DANIEL CUNHA FRANCO DE OLIVEIRA ANÁLISE DINÂMICA … · analítica sobre a estrutura, utilizando-se do Princípio dos Trabalhos Virtuais e das hipóteses simplificadoras, tornando

DANIEL CUNHA FRANCO DE OLIVEIRA

ANÁLISE DINÂMICA DE PLACAS CIRCULARES

SUBMETIDAS A CARREGAMENTOS AXISSIMÉTRICOS

NATAL-RN

2017

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Daniel Cunha Franco de Oliveira

Análise dinâmica de placas circulares submetidas a carregamentos axissimétricos

Trabalho de Conclusão de Curso na

modalidade Monografia, submetido ao

Departamento de Engenharia Civil da

Universidade Federal do Rio Grande do

Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do Título de

Bacharel em Engenharia Civil.

Orientador: Fernanda Rodrigues

Mittelbach

Natal - RN

2017



Trabalho de conclusão de curso na

modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da

Universidade Federal do Rio Grande do

Norte como parte dos requisitos necessários

para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.

Aprovado em 23 de fevereiro de 2017

___________________________________________________

Prof(a). Fernanda Rodrigues Mittelbach – Orientadora

___________________________________________________

Prof. José Neres da Silva Filho – Examinador interno

___________________________________________________

Prof. Paulo Henrique Araujo Bezerra – Examinador externo

Natal-RN

2017

DEDICATÓRIA

Análise dinâmica de placas circulares submetidas a carregamentos

axissimétricos

Aos meus pais, Soraya e Weber.

AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente, aos meus pais, Soraya e Weber, por me educarem e

me mostrarem desde cedo a importância dos estudos na vida de alguém. Também por

me apoiarem em todas as minhas decisões.

À minha orientadora Fernanda Rodrigues Mittelbach, pelos ensinamentos,

acadêmicos e não-acadêmicos, e pelo imensurável auxílio no desenvolvimento deste

trabalho.

Aos meus amigos do Colégio Marista, com quem aprendi muitos dos princípios

que levo hoje comigo; os de faculdade, responsáveis por grande parte dos momentos

mais felizes da minha vida, e por fazerem os 5 anos na UFRN serem memoráveis.

A todos os professores que passaram pela minha carreira acadêmica. Com

certeza estes são os profissionais mais responsáveis pelo sucesso de seus alunos.

A todos que, mesmo indiretamente, desejam que eu alcance os meus objetivos

de vida.


RESUMO


Neste trabalho, será apresentada a utilização do Método dos Elementos Finitos (MEF)

na análise estática e dinâmica de uma placa circular. O MEF é um método que aplica as

expressões de Elementos Finitos nas derivadas existentes e nas equações integrais

oriundas do Princípio dos Trabalhos Virtuais. Com base no Princípio dos Trabalhos

Virtuais, desenvolveu-se um estudo numérico para o modelo, resultando em um código

computacional programado em linguagem Fortran. O trabalho tem o desenlace,

comparando os resultados do tratamento numérico com a solução analítica – para o caso

estático –, e com os encontrados por meio de outro método, o Método das Diferenças

Finitas Energéticas (MDFE) – no caso dinâmico –, com o objetivo de mensurar a

validade do código desenvolvido na analise de placas circulares. São utilizadas

estruturas com diferentes condições de contorno.

Palavras-chaves: Método dos Elementos Finitos. Placas circulares. Estruturas

axissimétricas.

ABSTRACT

Title: Dynamic analysis of circular plates under axisymmetric loads

In this paper, the use of the Finite Element Method (FEM) is presented in order to

analyze the dynamic and static behavior of a circular plate. The FEM applies finite

element equations into derivatives and integrals related to the Principle of Virtual Work.

Starting from the Principle of Virtual Work, a numerical analysis is developed, creating

a computational code written in Fortran. Lastly, this document compares the Finite

Element Method to the analytical solution, in regards to the static problem, and also

compares the FEM to another numerical procedure called Finite Difference Energy

Method (FDEM), in order to approach the dynamics of the circular plate. The

comparison is made by analyzing the results of the three mentioned procedures on four

diferente problems.

Keywords: Finite Element Method. Circular plates. Axisymmetric Structures.

