados nos esforços encontrados nesse
sistema.
No caso de lajes retangulares é prático admitir duas direções �� e ��
paralelas aos bordos e uma direção �� perpendicular ao plano. No novo sistema de
coordenadas, os momentos principais resultam no terno de esforços ���, ���, de
natureza de flexão, e ��� , de natureza torsional, usualmente chamado de
momento volvente. Os momentos ��� e ��� são positivos quando produzem
tração na face com coordenadas z negativas.
Figura 2.15 - Esforços, solicitantes, tensões e armaduras segundo direções � � e � �
(CELESTE, 2011)
Na literatura, são abordados alguns métodos para cálculo de esforços em
lajes considerando o momento volvente. Um deles é abordado em WOOD (1968),
25
que se baseia no critério de resistência do momento normal, conhecido como
critério de Johansen ou critério das linhas de plastificação. O método tem como
objetivo final a elaboração de equações fechadas que simbolizam os momentos
resistentes a serem utilizados diretamente no dimensionamento das armaduras,
fazendo uma correção com o valor do momento volvente. Neste trabalho não serão
abordadas as deduções dessas equações, elas podem ser encontradas em
CELESTE (2011). Somente serão apresentadas, a seguir, as equações finais:
i. Momentos de dimensionamento da armadura positiva
�′�� = ��� + |���| (39�)
�′�� = ��� + |���| (39�)
ii. Momentos de dimensionamento da armadura negativa
�′′�� = ��� − |���| (40�)
�′′�� = ��� − |���| (40�)
iii. Momentos de dimensionamento das armaduras positivas e negativas com
sinais contrários
Podem ocorrer casos em que as equações (39) e (42=0) acima resultem em
valores de momentos com sinais contrários, ou seja, pode-se encontrar para a
armadura positiva valores de momentos negativos, e vice-versa. O significado físico
disso pode ser interpretado como tentar combater um momento positivo (com
tração no inferior da laje) com uma armadura na face superior. Desta forma, não há
necessidade de armadura positiva nesta direção, devendo ser considerado zero o
momento calculado.
Porém, esta não é a solução mais econômica. Por isso, o método de Wood,
propõe outra gama de equações para solucionar o problema, que são as seguintes:
Se �′�� < 0, impõe-se �′�� = 0 sendo �′�� = ��� +�� ��
��
� �� (41�)
Se �′�� < 0, impõe-se �′�� = 0 sendo �′�� = ��� +�� ��
��
� �� (41�)
Se �′′�� < 0, impõe-se �′′�� = 0 sendo �′′�� = ��� −�� ��
��
� �� (41�)
26
Se �′′�� < 0, impõe-se �′′�� = 0 sendo �′′�� = ��� −�� ��
��
� �� (41�)
Em casos em que um momento principal é positivo e o outro é negativo,
devem ser verificadas tanto as equações (39) quanto as (40), podendo haver, em
um mesmo ponto da laje, armaduras positivas e negativas.
27
3. CRITÉRIOS DE PROJETO
Na realização de qualquer projeto estrutural, é necessária a consideração de
diversos parâmetros e critérios para que a estrutura se mantenha segura e
funcional. Tais critérios são usualmente organizados nas chamadas normas
técnicas, que, no Brasil, são elaboradas pela ABNT.
Para o caso do presente projeto, que é uma estrutura em concreto armado,
a norma técnica em vigência correspondente é a NBR 6118:2014, que engloba
critérios relacionados com a análise estrutural, dimensionamento e detalhamento
das estruturas. A seguir, serão apresentados alguns desses critérios que serão
utilizados neste estudo.
3.1. Combinação de Ações
A combinação de ações é a consideração simultânea de diversos efeitos que
têm probabilidade não desprezível de atuar na estrutura. As ações devem ser
combinadas de diferentes maneiras, de modo com que possam ser determinados
os efeitos mais desfavorável para a estrutura, tanto no ELU quanto no ELS.
Em cada uma das combinações, as ações são divididas em três categorias:
permanentes, variáveis e excepcionais, de acordo com sua variabilidade no tempo.
As ações variáveis também podem ser divididas entre principais e secundárias, o
que leva em consideração a probabilidade das ações atuarem simultaneamente.
Para cada situação, existe um coeficiente de ponderação das cargas, e
somadas, fornecem o valor de cálculo a ser utilizado.
Para verificação da segurança no ELU realizam-se as chamadas
combinações últimas, e no ELS, as combinações de serviço.
a) Combinações últimas
Podem ser classificadas entre normais, especiais ou excepcionais.
28
Figura 3.1: Combinações últimas
(NBR 6118:2014)
b) Combinações de serviço
Podem ser classificadas entre quase permanente, frequentes e raras.
Figura 3.2: Combinações de serviço
(NBR 6118:2014)
29
Os valores dos coeficientes de ponderação das cargas permanentes e
variáveis são definidos nas tabelas 11.1 e 11.2 da NBR 6118:2014, conforme
mostrado abaixo (Figuras 3.3 e 3.4).
Figura 3.3: Coeficientes γf = γf1.γf3
(NBR 6118:2014)
Figura 3.4: Coeficiente γf2
(NBR 6118:2014)
30
3.2. Dimensões mínimas
A NBR 6118:2014, em seu item 13.2.4.1 determina dimensões mínimas para
a espessura de diversos tipos de laje:
a. lajes de cobertura não em balanço: 7cm;
b. lajes de piso não em balanço: 8cm;
c. lajes em balanço: 10cm;
d. lajes que suportem veículos com peso total menor ou igual a 30kN: 10cm;
e. lajes que suportem veículos com peso total maior que 30kN: 12cm;
f. lajes com protensão apoiadas em vigas: 15cm;
g. lajes lisas: 16cm;
h. lajes cogumelo, fora do capitel: 14cm.
Nas lajes em balanço, devem-se multiplicar os esforços solicitantes de
cálculo por um coeficiente adicional γn, dado na tabela 13.2 da NBR 6118:2014
(Figura 3.5).
Figura 3.5: Coeficiente adicional γn para lajes em balanço
3.3. Armaduras mínimas
O item 17.5.2.1 da norma NBR 6118:2014 trata sobre a armadura mínima de
tração que deve ser utilizada em elementos estruturais armados ou protendidos.
Tal armadura mínima é encontrada por meio do dimensionamento de um momento
fletor mínimo:
� �,��� = �, ��.� �.����,��� (42)
onde W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto,
relativo à fibra mais tracionada, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15%.
31
fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração
Além desse método, a taxa de armadura mínima pode ser considerada
atendida se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura dadas pela tabela da
Figura 3.6.
Figura 3.6 - Valores de taxa de armadura mínima para vigas com seções retangulares
32
4. PROGRAMAS COMPUTACIONAIS UTILIZADOS
A seguir, são apresentados os programas computacionais utilizados no
desenvolvimento deste projeto.
4.1. CAD/TQS
O sistema CAD/TQS é um sistema computacional gráfico destinado a
elaboração de projeto de estruturas de concreto armado. Ele é desenvolvido e
comercializado pela empresa TQS informática Ltda., que há vinte anos tem se
comprometido a disponibilizar inovações tecnológicas na Engenharia Civil para os
seus usuários por meio desse sistema.
A utilização desse software engloba todas as etapas de um projeto estrutural,
desde a fase de concepção, passando pela análise, dimensionamento e
detalhamento, e chegando até a emissão das plantas finais. Todo seu
processamento está baseado nas prescrições das normas técnicas de concreto
armado e protendido, podendo ser feita a escolha de se utilizar a versão mais
recente (NBR 6118:2014) ou uma mais antiga (NBR 6118:2003). Os resultados
obtidos pelo cálculo estrutural são também avaliados com base na norma
escolhida.
O processo de realização do projeto é feito, dentro do TQS, por etapas, cada
uma associada a um subsistema. Faz-se a seguir, uma breve apresentação de
cada um deles.
4.1.1. Concepção estrutural
Na fase de concepção estrutural, que é a primeira na elaboração de um
projeto, definem-se os dados necessários para o cálculo da estrutura, como a
geometria e disposição dos elementos estruturais e os materiais a serem utilizados.
No TQS, essa etapa é realizada em três ambientes diferentes, sendo eles: “Editor
de dados do edifício”, “Modelador estrutural” e ‘Visualizador 3D”.
33
Figura 4.1 - Editor de dados do CAD/TQS
No editor de dados do edifício são inseridos os parâmetros básicos do
projeto, como o número de pavimentos, o material a ser utilizado (concreto armado
ou protendido), a norma adotada (no caso, será a NBR 6118:2014), os cobrimentos
nominais, as cargas e o modelo estrutural.
Com relação ao modelo estrutural, necessário para a etapa de análise
estrutural, que será apresentada a seguir, o TQS possui um sistema diferenciado,
que permite a consideração dos elementos estruturais (lajes, vigas e pilares) de
diferentes maneiras, por meio da combinação de modelos de grelha e/ou pórtico.
Isso constitui uma ferramenta inovadora e muito útil para o engenheiro, de forma
que possa ser escolhido o modelo que melhor vá representar o comportamento real
da estrutural.
