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UNISALESIANO

Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium

Curso de Pedagogia

ÉRIKA KAZUE OKUMA

ENSINO E APRENDIZAGEM DE FRAÇÃO: UM ESTUDO COMPARATIVO E UMA INTERVENÇÃO DIDÁTICA

LINS

2010

ÉRIKA KAZUE OKUMA


Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora do Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium, como requisito parcial para obtenção do título de Graduação em Pedagogia, sob a orientação do Profº M.Sc. Marcos José Ardenghi e da Profª M.Sc. Fátima Eliana Frigatto Bozzo.

LINS

2010

ÉRIKA KAZUE OKUMA


Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) apresentado ao Centro

Universitário Católico Salesiano Auxilium para obtenção do título de graduação

do curso de Pedagogia.

Aprovado em ________/________/________

Banca Examinadora:

Orientador: Prof. M.Sc. Marcos José Ardenghi

Titulação: Mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo.

Assinatura: ___________________________________

Prof. M.Sc. Clarice Maria Aoki Horita

Titulação: Mestre em Odontologia pela Universidade do Sagrado Coração

Bauru - São Paulo

Assinatura: ___________________________________

Prof. Esp. Maria Inês Violato Rodrigues Pinto

Titulação: Especialização em aprendizagem Cooperativa e Tecnologia

Educacional na Educação Básica pela Universidade Católica de Brasília.

Assinatura: ___________________________________

Dedico este trabalho a todos os

professores que amam a sua profissão e

fazem dela um campo imenso de

oportunidades para desenvolver, nos

educandos, a conquista da liberdade de

raciocínio.

AGRADECIMENTO

A Deus, por me conceder a vida. Por me dar coragem, saúde e esperança

nos momentos mais difíceis.

Às Irmãs da minha comunidade religiosa Filhas de Maria Auxiliadora em

especial a Ir. Ivone Yared, minha diretora, pela oportunidade que me deram para

um crescimento contínuo, iluminando e apoiando meu caminho com a luz mais

brilhante que puderam encontrar: Jesus Cristo.

A animadora da comunidade Inspetorial, na pessoa de Ir. Antonia Brioschi,

Inspetora que me incentivou com muito amor para o cumprimento de mais uma

etapa na minha formação.

Desejo exprimir o meu sincero agradecimento ao meu Profº M.Sc. Marcos

José Ardenghi pela orientação, dedicação, carinho, atenção e sugestões que

foram fundamentais para a realização deste trabalho. À professora Profª M. Sc.

Fátima Eliana Frigatto Bozzo, minha orientadora técnica, obrigada pela paciência

e atenção, que Deus a ilumine sempre. Um especial agradecimento à professora

Maria de Fátima Rocha, que fez a correção do trabalho e ao Profº Américo

Buzato Perin que colaborou com o abstract, ajudando sempre que precisei.

Às Profª Maria Sueli Bertolucci Pereira e Fernanda Francisco Boccia Silva,

pela acolhida carinhosa em sua sala de aula durante o período da aplicação das

questões e das intervenções realizadas.

À Profª M.Sc. Clarice Maria Aoki Horita e à Profª Esp. Maria Inês Violato

Rodrigues Pinto, que gentilmente aceitaram participar da Banca Examinadora e

pelas valiosas sugestões.

RESUMO Este estudo trata do ensino do conceito de fração e tem por objetivo investigar as variáveis envolvidas na produção de respostas na resolução dos problemas propostos sobre fração. A fundamentação teórica da pesquisa contou com os estudos de Terezinha Nunes e Peter Bryant (1997), que estão apoiados no trabalho sobre o significado da representação fracionária dos números racionais e nos estudos da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, que trata do ensino e aprendizagem do conceito de fração e seus significados: número, parte todo, quociente, medida e operador multiplicativo. A metodologia constou de um estudo comparativo dos resultados da aplicação de uma sequência de situações-problema apresentados por 15 alunos do 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede particular da cidade de Lins-SP com os apresentados no estudo realizado por Vasconcelos (2007) na cidade de Porto Alegre-RS. Os resultados comparativos foram considerados equivalentes e mostraram que os alunos apresentam dificuldades e estratégias similares na resolução das situações-problema e, ainda, que o desempenho de ambas as turmas foi considerado insatisfatório. Considerando os resultados apresentados e com a finalidade de reverter o quadro referente ao baixo desempenho na resolução dos problemas de fração, optou-se pela realização de uma intervenção por meio de contação de três pequenas histórias que abordavam três dos quatro significados do estudo de frações: parte-todo; número; operador multiplicativo. Os alunos se mostraram interessados com as histórias. Duas semanas após a intervenção foi aplicada a mesma sequência de situações-problema e os resultados obtidos foram analisados e comparados com os da aplicação inicial. Constatou-se que houve uma evolução da capacidade de resolução das situações-problema e também das estratégias utilizadas.