ÍNDICE GERAL

CAPÍTULO PÁGINA

1. INTRODUÇÃO 13

2. OBJETIVOS 14

2.1 Geral 14

2.2 Específicos 14

3. JUSTIFICATIVA 14

4. METODOLOGIA 15

5. TRATAMENTO ANALÍTICO 15

5.1 Teoria das placas 15

5.2 Classificação 17

5.3 Hipóteses Básicas 18

5.4 Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.) 18

5.5 Relações tensão-deslocamento 19

5.6 Relações deformação-deslocamento 20

5.7 Relações esforços-deslocamento 20

5.8 Trabalho Virtual Interno 21

5.9 Trabalho virtual externo 21

5.10 Hipóteses simplificadoras 22

5.11 Contribuição da dinâmica no trabalho virtual externo 22

5.12 Representação das derivadas temporais dos deslocamentos 23

6 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 24

6.1 Tratamento numérico 25

6.2 Discretização e sistema de numeração 25

6.3 Funções de deslocamento 26

6.4 Determinação dos parâmetros locais do sistema 27

6.5 Matriz global e vetor global de carga da placa 42

6.6 Resolução do sistema de equação 43

6.7 Software utilizado 43

7 COMPARAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS 44

7.1 Representação do erro 44

7.2 Exemplo 1 45

7.3 Exemplo 2 46

7.4 Exemplo 3 48

7.5 Exemplo 4 49

7.6 Comentários 51

8 CONCLUSÃO 51

9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 53

INDICE DE TABELAS

TABELA PÁGINA

1 - Solução analítica x soluções do MEF (Deslocamentos, estático, placa circular

apoiada) 46


engastada) 48

3 – Soluções MDFE x soluções do MEF (Deslocamentos, dinâmico, placa circular

apoiada) 49

4 - Soluções MDFE x soluções do MEF (Deslocamentos, dinâmico, placa circular

engastada) 50

INDICE DE GRÁFICOS

GRÁFICO PÁGINA


apoiada) 46


engastada) 47

3 – Soluções MDFE x soluções do MEF (Deslocamentos, dinâmico, placa circular

apoiada) 49

4 - Soluções MDFE x soluções do MEF (Deslocamentos, dinâmico, placa circular

engastada) 50

SIMBOLOGIA

SIMBOLO SIGNIFICADO

E - Módulo de elasticidade longitudinal

a - Dimensão longitudinal da viga

Mr - Momentos fletores

r, , z - Direções coordenadas na casca

w - Componentes de deslocamento segundo z

We, Wi - Trabalhos virtuais das forças externas e internas

x, y, z - Deformações específicas

xy, xz, yz - Distorções

x, y, z - Componentes das forças de superfície

x, y, z - Tensões normais

xy, xz, yz - Tensões cisalhantes

13

1. INTRODUÇÃO

É uma prática comum associar os efeitos da dinâmica a carregamentos sobre pontes e à

ação do vento, porém essas não são as únicas considerações que devem ser feitas na hora de

dimensionar estruturas levando em conta as vibrações. Como exemplo, podemos citar o caso

de prédios comerciais, como salões de ginástica e de academia, onde devemos considerar o

deslocamento de equipamentos, e as vibrações no piso causadas por saltos de grupos de

dança. Além disso, ainda tem-se o avanço tecnológico das construções: à medida que o

dimensionamento torna-se mais preciso, é possibilitada a economia de material, e as peças

podem ser fabricadas cada vez mais esbeltas. Como efeito colateral, esses elementos sofrem

mais influência de movimentos oscilatórios do que as estruturas mais robustas, reforçando a

importância de se analisar a dinâmica dos elementos.

Ainda acrescenta-se outro fator: tomando como exemplo a norma brasileira que orienta o

cálculo de edificações submetidas à ação do vento, tem-se diferentes formas de se considerar

os efeitos produzidos por este agente, para fins de cálculo. Todos os modelos tratam a ação

dinâmica como uma carga estática equivalente à ação real, dinâmica, do vento (Blessmann,

1989). Esse tipo de abordagem, além de incapazes de prever o real comportamento dinâmico

das estruturas, muitas vezes atende aos estados-limites últimos de modo conservador,

resultando em estruturas superdimensionadas (FILHO, 2005), e nem sempre atendem aos

estados-limites de utilização.

O estudo a seguir trata-se da análise do comportamento de placas circulares, levando-se

em consideração as vibrações causadas por carregamentos axissimétricos uniformes. Para

isso, surgem diversas teorias que possibilitam o estudo, que apresenta grau de dificuldade

elevado devido à necessidade de se utilizar equações diferenciais. Devido ao grau de

complexidade de tais equações, será indispensável o uso de métodos computacionais

numéricos – Método de Newmark e Método de Elementos Finitos (MEF) –, bem como a

utilização da Teoria das Placas como fundamentação teórica. O objetivo do trabalho é

desenvolver um código computacional para obter os deslocamentos transversais da placa e a

linha de deflexão ao longo de seu raio.

Segundo Azevedo (2003), o MEF surgiu da necessidade de se criar soluções numéricas,

através do uso da computação, que possibilitassem a redução do alto grau de dificuldade

apresentado pelas soluções analíticas. É possível encontrar uma variedade de softwares que se

utilizam da teoria do MEF para resolver problemas de engenharia, sendo sua aplicação

14

diretamente ligada à determinação de deslocamentos, tensões e deformações, com valores de

mesma ordem de grandeza dos encontrados pelo modelo analítico.

Durante a revisão bibliográfica para a análise em questão, foram selecionados diversos

trabalhos abordando comportamento estático e dinâmico das placas, sendo o estudo das placas

circulares delgadas o alvo do trabalho desenvolvido.

Inserido no âmbito da engenharia estrutural, o estudo das placas vem recebendo atenção

especial por parte dos pesquisadores nas últimas décadas, o que fica comprovado pelo

considerável número de publicações existentes nessa área específica.

Devido à sua natureza geométrica – uma das dimensões é bem pequena em relação às

demais –, as placas podem ser analisadas por meio de um modelo simplificado das equações

gerais da elasticidade. O problema geral é abordado através uma ótica tridimensional, e o

problema das placas passa, então, a ser simplificado para um modelo bidimensional.

Além disso, foi escolhido o carregamento do tipo axissimétrico (simétrico em relação ao

eixo de revolução da placa), com o objetivo de transformar o modelo, que já era simplificado,

em um estudo unidimensional, e viabilizar a análise de situações mais complexas.

2. OBJETIVOS

2.1 GERAL

O objetivo do trabalho é validar o código desenvolvido para análise de placas circulares,

considerando os efeitos dinâmicos, e destacar a importância de se considerar ações dinâmicas.

2.2 ESPECÍFICOS

Como objetivos específicos, inclui-se: elaborar o código computacional propriamente dito;

possibilitar por meio deste a obtenção dos deslocamentos na estrutura; comparar os resultados

com os obtidos por meio de outros métodos e, dessa forma, comprovar a validade do modelo

construído.

3. JUSTIFICATIVA

O MEF é um método numérico que vem crescendo no desenvolvimento de trabalhos

científicos na modelagem de problemas de engenharia de estrutura. Objetivando uma futura

especialização e pós-graduação na área de engenharia de estruturas, é imprescindível a

familiaridade com métodos numéricos.

15

Além disso, o modo como a norma brasileira trata problemas dinâmicos pode ser

conservador, ocasiando o superdimensionamento das estruturas, bem como, dependendo da

situação, não satisfazer às condições de estados-limites de utilização.

