Controlador Preditivo Generalizado Multi-Modelo aplicado ... · Em muitos procedimentos cirúrgicos existe a necessidade de realizar o controle da pressão arterial para, com isto,

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E

COMPUTAÇÃO

Controlador Preditivo GeneralizadoMulti-Modelo aplicado ao Controle de Pressão

Arterial

Humberto Araújo da Silva

Orientador: Prof. Dr. Anderson Luiz de O. Cavalcanti

Co-orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Dissertação de Mestrado apresentada aoPrograma de Pós-Graduação em Engenha-ria Elétrica e Computação da UFRN (área deconcentração: Automação e Sistemas) comoparte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre em Ciências.

Número de ordem PPgEEC: M262Natal, RN, Março de 2010

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Silva, Humberto Aráujo da.Controlador Preditivo Generalizado Multi-Modelo aplicado ao Controle de

Pressão Arterial / Humberto Araújo da Silva - Natal, RN, 201069 f.

Orientador: Prof. Dr. Anderson Luiz de O. CavalcantiCo-orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Tese (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro deTecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Computação.

1. Introdução - Dissertação. 2. Controle de Pressão Arterial - Dissertação.3. Controlador Preditivo Generalizado - Dissertação. 4. GPC Baseado no Pre-ditor de Smith - Dissertação. 5. Metodologia Multi-Modelo - Dissertação. I.Cavalcanti, Anderson Luiz de O. II. Maitelli, André Laurindo. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 004.932(043.2)

Controlador Preditivo GeneralizadoMulti-Modelo aplicado ao Controle de Pressão

Arterial

Humberto Araújo da Silva

Dissertação de Mestrado aprovada em 19 de março de 2010 pela banca examinadoracomposta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Anderson Luiz de O. Cavalcanti (orientador) . . . . . . . . . . DCA/UFRN

Prof. Dr. André Laurindo Maitelli (co-orientador) . . . . . . . . . . . . . . DCA/UFRN

Prof. Dr. Julio Elias Normey Rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAS/UFSC

Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo . . . . . . . . . . . . . . . . . DCA/UFRN

Resumo

Em muitos procedimentos cirúrgicos existe a necessidade de realizar o controle dapressão arterial para, com isto, preservar a saúde do paciente. Para diminuir as chancesde uma complicação, é necessário reduzir a pressão arterial o mais rápido possível. Ainfusão contínua de drogas vasodilatadoras, como o nitroprussiato de sódio (NPS), reduzrapidamente a pressão arterial na maioria dos pacientes. Porém, cada paciente tem umasensibilidade diferente a infusão do NPS, o que faz com que os parâmetros e os atrasosdo sistema sejam desconhecidos a priori. Além disso, os parâmetros de uma função detransferência associados à um paciente particular são variantes no tempo. Desta forma,o objetivo do trabalho consiste em desenvolver uma metodologia capaz de controlar deforma automática a pressão arterial na presença de incertezas de parâmetros e de gran-des atrasos. Para isso foi desenvolvida uma metodologia multi-modelo, onde para cadamodelo existe um Controlador Preditivo especificamente sintonizado, e um mecanismoadaptativo decide qual controlador deve ser o dominante para uma determinada planta.

Palavras-chave: Pressão Arterial, Controle Preditivo, Preditor de Smith, IncertezaParamétrica.

Abstract

Postsurgical complication of hypertension may occur in cardiac patients. To decreasethe chances of complication it is necessary to reduce elevated blood pressure as soon aspossible. Continuous infusion of vasodilator drugs, such as sodium nitroprusside (Ni-pride), would quickly lower the blood pressure in most patients. However, each patienthas a different sensitivity to infusion of Nipride. The parameters and the time delays ofthe system are initially unknown. Moreover, the parameters of the transfer function asso-ciated with a particular patient are time varying. the objective of the study is to developa procedure for blood pressure control in the presence of uncertainty of parameters andconsiderable time delays. So, a methodology was developed multi-model, and for eachsuch model a Preditive Controller can be a priori designed. An adaptive mechanism isthen needed for deciding which controller should be dominant for a given plant.

Keywords: Blood Pressure, Preditive Control, Smith Preditor, Parametric Uncer-tainty.

Sumário

Sumário i

Lista de Figuras iii

Lista de Tabelas iv

Lista de Símbolos e Abreviaturas v

1 Introdução 11.1 Estado da Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Organização do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Controle de Pressão Arterial 52.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Controlador Preditivo Generalizado 83.1 Introdução ao Controle Preditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Formulação do GPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 GPC Baseado no Preditor de Smith 174.1 O Algoritmo SPGPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Metodologia Multi-Modelo 215.1 Banco de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 Banco de Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Algoritmo de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Análise de Resultados 266.1 Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Comparação com o Trabalho do He, Kaufman e Rob Roy . . . . . . . . . 29

i

6.3 Análise de Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.3.1 Representação do Erro de Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . 406.3.2 Estabilidade e Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3.3 Robustez do GPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3.4 Robustez do SPGPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Conclusões 48

Referências bibliográficas 49

Lista de Figuras

3.1 Conceito de Horizonte de Predição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Estrutura Básica do MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1 Estrutura de Controle do Preditor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1 Arquitetura GPC Multi-Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 Arquitetura SPGPC Multi-Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.1 Poliedro formado pelo banco de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Ruído de Medição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.3 Resultados para o Paciente 1: Utilizando grandes variações paramétricas . 306.4 Resultados para o Paciente 2: Utilizando grandes variações paramétricas . 316.5 Resultados para o Paciente 3: Utilizando grandes variações paramétricas . 326.6 Resultados para o Paciente 4: Utilizando grandes variações paramétricas . 336.7 Resultados para o Paciente 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.8 Resultados para o paciente 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.9 Resultados para o paciente 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.10 Resultados para o paciente 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.11 Diagrama de blocos do sistema nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.12 Diagrama de blocos do sistema real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.13 Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.14 Representação do sistema real na forma de diagrama de blocos . . . . . . 426.15 Comportamento típico de eM(w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.16 GPC em Malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.17 Sistema de malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.18 Controle preditivo SPGPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.19 Índice de Robustez x Frequência do GPC e SPGPC . . . . . . . . . . . . 47

iii

Lista de Tabelas

2.1 Valores dos parâmetros do modelo discreto da planta para um período deamostragem de 15 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6.1 Banco de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Sintonia dos Controladores no MMGPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 Sintonia dos Controladores no MMSPGPC . . . . . . . . . . . . . . . . 286.4 Pacientes utilizados nas simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.5 modelos contínuos de pacientes utilizados em HE et al. 1986 . . . . . . . 346.6 modelos discretos de pacientes utilizados em HE et al. 1986 . . . . . . . 346.7 Comparação de desempenho PI Multi-Modelo, MMGPC, e SPGPC . . . 39

iv

Lista de Símbolos e Abreviaturas

Cs Concentração do medicamento (µg/ml)

I Taxa de infusão

IRgpc−Multi Índice de Robustez do GPC Multi-Modelo

IRgpc Índice de Robustez do GPC

IRspgpc−Multi Índice de Robustez do SPGPC Multi-Modelo

IRspgpc Índice de Robustez do SPGPC

J Função objetivo

Ks Sensibilidade ao medicamento

N1 Horizonte mínimo de predição

Nu Horizonte de controle

Ny Horizonte de predição

Po Pressão arterial inicial

R2j O resíduo relativo ao j-ésimo modelo

Tc Atraso de recirculação

Ti Atraso de transporte inicial

Ts Tempo de estabilização (Min.)

UM Taxa de infusão máxima (ml/h)

Up Peso do paciente (kg)

Wj Fatores de peso para o j-ésimo modelo

v

∆Y Variação da pressão provocada pela infusão do nitroprussiato de sódio

α Constante de recirculação

εA(s) Erro aditivo

εM(s) Erro mutiplicativo

γ Constante de variação

y(k + i) Valor estimado de y(k) i-passos à frente

τ Constante de tempo do sistema

gN(w) Função de transferência do sistema nominal

gR(w) Função de transferência do sistema real

iM Dose máxima recomendada (10 µg.kg−1min−1)

pc Pressão de referência (setpoint)

q−1 Representa o operador de atraso

r(k + i) Trajetória de referência futura

u(k) Sinal de controle

umax Máximo valor do sinal de controle (ml/h)

v(k) Ruído estocástico

y(k) Pressão de saída do sistema no instante k

ym j Pressão de saída do j-ésimo modelo

GPC: Generalized Predictive Control

NPS: Nitroprussiato de Sódio

PAM: Pressão Arterial Média

SAC: Supervisory Adaptive Control

SPGPC: Smith Predictor Based Predictive Control

Capítulo 1

Introdução

Complicações de hipertensão pós-cirúrgicas podem ocorrer em pacientes cardíacos.Isto é particularmente evidente após os procedimentos da cirurgia de revascularização domiocárdio. Para diminuir as chances de uma complicação, é necessário reduzir a pressãoarterial o mais rápido possível. A infusão contínua de drogas vasodilatadoras, como onitroprussiato de sódio (NPS), reduzem rapidamente a pressão arterial na maioria dospacientes. Porém, uma overdose do NPS poderia causar efeitos colaterais indesejáveis.

