Dissertacao

UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA E DE

MATERIAIS

DISSERTAO

FRANCISCO LUIZ CAMPOS HIDALGO

QUANTIFICAO DA INCERTEZA DO PROBLEMA DE FLEXO

ESTOCSTICA DE UMA VIGA DE EULER-BERNOULLI, APOIADA

EM FUNDAO DE PASTERNAK, UTILIZANDO O MTODO

ESTOCSTICO DE GALERKIN E O MTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS ESTOCSTICOS

CURITIBA

MAIO - 2014


QUANTIFICAO DA INCERTEZA DO PROBLEMA DE FLEXO

ESTOCSTICA DE UMA VIGA DE EULER-BERNOULLI, APOIADA

EM FUNDAO DE PASTERNAK, UTILIZANDO O MTODO

ESTOCSTICO DE GALERKIN E O MTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS ESTOCSTICOS

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica e de Materiais da Universidade Tecnolgica Federal do Paran, Campus Curitiba, como requisito parcial de aprovao.

Orientador: Prof. Claudio Roberto vila da

Silva Jnior, Dr.

Coorientador: Prof. Hilbeth Parente Azikri de

Deus, Dr.

CURITIBA

MAIO - 2014

TERMO DE APROVAO


QUANTIFICAO DA INCERTEZA DO PROBLEMA DE FLEXO ESTOCSTICA

DE UMA VIGA DE EULER-BERNOULLI, APOIADA EM FUNDAO DE

PASTERNAK, UTILIZANDO O MTODO ESTOCSTICO DE GALERKIN E O

MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ESTOCSTICOS

Esta Dissertao foi julgada para a obteno do ttulo de mestre em engenharia,

rea de concentrao em mecnica dos slidos, e aprovada em sua forma final pelo

Programa de Ps-graduao em Engenharia Mecnica e de Materiais.

______________________________________

Prof. Paulo Csar Borges, Dr.

Coordenador do Programa

Banca Examinadora

______________________________ ______________________________

Prof. Claudio R. vila da Silva Jr, Dr. Prof Andr Tefilo Beck, Dr.

PPGEM / UTFPR PGEE / USP

______________________________

Prof. Ivan Moura Belo, Dr.

PPGEM / UTFPR

Curitiba, 12 de dezembro de 2014

i

RESUMO

HIDALGO, Francisco L. Campos. Quantificao da incerteza do problema de flexo estocstica de uma viga de Euller-Bernoulli, apoiada em fundao de Pasternak, utilizando o mtodo estocstico de Galerkin e o mtodo dos elementos finitos estocsticos. Dissertao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica e de Materiais, Universidade Tecnolgica Federal do Paran, Curitiba, 87p., 2014. Este trabalho apresenta uma metodologia, baseada no mtodo de Galerkin, para quantificar a incerteza no problema de flexo estocstica da viga de Euler-Bernoulli repousando em fundao de Pasternak. A incerteza nos coeficientes de rigidez da viga e da fundao representada por meio de processos estocsticos parametrizados. A limitao em probabilidade dos parmetros randmicos e a escolha adequada do espao de solues aproximadas, necessrias posterior demonstrao de unicidade e existncia do problema, so consideradas por meio de hipteses tericas. O espao de solues aproximadas de dimenso finita construdo pelo produto tensorial entre espaos (determinstico e randmico), obtendo-se um espao denso no espao das solues tericas. O esquema de Wiener-Askey dos polinmios do caos generalizados utilizado na representao do processo estocstico de deslocamento da viga. O mtodo dos elementos finitos estocsticos apresentado e empregado na soluo numrica de exemplos selecionados. Os resultados, em termos de momentos estatsticos, so comparados aos obtidos por meio de simulaes de Monte Carlo.

Palavras-chave: Lema de Lax-Milgram, polinmios do caos, esquema de Askey-Wiener, viga de Euler-Bernoulli, Fundao de Pasternak, mtodo de Galerkin, mtodo dos elementos finitos estocsticos.

ii

ABSTRACT

HIDALGO, Francisco L. Campos. Quantification of uncertainty in the stochastic bendig problem of an Euller-Bernoulli beam, resting on Pasternak foundation, using the stochastic Galerkin method and the stochastic finite element method.

Dissertation Graduate Program in Mechanical and Materials Engineering, Federal Technological University of Paran, Curitiba, 87p., 2014. This study presents a methodology, based on the Galerkin method, to quantify the uncertainty in the stochastic bending problem of an Euler-Bernoulli beam resting on a Pasternak foundation. The uncertainty in the stiffness coefficients of the beam and foundation is represented by parametrized stochastic processes. The probability limitation on the random parameters and the choice of an appropriated approximate solution space, necessary for the subsequent demonstration of uniqueness and existence of the problem, are considered by means of theoretical hypothesis. The finite dimensional space of approximate solutions is built by tensor product between spaces (deterministic and randomic), obtaining a dense space in the theoretical solution space. The Wiener-Askey scheme of generalizes chaos polynomials is used to represent the stochastic process of the beam deflection. The stochastic finite element method is presented and employed in the numerical solution of selected examples. The results, in terms of statistical moments, are compared to results obtained through Monte Carlo simulations.

Keywords: Lax-Milgram lemma, chaos polynomials, Askey-Wiener scheme, Euler-Bernoulli beam, Pasternak foundation, Galerkin method, stochastic finite element method.

iii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Prtico com conexes articuladas entre viga e colunas ......................... 7

Figura 2 Prtico com conexes rgidas entre viga e colunas ............................... 8

Figura 3 Tubulao para transporte de fluido suportada pelo solo ....................... 8

Figura 4 Modelo no-linear para o solo ................................................................ 9

Figura 5 Analogia para a fundao de Winkler ................................................... 11

Figura 6 Descontinuidade do deslocamento no modelo de Winkler ................... 12

Figura 7 Representao esquemtica do modelo de fundao de Pasternak ... 13

Figura 8 Funes de aproximao do espao de solues determinstico

correspondentes aos graus de liberdade do problema esttico ........... 36

Figura 9 Matriz de rigidez calculada para p=1, s=4 e m=4 ................................. 39

Figura 10 Matriz de rigidez calculada para p=3, s=4 e m=4 ................................. 39

Figura 11 Matriz de rigidez local resultante da aplicao do mtodo dos

elementos finitos estocsticos .............................................................. 41

Figura 12 a) Exemplo de discretizao espacial. b) Matriz de rigidez global

resultante .............................................................................................. 41

Figura 13 Matriz de rigidez global com condies de contorno aplicadas ............ 42

Figura 14 Viga de seo retangular simplesmente apoiada em fundao de

Pasternak ............................................................................................. 45

Figura 15 Histograma do mdulo de elasticidade de uma liga de ao

estrutural............................................................................................... 47

Figura 16 Histograma experimental e histograma gerado com o processo

estocstico parametrizado, com x fixo, atravs de SMC .................... 47

Figura 17 Evoluo do valor esperado, do processo estocstico de deslocamento

no centro da viga 4u , na SMC. Exemplo 1a ....................................... 50

Figura 18 Evoluo da varincia, do processo estocstico de deslocamento


Figura 19 Valor esperado do processo estocstico de deslocamento iu nos ns

da viga de Pasternak, exemplo 1a ....................................................... 51

Figura 20 Varincia do processo estocstico de deslocamento iu nos ns da

viga de Pasternak, exemplo 1a ............................................................ 51

Figura 21 Erro relativo no valor esperado do processo estocstico de

deslocamento iu nos ns da viga de Pasternak, exemplo 1a .............. 52

iv

Figura 22 Erro relativo na varincia do processo estocstico de deslocamento iu

nos ns da viga de Pasternak, exemplo 1a .......................................... 52

Figura 23 Coeficiente de variao do processo estocstico de deslocamento iu

nos ns internos da viga de Pasternak, exemplo 1a ............................ 54

Figura 24 Erro relativo no coeficiente de variao, do processo estocstico iu


Figura 25 Histogramas da varivel randmica 4u , exemplo 1a ........................... 55

Figura 26 Estimativa da FDPA da varivel randmica 4u , exemplo 1a ............... 55


no centro da viga 4u , na SMC. Exemplo 1b ....................................... 58




da viga de Pasternak, exemplo 1b ....................................................... 59


viga de Pasternak, exemplo 1b ............................................................ 60


deslocamento iu nos ns da viga de Pasternak, exemplo 1b .............. 60


nos ns da viga de Pasternak, exemplo 1b .......................................... 60


nos ns internos da viga de Pasternak, exemplo 1b ............................ 62



Figura 35 Histogramas da varivel randmica 4u , exemplo 1b ........................... 63

Figura 36 Estimativa da FDPA da varivel randmica 4u , exemplo 1b ............... 63






da viga de Pasternak, exemplo 2a ....................................................... 65

v


viga de Pasternak, exemplo 2a ............................................................ 66


deslocamento iu nos ns da viga de Pasternak, exemplo 2a .............. 66


nos ns da viga de Pasternak, exemplo 2a .......................................... 66





Figura 45 Histogramas da varivel randmica 4u , exemplo 2a ........................... 69

Figura 46 Estimativa da FDPA da varivel randmica 4u , exemplo 2a ............... 69






da viga de Pasternak, exemplo 2b ....................................................... 71


viga de Pasternak, exemplo 2b ............................................................ 72


deslocamento iu nos ns da viga de Pasternak, exemplo 2b .............. 72


nos ns da viga de Pasternak, exemplo 2b .......................................... 72





Figura 55 Histogramas da varivel randmica 4u , exemplo 2b ........................... 75

Figura 56 Estimativa da FDPA da varivel randmica 4u , exemplo 2b ............... 75

vi

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Correspondncia entre variveis aleatrias e os polinmios do

esquema de Askey-Wiener .................................................................. 33

Tabela 2 Mdia e desvio padro dos parmetros estocsticos ........................... 46