4. METODOLOGIA

Para atingir os objetivos supracitados, este trabalho foi desenvolvido da seguinte forma:

Primeiramente será apresentada a estrutura com seus deslocamentos e sua convenção de

sinais, e explicitadas as hipóteses simplificadoras para possibilitar um tratamento menos

complexo;

Em um segundo momento será desenvolvida a equação diferencial que rege o problema,

sendo esta resolvida analiticamente;

Após o tratamento analítico, procede-se ao tratamento numérico através do MEF com a

utilização do PTV, para a obtenção das equações integrais;

Munido das equações produzidas nos dois passos anteriores, submete-se a estrutura a

diferentes condições de contorno e solicitações, e encontram-se os resultados através do Excel

e do Plato (compilador em linguagem FORTRAN) para o tratamento analítico e numérico,

respectivamente;

5. TRATAMENTO ANALÍTICO

Nesta seção será feita uma apresentação da Teoria das Placas, além de uma abordagem

analítica sobre a estrutura, utilizando-se do Princípio dos Trabalhos Virtuais e das hipóteses

simplificadoras, tornando a análise menos complexa. Esses recursos possibilitarão o uso das

equações diferenciais que regem o comportamento estrutural da placa.

5.1 TEORIA DAS PLACAS

Rodrigues (2009) define as estruturas axissimétricas ou de revolução, como estruturas

que podem ser representadas por uma seção que contém um eixo de revolução. Estas

estruturas são geradas girando a seção 360º em relação a esse eixo. A Figura 1 representa o

sistema de coordenadas para uma representação de peças axissimétricas, e observa-se que o

16

campo dos deslocamentos depende apenas da coordenada r, por se tratar de uma placa circular

com simetria de revolução. Consequentemente, a solução analítica desse sistema apresenta

apenas uma variável – a coordenada r radial da placa – (TIMOSHENKO, 1989).

Devido à axissimetria e à forma circular da estrutura, é utilizado um sistema de

coordenadas polares na formulação do problema. Dessa forma, a equação diferencial para

placas circulares axissimétricas, para q = q(r) e w=w(r), é dada por (TABORDA E VILLAÇA

1998):

,

*

(

)+-

Onde:

r é a variável na direção do raio;

q é a taxa de carregamento transversal à superfície média da placa;

w é o deslocamento transversal à superfície média da placa, e;

D é a rigidez à flexão da placa.

A resolução da equação da linha elástica para placa circular pode ser feita mediante

análise das condições de contorno geométricas e mecânicas da estrutura. Tal modelo é válido

para placas com e sem furo na sua região central.

Figura 1 – Representação das coordenadas da estrutura axissimétrica. Fonte:

MITTELBACH (2007).

Devido à simetria de revolução existente, todas as variáveis em função de θ, assim como

os esforços solicitantes , , e a componente de deslocamento são nulos. Os

sentidos positivos para os esforços não nulos encontram-se representados na Figura 2.

(5.1)

17

Figura 2 – Esforços positivos não nulos atuantes na placa. Fonte: MITTELBACH (2007)

5.2 CLASSIFICAÇÃO

As placas podem ser classificadas como delgadas ou espessas, dependendo da relação

entre a espessura e a menor dimensão lateral. Por praticidade, se sua menor dimensão for

vinte vezes maior que a espessura, a placa é classificada como delgada e não se considera o

efeito da deformabilidade por cortante. Caso não se enquadre como delgada, a placa é dada

como espessa e consequentemente será necessário considerar a deformabilidade por cortante,

modificando as hipóteses acima listadas. O estudo em questão tratará de placas delgadas e

com espessura constante.

18

5.3 HIPÓTESES BÁSICAS

Serão feitas algumas considerações básicas. São elas:

i) O deslocamento de um ponto do plano médio se dá segundo a vertical que contém

o ponto;

ii) Hipótese de Kirchhoff: as normais ao plano médio permanecem normais à

superfície média e indeformadas. Isso acarreta em = 0 (não há deformação na

direção z);

iii) A componente de tensão normal ao plano médio é pequena e pode ser desprezada

nas relações tensão-deformação

iv) O material é homogêneo, isótrópico e de comportamento elástico linear, ou seja,

obedece à Lei de Hooke generalizada.

5.4 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V)

O princípio dos trabalhos virtuais se baseia na conservação da energia, e afirma que o

trabalho realizado pelas forças internas é igual ao trabalho realizado pelas forças externas.

Desse modo, um sistema estrutural em equilíbrio que se submete a um campo de

deslocamentos virtuais hipotéticos e cinematicamente admissível (compatível com as

vinculações do sistema e mantendo a continuidade interna), obedecerá ao princípio dos

trabalhos virtuais.

Tendo assim:

δwi = δwe

Onde:

δwi : Trabalho Virtual realizado pelas forças internas;

δwe : Trabalho Virtual realizado pelas forças externas.

Expandindo a equação (5.2), temos que os trabalhos virtuais interno e externo, para um

sólido qualquer, são dados por:

(5.2)

(5.3)

19

δwi=∫( )

δwe = ∫( ) ∫( )

Onde:

: componentes das forças de superfície que atuam na região de contorno onde

são prescritas forças;

: componentes das forças de volume;

: Componente de tensão;

: Variações das componente de deslocamento (u,v,w) segundo x,y,z;

: Variação das componentes de deformação.

5.5 RELAÇÕES TENSÃO-DESLOCAMENTO

As componentes de tensão na placa circular, ζr e ζ, são dadas por:

(5.4)

(5.5)

20

E, por definição, os esforços solicitantes, por unidade de comprimento, são descritos

da seguinte forma:

∫

∫

∫

∫

5.6 RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO

Utilizando-se da hipótese de Kirchoff (exclui as componentes de deformação

referentes ao cisalhamento) e considerando o elemento retilíneo, tem-se as componentes de

deformação εr e ε:

5.7 RELAÇÕES ESFORÇOS-DESLOCAMENTO

Substituindo 5.7 em 5.5 obtém-se o valor das tensões em função dos deslocamentos,

que podem ser substituídos em (5.6), resultando na relação entre esforços solicitantes e

deslocamentos, conforme apresentado a seguir:

(

)

(

)

.