Cada paciente tem uma sensibilidade diferente ao medicamento, ou seja, uma mesmadose do NPS que altera muito a pressão arterial em um paciente, pode praticamente nãoalterar nada em um outro. Desta forma, ocorre um vasto leque de sensibilidades, ao me-dicamento, nos diversos pacientes. Por isso, é necessário controlar a taxa de infusão donitroprussiato cuidadosamente para atingir a pressão arterial desejada. Manter a pressãoarterial pretendida, exige um monitoramento constante da pressão arterial e frequente-mente um ajuste na taxa de infusão do medicamento. O controle manual da pressão arte-rial por um profissional da área de saúde é bastante exaustivo, consome bastante tempo,e o resultado as vezes é de má qualidade. Um profissional inexperiente poderá deixarde considerar o atraso referente a resposta circulatória, o vasto leque de sensibilidadesdos pacientes ao medicamento, e as mudanças nas características do paciente ao longodo tempo [Slate 1980]. Isto pode levar a uma mudança oscilatória na pressão devido auma correção excessiva. A necessidade de melhores cuidados com pacientes criticamentedoentes exige um sistema de controle em malha fechada eficaz e preciso para regular apressão arterial. Experimentos clínicos relatados na literatura têm mostrado procedimen-tos automáticos seguros, eficazes, e muitas vezes superior aos métodos manuais [Reveset al. 1978], [Slate & Sheppard 1982].

Neste contexto, no presente trabalho foi desenvolvida uma arquitetura multi-modelobaseada no pressuposto de que a planta pode ser representada por um número finitode modelos, e que para cada um desses modelos um controlador pode ser projetado

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

a priori [Lainiotis et al. 1971], constituindo assim um banco de controladores. Nestebanco, foram utilizados Controladores Preditivos Generalizados baseados no Preditor deSmith(SPGPCs). Nesse caso, foi projetado um SPGPC para cada um desses modelos. Eum mecanismo adaptativo fez-se necessário para decidir qual controlador deve ser o do-minante para uma determinada planta (ou paciente). A escolha deste tipo de controladordeve-se ao fato deles possuírem algumas características interessantes para o sistema emquestão, tais como [Camacho & Bordons 2004]:

• pode-se utilizar para controlar uma grande variedade de processos, desde processosmuito simples até processos com dinâmicas complexas como processos com grandetempo morto, processos de fase não mínima, processos instáveis ou processos comincerteza de parâmetros;• introduz um controle antecipativo (feedforward) e de forma natural, que compensa

as perturbações de medição;• a lei de controle resultante é de fácil implementação;• é muito útil quando se conhece as referências futuras;• permite tratar as restrições de uma forma sistemática e conceitualmente muito sim-

ples durante a fase de concepção.

1.1 Estado da Arte

Kaufman e Rob Roy, em 1986, apresentaram em seu trabalho [He et al. 1986] umprocedimento de controle adaptativo multi-modelo para controle de pressão arterial. Estametodologia baseia-se no pressuposto de que a planta pode ser representada por um nú-mero finito de modelos e que, para cada um desses modelos um controlador pode serprojetado a priori. Desta forma um mecanismo adaptativo é necessário para decidir qualcontrolador deve ser o dominante para uma determinada planta. Simulações computaci-onais mostraram que o controle adaptativo multi-modelo pode ser aplicado com sucessopara controle de pressão arterial, apesar de incertezas no atrasos, na constante de tempo eganhos do sistema.

Em 1990, G. A. Pajunen, apresentou uma abordagem de controle adaptativo paracontrole de pressão arterial com o nitroprussiato de sódio (NPS). Neste artigo [Pajunenet al. 1990] foi desenvolvido um algoritmo de controle adaptativo que utiliza um modelode referência variante no tempo. Um ajuste automático do modelo de referência foi pro-posto a fim de otimizar o desempenho do sistema em malha fechada, enquanto uma sériede restrições clínicas foram impostas sobre a taxa de infusão e a pressão arterial média.


Diversas simulações demonstraram, segundo os autores, a robustez do controlador pro-posto na presença de elevados níveis de ruído (com variância de 4mmHg2), em toda agama de parâmetros da planta, com grande variação destes parâmetros.

Em 1990, James Martin apresentou em seu trabalho [Martin et al. 1992] uma aborda-gem dual para controle adaptativo da pressão arterial utilizando o nitroprussiato de sódio.Para evitar possíveis reações excessivas, mantendo, ao mesmo tempo, uma boa respostaao degrau. Um controlador adaptativo agressivo foi desenvolvido para alcançar a respostaao degrau desejada, e um supervisor foi desenvolvido em torno do controlador para limitarreações excessivas na presença de pertubações. Este supervisor foi capaz de desempenhardiversas funções, como por exemplo, modificar ganhos do controlador, limitar taxas deinfusão e taxas de variação de infusão, parar/iniciar a adaptação e manter a taxa de infu-são constante. Foram realizadas simulações para demonstrar o desenvolvimento de umsupervisor especificamente concebido para um controlador adaptativo multi-modelo. Emtodas as simulações o supervisor limitou as reações excessivas do controlador na presençade grandes pertubações. Os autores destacam, que esta técnica pode também ser aplicadaa outros sistemas em malha fechada, como dopamina e débito cardíaco, e que mostra-sepromissora para controle multi-variável. Os autores continuaram desenvolvendo a téc-nica do SAC (supervisory adaptive control), levando-a para o cenário clínico [Martinet al. 1982].

Foi publicado em 1997 [Maitelli & Yoneyama 1997], o trabalho de André L. Mai-telli e Takashi Yoneyama, o qual apresentava uma nova abordagem de controle adaptativoda pressão arterial utilizando drogas vasoativas. A idéia deste trabalho foi utilizar umcontrole adaptativo que incorpora o conceito de dualidade, no sentido de Feldbaum e con-siderar o funcional de custo M-passos à frente no tempo. A propriedade dual significaque o sinal de controle é escolhido de forma que a estimação dos parâmetros do modeloe regulação do sinal de saída sejam balanceados de forma ótima. O controlador adapta-tivo proposto minimiza o erro ( diferença entre a pressão e a referência) alguns passos àfrente, forçando uma melhoria da qualidade no processo de estimação dos parâmetros e,conseqüentemente, uma melhoria em termos de controle global. As simulações mostra-ram que, o controlador proposto, apresentou uma melhor resposta transitória comparadoa outros controladores equivalentes.

1.2 Objetivos

Uma das dificuldades para realização do controle automático da pressão arterial é ofato de cada paciente reagir de uma forma diferente ao medicamento. Isto faz com que os


parâmetros do sistema sejam desconhecidos a priori. Dessa forma, o objetivo principal dotrabalho é desenvolver uma metodologia que seja capaz de realizar o controle automáticoda pressão arterial na presença de incertezas de parâmetros e de grandes atrasos. Emoutras palavras, desenvolver um metodologia capaz de realizar o controle automático dapressão para diversos pacientes, sem a necessidade de substituir o controlador, de talforma a assegurar uma taxa razoável de variação da pressão arterial e garantir segurançaà saúde do paciente.

1.3 Organização do texto

Neste documento, o capítulo 2 apresenta a formulação do problema a ser resolvido;que é o controle automático de pressão arterial. No capítulo 3 é mostrada uma introduçãoao controle preditivo junto com a formulação do Controle Preditivo Generalizado (GPC).A formulação do GPC baseado no Preditor de Smith é apresentada no Capítulo 4. Ametodologia proposta é apresentada no capítulo 5. No capítulo 6 é realizada a análise dosresultados, fazendo uma comparação com o trabalho desenvolvido em [He et al. 1986],bem como a análise de robustez dos controladores preditivos utilizados no trabalho.

Capítulo 2

Controle de Pressão Arterial

2.1 Introdução

A função de transferência relativa à redução da pressão para a taxa de infusão do NPS,foi desenvolvida por Slate [Slate 1980]. Esta função de transferência inclui dois atrasosinicialmente desconhecidos. Os parâmetros da função de transferência associada a umdeterminado paciente são variantes no tempo. Existem pertubações estocásticas agindosobre este sistemas e restrições clínicas impostas a serem consideradas em relação a taxade infusão e a pressão arterial média. Estas considerações levam a incorporação de ummétodo de controle adaptativo, ao invés de um controlador com parâmetros constantes,para se obter um desempenho satisfatório [Pajunen et al. 1990].

