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UFBA – Universidade Federal da Bahia. ENG309 – Fenômenos de Transporte III. Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica. CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE. Introdução. Trata da transferência de calor por condução em regime não-estacionário, ou seja, dependente do tempo. - PowerPoint PPT Presentation
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ENG309 – Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Marcelo José Pirani
Departamento de Engenharia Mecânica
UFBA – Universidade Federal da Bahia
CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE
Introdução
Trata da transferência de calor por condução em regime não-estacionário, ou seja, dependente do tempo.
Objetivo
● Desenvolver procedimentos para determinar a dependência da distribuição de temperaturas no interior de um sólido em relação ao tempo durante um processo transiente;
● Determinar a transferência de calor entre o sólido e a vizinhança.
CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE
5.1. Método da Capacitância Global
convsai qE
acuE
Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente
Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente.
Rcond pequena
Rconv grande
acu ent sai gE E E E
sdT
Vc hA T Tdt
s
Vc d
hA dt
i
t
s 0
Vc ddt
hA
T T
Aplicando a equação da Energia
Fazendo
Separando as variáveis e integrando a partir das condições iniciais et 0 iT(0) T
i iT Tonde
(5.1)
(5.2)
(5.4)
(5.3)
5.1. Método da Capacitância Global
s i
Vcln t
hA
Efetuando as integrações
ou
(5.6)
(5.5)
5.1. Método da Capacitância Global
shAt
Vc
i i
T Te
T T
i
s
Vct ln
hA
t t ts s
Vc 1Vc R C
hA hA
Interpretando como uma constante de
tempo térmica:sVc / hA
(5.7)
5.1. Método da Capacitância Global
onde tR
tC- Resistência a transferência de calor por convecção
- Capacitância térmica global do sólido
A distribuição de temperatura fica:
5.1. Método da Capacitância Global
s
1t
Vc
hA
i i
T Te
T T
t t
1t
R C
i i
T Te
T T
t
1t
i i
T Te
T T
Qualquer aumento em Rt ou Ct
causará uma resposta mais lenta
do sólido a mudanças em seu
ambiente térmico.
Esse comportamento é análogo ao decaimento da voltagem que ocorre quando uma capacitor é descarregado através de um resistor em um circuito elétrico RC
t t
s0 0
Q qdt hA dt Para determinar o total de energia transferida Q
Substituindo da equação (5.6)
5.1. Método da Capacitância Global
integrando
shAt tVc
s io
Q hA e dt
shA
tVc
iQ Vc 1 e
Obs.:
tt atat
0 0
ee dt
a
ou
ou ainda
5.1. Método da Capacitância Global
s
1t
VchA
iQ Vc 1 e
t t
tR C
iQ Vc 1 e
finalmente
t
t
iQ Vc 1 e
(5.8a)
5.1. Método da Capacitância Global
Q está relacionada com a variação de energia interna do sólido
acuQ E (5.8b)
t
1t
acu iE Vc 1 e
Seja considerada a figura a seguir
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Para regime estacionário
s1 s2 s2kA
T T hA T TL
Rearranjando
s1 s2 cond
s2 conv
L / kAT T R hLBi
T T 1/ hA R k
hLBi
k
onde
É o Número de Biot
(5.9)
Para a utilização do Método da Capacitância Global, deve-se ter:
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
chLBi 0,1
k (5.10)
Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido
Bi
onde
cL Escala de comprimento correspondente a máxima diferença espacial de temperatura
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido
Bi
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
onde
Por conveniência define-se:
cs
VL
A
V
sA
Volume do sólido
Área superficial do sólido
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Escrevendo o expoente da equação em função de Lc
Retomando a equação (5.6)
shAt
Vc
i i
T Te
T T
s
c
hA t ht
Vc cL
Multiplicando o numerador e o denominador por Lck
s c c2 2
c c c
hA t hL hLht k t t
Vc cL k c kL L
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
shA tBi Fo
Vc
Então Bi Fo
i i
T Te
T T
s c2c
hA t hL t
Vc k L
Definindo e lembrando que resulta: 2c
tFo
L
chL
Bik
(5.13)
Exemplo 5.1
Uma placa de alumínio [k=160W/(moC), =2790 kg/m3, cp=0,88kJ/(kg oC) ] com L=3cm de espessura e uma temperatura uniforme T0=225 oC é repentinamente imersa em um fluido agitado, mantido a uma temperatura constante Too =25 oC. O coeficiente de transferência de calor entre a placa e o fluido é h=320 W/(m2 oC). Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja 50oC.