Tabela 3 Erros relativos da aplicao do mtodo de Galerkin, no problema

determinstico da viga biapoiada em fundao de Pasternak .............. 49

Tabela 4 Erros relativos no valor esperado e na varincia, do processo

estocstico de deslocamento no centro do vo 4u , exemplo 1a .......... 53

Tabela 5 Coeficientes resultantes da aplicao do MEFE no exemplo 1a,

utilizando 2 elementos finitos estocsticos e polinmios de grau p=1 .. 57


estocstico de deslocamento no centro do vo 4u , exemplo 1b .......... 61


estocstico de deslocamento no centro do vo 4u , exemplo 2a .......... 67


estocstico de deslocamento no centro do vo 4u , exemplo 2b .......... 73

Tabela 9 Desvio relativo no valor esperado do processo estocstico de desloca-

mento no centro da viga, em relao ao problema determinstico ....... 76

Tabela 10 Tempo computacional para a obteno da soluo numrica dos

exemplos .............................................................................................. 77

vii

SUMRIO

1 INTRODUO 7

1.1 Reviso da Literatura 10 1.2 Objetivos 15 1.3 Estrutura do Trabalho 16

2 DEFINIES FUNDAMENTAIS 17

2.1 Espao de Probabilidades 17

2.2 Espao de Sobolev mH a,b 18 2.3 Lema de Lax-Milgram 19

3 ABORDAGEM ESTOCSTICA DA VIGA DE EULER-BERNOULLI REPOUSANDO EM FUNDAO DE PASTERNAK 21

3.1 Definio do Problema Estocstico 21

3.2 Problema Variacional 24

3.3 Teorema de Unicidade e Existncia de Soluo 25

4 REPRESENTAO DE INCERTEZA 27

4.1 O Esquema de Askey-Wiener 29

5 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ESTOCSTICOS 34

5.1 Momentos Estatsticos 43

6 EXEMPLOS NUMRICOS 45

6.1 Definio da Malha Espacial 48

6.2 Exemplo 1a - Incerteza no Mdulo Elstico da Viga 49

6.3 Exemplo 1b - Incerteza na Altura da Viga 58

6.4 Exemplo 2a - Incerteza no Parmetro de Rigidez de Parternak 64

6.5 Exemplo 2b - Incerteza no Parmetro de Rigidez de Winkler 70

6.6 Comparao entre os Exemplos 76

7 CONCLUSES 78

REFERNCIAS 80

7

1 INTRODUO

Estruturas apoiadas so amplamente utilizadas na engenharia de estruturas.

A posio e o comportamento mecnico dos suportes so determinantes na

resposta mecnica do conjunto. Ligaes entre membros estruturais metlicos so

um exemplo da influncia que o vnculo entre os elementos exerce sobre um

conjunto estrutural. Por exemplo, a ligao metlica entre elementos do prtico

ilustrado na figura 1 no transfere esforos de flexo. Em contrapartida, o vnculo

apresentado na figura 2 transmite momento fletor s colunas. Algumas aplicaes

prticas no campo da mecnica estrutural utilizam de estruturas continuamente

suportadas por um meio deformvel que na maioria dos casos o solo. Sistemas

como trilhos rodoferrovirios, dutos para transporte de fluidos (figura 3), estacas de

fundaes profundas e tanques de armazenamento podem ser citados como

exemplos de estruturas lateralmente contidas pelo solo. Devido simplicidade

geomtrica, estas estruturas podem ser adequadamente avaliadas utilizando-se

modelos lineares, como as teorias de viga de Euler-Bernoulli e placa de Kirchhoff,

considerando ainda a influncia do meio de apoio.

Figura 1 Prtico com conexes articulas entre viga e colunas.

Fonte: Adaptado de The Steel Construction Institute, 2002, p.10.

Carga distribuda

Momento fletor

8

Figura 2 Prtico com conexes rgidas entre viga e colunas.

Fonte: Adaptado de The Steel Construction Institute, 1997, p.50.

Figura 3 Tubulao para transporte de fluido suportada pelo solo.

Fonte: American Iron and Steel Institute, 2007, p.25.

Jardine (1992) props um modelo reolgico no-linear para os solos. Neste

modelo o estado de tenses do meio descrito em uma relao entre tenses

deviatricas e tenses esfricas, conforme ilustrado na figura 4. Na regio 1 o solo

apresenta um comportamento elstico linear, dentro da regio 2 o comportamento

elstico no-linear atribudo ao efeito do contato mecnico entre as partculas

constituintes, na regio 3 o solo se deforma irreversivelmente (comportamento

Carga distribuda

Momento fletor

9

predominantemente plstico). Jardine afirma em seu estudo, que a posio das

fronteiras de subescoamento dependente do estado inicial de tenses (1992). A

resposta mecnica dos solos depende ainda de caractersticas que podem variar

significativamente ao longo da regio de suporte da estrutura de interesse. Fatores

como a composio, tamanho de gro, teor de umidade e nvel de compactao so

determinantes na rigidez do meio.

.

Figura 4 Modelo no-linear para o solo.

Fonte: Adaptado de Jardine, 1992, p. 2.

A anlise de sistemas estruturais que repousam em um meio deformvel

pode ser conduzida utilizando-se, por exemplo, modelos lineares de fundao

elstica, ou uma abordagem da mecnica do contato. A maior parte dos modelos

lineares baseia-se em hipteses sobre o comportamento da reao que o solo

exerce sobre o modelo mecnico da estrutura suportada, Dinev (2012). Destacam-

se o modelo pioneiro de viga repousando em fundao elstica de Winkler (1867) e

o modelo de Pasternak (1954). Em seu trabalho, Timoshenko (1940) afirma que

para o problema de trilhos rodoferrovirios, o modelo de Winkler apresentava boa

concordncia com medies experimentais. Utilizando o modelo de Winkler, Jones

(1997) ilustra a soluo numrica de diversos problemas prticos. A anlise destes

sistemas empregando a formulao de contato unilateral apresenta maiores

dificuldades e custo computacional. O problema de contato no-linear, mesmo

para o caso em que os meios que experimentam contato possuem comportamento

linear, Wriggers (2006). A no-linearidade decorrente do fato de no se conhecer

previamente a regio dos corpos que experimentar contato na condio de

Tenso Deviatrica

Tenso E

sf

rica

Regio 1

Regio 2

Regio 3

Fronteira limite

10

equilbrio. A energia potencial total do sistema nesta condio encontrada

iterativamente e descrita de maneira explcita com a utilizao de mtodos como o

da penalidade e o do multiplicador de Lagrange. Tanto as formulaes lineares,

quanto a de contato unilateral esto sujeitas incerteza nos parmetros que

caracterizam o solo. Jones (1997) enfatiza que o solo pode ser um material muito

varivel, a grande dificuldade na aplicao do modelo de fundao de Winkler

determinar o mdulo de reao do solo (o parmetro que caracteriza o meio de

apoio) a ser utilizado na anlise. O mesmo autor afirma ser imperativo, considerar

uma faixa de valores do mdulo de reao na anlise para se verificar a

sensibilidade da resposta mecnica da estrutura. A aplicao de modelos lineares

no contexto da mecnica estocstica uma alternativa prtica corrente no campo

da engenharia de estruturas (realizar simulaes de Monte Carlo). A prxima seo

dedicada a apresentar alguns dos modelos lineares de viga repousando em

fundao elstica e tambm estudos recentes no campo da mecnica estocstica.

1.1 Reviso da Literatura

Modelos Mecnicos Lineares de Viga apoiada em Fundao Elstica

Tais abordagens utilizam um modelo mecnico para a estrutura suportada e

consideram a influncia do solo por meio de um carregamento externo.

Originalmente Winkler (1867) utilizou a teoria de viga de Euler-Bernoulli como

modelo mecnico da estrutura de interesse, descrita pelo seguinte problema de valor

de contorno:

4

2 2

2 2

0

0

u C

x

Encontre 0, , tal que,

d d uEI x f x , 0, ;

dx dx

u(x 0) u ; u(x ) u ;

du dux 0 ; x ,

dx dx

l

l

l

l

l

l

(1)

sendo EI a rigidez flexo da viga e f o carregamento externo.

11

Fundao de Winkler

O modelo de Winkler (1867) assume que a fora de reao que o solo exerce

sobre um determinado ponto da viga, proporcional deflexo da viga neste ponto.

Dinev (2012) faz uma analogia deste modelo com um sistema de molas verticais,

independentes e de rigidez w , conforme ilustrado na figura 5. A partir disso, o

carregamento externo resultante na viga assume a forma:

wf x q x u x . (2)

Substituindo a equao (2) na equao (1) obtm-se a formulao clssica da viga

de Euler-Bernoulli repousando em fundao de Winkler (base elstica):

4

2 2

w2 2

0

0

u C

x


d d uEI u x q x , 0, ;

dx dx

u(x 0) u ; u(x ) u ;

du dux 0 ; x .

dx dx

l

l

l

l

l

l

(3)

Figura 5 Analogia para a fundao de Winkler.

Fonte: Adaptado de Teodoru e Musat, 2008, p. 71.

O trabalho de Teodoru et al. (2006) destaca que a principal deficincia do

modelo de Winkler, a existncia de descontinuidades de deslocamento, na

interface entre regies carregadas e no-carregadas, conforme representado na

figura 6.

w x

12

Figura 6 Descontinuidade do deslocamento no modelo de Winkler.