2.2 Formulação do Problema

Um sistema de infusão automática do medicamento (nitroprussiato) para controle dapressão arterial deve possuir algumas características para produzir uma boa resposta eproporcionar uma certa segurança ao paciente. Desta forma, este sistema deverá possuiralgumas restrições, tais como: a pressão não deve ter um undershoot (isto é, máximovalor abaixo da referência) menor que 20 mmHg, o erro de regime de 5 mmHg, e tambémsatisfazer as seguintes condições clinicas [Slate 1980]:

• A taxa de infusão do medicamento deve ser limitada por:

UM ≤ 60WpiMC−1s (ml/h) (2.1)

onde

UM = taxa de infusão máxima (ml/h)

CAPÍTULO 2. CONTROLE DE PRESSÃO ARTERIAL 6

Wp = peso do paciente (kg)iM = dose máxima recomendada (10 µg.kg−1min−1)Cs = concentração do medicamento (µg/ml).• para a segurança dos pacientes, a taxa de infusão deve ser reduzida quando houver

uma hipotensão, ou seja, uma queda na pressão superior a 20 mmHg abaixo dovalor de referência (setpoint).• a taxa de redução da pressão arterial deve ser limitada em 5-10 mmHg/10 s para

evitar efeitos colaterais indesejáveis como, por exemplo, a diminuição do fluxosanguíneo.

Um modelo da pressão arterial média (PAM) de um paciente sob a influência do ni-troprussiato de sódio pode ser representado como [Slate 1980].

PAM(k) = y(k) = Po−∆y(k)+ v(k) (2.2)

onde ∆y é a variação da pressão provocada pela infusão do NPS, v é um ruído esto-cástico, todos no instante k, e Po é a pressão arterial inicial.

Um modelo contínuo que descreve a relação entre a variação da pressão e a taxa deinfusão do medicamento é dado como segue [Pajunen et al. 1990]:

∆y(s) =Kse−Tis(1+αe−Tcs)

1+ τsI(s) (2.3)

onde I(s) é a taxa de infusão, Ks sensibilidade ao medicamento, α é a constante de recir-culação, Ti é o atraso de transporte inicial, Tc é o atraso de recirculação, e τ constante detempo.

O correspondente modelo discreto para este processo pode ser dado pela seguinteequação [Steinmetz 1987]

∆y(k) =q−d(bo +bmq−m)

1−a1q−1 I(k);bo > 0 (2.4)

onde q−1 representa o operador de atraso. Os parâmetros bo, bm, a1, d, e m são obtidosa partir equação do modelo contínuo (2.3).

Uma série de valores típicos para os parâmetros do modelo (2.3) para diferentes pa-cientes é dado por Slate [Slate 1980]. Valores para os parâmetros do modelo (2.4) para ocaso em que o período de amostragem é de 15 s são encontrados na Tabela 2.1 [Pajunenet al. 1990].

CAPÍTULO 2. CONTROLE DE PRESSÃO ARTERIAL 7

Tabela 2.1: Valores dos parâmetros do modelo discreto da planta para um período deamostragem de 15 s

Parâmetro Mínimo Máximo Nominalbo 0.053 3.546 0.187bm 0 1.418 0.075a1 0.606 0.779 0.741d 2 5 3m 2 5 3

A Tabela 2.1 mostra que existe uma diferença considerável nos valores dos parâme-tros, incluindo o atraso natural, para os diferentes pacientes. Para um determinado paci-ente, os atrasos são desconhecidos, mas se assume como uma constante durante um longoperíodo de tempo. Entretanto os parâmetros b0, bm, a1 variam durante o procedimentode infusão. Assume-se que os parâmetros variam de forma exponencial, e essa variação émodelada como sendo [Steinmetz 1987]:

par(k) = par(0)(2− e−k/γ) (2.5)

onde, par(k) representa o parâmetro atual do modelo (no instante k), par(0) é o parâ-metro inicial do modelo e γ é constante de variação.

Capítulo 3

Controlador Preditivo Generalizado

O Controle Preditivo se refere a uma classe de algoritmos ou técnicas de controle cujalei de controle é calculada baseada na predição da resposta do processo a ser controlado.As ações de controle são obtidas de forma a minimizar uma dada função de custo. Aidéia original do controle preditivo era atender às necessidades da indústria de refino depetróleo, mas vem se difundindo e ganhando aceitabilidade em vários outros setores daindústria, tais como: química, processamento de alimentos, automotiva, aeroespacial,metalúrgica e de papel, [Camacho & Bordons 1998]. Este fato se deve ao desempenhoeficaz desses controladores no controle de plantas monovariáveis e multivariáveis, de fasenão mínima, com retardo, que são características comuns em processos industriais emgeral.

Os controladores preditivos se baseiam na predição do comportamento futuro da plantaa ser controlada, e esta predição é feita através do modelo do processo, portanto, este mo-delo é um elemento importante para a eficácia do controlador.

Há diversos algoritmos de controle preditivo já desenvolvidos e utilizados que, ape-sar das muitas semelhanças, também apresentam peculiaridades. Eles podem diferir nomodelo do preditor, na função objetivo usada ou na forma de obtenção da lei de controle.Alguns possuem restrições, como o DMC, que impossibilita a sua aplicação para algunstipos de sistemas.

Dentre os diversos controladores preditivos, há o GPC (Generalized Predictive Con-trol) ou Controlador Preditivo Generalizado surgiu como proposta de um algoritmo decontrole preditivo genérico que pudesse resolver os problemas apresentados pelos demaiscontroladores da família MPC (Model Predictive Control) [Camacho & Bordons 1998].Dentre as características importantes do GPC podemos citar:

1. a possibilidade de obtenção de uma solução analítica da lei de controle para mode-los lineares na ausência de restrições;

2. a possibilidade de aplicação em processos instáveis e de fase não mínima;

CAPÍTULO 3. CONTROLADOR PREDITIVO GENERALIZADO 9

3. a possibilidade de incorporação do tratamento de restrições;4. a extensão natural para o caso multivariável.

3.1 Introdução ao Controle Preditivo

O Controle Preditivo Baseado em Modelo, ou simplesmente Controle Preditivo, foiproposto no fim dos anos 70 e tem-se desenvolvido desde então, [Camacho & Bordons1998]. O termo Controle Preditivo Baseado em Modelo, ou simplesmente Controle Pre-ditivo, não designa uma estratégia de controle específica, mas um conjunto de métodosde controle que tem uso explícito do modelo do processo e obtém o sinal de controle pelaminimização de uma função objetivo, consistindo em uma técnica inerentemente discretano tempo. A Figura 3.1 ilustra o conceito do controle preditivo no qual uma seqüência desinais de controle futura é calculada de maneira que a saída predita siga uma determinadatrajetória de referência.

Figura 3.1: Conceito de Horizonte de Predição

As variáveis mostradas na Figura 3.1, u(k), y(k) e r(k), representam os valores do sinalde controle, da variável controlada e do sinal de referência, respectivamente. Os valoresfuturos dessas variáveis podem ser representados pelos vetores:

u = [u(k)...u(k +Nu−1)]T (3.1)

Y = [y(k +1)...y(k +Ny)]T (3.2)

r = [r(k +1)...r(k +Ny)]T (3.3)


Em que:y(k + i) representa o valor estimado de y(k) i-passos à frente;Ny representa o horizonte de predição;Nu representa o horizonte de controle.

A previsão do comportamento futuro da saída do processo é calculada dentro do ho-rizonte de predição Ny. Para isso, é usado um modelo previamente determinado e bemrepresentativo do processo, bem como um conjunto de Nu ações de controle a serem for-necidas ao mesmo.

Obtido o conjunto das ações de controle, apenas o primeiro sinal é aplicado ao pro-cesso, sendo os demais descartados. No instante seguinte todo o processo é repetido,utilizando as informações mais recentemente medidas do sistema. Tal princípio é conhe-cido como "Princípio do Horizonte Móvel", [Camacho & Bordons 1998].

A lei de controle preditiva é obtida através da minimização de uma "Função Obje-tivo"que relaciona as variáveis y, u e r. Esta função representa matematicamente a quali-dade do rastreamento da saída predita em relação à trajetória de referência. Um exemplotípico de uma função objetivo pode ser visto em 3.4.

J =Ny

∑i=N1

[y(k + j)− r(k + j)]2 +λ

Nu

∑i=1

[∆u(k + i−1)]2 (3.4)

Em que: N1 é o horizonte mínimo de predição; Ny é o horizonte de predição; Nu é ohorizonte de controle; λ é uma ponderação no sinal de controle.

A minimização da função 3.4 em relação a u gera uma seqüência de ações de con-trole num certo horizonte de controle. A seqüência encontrada será ótima com relaçãoà função objetivo e para um determinado instante. Em conseqüência, os valores futurosda diferença entre y e r são minimizados. Se o modelo for fiel ao processo e na ausênciade distúrbios ou restrições, a saída do sistema seguirá a trajetória de referência. A Figura2.2 mostra a estrutura básica do controle preditivo. O modelo é usado para predizer osvalores futuros da saída da planta baseados em valores presentes e passados e ainda nasfuturas ações de controle ótimas propostas. As ações de controle são calculadas por umotimizador a partir de uma função objetivo que considera o erro de rastreamento futuro erestrições, caso existam.

