Eletromagnetismo 1 - Capitulo 01 - Análise Vetorial

07/06/13 Eletromagnetismo 1 - Capitulo 01 - Web Version - Copyright Eduardo Fontana 1994 - 2011

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ELETROMAGNETISMO - PARTE 1 - Edio 01.2011Eduardo Fontana, PhDProfessor TitularDepartamento de Eletrnica e SistemasUFPE

Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo FontanaCopyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana

Captulo 1 - Anlise Vetorial1.1 Campo Vetorial e Escalar

1.2 lgebra Vetorial1.2.1 Soma1.2.2 Produto

Produto escalarProduto vetorial

1.2.3 Decomposio de vetores1.3. Alguns sistemas de coordenadas

1.3.1 Coordenadas cartesianas1.3.2 Coordenadas cilndricas1.3.3 Coordenadas esfricas

1.4. Transformao de coordenadas e vetores1.4.1 Cartesianas-Cilndricas1.4.2 Cilndricas-Esfricas

1.4.3 Cartesianas-Esfricas1.5. Integrais

1.5.1 Integral de linha de uma funo1.5.2 Integral de linha de um vetor

1.5.3 Integral de superfcie1.5.4 Integral de volume

1.6. Operaes diferenciais com vetores1.6.1 Gradiente 1.6.2 Operador Nabla1.6.3 Divergente1.6.4 Rotacional

1.7. Identidades vetoriais

1.8. Alguns teoremas da anlise vetorial1.8.1 Teorema de Gauss1.8.2 Teorema de Stokes1.8.3 Identidades de Green

1.8.4 Teorema de HelmholtzProblemas




1.1 Campo Vetorial e Escalar O eletromagnetismo lida essencialmente com grandezas escalares e vetoriais. Por grandeza escalar, entende-se uma grandeza fsica que possa ser quantificada por um nico parmetro, como por exemplo, a massa deum objeto ou a carga de um corpo carregado. Uma grandeza vetorial, por outro lado, requer parmetrosadicionais para uma mais completa especificao, como por exemplo, magnitude, linha de ao e sentido. Esse ocaso, por exemplo, da velocidade de um objeto em movimento. Um outro conceito que surge no estudo deeletromagnetismo o de campo. Na maioria das situaes de interesse o campo uma forma conveniente derepresentao do efeito produzido por uma fonte fsica em cada ponto de espao, a cada instante de tempo. Ocampo ser escalar ou vetorial, se a grandeza fsica a ele associada for de natureza escalar ou vetorial,respectivamente.

O estudo detalhado do eletromagnetismo requer familiaridade com as propriedades de vetores, escalares ede campos escalares e vetoriais. Algumas destas propriedades so examinadas a seguir.

1.2 lgebra Vetorial

Um vetor representado geometricamente por um segmento de reta orientado conforme ilustrado na Fig.1.1, onde o comprimento da seta proporcional a magnitude do vetor, e a orientao da seta indica a direo esentido do vetor.

Vetores satisfazem algumas propriedades quanto a soma e produto, descritas a seguir:

1.2.1 Soma

A soma de vetores realizada geometricamente, a partir do deslocamento paralelo de um dos vetores at a

extremidade do outro, conforme ilustrado na Fig.1.2. O vetor resultante se estende na direo da diagonal doparalelogramo formado pelos dois vetores. A partir dessa definio, a soma de vetores satisfaz as propriedades:

Comutatividade:

Associatividade:




1.2.2 Produto Outro tipo de operao entre vetores o produto, que pode resultar em uma grandeza escalar ou vetorial. Produto escalar

O produto escalar entre dois vetores e definido por

(1.1)

onde e so as magnitudes dos vetores e , respectivamente, e o menor dos ngulos entre eles. A partir

dessa definio, a magnitude de um vetor pode ser obtida da relao

A operao produto escalar, satisfaz algumas propriedades, tais como:

Comutatividade:

Distributividade:

Produto vetorial

Este tipo de produto gera como resultado um vetor. Define-se esta operao pela relao



Este tipo de produto gera como resultado um vetor. Define-se esta operao pela relao

(1.2)

onde, conforme ilustrado na Fig.1.3, o menor dos ngulos entre os vetores , um vetor de magnitudeunitria, perpendicular ao plano que contm os vetores , e cujo sentido aquele do polegar, quando simula-se

com a mo direita a rotao do vetor em direo ao vetor .

Fig.1.3 Disposio dos vetores na operao produto vetorial.

Algumas das propriedades satisfeitas pelo produto vetorial seguem diretamente da definio e daspropriedades de soma de vetores. Duas dessas so:

Anti-comutatividade:

Distributividade:

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1.2.3 Decomposio de vetores No espao tridimensional, um vetor arbitrrio pode ser especificado em termos de trs vetores ortogonais.

Quando esses vetores possuem magnitude unitria eles formam uma base ortonormal no espao tridimensional. Umabase ortonormal de vetores 1 , 2 e 3 satisfaz as seguintes propriedades:

A base ortonormal tambm uma base cclica de vetores se



A base ortonormal tambm uma base cclica de vetores se

,

onde:

Uma seqncia cclica a partir de 123 gera como resultado as combinaes, 231, 312, etc. Uma seqnciaacclica obtida trocando-se um dos ndices da seqncia cclica, como por exemplo, a seqncia 213.