/

.

/

(5.6)

(5.7)

(5.8)

21

Sendo C e D as rigidezes extensional e flexional, respectivamente, definidas por:

5.8 TRABALHO VIRTUAL INTERNO

O trabalho virtual interno δwi relaciona-se ao sistema de coordenadas polares e com os

parâmetros em função desse sistema de coordenadas, da seguinte forma:

∫ (5.10)

Sendo a espessura da placa h, o raio da placa a, adotando dV=rdrdzd e integrando em

de 0 a 2π (uma revolução completa), tem-se:

∫ ∫

(5.11)

Tendo todas as relações listadas acima, é possível escrever o trabalho virtual interno

em função dos deslocamentos, como mostrado a seguir:

∫ , *(

)

(

) + *(

)

(

)

+- (5.12)

5.9 TRABALHO VIRTUAL EXTERNO:

Seguindo mesmo raciocínio, o trabalho virtual externo passa a ser escrito como:

*∫

(

)| + (5.13)

A Figura 3 apresenta as possíveis forças de domínio e de contorno que atuam na placa,

no sentido positivo. Também incluem-se a forças de inércia de translação e , e de rotação

, correspondente ao deslocamento linear w, e à rotação

, respectivamente.

(5.9)

22

Figura 3 – Representação das forças de domínio e de inércia no sentido positivo. Fonte:

Adaptado de MITTELBACH (2007).

5.10 HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS

Para o desenvolvimento analítico, serão consideradas hipóteses simplificadoras, que

possibilitarão uma análise mais direta da estrutura em questão, sem que haja modificações

significantes no resultado final dos exemplos estudados.

No caso da placa circular axissimétrica, como não são consideradas solicitações axiais, é

possível simplificar as equações de trabalho virtual, desconsiderando as parcelas que

correspondem a essa direção (efeitos de chapa).

Consequentemente, na equação do trabalho virtual interno, é válido desprezar as parcelas

associadas ao deslocamento radial u. Logo,

∫ *(

)

(

)

+

(5.14)

De maneira análoga, o trabalho virtual externo pode ser escrito da seguinte maneira:

(∫ ) (5.15)

Onde:

qt corresponde à taxa de carregamento transversal à superfície média da placa;

Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais, obtém-se a seguinte equação:

∫ *(

)

(

)

+

(∫

) (5.16)

5.11 Contribuição da din

A Figura 4 a seguir apresenta as possíveis forças de domínio (desprezando as cargas

radiais), e de contorno que atuam na placa, no sentido positivo. Também incluem-se as forças

23

de inércia de translação e de rotação , correspondente aos deslocamentos lineares ur, w, e

à rotação

, respectivamente.

Figura 4 – Representação das forças de domínio e inércia atuantes na placa. Fonte:

MITTELBACH (2007)

A parcela do trabalho virtual externo relativa às forças de domínio, por unidade de área, é

dada por:

∫

(5.17)

Onde:

(5.18)

Sendo a derivada segunda temporal do deslocamento w, e μ a massa específica do

material. Substituindo 5.17 em 5.16, tem-se finalmente que o trabalho virtual externo é dado

por:

∫

(5.19)

5.12 REPRESENTAÇAO DAS DERIVADAS TEMPORAIS DOS DESLOCAMENTOS

Para realizar a análise dinâmica, utiliza-se de um esquema implícito de integração no

tempo, através do Método da Aceleração Constante, caso específico do Método de Newmark

(BATHE, 1996).

Esse método consiste em interpretar a derivada segunda temporal dos deslocamentos como

constante para cada intervalo de tempo Δt, conforme ilustrado na Figura 5, onde a função

24

f = ẅ e e são os instantes inicial e final do intervalo Δt considerado, e a aceleração

durante o intervalo de tempo é dada pela média

Figura 5 – Método da Aceleração Constante. Fonte: MITTELBACH (2007)

As derivadas e para t = , podem se relacionar com os deslocamentos nodais

(incógnitos) da seguinte forma:

As funções e representam a marcha no tempo, e se relacionam com os

deslocamentos e suas derivadas temporais no instante inicial t = , do intervalo:

De modo análogo, utilizam-se as mesmas relações para as rotações nodais , sendo

6 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O Método dos Elementos Finitos (MEF) assume que há uma divisão do domínio de

integração, em uma quantidade finita de elementos finitos, formando uma malha ou rede. Os

pontos de encontro entre cada elemento são chamados de nós.

Contudo, a forma como o domínio vai ser dividido depende da capacidade de

processamento em questão e do nível de precisão necessário. Para um poder de

(5.20)

(5.21)

25

processamento rápido, haverá a possibilidade de dividir a estrutura em uma quantidade maior

de elementos finitos, aumentando a precisão dos resultados. Caso o nível de precisão

requerido não seja alto, pode-se utilizar menos elementos finitos, e também não há

necessidade de uma máquina tão potente.

6.1 TRATAMENTO NUMÉRICO

Neste trabalho, a formulação do método baseia-se na aplicação do Princípio dos Trabalhos

Virtuais para o elemento estrutural em análise, mediante somatório de contribuições dos

diversos trechos de integração criados, dentro dos quais todas as grandezas são consideradas

constantes, e considera-se o elemento retilíneo. Também se baseia na forma variacional direta

do método de Rayleight-Ritz ou no Método de Galerkin.

O elemento finito é unidimensional devido às características axissimétricas, composto

por dois nós, cada nó com dois graus de liberdade, sendo um o deslocamento perpendicular ao

eixo radial da placa (w) e outro a rotação (θ) que indica o ângulo entre o eixo radial da placa e

a tangente à curva de deflexão.