Fundao de Pasternak

O modelo de Pasternak (1954) restaura a continuidade do deslocamento da

viga, introduzindo um termo difusivo fora de reao do solo. Desta forma, o

carregamento externo resultante torna-se:

w pd du

f x q x u x x .dx dx

(4)

Por conseguinte, a formulao clssica da viga de Euler-Bernoulli repousando em

fundao elstica de Pasternak, enunciada da seguinte maneira:

4

2 2

p w2 2

0

0

u C

x


d d u d duEI u x q x , 0, ;

dx dxdx dx

u(x 0) u ; u(x ) u ;

du dux 0 ; x .

dx dx

l

l

l

l

l

l

(5)

Os modelos de fundao de Pasternak (1954), de Filonenko-Borodich (1940),

Hentenyi (1946), Reissner (1958) e Vlasov-Leontiev (1966) utilizam o parmetro

adicional p , e so usualmente denominados modelos de fundao a dois

parmetros. No modelo de Pasternak o segundo parmetro representa o mdulo de

cisalhamento de uma camada virtual, que interage com os elementos de mola

verticais (figura 7). A formulao de Vlasov-Leotiev (1966) considera o solo um meio

elstico-linear, isotrpico, contnuo e homogneo. Assume-se ainda que a partir de

q x

13

uma determinada profundidade conhecida do solo, os efeitos do carregamento

externo da estrutura so desprezveis. Vlasov e Leotiev (1966) utilizaram hipteses

sobre o campo de deslocamentos do solo at esta profundidade e consideraram a

contribuio da energia de deformao do solo no funcional de energia potencial

total da viga de Euler-Bernoulli. Da condio de equilbrio deste funcional resulta (5).

O modelo de Hentenyi (1946) adquire continuidade de deslocamentos ao considerar

o solo um meio composto por trs camadas. A primeira camada, imediatamente

abaixo da estrutura apoiada, e a terceira so fundaes de Winkler com parmetros

de rigidez independentes. Abaixo da terceira camada considera-se que a fundao

no experimenta deslocamentos. A segunda camada um elemento de viga

hipoteticamente imerso no solo. Relacionando os carregamentos atuantes nas vigas

(suportada e imersa) s duas fundaes de Winkler, obtm-se um problema de valor

de contorno de oitava ordem, que pode ser expresso em termos de duas constantes

caractersticas do solo.

Figura 7 Representao esquemtica do modelo de fundao de Pasternak.


Retrospecto no Campo da Mecnica Estocstica em Problemas de

Flexo Estocstica de Vigas

A mecnica estocstica incorpora a aleatoriedade ou incerteza na formulao

matemtica dos problemas mecnicos. Por outro lado, o campo mais estabelecido

da confiabilidade estrutural considera a aleatoriedade e a incerteza utilizando-se

modelos mecnicos determinsticos.

A utilizao de mtodos numricos tem tornado a anlise de sistemas

estocsticos atrativa nos ltimos anos. Inicialmente o mtodo dos elementos finitos

Camada de cisalhamento Molas verticais

14

foi combinado com Simulaes de Monte Carlo (SMC) para a obteno de

estatsticas associadas soluo de problemas mecnicos. Em seu estudo, Arajo e

Awruch (1994) comparam resultados obtidos aplicando os mtodos de SMC, SMC

combinadas a expanses de Neumann e Expanses em Sries de Taylor,

juntamente com a aplicao do mtodo dos elementos finitos tradicional, na soluo

do problema de flexo estocstica de uma viga (problema com incerteza nas

propriedades de rigidez do material ao longo do domnio). Spanos e Ghanem (1989)

utilizaram o mtodo de Galerkin, para solucionar um problema de flexo de uma viga

com incerteza no mdulo de Young, que foi descrito como um processo Gaussiano.

O espao de solues aproximadas foi gerado utilizando-se um subconjunto finito de

funes, de um sistema total no espao das variveis aleatrias com varincia finita.

O trabalho de Babuska, Tempone e Zouraris (2004) representou um grande

avano para o campo da mecnica estocstica ao apresentar uma verso

estocstica do lema de Lax-Milgram, utilizado para avaliar a existncia e unicidade

de soluo de problemas de valor de contorno elpticos. Estes autores

demonstraram que para alguns problemas mecnicos, a utilizao de processos

Gaussianos para representar a incerteza em parmetros pode acarretar a perda de

coercividade da forma bilinear associada ao problema. Esta dificuldade foi

encontrada tambm por Silva Jr. (2004) resultando na no-convergncia da soluo

para um problema de flexo de placas com propriedades estocsticas. Esta

deficincia na soluo tambm ocorre nos mtodos da Perturbao e de Monte

Carlo e decorre da utilizao de processos Gaussianos na modelagem dos

parmetros aleatrios, no garantindo a unicidade e existncia da soluo. No h

validade nos resultados obtidos com uma formulao inconsistente, entretanto ainda

encontram-se estudos recentes, nos quais se utilizam processos Gaussianos para

representar propriedades mecnicas estritamente positivas. Os trabalhos de Chen e

Guedes Soares (2008), Sett et al. (2011) e Sarsri et al. (2011) so exemplos. Grande

esforo tem sido empregado na representao da incerteza atravs de processos

no-Gaussianos. Xiu e Karniadakis (2002) apresentam o esquema de Askey-Wiener,

que representa uma famlia de polinmios que so densos no espao de

probabilidade de diferentes variveis aleatrias.

Vanmarcke e Grigoriu (1983) estudaram a flexo de uma viga de Timoshenko

com incerteza no mdulo de cisalhamento. Elishakoff (1995) empregou a teoria do

clculo Mdio Quadrtico para obter as equaes governantes da mdia e da

15

varincia de deslocamentos em problemas de flexo estocstica de vigas. Ghanem

e Spanos (1991) utilizaram o mtodo de Galerkin, juntamente com a decomposio

espectral de Karhunem-Loeve para representar a incerteza no mdulo de flexo de

uma viga por meio de um processo Gaussiano. Chakraborty e Sarkar (2000) aplicou

a srie de Neumann o mtodo de Monte Carlo para obter estimativas dos momentos

estatsticos da deflexo de vigas curvas com incerteza na rigidez da fundao de

apoio. Apesar de apresentarem resultados numricos para o problema de flexo de

vigas, estes autores no avaliam a existncia e unicidade de soluo em seus

trabalhos.

Tendo em vista o panorama apresentado nos pargrafos anteriores, so

definidos a seguir os objetivos deste trabalho.

1.2 Objetivos

O presente estudo tem como objetivo geral a anlise terico-numrica do

problema de flexo estocstica da viga de Euler-Bernoulli repousando em fundao

de Pasternak. O modelo de Pasternak ser utilizado devido simplicidade de sua

formulao e capacidade de descrever aplicaes prticas. O problema estocstico

ser caracterizado pela incerteza nos parmetros de rigidez da viga e da fundao,

em substituio anlise de sensibilidade usualmente conduzida no campo da

engenharia para a aplicao do modelo de Winkler, Jones (1997). Uma metodologia

baseada no mtodo de Galerkin ser empregada para a obteno de solues

aproximadas do deslocamento transversal da viga. A existncia e unicidade de

soluo sero demonstradas utilizando-se a verso do lema de Lax-Milgram

apresentada no estudo de Babuska et al. (2005). O espao de solues

aproximadas ser gerado utilizando-se uma famlia de polinmios pertencentes ao

esquema de Askey-Wiener, permitindo assim a aplicao do mtodo de Galerkin na

formulao estocstica proposta. Este estudo apresenta uma metodologia que pode

ser aplicada na soluo de problemas estocsticos de diferentes reas da

engenharia, analogamente metodologia proposta por Silva Jr., Beck e Suarez

(2013).

16

1.3 Estrutura do Trabalho

O contedo deste trabalho apresentado em sete captulos. O captulo

introdutrio contextualiza o problema de uma estrutura repousando em fundao

elstica, apresentando aplicaes prticas e abordagens possveis. Alguns modelos

lineares de fundao e trabalhos relevantes no campo da mecnica estocstica so

expostos na reviso da literatura, fundamentando os objetivos definidos para o

estudo. O segundo captulo resume conceitos das teorias de probabilidades e de

espaos de funes utilizados no trabalho.

O captulo trs apresenta o problema estocstico da viga de Euler-Bernoulli

repousando em fundao elstica de Pasternak. O espao de Sobolev de solues

definido, no qual demonstrada a unicidade e existncia de soluo. O captulo

quatro demonstra a metodologia para a representao do espao das variveis

aleatrias com varincia finita atravs de uma famlia de funes adequadas.

Encontra-se ainda presente neste captulo a construo dos processos

parametrizados que descrevem a incerteza nos coeficientes de rigidez da viga e da

fundao.

O captulo cinco dedicado aplicao do mtodo dos elementos finitos

estocsticos na formulao variacional proposta, e tambm anlise das

implicaes computacionais do problema aproximado obtido. O sexto captulo

apresenta a soluo analtica do problema determinstico, assim como uma

avaliao da discretizao espacial empregada na soluo aproximada. So

ilustrados exemplos numricos da aplicao do mtodo dos elementos finitos

estocsticos e os resultados so comparados, em termos de momentos estatsticos,

aos obtidos por meio de simulaes de Monte Carlo. Por fim, o captulo sete

apresenta as principais concluses deste trabalho.

17

2 DEFINIES FUNDAMENTAIS

O presente captulo tem como objetivo expor os principais conceitos

matemticos utilizados neste trabalho, tomando como referncia os trabalhos de

Rao e Swift (2010), Kreizsig (1989) e Adams (1975).

2.1 Espao de Probabilidades

Considera-se o conjunto no vazio { }, denominado espao amostral,

constitudo por todos os resultados elementares de um experimento randmico;

uma -lgebra de { }, constituda por subconjuntos do mesmo; e P :

uma medida de probabilidade tal que 0 P A , A , e P 1 . A partir disto, a

tripla , ,P denotada espao de probabilidades.

Uma varivel aleatria X : uma funo mensurvel na -lgebra

de Borel:

| X x , x , (6)

que associa a cada evento , um valor real x . A funo distribuio de

probabilidade da varivel aleatria X um mapeamento XF : , dado por:

XF x P | X x , x . (7)

A varivel aleatria X absolutamente contnua se e somente se X : ,

X x 0, tal que:

x

X XF x s ds, x , (8)

na qual X . a funo densidade de probabilidade.

A varivel aleatria X possui um valor esperado, se integrvel no senso:

18

X X dP .