A decomposio de um vetor em uma base cclica ortonormal requer a determinao dos coeficientes

, tal que

.

Os coeficientes da decomposio so denominados de projees do vetor nos vetores de base, e essas

projees so obtidas simplesmente a partir da operao produto escalar com cada vetor de base. Por exemplo,a projeo A1 obtida do produto escalar

Realizando-se a mesma operao com os outros vetores de base, obtm-se

Utilizando-se a decomposio de vetores em uma base cclica ortonormal, as operaes de soma, produto

escalar e produto vetorial entre dois vetores podem ser representadas respectivamente por,

Para o produto vetorial, a soma resulta em

(1.3)

que tambm pode ser posta na forma de um determinante,



que tambm pode ser posta na forma de um determinante,

(1.4)



Pode-se simplificar a notao de somatrio utilizada nas vrias operaes descritas anteriormente, convencionando-

se que a ocorrncia de ndices repetidos no segundo membro dessas operaes indique somatrio no ndice

correspondente. Por exemplo, na operao produto escalar, pode-se representar o resultado na forma simplificada

(1.5)

onde a dupla ocorrncia do ndice i no segundo membro da Eq.(1.5) indica . No caso do produto vetorial a

representao simplificada da forma

(1.6)

onde a dupla ocorrncia dos ndices i, j e k, no segundo membro indica a soma tripla .

1.3. Alguns sistemas de coordenadas

Em problemas de teoria de campo, a escolha de um sistema de coordenadas adequado fundamental paraobteno de representaes simplificadas dos campos envolvidos. O sistema mais adequado geralmente

determinado levando-se em conta a geometria da regio de existncia dos campos. Vrios sistemas de coordenadas

podem ser definidos para atender uma larga gama de situaes. Os trs sistemas de coordenadas mais comuns e

freqentemente utilizados no estudo de eletromagnetismo sero tratados no texto, e esses so descritos a seguir.

1.3.1 Coordenadas cartesianas Neste sistema, as coordenadas de um ponto no espao so definidas a partir de trs eixos x, y , z,

perpendiculares aos planos x = 0, y = 0 e z = 0, respectivamente, conforme ilustrado na Fig.1.4. Qualquer vetor

neste sistema de coordenadas pode ser representado como combinao linear dos trs vetores unitrios, 1=x,

2=y, 3=z, paralelos aos eixos x, y, z, respectivamente. A origem do sistema cartesiano a interseo dos



2=y, 3=z, paralelos aos eixos x, y, z, respectivamente. A origem do sistema cartesiano a interseo dos

planos x=0 , y=0 e z=0. A localizao de um ponto no espao pode ser representada pelo vetor posio

tendo uma das extremidades na origem do sistema, conforme ilustrado na Fig.1.4. A distncia do ponto P a origem

obtida de,

Fig.1.4 Representao de um ponto e vetores de base no sistema de coordenadas cartesianas.



1.3.2 Coordenadas cilndricas Neste sistema as coordenadas de um ponto no espao so representadas pelos parmetros:

r = distncia at a origem da projeo do ponto no plano xy.

= ngulo azimutal, que representa o desvio angular do vetor projeo no plano xy relativamente ao eixo x.

z = coordenada axial do ponto.

A base de vetores neste sistema formada pelos vetores unitrios ortogonais as superfcies,

r = constante, que representa a equao de uma superfcie cilndrica, = constante, que representa a equao de um semi-plano,

z = constante, que representa a equao de um plano.



z = constante, que representa a equao de um plano.

Essas superfcies e os vetores unitrios correspondentes,

,

esto representados na Fig.1.5. importante observar que a seqncia de vetores unitrios da base deste sistema,

est escrita na forma de uma seqncia cclica, conforme definido anteriormente. Notemos tambm que

diferentemente do que ocorre com os vetores de base do sistema de coordenadas cartesianas, neste sistema os dois

primeiros vetores de base variam com a coordenada .

Fig.1.5 Vetores de base e superfcies coordenadas do sistema de coordenadas cilndricas.

1.3.3 Coordenadas esfricas



As coordenadas de um ponto neste sistema de coordenadas so representadas pelos parmetros ilustrados

na Fig.1.6, a saber:

R = distncia do ponto origem,

= ngulo polar, que representa o desvio angular do vetor posio em relao ao eixo z,

= ngulo azimutal, comum ao sistema de coordenadas cilndricas.

A base deste sistema formada pelos vetores,

,

que so perpendiculares as superfcies,

R = constante , que representa a superfcie de uma esfera.

= constante , que representa a superfcie de um cone.

= constante , que representa a superfcie de um semi-plano.

O espao tridimensional gerado pelas condies, e . As superfcies

coordenadas, bem como os vetores de base esto ilustrados na Fig. 1.6. Neste sistema de coordenadas, o vetor

posio representado por .



Fig.1.6 Base de vetores e superfcies coordenadas do sistema de coordenadas esfricas.



1.4. Transformao de coordenadas e vetores

1.4.1 Cartesianas-Cilndricas

Existem situaes em que torna-se necessria a transformao de vetores e coordenadas de um sistema de

coordenadas para outro. Considere-se inicialmente um vetor representado no sistema de coordenadas

cartesianas. Qual seria a representao desse vetor, por exemplo, no sistema de coordenadas cilndricas?