6.2 DISCRETIZAÇĀO E SISTEMA DE NUMERAÇĀO

Para N divisões do elemento estrutural, o número de nós é dado por NN e corresponde a

N+1. O comprimento de cada elemento finito é dado por λ.

A relação de correspondência entre as numerações local e global para um elemento (i) de

nó inicial i e nó final i+1 se escreve:

(6.1)

Sendo:

o vetor de deslocamentos local do elemento (i)

j variando de 1 a 4

U o vetor de deslocamentos global da placa

26

Figura 6 – Representação do elemento genérico (i) com seus componentes locais de

deslocamento. Fonte: Autoria própria

A malha de discretização, como já estabelecido, é uniforme, mantendo constante, neste

caso, o espaçamento nodal λ. A Figura 7 a seguir, além de apresentar essa discretização, e

como a numeração dos nós se relaciona com os deslocamentos e rotações, também indica que,

para cada elemento finito, teremos a contribuição de quatro deslocabilidades – duas referentes

ao deslocamento perpendicular w, e duas referentes à rotação θ, como já ilustrado na Figura 6.

Figura 7 – Malha de discretização e sistema de numeração global das deslocabilidades nodais.

Fonte: MITTELBACH (2007)

6.3 FUNÇÕES DE DESLOCAMENTO

Através de funções ditas de forma, aproxima-se a função de deslocamento para cada

elemento finito. Essas funções são polinomiais ao longo do raio, denominadas ŵ, e dependem

dos deslocamentos nodais dos elementos.

Sendo assim, a função polinomial deve apresentar grau de liberdade inferior ou igual

ao grau de liberdade presente no elemento, de modo a facilitar a convergência dos resultados

do MEF. Como cada elemento compreende dois nós, e cada nó possui dois graus de liberdade,

a função adotada deve possuir grau 3.

Onde,

representa a função de forma, descrita por:

(6.2)

Sendo ai, bi, ci, e di constantes determinadas para um elemento finito bi-engastado,

com nó inicial em uma coordenada ri e nó final em rf = ri+λ (λ = comprimento do elemento

finito);

27

w1 é o deslocamento transversal do nó inicial do elemento finito;

1 é a rotação do nó inicial do elemento finito;

w2 é o deslocamento transversal do nó final do elemento finito;

2 é a rotação do nó final do elemento finito;

A formulação do problema visa estabelecer a contribuição de cada elemento finito e

reescrevê-la na forma matricial, a partir das funções de forma, resultando em:

{ } { } (6.3)

Sendo que:

K representa a matriz de rigidez global da estrutura;

M representa a matriz de massa global da estrutura;

U representa o vetor global dos deslocamentos e rotações da estrutura;

F representa o vetor local com dos termos independentes da estrutura, que possui

contribuição da estática e da dinâmica

Para que isso ocorra, as funções aproximativas de deslocamento, e suas respectivas

derivadas, devem ser representadas em função de um parâmetro nodal constante

(deslocamento nodal) associado a uma função de forma:

∑

;

∑

; ∑ ;

∑

;

∑

(6.4)

Dessa maneira, fazendo-se as devidas considerações, obtém-se a seguinte equação

advinda de (6.4):

{ ∫ *(

)

(

)

+

}⏟

⏟{ }

∫

⏟

{ }

(6.5)

Partindo da equação (6.5), é possível determinar os elementos da matrizes de rigidez e de

massa, e do vetor de cargas, ao longo do comprimento λ de cada elemento finito. A integração

parte de um raio inicial pequeno, chamado de , já que a função é indeterminada no centro

da placa. Considerando as contribuições de cada matriz e vetor locais, procede-se à formação

da matriz de rigidez global da estrutura. Obtida as matrizes de rigidez locais dos elementos da

viga, procede-se à formação da matriz de rigidez global.

6.4 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS LOCAIS DO SISTEMA

28

Como já descrito anteriormente, a função de deslocamento contínua num dado

elemento finito com quatro graus de liberdade é descrita pelas equações (6.1) e (6.2). Para a

determinação das constantes , , e , que compõe os polinômios são feitas as

seguintes considerações:

i) em r = ;

em r = ; em e

em ;

tais condições implicam em:

= 1 => + + + = 1

= 0 => + + + = 0

= 0 => + +

= 0 => + +

Resolvendo-se o sistema de equações, obtem-se:

ii) em r = ;

em r = ; em e

em

; tais condições implicam em:

( )


29

iii) em r = ;

em r = ; em e

em

; tais condições implicam no sistema:

= 0 => + + + = 0

= 1 => + + + = 1

= 0 => + +

= 0 => + +


iv) em r = ;

em r = ; em e

em

; tais condições implicam no sistema:

= 0 => + + + = 0

= 0 => + + + = 0

= 0 => + +

= 1 => + +


30

6.4.1 CONTRIBUIÇÃO DA PARCELA ESTÁTICA

Para um dado elemento finito, a contribuição estática do trabalho virtual interno se escreve:

= ∫ *(

)

(

)

+

Substituindo as funções deslocamento e suas derivadas pelas funções de forma e

integrando, são obtidos os termos da matriz de rigidez local do elemento finito. Note-se que, a

matriz de rigidez local será diferente para cada um dos elementos, uma vez que depende dos

valores de e .

A contribuição estática de um elemento finito no trabalho virtual externo se escreve:

∫

(6.6)

Substituindo as funções de forma e integrando, são obtidos os termos do

vetor independente estático local do elemento finito.