Cada um dos tipos de modelo, seis no total, são descritos a seguir:
I. Modo Manual: o processamento global da estrutura não é permitido e
cada etapa do cálculo deve ser iniciada manualmente, incluindo a
transferência de esforços entre os elementos.
34
II. Esforços verticais por vigas contínuas ou grelhas, sem vento: o edifício
não será modelado por pórtico espacial, sendo os efeitos provenientes da
ação do vento nos pilares considerados de forma simplificada e os efeitos das
ações verticais calculados de acordo com o modelo escolhido para o
pavimento, acumulando-os de piso a piso.
III. Esforços verticais por vigas ou grelha, vento por pórtico espacial: o edifício
é modelado por um pórtico espacial associados aos modelos dos pavimentos.
As vigas e pilares são simulados pelos pórticos e para as lajes é incorporado
o efeito de diafragma rígido. Os efeitos das ações horizontais nas vigas e
pilares são calculados com o pórtico espacial e as ações verticais nas vigas,
pilares e lajes são calculadas de acordo com o modelo escolhido para o
pavimento, sendo acumulado de piso a piso. As cargas das lajes são
transferidas para as vigas do pórtico por quinhões de carga e não há interação
entre os modelos do pórtico e da grelha. Neste modelo não é possível realizar
análise global pelo método P-delta.
IV. Modelo de vigas e pilares, flexibilizado conforme critérios: o edifício é
modelado por um pórtico espacial mais os modelos dos pavimentos. As vigas
e pilares são simulados pelo pórtico e para as lajes é incorporado o efeito de
diafragma rígido. Os efeitos das ações horizontais e verticais nas vigas e
pilares são calculados como pórtico espacial. Somente os esforços verticais
nas lajes são calculados com o modelo selecionado para o pavimento. Nos
pavimentos simulados por grelhas de lajes os esforços resultantes das barras
de lajes sobre as vigas são transferidos como carga para o pórtico espacial,
havendo interação entre os modelos. Nos demais modelos de pavimento, as
cargas das lajes são transferidas por meio de quinhões de carga.
V. Modelo conjunto de pórtico/grelhas/vigas: As vigas e pilares são
dimensionados e detalhados com os esforços horizontais e verticais do
pórtico. O modelo trabalha como pórtico para esforços horizontais,
compatibilizando os esforços verticais nos modelos de grelha e viga. Este
modelo está desativado na criação de edifícios novos.
35
VI. Modelo de vigas, pilares e lajes, flexibilizado conforme critérios: o edifício
é modelado como pórtico espacial com elementos que simulam as lajes, vigas
e pilares. Os esforços verticais e horizontais são calculados por esse modelo.
Desta forma, as lajes passam a resistir a parte dos esforços gerados pelo
vento. Mesmo os pavimentos sendo definidos como grelha de lajes, este
modelo de grelha não é utilizado e serve apenas como base para geração do
modelo espacial.
Sobre as cargas, o TQS abrange quase todas as consideradas normalmente
no projeto de edificações. Elas podem ser definidas tanto na janela de edição de
dados quanto no modelo estrutural. São consideradas automaticamente pelo
programa as cargas de peso próprio dos elementos, havendo a opção de se mudar
o fator de ponderação. A carga de vento é definida manualmente, inserindo-se os
parâmetros definidos na NBR 6123:1988. O cálculo do coeficiente de arrasto é feito
de forma automática pelo programa através de uma interface própria, para
edificações paralelepipédicas submetidas ao vento de alta e baixa turbulência. É
possível modificar os valores calculados, caso seja desejado. Podem ainda ser
consideradas cargas devidas a temperatura, empuxo, sismo, retração, fluência do
concreto, protensão, imperfeições geométricas, entre outras. As combinações de
ações são geradas automaticamente pelo programa, podendo ser criadas novas
combinações caso se deseje.
Existe ainda uma aba referente aos critérios do edifício, onde se podem
controlar os procedimentos utilizados para o cálculo, dimensionamento e
detalhamento da estrutura. São definidos critérios para os diversos elementos
estruturais e modelos considerados, podendo estes ser alterados posteriormente.
O ambiente seguinte é o do modelador estrutural (Figura 4.2). Neste, é feito
o lançamento de estrutura graficamente, definindo-se, portanto, todas as suas
características geométricas. Este lançamento pode ser feito no TQS ou pode ser
importado para ele a partir de um arquivo .DXF. Nesta fase, também são definidas
algumas das cargas, como as de alvenaria e acidentais. É possível ainda, pelo
modelador estrutural, fazer uma verificação de erros de lançamento a partir de uma
análise de consistência do programa.
36
Por último, no ambiente visualizador 3D (Figura 4.3) pode-se observar a
estrutura gerada no espaço em qualquer direção. É possível também definir uma
seção de corte em qualquer posição caso se queira visualizar se, no interior da
estrutura, a geometria dos elementos foi adequadamente definida.
Figura 4.2 - Modelador Estrutural do CAD/TQS
Figura 4.3 - Visualizador 3D do CAD/TQS
37
4.1.2. Análise estrutural
A fase seguinte à concepção estrutural, na elaboração de um projeto, é a
fase de análise estrutural. Ela trata de obter a resposta da estrutura decorrente da
aplicação do carregamento, por meio de valores de esforços internos e
deslocamentos. Por ser umas das fases mais importantes do projeto, tendo grande
influência nas etapas subsequentes, é necessário dedicar grande atenção a ela,
procurando-se obter valores de esforços os mais condizentes possíveis com a
realidade.
Pelo TQS, essa fase é executada por meio de um comando denominado
“Processamento Global”, em que todas as grelhas dos pavimentos são geradas e
analisadas e seus esforços transferidos como cargas para o pórtico espacial, que
são também gerados e analisados. Todas essas etapas são realizadas de forma
sequencial e automática, podendo, em conjunto, serem ativados o
dimensionamento e o detalhamento dos elementos estruturais.
Figura 0.4 - Processamento global do CAD/TQS
Para verificação dos resultados da análise, o programa fornece ferramentas
de edição interativa, relatórios e visualizadores gráficos, permitindo ao engenheiro
verificar se todos os resultados estão de acordo com o esperado.
38
Na edição interativa, os dados dos modelos de grelha e pórtico espacial
podem ser visualizados e editados, sendo possível, por exemplo, checar e alterar
a conectividade dos nós, seções, materiais, cargas, etc.
Através dos relatórios, é possível acompanhar o passo-a-passo de como
cada resultado foi calculado, desde a análise até o dimensionamento e o
detalhamento.
Os visualizadores gráficos permitem a visualização dos diagramas de
deslocamento e esforços (normal, flexão, cortante e torção), além das reações de
apoio e carregamentos. Eles são divididos entre visualizadores de grelha e pórtico
espacial.
4.1.3. Dimensionamento e detalhamento
A etapa seguinte do projeto é a etapa de dimensionamento e detalhamento,
que se trata da resistência aos esforços solicitantes obtidos na análise estrutural,
nos elementos estruturais. Assim como na etapa de análise estrutural, essa etapa
também é feita de maneira automática pelo TQS, com base nos critérios de projeto
já definidos.
A visualização das plantas e dados gerados nesta etapa é dividida através
de subsistemas do TQS, um para cada tipo de elemento estrutural. Para
visualização do dimensionamento e detalhamento das vigas deve-se acessar o
CAD/Vigas, para as lajes o CAD/Lajes, para os pilares o CAD/Pilares e para as
fundações o CAD/Fundações.
Os desenhos das armaduras já são gerados de forma completa, entretanto
é possível que o engenheiro otimize e refine o dimensionamento e detalhamento
de acordo com o desejado, através dos editores gráficos.
São gerados ainda relatórios que apresentam, além dos dados utilizados no
dimensionamento, os resultados e ocasionais erros encontrados ao longo da
análise.
4.1.4. Emissão de Plantas
Após todo o processo de análise, dimensionamento, detalhamento, geração
e edição dos desenhos, o TQS gera os arquivos finais e os envia para qualquer
39
dispositivo de saída. Além da geração das plantas de detalhamento das armaduras,
o programa pode gerar as plantas de formas, de locação e de cargas. Esses
desenhos podem ser gerados nos formatos .PLT, .DXF, .PDF e .DWF.
O Editor de Planta (Figura 4.5) é o responsável por agrupar os desenhos
finais, inserir as tabelas de ferro e carimbos e finalizar os arquivos para impressão.
Figura 0.5: Editor de Planta do CAD/TQS
4.2. SAP2000
O SAP2000 é um software integrado de análise estrutural e
dimensionamento cujo modelo de análise é baseado em elementos finitos, capaz
de realizar análises estáticas, dinâmicas e não-lineares, tanto em 2D quanto em
3D. Sua interface é simples, porém com grande capacidade de processamento o
que o torna um dos programas mais utilizados quanto se trata de análise estrutural.
No decorrer deste projeto, serão mostradas como são definidos a geometria
da estrutura a ser analisada, as propriedades dos materiais, os carregamentos, o
tipo de análise e diversos outros parâmetros que são relevantes para os resultados.