Essa questo pode ser resolvida com o emprego das propriedades bsicas de vetores. Para isso, seja da

forma

O objetivo determinar as componentes de forma que o vetor assuma a representao

As componentes incgnitas podem ser obtidas pelo clculo das projees

Os produtos escalares entre vetores unitrios nessas ltimas expresses, so obtidos com base na Fig.1.7,

resultando em,



portanto,



Esse sistema de equaes lineares relacionando as projees no sistema de coordenadas cilndricas quelas

correspondentes ao sistema de coordenadas cartesianas pode ser posto na forma matricial

e essa forma matricial determina a lei de transformao de vetores entre os dois sistemas.

Pode-se representar a lei de transformao atravs da equao matricial

(1.7)

onde,



e

Nas Eqs.(1.7) e (1.8), foi introduzida a representao matricial de vetores em um sistema de coordenadas.

Com se pode observar na Fig.1.7, o efeito da matriz produzir uma rotao do sistema xy, de radianos no

sentido anti-horrio, em torno do eixo z, A matriz possui um determinante unitrio e sua inversa igual a sua

transposta. Essa matriz portanto uma matriz unitria e satisfaz a relao

onde

a matriz identidade.

Matrizes de transformao resultantes de rotao ou translao de eixos so unitrias pois essas

transformaes no alteram a magnitude de um vetor ou mesmo a orientao relativa entre vetores. Para

demonstrao dessa afirmativa, seja a operao produto escalar entre vetores, que na representao matricialassume a forma

(1.9)

Transformaes de rotao ou translao de eixos no alteram a magnitude e orientao relativa de vetores

e se tal transformao for representada pela matriz , tal que

(1.10)

o produto escalar no novo sistema de coordenadas pode tambm ser escrito como,

(1.11)

Igualando-se as Eqs. (1.9) e (1.11), resulta,

e essa ltima relao s se verifica se a matriz satisfizer a propriedade





1.4.2 Cilndricas-Esfricas

Seguindo o procedimento descrito na seo anterior, considere-se agora o vetor expresso emcoordenadas cilndricas e a obteno de sua representao em coordenadas esfricas. Seja portanto,

e quer-se determinar a representao correspondente em coordenadas esfricas

Seguindo as etapas j descritas na seo anterior, e com base na Fig. 1.8, obtm-se

que pode ser posto na forma,

com,

(1.12)

A transformao inversa obtida de,



Fig.1.8 Disposio relativa dos vetores de base nos sistemas de coordenadas cilndrica e esfrica.

1.4.3 Cartesianas-Esfricas

Essa transformao obtida pela aplicao sucessiva das transformaes anteriores, ou seja,

e a transformao inversa simplesmente,



1.5. Integrais

Em eletromagnetismo operaes de integrao e diferenciao so geralmente efetuadas no espao

tridimensional e envolvem campos escalares e vetoriais. Essas operaes so revisadas a seguir.

1.5.1 Integral de linha de uma funo

Seja f(x,y,z) uma funo definida em uma regio do espao tridimensional e uma curva ou caminho Ccontida nessa regio. A equao de uma curva no espao tridimensional obtida a partir da interseo de duas

superfcies, cada uma representada por uma relao entre coordenadas do tipo,

S(x,y,z) = 0

onde S uma funo arbitrria das variveis x , y e z. Conseqentemente, uma curva no espao tridimensional

corresponde a soluo do sistema de equaes



Define-se a integral de linha de f sobre C, com respeito a varivel x, pela relao

onde o subscrito C sob o sinal de integrao implica que a funo escalar f(x,y,z) calculada sobre os pontos

compondo o caminho C, resultando em uma funo fC(x,y,z). Portanto, para efetuar-se esta integrao necessria

a utilizao do sistema de equaes definindo a curva C, o que implica

Definies semelhantes se aplicam a integrais de linha com respeito as variveis y e z ou com respeito a

variveis compondo sistemas de coordenadas curvilneas em geral.

Exemplo 1.1: Seja a funo f(x,y,z)=2x+y+z2 e o caminho C, limitado pelos pontos (0,0,0) e (1,1,1) e definido

pela interseo entre os planos,

Para calcular a integral de f sobre C com respeito a varivel y, utilizam-se as duas equaes anteriores para

obter,

e portanto

A integral de linha com respeito a uma das coordenadas do caminho apenas um caso particular da situao

mais geral envolvendo a integrao com respeito ao deslocamento ao longo do caminho. Seja l uma varivel que

mede o comprimento ao longo da curva C. A integral de linha de f sobre C com respeito a varivel l definida pela

relao,





possvel reduzir-se essa ltima expresso para uma integral com respeito a uma das variveis do sistema

de coordenadas considerado, no caso, o sistema de coordenadas cartesianas. Para isso, seja o vetor tendo

magnitude dl e direo tangente a curva C. Sua decomposio em coordenadas cartesianas dada por

Para efetuar-se o clculo da integral com respeito a varivel x, por exemplo, calcula-se o efeito de umpequeno incremento dx sobre as coordenadas y e z da curva C, resultando em,

portanto,

e a integrao com respeito a varivel l reduz-se a,

No clculo dessa ltima integral, necessrio expressar-se as variveis y e z em termos da varivel x, o que

equivale ao clculo da funo f sobre a curva C.