(9)

2.2 Espao de Sobolev mH a,b

Um espao de Hilbert um espao vetorial, munido de produto interno e

completo (toda sequncia de Cauchy de elementos do espao converge para um

elemento do mesmo). Este espao generaliza os conceitos de ortogonalidade e

comprimento, para espaos vetoriais de qualquer dimenso. Em particular, o espao

de Hilbert 2L a,b constitudo por funes reais e contnuas no intervalo, e possui

produto interno definido por:

2

b2

L a,b au,v u.v x dx u,v L a,b . (10)

Este produto interno induz a seguinte norma:

2 2

2

L a,b L a,bu,u , u,v L a,bu . (11)

O espao de Sobolev mH a,b um espao de Hilbert, de funes que

pertencem a 2L a,b , tal que as derivadas de ordem at m tambm pertencem a

2L a,b , m . O produto interno em mH a,b definido da seguinte forma:

mb

m m m

H a,b au,v u.v Du.Dv ... D u.D v x dx u,v H a,b . (12)

O espao de solues do problema variacional abstrato (P.V.A.) a ser apresentado

um espao de Sobolev.

O espao das variveis aleatrias contnuas com varincia finita um espao

de Hilbert, denotado por , ,2L P . O produto interno neste espao expresso em

termos do operador esperana:

19

, , , ,2

2

LX,Y X.Y X,Y L .

PP (13)

Entende-se por espao Gaussiano linear um subconjunto de , ,2L P

composto por variveis aleatrias Gaussianas centradas (mdia zero). Um espao

Gaussiano de Hilbert , ,2L P um espao Gaussiano linear completo. Seja

um vetor n-dimensional cujas componentes so variveis aleatrias

Gaussianas padronizadas e independentes, tem-se:

, ,n

1 n n i i i

i 1

span X | X a , a

(14)

como um exemplo de espao Gaussiano de Hilbert (Alexanderian, 2013).

Conforme exposto no trabalho de Kreizsig (1989), um isomorfismo T de um

espao de produto interno H no espao de produto interno H , um operador linear

bijetivo T :H H que preserva a estrutura do produto interno (e a mtrica induzida):

H Hu,v Tu,Tv , u,v H . (15)

O mesmo autor afirma que espaos isomrficos so algebricamente indistinguveis,

diferindo apenas na natureza de seus elementos.

2.3 Lema de Lax-Milgram

As medidas de norma e produto interno do espao de Sobolev permitem a

avaliao de mapeamentos com domnio neste espao (funcionais e formas). As

propriedades e definies de espaos de Hilbert, que sero utilizadas na

demonstrao de unicidade e existncia de soluo do P.V.A., so as seguintes:

Def (Funcional linear limitado). Seja V um espao de Hilbert e :f V

um funcional linear, f limitado (e contnuo) se *c , tal que:

V

f v c v , v V; (16)

20

Def (Forma bilinear limitada). Seja : V V a uma forma bilinear, a

limitada (e contnua) se *c , tal que:

V V

u,v c u va , u,v V ; (17)

Def (Forma bilinear coerciva). A forma bilinear : V V a coerciva se

*c , tal que:

2

Vu,u c ua , u,v V ; (18)

Def (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). A desigualdade de Cauchy-

Schwarz para o espao de Hilbert V expressa por:

V V V

u,v u v , u,v V . (19)

O captulo seguinte apresenta a formulao estocstica do problema da viga

de Euler-Bernoulli repousando em fundao de Pasternak, no contexto dos espaos

de funes anteriormente definidos.

21

3 ABORDAGEM ESTOCSTICA DA VIGA DE EULER-

BERNOULLI REPOUSANDO EM FUNDAO DE PASTERNAK

3.1 Definio do Problema Estocstico

A formulao forte do problema a ser estudado, a viga de Euler-Bernoulli

repousando em fundao de Pasternak com incerteza nos parmetros de rigidez,

definida da seguinte forma:

P W

, , ; ,

, , ;,

, , ;

,

2 2

2 2

2 2

2 2

2 4

0, ,

P H 0 , tal que,

d d u d du x 0dx dxdx dx

d u d u ;dx dx

Encontre u L

EI u q q.s.

u 0 u 0

0 q.s.l

l

l

l (21)

na qual EI , P e W so processos estocsticos. Neste estudo a viga ser

considerada simplesmente apoiada nas extremidades. As seguintes hipteses so

necessrias verificao de existncia e unicidade de soluo do problema

variacional associado formulao forte:

p

w

: : ;

: : : ;

: :

: , , ; ,

02

a,a P EI x, a,a , x 0, 1

b,b P x, b,b , x 0, 1

c,c P x, c,c , x 0, 1.

q L P H 0

H1

H2

l

l

l

l

(22)

A hiptese H1 necessria para assegurar que para qualquer evento , os

coeficientes de rigidez da viga e da fundao so estritamente positivos, e ainda

limitados em probabilidade, Babuska et al. (2002). A hiptese H2 garante que o

carregamento externo seja um processo estocstico com varincia finita.

A demonstrao de unicidade e existncia de soluo utilizar de resultados

clssicos de anlise funcional e da teoria dos espaos de Sobolev; Babuska et al.

(2005), Yoshida (1978) e Adams (1975). O estudo de unicidade e existncia de

22

soluo fornece informaes importantes na escolha dos espaos de aproximao

do problema variacional, permitindo a obteno de solues numricas para o

problema. O espao de solues do problema variacional associado formulao

(21) o espao de Sobolev , , ;2V L P Q . Neste espao, tem-se que para um

evento fixo :

2 22

2 2

0

d u d uQ u H 0, u 0 u 0 0

dx dxl

l l . (23)

Para um evento , fixado, o campo deslocamentos da viga u pertence ao

espao de Sobolev 2H 0,l . Neste espao, o produto interno entre , 2u v H 0,l

definido por:

, .

2

2 2

2 2H 0,0

du dv d u d vu v u.v x dx

dx dx dx dx

l

l, (24)

o qual induz a norma:

1222 2

2

2H 0,0

2

du d uu u x dx

dx dx

l

l. (25)

Visto que , , ;2u L P Q , tem-se que:

22

H 0,u dP

l. (26)

A equao (26) implica que u V : 0,l uma funo mensurvel. Por

outro lado, para uma posio fixa x 0,l , no domnio espacial, tem-se que:

23

, ,2u x, , L P , (27)

uma varivel aleatria, ou seja, Xu x, : , ,P ,F .

A aplicao do mtodo de Galerkin requer uma representao explcita do

espao de solues , , ;2V L P Q . O espao de solues a ser utilizado no

problema variacional ser gerado utilizando-se um isomorfismo entre o espao de

solues terico V e o espao obtido atravs do produto tensorial , ,2L P Q .

Seguindo Treves(1967) e Besold (2000), define-se o produto tensorial entre

2g L , ,P e w Q como u: w.g . Nota-se que de maneira equivalente

equao (23), para um evento fixo tem-se:

u , w .g Q , (28)

e em concordncia com (27), para uma posio fixa do domnio espacial x 0,l

segue:

2u x, w x .g L , ,P . (29)

Os espaos V e , ,2L P Q so isomorfos se a medida presente em V,

explicitada na equao (26), for conservada. Para tanto, necessrio definir o

operador derivada , , 2 2 2D :L P Q L , ,P L 0,l . Este operador atua

sobre um elemento u V da seguinte forma, Matthies e Keese (2005):

d wdxD u : x .g

, (30)

no qual e 2 . Desta forma, o produto interno entre elementos u: w.g e

v : q.h de , ,2L P Q expresso por:

24

, ,

2

0

2 2

2 2L P Q

dw dq d w d qu,v w.g.q.h g.h. . g.h. . x dxdP

dx dx dx dx

l

, (31)

e consequentemente, para a norma em , ,2L P Q tem-se:

, ,

20

1222 2

2

2L P Q

dw d wu g.w g. g. x dxdP

dx dx

l

. (32)

A equao (32) preserva a medida apresentada na equao (26) de tal forma

que V~ , ,2L P Q , so espaos isomorfos, observando que para

, ,2V L P Q

u w.g

, tem-se:

, ,

22

12

2

L P QH 0,u dP u

l. (33)

Portanto, V~ , ,2L P Q ser o espao de solues do problema variacional

definido sobre V . Considerando o operador derivada apresentado em (30), V um

espao de Hilbert com produto interno

,

0

2 2

Vu v u.v Du.Dv D uD v x dxdP .

l

(34)

Utilizando o resultado clssico de espaos de Hilbert, o produto interno definido em

(34) induz a norma ,12

V Vu u u .

3.2 Problema Variacional

A formulao variacional associada ao problema da viga de Euler-Bernoulli

repousando em fundao elstica de Pasternak obtida projetando-se a equao

(21) em x,v V , ou seja:

25

P W 2

0 0

2 duD u D v x, dxdP x, dxdP.dx

EI.D u qvl l

(35)

A equao (35) pode ser simplificada integrando-se por partes o termo ao

lado esquerdo da igualdade. Aplicando a condio de contorno de simples apoio

equao (21), obtm-se a formulao variacional do problema:

W P

2 2

0 0v DuDv EI.D uD v x, dxdP x, dxdP,u qv

l l

(36)

a qual pode ser descrita utilizando-se o problema variacional abstrato:

,V, tal que,

u,v f v v

Encontre u

V.

a (37)

no qual, : V V a uma forma bilinear e :f V um funcional linear,

definidos a seguir:

W P

2 2

0

0

u,v uv DuDv EID uD v x, dxdP ;

f v x, dxdP.qv

al

l (38)

3.3 Teorema de Unicidade e Existncia de Soluo

Nesta seo apresentado o teorema, baseado na verso estocstica do

lema de Lax-Milgran proposta por Babuska et. al (2005), que garante a unicidade e

existncia de soluo do P.V.A. definido na equao (37).

Teorema (Existncia e unicidade de soluo do P.V.A). Sejam EI, P e

W parmetros de rigidez do P.V.A. que satisfazem a condio H1, e q um termo

de carregamento externo que satisfaz H2 , ento a soluo do problema (37) existe

e nica.