6.4.2 CONTRIBUIÇÃO DA PARCELA DINÂMICA

Para um dado elemento finito, a contribuição da dinâmica no trabalho virtual externo, como

já visto anteriormente, se escreve:

∫

Primeiramente, realiza-se a substituição das expressões do Método da Aceleração

Constante nas derivadas temporais (Equação 5.19). Assim, escreve-se:

e

Sendo w a função deslocamento para o tempo atual, e g e h constantes, determinadas pelos

valores de w e suas derivadas temporais no tempo anterior. Desta forma:

31

∫

∫

∫

(6.7)

A primeira das integrais resultantes dessa equação irá contribuir com os termos da matriz

de massa. As funções deslocamento e suas derivadas espaciais são representadas pelas

funções de forma e as integrais são realizadas, resultando nos termos das matrizes de

massa locais:

[m] = ∫

(6.8)

Nota-se a mudança no sinal, pois na expressão do P.T.V. , essa parcela passa ao

esquerdo da equação, para se somar à matriz de rigidez e compor a matriz [K + M] do sistema

de equações lineares global.

A segunda das parcelas da equação (6.7) contribui para o vetor de termos independentes.

Utilizando as funções de forma para representar as funções deslocamento e suas

derivadas espaciais e integrando, chega-se à contribuição da dinâmica no vetor local de

termos independentes.

A dedução dos parâmetros da contribuição da dinâmica em cada posição da matriz de

massa e do ventor de cargas está disposta a seguir:

+ + + ) + + + + ) + + + +

) + + + + )

+ + + + + + + + +

+ +

∫

∫

∫

32

∫

(

)(

)

0(

).

/1

(

).

/ .

/.

/ .

/(

)

(

).

/ .

/.

/

.

/.

/ .

/

.

/.

/ .

/.

/

33

.

/.

/

.

/.

/

.

/.

/

(

)(

)

(

) .

/ .

/(

)

(

).

/

.

/.

/ .

/ (

)

(

).

/ .

/.

/

.

/.

/ .

/(

)

.

/.

/ .

/.

/

.

/.

/

.

/.

/ .

/.

/

.

/.

/

∫ *

+

34

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

35

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

36

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫

37

(

) (

)

0(

) .

/ .

/ (

)1

(

).

/ .

/.

/ .

/ (

)

.

/.

/ .

/.

/

.

/.

/

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

38

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

39

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

∫ *

+

{ ∫

∫

}

+ + + )

+ + + + )

+ + +

+ )

+ + + + )

40

+ + + )

+ + + + )

+ + +

+ )

+ + + + )

+ + + )

+ + + + )

+ +

+ + )

+ + + + )

0

1

∫ {

{

}

}

41

[

]

+

+ +

+ + +

+ +

+ +

∫ {

{

+

+

}

42

+ +

}

+

+ +

+ + +

6.5 MATRIZ GLOBAL E VETOR GLOBAL DE CARGA DA PLACA

A matriz global é formada superpondo-se a contribuição de cada trecho de integração. As

matrizes locais tem dimensão de 4x4, formando uma matriz global (NNx2)x(NNx2). O

primeiro trecho de integração apresenta contribuição nas deslocabilidades U1, U2, U3 e U4 já o

trecho 2, contribui para o computo das deslocabilidades U3, U4, U5 e , sendo as

43

contribuições comuns a ambos os trechos – U3 e U4 – devidamente somadas. A lógica de

superposição segue até o último trecho de integração, conforme a Figura 8.

Figura 8- Esquema da sequência de montagem da matriz global partindo das matrizes locais.

Fonte: MITTELBACH (2007)

6.6 RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÃO

Como já descrito neste trabalho, a utilização do principio dos trabalhos virtuais é de suma

importância para se chegar na equação de equilíbrio utilizada.

Para cada passo de tempo, são determinadas as matrizes e vetores locais, e, após a

superposição, chega-se à forma matricial da Equação 6.3, ilustrada na Figura 9.

Figura 9 – Forma matricial do sistema de equações. Fonte: MITTELBACH (2007)

Em um panorama inicial, o sistema de equações global é indeterminado, por ter um

número de incógnitas maior do que o de equações. Esse problema é resolvido se introduzido

44

as condições de contorno cinemáticas, o que reduz o número de incógnitas das equações,

tornando o sistema possível e determinado. Para realizar este último, utilizou-se, na rotina de

programação do problema, a técnica dos zeros e dos uns, que consiste na modificação do

vetor de termos independentes e da matriz global, de modo a inserir nesses elementos as

informações referentes aos deslocamentos prescritos. Além disso, para a solução do sistema e,

finalmente, a determinação dos deslocamentos, utilizou-se o método de Gauss.

Após a resolução do sistema de quações, os valores dos deslocamentos, velocidade e

acelerações iniciais são atualizados (marcha no tempo) e o sistema é novamente determinado

e resolvido, até que se alcance o tempo final da análise.

6.7 SOFTWARE UTILIZADO

Para a solução do problema em questão, utilizou-se do software PLATO, que consiste

num compilador da linguagem FORTRAN 90, uma linguagem vastamente utilizada na

solução de problemas utilizando o MEF e o MDFE (Método das Diferenças Finitas

Energéticas). Para o problema do tipo estático, os resultados aqui encontrados serão, na

próxima seção, confrontados pelos obtidos pela solução analítica da teoria de placas. Já para

os casos em que leva-se em consideração o efeito da dinâmica, os resultados do algoritmo

aqui desenvolvido serão confrontados com os do MDFE já validados.

7 COMPARAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

O item em questão tem por objetivo demonstrar a validade do modelo computacional

desenvolvido, por meio de uma comparação dos resultados obtidos pelo MEF, aqui proposto,

com os oriundos do MDFE (MITTELBACH, 2007). Também utilizam-se os valores

resultantes do procedimento analítico para a situação em que não se consideram os efeitos da

dinâmica sobre a placa. Em todos os casos, o elemento finito é unidimensional.

Serão realizados quatro exemplos axissimétricos distintos, considerando a placa apoiada e

também engastada. Têm-se, então, dois problemas de natureza estática, e dois de natureza

dinâmica. O limite máximo admissível para o erro foi de 5%.