1.5.2 Integral de linha de um vetor

A funo escalar no integrando da integral de linha pode representar uma das componentes de um campo

vetorial . Seja um caminho C e um vetor tangente a curva C em cada um de seus pontos. Define-se a

integral de linha da projeo de sobre C por,



Dados dl e , define-se o vetor deslocamento diferencial ao longo da curva por, , e a ltima

integral pode ser posta na forma,

Para um caminho formando uma curva fechada, denota-se

Essa ltima integral tambm denominada de circulao de sobre C.

A decomposio do vetor deslocamento diferencial nos sistemas de coordenadas cilndrica e esfrica

obtida com base nas Figs. 1.9a e 1.9b e a integral de linha de um vetor, nos trs sistemas de coordenadas

considerados, pode ser expressa como a soma de integrais com respeito a uma nica varivel conforme delineado a

seguir,

Cartesianas

Cilndricas

Esfricas





(a) (b)

Fig.1.9 (a) Projees no plano xy do vetor deslocamento diferencial no sistema de coordenadas cilndricas. (b)

Componentes do vetor deslocamento diferencial no sistema de coordenadas esfricas.

Exemplo 1.2: Para o caminho fechado C mostrado na Fig.1.10 calcular a circulao do campo vetorial,

em coordenadas cilndricas.

Primeiramente transforma-se utilizando-se a matriz de transformao dada pela Eq.(1.8)

onde fez-se uso das transformaes de coordenadas,

Portanto em coordenadas cilndricas,

Com base na Fig.1.10, as equaes para os caminhos 1, 2 e 3 em coordenadas cilndricas so



portanto

Sobre os trs caminhos, tem-se

resultando em



1.5.3 Integral de superfcie

A integral de uma funo sobre uma superfcie uma extenso do caso unidimensional. Seja S uma superfciee f(x,y,z) uma funo escalar. Seja fs(x,y,z) o valor dessa funo calculada sobre pontos da superfcie. Define-se a

integral de superfcie de f como sendo

onde dS um elemento diferencial de rea sobre a superfcie S. Se fs a projeo de um campo vetorial ao

longo da direo normal superfcie, denota-se,

como sendo o fluxo do vetor atravs de S, onde o vetor unitrio normal a superfcie em cada ponto. Se a

superfcie fechada, e o vetor aponta para fora do volume limitado por S, denota-se,

como sendo o fluxo lquido de para fora da regio limitada por S. Note-se que se o vetor for tangente

superfcie em todos os pontos, ento o fluxo lquido nulo. Ser mostrado adiante que o clculo do fluxo de um



superfcie em todos os pontos, ento o fluxo lquido nulo. Ser mostrado adiante que o clculo do fluxo de umcampo vetorial para fora de um volume limitado por uma superfcie S auxilia na determinao de fontes de campo no

interior do volume considerado.

conveniente incorporar-se o carter vetorial do vetor normal superfcie diretamente no elemento

diferencial de rea dS. Para isso, define-se um vetor rea diferencial em cada ponto da superfcie por,

O vetor , apontando em um dado sentido, tem magnitude igual ao produto de comprimentos diferenciais

ao longo da superfcie, e conseqentemente as representaes desse vetor nos trs sistemas de coordenadas aqui

considerados so dadas por:

Cartesianas:

Cilndricas:

Esfricas:



1.5.4 Integral de volume

A integral de uma funo ou vetor em um volume ocorre freqentemente no estudo de Eletromagnetismo e

em outras reas da Fsica. Seja f uma funo escalar e um campo vetorial, V um volume no espao tridimensional

e dV um volume diferencial. Denotam-se

como sendo as integrais de volume das grandezas f e , respectivamente. A escolha mais adequada pararepresentao do elemento diferencial de volume depende da geometria do volume de integrao. O elemento

diferencial dV o produto de trs comprimentos diferenciais, e as representaes correspondentes nos trs sistemas

de coordenadas so:

Cartesianas:

Cilndricas:

Esfricas:





1.6. Operaes diferenciais com vetores

1.6.1 Gradiente

Seja uma superfcie descrita no sistema de coordenadas cartesianas pela equao f(x,y,z)=C. Na Fig.1.11a

esto ilustradas duas superfcies adjacentes S1 e S2, descritas respectivamente pelas equaes,

S1 : f(x,y,z) = C

S2 : f(x,y,z) = C + dC

onde dC>0 um pequeno incremento diferencial na constante C. O deslocamento do ponto P para o ponto Q

ilustrados na Fig.1.11a, representado pelo vetor deslocamento diferencial,



Fig.1.11 Geometria das superfcies e disposio de vetores utilizados na definio do gradiente de uma funo.

A variao df , na funo f , devido a esse deslocamento pode ser obtida utilizando-se o termo em primeiraordem de uma expanso de Taylor para funes de trs variveis

que pode ser expressa na forma do produto escalar

onde

denominado de gradiente da funo f. Esse vetor resultante da ao do operador vetorial

sobre a funo f , gerando como resultado um vetor.