40
5. ESTUDO DE CASO
Após apresentados todos os conceitos fundamentais e informações
relevantes para o entendimento e desenvolvimento do projeto, inicia-se neste tópico
a parte principal deste trabalho, por meio da apresentação do modelo a ser
estudado.
5.1. Apresentação
O objeto de estudo deste trabalho é uma edificação em concreto armado,
com propósito comercial localizada na cidade do Rio de Janeiro. A arquitetura e o
lançamento estrutural foram fornecidos pela própria TQS, servindo como exemplo
de aplicação do programa. De modo a acentuar a influência de todos os tipos de
carregamentos que podem atuar na estrutura, e dessa forma obter resultados mais
generalizados, escolheu-se utilizar um edifício de dimensão vertical considerável,
com 30 pavimentos, sendo 29 pavimentos tipo e um pavimento de cobertura.
A seguir, apresentam-se a planta baixa do pavimento tipo (figura 5.1), e as
plantas de forma do tipo (figura 5.2) e da cobertura (figura 5.3).
Figura 0.1 - Planta baixa do pavimento tipo (unidades em cm)
41
Figura 5.2 - Lançamento estrutural – Teto tipo
Figura 5.3 - Lançamento estrutural – Cobertura
5.2. Objetivos
O objetivo deste trabalho é, conforme já mencionado anteriormente, é dar
continuidade ao trabalho realizado anteriormente por BELLAS (2015), em que foi
realizada uma análise automatizada pelo TQS, incluindo análise estrutural,
dimensionamento e detalhamento, da mesma edificação apresentada no item 5.1.
A continuidade do estudo se dará segundo duas frentes: avaliação dos erros
e inconsistências encontradas nas análises dos trabalhos anteriores e análise,
automatizada ou não, das lajes por métodos diferenciados ou não abordados nos
42
trabalhos anteriores. Eventualmente, será feita também uma comparação dos
resultados.
Dito isso, especifica-se a seguir, o que se propõe fazer neste projeto:
Cálculo expedito das lajes pelo Método das Grelhas
Cálculo expedito das lajes pelo Método das Charneiras Plásticas
Cálculo expedito do ELS-DEF (em BELLAS (2015) feita somente verificação
automatizada pelo TQS e SAP2000)
Consideração, com auxílio do SAP2000, e automática, pelo TQS, do
momento volvente
Explicitação de como é feita a análise estrutural pelo TQS
Eventual comparação dos resultados das análises
Portanto, de forma a poder prosseguir com esses objetivos, faz-se uma
revisão das características gerais do edifício, já apresentadas nos trabalhos
anteriores.
5.3. Características gerais
5.3.1. Parâmetros iniciais
Concepção: edificação em concreto armado, com propósito comercial.
Localização: Rio de Janeiro, RJ.
Número de pavimentos: 29 pavimentos tipo + 1 pavimento de cobertura = 30
pavimentos.
Pé-direito de cada pavimento: 3,00 m.
Resistência à compressão característica do concreto: ��� = 30 MPa
Tensão de escoamento característica do aço: ��� = 500 MPa
Classe de agressividade ambiental: II.
Cobrimento nominal:
Lajes - 25 mm
Vigas - 30 mm
Pilares - 30 mm
Quantidade de elementos estruturais:
43
Pavimento tipo - 4 lajes (L1 a L4) + 9 vigas (V1 a V9) + 12 pilares (P1 a P12),
sendo os pilares P3 e P11 pilares-parede em U.
Cobertura - 3 lajes (L1 a L3) + 6 vigas (V1 a V6) + 12 pilares (P1 a P12),
sendo os pilares P3 e P11 pilares-parede em U.
5.3.2. Pré-dimensionamento
Já tendo em mãos o lançamento da estrutura (figuras 5.2 e 5.3), deve-se
realizar um pré-dimensionamento para se ter uma estimativa das dimensões dos
elementos e seus respectivos carregamentos, para em seguida prosseguir com o
dimensionamento. Usualmente, essa etapa do projeto é realizada baseando-se nos
valores de espessuras mínimas estabelecidas em norma e no bom senso e
experiência do engenheiro, pois a norma atual não define critérios específicos para
etapa.
Como os valores definidos no pré-dimensionamento já foram apresentados
em BELLAS (2015), neste trabalho somente serão apresentados os valores finais,
devendo-se consultar o trabalho mencionado caso se deseje entender o seu
processo de cálculo.
5.3.2.1. Dimensões dos elementos - Pavimento tipo
A seguir, apresentam-se a dimensões calculadas dos elementos estruturais
do pavimento tipo.
Lajes:
Tabela 5.1 - Dimensões das lajes - Pavimento tipo
� (��) �(��) �� (�) ��(�) Armadura
L1 10 8 3,40 1,50 Uma
direção
L2 16 14 8,21 6,70 Duas
direções
L3 16 14 8,21 6,70 Duas
direções
L4 10 8 3,4 2,85 Duas
direções
44
Vigas:
Tabela 5.2 - Dimensões das vigas - Pavimento tipo
� (��) � (��)
V1 50 18
V2 30 12
V3 30 12
V4 30 12
V5 50 18
V6 50 18
V7 60 18
V8 60 18
V9 50 18
Pilares:
Tabela 5.3 - Dimensões dos pilares - Pavimento tipo
� (��) � (��)
P1 90 30
P2 90 30
P4 90 30
P5 90 30
P6 70 30
P7 70 30
P8 90 30
P9 90 30
P10 90 30
P12 90 30
5.3.2.2. Dimensões dos elementos - Cobertura
Lajes:
Tabela 5.4 - Dimensões das lajes - Cobertura
Laje � (��) � (��) �� (�) �� (�) Armação
L1/L3 16 14 8,21 6,70 Duas direções
L2 16 14 8,21 3,40 Uma direção
45
Vigas:
Adotou-se uma altura de 50 cm e largura de 15 cm para todas as vigas da
cobertura.
Pilares:
Como todos os pilares do pavimento tipo seguem para a cobertura, suas
dimensões se mantém as mesmas.
5.3.2.3. Ações
As ações consideradas para o dimensionamento da edificação são divididas
entre ações permanentes e ações variáveis.
5.3.2.3.1. Ações permanentes
a) Peso próprio: obtido multiplicando-se a seção de cada elemento pelo peso
específico do material, explicitados na tabela 5.5 a seguir.
b) Revestimento: considerou-se que as lajes terão piso cerâmico com peso de 0,7
kN/m².
c) Alvenaria: de acordo com o item 2.1.1 da NBR 6120:1980 – Cargas para o
cálculo de estruturas de edificações, para paredes divisórias cuja posição não
esteja definida no projeto, deve-se utilizar um valor mínimo de 1,0 kN/m² para o
carregamento devido as paredes. Foi utilizado este valor para os cálculos expeditos
em BELLAS (2015), e o mesmo será feito para os cálculos expeditos neste trabalho.
Foi feita, em BELLAS (2015), uma consideração mais precisa levando em conta a
posição das paredes, portanto, o mesmo será feito nas análises automáticas deste
trabalho. Para esta consideração, utiliza-se o peso próprio dos materiais, conforme
a tabela a seguir:
46
Tabela 5.5 - Peso específico dos materiais
Material Peso específico (kN/m³)
Concreto armado 25
Tijolo furado 13
Argamassa 19
5.3.2.3.2. Ações variáveis
Foi considerada somente uma carga acidental de 2,0 kN/m² em toda a
superfície das lajes.
5.3.2.3.3. Resumo
Faz-se, a seguir, uma tabela resumindo os carregamentos em todas as
lajes.
Lajes - Pavimento Tipo:
Tabela 5.6 - Resumo das ações - Lajes - Pavimento Tipo
Laje Peso próprio
(kN/m²) Alvenaria (kN/m²)
Revestimento (kN/m²)
Permanentes (g) (kN/m²)
Carga acidental
(q) (kN/m²)
L1 2,50 - 0,70 3,20 2,00
L2/L3 4,00 1,00 0,70 5,70 2,00
L4 2,50 1,00 0,70 4,20 2,00
Lajes - Cobertura:
Tabela 5.8 - Resumo das ações - Lajes - Cobertura
Laje Peso próprio
(kN/m²) Alvenaria (kN/m²)
Revestimento (kN/m²)
Permanentes (g) (kN/m²)
Carga acidental
(q) (kN/m²)
L1 2,50 - 0,70 3,20 2,00
L2/L3 4,00 1,00 0,70 5,70 2,00
47
6. CÁLCULO EXPEDITO
Neste capítulo serão apresentados os cálculos expeditos propostos no item
5.2, para todos os elementos estruturais, visando já possuir balizadores para os
resultados que serão encontrados na análise automática, feita no capítulo seguinte
a este.