Palavras chave: Fração. Campo Conceitual. Aprendizagem.

ABSTRACT

This study deals with the education of the fraction concept and has for objective to investigate the involved 0 variable in the production of answers in the resolution of the problems considered on fraction. The theoretical recital of the research counted on the studies of Terezinha Nunes and Peter Bryant (1997), that they are supported in the work on the meaning of the fractionary representation of the rational numbers and in the studies of the Theory of the Conceptual Fields of Vergnaud, that deals with the education and learning of the fraction concept and its meanings: number, part all, quotient, measure and multiplicative operator. The methodology consisted of a comparative study of the results of the application of a sequence of situation-problem presented by 15 pupils of 5º year of Basic Teaching of a school of the particular net of the city of Lins-SP with presented in the study carried through for Vasconcelos (2007) in the city the Glad Port. The comparative results had been considered equivalents and had shown that the pupils present similar difficulties and strategies in the resolution of the situation-problem and, still, that the performance of both the groups was considered unsatisfactory. Considering the results presented and with the purpose to revert the referring picture to overhead in the resolution of the fraction problems, it was opted to the accomplishment of an intervention by means of telling of the three small histories that approached three of the four meanings of the study of fractions: part-all; number; multiplicative operator. The pupils if had shown interested with histories. Two weeks after the intervention was applied the same sequence of situation-problem and the gotten results had been analyzed and compared with the ones of the initial application. One evidenced that it also had an evolution of the capacity of resolution of the situation-problem and of the used strategies. Word keys: Fraction. Conceptual field. Learning.

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

PCNs: Parâmetro Curricular Nacional

MEC: Ministério de Educação e Cultura

LISTA DE QUADRO

Quadro 1: Acertos de cada aluno e tipos de raciocínio utilizados.....................38

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Desempenho Geral dos alunos do 5º Ano do Ensino Fundamental

em relação às sete questões aplicadas.............................................................51

Tabela 2: Desempenho Geral dos alunos do 5º Ano do Ensino Fundamental

em relação aos quatros significados de fração escolhidos................................51

Tabela 3: Porcentagem de acertos gerais por significados entre os dois

grupos de escolas antes da intervenção...........................................................52

Tabela 4: Resultados comparativos entre a 1ª e a 2ª aplicação. Tipos de

acertos por questões.........................................................................................57

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO............................................................................................. 11

CAPÍTULO I – REVISÃO DA LITERATURA............................................... 14

1 PESQUISAS SOBRE O ENSINO DE FRAÇÃO............................... 14

1.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental

e o ensino de frações........................................................................ 14

1.2 Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos das 4ª

e 8ª séries do Ensino Fundamental segundo Leonel Valpereiro Mou-

tinho .................................................................................................. 18

1.3 Números fracionários: a construção dos diferentes significados por

alunos de 4ª e 8ª séries de uma escola do Ensino Fundamental se-

gundo Isabel Cristina Peregrina Vasconcelos................................... 19

1.4 Um estudo sobre as relações entre as atitudes em relação à Mate-

mática e a resolução de problemas envolvendo frações, segundo

Andressa Maria Justulin e Nelson Antonio Pirola.............................. 22

1.5 Breves considerações sobre a Revisão da Literatura ....................... 25

CAPÍTULO II – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................... 26

2 PESQUISAS SOBRE O TEMA......................................................... 26

2.1 Pesquisas de Bryant e Nunes........................................................... 26

2.2 Pesquisas de Vergnaud .................................................................... 30

2.3 Proposta de Trabalho........................................................................ 34

CAPÍTULO III – METODOLOGIA E ANÁLISE DOS RESULTADOS ......... 36

3 INTRODUÇÃO.................................................................................. 36

3.1 Metodologia....................................................................................... 36

3.2 Análise dos Resultados..................................................................... 37

3.2.1 Comparação dos resultados obtidos com os resultados da pesquisa

de Vasconcelos (2007)...................................................................... 51

CAPÍTULO IV – INTERVENÇÃO ................................................................ 54

4 CONTAÇÃO DE HISTÓRIAS ENVOLVENDO FRAÇÕES............... 54

4.1 Resultado e análise da sequência de situações problema após a in-

tervenção .......................................................................................... 56