Para pontos P e Q bem prximos e situados sobre S1 conforme ilustrado na Fig.1.11b, a variao na funo

f , df = 0, i.e.,

o que indica que o vetor perpendicular a superfcie S1 no ponto P. Orientando-se o vetor de forma a

torn-lo paralelo e no mesmo sentido do vetor , a magnitude de assume seu valor mnimo, resultando em

ou seja, o vetor tem como magnitude a mxima taxa de variao da funo f no ponto P e aponta no sentidodessa mxima variao. Definindo-se um caminho curvilneo passando perpendicularmente a famlia de superfcies Sidescritas por equaes do tipo, f(x,y,z)=Ci, conforme ilustrado na Fig.1.11c, permite expressar o gradiente na

forma simples

(1.13)

onde u a varivel que mede comprimento ao longo da direo normal ao conjunto de superfcies e u o vetor

unitrio, tangente a essa trajetria e orientado no sentido de crescimento de u.




1.6.2 Operador Nabla

O operador pode atuar sobre escalares ou vetores. Operao sobre uma funo escalar resulta no vetor

gradiente. A representao do vetor gradiente feita com os vetores unitrios escritos esquerda dos respectivosoperadores diferenciais, como na Eq.(1.13). Isso porque, em sistemas de coordenadas curvilneas, vetores de base

em geral dependem dessas coordenadas, e portanto essa notao evita que os operadores diferenciais atuem sobre

os vetores de base. Da Eq.(1.13), o operador , quando decomposto em uma base de vetores unitrios, ter comocomponentes as derivadas com respeito aos comprimentos diferenciais medidos ao longo dos respectivos eixos

coordenados, assumindo a forma geral,

(1.14)

onde dli o comprimento diferencial ao longo do eixo i. De acordo com essa expresso, as seguintes

representaes so obtidas nos sistemas de coordenadas cilndricas e esfricas:

Cilndricas:

(1.15) Esfricas:

(1.16)

1.6.3 Divergente O divergente uma funo escalar resultante de uma operao diferencial sobre um vetor. Considere-se um

sistema ortogonal de coordenadas generalizadas, representadas pelas variveis u, v e w. Os elementos diferenciaisde comprimento associados a essas variveis so definidos por

dl1=h1du, dl2=h2dv, dl3=h3dw .

Os parmetros h, so fatores de escala, funes das coordenadas, que multiplicados pelos respectivos elementosdiferenciais du, dv e dw , produzem os comprimentos diferenciais correspondentes. Na Tabela 1.1, estotabulados os parmetros h correspondentes aos trs sistemas de coordenadas mais utilizados.

Tabela 1.1 Parmetros h e variveis correspondentes em trs sistemas de coordenadas

u v w h1 h2 h3

Cartesianas x y z 1 1 1



Cartesianas x y z 1 1 1

Cilndricas r z 1 r 1

Esfricas R 1 R Rsen

Seja o cubo curvilneo de volume , ilustrado na Fig.1.12, com centro no ponto

, e um campo vetorial

Define-se o divergente de no ponto P pela relao,

(1.17)

que mede a densidade volumtrica de fluxo lquido do vetor para fora de um volume diferencial com centro noponto P. Com base na geometria ilustrada nas Figs.1.12a e b, possvel determinar-se formalmente uma expressopara o divergente em termos das componentes de e das coordenadas u, v e w. Para isso basta computar-se o

fluxo do vetor para fora do volume diferencial, atravs das seis superfcies do cubo curvilneo. Na Fig.1.12b,esto indicadas as superfcies S1 e S2 , e a superfcie intermediria S0 . Sendo o vetor normal a superfcie

intermediria, obtm-se para o fluxo atravs dessa superfcie

Os fluxos atravs das superfcies que tm em comum o vetor unitrio , podem ser expressos em termos de

a partir das expanses de Taylor em 1a. ordem



Fig.1.12. Cubo curvilneo utilizado no clculo formal do divergente de um campo vetorial.


Assim, a contribuio das superfcies S1 e S2 para o fluxo total para o exterior da regio limitada pelo cubo

pode ser obtida de

A contribuio das outras superfcies obtida fazendo-se permutaes cclicas sobre os respectivos ndices

e coordenadas, resultando em,

donde

Inserindo-se essa ltima expresso na Eq.(1.17), fornece

(1.18)

Utilizando-se os parmetros da Tabela 1.1 e a Eq.(1.18), as seguintes expresses so obtidas nos trssistemas de coordenadas:

(1.19)

(1.20)

(1.21)



(1.21)

A divergncia de um campo vetorial, indica a existncia de fontes ou sumidouros associados a esse campo.

Se a divergncia em um ponto nula, o fluxo total que entra o mesmo que sai em um volume arbitrariamentepequeno circundando o ponto considerado, indicando assim uma certa conservao das linhas de campo naquele

ponto. Se a divergncia positiva, existe um fluxo liquido para o exterior do volume diferencial ao redor do pontoconsiderado, indicando a presena de uma fonte capaz de produzir essas linhas de campo. Finalmente, quando adivergncia negativa, existe um fluxo lquido convergindo para o interior do volume diferencial, indicativo da

existncia de um sumidouro de linhas de campo no ponto sob considerao.