6.1. Método das Grelhas
6.1.1. Pavimento Tipo
Laje L1
Como a laje L1 é armada somente em uma direção, não houve necessidade
de dimensiona-la pelo Método das Grelhas, mantendo-se somente o
dimensionamento por vigas contínuas feito em BELLAS (2015), cujos resultados
obtidos foram os seguintes:
��� = 1,46 ���/�
��� = − 1,46 ���/�
Laje L2
ℓ� = 6,70 �
ℓ� = 8,21 �
� = 7,70 ��/��
� = 5
�′= 8
Utilizando-se (18), (19) e (20):
�� =1
�� ℓ��
��ℓ�� + 1
=1
�∙(�,��)�
�∙(�,��)� + 1= 0,307
48
�� = 1 − �� = 0,693
�� = �� � = 0,693 × 7,70 = 5,34 �� ��⁄
�� = �� � = 0,307 × 7,70 = 2,36 �� ��⁄
Utilizando-se agora, (22) e (24)
��� =
�� .ℓ��
�′�=
5,34 �� ��⁄ × (6,70 �)�
8= 29,9 ��.�/�
��� =
�� .ℓ��
�′�=
2,36 �� ��⁄ × (8,21 �)�
8= 19,88 ��.�/�
Laje L3:
Idêntica a laje L2.
Laje L4:
ℓ� = 3,40 �
ℓ� = 2,85 �
� = 6,20 ��/��
����çã� �:
� = 5
�′= 8
����çã� �:
� = 1
�′= 24
�� = 12
49
Utilizando-se as mesmas equações de antes:
�� =1
�� ℓ��
��ℓ�� + 1
=1
�∙(�,��)�
�∙(�,��)�+ 1
= 0,711
�� = 1 − �� = 0,289
�� = �� � = 0,711 × 6,20 = 4,41 �� ��⁄
�� = �� � = 0,289 × 6,20 = 1,79 �� ��⁄
Utilizando-se agora, (22), (23) e (24):
��� =
�� .ℓ��
�′�=
1,79 �� ��⁄ × (2,85 �)�
8= 1,82 ��.�/�
��� =
�� .ℓ��
�′�=
4,41 �� ��⁄ × (3,40 �)�
24= 2,12 ��.�/�
��� =
�� .ℓ��
�′�=
− 4,41 �� ��⁄ × (3,40 �)�
12= − 4,24 ��.�/�
6.1.2. Cobertura
Laje L1:
ℓ� = 6,71 �
ℓ� = 8,21 �
� = 6,70 ��/��
����çã� �:
� = 2
�′= 14,22
�� = 8
����çã� �:
50
� = 5
�′= 8
�� =1
�� ℓ��
��ℓ�� + 1
=1
�∙(�,��)�
�∙(�,��)�+ 1
= 0,150
�� = 1 − �� = 0,850
�� = �� � = 0,150 × 6,71 = 1,01 �� ��⁄
�� = �� � = 0,850 × 6,71 = 5,70 �� ��⁄
Utilizando-se agora, (21), (22), (23) e (24):
��� =
�� .ℓ��
�′�=
5,70 �� ��⁄ × (6,71 �)�
14,22= 18,00 ��.�/�
��� =
�� .ℓ��
�′�=
5,70 �� ��⁄ × (6,71 �)�
8= − 32,0 ��.�/�
��� =
�� .ℓ��
�′�=
1,000 �� ��⁄ × (8,21 �)�
8= 8,42 ��.�/�
Laje L2:
Como a laje L2 da cobertura é armada somente em uma direção, não houve
necessidade de dimensiona-la pelo Método das Grelhas, mantendo-se somente o
dimensionamento por vigas contínuas feito em BELLAS (2015), cujos resultados
obtidos foram os seguintes:
��� = 3,23 ��.�/�
��� = − 6,45 ��.�/�
Laje L3:
Idêntica a laje L1.
51
6.2. Método das Charneiras Plásticas
6.2.1. Pavimento Tipo
Laje L2
�� = �� = �� = �� = 0
� = 2/3
� = 7,70 ��/��
� = 6,70 �
� = 8,21 �
Utilizando-se (27), (28a) e (28b):
�� =2 ∙ 6,70 �
√1 + 0 + √1 + 0= 6,70 �
�� =2 ∙ 8,21 �
(√1 + 0 + √1 + 0) ∙ �0,25= 16,42 �
��� =
� ����
8 �1 + ��
��+
��
���
= 7,70 �� ��⁄ × 6,70 � × 16,42�
8 �1 + (�,�� �)
(��,�� �)+
(��,�� �)
(�,�� �)�
= 27,4 ���/�
��� = ���
� = 18,47 ���/�
��� = ��
� = 0
Laje L3:
Idêntica a laje L3.
52
Laje L4:
�� = �� =24
12= 2,00
�� = �� = 0
� = 1,165
� = 6,20 ��/��
� = 2,85 �
� = 3,40 �
Utilizando-se (27), (28a) e (28b):
�� =2 ∙ 2,85 �
√1 + 0 + √1 + 0= 2,85 �
�� =2 ∙ 3,40 �
(√1 + 2 + √1 + 2) ∙ �0,25= 3,93 �
��� =
� ����
8 �1 + ��
��+
��
���
= 6,20 �� ��⁄ × 2,85 � × 3,93 �
8 �1 + (�,�� �)
(�,�� �)+
(�,�� �)
(�,�� �)�
= 2,80 ��.�/�
��� = ���
� = 3,26 ��.�/�
��� = ���� = 2 × 0,132 = − 6,52 ��.�/�
6.2.2. Cobertura
Laje L1:
�� = − �� =14,22
8= 1,778
�� = �� = 0
� = 0,468
� = 6,70 ��/��
� = 6,71 �
� = 8,21 �
53
Utilizando-se (25), (26a) e (26b):
�� =2 ∙ 6,71 �
√1 + 1,778 + √1 + 1,778= 4,02 �
�� =2 ∙ 8,21 �
(√1 + 0 + √1 + 0) ∙ �0,25= 16,42 �
��� =
� ����
8 �1 + ��
��+
��
���
= 6,70 �� ��⁄ × 4,02 � × 16,42 �
8 �1 + (�,�� �)
(��,�� �)+
(��,�� �)
(�,�� �)�
= 10,37 ��.�/�
��� = ���
� = 4,85 ��.�/�
��� = − ����
� = − 18,44 ��.�/�
6.3. Dimensionamento a flexão
Para o dimensionamento a flexão, utilizam-se os parâmetros tradicionais,
apresentados abaixo:
��� =��
� ∙ �² ∙ ���
(43)
�� =
1 − �1 −����
�,��
0,8 (44)
�� = 1 − 0,4 ∙ �� (45)
�� =��
�� ∙ � ∙ ��� (46)
Faz-se um resumo dos valores característicos dos momentos fletores obtido
nos cálculos:
54
Tabela 6.1 - Resumo dos momentos fletores nas lajes do pavimento tipo
Laje Método ��
� (��.�)
���
(��.�) ��
� (��.�)
���
(��.�)
L1 - 1,46 - -1,46 -
L2/L3 Grelhas 29,90 19,88 - -
CP 27,40 18,47 - -
L4 Grelhas 1,82 2,12 - -4,24
CP 2,80 3,26 - -6,52
Tabela 6.2 - Resumo dos momentos fletores nas lajes da cobertura
Laje Método ��
� (��.�/�)
���
(��.�/�) ��
� (��.�/�)
���
(��.�/�)
L1/L3 Grelhas 18,00 8,42 -32 -
CP 10,37 4,85 -18,44 -
L2 - 3,23 - -6,45 -
Faz-se, portanto, o dimensionamento considerando os maiores valores de
cada situação. Os resultados são demonstrados abaixo. Convém lembrar que como
os momentos calculados foram característicos, multiplicou-se por 1,4 todos os
valores para se obter o valor de cálculo.
Pavimento tipo:
Tabela 6.3 - Armadura de flexão - Pavimento tipo - Laje L1
L1 Md
(kN.m/m) kmd kx kz
As (cm²/m)
���
(��.�/�) 2,04 0,0194 0,029 0,988 0,680
���
(��.�/�) -2,04 0,0194 0,029 0,988 0,680
55
Tabela 6.4 - Armadura de flexão - Pavimento tipo - Lajes L2/L3
L2/L3 Md
(kN.m/m) kmd kx kz
As (cm²/m)
���
(��.�/�) 41,9 0,100 0,157 0,937 7,30
���
(��.�/�) 27,80 0,066 0,101 0,959 4,80
Tabela 6.5 - Armadura de flexão - Pavimento tipo - Laje L4
L4 Md
(kN.m/m) kmd kx kz
As (cm²/m)
���
(��.�/�) 3,92 0,029 0,043 0,983 1,15
���
(��.�/�) 4,56 0,033 0,05 0,980 1,34
���
(��.�/�) -6,52 0,048 0,072 0,971 1,93
Cobertura
Tabela 6.6 - Armadura de flexão - Cobertura - Lajes L1/L3
L1/L3 Md
(kN.m/m) kmd kx kz
As (cm²/m)
���
(��.�/�) 25,2 0,06 0,092 0,963 4,30
���
(��.�/�) 11,79 0,028 0,042 0,983 2,00
���
(��.�/�) -44,80 0,107 0,933 0,168 7,90
Tabela 6.7 - Armadura de flexão - Cobertura - Laje L2
L2 Md
(kN.m/m) kmd kx kz
As (cm²/m)
���
(��.�/�) 4,52 0,0125 0,019 0,992 0,81
���
(��.�/�) -9,03 0,0249 0,037 0,985 1,62
56
6.4. Flechas
São feitos, a seguir, o cálculo das flechas nas lajes dos pavimentos do
edifício. É mostrado o passo-a-passo do cálculo para somente uma das lajes, sendo
apresentados, para as outras, os resultados em forma de tabela.