O cálculo da seqüência de ações de controle se constitui em um problema de mi-nimização que normalmente requer um procedimento iterativo para se obter a solução.Algumas considerações são feitas para facilitar a solução deste problema, por exemplo:para se ter uma solução analítica é necessário um modelo linear, uma função de custo


Figura 3.2: Estrutura Básica do MPC

quadrática e ausência de restrições. Usar uma função de custo que leve em conta todas asespecificações de projeto tornaria a solução muito difícil.

3.2 Formulação do GPC

Utilizando o conceito de horizonte móvel, o Controlador Preditivo Generalizado ouGPC (Generalized Predictive Control) foi proposto por [Clarke et al. 1987] e tem setornado um dos métodos mais populares na indústria e academia desde então [Clarkeet al. 1987]. O algoritmo GPC calcula uma seqüência de ações de controle de forma aminimizar uma função objetivo multi-passo definida em um horizonte de predição e componderação na ação de controle.

Os processos de entrada e saída monovariáveis e lineares em geral podem ser descritospor um modelo auto-regressivo, média móvel, com sinal exógeno (ARMAX) conformemostrado na equação 3.5.

A(q−1)y(k) = q−dB(q−1)u(k−1)+C(q−1)e(k) (3.5)

Onde:

• q−1 representa o operador atraso unitário;• y(k) é a saída do processo;• u(k) é o sinal de controle;• d é o retardo natural do sistema em múltiplos períodos de amostragem;• e(k) é um ruído "branco"com média zero e variância σ2 ;


Os polinômios A(q−1), B(q−1) e C(q−1) são dados por:

A(q−1) = 1+a1q−1 +a2q−2 + ...+anaq−na

B(q−1) = b0 +b1q−1 +b2q−2 + ...+bnbq−nb

C(q−1) = 1+ c1q−1 + c2q−2 + ...+ cncq−nc

O ruído em muitas aplicações industriais é um processo estocástico não estacionárioque pode desviar a saída do processo do valor de referência. Uma ação integrativa podeser incorporada ao modelo 3.5 de modo a garantir erro de regime nulo, isto é, mantera saída do sistema na referência. O modelo passa a ser autoregressivo, integral, médiamóvel com sinal exógeno (ARIMAX) como mostra a equação 3.6.

A(q−1)y(k) = q−dB(q−1)u(k−1)+C(q−1)e(k)

∆(3.6)

Em que:

∆ = 1−q−1

Assim, a equação 3.6 também pode ser escrita na seguinte forma:

∆A(q−1)y(k) = q−dB(q−1)∆u(k−1)+C(q−1)e(k) (3.7)

A introdução do polinômio C(q−1) permite a modelagem do ruído, possibilitando umapredição mais exata. Esta característica dá ao GPC uma grande vantagem sobre os demaiscontroladores preditivos.

A idéia do GPC como qualquer outro controlador preditivo é calcular uma seqüênciade ações de controle de forma a minimizar uma função objetivo multi-passo definida numhorizonte de predição com ponderação na ação de controle. A equação 3.8 mostra afunção objetivo utilizada.

J =NY

∑j=N1

δ(i)[y(k + i)− r(k + i)]2 +NU

∑i=1

λ(i)[∆u(k + i−1)]2 (3.8)

Em que:

• y(k + i) é uma predição ótimo i-passos à frente da saída do sistema, baseada eminformações disponíveis até o instante k;• N1 é o horizonte inicial de predição;• NY é o horizonte máximo de predição;• NU é o horizonte de controle;


δ(i) e λ(i) são seqüências de ponderações no sinal de erro e de controle respectivamente;r(k + i) é a trajetória de referência futura.

[Clarke et al. 1987] consideraram a ponderação no sinal de erro em 3.8 igual a 1 e aponderação no sinal de controle constante.

Uma vez que o modelo é linear e causal, podemos considerar o valor predito comouma superposição de duas parcelas, a resposta livre e a resposta forçada, onde:

• A resposta livre consiste na resposta natural do sistema a partir das condições atuaisdo sistema, ou seja, considerando as ações futuras de controle nulas;• A resposta forçada é obtida a partir de uma seqüência de ações de controle não-

nulas e condições atuais nulas.

Tomando o modelo da equação 3.7, considerando C(q−1) = 1 e fazendo ∆A(q−1) =A(q−1), o modelo resultante será:

A(q−1)y(k) = q−dB(q−1)∆u(k−1)+ e(k) (3.9)

Que pode ser reescrito como:

y(k) =B(q−1)A(q−1)

∆u(k−d−1)+e(k)

A(q−1)(3.10)

Então, considerando a equação 3.10 e utilizando a equação diofantina expressa paraA(q−1) como mostra a equação 3.11:

1A(q−1)

= Ei(q−1)+q−i Fi(q−1)A(q−1)

(3.11)

Ei(q−1) = ei,0 + ei,1q−1 + ...+ ei,i−1q−(i−1) (3.12)

Fi(q−1) = fi,0 + fi,1q−1 + ...+ fi,i−1q−(na−1) (3.13)

O preditor para o modelo apresentado em 3.10 é dado por:

y(k + i) = B(q−1)Ei(q−1)∆u(k + i−d−1)+Fi(q−1)y(k)+Ei(q−1)e(k + i) (3.14)

Sabendo que o grau do polinômio Ei(q−1) é (i−1) , tem-se que o termo referente aoruído na equação 3.14 diz respeito ao futuro, de forma que a melhor predição de y(k + i)é:


y(k + i) = Hi(q−1)∆u(k + i−d−1)+Fi(q−1)y(k) (3.15)

Em que: Hi(q−1) = B(q−1)Ei(q−1)Como o sistema possui um retardo natural de d períodos de amostragem, a saída

do sistema só será influenciada pela entrada u(k) após (d + 1) períodos de amostragem.Com isso, os valores dos parâmetros da função objetivo são definidos como: N1 = d +1;NY = d +N e NU = N

O conjunto de predições ótimas dentro do intervalo de predição é:

Y (k +d +1) = Hd+1∆u(k)+Fd+1y(k)

Y (k +d +2) = Hd+2∆u(k +1)+Fd+2y(k)... =

... (3.16)

Y (k +d +N) = Hd+N∆u(k +N−1)+Fd+Ny(k)

As predições mostradas em 3.14 podem ser reescritas da seguinte forma:

y = Hu+F(q−1)y(k)+H(q−1)∆u(k−1) (3.17)

Em que:

y =

y(k +d +1)y(k +d +2)

...y(k +d +N)

; u =

∆u(k)

∆u(k +1)...

∆u(k)(k +N−1)

; F(q−1) =

Fd+1(q−1)Fd+2(q−1)

...Fd+N(q−1)

;

H =

h0 0 . . . 0h1 h0 . . . 0...

... . . . ...

hN−1 hN−2... h0

;

H =

{Hd+1(q−1)−h0}q

{Hd+2(q−1)−h0−h1q−1}q2

...{Hd+N(q−1)−h0−h1q−1−·· ·−hN−1q−(N−1)}qN

Como foi mencionado anteriormente, a resposta livre depende somente de valores

passados. É possível perceber, observando a equação 3.17, que a resposta livre depende


apenas das matrizes F(q−1) e H , o que nos fornece a equação:

yl = F(q−1)y(k)+ H∆u(k−1) (3.18)

A resposta livre também pode ser calculada recursivamente através da equação 3.19[Camacho & Bordons 1998]

yl,i+1 = q[1− A(q−1)]yl,i +B(q−1)∆u(k−d + i) (3.19)

Em que:

• yl,0 = y(k) e ∆u(k + i) = 0 ∀ i≥ 0• yl,iq−d = yl,i−d

• yl,i∀i < 0⇒ yl,i = y(k− i)

A resposta forçada é obtida a partir da seqüência futura de ações de controle, o quecorresponde à equação 3.20.

y f =

h0 0 . . . 0h1 h0 . . . 0...

... . . . ...

hN−1 hN−2... h0

(3.20)

Desse modo a resposta completa do sistema será:

y = Hu+ yl (3.21)

De posse da equação de predição ótima, juntamente com a função objetivo definida,podemos determinar a lei de controle. Para tanto, é conveniente reescrever a função obje-tivo na forma seguinte:

J = (Hu+ yl− r)T (Hu+ yl− r)+λuT u (3.22)

Em que:r = [ r(k +d +1) r(k +d +2) ... r(k +d +N) ]T

A equação 3.22 pode ser reescrita ainda na forma:

J =12

uT Gu+bT u+ f0 (3.23)

Em que:


• G = 2(HT H +λI)• bT = 2(yl− r)T H

• f0 = (yl− r)T (yl− r)

O objetivo do GPC é, como já foi mencionado anteriormente, minimizar a funçãoobjetivo. A minimização é obtida igualando a zero o gradiente de J em relação a u , ouseja, fazendo ∂J

∂u = 0.Visto que J é quadrática, teremos uma solução analítica para o problema:

u =−G−1b = (HT H +λI)−1HT (r− yl) (3.24)

Como já foi destacado, o GPC obedece o princípio do horizonte móvel, ou seja, so-mente o primeiro elemento do vetor de controle u calculado é aplicado à planta. Talelemento é dado por:

∆u(k) = K(r− yl) (3.25)

Em que: K é a primeira linha da matriz (HT H +λI)−1HT

Capítulo 4

GPC Baseado no Preditor de Smith

O Preditor de Smith [Smith 1957] foi o primeiro sistema de controle proposto naliteratura que introduz um compensador de atraso. O tal preditor permite melhorar odesempenho de um sistema com atraso em relação a outras técnicas, como por exemploo PID, principalmente quando o atraso é dominante (maior que duas vezes a constante detempo dominante do sistema) e bem conhecido.