Considerando-se a Eq.(1.19), pode-se escrever o divergente de um campo vetorial na forma

Ou seja, no sistema de coordenadas cartesianas, o divergente de um campo vetorial obtido diretamente do

produto escalar do vetor com o vetor . Essa expresso tambm se verifica em qualquer sistema decoordenadas, mas deve-se levar em conta que em outros sistemas os vetores de base dependem das coordenadas,

e que os operadores diferenciais atuam sobre os vetores de base. Por exemplo, considerando-se o sistema decoordenadas cilndricas e a Eq.(1.17), tem-se

Antes da realizao dos produtos escalares, deve-se observar que os vetores e dependem dacoordenada . A forma explcita dessa dependncia obtida decompondo-se esses vetores na base de vetores do

sistema de coordenadas cartesianas. Com base na matriz de transformao dada pela Eq.(1.8), tem-se que,


Diferenciao desses vetores com respeito a varivel fornece



Levando-se em conta essas propriedades no desenvolvimento da operao , resulta em

Comparando-se essa ltima expresso com a Eq.(1.20) tem-se


1.6.4 Rotacional

O rotacional uma operao diferencial realizada sobre umvetor, produzindo como resultado um outro vetor e til na

determinao das propriedades de circulao de campos vetoriais.

Com base na Fig.1.13, define-se o rotacional de um campo vetorial

pela relao

(1.22)

Verifica-se da definio dada pela Eq.(1.22) que cadacomponente do vetor rotacional a razo entre a circulao do campo

vetorial e a rea limitada pelo caminho de integrao, calculada no limitequando essa rea tende a zero. No clculo da Eq.(1.22), a orientao

do caminho definida de forma que a rea por ele limitada esteja sempre situada esquerda no decorrer do

percurso de integrao. O vetor unitrio normal a rea diferencial orientado no sentido da extremidade do polegarao simular-se a trajetria de integrao com a mo direita.



ao simular-se a trajetria de integrao com a mo direita.

Considere-se um sistema genrico de coordenadas curvilneas (u, v, w) e a geometria ilustrada na Fig.1.14

para o clculo da componente u da Eq.(1.22). Admitindo-se um campo vetorial da forma

,

a integral de linha da Eq.(1.22) reduz-se a

Fig.1.14 Geometria para o clculo do rotacional em termos das componentes do campo vetorial Supondo-se conhecidas as integrais de linha sobre os dois caminhos que cruzam o centro do retngulo

curvilneo, as integrais ao longo dos quatro segmentos indicados na Fig.1.14 podem ser obtidas a partir das

expanses de Taylor em 1a. ordem

onde,

,

so as integrais de linha intermedirias no sentido crescente das variveis v e w, respectivamente.

A integral de linha resultante portanto,



A rea do retngulo diferencial aproximadamente,

e a componente u do rotacional, obtida da Eq.(1.22),

donde

(1.23)

As outras componentes so obtidas realizando-se permutaes cclicas nos ndices e coordenadas, o quefornece:

(1.24)

(1.25)


As Equaes (1.23)-(1.25) so vlidas para um sistema ortogonal de coordenadas curvilneas generalizadas.Nos trs sistemas de coordenadas mais usados e com base na Tabela 1.1, essas expresses assumem as formas:

Cartesianas:

(1.26)

Cilndricas:

(1.27) Esfricas:

(1.28)



(1.28)

A operao pode ser obtida diretamente do produto vetorial do operador com o vetor , levando-

se em conta a operao diferencial sobre os vetores unitrios do sistema de coordenadas curvilneas. Por exemplo,no sistema de coordenadas cilndricas obtm-se formalmente

Em coordenadas cilndricas os vetores e dependem apenas da coordenada , conforme descrito naSec. 1.6.3. Efetuando-se os produtos vetoriais entre vetores unitrios obtm-se

Comparando-se essa ltima expresso com a Eq. (1.27) fornece

(1.29)

Existe uma segunda forma de definio da operao rotacional que envolve uma integrao na superfciefechada que limita o ponto considerado. Essa definio til no desenvolvimento de algumas relaes integrais e

pode ser desenvolvida com base na geometria do cubo curvilneo ilustrado na Fig.1.12a. Seja o vetor readiferencial em cada face do cubo e dV o volume diferencial correspondente. O rotacional pode ento ser definido na

forma

(1.30)

Note-se que a Eq.(1.30) tem uma forma semelhante a Eq.(1.17) a menos da natureza vetorial. Paraverificar-se que o resultado obtido com essa nova definio idntico quele obtido da Eq.(1.22), considere-se ascontribuies das superfcies S1 e S2 para a integrao de superfcie, expressas em termos da contribuio da

superfcie S0, conforme ilustrado na Fig.1.12b. Na superfcie S0 tem-se





De forma semelhante quela descrita anteriormente as integraes nas superfcies S1 e S2 podem ser

expressas como as expanses de Taylor em 1a. ordem

onde o sinal negativo na ltima expresso decorrncia de a normal para o exterior da regio na superfcie S2

apontar no sentido do vetor . Assim a contribuio das superfcies S1 e S2 dada por

que pode ser reescrita na forma

A partir desse resultado, as integraes nas quatro superfcies restantes podem ser obtidas realizando-se

permutaes cclicas nas coordenadas, resultando em

Pode-se mostrar que os ltimos trs termos do segundo membro da expresso anterior so todos nulos. Para isso, suficiente mostrar que um deles se anula e utilizar a correspondncia cclica entre os termos. A

demonstrao como segue. Considere-se o vetor deslocamento diferencial



que no sistema uvw pode tambm ser escrito na forma

A igualdade dessas duas relaes fornece

Assim, o primeiro dos trs ltimos termos da integral de superfcie pode ser escrito na forma

,e o mesmo resultado se aplica para os dois ltimos termos. Com esse resultado a integral na superfcie do cubo

curvilneo reduz-se a

Utilizando-se esse ltimo resultado juntamente com a expresso DV=h1h2h3dudvdw, na definio dada pela

Eq.(1.30) obtm-se finalmente

o que corresponde ao resultado contido nas Eqs.(1.23)-(1.25).