Para os casos estáticos, os resultados dispostos são os deslocamentos dos pontos contidos

no intervalo entre o centro da placa e sua borda, atingindo o valor máximo no ponto central da

placa. Este valor máximo será, então, comparado com o equivalente do procedimento

analítico. Já para o problema dinâmico, o interesse já está nos deslocamentos do ponto central

45

da placa para cada instante t, sendo o seu valor máximo, dessa vez, comparado com o oriundo

do MDFE.

7.1 REPRESENTAÇÃO DO ERRO

Utilizando a solução analítica para placas circulares, é possível determinar o erro através

do erro relativo.

(

) (7.1 )

Para os exemplos dinâmicos, calcula-se a diferença percentual entre os deslocamentos

obtidos pelo MEF e pelo MDFE, desta forma:

(

) (7.2)

7.2 EXEMPLO 1: ESTÁTICO - APOIO DO 2° GÊNERO

Neste exemplo, analisa-se uma placa (partindo do centro para a borda), apoiada e

submetida a um carregamento axissimétrico uniformemente distribuído de 2 x N/m² .

Não foi considerado o efeito dinâmico do carregamento sobre a placa. A Figura 10 representa

o modelo estrutural deste exemplo.

Figura 10 – Placa circular apoiada com carregamento uniformemente distribuído

Para a análise em elementos finitos, utilizaram-se 100 divisões no raio. Segundo

MITTELBACH (2007), essa discretização apresenta erros de até 5%, atendendo ao critério

estabelecido neste trabalho. Os deslocamentos radiais foram desconsiderados, e utilizaram-se

as condições de contorno de deslocamento transversal w = 0 no nó correspondente ao apoio, e

46

de deslocamento angular θ = 0 no nó correspondente à coordenada r = 0,00m, no centro da

placa.

Foi obtido, para o deslocamento máximo, um erro percentual relativo ao modelo teórico

bastante pequeno, na ordem de 0,16%.

Figura 11 – Comparação dos resultados para o Exemplo 1. Fonte: Autoria própria

Método Raio

(m)

w

(m)

(%)

MEF 0,00 8,7089 . 0,16

ANALÍTICO 0,00 8,6953 .

Tabela 1 – Comparação dos deslocamentos (r = 0,00m) pelo MEF e por procedimento

analítico, para o Exemplo 1

7.3 EXEMPLO 2: ESTÁTICO - ENGASTE

Neste exemplo, analisa-se uma placa (partindo do centro para a borda), engastada e

submetida a um carregamento axissimétrico uniformemente distribuído de 2x N/m². Não

foi considerado o efeito dinâmico do carregamento sobre a placa.

-1,00E-03

1,00E-18

1,00E-03

2,00E-03

3,00E-03

4,00E-03

5,00E-03

6,00E-03

7,00E-03

8,00E-03

9,00E-03

0,00E+00 2,00E-01 4,00E-01 6,00E-01 8,00E-01 1,00E+00

Des

loca

me

nto

(m)

Raio (m)

ANALÍTICO

MEF

47

Figura 12 – Placa circular engastada sob carregamento uniformemente distribuido. Fonte:

Autoria própria

Para a análise em elementos finitos, utilizaram-se 100 divisões no raio, deslocamentos

radiais foram desconsiderados, condições de contorno de deslocamento transversal w = 0 no

nó correspondentes ao engaste, e de deslocamento angular θ = 0 no nós correspondentes ao

engaste e ao centro da placa.

Foi obtido, para o deslocamento máximo, um erro percentual relativo ao modelo teórico

da ordem de 0,06%.

Figura 13 – Apresentação dos resultados, pelo MEF, para o Exemplo 2. Fonte: Autoria

própria

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

3,00E-03

0,00E+00 2,00E-01 4,00E-01 6,00E-01 8,00E-01 1,00E+00

De

slo

cam

ento

(m)

Raio (m)

ANALÍTICO

MEF

48

Método Raio

(m)

w

(m)

(%)

MEF 0,00 2,1339 . 0,06

ANALÍTICO 0,00 2,1328 .

Tabela 2 – Comparação dos deslocamentos (r = 0,00m) pelo MEF e por procedimento

analítico, para o Exemplo 2

Desta forma, considera-se o código validado para dois exemplos estáticos. Além da

importância desta validação para a continuidade do desenvolvimento do código, a

determinação dos resultados de deslocamento estático no centro da placa é de extrema

importância, uma vez que, como explicitado adiante, os valores dinâmicos do deslocamento

do centro da placa devem oscilar em torno do valor do deslocamento estático.

7.4 EXEMPLO 3: DINÂMICO – APOIO DO 2º GÊNERO

Neste exemplo, analisa-se uma placa (partindo do centro para a borda), apoiada e

submetida a um carregamento axissimétrico uniformemente distribuído de 2 x N/m²,

aplicado subitamente e mantido constante ao longo do tempo. Dessa vez, foi considerado o

efeito dinâmico do carregamento sobre a placa.

Figura 14 – Placa circular apoiada submetida a carregamento uniformemente distribuido.

Fonte: Autoria própria



nó correspondentes ao apoio, e de deslocamento angular θ = 0 no nó correspondente ao centro

da placa O tempo total decorrido de análise pelo Método de Newmark foi de 0,5s, subdividido

em 500 intervalos de tempo valor Δt = 0,001s.

As discretizações adotadas foram as mesmas utilizadas para a obtenção dos resultados pelo

MDFE em MITTELBACH (2007).

49

Foi obtido, para o primeiro deslocamento máximo de ambos os métodos, um erro

percentual relativo bastante pequeno, na ordem de 3,34%. Nota-se, pelos valores

apresentados na Tabela 3, que os primeiros máximos para o MEDFE e o MEF não ocorrem no

mesmo instante de tempo. Isso ocorre por uma pequena diferença existente na frequência de

oscilação entre os dois métodos. Na Figura 15, observa-se que as curvas se separam com o

decorrer do tempo. Tal comportamento ocorre devido ao acúmulo dessa diferença na

frequência de oscilação. Observa-se, ainda pela Figura 15, que os valores de deslocamento

oscilam em torno do valor estático (8,7089 . )

Figura 15 – Comparação dos resultados (MDFE X MEF), para o Exemplo 3. O ponto

analisado é o centro da placa. Fonte: Autoria própria

Método Tempo

(s)

w

(m)

(%)

MDFE 2,00 . 1,7113 . 3,34

MEF 2,10 . 1,7685 .