Laje L2 - Pavimento Tipo
Inicia-se pelo cálculo do momento fletor de fissuração, pela equação (29),
que é o correspondente ao surgimento da primeira fissura na laje, de forma a avaliar
em que estádio ela se encontra. Para isso, calcula-se, por (3), a resistência
característica do concreto à tração:
��� = ���,� = 0,3 ����/�
= 0,3 × (30)�/� = 2,896 ���
O momento de inércia da laje considerando seção homogênea não fissurada
é:
�� =�ℎ�
12=
(100 ��)(16 ��)�
12= 34.133 ���
Utiliza-se � = 1,5 por se tratar de uma seção retangular. A distância �� entre
o centro de gravidade da seção e a fibra mais tracionada é dada por h/2, ou seja:
�� = 16 �� 2⁄ = 8 ��.
Portanto, pode-se, agora, calcular o momento de fissuração:
�� =������
��=
1,5 × 2,896 ��� × 34.133 ���
8 ��= 18,53 ��.�
Para comparação com o ��, o momento fletor na laje deve ser calculado
considerando a combinação quase permanente. Logo, de acordo com a Figura 3.2
e com a Tabela 5.7:
��� = � + 0,4 ∙ � = 5,70 + 0,4 ∙ 2,00 = 6,50 ��/��
Refazendo-se os cálculos, considerando o maior momento, que é o da
direção x, tem-se que ��� = �� = 25,2 ��.� > ��, a laje está no estádio II em
serviço. Dessa forma, deve ser considerada a rigidez equivalente dada pela
equação (33). Portanto:
(��)�� = ��� ����
���
�
�� + �1 − ���
���
�
� ���� ≤ ��� ���
57
�� = 0,8 +0,2���
80= 0,8 + 0,2 ×
30
0,8= 0,875
��� = �� .��� = �� ��5600���� = 0,875 × 1,0 × 5600 × √30 = 26.838 ���
�� =��
���=
210 ���
26.838 ���≅ 7,82
Desprezando-se a armadura de compressão da laje (��� = 0), calcula-se a
posição da linha neutra no estádio II pela equação (30):
� = 14 ��; �� = 7,30 ���;�� = 7,82;� = 100 ��; ��� = 0; �� = 0
100 ∙ ���
2− 7,82 ∙ 7,30 ∙ (14 − ��) ≡ 0 → �� = 3,74 ��
O momento de inércia da seção fissurada é então dado por:
��� =���
3+ ����(� − ��)� + ����
�(�� − ��)�
=100 ∙ (3,74 ��)�
3+ 7,82 ∙ (7,30 ���) ∙ (14 �� − 3,74 ��)� + 0
= 7753 ���
A rigidez equivalente será calculada pela equação (33):
(��)�� = ��� ����
���
�
�� + �1 − ���
���
�
� ���� ≤ ��� ��
��� �� = 2683,8 �� ���⁄ × 34.133 ��� = 91.606.145 ��.���
(��)�� = 2683,8 �� ��⁄ ��18,53 ��.�
25,2 ��.��
�
× 34.133 ��� + �1 − �18,53 ��.�
41,9 ��.��
�
�
× 7753 ���� = 48.955.219 ��.��� ≤ ��� ��� (��!)
Calcula-se agora a flecha imediata. Utilizando-se as tabelas do Anexo A para
o cálculo de �, tem-se que:
�� =�
12
� ℓ��
��=
6,86
12×
(6,50 ��/��) × (6,70 �)�
0,4896 ��.��= 1,529 ��
Levando em conta a fluência:
58
�� =∆�
1 + 50��
�� =��
�
��= 0 ⇒ �� = ∆�
Assumindo que a carga de longa duração na laje começará a atuar cerca de
um mês após sua execução, pela tabela da figura 2.12:
∆� = 2,00 − 0,68 = 1,32
Portanto, a flecha total é:
�� = �� (1 + ∆�) = 1,529 × (1 + 1,32) ≅ 3,55 ��
Para as flechas máximas permitidas por norma, tem-se, pela figura 2.13:
Aceitabilidade sensorial (AS):
ℓ
250=
670 ��
250= 2,68 ��
Como a flecha encontrada é maior que os limites, seria necessário refazer o
dimensionamento.
Resume-se, em seguida, as flechas calculadas para as outras lajes, em
tabela, assim como todas as informações relevantes para o cálculo:
Tabela 6.8 - Verificação das flechas para o pavimento tipo
Laje ���
(��/��)
�� (��.�)
�� (��.�)
����� (��.���)
����
(��.���)
�� (��)
��
(��)
AS (��)
Situação
L1 4,00 1,46 7,24 22365000 22365000 0,0118 0,03 0,60 OK
L2/L3 6,50 25,3 18,53 91607040 48955219 1,53 3,55 2,68 Não OK
L4 5,00 2,26 7,24 22365000 22365000 0,05 0,11 1,14 OK
A seguir, apresenta-se a verificação das flechas para as lajes da cobertura:
Tabela 6.9 - Verificação das flechas para a cobertura
Laje ���
(��/��) ��
(��.�) ��
(��.�) �����
(��.���)
����
(��.���) ��
(��) ��
(��)
AS (��)
Situação
L1/L3 4,00 − 22,5 18,53 91607040 51261027 0,55 1,27 2,68 OK
L2 6,50 − 6,45 18,53 91607040 91607040 0,025 0,06 1,36 OK
59
7. ANÁLISE AUTOMÁTICA
Neste capítulo serão explicitadas todas as análises realizadas pelos
programas computacionais SAP2000 e CAD/TQS, de acordo com o que foi
proposto no item 5.2.
7.1. SAP2000
Com o SAP2000, foram desenvolvidos modelos do pavimento tipo e da
cobertura do edifício através do Método dos Elementos Finitos, de forma
semelhante ao que foi feito em BELLAS (2015), porém utilizando uma nova malha
de elementos. O objetivo é obter uma maior precisão nos resultados obtidos, além
de estabelecer um comparativo para resultados possivelmente duvidosos.
Adicionalmente, os modelos desenvolvidos serão utilizados para o cálculo
dos esforços de momentos fletores nas lajes com a consideração do momento
volvente, como será visto adiante.
Uma comparação com o número de elementos em cada um dos trabalhos
para cada um dos pavimentos encontra-se a seguir nas tabelas 7.1 e 7.2.
Tabela 7.1 - Comparação entre número de elementos em cada malha Pavimento tipo
Tipo de elemento Número de elementos
Este projeto BELLAS (2015)
Pórtico (para vigas) 9 9
Pórtico (para pilares) 10 10
Casca (para lajes) 3102 567
Casca (para pilares-parede)
1760 312
60
Tabela 7.2 - Comparação entre número de elementos em cada malha - Cobertura
Tipo de elemento Número de elementos
Este projeto BELLAS (2015)
Pórtico (para vigas) 9 6
Pórtico (para pilares)
10 10
Casca (para lajes) 3444 630
Casca (para pilares-parede)
880 156
Nos itens seguintes, serão apresentadas algumas das etapas da criação dos
modelos, e posteriormente, suas análises e resultados.
7.1.1. Materiais
As propriedades do concreto utilizado, nomeado de C30, foram inseridas de
acordo com já fora estabelecido anteriormente, conforme explicita a Figura 7.1 a
seguir.
7.1.2. Seções
Os elementos estruturais tiveram suas seções transversais definidas através
de uma ferramenta do “software” que agrupa elementos com propriedades
semelhantes em uma seção única.
61
Figura 7.1 - Definição das propriedades do concreto – SAP2000
As lajes e os pilares-parede foram modeladas com elementos finitos de
casca fina (“shell”), enquanto que as vigas e os pilares foram modelados com
elementos lineares de pórtico (“frames”).
Para as lajes foram criadas duas seções de nome L10 e L16, para o pilar-
parede uma seção de nome Pilar_parede, e para os pilares duas seções de nome
Pilar_30x70 e Pilar_30x90, para ambos os pavimentos. Para as vigas do pavimento
tipo, utilizaram-se três seções de nome Viga_12x30, Viga_18x50 e Viga_12x60, e
para as vigas da cobertura, uma seção com nome Viga_15x50, de acordo com suas
respectivas dimensões, conforme apresentado anteriormente.
Exemplifica-se nas figuras a seguir, a entrada de dados para a seção L10 e
para a seção Viga_18x50.
62
Figura 7.2 - Definição da seção L10
Figura 7.3 - Definição da seção Viga_18x50
63
7.1.3. Geometria
Com as seções e materiais definidos, pode-se então prosseguir para a
definição da geometria dos pavimentos. Foram incluídos nos modelos os pilares e
pilares-parede superiores (pavimento tipo) e inferiores (pavimento tipo e cobertura),
com uma altura de 3,0 m, engastados na base.
Os modelos no SAP2000, em 2D e 3D são apresentados a seguir, nas
figuras 7.4 a 7.7.