1.7. Identidades vetoriais O operador pode operar sobre escalares ou vetores ou combinaes de produtos dessas grandezas e

vrias identidades vetoriais podem ser obtidas da definio bsica do operador conforme ilustrado a seguir:

1.7.1 Utilizando-se a notao compacta e a definio do produto escalar, tem-se

onde subtendida a soma nos ndices i e j e . Utilizando-se a regra da cadeia para a operao de



onde subtendida a soma nos ndices i e j e . Utilizando-se a regra da cadeia para a operao dediferenciao, obtm-se

donde

(1.31)

1.7.2 Utilizando-se o procedimento delineado anteriormente, obtm-se

donde

(1.32)

1.7.3 A divergncia do gradiente de um escalar denominada de Laplaciano que um operador diferencial de

2a. ordem encontrado freqentemente em teoria de campos. Utilizando-se a Eq.(1.14), e os parmetros h definidosanteriormente, o gradiente de um escalar pode ser expresso como

O divergente do vetor obtido da Eq.(1.16), resultando em

(1.33)

Utilizando-se os parmetros da Tabela 1.1, obtm-se as seguintes expresses nos sistemas de coordenadas

considerados neste captulo: Cartesianas

(1.34)

Cilndricas

(1.35)



(1.35)

Esfricas

(1.36)



1.7.4

Considere-se a determinao do rotacional do gradiente de uma funo escalar. Utilizando-se a notaocompacta, com ndices repetidos representando soma, o gradiente e o rotacional podem ser representados por,

onde, . Fazendo-se , obtm-se

Para uma funo f com 2a. derivada contnua tem-se que, . Portanto, fixado o ndice k ,

e fazendo-se uso da propriedade , conclui-se que,

(1.37)

Essa identidade implica que: qualquer campo vetorial obtido do gradiente de uma funo escalar irrotacional.

1.7.5 Considere-se agora o divergente do rotacional de um vetor. Para isso, a Eq.(1.16) expressa na forma

compacta,



com ndices repetidos indicando soma, e o ltimo fator na expresso anterior, satisfaz a,

Seja

cuja divergncia ,

onde nessa ltima expresso tem-se uma soma sobre os ndices repetidos i , j , k, l , m. Notando-se que,

e este termo ser no nulo para cada valor do ndice i, se a seguinte condio for satisfeita,


Quando esta condio satisfeita, tem-se que,

,

portanto,

Para Fm com 2a. derivada contnua tem-se

e utilizando-se a propriedade , obtm-se finalmente,



e utilizando-se a propriedade , obtm-se finalmente,

(1.38)

Essa identidade implica que: qualquer campo vetorial derivado do rotacional de outro vetor, possui

divergncia nula.

1.7.6 Outras identidades vetoriais

Existem outras identidades envolvendo operadores e vetores que so de importncia no formalismomatemtico da teoria eletromagntica, algumas das quais listadas a seguir. A demonstrao dessas expresses geralmente realizada seguindo procedimentos semelhantes queles delineados anteriormente.

(1.39)

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

(1.44)

1.8. Alguns teoremas da anlise vetorial Vrias relaes integrais so de importncia no formalismo matemtico da teoria eletromagntica e algumas

destas so descritas a seguir.


1.8.1 Teorema de Gauss A definio da divergncia de um vetor expressa pela Eq.(1.15), pode ser posta na forma

com representando o fluxo lquido do vetor parafora da regio diferencial em torno do ponto P. Essaltima relao permite obter o fluxo lquido a partir do

conhecimento do divergente e do volume diferencial umavez que



(1.45) A generalizao dessa expresso para o caso de

um volume macroscpico V limitado por uma superfciefechada pode ser obtida com base na Fig.1.15. O

volume V subdividido em elementos diferenciais , esobre cada elemento a Eq.(1.45) utilizada para calcular

o fluxo lquido para fora do elemento diferencial devolume. Efetuando-se a soma dos fluxos diferenciais de

cada elemento, componentes de fluxo calculadas sobre superfcies comuns a elementos adjacentes se cancelam.

Conseqentemente, ao se somar as contribuies diferenciais, as nicas componentes de fluxo que no se cancelamso aquelas calculadas sobre a superfcie . Dessa forma, pode-se escrever,

que leva ao teorema de Gauss,

(1.46)

onde o vetor rea diferencial dirigido para fora do volume V.



1.8.2 Teorema de Stokes A definio do rotacional de um vetor dada pela Eq.(1.19) pode ser expressa na forma,

onde um vetor unitrio normal ao elemento de rea DS, e C o caminho de integrao, orientado de acordo

com a regra da mo direita. Essa relao permite obter a circulao do campo vetorial a partir do conhecimento daprojeo do rotacional na direo normal superfcie limitada pelo caminho. Definindo-se no limite,



pode-se escrever,

donde

(1.47)

A Eq.(1.47) pode ser generalizada para o clculo de

circulao de um campo vetorial, qualquer que seja a forma etamanho do caminho, conforme ilustrado na Fig.1.16. A superfcie subdividida em elementos diferenciais, e sobre cada elemento, a Eq.