Tabela 3 – Comparação dos deslocamentos (r = 0,00m) pelo MEF e pelo MDFE, para o

Exemplo 3

7.5 EXEMPLO 4: DINÂMICO - ENGASTE

Neste exemplo, analisa-se uma placa (partindo do centro para a borda), engastada na borda e

submetida a um carregamento axissimétrico uniformemente distribuído de 2 x N/m²,

aplicado subitamente e mantido constante ao logo do tempo. Também foi considerado o efeito

dinâmico do carregamento sobre a placa.

-1,00E-03

4,00E-03

9,00E-03

1,40E-02

1,90E-02

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Des

loca

men

to (m

)

Tempo (s)

MDFE

MEF

50

Figura 16 – Placa circular engastada sob carregamento uniformemente distribuido. Fonte:

Autoria própria



nó correspondente ao engaste, e de deslocamento angular θ = 0 nos nós correspondentes ao

centro da placa e ao engaste. O tempo total decorrido de análise pelo Método de Newmark foi

de 0,5s, subdividido em 500 intervalos de tempo de valor Δt = 0,001.

Foi obtido, para o primeiro deslocamento máximo de ambos os métodos, um erro

percentual relativo bastante pequeno, na ordem de 1,03%.

Figura 17 – Comparação dos resultados (MDFE X MEF), para o Exemplo 4. Fonte: Autoria

própria

-1,00E-03

0,00E+00

1,00E-03

2,00E-03

3,00E-03

4,00E-03

5,00E-03

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

De

slo

cam

ento

(m)

Tempo (s)

MDFE

MEF

Método Tempo

(s)

w

(m)

(%)

MDFE 1,00 . 4,2926 . 1,03

MEF 1,10 . 4,3370

51

Tabela 4 - Comparação dos deslocamentos (r = 0,00m) pelo MEF e pelo MDFE,

para o Exemplo 4

Novamente, observa-se que os tempos dos primeiros máximos divergem nos dois

métodos. O mesmo fenômeno de acúmulo de diferença na frequência é notado.

De forma análoga ao exemplo da placa apoiada, o deslocamento do centro da placa

também oscila em torno do valor estático (2,1339 . ).

7.6 COMENTÁRIOS

Nos quatro exemplos anteriores, foi comprovada a acurácia do MEF na análise estática e

dinâmica de placas circulares com carregamentos axissimétricos, com erros da ordem de, no

máximo, 3%. Para os exemplos estáticos – Exemplos 1 e 2 –, o alvo da comparação foram os

valores máximos dos deslocamentos no centro da placa (r = 0,00m). Para os dinâmicos –

Exemplos 3 e 4 –, o ponto de interesse também foi o centro da placa, porém os valores de

análise corresponderam aos primeiros máximos em ambos os métodos, não necessariamente

no mesmo instante t.

8 CONCLUSÃO

Objetivou-se, no presente trabalho, apresentar um tratamento numérico para os

problemas dinâmicos axissimétricos de placas delgadas, sem considerar o efeito de

membrana, utilizando o MEF como método de discretização no espaço, e, para a integração

temporal, o Método da Aceleração Constante, caso específico do Método de Newmark.

Procurou-se enfatizar o cálculo dos deslocamentos do centro da placa por meio de quatro

exemplos distintos. A partir do confronto entre os resultados obtidos nas análises estáticas,

dinâmicas, realizadas com o uso desse método e os oriundos do MDFE e de soluções

analíticas disponíveis, pôde-se comprovar a eficácia do MEF quando aplicado aos problemas

em questão. Procurou-se, na apresentação dos exemplos, sempre que possível,

comparar o MEF inicialmente com alguma solução analítica existente, com a intenção de

validar de forma mais direta o tratamento numérico proposto.

Percebeu-se a importância de se usar os métodos numéricos para resolver equações

diferenciais complexas, difíceis de serem resolvidas através de procedimentos analíticos.

Porém deve-se atentar à discretização correta do modelo computacional e aos ajustes

necessários, com o objetivo de obter os mais precisos resultados.

52

Como sugestão de continuidade do trabalho, temos a determinação dos esforços internos

da placa, e também a abordagem para placas espessas.

53

9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BATHE, K. Finite Element Procedures. Prentice Hall, New Jersey, 1996.

RODRIGUES, C. Y. C. Análise de Estruturas Axissimétricas. Lisboa, 2009.

VICENTE, W. M. Análise de Tensões em Placas Circulares Utilizando Elementos Finitos

Axissimétricos. Itajubá, 2009

AZEVEDO, A. F. M. Método dos Elementos Finitos. Porto, 2003.

MITTELBACH, Fernanda Rodrigues. Método das Diferenças Finitas Energéticas na Análise

Dinâmica de Problemas Axissimétricos de Placas Delgadas e Espessas. 2007. Tese

(Doutorado) - COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, 2007.

TABORDA, L. F.; VILLAÇA, S. F. Notas de aula - Teoria das Placas. Rio de Janeiro, 1998.

TIMOSHENKO , S. P., WOINOWSKY-KRIEGER, S., Theory of Plates and Shells. 2 ed. New

York, McGraw-Hill, 1989.

Documents

DANIEL CUNHA FRANCO DE OLIVEIRA ANÁLISE DINÂMICA … · analítica sobre a estrutura, utilizando-se do Princípio dos Trabalhos Virtuais e das hipóteses simplificadoras, tornando