Figura 7.4 - Pavimento tipo - 2D - SAP2000
Figura 7.5 - Cobertura - 2D - SAP2000
64
Figura 7.6 - Pavimento Tipo - 3D - SAP2000
Figura 7.7 - Cobertura - 3D - SAP2000
65
7.1.4. Ações
Para as ações verticais de revestimento e carga acidental nas lajes, foram
utilizadas cargas distribuídas nos elementos de casca, cuja magnitude é a mesma
do que foi apresentado no item 5.3.2.3. O peso próprio é considerado
automaticamente pelo SAP2000.
Entretanto, o carregamento relativo ao peso da alvenaria foi considerado
como carga linear nas vigas e como cargas concentradas nos nós das lajes.
Para as lajes, considerou-se o carregamento do peso de alvenaria como uma
parede de 3,00 m de altura, com 10 cm de espessura de tijolo furado e 5 cm de
argamassa. Utilizando-se o peso próprio dos materiais, tem-se:
����,���� = 0,10 � × 3,00 � × 1,30 ��/�3 + 0,05 × 3,00 × 1,90 = 6,75 ��/�
Como foram utilizados elementos finitos de 0,20 m x 0,20 m, pontualmente
tem-se que a carga inserida foi:
����,���� = 6,75 �� �⁄ × 0,20� = 1,35 ��
Para as vigas, considerou-se uma parede de 3,00 m de altura, com 20 cm
de espessura de tijolo furado e 5 cm de argamassa:
����,���� = 0,20 � × 3,00 � × 1,30 ��/�3 + 0,05 × 3,00 × 1,90 = 10,65 ��/�
7.1.5. Combinações de ações
Utilizando-se as ações já definidas no item anterior, foram consideradas
duas combinações para análise do pavimento no SAP2000, que são as seguintes:
ELU: ELU considerando com somente as cargas acidentes como
ação variável.
ELS: ELS de combinação quase permanente com somente as cargas
de ocupação como ação variável.
Os coeficientes de ponderação foram obtidos conforme definido no item 3.3,
e são resumidos na tabela 7.3 abaixo:
66
Tabela 7.3: Combinações de ações –SAP 2000
Ações ELU ELS
Peso próprio 1,40 1,40
Revestimento 1,40 1,40
Alvenaria 1,40 1,40
Carga Acidental 1,40 0,30
7.1.6. Análise
7.1.6.1. Momentos fletores
Os diagramas de momentos fletores no SAP2000 são apresentados em
escala de cores. Apresentam-se a seguir, como exemplo, alguns dos diagramas
obtidos para o pavimento tipo e cobertura, sendo os valores relevantes destes e
dos outros diagramas apresentados em tabelas posteriormente. Para cálculo dos
momentos fletores, foi utilizada a combinação ELU.
Figura 7.8 - Diagrama de Momentos Fletores na direção x do pavimento tipo- SAP2000
67
Figura 7.9 - Diagrama de Momentos Fletores na direção x da cobertura - SAP2000
São resumidos, nas tabelas 7.4 e 7.5 abaixo os valores máximos de
momentos fletores encontrados em cada uma das lajes de cada um dos
pavimentos.
Para todos os casos, os momentos máximos se localizam nos entornos do
centro da laje, porém, para as lajes do pavimento tipo, surgiram momentos
negativos concentrados de alta intensidade nas bordas, possivelmente
relacionados com o fenômeno do momento volvente, que será estudado mais
adiante. Dessa forma, foram desconsiderados nas tabelas a seguir esses casos de
momento concentrado.
Pavimento Tipo
Tabela 7.4 - Momentos fletores nas lajes do pavimento tipo - SAP2000
Momento/Laje L1 L2/L3 L4
���(��.�/�) 1,28 16,40 10,58
���(��.�/�) - 14,60 8,98
���(��.�/�) -13,49 - -
���(��.�/�) - - -4,70
68
Cobertura
Tabela 7.5 - Momentos fletores nas lajes da cobertura - SAP2000
Momento/Laje L1/L3 L2
���(��.�/�) 16,54 2,00
���(��.�/�) 6,93 -
���(��.�/�) -26,02 -15,43
���(��.�/�) - -
7.1.6.2. Deslocamentos
Os deslocamentos foram obtidos utilizando-se a combinação ELS, sem a
consideração da fluência. Nas figuras a seguir, estão exemplificadas as deformadas
dos pavimentos tipo e da cobertura, assim como os ícones da interface do SAP2000
que auxiliam a leitura dos deslocamentos. O resumo dos valores será dado em
tabela, posteriormente.
69
Figura 7.10 - Deslocamento da laje L2 - Pavimento tipo na combinação ELS - Vista superior -
SAP2000
Figura 7.11 - Deformada da laje L1 - Cobertura na combinação ELS - Vista superior -
SAP2000
70
Figura 7.12 - Deslocamento da laje L1 - Cobertura na combinação ELS - Vista superior -
SAP2000
As tabelas abaixo apresentam os valores de flecha máximo encontrados
para todas as lajes de cada um dos pavimentos, assim como a verificação aos
deslocamentos máximos, já apresentados anteriormente.
Pavimento Tipo
Tabela 7.6 - Deslocamentos nas lajes do pavimento tipo - SAP2000
Laje � (��) �� (��) �� (��) AS (cm) Situação
L1 150 0,02 0,05 0,60 OK
L2/L3 670 0,70 1,62 2,68 OK
L4 285 0,15 0,35 1,14 OK
Cobertura
Tabela 7.7 - Deslocamentos nas lajes da cobertura - SAP2000
Laje � (��) �� (��) �� (��) AS (cm) Situação
L1/L3 670 0,45 1,04 2,68 OK
L2 340 0,02 0,05 1,36 OK
71
7.1.6.3. Momentos volventes
O SAP2000 também disponibiliza diagramas de momento torsional, também
chamado, no estudo das lajes, de momento volvente. É possível fazer a
consideração desses momentos no dimensionamento das lajes por meio das
equações de Wood-Armer, conforme já apresentado em 2.6.2.4.
Para este projeto, no SAP2000, será feito um cálculo simplificado da
consideração do momento volvente em alguns pontos da laje, com o objetivo de
entender se com a consideração desses esforços o dimensionamento pode ser
otimizado. Posteriormente, os resultados obtidos serão comparados com os do
programa CAD/TQS, de forma a entender se esse último faz a consideração do
momento volvente.
Quanto aos pontos escolhidos para análise, como a concentração do
momento volvente é mais forte nas bordas entre lados apoiados, serão escolhidos,
para cada laje, sempre dois pontos nesses tipos de borda, assim como os pontos
de máximo momento fletor positivo e negativo.
Nas imagens abaixo, encontram-se exemplificados os pontos escolhidos
para a análise, sendo os resultados apresentados em tabelas, posteriormente.
Figura 7.13 - Pontos utilizados para consideração do momento volvente - Pavimento
Tipo
72
Figura 7.14 - Pontos utilizados para consideração do momento volvente - Cobertura
A seguir, são apresentados os dados, em tabelas.
Pavimento tipo
Tabela 7.8 - Momentos fletores corrigidos com o momento volvente - Pavimento Tipo -
SAP2000
Ponto Localização (m)
��� (��.�)
��� (��.�)
|���| (��.�)
�′�� (��.�)
�′�� (��.�)
�′′�� (��.�)
�′′�� (��.�) X Y
1 0,20 8,00 -15,10 -22,88 8,56 0,00 0,00 -23,66 -31,44
2 0,20 0,20 -16,90 -23,78 9,50 0,00 0,00 -26,40 -33,28
3 3,40 4,00 16,54 11,23 0,96 17,50 12,19 0,00 0,00
4 7,00 6,80 -2,47 -0,30 0,16 0,00 0,00 -2,63 -0,46
5 9,80 6,80 -2,41 -0,32 0,12 0,00 0,00 -2,53 -0,44
6 8,40 6,20 -1,28 0,02 0,01 0,00 0,02 -1,29 0,01
7 7,00 2,60 -5,79 -1,83 0,99 0,00 0,00 -6,78 -2,82
8 9,80 2,60 -5,59 -1,63 1,08 0,00 0,00 -6,67 -2,71
9 8,40 1,40 10,58 8,98 0,35 10,93 9,33 0,00 0,00
73
Cobertura
Tabela 7.9 - Momentos fletores corrigidos com o momento volvente - Cobertura - SAP2000
Ponto Localização (m) ���
(��.�) ���
(��.�) |���|
(��.�) �′��
(��.�) �′��
(��.�) �′′��
(��.�) �′′��
(��.�) X Y
1 0,20 8,00 -8,89 -5,60 4,14 0,00 0,00 -13,03 -9,74
2 0,20 0,20 -9,75 6,08 4,39 0 8,06 -14,14 1,69
3 3,40 4,00 16,54 4,76 0,57 17,11 5,33 0,00 0,00
4 7,00 6,80 -1,25 -0,80 -0,04 0,00 0,00 -1,21 -0,76
5 9,80 6,80 4,16 2,93 0,01 4,17 2,94 0,00 0,00
Nas tabelas acima, as células em vermelho geraram, inicialmente, os
momentos principais corrigidos com sinais contrários (por exemplo, momentos
negativos para armadura positiva). Como isso não faz sentido de acordo com a
rotina de Wood-Armer, tomou-se nulo os valores para momentos nesses pontos,
invalidando a necessidade de armadura.