A estrutura deste preditor está baseada no uso de um preditor Gn(s) no esquema decontrole. Nesta estratégia de controle, realimenta-se a predição da saída do processo notempo t, calculada usando o modelo do processo sem atraso (Gn(s)). Para que o sistemapossa rejeitar erros de modelagem e o efeito das perturbações, realimenta-se a diferençaentre a saída do processo e a saída do modelo com atraso (Pn(s) = Gn(s)e−Ls em que L éo atraso), tal como ilustrado no esquema da Figura 4.1 [Torrico 2007].

Figura 4.1: Estrutura de Controle do Preditor de Smith

Pode ser observado nesta estratégia que:

• a saída do preditor (Y eLs) é uma estimativa da saída do processo sem o atraso no-minal;

CAPÍTULO 4. GPC BASEADO NO PREDITOR DE SMITH 18

• como o modelo do preditor não é, em geral, igual ao processo real, é introduzido umfator de correção E, gerado pela diferença entre a saída real e a predita por (Gn(s))e• no caso ideal, o erro é zero e o controlador primário C(s) pode ser projetado consi-

derando apenas a planta sem o atraso (G(s)).

O Controle Preditivo Generalizado (GPC), [Clarke et al. 1987], tem sido implemen-tado com êxito em muitas aplicações industriais, mostrando um bom comportamento eum certo grau de robustez. Pode resolver muitos problemas de controle para uma amplagama de plantas com um número razoável de variáveis de projeto que são especifica-das pelo operador dependendo do conhecimento prévio do processo e dos objetivos docontrole.

Uma das vantagens do GPC é a possibilidade de ponderar simultaneamente o errode seguimento e a ação de controle, permitindo assim escolher um comportamento queatenda as especificações do usuário no que se refere ao compromisso comportamento-consumo de energia. Outras vantagens são:

1. o tratamento das restrições nas variáveis de controle e saída da planta;2. a aplicação em processos de fase não mínima;3. e, é especialmente interessante se o processo tem atraso, como é o caso do sistema

de controle de pressão arterial.

Esta última característica é muito importante visto que os processos com atraso sãomuito comuns na indústria.

Por outro lado, como toda estratégia de controle baseada em modelo o GPC é for-temente dependente da escolha do modelo do processo e das perturbações utilizadospara calcular as predições. Assim a estrutura do preditor tem importância fundamentalno comportamento e robustez do sistema em malha fechada, e como foi mostrado emNormey-Rico & Camacho (2000), a correta escolha do preditor pode levar a melhorarconsideravelmente a robustez do sistema. Finalmente, uma vez definida a estrutura depredição e a técnica de otimização (que caracteriza a eleição de um controlador predi-tivo específico) ainda devem ser definidas regras de ajuste dos parâmetros que possam serfacilmente interpretadas pelos operadores, e consequentemente utilizadas em ambientesindustriais.

Levando em conta todas estas características do problema, foi proposto um novo algo-ritmo de controle preditivo (o Controle Preditivo Generalizado (GPC) baseado no Preditorde Smith (SP), SPGPC) que se baseia nas idéias de otimização quadrática do algoritmo


GPC proposto em [Clarke et al. 1987] e nas caraterísticas de predição do SP proposto por[Smith 1957] e posteriormente modificado em [Normey-Rico et al. 1997]. Os resultadosrelacionados com a proposta do SPGPC para o caso SISO podem ser encontradas em[Normey-Rico et al. 1998], sendo que em [Normey-Rico & Camacho 2000] apresenta-se,ainda para o caso SISO, um estudo da robustez do controlador e do ajuste de parâmetros,inclusive comparando o SPGPC com outros controladores preditivos.

Nestes trabalhos, mostra-se como o SPGPC tem um procedimento de ajuste bastantesimples para ser utilizado em aplicações reais de processos com atraso onde existem gran-des erros de modelagem, como é o caso do processo aqui analisado. Usando um modelopara predizer o comportamento da planta em um dado horizonte, o controle é calculado apartir da minimização de um critério que considera o erro entre a mencionada predição ea referência, assim como uma ponderação do esforço de controle.

Desta forma, o sistema de controle obtido possui duas partes principais. Na primeiraparte ou etapa, calculam-se as predições da saída da planta, usando-se para isto um predi-tor que permite encontrar o valor esperado da saída na presença de perturbações estocás-ticas e, na segunda etapa, o horizonte e as ponderações do erro e do esforço de controledevem ser definidas para a minimização do critério.

4.1 O Algoritmo SPGPC

O Controle Preditivo Generalizado baseado no Preditor de Smith (SPGPC) utiliza omesmo procedimento de otimização do GPC, mas calcula as predições de forma diferente.Estudos realizados em [Normey-Rico & Camacho 1999], mostram que para processoslineares, estáveis e com atraso as propriedades do GPC podem ser bastante melhoradas,utilizando um preditor de Smith, no lugar do preditor ótimo, para calcular as predições atéo instante t +d. Com isto, pode-se obter o mesmo desempenho nominal e melhor robustezque o GPC, principalmente quando existem erros ao estimar o atraso do processo (Comoé o caso do sistema de controle de pressão arterial).

O algoritmo SPGPC utiliza, como o GPC, uma seqüência de controles que minimizamuma função de custo:

J =N2

∑j=N1

δ( j)[y(k + j|k)−w(k + j)]2 +N

∑j=1

λ( j)[∆u(k + j−1)]2 (4.1)

onde N é o horizonte de controle, N1 e N2 são os horizontes de predição, δ( j) eλ( j) são as seqüências de ponderação , w(k + j) é a referência futura e y(k + j|k) é a


predição ótima da saída do sistema em k+ j calculada em um tempo k usando um modeloincremental da planta:

∆A(q−1)y(k) = q−dB(q−1)∆u(k−1), (4.2)

e considerando conhecidas as predições da saída até k + d (d representa o atraso dosistema). Nesta equação ∆ = 1−q−1 e

A(q−1) = 1+a1q−1 +a2q−2 + ...+anaq−na (4.3)

B(q−1) = b0 +b1q−1 +b2q−2 + ...+bnbq−nb (4.4)

Usando este procedimento e na ausência de restrições, a lei de controle ótima se re-sume na seguinte equação [Normey-Rico et al. 1998]:

∆u(k) =na+1

∑i=1

lyiy(k +d− i+1|k)+nb

∑i=1

lui∆u(k−1)+N

∑i=1

fiw(k +d + i) (4.5)

onde lyi , lui e fi são os coeficientes calculados a partir de ai , bi e do ajuste dasponderações e horizontes. As predições da saída da planta se calculam usando o mesmoprocedimento que no preditor de Smith [Smith 1957]:

1. se calcula a predição y0(k +d− i|k) para i = 0,1, ...,na usando o modelo de malhaaberta da planta A(q−1)y(k) = q−dB(q−1)u(k−1);

2. se corrige cada predição de malha aberta somando a diferença entre a saída domodelo e a do processo, isto é, para i = 0,1, ...,na, se calcula:

y(k +d− i|k) = y0(k +d− i|k)+ y(k− i)− y0(k− i) (4.6)

Para melhorar a robustez do sistema, é possível incluir um filtro passa-baixa F nocontrolador o qual é utilizado para filtrar o erro entre o modelo e o processo e(i) = y(k−i)− y0(k− i) antes de somar ao valor da predição em malha aberta [Normey-Rico &Camacho 1999]. Tal filtro poderia ser usado para aumentar o valor do índice de robustezdo sistema de controle na faixa de freqüências desejadas sem alterar o comportamentonominal as trocas de referências, porém se modifica a rejeição de perturbações, comosucede também em GPC [Yoon & Clarke 1995].

Capítulo 5

Metodologia Multi-Modelo

A metodologia desta abordagem consiste em propor uma arquitetura multi-modelo,apresentada na Figura 5.1, a qual baseia-se no pressuposto de que a planta pode ser re-presentada por um número finito de modelos e que, para cada um desses modelos umcontrolador pode ser projetado a priori [Lainiotis et al. 1971]. Desta forma, um meca-nismo adaptativo é necessário para decidir qual controlador deve ser o dominante parauma determinada planta. Um procedimento para resolver esse problema é utilizar umsomatório ponderado, por fatores de peso, das saídas de todos os controladores, onde osfatores de pesos são determinados através de resíduos relativos entre a resposta da plantae as respostas dos modelos.

Na figura 5.1 o erro do sistema é dado por:

e(k) = y(k)−Pc (5.1)

onde k é a variável de tempo, Pc é a pressão de referência (setpoint) e y(k) é a pressão desaída do sistema no instante k.