26

(Demonstrao). Nota-se que o funcional :f V , linear no espao de

Hilbert V, e ainda limitado (e contnuo) considerando a hiptese terica H2 . Com

relao forma bilinear : V V a , considerando-se a hiptese terica H1 e

atravs de comparaes, verifica-se sua coercividade:

W P

2

V

222 2

0

222 2

0

222 2

V0

u,u Du EI D u x, dxdP

c b Du a D u x, dxdP

m Du D u x, dxdP u,u m u ,

u

u

u m

al

l

l

(39)

sendo m min a,b,c . A continuidade da forma bilinear demonstrada utilizando-se

ainda a desigualdade de Cauchy-Schwarz, equao (19),

W P

1 12 2

0 0

1 12 2

0 0

2 2

0

2 2

0 0 0

2 2

2 2

22

u,v v DuDv EID uD v x, dxdP

v dxdP b DuDv dxdP D uD v dxdP

u v

b Du Dv

D u

u

c u a

c

a

x dxdP x dxdP

x dxdP x dxdP

x

al

l l l

l l

l l

,

V V V V V V V V

1 12 2

0 0

22

v v v

D v

u v b u u C uc a

dxdP x dxdPl l

(40)

com , ,C/ 3 max a b c . Desta forma o lema de Lax-Milgram garante que a soluo

do P.V.A., definido na equao (37), existe e nica. Solues tericas para o

problema (37) so obtidas em , ,2V L P Q .

A partir disso, sero obtidas solues numricas do P.V.A. utilizando-se

funes contnuas de classe 2C , densas em Q , e para representar o

comportamento estocstico da soluo, os polinmios do caos pertencentes ao

esquema de Askey-Wiener sero empregados.

27

4 REPRESENTAO DE INCERTEZA

Em muitos problemas de engenharia, uma anlise dos momentos estatsticos

de ordem superior no possvel. Na maioria das aplicaes, as informaes

estatsticas disponveis so os momentos de primeira e segunda ordem.

Geralmente, a funo de distribuio de probabilidade a ser utilizada na descrio

de processos estocsticos, escolhida com base na experincia ou heurstica.

Partindo-se de informaes incompletas a respeito da distribuio de probabilidade

de um parmetro, assume-se, por hiptese, que o comportamento aleatrio deste,

pode ser representado em um espao de dimenso finita, conforme discutido em

Boyaval et al. (2009) e Lin et al. (2010). A partir disso, a incerteza sobre um dado

parmetro do problema : ,

0 l ser representada em termos de um

conjunto finito de variveis aleatrias,

N, ,1x, x, x, , = = (41)

sendo N, ,P um vetor randmico. Com base nesta escolha, a incerteza

nos coeficientes de rigidez da viga e da fundao ser modelada atravs de

processos estocsticos parametrizados. Estes processos so expressos como

combinaes lineares de funes determinsticas e variveis aleatrias,

N

, ti ii 1

x x x x x .

, (42)

na qual x o valor esperado do processo estocstico , , N: , 0 l um

vetor cujas componentes so funes , , , , , N 2i 0 0 0 i 1C Cl l , e

N

i i 1 um vetor de variveis aleatrias independentes, tal que:

, , , N

= 1, , , N

i

i i

0 i 1 ,

P i 1 ,

(43)

28

sendo i o conjunto imagem da varivel aleatria i , isto , i i . Este um

conjunto limitado tal que ,i i ia b e , , , Ni i i i 1b a .

Considerando a independncia das variveis aleatrias i , a imagem do vetor

aleatrio N pode ser expressa em termos de N

i i 1 , explicitamente

N

i

i 1

. A funo densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatrio dada

por:

N

i 1

i i

, (44)

na qual i a funo densidade de probabilidade da varivel i . A teoria de

medida e integrao, Fernandez (2002), estabelece que neste caso, a medida de

probabilidade obtida atravs do produto entre os espaos de probabilidade

associados ao vetor aleatrio N

1ii , com ii . Desta forma a

medida de probabilidade dP expressa por:

N

i 1

i i idP d

. (45)

Do lema de Doob-Dynkin apresentado por Rao e Swift (2010), o processo

estocstico de deflexo da viga ser funo das variveis aleatrias N

1ii

que descrevem os parmetros de entrada:

N, , , , ,1u x u x u x . (46)

Adicionalmente, o esquema de Askey-Wiener ser utilizado na construo de

uma base polinomial para o espao de Hilbert das variveis aleatrias com varincia

finita, o qual compe o espao de solues do problema (37).

29

4.1 O Esquema de Askey-Wiener

O esquema de Askey-Wiener, apresentado no trabalho de Xiu e Karniadakis

(2002), tambm conhecido como Wiener-Caos , essencialmente, uma

generalizao da teoria dos polinmios do caos, proposta originalmente por Norbert

Wiener (1938). Neste estudo os polinmios do caos surgiram com o propsito de

permitir a representao da dinmica de gases no contexto da mecnica estatstica.

Xiu e Karniadakis (2002) evidenciaram a relao entre os resultados apresentados

por Wiener (1938) e aqueles encontrados por Askey e Wilson (1985), para a

representao de processos estocsticos utilizando polinmios ortogonais. Xiu e

Karniadakis (2002) estenderam os estudos de Ghanem e Spanos (1991) e Ogura

(1972) para os polinmios pertencentes ao esquema de Askey-Wiener.

O teorema de Cameron-Martin (1947) mostrou que os polinmios do

esquema de Askey-Wiener, formam uma base para um subespao denso no espao

das variveis aleatrias com varincia finita, , ,2L P . Seja , ,2 PL um

espao Gaussiano de Hilbert e = i i 1

span uma base ortonormal de variveis

aleatrias Gaussianas com mdia zero. O esquema de Askey-Wiener permite a

representao de qualquer varivel aleatria, , ,2 Pu L , sendo a -

lgebra gerada por . Considerando o espao vetorial n , ,2L P ,

composto por polinmios multivariados de grau menor ou igual a n :

n

: ;

,

N

i i 1

i

de graupolinmio n.

i 1,...,N; N

(47)

Alexanderian (2013) ressalta que n um espao vetorial devido ao fato

de que os momentos estatsticos, de todas as ordens, do produto entre variveis

aleatrias Gaussianas independentes igual ao produto dos momentos individuais.

Denotando por n o fecho do conjunto n em , ,2L P e analisando a equao

(47), nota-se que:

00 o conjunto das variveis aleatrias constantes;

1 formado por variveis aleatrias Gaussianas;

30

0 1 2, , ,... uma famlia de subconjuntos estritamente

crescentes.

Utilizando-se estes conjuntos de polinmios possvel formar uma famlia de

subconjuntos de , ,2L P , 0 1 2, , ,... , tal que estes subconjuntos sejam

ortogonais aos pares. Para tanto, define-se:

1= , =0 n0 n n

- . (48)

Nesta equao, o conjunto n possui apenas polinmios de ordem n que so

ortogonais aos polinmios de ordem n 1 . Jason (1997) demonstra que o espao

, ,2 PL admite a seguinte decomposio ortogonal,

, , nn 0

2L P

. (49)

A equao (49) uma decomposio ortogonal de , ,2L P , conhecida

como decomposio de Wiener-Caos, na qual o espao , ,2 PL a soma

direta dos subespaos n .

Uma aplicao desta decomposio a representao de um elemento

, ,2 PX L em termos de elementos nnX :

nn 0

X X

(50)

Equivalentemente nX a projeo da varivel aleatria X no espao n.

importante ressaltar que a equao (50) representa um resultado importante para a

teoria de aproximao, aplicada a sistemas estocsticos. A soluo de sistemas

estocsticos expressa como uma funo no-linear em termos de variveis

aleatrias. Esta funo expandida em termos de polinmios de caos

(generalizados) conforme equao (51),

31

pp p

1 r

1 r 1 r

1 r 1 r

j j

i i i i i

0 n n i , ,i

u u , ,

, (51)

sendo p

o polinmio generalizado de grau p e 1 r1 r

j j

i iu coeficientes. O ndice

superior 1 rj j

refere-se ao nmero de ocorrncias de ki

. Como um exemplo de

expanso em polinmios generalizados de grau p, tm-se os polinmios

multivariados de Hermite, definidos em termos de variveis aleatrias Gaussianas

padro k

r

ik 1

. Estes polinmios formam um conjunto total em

, ,2L P . Introduzindo o mapeamento nos conjuntos de ndices r

k k 1i

e

r

k k 1j

,

por meio de uma enumerao no conjunto dos nmeros naturais, a equao (51)

pode ser reescrita como:

u u

. (52)

Para o espao Gaussiano de Hilbert , os polinmios generalizados so polinmios

de Hermite multidimensionais:

m m

m 1

h

, (53)

sendo m

h o polinmio de Hermite definido na varivel aleatria m . Estes

polinmios formam um sistema ortonormal completo em relao medida de

probabilidade,

, ,P, , ,

20 i j ijL1 , i j

. (54)

sendo o produto interno em , ,2L P definido na equao (13), e ij o smbolo

delta de Kronecker.

Para demonstrar a expanso atravs dos polinmios generalizados,

considera-se a aproximao da varivel aleatria , ,2u PL , com a

32

utilizao de polinmios de Hermite de grau at dois, definidos em termos de duas

variveis aleatrias Gaussianas padro k

2

k 1 :

1 (0,0) 2 (0,1) 3 (1,0)

4 (1,1) 5 (0,2) 6 (2,0)

(i,j) i 1 j 2

2

0 k 1 k k 2 k k

u u u u

u u u ;

h h ; i, j 0,1,2 ;

h 1; h 2 ; h 4 2; k 1,2 .

(55)

importante observar que na equao (55) os polinmios so ortogonais em

relao funo densidade de probabilidade conjunta do vetor . A taxa de

convergncia exponencial, para o caso em que a varivel aleatria u

Gaussiana, Xiu e Karniadakis (2002). Para outras variveis aleatrias a taxa de

convergncia inferior.