A única célula em verde trata-se do único caso em que os momentos
principais corrigidos em um ponto (�′11 � �′
22) foram de sinais trocados,
necessitando anular o momento com sinal conflitante e fazendo uma nova correção
do outro momento pela equação (46a).
7.2. CAD/TQS
Com o programa CAD/TQS, não houve necessidade de desenvolver um
novo modelo, como foi feito no SAP2000, sendo utilizado o mesmo modelo
apresentado em BELLAS (2015). A utilização do programa, neste caso, será dará
na comparação de resultados obtidos em BELLAS (2015) pelo CAD/TQS com
resultados calculados neste projeto, além de se tentar fazer algumas considerações
adicionais com relação aos resultados obtidos pelo CAD/TQS.
A comparação dos resultados mencionados acima será dada no próximo
capítulo. Para esta seção deste capítulo, listam-se abaixo os objetivos:
74
Reapresentação dos momentos fletores calculados em BELLAS
(2015).
Reapresentação dos deslocamentos calculados em calculados em
BELLAS (2015).
Verificação da consideração do momento volvente pelo programa.
Verificação da consideração da fluência no cálculo das flechas nas
lajes.
7.2.1. Momentos fletores
O CAD/TQS realiza o cálculo dos esforços de momento fletores nas lajes
pelo Método das Grelhas. Dessa forma, é interessante fazer uma comparação com
os momentos obtidos pelo programa com o cálculo manual pelo Método das
Grelhas, assim como foi feito neste trabalho. Isso será feito posteriormente no
capítulo 8. Nesta seção, apresentam-se os resultados da análise de momentos
fletores obtido em BELLAS (2015). A seguir:
Tabela 7.10 - Momentos fletores nas lajes do pavimento tipo - BELLAS (2015)
Momento/Laje L1 L2/L3 L4
���(��.�/�) 2,70 18,50 4,70
���(��.�/�) -38,80 -59,30 -26,10
���(��.�/�) 12,50 9,90 4,60
���(��.�/�) -11,50 -17,20 -3,50
Tabela 7.11 - Momentos fletores nas lajes da cobertura - BELLAS (2015)
Momento/Laje L1/L3 L2
���(��.�/�) 18,20 1,50
���(��.�/�) -44,10 -35,60
���(��.�/�) 9,20 4,10
���(��.�/�) -12,30 -13,20
75
7.2.2. Deslocamentos
Apresentam-se a seguir, os valores de deslocamento calculados para as
lajes, em BELLAS (2015).
Tabela 7.12 - Deslocamentos nas lajes do pavimento tipo -
Laje L (cm) f (cm) flim (cm) Situação
L1 150 0,05 0,6 OK
L2/L3 670 1,30 2,68 OK
L4 285 0,18 1,14 OK
Tabela 7.13 - Deslocamentos nas lajes da cobertura - BELLAS (2015)
Laje L (cm) f (cm) flim (cm) Situação
L1/L3 670 1,88 2,68 OK
L2 340 0,10 1,36 OK
7.2.3. Consideração do momento volvente
O CAD/TQS possui uma ferramenta para consideração dos momentos
volventes. Em seu ambiente de gerenciador de critérios de projeto, pode-se
escolher se os momentos torsores (volventes) que serão, independentemente,
processados pelo programa, serão considerados no detalhamento da laje, como
pode ser visto na Figura 7.15 abaixo:
76
Figura 7.15 - Gerenciador de critérios de projeto - Momento volvente - CAD/TQS
Adicionalmente, em seu visualizador gráfico, podem ser verificados
diretamente os diagramas de momento torsor através da seleção do botão “��”,
além de ser possível verificar diretamente os diagramas de momento fletor
corrigidos com o momento torsor por Wood-Armer através da ferramenta “Seleção
de resultados”, como podem ser visto nas figuras adiante.
Figura 7.16 - Diagrama de momentos torsores - Pavimento tipo - CAD/TQS
77
Figura 7.17 - Seleção de resultados - Seleção da correção dos momentos por Wood-Armer
Para este projeto, a consideração do momento volvente feita será
novamente simples. Utilizando os valores dos momentos fletores obtidos no modelo
de BELLAS (2015), será feita a correção com momento volvente diretamente
através da visualização dos diagramas. Os pontos escolhidos para a correção são
semelhantes em posição aos escolhidos em 7.1.6.3 para correção no SAP2000,
apesar de não serem exatamente os mesmos em coordenadas devido a limitações
na visualização dos diagramas no CAD/TQS. Dessa forma, ao invés de se localizar
os pontos por coordenadas, eles serão identificados por regiões, como “borda
superior esquerda” ou “centro” da laje.
Apresentam-se portanto, os cálculos em tabelas, a seguir:
78
Tabela 7.14 - Correção dos momentos fletores com os momentos volventes -
Pavimento Tipo - CAD/TQS
Ponto Laje Localização (m) ���
(��.�) ���
(��.�) |���|
(��.�) �′��
(��.�) �′��
(��.�) �′′��
(��.�) �′′��
(��.�)
1 L2/L3 Borda superior
esquerda -30,4 -0,3 3,96 0 3,66 -34,36 -4,26
2 L2/L3 Borda inferior
esquerda -33,5 -12,3 0,85 0 0 -34,35 -13,15
3 L2/L3 Centro 18,5 5,4 0 18,5 5,4 0 0
4 L1 Borda superior
esquerda -1,27 -2,57 0 0 0 -1,27 -2,57
5 L1 Borda superior
direita -2,21 2,03 0 0 2,03 -2,21 0
6 L1 Centro 2,71 -0,34 0 2,71 0 0 -0,34
7 L4 Borda superior
esquerda 0,95 0,58 0,81 1,76 0 0 -0,23
8 L4 Borda superior
direita 0,5 0,46 0,6 0 0 -0,1 -0,14
9 L4 Centro 3,91 2,92 0 3,91 2,92 0 0
Tabela 7.15 - Correção dos momentos fletores com os momentos volventes -
Cobertura - CAD/TQS
Ponto Laje Localização (m) ���
(��.�) ���
(��.�) |���|
(��.�) �′��
(��.�) �′��
(��.�) �′′��
(��.�) �′′��
(��.�)
1 L1/L3 Borda superior
esquerda -2,25 -1,83 2,95 0,7 0 -2,95 0
2 L1/L3 Borda inferior
esquerda -2,27 1,87 3,86 1,59 3,46 -3,86 0
3 L1/L3 Centro 18,1 7,62 0 18,1 25,72 0 -18,1
4 L2 Centro 0,61 1,61 0 0,61 2,22 0 -0,61
5 L2 Borda Inferior 1,32 2,1 0 1,32 3,42 0 -1,32
Da mesma forma que no SAP200, nas tabelas acima, as células em
vermelho geraram, inicialmente, ambos os momentos principais corrigidos com
79
sinais contrários. Tomaram-se nulos, portanto, os valores para momento nesse
ponto, invalidando a necessidade de armadura.
7.2.4. Consideração da fluência
O CAD/TQS abrange uma ferramenta que considera a fluência do concreto,
ao se calcular as flechas. Essa consideração pode ser ativada ou desativada em
seu gerenciador de critérios, conforme pode ser visto na figura a seguir:
Figura 7.18 - Gerenciador de critérios de projeto - Consideração da Fluência -
CAD/TQS
A fluência pode ser considerada por dois métodos. Um pela majoração direta
das flechas imediatas pelos coeficientes ��, segundo a NBR6118:2014, e outro
pela correção do diagrama tensão-deformação do concreto pelos coeficientes de
fluência ∅ . Ambos os método somente podem ser utilizados através de uma
ferramenta do CAD/TQS chamada de “Grelha Não-Linear”, em que são
consideradas as não-linearidades do concreto para o cálculo de flechas.
Adicionalmente, pode ser feito também um cálculo elástico simplificado por
meio da utilização de um multiplicador para deformação lenta, que pode ser definido
pelo usuário. Esses resultados podem ser visualizados pela ferramenta
Visualização de Grelha, em que os resultados das flechas majoradas pelo
multiplicador são automaticamente calculadas e apresentadas pelo programa.
Portanto, apresentam-se a seguir duas análises feitas pelo programa para o
cálculo de flechas. Ambas são feitas pela “Grelha Não-Linear”, porém uma é feita
80
pela majoração direta das flechas por �� (Método 1), e outra pela consideração da
fluência desativada, sendo os valores obtidos posteriormente majorados pelo
multiplicador para deformação lenta, de forma a simular o cálculo elástico (Método
2).