Para a segurança dos pacientes, duas restrições são incorporadas ao sistema. A restri-ção que limita a taxa de infusão do medicamento é dada por:

u = F1(uD) =

{uD para uD ≤UM

UM uD > UM(5.2)

onde UM é a a taxa de infusão máxima permitida calculada a partir de 2.1.A outra restrição é utilizada para desligar a infusão do medicamento quando ocorrer

hipotensão [Slate 1980] e é dada por:

F2(y(k)) =

{1 para y(k)≥ PL

0 y(k) < PL(5.3)

CAPÍTULO 5. METODOLOGIA MULTI-MODELO 22

GPC1

GPC2

GPCN

u1·w1

u2·w2

uN·wN

u1

u2

uN

Σ uc·f2uc UM

uD D/A Y(S) A/D

Planta

u

Fm1(S)

Fm2(S)

FmN(S)

cálculo dos

resíduos

cálculo dos

fatores de peso

f1

f2

fN

ym2

ym1

ymN

w1

w2

wN

banco de

controladores

banco de

modelos

P0=y (k=0)

yPc -

+

F1

e

p

i

pL

f2=F2(y)

Figura 5.1: Arquitetura GPC Multi-Modelo

onde PL é definido como:PL = Pc−20 (5.4)

e Pc é a pressão de referência (setpoint).

5.1 Banco de Modelos

O banco de modelos em 5.1 consiste de uma série de modelos com parâmetros cons-tantes caracterizando o modelo da planta como um todo, em outras palavras, cobrindotodo o subespaço do modelo da planta [He et al. 1986]. Uma vez que esses modelos deve-rão ter a mesma estrutura que a planta, eles serão descritos pela seguinte equação discretano tempo:

∆ym j(k) =q−d(bo j +bm jq−m)

1−a1 jq−1 u(k);bo j > 0 (5.5)

( j = 1, ...,N)

onde a pressão de saída do j-ésimo modelo é dado por:


SPGPC1 u1·w1

u2·w2

uN·wN

u1

u2

uN

Σ uc·f2uc UM

uD D/A Y(S) A/D

Planta

u

Fm1(S)

Fm2(S)

FmN(S)

cálculo dos

resíduos

cálculo dos

fatores de peso

f1

f2

fN

ym2

ym1

ymN

w1

w2

wN

banco de

controladores

banco de

modelos

P0=y (k=0)

yPc -

+

F1

e

p

i

pL

f2=F2(y)

SPGPC2

SPGPCN

Figura 5.2: Arquitetura SPGPC Multi-Modelo

ym j(k) = ∆ym j(k)+P0( j = 1, ...,N) (5.6)

e

• ∆ym j(k) é a variação da saída do j-ésimo modelo,

• u(k) é o sinal de entrada do modelo,

• P0 é a pressão inicial para cada modelo, a qual é igual a pressão inicial da planta.

O resíduo relativo R2j(k) em 5.7 foi definido como o erro quadrático normalizado entre

a saída da planta e a saída do modelo.

R2j(k) = {[ym j(k)− y(k)]/(P0−Pc)}2( j = 1, ...,N) (5.7)

Para cada instante de tempo k, o modelo que tiver o menor resíduo é o modelo maisapropriado para representar as características da planta.


5.2 Banco de Controladores

O banco de controladores é formado por uma série de controladores onde para cadamodelo, presente no banco de modelos, foi sintonizado um controlador correspondente.Neste trabalho foram desenvolvidos dois diferentes bancos de controladores, onde o pri-meiro é formado por GPCs (Figura 5.1) e o segundo por SPGPCs (Figura 5.2).

5.3 Algoritmo de Controle

Para atingir o desempenho desejável do sistema e garantir a segurança do paciente, oalgoritmo de controle deve convergir rapidamente para os valores ótimos e deve ser ro-busto às variações dos parâmetros da planta ao longo do tempo, bem como assegurar umataxa razoável de variação da pressão arterial. Assim, a lei de controle foi calculada comoum somatório ponderado do sinal de controle obtido a partir do banco de controladores,isto é:

uc(k) =N

∑j=1

Wj(k)u j(k) (5.8)

onde

• N é o número de modelos;• u j(k) são as saídas individuais de cada controlador;• uc é o sinal de controle enviado ao processo;• Wj(k) são os fatores de peso.

Os fatores de peso são selecionados como segue:

1. Atualização recursiva

W ′j(k) =exp[−R2

j/2V 2]Wj(k−1)N∑

i=1exp[−R2

i /2V 2]Wi(k−1)(5.9)

2. limitando a distância do zero

Wj(k) =

{W ′j(k) W ′j(k) > δ

δ W ′j(k)≤ δ(5.10)


3. Normalização

Wj(k) =[Wj(k)]2

N∑

i=1[Wi(k)]2

(5.11)

onde

• R j(k) são os resíduos para cada modelo;• V é um parâmetro que controla a taxa de convergência de W ′j(k) com R j(k);• δ é um limiar para limitar a importância da informação passada.

As equações 5.8 e 5.9 expressam a relação básica entre o controle, fatores de peso e osrespectivos resíduos. A equação 5.10 é usada para limitar a importância das informaçõespassadas [He et al. 1986], assim como habilitar o mecanismo adaptativo a reagir rapida-mente a nova informação sobre as características da planta. A equação 5.11 é utilizadapara normalizar os fatores de peso, de tal forma que, o valor de sua soma quadrática sejaunitário.

Capítulo 6

Análise de Resultados

Nesta Seção é feita a análise de desempenho das soluções desenvolvidas no trabalho,comparando os resultados obtidos com o trabalho desenvolvido em [He et al. 1986] e arobustez do controladores preditivos, utilizados no trabalho (GPC e SPGPC), é analisada.

O objetivo do controle é levar a pressão dos pacientes ao nível desejado no menortempo possível. O controlador deve ser suficientemente robusto para compensar as varia-ções entre os o parâmetros dos diferentes pacientes, perturbações externas e variações noatraso.

6.1 Simulações

Foram realizadas simulações para avaliar o desempenho da metodologia apresentada.O banco de modelos foi construído a partir da tabela 2.1. Foram criados nove modelos,presentes na Tabela 6.1, com o objetivo de representar os diversos tipos de pacientes.

Tabela 6.1: Banco de Modelos

ParâmetrosModelos bo bm a1 d m

M1 0.053 0 0.606 3 3M2 0.053 0 0.779 3 3M3 0.053 1.418 0.606 3 3M4 0.053 1.418 0.779 3 3M5 3.546 0 0.606 3 3M6 3.546 0 0.779 3 3M7 3.546 1.418 0.606 3 3M8 3.546 1.418 0.779 3 3M9 0.187 0.075 0.741 3 3

CAPÍTULO 6. ANÁLISE DE RESULTADOS 27

onde Mi é o i-ésimo.De forma gráfica o banco de modelos representa um poliedro, onde os modelos do 1

ao 8 representam os vertices e o 9 é o modelo nominal, como pode ser observado na figura6.1.

Figura 6.1: Poliedro formado pelo banco de modelos

Para cada um desses modelos foram projetados e sintonizados, GPCs para soluçãoMMGPC e SPGCs para a solução MMSPGPC. Os parâmetros de sintonia para os referi-dos controladores das duas soluções propostas no trabalho encontram-se nas Tabelas 6.2e 6.3. O Controlador i foi sintonizado para o Modelo Mi, sendo i variando de 1 ao númerode modelos.

A Tabela 6.4 mostra os parâmetros de diversos pacientes, que não pertencem ao bancode modelos, os quais foram utilizados como modelos, em simulações, para avaliação dodesempenho dos controladores propostos no trabalho.

Nas simulações, foram utilizados uma pressão arterial inicial igual a 150mmHg e umvalor de referência de 100mmHg. Foi utilizado um ruído de medição (v(t)) representadona Figura 6.2 e foram obtidos resultados para as duas soluções propostas, utilizando todosos pacientes presentes na Tabela 6.4 , como pode ser observado nas Figuras de 6.3 a 6.6.A primeira solução desenvolvida foi o GPC Multi-Modelo e a segunda foi o SPGPCMulti-Modelo.