O esquema de Askey-Wiener estende o resultado apresentado na equao

(52) para outras familias de polinmios. Analogamente equao (47),

considerando-se N

i i 1nspan

H , com H um espao de Hilbert de variveis

aleatrias com varincia finita, tem-se que nn

= H uma famlia de

polinmios do esquema de Askey-Wiener, que formam um sistema total em

, ,2L P .

O esquema de Askey-Wiener representa uma familia de sub-espaos gerados

por polinmios ortogonais, que so soluo de equaes diferenciais ordinrias, Xiu

e Karniadakis (2002). Como exemplos podem ser citados os polinmios de Hermite,

Laguerre, Jacobi e Legendre. Todo sub-espao gerado por estes polinmios um

sistema completo em , ,2L P . A ortogonalidade entre os polinmios definida

com relao a uma funo peso, a qual idntica funo densidade de

probabilidade de uma determinada varivel aleatria. Por exemplo, a funo

densidade Gaussiana utilizada como funo peso para se obter ortogonalidade

entre os polinmios Hermite. A tabela 1 ilustra a correspondncia entre subconjuntos

33

de polinmios pertencentes ao esquema de Askey-Wiener e as funes densidade

de probabilidade adequadas.

Tabela 1 Correspondncia entre as variveis aleatrias e os polinmios do esquema de

Askey-Wiener.

O esquema de Askey-Wiener ser empregado na proposio de uma soluo

aproximada para o processo estocstico de deslocamento transversal da viga, que

dependente das variveis aleatrias empregadas na modelagem dos parmetros

com incerteza. A escolha do tipo de varivel aleatria a ser utilizada na modelagem

dos parmetros randmicos, deve levar em considerao as caractersticas do

parmetro a ser modelado. Por exemplo, para a modelagem de parmetros que

podem assumir valores limitados, as variveis aleatrias uniforme e beta podem ser

utilizadas.

Varivel

aleatria Polinmio Funo peso

Suporte

Gaussiana Hermite 2

2e

Gama Laguerre 1

1e

0,

Beta Jacobi

12 2

1 11 1 e

a,b

Uniform Legendre 1

b a a,b

34

5 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ESTOCSTICOS

O mtodo dos elementos finitos estocsticos (MEFE) muito til para

abordagem de problemas em mecnica que levam em conta incertezas em suas

formulaes, Ghanem e Spanos (1991). Semelhantemente ao que ocorre no mtodo

dos elementos finitos convencional, que amplamente aplicado a problemas

determinsticos, Reddy (2006), procede-se a ortogonalizao do resduo sobre o

espao V . Assim, para um elemento genrico e e 1(x ,x ) 0,l da partio do

domnio espacial do problema (21), tem-se:

W P

P

e 1

e

e 1 e 1

ee

x2 2

x

x x2 2

xx

0 v DuDv EI.D uD v qv x, dxdP

v. D EI.D u Du Dv. EI.D u dP , v V

u

(56)

Nota-se que a formulao variacional (56), definida no domnio de um elemento

finito, requer que a soluo aproximada seja de classe 2 e e 1C x ,x , . Por outro

lado, para que a soluo aproximada atenda continuidade ao longo do domnio

global 0,l , a soluo aproximada em cada elemento deve satisfazer quatro

condies de contorno essenciais na fronteira, e 1

e

x

xu x, e

e 1

e

x

xDu x, , ou

seja,

e 1 e 1

e 1 2 e 1 2

u x , u , Du x , ,

u x , u , Du x , , (57)

tendo em vista que no modelo mecnico da viga de Euler-Bernoulli, a rotao

das sees corresponde derivada do deslocamento. Cada elemento finito requer a

especificao de quatro condies de contorno, portanto a soluo aproximada pode

ser descrita atravs de um polinmio de terceiro grau:

2 3M 1 2 3 4u x, u x, C C x C x C x . (58)

35

Nota-se que ao satisfazer as condies de contorno essenciais, a soluo

aproximada atende os requisitos de continuidade da formulao variacional, Reddy

(2006). Os coeficientes estocsticos

4

j j 1C da soluo aproximada Mu x,

podem ser expressos em termos dos graus de liberdade estocsticos de

deslocamentos e rotaes nas extremidades do elemento, notando que:

2 3

1 M e 1 2 e 3 e 4 e

2

1 M e 2 3 e 4 e

2 3

2 M e 1 1 2 e 1 3 e 1 4 e 1

2

2 M e 1 2 3 e 1 4 e 1

u u x , C C x C x C x ;

Du x , C 2C x 3C x ;

u u x , C C x C x C x ;

Du x , C 2C x 3C x .

(59)

Resolvendo-se o sistema de equaes (59) para

4

j j 1C , a soluo aproximada

Mu x, pode ser reescrita na seguinte forma,

M 1 1 1 2 2 3 1 4u x, u x x u x x , (60)

na qual j x so os polinmios de Hermite ilustrados na figura 8, com

e e 1 eL x x . Nota-se que para fornecer significado fsico aos coeficientes

estocsticos

4

j j 1C da soluo aproximada, os polinmios utilizados na

representao dos graus de liberdade do modelo mecnico possuem valor unitrio

na posio correspondente ao grau descrito, e zero para os demais.

36

Figura 8 Funes de aproximao do espao de solues determinstico

correspondentes aos graus de liberdade do problema esttico.

Fonte: Adaptado de Cook, 1989, p. 101.

O comportamento estocstico da soluo aproximada representado

utilizando-se a famlia de polinmios de caos i i 1span

, que formam um

conjunto denso no espao , ,2L P . Considerando a hiptese de representao

da incerteza em um espao de dimenso finita, o espao das variveis aleatrias

com varincia finita ser aproximado pelo espao n

n i i 1span

. Aplicando-se a

decomposio do caos nas variveis aleatrias que representam os deslocamentos

generalizados obtm-se:

n

M 1 k 1kk 1

n

1 k 2kk 1

n

2 k 3kk 1

n m 4 n

2 k 4 jk j kkk 1 j 1 k 1

u x, u x

x

u x

x U x ,

(61)

37

sendo jkU um coeficiente de deslocamento estocstico generalizado e m a

dimenso do vetor de polinmios determinsticos

4

m j j 1. A representao do

comportamento randmico da soluo aproximada atravs da combinao linear de

polinmios do caos, que so definidos em termos de variveis aleatrias, permitida

notando que o espao dos polinmios, equao (47), um espao linear. A

dimenso do espao n nn dim depende da dimenso do vetor aleatrio

e do grau da decomposio em polinmios generalizados do caos (PCG).

Denotando por s a dimenso de s

i i 1 e p o grau da decomposio

em PCG, Ghanem e Spanos (1989) demonstram que a dimenso de n dada por:

s p !n

s!.p!

. (62)

Observando que mdim e ndim , a dimenso do espao das

solues aproximadas M m nV expressa por, Ryan (2002),

M m n m nM dim V dim dim .dim m.n . (63)

Aplicando-se uma enumerao adequada aos componentes de jkU e j k ,

equao (61), a soluo aproximada do processo estocstico de deslocamento

transversal da viga pode ser escrita de maneira compacta:

M

M i i

i 1

u x, N x,u , (64)

sendo,

i j kN x, x . . (65)

38

Considera-se a seguinte notao para as condies de contorno naturais da

equao (56), P

e 1

e

x2

x

D EI.D u Du x, e

e 1

e

x2

xEI.D u x, ,

P

P

n2

1 e 1 kkk 1

n2

1 e 2 kkk 1

n2

2 e 1 3 kkk 1

n2

2 e 1 4 kkk 1

D EI.D u Du x , ,

( ) EI.D u x , ,

D EI.D u Du x , ,

( ) EI.D u x , ,

F Q

M Q

F Q

M Q

(66)

sendo

n

j kkk 1

Q a decomposio do caos, dos esforos cortantes 1F e

2F , e momentos fletores 1( )M e 2( )M estocsticos, nos ns do elemento

finito.

Procedendo de modo anlogo ao mtodo dos elementos finitos usual, o

mtodo de Galerkin aplicado atravs da ortogonalizao do resduo sobre o

espao de solues aproximadas, formado pelas funes teste jN x, , obtendo-

se a forma discretizada do problema apresentado na equao (37):

,

M M

i i 1

M

i j i j j Mi 1

, tal que,

N,N f N N ;

Encontre

Va

u

u (67)

na qual,

W P

e

e

e

e

x 12 2

i j i j i j i jx

x 1

j j jx

N,N .N.N D N.D N EI.D N.D N x, dxdP ,

f N qN x, dxdP .

a

q (68)

39

Na equao (68), j i kkQq uma enumerao equivalente utilizada

na equao (65), para os componentes das decomposies do caos, dos

carregamentos externos nodais.

Neste contexto, o sistema de equaes algbricas resultante pode ser

reescrito do seguinte modo,

KU F , (69)

sendo K M M uma matriz quadrada, definida sobre o campo escalar e com

ordem M M , FM o vetor de carregamento e U

M

i i 1u o vetor de coeficientes a

determinar. Os elementos da matriz de rigidez K e do vetor de carregamento F so

dados por:

W

P

,

,

,

Ke

e

e

e

e

e

x 1

i jx

ij ijM M

x 1

x

x 1

jx

i j

2 2i

.N .N x dxdPk , k

.D N.D N x dxdP

EI. N N x dxdP ,D .D

(70)

, ,

Fe

e

x 1M

j j j jj 1 xf f q.N x dxdP q . (71)

Nota-se na equao (70) que a ordem da matriz de rigidez K , depende da

dimenso do espao de solues aproximadas, equao (63). O custo

computacional para a obteno de solues aproximadas cresce com o aumento do

grau da decomposio do caos utilizada. A eficincia do mtodo dos elementos

finitos estocsticos pode ser melhorada se a estrutura de esparsidade da matriz de

rigidez K for considerada, evitando-se a computao de elementos nulos e

utilizando armazenamento esparso de K . Esta estrutura ilustrada nas figuras 9 e

10, para o problema de uma viga de seo retangular com incerteza na altura,

variando-se o grau p da decomposio em polinmios generalizados.