CONCLUSÃO.............................................................................................. 59

REFERÊNCIAS ........................................................................................... 62

APÊNDICE .................................................................................................. 64

ANEXOS...................................................................................................... 66

11

INTRODUÇÃO

O presente estudo tem por finalidade buscar elementos que permitam

entender as razões pelas quais os alunos têm alcançado resultados

insatisfatórios no estudo da matemática escolar em relação ao estudo da

fração e também desenvolver e aplicar recursos que possibilitem a reversão de

quadros referentes ao baixo desempenho na resolução dos problemas de

fração.

A preocupação com o ensino da Matemática vem sendo discutida há

muito tempo por pesquisadores da área de educação e de educação

matemática. No ensino tradicional de Matemática há a preocupação apenas em

transmitir os conteúdos básicos que devem ser memorizados, não se

preocupando com as habilidades que podem ser desenvolvidas na formação

do pensamento lógico para a resolução de problemas a partir de sua própria

ação.

O ensino da matemática, muitas vezes, continua sendo ministrado de

maneira obsoleta, inútil e desinteressante por isso tem sido marcado por

constantes problemas como: excesso de reprovação, falta de interesse e

aversão à disciplina, se deparando como terror dos alunos.

Nessa perspectiva de ensino e aprendizagem para se obter resultado

positivo, quanto mais as crianças tiverem oportunidades de realizar

experiências concretas, vivenciando dinamicamente os conteúdos que lhe

forem propostos, respondendo positivamente ao mundo que as cerca, estarão

interiorizando os conceitos e os significados envolvidos na linguagem da

matemática de forma mais abrangente possível.

Dos conceitos teóricos à prática educativa dos professores, há um longo

caminho a ser percorrido. Adentrar num campo sumamente problemático, cheio

de incertezas, requer uma análise comparativa de propostas didáticas apoiadas

em diferentes correntes, de ensino em termos de alcances e limitações de

modelos teóricos, as quais podem levar a uma analise e conseqüente melhora

na prática do professor.

Desmistificar os sentidos dados à Matemática deveria ser papel

fundamental do educador, pois as experiências, positivas ou negativas no

12

convívio familiar e escolar no uso dos números, podem marcar a criança e

desenvolver um sentimento de rejeição à disciplina, que se expressa, mais

fortemente, no momento que ela ingressa na escola, prejudicando, assim, a

relação de aprendê-la com mais naturalidade.

O ensino-aprendizagem da matemática, que é muitas vezes mecânico e

repetitivo, torna-se difícil, causa ojeriza nos alunos e leva ao desencanto com a

matemática.

O processo de construção mútua entre educando e educador dentro da

questão do ensino-aprendizagem é de suma importância, e pode produzir

efeitos de reversão diante desse quadro de ojeriza da matemática.

Sendo assim, como ponto de partida, optou-se por trabalhar com o

processo de ensino e da aprendizagem da matemática, e em específico do

objeto matemático frações, visto que é grande o número de alunos que

apresentam dificuldades na apropriação desses conhecimentos matemáticos.

Almejou-se com essa pesquisa contribuir para o enriquecimento do

estudo sobre números racionais, em sua representação fracionária.

O estudo tem com objetivo geral: investigar as variáveis envolvidas na

produção de respostas na resolução dos problemas propostos sobre fração.

Os objetivos específicos são:

a) analisar as possíveis causas das dificuldades na apropriação dos

conhecimentos matemáticos sobre fração;

b) identificar a natureza das dificuldades apresentadas na resolução

dos problemas propostos;

c) comparar os resultados obtidos com os resultados descritos na

pesquisa de Vasconcelos (2007);

d) desenvolver e aplicar estratégias de reversão de quadros referentes

ao baixo desempenho na resolução dos problemas de fração.

Este estudo está dividido em quatro capítulos. O capítulo I apresenta

uma revisão da literatura de alguns autores que trabalham com o ensino de

frações e com as recomendações feitas nos Parâmetros Curriculares Nacionais

para o ensino desse conteúdo.

No que tange ao capítulo 2, foi descrito a fundamentação teórica

utilizada. A formação do conceito de fração é apresentada na perspectiva de

13

Terezinha Nunes e Peter Bryant (1997) e a Teoria dos Campos Conceitos nos

trabalhos de Vergnaud, apresentados nas pesquisas de Moutinho (2005) e de

Moreira (2002).