Exemplo 5.1
Verificação do número de Biot
A capacitância global pode ser aplicada pois Bi é menor que 0,1
cV L.A L
L 1,5 cmA 2.A 2
sh.L 320.0,015Bi 0,03
k 160
s
c
hhAtt
cLVc
i i
T Te e
T T
Utilizando a equação (5.6)
Exemplo 5.1
substituindo os valores
t 239 s 4min
i
s
Vct ln
hA
2790.880.0,015 225 25t ln
320 50 25
c icLt ln
h
Exercícios
Exercício 5.5 do Incropera
Bolas de aço com 12mm de diâmetro são temperadas pelo aquecimento a 1150K seguido pelo resfriamento lento até 400K em um ambiente com ar a T∞=325K e h=20W/m2K. Supondo que as propriedades do aço sejam k=40W/mK, =7800kg/m3 e c=600J/kgK. Estime o tempo necessário para o processo de resfriamento.
Exercícios
Exercício 5.7 do Incropera
O coeficiente de transferência de calor para o ar escoando sobre uma esfera deve ser determinado pela observação do comportamento dinâmico da temperatura de uma esfera, que é fabricada de cobre puro. A esfera que possui 12,7mm de diâmetro, encontra-se a 66oC antes de ser inserida em uma corrente de ar que tem a temperatura de 27oC. Um termopar sobre a superfície externa da esfera indica 55oC após 69s da inserção da esfera na corrente de ar. Admita e então justifique, que a esfera se comporta como um objeto espacialmente isotérmico e calcule o coeficiente de transferência de calor.
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Seja considerada a figura a seguir
acu
sVizinhançavizT
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Aplicando o balanço de energia, tem-se:
s s,a g conv rad s(c,r)dT
q A E q q A Vcdt
4 4s s,a g viz s(c,r)
dTq A E h T T T T A Vc
dt
(5.14)
(5.15)
asA ,
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Uma solução exata pode ser encontrada, admitindo-se a ausência de fluxo térmico, de geração de energia e de convecção na equação (5.15), ou seja:
4 4s,r viz
dTVc A T T
dt
Separando as variáveis e aplicando a integral
i
t Ts,r
4 4vizo T
A dTdt
Vc (T T )
(5.16)
(5.17)
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Efetuando a integral, resulta:
1 1viz viz i i3
viz viz i viz vizs,r viz
T T T TVc T Tt ln ln 2 tg tg
T T T T T T4 A T
Obs.: 14 4 3 3
dx 1 x a 1 xln tg
x a ax a 4a 2a
(5.18)
Repetindo a equação
i
t Ts,r
4 4vizo T
A dTdt
Vc (T T )
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Para a situação onde Tviz=0 (radiação para o espaço infinito) , da equação (5.17)
i
t Ts,r
4 4vizo T
A dTdt
Vc (T T )
i
t Ts,r
4o T
A dTdt
Vc T
3 3s,r i
Vc 1 1t
3 A T T
Resolvendo, tem-se:
(5.19)
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Outra situação onde se pode encontrar uma solução exata ocorre se, na equação (5.15), for desprezada a radiação e se h for independente do tempo. Nessa situação:
Onde: , e
da b 0
dt
schAa
Vc s s,a g(q A E )
bVc
(5.20)
4 4s s,a g viz s(c,r)
dTq A E h T T T T A Vc
dt
(5.15)
T T
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Eliminando a não homogeneidade pela introdução da transformação:
da b 0
dt
b
a
da 0
dt
Torna-se:
Separando as variáveis e integrando de 0 até t ( até )i
at
ie
(5.21)
(5.22)
(5.23)
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Substituindo as definições de e ,
at
i
T T (b / a)e
T T (b / a)
Donde
at at
i i
T T b / ae 1 e
T T T T
(5.24)
(5.25)
5.4. Efeitos Espaciais
Quando os gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis a aplicação do Método da Capacitância Global é inadequada e outras alternativas de abordagem devem ser utilizadas.