40

Figura 9 Matriz de rigidez calculada para Figura 10 Matriz de rigidez calculada para

p=1, s=4 e m=4. p=3, s=4 e m=4.

Definindo-se graus de liberdade estocsticos de deslocamentos e rotaes,

em cada elemento da partio (ou malha) do domnio espacial do problema, a matriz

de rigidez global do sistema obtida atravs da sobreposio dos graus de

liberdade comuns s matrizes de cada elemento. De maneira anloga construdo o

vetor de carregamentos global. As condies de contorno do problema so impostas

aplicando-se os valores prescritos dos deslocamentos estocsticos generalizados no

sistema de equaes algbricas gerado.

Para exemplificar a construo da matriz de rigidez global utilizando o MEFE,

considera-se o problema de uma viga em fundao de Pasternak biapoiada, em que

o mdulo elasticidade modelado atravs de um processo estocstico

parametrizado ,E x , o qual descrito por quatro variveis aleatrias uniformes

e independentes (s=4). Da tabela 1, os polinmios generalizados adequados

funo peso da varivel uniforme so os polinmios de Legendre, definidos at o

grau trs na equao a seguir:

0 j 1 j j

2 3

2 j j 3 j j j

h 1; h ;

1 1h 3 1 ; h 5 3 .2 2

(72)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

nz = 208

41

Aplicando uma decomposio em polinmios generalizados de grau at trs

(p=3), obtm-se um espao n com dimenso n=35, formado por polinmios

multivariados de grau i j m n 3 :

k (i,j,m,n) i 1 j 2 m 3 n 4h h h h , i, j,m,n 0,1,2,3 , (73)

sendo o ndice k 1,...,35 uma enumerao do multi-ndice. Na figura 11

apresentada a matriz de rigidez de um elemento finito estocstico, obtida para o

exemplo em questo, ilustrando os ndices determinstico e estocstico do espao

de solues aproximadas.

A figura 12 ilustra a discretizao do domnio espacial do problema utilizando-

se dois elementos finitos estocsticos, assim como a matriz de rigidez global obtida

com a sobreposio das matrizes elementares.

Figura 11 Matriz de rigidez local resultante da aplicao do mtodo

dos elementos finitos estocsticos.

42

Figura 12 - a) Exemplo de discretizao espacial. b) Matriz de rigidez global.

No exemplo da viga simplesmente apoiada, com a imposio dos

deslocamentos 1 3u u 0 , que implica em 1 3k ku u 0, k 1,...,35 ,

visto que os polinmios do caos so ortogonais, o sistema de equaes (69)

simplificado. O sistema de equaes lineares resultante formado por uma matriz

de rigidez, figura 13, e um vetor de carregamentos com condies de contorno

aplicadas.

Figura 13 Matriz de rigidez global com condies de contorno aplicadas.

43

5.1 Momentos Estatsticos

Os processos estocsticos de deslocamento e rotao nos ns dos elementos

finitos estocsticos so expressos por:

n

i i kkk 1

n

i i kkk 1

u ,

,

u

(74)

sendo i ku e i k os coeficientes correspondentes aos graus de liberdade iu e i ,

respectivamente, obtidos com a soluo do sistema de equaes (69). Os

momentos estatsticos, de primeira e segunda ordem, destes processos

estocsticos, so estimados no MEFE utilizando-se o operador esperana

matemtica:

n

i i kkk 1

n

i i kkk 1

u dP ,

dP ,

u

(75)

e o operador varincia:

222

i i i

222

i i i

u u u ,

.

(76)

O desempenho do MEFE avaliado comparando-se os momentos

estatsticos obtidos com a soluo numrica aproximada, s respectivas estimativas

obtidas com simulaes de Monte Carlo (SMC). A simulao de Monte Carlo

consiste na execuo de trs etapas: gerao das amostras das variveis aleatrias

que modelam a incerteza; obteno do conjunto de realizaes do processo

estocstico de soluo; e a partir do conjunto de realizaes, a estimativa dos

momentos estatsticos. Os valores randmicos amostrais das variveis aleatrias

44

so gerados com a rotina rand do programa computacional MATLAB. Para diminuir

a correlao espria do processo de gerao, Olsson e Sandberg (2002),

implementou-se o mtodo Latin Hypercube Sampling (LHS). Em cada realizao j

da SMC, a funo determinstica do parmetro randmico obtida, e o problema da

viga em fundao de Pasternak, equao (5), solucionado com a aplicao do

mtodo dos elementos finitos usual. Os deslocamentos i ju e rotaes

i j nos ns so determinados, gerando-se uma amostra de tamanho N. Nos

exemplos numricos, os momentos estatsticos de primeira e segunda ordem, so

calculados utilizando-se uma amostra de tamanho N=50.000. Na SMC, o valor

esperado e a varincia do processo estocstico iu so definidos a seguir:

.

;i

i i

i j

22

i j

N

uj 1

N

u uj 1

1

N

1u .

N 1

u

(77)

Os momentos estatsticos obtidos por meio de simulaes de Monte Carlo

so considerados como valores de referncia. Os valores resultantes da aplicao

do MEFE so avaliados com a definio dos erros relativos:

i

i

2i

i

i

% i

2 2

i u2

% i 2

u

u

u

E ( )

E ( )

;

u ;

uu

u

(78)

A amostra obtida com a SMC possibilita a gerao do histograma e do grfico

de distribuio de probabilidade acumulada do processo estocstico de deflexo da

viga. Os mesmos grficos so obtidos no MEFE, atravs de N realizaes,

gerando-se valores para as variveis aleatrias que descrevem os processos

estocsticos definidos na equao (74).

45

6 EXEMPLOS NUMRICOS

O presente captulo apresenta exemplos numricos da aplicao do MEFE,

ao problema de flexo estocstica da viga de Euller-Bernoulli repousando em

fundao de Pasternak. Os exemplos avaliam o problema de uma viga

simplesmente apoiada, de seo transversal retangular. Os valores dos parmetros

geomtricos, e do termo de carregamento distribudo, comuns aos exemplos, so

ilustrados na figura 14.

Figura 14 Viga de seo retangular simplesmente apoiada em fundao de Pasternak.

A incerteza est presente nos coeficientes de rigidez da fundao

: , , , p P 0 l , : , , , w P 0 l , na altura da viga

: , , , h P 0 l , e no mdulo de elasticidade : , , , P 0E l . Os

parmetros randmicos so modelados utilizando-se os processos estocsticos

parametrizados:

,

N

n 12.n 1 2.nE E

x xn. n.

,E 3. cos sinx l l

(79)

,

N

n 12.n 1 2.nh h

x xn. n.

h ,3. cos sinx l l

(80)

,

N

pn 1

p p 2.n 1 2.nx xn. n.

,3. cos sinx l l

(81)

,

N

wn 1

w w 2.n 1 2.nx xn. n.

3. cos sinx l l

, (82)

1m

1b m, x 0,

100

q 1000N / m, x 0,

l

l

l

46

que so descritos por quatro variveis aleatrias uniformes e independentes (N=2),

definidas no intervalo 1,1 . Os valores considerados nos exemplos, para a mdia e

o desvio padro dos parmetros, so apresentados na tabela 2.

Tabela 2 Media e desvio padro dos parmetros estocsticos.

Este modelo de representao da incerteza permite o ajuste da distribuio

de probabilidade do processo estocstico parametrizado, de acordo com dados

obtidos experimentalmente. Na figura 15 ilustrado um histograma do mdulo de

elasticidade, de uma liga de ao estrutural utilizado na indstria naval, obtido atravs

de ensaios mecnicos, Hess et al. (2002).

O histograma apresentado na figura 16 foi gerado por meio de simulaes de

Monte Carlo (N=50.000), utilizando-se o modelo proposto para o mdulo de

elasticidade, equao (79), considerando-se um ponto fixo no domnio espacial

L2

x . Na mesma figura so ilustrados os dados experimentais apresentados no

trabalho de Hess et al. (2002). Aplicando outros tipos de variveis aleatrias na

descrio dos processos parametrizados (tabela 1), possvel obter diferentes

formas de distribuio de probabilidade para o parmetro com incerteza, desde que

a hiptese H1 seja atendida.

Parmetro Mdia Desvio padro

,E x 210GPa E10

,h x 1 m50 h 10

,p x 1000N p 10

,w x 1000Pa w10

47

Figura 15 Histograma do mdulo de elasticidade de uma liga de ao estrutural.

Fonte: Hess et al., 2002, p. 37.

Figura 16 Histograma experimental e histograma gerado com o processo estocstico

parametrizado, com x fixo, atravs de SMC.

48

6.1 Definio da Malha Espacial

O nmero de elementos finitos estocsticos de viga, utilizados nos exemplos

numricos, escolhido tendo como base o nmero de elementos necessrios, para

obter uma boa aproximao no problema determinstico da viga em fundao de

Pasternak. A preciso da aproximao no espao de probabilidades, do problema

estocstico, avaliada utilizando-se diferentes graus de expanso em polinmios

generalizados.

O problema determinstico da viga de Euler-Bernoulli repousando em

fundao de Pasternak, descrito pela seguinte equao diferencial no-

homognea de quarta ordem:

4

4 2

p w4 2

2 2

2 2

u C

x


d u d uEI u x q x , 0, ;

dx dx

u(x 0) u(x ) 0;

d u d ux 0 x 0;

dx dx

l

l

l

l

(83)

a qual possui soluo analtica. Para modelos mecnicos de maior complexidade,

outros mtodos so empregados na avaliao do refino da malha, como por

exemplo, a anlise da continuidade de tenses entre elementos.

Considera-se o problema da viga biapoiada apresentado na seo anterior, tal

que os parmetros E , p , w e h so determinsticos e possuem valor igual

mdia apresentada na tabela 2. Os valores de deslocamento no centro do vo,

obtidos com a soluo analtica e utilizando-se o mtodo de Galerkin, so

comparados na tabela 3. No mtodo de Galerkin, dois tipos de aproximaes do

espao de solues so consideradas: funes do tipo

j. .xsen

l e o mtodo dos

elementos finitos determinstico (polinmios de Hermite, figura 10). Conforme

ilustrado na tabela 3, utilizando-se 6 elementos finitos na discretizao espacial, o

erro relativo inferior a 310 % .

