Controle de Sistemas - renatomaia.net · Controle de Sistemas – Renato Dourado Maia Conceito de Lugar das Raízes O Lugar das Raízes, uma apresentação gráfica dos polos a malha

Controle de Sistemas O Método do Lugar das Raízes

Renato Dourado Maia

Universidade Estadual de Montes Claros

Engenharia de Sistemas

Controle de Sistemas – Renato Dourado Maia

Introdução No projeto de um sistema de controle, é funda-

mental se determinar como a localização das raízes da equação característica no plano S um-da com a variação de um parâmetro. Essa loca-lização das raízes, ou Lugar das Raízes (LR), é normalmente feita por um método gráfico co-nhecido como Gráfico do Lugar das Raízes.

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Conceito de Lugar das Raízes O Lugar das Raízes, uma apresentação gráfica

dos polos a malha fechada em função da varia-ção de um parâmetro de sistema, é um podero-so método de análise e projeto. Ele permite a-nálises qualitativa e quantitativa, e fornece mais informações do que os demais métodos que já estudamos.

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Conceito de Lugar das Raízes

Entrada Sinal

atuante

Função de Transferência do canal direto

Função de Transferência da retroação

Saída

(a) Sistema a Malha Fechada. (b) Função de Transferência Equivalente.

Modificações no ganho alteram os polos da

malha fechada!

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Representação Vetorial de Números Complexos

Plano s

Plano s

Plano s

Plano s

(a)

(b)

(c)

s jσ ω= +

( )s a+( )s a+

(c) (5 2)

( 7)s j

s→ +

+

( )s a+ é um nº complexo, e pode ser representado por um vetor traçado a partir do zero da função até o ponto s.

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Cada fator do numerador e do denominador é um número complexo, que pode ser representado por um

vetor. A função define a aritmética complexa a ser executada para calcular F(s) em qualquer ponto s.

1

1

( ) ( )

( )

m

iin

ij

s z fatores complexos do numeradorF s

fatores complexos do denominadors p

=

=

+= =

+

∏ ∏∏∏

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( 1)( )( 2)sF s

s s+

=+

Plano s

04/11/2014 7/28



Considerando a representação vetorial, tem-se, para a magnitude:

1

1

( ) ( )

m

iin

ij

s zcomprimentos dos zerosM

comprimentos dos pólos s p

=

=

+= =

+

∏∏∏ ∏

O comprimento de um zero é a magnitude do vetor traçado a partir do zero de F(s) em –zi até o ponto s, e o comprimento de um polo é a magnitude do vetor traçado a partir do polo de F(s)

em –pi até o ponto s.

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Considerando a representação vetorial, tem-se, para o ângulo:

O ângulo de um zero é o ângulo, medido no sentido trigonométrico, a partir do eixo real, de um vetor traçado

do zero de F(s) em –zi até o ponto s, e o ângulo de um pólo é o ângulo, medido no sentido trigonométrico, a partir do eixo real, de um vetor traçado do pólo de F(s) em –pi até o ponto s.

1 1

( ) ( )m n

i ii j

ângulos dos zeros ângulos dos pólos

s z s p

θ

θ= =

= −

= ∠ + − ∠ +

∑ ∑

∑ ∑

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Conceito de Lugar das Raízes a) O sistema CameraMan® Presenter Camera rastreia auto-maticamente um objeto que uti-liza sensores de infravermelho frontal e traseiro (o sensor fron-tal é também um microfone); co-mandos de rastreamento e de áudio são passados ao Camera-Man por meio de um enlace de radiofrequência de uma unidade utilizada pelo objeto.

(b) Diagrama de blocos.

(c) Função de transferência a malha fechada.

Posição do objeto Sensores Amplificador

Motor e câmara

Posição da câmara

onde

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Conceito de Lugar das Raízes Localização dos Polos em Função do Ganho do Sistema

Polo 1 Polo 2

–10 –9,47 –8,87 –8,16 –7,24 –5 –5 + j2,24 –5 + j3,16 –5 + j3,87 –5 + j4,47 –5 + j5

0 –0,53 –1,13 –1,84 –2,76 –5 –5 – j2,24 –5 – j3,16 –5 – j3,87 –5 – j4,47 –5 – j5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

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Conceito de Lugar das Raízes

Plano s

Plano s (a) Diagrama de Polos. (b) Lugar das Raízes.

Que conclusões podemos tirar por meio da análise do lugar das raízes do CameraMan®?

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Conceito de Lugar das Raízes As conclusões para um sistema simples como o

CameraMan® podem parecer triviais. Todavia, é importante perceber que o Lugar das Raízes re-presenta uma técnica importante para analisar sistemas de ordem maior do que dois...