As Figuras de 6.3 a 6.6 mostram a pressão arterial dos pacientes presentes na Tabela


Tabela 6.2: Sintonia dos Controladores no MMGPCParâmetros

Controlador Ny Nu λ

GPC1 10 5 2GPC2 10 5 2GPC3 10 5 10GPC4 10 5 10GPC5 10 5 20GPC6 10 5 25GPC7 10 5 30GPC8 10 5 50GPC9 10 5 20

Tabela 6.3: Sintonia dos Controladores no MMSPGPCParâmetros

Controlador Ny Nu λ

SPGPC1 5 5 1SPGPC2 5 5 1SPGPC3 5 5 5SPGPC4 5 5 5SPGPC5 5 5 15SPGPC6 5 5 20SPGPC7 5 5 30SPGPC8 5 5 35SPGPC9 5 5 20

Tabela 6.4: Pacientes utilizados nas simulações

ParâmetrosPaciente b0 bm a1 d m

1 1.7465 0.7090 0.779 3 32 3.546 0.075 0.645 3 33 1.7465 0.7090 0.6925 5 34 0.187 1.418 0.606 3 3

6.4, para as duas soluções desenvolvidas neste trabalho, bem como também apresentama variação na taxa de infusão do medicamento ao longo do tempo, os valores dos fatoresde peso para cada controlador e a variação dos parâmetros dos pacientes ao longo dotempo (calculados pela equação 2.5). Com objetivo de testar a robustez do sistema àvariações paramétricas, nestas simulações, foram utilizados valores altos para a constantede variação γ, permitindo assim consideráveis variações nos parâmetros da planta b0, bm


Figura 6.2: Ruído de Medição

e a1.Os experimentos demonstram que para pequena ou nenhuma variação paramétrica

o GPC Multi-Modelo comporta-se de forma semelhante ao SPGC Multi-Modelo. Porémquando as variações são consideráveis o SPGPC Multi-Modelo apresenta um desempenhosuperior, realizando o controle com um tempo de estabilização inferior, sem provocarovershoot e com um sinal de controle menos oscilatório, na maioria dos casos.

6.2 Comparação com o Trabalho do He, Kaufman e RobRoy

Para efeito de validação das soluções desenvolvidas no trabalho fez-se necessário umaanálise comparativa com um trabalho reconhecido e com resultados satisfatórios como é ocaso do trabalho desenvolvido por [He et al. 1986]. Onde apresentaram um procedimentode controle adaptativo multi-modelo para controle de pressão arterial. Esta metodolo-gia baseia-se no pressuposto de que a planta pode ser representada por um número finitode modelos e que, para cada um desses modelos um controlador PI foi projetado a priori.Desta forma um mecanismo adaptativo decide qual controlador deve ser o dominante parauma determinada planta. Simulações computacionais mostraram que o controle adapta-tivo multi-modelo pode ser aplicado com sucesso para controle de pressão arterial, apesarde incertezas no atrasos, na constante de tempo e ganhos do sistema.


Figura 6.3: Resultados para o Paciente 1: Utilizando grandes variações paramétricas








Desta forma, foram realizadas simulações com os mesmos pacientes e condições uti-lizadas neste trabalho [He et al. 1986], onde foram utilizados um controlador do tipo PIpara cada modelo presente em um banco de modelos (PI Multi-Modelo). Os pacientes uti-lizados nestas simulações estão presentes na Tabela 6.5, onde foram utilizados modeloscontínuos e sem variação paramétrica, dados pela Equação 2.3.

Tabela 6.5: modelos contínuos de pacientes utilizados em HE et al. 1986Parâmetros

Paciente Ks Ti Tc α τ

5 9 60 60 0,4 456 0,25 60 60 0,4 457 9 60 20 0,4 458 1,4 60 60 0,4 45

Como estes parâmetros são contínuos, fez-se necessária uma discretização utilizandoum período de amostragem de 15 segundos, para encontrar os parâmetros da Equaçãodiscreta 2.4 para cada paciente. E estes parâmetros estão na Tabela 6.6.

Tabela 6.6: modelos discretos de pacientes utilizados em HE et al. 1986Parâmetros

Paciente b0 bm a1 d m5 2,55 1,02 0,7165 5 46 0,07087 0,0283 0,7165 5 47 2,55 1,02 0,7165 5 28 0,3969 0,1587 0,7165 5 4

Os resultados obtidos a partir dessas simulações estão nas Figuras 6.7, 6.9, 6.8 e 6.10.Os resultados obtidos por [He et al. 1986], para os pacientes citados nesta seção,

estão resumidos na Tabela 6.7 em comparação aos resultados obtidos pelas duas soluçõesdesenvolvidas neste trabalho (MMGPC e MMSPGPC). Na referida Tabela encontram-sedois parâmetros de desempenho de sistemas de controle: Tempo de Estabilização (Ts) e ovalor máximo do sinal de controle umax.

Através da análise da Tabela 6.7, percebe-se uma melhoria com relação ao tempo deestabilização para as soluções envolvendo o Preditor de Smith (MMSPGPC), onde paratodos os pacientes analisados, a referida solução obteve um tempo de estabilização menorse comparado as outras soluções citadas na Tabela. Além disto, em comparação ao PIMulti-Modelo e MMGPC, a solução MMSPGPC obteve um esforço de controle menorem praticamente todos os experimentos realizados, com exceção ao resultado obtido parao paciente 7.


Figura 6.7: Resultados para o Paciente 5


Figura 6.8: Resultados para o paciente 6






Tabela 6.7: Comparação de desempenho PI Multi-Modelo, MMGPC, e SPGPCPI Multi-Modelo MMGPC MMSPGPC

Paciente Ts(min.) umax(ml/h) Ts(min.) umax(ml/h) Ts(min.) umax(ml/h)6 7 10 10 10 5 7,57 7 150 7,5 55 3,5 1708 6 6 9 5,8 4,5 4,89 8 50 10 10,5 5 7,5

6.3 Análise de Robustez

O projeto de sistemas de controle é normalmente baseado em um modelo do processo,seja este obtido por identificação ou pelo equacionamento das leis físicas que regulam ocomportamento dinâmico do sistema. Devido às limitações do conhecimento do processo,os modelos utilizados não representam fielmente a dinâmica real. Como consequência,se o projeto do controle é realizado unicamente com base no modelo, o mesmo pode nãofuncionar como desejado quando opera com o processo real.

Quando um controlador é capaz de controlar um processo mesmo que o modelo usadopara o projeto não seja perfeito, se diz que o mesmo é robusto. O grau de robustezdo sistema pode ser medido de várias formas, mas é claro que deverá ser maior quantomaiores forem as incertezas ou erros de modelagem do processo, isto para garantir umbom desempenho do sistema.

A primeira ação que deve ser levada em conta no estudo da análise de robustez, deum sistema controle, é aceitar que devido às limitações do conhecimento do processo, osmodelos que serão obtidos não representam fielmente a dinâmica real, ou seja, existemsempre erros de modelagem [Cruz 1996].

As figuras 6.11 e 6.12 representam respectivamente o diagrama de blocos do sistemanominal e do sistema real, os quais servirão de auxilio para a análise em questão.

onde:

• r(s) é o sinal de referência;• e(s) é o é sinal de erro;• k(s) é a função de transferência do compensador;• gN é a função de transferência do sistema nominal;• d(s) é a pertubação refletida na saída da planta;• y(s) é o sinal de saída;• n(s) é o ruido de medida;• u(s) é o sinal de controle;


Figura 6.11: Diagrama de blocos do sistema nominal

Figura 6.12: Diagrama de blocos do sistema real

• gR função de transferência do sistema real.

6.3.1 Representação do Erro de Modelagem

Talvez uma das maneiras mais imediatas de representar o erro de modelagem sejaatravés de uma função εA(s) definida por [Lehtomaki 1981] e denominada erro aditivo.

εA(s) = gR(s)−gN(s)

O projetista em geral, não conhece εA(s) (pois, se conhecesse, teria gR(s), mas é capazde estimar uma função eA(w) tal que

|εA( jw)| ≤ eA(w) (∀w ∈ R)

Portanto,

|gR( jw)−gN( jw)| ≤ eA(w) (∀w ∈ R)


o que, no Diagrama de Nyquist, pode ser visto como ilustrado na Figura 6.13

Figura 6.13: Diagrama de Nyquist

O erro aditivo, contudo, apresenta um inconveniente. Para isso, considera-se a funçãode transferência de malha real, gRk(s), e o correspondente erro aditivo

gR(s)k(s)−gN(s)k(s) = ε(s)k(s)

Observa-se assim que o erro aditivo na função de transferência de malha fechadadepende de k(s), o que não é conveniente, pois o objetivo do projetista é obter k(s). Seriadesejável que o erro dependesse apenas da planta.

Por essa razão, utiliza-se o erro mutiplicativo εM(s), definido por

εM(s) =gR(s)−gN(s)

gN(s)(6.1)

que é uma medida relativa do erro.Obviamente o erro multiplicativo na função de transferência de malha é o próprio

εM(s) já quegR(s)k(s)−gN(s)k(s)

gN(s)k(s)= εM(s)

De 6.1 segue-se que

gR(s) = [1+ εM(s)]gN(s) (6.2)

o que, na forma de diagrama de blocos, pode ser visto como ilustrado na Figura 6.14Aqui será admitido que o projetista seja capaz de estabelecer um limite superior para

|εM(s)|, isto é, uma função eM(w) tal que


|εM( jw)| ≤ eM(w) ((∀w ∈ R)) (6.3)

gN(s)

εM(s)

++

u(s) y(s)

gR(s)

Figura 6.14: Representação do sistema real na forma de diagrama de blocos

Tipicamente, o comportamento de eM(w) é aquele representado na Figura 6.15, o quesignifica, em geral, que os modelos são fiéis em baixas frequências e grosseiros em alta[Cruz 1996] Os erros de modelagem em alta frequências podem estar associados, porexemplo, a dinâmicas deprezadas de atuadores, sensores ou outros elementos de efeitorelevante em altas frequências (indutâncias e capacitâncias parasitas, flexibilidades deeixos ou dentes de engrenagens, redução de ordem de modelos, etc.).