Em problemas de condução transiente de calor uma alternativa é a solução da equação do calor desenvolvida no Capítulo 2.
No caso de coordenadas retangulares a equação de calor tem a forma:
pT T T T
k k k q cx x y y z z t
(2.17)
5.4. Efeitos Espaciais
2
2
T 1 T
tx
iT(x,0) T
x 0
T0
x
x L
Tk h[T(L,t) T ]
x
Considerando uma parede plana, sistema unidimensional, sem geração interna e k constante, a equação de calor toma a forma:
(5.26)
Para resolver a equação (5.26) é necessário especificar uma condição inicial e duas condições de contorno:
(5.27)
(5.28)
(5.29)
5.4. Efeitos Espaciais
As temperaturas na parede dependem de uma série de parâmetros físicos, como segue:
iT T(x, t,T ,T ,L,k, ,h)
Para reduzir a quantidade de parâmetros físicos e facilitar o tratamento do problema a adimensionalização das equações pode ser utilizada, como segue:
5.4. Efeitos Espaciais
i i
T T*
T T
xx*
L
2
tt* Fo
L
Temperaturas adimensional
Coordenada espacial adimensional
Tempo adimensional
5.4. Efeitos Espaciais
2
2
* *
Fox*
*(x*,0) 1
x* 1
*Bi *(1, t*)
x*
A equação da condução de calor juntamente com as condições de contorno na forma adimensional tomam a forma
x* 0
*0
x*
Condições iniciais e de contorno.
(5.34)
(5.35)
(5.36)
(5.37)
5.4. Efeitos Espaciais
A dependência funcional fica:
(5.38)* f (x*,Fo,Bi)
iT T(x, t,T ,T ,L,k, ,h)
Comparando com a equação (5.30)
Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma função universal de ex*,Fo Bi
5.5. A Parede Plana com Convecção
Figura 5.6a: Sistema unidimensional com temperatura inicial uniforme submetido subitamente a condições convectivas.
5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.1. Solução exata
A solução da equação (5.34) com as condições iniciais e de contorno dadas pelas equações de (3.35), (5.36) e (5.37) é dada por:
2n Fo
n n
n 1
* C e cos( x*)
Onde:
nn
n n
4senC
2 sen(2 )
n ntg Bi
2
tFo
L
(5.39a)
(5.39b)
(5.39c)
5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.2. Solução aproximada
21 Fo
1 1* C e cos( x*)
*o 1* cos( x*)
21 Fo*
o 1C e
ou
onde
(5.40a)
Para Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série
11
1 1
4senC
2 sen(2 )
1 1tg Bi
(5.40b)
5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.3. Transferência total de energia
ent sai acuE E E
Q [E(t) E(0)]
iQ c[T(x, t) T ]dV
fazendo: entE 0
acuE E(t) E(0)
segue
ou
saiE Q
5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.3. Transferência total de energia
iQ c[T(x, t) T ]dV Adimensionalisando com a grandeza
o iQ cV(T T )
resulta
Utilizando * dado pela Eq (5.40b) e integrando, resulta:
i
o i
Q [T(x, t) T ] dV 1(1 *) dV
Q T T V V
*1o
o 1
Q sen1
Q
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
Para um cilindro ou uma esfera com raio ro (Figura 5.6b) inicialmente a uma temperatura uniforme, resultados semelhantes aos obtidos para parede plana podem ser obtidos.
Figura 5.6b: Cilindro infinito ou esfera.