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( ) 1( ) 180 360 , 0,1, 2,

G sG sK k

Kk

=

∠ = °± ° =

Propriedades Lugar das Raízes Seja o seguinte sistema:

( )R s ( )Y sK ( )G s+

-

Função de Transferência da Malha Fechada: ( )( )

1 ( )G sT KsKG s

=+

Equação Característica: ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 0K Ks G s G s j∆ = + → = − = − +

Forma Polar

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( ) 1( ) 180 360 , 0,1, 2,

G sG s k

KK k

=∠ = °± ° =

Propriedades Lugar das Raízes Assim, para que um ponto s pertença ao Lugar

das Raízes, é necessário que:

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Propriedades Lugar das Raízes Exemplo: 1( )

( 2)G s

s s=

+

2

( ) 1 ( ) 1 0( 2)

( ) 2 0

s G ss

KKs

s Ks s

∆ = + = + =+

∆ = + + =

( ) 1( 2)

( ) 180 , 540 ,

G ss s

G

K

K s

K = =+

∠ = ± ° ± °

Equação Característica:

Lugar das raízes:

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Propriedades Lugar das Raízes Vamos calcular as raízes da equação caracterís-

tica para K variando de zero até infinito... 2( ) 2 0s s s K∆ = + + =Equação Característica:

0

0.5

1

2

K

K

K

K

=

=

=

=

{ }{ }{ }{ }

2,0

1.7071, 0.2929

,1 1

1 j

−

⇒ −

⇒ − −

⇒

⇒ − ±

−

2

6

15

5

10

10

10

K

K

K

K

=

=

=

=

{ }{ }{ }{ }

3

7

1

1

1

2

9.9499

10

3.16 101

j

j

j

j

−

−

−

⇒ ±

⇒ ±

⇒

± ×−

±

⇒

Para K = 0, têm-se os polos da malha aberta. Para K muito grande, os polos vão para infinito... Agora é só fazer o desenho...

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Propriedades Lugar das Raízes

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Propriedades Lugar das Raízes

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.80.20.40.580.720.830.91

0.96

0.99

0.20.40.580.720.830.91

0.96

0.99

0.250.50.7511.251.51.752

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

( ) 1 0( 2)

ss

Ks

∆ = + =+

Matlab:

>>rlocus([1],[1 2 0])

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Propriedades Lugar das Raízes Para que um ponto pertença ao Lugar das Raí-

zes, qual condição deve ser satisfeita?

A condição de ângulo, sendo que a condição de módulo fornece o valor do ganho que aloca a raiz naquele ponto!

Pode-se observar que, para que a condição de ângulo seja obedecida, o LR corresponde a uma linha vertical, para ζ < 1

(subamortecimento), e uma linha horizontal, para ζ > 1 (sobreamortecimento). Vamos analisar essas conclusões nos dois

próximos slides...

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Propriedades Lugar das Raízes Para um ponto qualquer, sc, sobre a reta verti-

cal, obtém-se a contribuição dos dois polos, s1 e s2, da seguinte maneira:

[ ]( 2) (180 ) 180( 2)

c

c cs s

s ss

Ks

θ θ=

∠ = −∠ −∠ + = − °− + = − °+

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Propriedades Lugar das Raízes E como determinar o ganho no ponto sc?

1 2( 2) 2

c

c cc cs s

s ss s s s

K K K=

= = ⇒ = ++ +

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Propriedades Lugar das Raízes Consideremos a EC escrita na forma: ( ) 1 ( )s F s∆ = +

1

1

( )( )

( )

m

iin

ll

s zF Ks

s p

=

=

+=

+

∏

∏

Sabemos que: ( ) 1 0F s j= − +

Logo: 1

1 1

1

( )1 ( ) ( ) 180 360

( )

m

i m ni

i lni l

ll

s ze s z pK s k

s p

=

= =

=

+= ∠ + − ∠ + = °± °

+

∏∑ ∑

∏

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Propriedades Lugar das Raízes Exemplo:

(a) Sistema de exemplo. (b) Diagrama de polos e zeros de G(s).

O ponto (-2 + j3) pertence ao lugar das raízes? E o

ponto (-2 + j(√2/2))?

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Plano s

Representação Vetorial de G(s)

Plano s

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Plano s

1 1

-

( ) ( )m n

i ii j

ângulos dos zeros ângulos dos pólos

s z s p

θ

θ= =

=

= ∠ + − ∠ +

∑ ∑

∑ ∑

1 2 3 4

56.31 71.57 90 108.4370.55

θ θ θ θ θ= + − −= °+ °− °− °= −

O ponto (-2 + j3) não pertence ao lugar das raízes, isto é, não representa um polo a malha

fechada para nenhum valor de ganho.

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Plano s

Para o ponto (-2 + j(√2/2)), o ângulo vale 180°, e ele pertence ao lugar das raízes, isto é, representa um

pólo a malha fechada para algum valor de ganho...

1

1

3 4

1 2

( ) 1

( )

1

2 (1,22)2 0,33

(2,12)(1,22)

m

iin

ij

s zcomprimentos dos zerosM K

comprimentos dos pólos s p

comprimentos dos pólosK

M comprimentos dos zeros

L LKL L

=

=

+= = =

+

= =

= = =

∏∏∏ ∏

∏∏

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Cenas do Próximo Capítulo... O LR mostra como os polos em malha fechada

variam em função de um ou mais parâmetros ajustáveis.

Traçar o LR direto pelo conceito não é algo prá-tico. Será apresentado um procedimento prático geral que permite o esboço do Gráfico do Lugar das Raízes em função da variação de um dado parâmetro.

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