Figura 6.15: Comportamento típico de eM(w)

Por fim, é oportuno notar que, como

εM(s) =εA(s)gN(s)

,

a fase de εM(s) tem a mesma incerteza de εA(s), isto é, é totalmente incerta.


6.3.2 Estabilidade e Robustez

O objetivo do projetista deve ser garantir a estabilidade do sistema real, o que, emvista da forma como o problema foi apresentado aqui, significa assegurar a estabilidadede

cR(s) =gR(s)k(s)

1+gR(s)k(s)(6.4)

para toda εM(s) tal que

|εM( jw)| ≤ eM(w) ((∀w ∈ R))

Supõe-se, é claro, que cN seja estável.É necessário, neste ponto, fazer uma hipótese adicional acerca de gR(s), a saber, a de

que o número de pólos instáveis de gR(s) é o mesmo de gN(s). É oportuno lembrar queeta hipótese, embora possa parecer, à primeira vista, de difícil garantia, é, em realidade,admitida implicitamente sempre que se aplica o Critério de Nyquist a um problema práticode estabilidade. Neste caso, o número de pólos instáveis da planta real, em conjunto como número de envolvimentos do Diagrama de Nyquist em torno do ponto −1 + j0, é quepermite inferir a estabilidade em malha fechada.

O Critério de Nyquist permite afirmar que cR é estável se e apenas se o número deenvolvimentos no sentido anti-horário do diagrama de Nyquist de gR( jw)k( jw) perma-necer inalterado para toda εM(s) nessas condições (já que se está supondo que o sistemanominal é estável).

Essa condição é assegurada se e apenas se, ao se deformar continuamente o diagramade Nyquist desde gN( jw)k( jw) até gR( jw)k( jw), não há cruzamento do ponto −1 + j0(se há cruzamento, o número de envolvimentos se altera).

A condição de não cruzamento do ponto−1+ j0 pode ser expressa da seguinte forma:

[1+θεM( jw)]gN( jw)k( jw) 6=−1+ j0 (6.5)

onde θ ∈ [0,1]. Note que para θ = 0, o lado esquerdo da equação acima se reduz agN( jw)k( jw), ao passo que, para θ = 1, obtém-se gR( jw)k( jw). Como

εM : |εM| ≤ eM = θεM : |εM| ≤ eMeθ ∈ [0,1]

a condição 6.5 pode ser reescrita como


[1+ εM( jw)]gN( jw)k( jw) 6=−1+ j0 (6.6)

onde εM( jw) é arbitrário, mas tal que

|εM( jw)| ≤ eM(w) ((∀w ∈ R))

Equivalentemente,

1+gN( jw)k( jw)+ εM( jw)gN( jw)k( jw) 6= 0 (6.7)

Como cN é suposta assintoticamente estável, todos os seus pólos se localizam noSPE aberto e, obviamente, nenhum deles se situa sobre o eixo imaginário. Por isso,1+gN( jw)k( jw) 6= 0, o que permite que se reescreva a expressão anterior na forma

1+ εM( jw)gN( jw)k( jw)

1+gN( jw)k( jw)6= 0

Ou seja,

1+ εM( jw)cN( jw) 6= 0

É possível mostrar que esta condição é equivalente a

|cN( jw)|< 1eM(w)

(6.8)

que será aqui designada por Condição de Robustez da Estabilidade. A equação acimapode ser reescrita como

eM(w) <1

|cN( jw)|=|1+gN( jw)k( jw)||gN( jw)k( jw)|

(6.9)

Definindo o índice de robustez IR(w) como o segundo termo de 6.9 obtém-se:

IR(w) =|1+gN( jw)k( jw)||gN( jw)k( jw)|

(6.10)

Pela análise da equação 6.10 tem-se que o IR é calculado pelo inverso da função detransferência em malha fechada do sistema representado pela figura 6.11 e quanto maiorfor a magnitude do índice de robustez maior será a robustez do controlador. E a condiçãode estabilidade robusta é dada por:

IR > |δP( jw)|. (6.11)


Onde, δP( jw) é o erro de modelagem.

6.3.3 Robustez do GPC

Para efeito de análise e comparação entre as soluções desenvolvidas no trabalho, fo-ram calculados os índices de robustez para um único GPC para controlar a planta e paraum único SPGPC. O objetivo é fazer uma analise da influência do Preditor de Smith naRobustez do sistema. Dessa forma, o índice de robustez para um único GPC contro-lando a planta foi calculado considerando o diagrama de blocos do GPC da Figura 6.16[Cavalcanti 2008]. Assim, o índice de robustez pra o GPC IRgpc(e

jwh) é dado por:

IRgpc(ejwh) =

|1+C(e jwh)Pn(e jwh)Fs(e jwh)||C(e jwh)Pn(e jwh)|

(6.12)

onde C(z) é dado por:

C(z) =1

∆[1+Hs(z−1)z−1]

K C(z) Pn(z-1)

Fs(z-1)

+

-

R y(z)u(z)

Figura 6.16: GPC em Malha fechada

k(z) Pn(z-1)

+

-

R

y(z)u(z)

Figura 6.17: Sistema de malha fechada

E o máximo erro de modelagem δP foi calculado da seguinte forma:

δPi = max(Mi−MN

MN)

onde:


• δPi é o erro de modelagem referente ao modelo i;• Mi é a função de transferência do modelo i;• MN é a função de transferência do modelo nominal.

6.3.4 Robustez do SPGPC

Considerando a estrutura do GPC baseado no preditor de Smith (Figura 6.18), estapode ser reduzida em uma estrutura equivalente a Figura 6.17, e o índice de robustez édado por [Torrico 2007]:

IRspgpc(ejwh) =

|1+C(e jwh)Gn(e jwh)Fs(e jwh)||C(e jwh)Fs(e jwh)Gn(e jwh)|

(6.13)

K C(z) Pn(z-1

)

Fs(z-1

)

+

-

R y(z)u(z)

G(z-1

) z-d

+ +

+-

Yp(k)

Preditor de Smith

Figura 6.18: Controle preditivo SPGPC

A Figura 6.19 mostra a comparação entre as magnitudes dos índices de robustez doGPC único (equação 6.12) e do SPGPC único (equação 6.13).

Analisando os resultados percebe-se, em todas as faixas de frequência, uma maiormagnitude do índice de robustez para a solução envolvendo o SPGPC. Desta forma,percebe-se que ao adicionar o Preditor de Smith ao GPC, formando assim o SPGPC,tornou o controle mais robusto. Porém, ambas as soluções não são robustamente estáveisuma vez que seus índices de robustez não respeitam a condições de estabilidade robustadescrita na Equação 6.11, onde a magnitude dos índices deveria ser maior, em todas as fai-xas de frequências, que o erro de modelagem δP( jw), o que não ocorreu em nenhuma dassoluções. Embora em um certo intervalo de frequência, próximo a frequência de Nyquist,ambas apresentaram valores de magnitude acima do erro de modelagem.


Figura 6.19: Índice de Robustez x Frequência do GPC e SPGPC

Capítulo 7

Conclusões

Os resultados das simulações demonstraram que o esquema multi-modelo calculoude forma satisfatória a sequência de fatores de peso, de tal forma a encontrar o modelomais próximo do modelo real (menor erro residual); E que ambas as soluções levam apressão arterial do paciente ao valor de referência, sendo o SPGPC Multi-Modelo maiseficiente que o GPC Multi-Modelo, quando trata-se de sistemas com variações paramé-tricas, uma vez que esse realizou o controle com um tempo de estabilização menor, semovershoot e com um sinal de controle menos oscilatório, na maioria dos casos apresenta-dos. Os resultados mostraram que este esquema multi-modelo tem um grande potencialem aplicações de sistemas com parâmetros incertos. A estratégia utilizando o SPGPCMulti-Modelo mostrou um bom desempenho para sistemas com incertezas paramétricase com atrasos consideráveis, como é o caso dos sistemas de controle de pressão arterial.Mesmo na presença de ruídos representativos a metodologia desenvolvida demonstrouum bom resultado.

Análise de robustez realizada demonstrou que a adição do preditor de smith ao GPC(SPGPC), mesmo não garantindo a estabilidade robusta, tornou este controlador aindamais robusto. Uma das perspectivas futuras é a utilização, no banco de controladores, doControlador Preditivo Generalizado baseado no Preditor de Smith filtrado. E com isto,aumentar o valor do índice de robustez do sistema de controle nas faixas de freqüênciasdesejadas sem alterar o comportamento nominal as trocas de referências.

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Documents

Controlador Preditivo Generalizado Multi-Modelo aplicado ... · Em muitos procedimentos cirúrgicos existe a necessidade de realizar o controle da pressão arterial para, com isto,