Apresentam-se a seguir, os resultados:
Método 1:
Tabela 7.16 - Cálculo de flechas considerando a fluência - Pavimento Tipo - CAD/TQS
Laje L (cm) f (cm) AS Situação
L1 150 0,09 0,60 OK
L2/L3 670 1,31 2,68 OK
L4 285 0,18 1,14 OK
Tabela 7.17 - Cálculo de flechas considerando a fluência - Cobertura - CAD/TQS
Laje L (cm) f (cm) AS Situação
L1/L3 670 1,08 2,68 OK
L2 340 0,05 1,36 OK
Método 2:
Tabela 7.18 - Cálculo de flechas sem considerando a fluência - Pavimento Tipo - CAD/TQS
Laje L (cm) �� (��) �� (��) AS Situação
L1 150 0,04 0,10 0,60 OK
L2/L3 670 0,55 1,38 2,68 OK
L4 285 0,08 0,20 1,14 OK
Tabela 7.19 - Cálculo de flechas sem considerando a fluência - Cobertura - CAD/TQS
Laje L (cm) �� (��) �� (��) AS Situação
L1/L3 670 0,48 1,2 2,68 OK
L2 340 0,2 0,5 1,36 OK
81
8. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS
8.1. Comparação entre os momentos fletores
Apresenta-se uma comparação entre o resultado das análise fornecidas em
BELLAS (2015), e os momentos calculados pelos métodos deste trabalho, nas
tabelas abaixo.
8.1.1. Pavimento Tipo
Tabela 8.1 - Comparação entre os momentos fletores da laje L1 - Pavimento Tipo
Momento/Método
Este projeto BELLAS (2015)
Grelhas Charneiras Plásticas
SAP2000 CAD/TQS Manual
���(��.�/�) - - 1,28 2,70 1,46
���(��.�/�) - - -13,49 -38,80 -1,46
Tabela 8.2 - Comparação entre os momentos fletores das lajes L2/L3 - Pavimento Tipo
Momento/Método
Este projeto BELLAS (2015)
Grelhas Charneiras Plásticas
SAP2000 CAD/TQS Manual
���(��.�/�) 29,90 27,40 11,71 18,50 18,87
���(��.�/�) 19,88 18,47 10,43 9,90 11,70
82
Tabela 8.3 - Comparação entre os momentos fletores da laje L4 - Pavimento Tipo
Momento/Método
Este projeto BELLAS (2015)
Grelhas Charneiras Plásticas
SAP2000 CAD/TQS Manual
���(��.�/�) 1,82 2,80 7,56 4,70 1,39
���(��.�/�) 2,12 3,26 6,41 4,60 1,58
���(��.�/�) -4,24 -6,52 -3,36 -3,50 -4,34
8.1.2. Cobertura
Tabela 8.4 - Comparação entre os momentos fletores das laje L1/L3 - Cobertura
Momento/Método
Este projeto BELLAS (2015)
Grelhas Charneiras Plásticas
SAP2000 CAD/TQS Manual
���(��.�/�) 18,00 10,37 11,81 18,20 12,62
���(��.�/�) -32,00 -18,44 -50,93 -44,10 -30,02
���(��.�/�) 8,42 4,85 4,95 9,20 6,05
Tabela 8.5 - Comparação entre os momentos fletores da laje L2 - Cobertura
Momento/Método
Este projeto BELLAS (2015)
Grelhas Charneiras Plásticas
SAP2000 CAD/TQS Manual
���(��.�/�) - - - 1,50 3,23
���(��.�/�) - - - -35,60 -6,45
83
8.2. Comparação dos deslocamentos
Realiza-se também uma comparação dos deslocamentos calculados em
BELLAS (2015) pelos calculados neste projeto, que levaram em conta a fissuração
do concreto.
Tabela 8.6 - Comparação entre os valores de deslocamentos das lajes do pavimento tipo
Este projeto BELLAS (2015)
Manual SAP2000 CAD/TQS Manual
L1 (cm) 0,03 0,05 0,04 0,03
L2/L3 (cm)
3,55 1,62 1,57 2,10
L4 (cm) 0,11 0,35 0,18 0,11
Tabela 8.7 - Comparação entre os valores de deslocamentos das lajes da cobertura
Este projeto BELLAS (2015)
Manual SAP2000 CAD/TQS Manual
L1/L3 (cm)
1,27 1,04 1,40 1,08
L2 (cm) 0,06 0,05 0,06 0,05
84
8.3. Comparação dos momentos volventes
8.3.1. Pavimento tipo
Ponto
SAP2000 CAD/TQS
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1 0,00 0,00 -23,66 -31,44 0,00 3,66 -34,36 -4,26
2 0,00 0,00 -26,40 -33,28 0,00 0,00 -34,35 -13,15
3 17,50 12,19 0,00 0,00 18,50 5,40 0,00 0,00
4 0,00 0,00 -2,63 -0,46 0,00 0,00 -1,27 -2,57
5 0,00 0,00 -2,53 -0,44 0,00 2,03 -2,21 2,03
6 0,00 0,02 -1,29 0,01 2,71 0,00 0,00 -0,34
7 0,00 0,00 -6,78 -2,82 1,76 0,00 0,00 -0,23
8 0,00 0,00 -6,67 -2,71 0,00 0,00 -0,10 -0,14
9 10,93 9,33 0,00 0,00 3,91 2,92 0,00 0,00
8.3.2. Cobertura
Ponto
SAP2000 CAD/TQS
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1 0,00 0,00 -13,03 -9,74 0,70 -1,13 -2,95 2,25
2 -5,36 8,06 -14,14 1,69 1,59 3,46 -3,86 2,27
3 17,11 5,33 0,00 0,00 18,10 25,72 0,00 -18,10
4 0,00 0,00 -1,21 -0,76 0,61 2,22 0,00 -0,61
5 4,17 2,94 0,00 0,00 1,32 3,42 0,00 -1,32
85
9. CONCLUSÕES
Observando os resultados obtidos das análises realizadas, tanto as
numéricas quanto as expeditas, e tanto as realizadas neste projeto quanto as
realizadas em BELLAS (2015), pode-se perceber que frequentemente existem
divergências, algumas vezes significativas o suficiente para se duvidar dos
resultados.
Na comparação para os resultados obtidos para os momentos fletores
calculados por cada um dos métodos, embora na maioria dos casos a ordem de
grandeza dos esforços tenha coincidido em todos os métodos de análise, não se
obteve o resultado esperado que era que a análise manual pelo método das grelhas
e pelo programa CAD/TQS fossem as mais coincidentes dentre todas.
Quanto a comparação dos deslocamentos nas lajes, embora
frequentemente os resultados obtidos em cada um dos métodos de cálculo tenham
se assimilado, também surgiram resultados discrepantes, como o deslocamento
nas lajes L2 e L3 do pavimento tipo, que ultrapassou os limites exigidos por norma.
Dessa forma, só se reforça a conclusão de que a capacidade do engenheiro
projetista em saber analisar e interpretar os dados fornecidos pelos programas de
computador e também por seus próprios cálculos é fundamental para a elaboração
de um projeto seguro e funcional.
Também se reforça a necessidade de sempre estudar e procurar novas
maneiras de realizar análise e dimensionamento de estruturas, pois novos métodos
podem soluções que eventualmente são tão, ou mais, seguras e econômicas
quantos as utilizadas atualmente.
86
10. BIBLIOGRAFIA
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 – Projeto de
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6120 – Cargas para o
cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980.
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6123 – Forças devidas
ao vento em edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1988.
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 7480 – Aço destinado a
armadura para estruturas de concreto armado – Especificação. Rio de Janeiro,
ABNT, 2007.
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 8522 – Concreto –
Determinação do módulo de elasticidade à compressão. Rio de Janeiro, ABNT,
2008.
BASTOS, P.S.S., Lajes de Concreto, Notas de aula da disciplina Estruturas de
Concreto I do curso de Engenharia Civil, UNESP, Bauru, SP, Brasil, 2015.
BELLAS, B.F., Análise automatizada de uma edificação com ênfase no projeto de
lajes. 2015. Projeto de Graduação do Curso de Engenharia Civil, Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.
CELESTE, A.P., Análise de lajes retangulares à flexão considerando o acréscimo
de armadura devido aos momentos volventes. 2011. Projeto de Graduação do
Curso de Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,
2011.
GONZALEZ, R.L.M, Análise de lajes pela teoria das charneiras plásticas e
comparação de custos entre lajes maciças e lajes treliçadas. Dissertação de
87
Mestrado, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São
Carlos, 1997.
LONGO, H.I., Ação do Vento em Estruturas de Edificações, Apostila da disciplina
Estruturas de Concreto Armado II do curso de Engenharia Civil da UFRJ, Rio de
Janeiro, Brasil, 2014. (a)
LONGO, H.I., Pré-dimensionamento das Estruturas de Edificações, Apostila da
disciplina Estruturas de Concreto Armado I do curso de Engenharia Civil da UFRJ,
Rio de Janeiro, Brasil, 2014. (b)
SANTOS, S.H.C., Concreto Armado I, Apostila da disciplina Concreto Armado I do
curso de Engenharia Civil da UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil, 2014.
SANTOS, S.H.C., Detalhamento de Estruturas de Concreto Armado, Apostila da
disciplina Detalhamento de Estruturas de Concreto Armado do curso de Engenharia
Civil da UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil, 2015.
WOOD, R. H., The reinforcement of slabs in accordance with a predetermined field
of moments. Concrete Magazine, London, February 1968.
88
ANEXO
ANEXO A-1
89
ANEXO A-2
90