49

Tabela 3 Erros relativos da aplicao do mtodo de Galerkin, no problema determinstico

da viga biapoiada em fundao de Pasternak.

Soluo u(x=L/2) [m] Erro Relativo [%]

Analtica 0.00861166804569 --

Combinao linear de sen(j..x/L), k=1. 0.00864723839095 0.413048

Combinao linear de sen(j..x/L); k=1,2,3. 0.00860912663450 0.029511

Combinao linear de sen(j..x/L); k=1,2,3,4,5. 0.00861210564525 0.005081

MEF, 2 elementos 0.00861697166049 0.061586

MEF, 4 elementos 0.00861199565556 0.003804

MEF, 6 elementos 0.00861173261783 0.000750

Nos exemplos numricos da aplicao do MEFE, so utilizados 6 elementos

finitos estocsticos de viga em fundao de Pasternak, de igual comprimento. Os

processos estocsticos de deslocamento nos cinco ns internos da viga, i ,u

so calculados aplicando-se a equao (74), utilizando polinmios de Legendre no

esquema de Askey-Wiener, com decomposies de grau p=1,2 e 3. Devido

condio de simples apoio, tem-se que os processos estocsticos de deslocamento

nos ns correspondentes s extremidades da viga so nulos, ou seja,

1 7 0u u . Nas simulaes de Monte Carlo, so utilizados 6 elementos

finitos na discretizao espacial.

6.2 Exemplo 1a - Incerteza no Mdulo Elstico da Viga

O presente exemplo apresenta incerteza no mdulo de elasticidade

: , , , E P 0 l , da viga ilustrada na figura 14, o qual descrito com o

processo estocstico parametrizado definido na equao (79). Os valores numricos

do valor esperado e desvio padro, utilizados na modelagem do mdulo elstico so

apresentados na tabela 2. p , w e h so parmetros determinsticos e possuem

valor numrico igual ao valor esperado apresentado na tabela 2.

Utilizando-se o procedimento descrito da SMC, os deslocamentos nodais da

viga i j ,u so calculados para cada realizao j da simulao. Os momentos

estatsticos de primeira e segunda ordem, dos processos estocsticos de

50

deslocamento nos ns da viga, so estimados utilizando-se a equao (77). A

evoluo dos momentos estatsticos, do deslocamento estocstico no centro da viga

4 ,u em relao ao nmero de realizaes na SMC, ilustrada nas figuras 17

e 18.


no centro da viga 4u , na SMC. Exemplo 1a.


no centro da viga 4u , na SMC. Exemplo 1a.

[m]

[m]

51

O problema de incerteza no mdulo de elasticidade tambm solucionado

com a aplicao do MEFE, equao (69). Os processos estocsticos de

deslocamento nos cinco ns internos da viga i ,u so obtidos com a utilizao

da equao (74), e as estimativas dos momentos estatsticos, calculadas com as

equaes (75) e (76). As estimativas do valor esperado e da varincia, dos

deslocamentos nodais estocsticos, obtidos com polinmios de Legendre de grau

p=1, 2 e 3, so comparadas nas figuras 19 e 20, aos valores de referncia da SMC.

Figura 19 Valor esperado do processo estocstico de deslocamento iu nos ns da viga de

Pasternak, exemplo 1a.

Figura 20 Varincia do processo estocstico de deslocamento iu nos ns da viga de

Pasternak, exemplo 1a.

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

SMC

MEFE p=1

MEFE p=2

MEFE p=3

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

SMC

MEFE p=1

MEFE p=2

MEFE p=3

x 10-5

[m]

[m]

[m]

[m]

52

Os erros relativos no valor esperado e na varincia, do processo estocstico

de deslocamento nodal i ,u so calculados utilizando-se a equao (78). Os

valores resultantes so ilustrados nas figuras 21 e 22.

Figura 21 Erro relativo no valor esperado do processo estocstico de deslocamento iu nos

ns da viga de Pasternak, exemplo 1a.

Figura 22 Erro relativo na varincia do processo estocstico de deslocamento

iu nos ns da viga de Pasternak, exemplo 1a.

0.000%

0.005%

0.010%

0.015%

0.020%

0.025%

0.030%

0.035%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

MEFE p=1

MEFE p=2

MEFE p=3

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

MEFE p=1

MEFE p=2

MEFE p=3

[m]

[m]

53

As curvas de valor esperado e varincia dos processo estocstico de

deslocamento nos ns, figuras 19 e 20, foram interpoladas graficamente a partir dos

valores nodais calculados. Nota-se uma excelente concordncia entre as curvas

obtidas com a aplicao do MEFE e as curvas de referncia obtidas com a SMC.

Conforme ilustrado na figura 21, a utilizao da expanso do caos com polinmios

de grau p=1 resulta em um erro relativo inferior a 0,1%, para a estimativa do valor

esperado de iu . Por outro lado, observa-se na figura 22 que para obter uma

boa aproximao na varincia de iu , necessria a utilizao de uma

expanso em polinmios de grau p=2, com a qual se obtm erros relativos inferiores

a 1%.

Observando as figuras 21 e 22, nota-se que com o aumento no grau p da

expanso do caos, os erros relativos na varincia diminuem, enquanto que os erros

relativos no valor esperado aumentam. Os valores numricos dos erros relativos,

para o processo estocstico de deslocamento transversal no centro do vo

4 ,u so apresentados na tabela 4. Comparando o valor esperado do processo

estocstico 4 ,u ao deslocamento no centro do vo obtido no problema

determinstico com os valores mdios dos parmetros da viga e da fundao, nota-

se a existncia de uma perturbao estocstica, que ocasiona um desvio de

4u em relao ao valor obtido no problema determinstico.

Tabela 4 Erros relativos no valor esperado e na varincia, do processo estocstico de

deslocamento no centro do vo 4u , exemplo 1a.

Valor Esperado [m]

Erro Relativo no valor esperado

[%]

Varincia [m]

Erro Relativo na varincia

[%]

SMC 0.0087637987898 ---- 0.135859871 x10-5

----

MEFE p=1 0.0087623316333 0.0167411 0.124866158 x10-5

8.0919

MEFE p=2 0.0087664968641 0.0307866 0.135111607 x10-5

0.5508

MEFE p=3 0.0087666318845 0.0323272 0.135653429 x10-5

0.1520

Na figura 23, so apresentados os valores do coeficiente de variao (razo

entre o desvio padro e valor esperado), dos processos estocsticos de

deslocamento nos ns da viga, obtidos com a SMC e com a aplicao do MEFE. A

figura 24 apresenta os erros relativos, nos coeficientes de variao estimados no

54

MEFE, em relao aos valores de referncia da SMC. Nota-se na figura 23 que o

coeficiente de variao calculado na SMC e no MEFE para p=1, 2 e 3,

praticamente constante ao longo dos ns da viga. Este fato confirma a existncia de

continuidade de probabilidade ao longo do domnio espacial do problema, ao

explicitar a correlao entre processos estocsticos de deslocamento em diferentes

regies da viga, quando estes processos possuem a mesma probabilidade de

ocorrncia. Observando a figura 24, conclui-se que o erro relativo no coeficiente de

variao, diminui monotonamente com o aumento do grau p da expanso do caos

utilizada, sendo inferior a 0,5% para a expanso de grau p=2.

Figura 23 Coeficiente de variao do processo estocstico de deslocamento

iu nos ns internos da viga de Pasternak, exemplo 1a.

Figura 24 Erro relativo no coeficiente de variao, do processo estocstico iu nos ns

internos da viga de Pasternak, exemplo 1a.

12.5%

12.7%

12.9%

13.1%

13.3%

13.5%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

SMC

MEFE p=1

MEFE p=2

MEFE p=3

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

3.0%

3.5%

4.0%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

MEFE p=1

MEFE p=2

MEFE p=3

[m]

[m]

55

Utilizando-se a amostragem de deslocamentos no centro da viga 4 j ,u

obtida com a SMC, nas figuras 25 e 26 so plotados o histograma e a estimativa da

funo distribuio de probabilidade acumulada (FDPA), da varivel randmica

4u . No MEFE, a amostragem de deslocamentos no centro da viga 4 j ,u

obtida atravs de N=50.000 realizaes, em cada qual o deslocamento no centro

da viga calculado atravs da equao (74), utilizando a soluo do MEFE com

p=3.

Figura 25 Histogramas da varivel randmica 4u , exemplo 1a.

Figura 26 Estimativa da FDPA da varivel randmica 4u , exemplo 1a.

[m]

[m]

56

Observando a figura 25, nota-se uma boa concordncia entre os histogramas

e as estimativas da FDPA do processo estocstico 4u , obtidos com a SMC e

com o MEFE, demonstrando que o MEFE tambm fornece uma boa aproximao da

funo densidade de probabilidade de 4u .

O problema de incerteza no mdulo de elasticidade da viga, tambm foi

solucionado com aplicao de dois elementos finitos estocsticos (figura 12),

utilizando polinmios de Legendre de grau p=1. Os coeficientes obtidos com a

aplicao do MEFE, equao (69), so apresentados na tabela 5, juntamente com

as funes de aproximao do espao de solues. Os coeficientes

correspondentes aos graus de liberdade (GDL) 1u e 3u so nulos devido

imposio das condies de contorno. A funo aproximada, que descreve o

processo estocstico de deslocamento transversal ao longo de cada um dos dois

elementos estocstico de viga, apresentada a seguir:

4 5

elem (i,k) i ki 1 k 1

u x, U ,

(84)

sendo i as quatro funes de aproximao do elemento em questo, k polinmios

de Legendre e (i,k )U os coeficientes correspondentes. Na tabela, eL denota o

comprimento de cada elemento finito estocstico (0,5m). O processo estocstico de

deslocamento transversal apresentado na equa

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