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Exatas
1n
noFo
n *)r(JeC*2n
)(J)(J
)(J2C
n21n
2o
n1
nn
Bi)(J
)(J
n0
n1n
2or
tFo
k
rhBi o
J1 e Jo são funções de Bessel
Cilindro Infinito (válido para L/ro10)
(5.47a)
(5.47b)
(5.47c)
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Exatas
1n
nn
Fon *)r(sen
*r
1eC*
2n
)2(sen2
)cos()(sen4C
nn
nnnn
Bi)(gcot1 nn
2or
tFo
k
rhBi o
Esfera
(5.48a)
(5.48b)
(5.48c)
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Aproximadas
*)r(JeC* 1oFo
1
21
Cilindro Infinito (Válida para Fo 0,2)
*)r(J* 1o*o
Fo1
*o
21eC
(5.49a)
(5.49b)
(5.49c)
2or
tFo
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Aproximadas
*)r(sen*r
1eC* 1
1
Fo1
21
Esfera (Válida para Fo 0,2)
*)r(sen*r
1* 1
1
*o
Fo1
*o
21eC
(5.50a)
(5. 50b)
(5. 50c)
2or
tFo
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Aproximadas Coeficientes 1 e C1 para parede plana, cilindro e esfera
5.6.3. Transferência total de energia
)(J2
1Q
Q11
1
*o
o
)cos()(sen3
1Q
Q1113
1
*o
o
Cilindro Infinito
Esfera
(5.51)
(5.52)
EXERCÍCIOS
Exercício 5.37 - Incropera
Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então, resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio de reaquecimento para uma placa de aço com 100mm de espessura (=7830kg/m3, c=550J/kgK, k=48W/mK) que está inicialmente a uma temperatura uniforme de Ti=200oC e deve ser aquecida a uma temperatura máxima de 550oC. O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde produtos de combustão a T∞=800oC mantém um coeficiente de transferência de calor de h=250W/m2K em ambas as superfícies da placa. Quanto tempo a placa deve ser deixada dentro do forno?
EXERCÍCIOS
Exercício – Prova de 2008.1Considerar o processo de preparação de ovos cozidos. Um ovo comum pode ser aproximado por uma esfera com 55mm de diâmetro e propriedades iguais as da água (=999kg/m3, c=4184J/kgK, k=0,598W/mK). Inicialmente, os ovos apresentam temperatura uniforme, igual a 6oC, quando são colocados em água fervente, a 100oC. O coeficiente de transferência de calor da água em ebulição é estimado em 1400W/m2oC e os ovos podem ser considerados cozidos depois de permanecer um minuto com temperatura mínima de 75oC. Contudo, o aquecimento acima de 80oC leva a um endurecimento indesejado do produto.
a) Admitindo que seja válido, aplicar o método da capacitância global para determinar o tempo mínimo de cozimento dos ovos e se os mesmos terão endurecido demais até o final do processo;
b) Levando em conta os efeitos espaciais, determinar o tempo mínimo de cozimento;
c) Admitindo que o resultado do item anterior seja 20 minutos (pode não ser), determinar qual a espessura da camada que fica endurecida demais no processo;
d) Discutir, tendo como base as resistências de condução e de convecção da superfície, qual a validade das soluções obtidas nos itens anteriores.
5.7. Sólido Semi-Infinito
Idealização de um sólido finito de grande espessura
Figura 5.7: Sólido Semi-Infinito, três condições de superfície.
5.7. Sólido Semi-Infinito
Governado pela Equação (5.26)
2
2
T 1 T
tx
iT(x,0) T
(5.26)
(5.27)
iT(x ,0) T (5.53)
5.7. Sólido Semi-Infinito
Figura 5.7: Distribuições de temperatura em um sólido semi-infinito para as três condições na superfície
5.7. Sólido Semi-Infinito
Caso 1: Temperatura na superfície constante sTt,0T
s
i s
T x,t T xerf
T T 2 t
(5.57)
s is
k T Tq
t
(5.58)
Função erro de Gauss tabelada no apêndice Bx
erf2 t
5.7. Sólido Semi-Infinito
Caso 2: Fluxo Térmico na superfície constante
Caso 3: Convecção na superfície
s oq q
x 0
Tk h T T 0,t
x
2x
4 to oi
2q t / q x xT x,t T e erfc
k k 2 t
2
2h x h t
k ki
i
T x,t T h tx xerfc e erfc
T T k2 t 2 t
(5.59)
(5.60)
Função erro complementar de Gauss erfc 1 erf