(1.47) utilizada para o clculo da integral de linha no caminho limitando o elemento de superfcie correspondente.Efetuando-se a soma dessas circulaes diferenciais sobre todos os elementos da superfcie, integrais de linha

calculadas sobre segmentos comuns a elementos adjacentes se cancelam. Conseqentemente, ao somar-se ascontribuies diferenciais, o nico segmento que contribui para a integral de linha do vetor o caminho C

limitando a superfcie S. Pode-se escrever portanto,

resultando no teorema de Stokes,

(1.48) Uma outra identidade integral envolvendo o rotacional de um campo vetorial decorre diretamente da Eq.

(1.30). Com base naquela equao e seguindo procedimento semelhante quele que levou a Eq. (1.46) pode-semostrar que

(1.49)

onde S a superfcie fechada que limita o volume V, conforme ilustrado na Fig.1.15.

1.8.3 Identidades de Green

As identidades de Green seguem diretamente do teorema da divergncia e so teis no formalismo dasfunes de Green para determinao de campos. Considere-se duas funes f e g, que so utilizadas para gerar os

vetores, e . Utilizando-se a identidade vetorial expressa pela Eq.(1.26), obtm-se,

(1.50)

(1.51)

Efetuando-se a diferena entre as Eqs.(1.50) e (1.51) e integrando-se o resultado em um volume V, resultaem



Aplicando-se o teorema de Gauss, expresso pela Eq. (1.46), no primeiro membro, resulta em

(1.52)

que o Teorema de Green. Procedimento semelhante aplicado Eq.(1.50), leva a primeira identidade de Green,

(1.53)


1.8.4 Teorema de Helmholtz O Teorema de Helmholtz estabelece que um campo vetorial univocamente especificado em uma regio, seforem conhecidos seu divergente, rotacional e sua componente normal sobre a superfcie que limita a regio. A

importncia deste teorema na teoria eletromagntica consequncia da forma de representao matemtica docomportamento de campos eletromagnticos em termos de operaes de divergncia e rotacional. Para

demonstrar-se o teorema, seja um vetor definido em uma regio limitada por uma superfcie fechada , tal que,

com especificadas em toda regio, conjuntamente com a componente normal de sobre , .

Admitindo-se a existncia de um vetor distinto satisfazendo as mesmas propriedades, ou seja

a unicidade do vetor ficar demonstrada se a condio, , for satisfeita. Para isso, constri-se o vetor,



que satisfaz as propriedades,

Como irrotacional, da Eq.(1.37), pode-se definir uma funo , tal que,

,

e a divergncia nula de fornece

Utilizando-se a 1a. identidade de Green dada pela Eq.(1.53), com f = g = , resulta em

donde

Dado que vem

Como a grandeza positiva definida, a integrao de volume s ser nula se para qualquerponto no interior do volume, o que implica , como se queria demonstrar.



Problemas

1.1) Considere a funo, , com e . Mostre que

, onde .



1.2) Calcule o valor da integral de linha,

onde C o segmento de reta orientado do ponto (a,0,0) ao ponto (a,a,0).

1.3) Determine,

onde C o arco de circunferncia orientado, definido por r=3, z=0, 0/2.

1.4) Dado o campo vetorial , determine o fluxo desse vetor atravs da superfcie

definida pelas condies, {z=4, 0 x 3, 1 y 2}.

1.5) Para o campo vetorial , determine , sobre a superfcie S do cubo cujos vrtices esto

localizados nos pontos,

(0,0,0); (1,0,0); (1,1,0); (0,1,0)

(0,0,1); (1,0,1); (1,1,1); (0,1,1)

Admita que seja o vetor rea diferencial dirigido para fora da regio limitada por .

1.6) Use o teorema de Gauss e determine a resposta da questo anterior, pelo clculo de uma integral de volume

na regio limitada por .

1.7) Dado o campo vetorial , mostre que .

1.8) Dado o campo vetorial , mostre que .

1.9) Calcule as seguintes integrais:

, , , , ,

onde C a circunferncia z=0 , r = 1.

1.10) Calcule as seguintes derivadas e expresse suas respostas na base de vetores do sistema de coordenadas

esfricas.



1.11) Calcule as integrais de superfcie:

, , ,

, , ,

onde a superfcie esfrica R = 1.

1.12) Calcule as integrais de volume

, , ,

onde V o volume esfrico R 1.

1.13) Utilize o teorema de Stokes em uma superfcie fechada, com o auxlio do teorema de Gauss, para mostrar

que

1.14) Use o resultado da questo anterior para mostrar que

1.15) Verifique que para uma funo f e um elemento diferencial de deslocamento , tem-se que

, onde df a diferencial de f.

1.16) Utilize o resultado da questo anterior, juntamente com o teorema de Stokes, para mostrar que

1.17) Aplique o resultado da questo anterior em uma rea de integrao diferencial para mostrar que

.

1.18) Demonstre a Eq.(1.49)



1.19) Verifique que o gradiente de uma funo escalar pode ser obtido da definio

onde uma superfcie fechada que limita o volume diferencial V e o vetor rea diferencial dirigido

para o exterior do volume V.



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Eletromagnetismo 1 - Capitulo 01 - Análise Vetorial