No capítulo 3, descreveu-se à metodologia utilizada no estudo, a análise

dos resultados e a comparação dos resultados obtidos com os resultados da

pesquisa de Vasconcelos (2007).

No capítulo 4 apresenta-se a intervenção por meio de contação de

histórias envolvendo frações e o resultado da análise realizada após a

intervenção. Por fim, apresenta-se as conclusões e sugestões para que o aluno

possa vencer as dificuldades encontradas durante a resolução dos problemas

envolvendo frações.

14

CAPÍTULO I

REVISÃO DA LITERATURA

1 PESQUISAS SOBRE O ENSINO DE FRAÇÃO

Neste capítulo apresenta-se uma revisão da literatura de trabalhos que

possuem o mesmo foco que o presente estudo.

1.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e o

ensino de frações

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), documento elaborado

pela Secretaria de Ensino Fundamental/MEC em 1997, no volume de

Matemática, o professor encontra uma breve história do ensino da área no

Brasil, os pressupostos teóricos de uma concepção construtivista de

aprendizagem, a resolução de problemas enquanto estratégia didática.

Brasil (2007) apresenta uma análise das características da área de

Matemática e do papel que ela desempenha no currículo escolar. Destaca os

objetivos gerais para o ensino fundamental, apresenta blocos de conteúdos,

adota uma divisão para os conceitos matemáticos, separando-os em quatro

grandes blocos temáticos que atendem aos eixos:

a) Números e operações, este bloco trabalha desde as primeiras

noções intuitivas de contagem, quantidade, cálculo mental simples,

do conceito de número associado à quantidade, passando pelas

diversas categorias numéricas (números naturais, inteiros positivos e

negativos, racionais e irracionais) com suas características e

propriedades, até chegar à álgebra nos anos finais do Ensino

Fundamental, com as equações e os sistemas. Nos anos iniciais do

Ensino Fundamental, esse bloco aborda os números naturais e os

racionais positivos.

b) Espaço e forma, aqui são tratados os conceitos geométricos que dão

15

ao estudante possibilidade de compreender, descrever e representar

de maneira organizada o espaço em que vive. São estudadas as

posições no plano e no espaço, a classificação e a ordenação de

objetos, os percursos com pontos de referência, a descrição de

trajetos, as figuras espaciais e planas mais conhecidas, suas

características e propriedades, os conceitos de simetria de figuras e

o trabalho com vistas.

c) Grandezas e medidas, apresenta estreita relação com o mundo fora

da escola, pois esses conteúdos se apresentam em quase todas as

atividades fora da escola. Nele, são estudados os principais padrões

de medidas utilizados socialmente, suas transformações e

aplicações.

d) Tratamento da Informação, onde o saber coletar, manipular e

representar qualquer tipo de informação é uma competência exigida

de todos, no mundo atual.

Este último bloco tem por objetivo introduzir o estudante nessa forma de

comunicação ao abordar coleta de dados, tabelas e gráficos de vários tipos.

Também são vistas no Ensino Fundamental as noções elementares da análise

combinatória, trabalhando situações problemas que envolvam, de preferência,

o princípio multiplicativo da contagem, bem como o trabalho inicial com

probabilidade.

De acordo com o documento de Matemática dos Parâmetros

Curriculares Nacionais “a atividade matemática escolar não é olhar para coisas

prontas e definitivas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento

pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade”

(BRASIL, 1997, p. 19).

Segundo Brasil (1997), a abordagem dos números racionais tem como

objetivo principal levar os alunos a perceberem que os números naturais, já

conhecidos, são insuficientes para resolver determinados problemas, assim

como o contato dos alunos, no que se refere à representação fracionária dos

números racionais, é pouco frequente na vida cotidiana, pois se limita a

metades, terços, quartos, o que, na maioria das vezes, é vivenciada apenas

pela via da linguagem oral do que das representações.

16

O documento sugere, que a prática mais comum para explorar o

conceito de fração é a que recorre a situações em que esta implícita a relação

parte-todo. Nesse caso a fração indica a relação que existe entre o número de

partes e o total de partes.

Outro significado das frações, enunciado nos PCNs, é a do quociente,

baseado na divisão de um número natural por outro. Para o aluno, ela se

diferencia da interpretação anterior (parte-todo), pois dividir “um chocolate em

três partes iguais e comer duas dessas partes é uma situação diferente

daquela em que é preciso dividir dois chocolates para três pessoas” (BRASIL,

1997, p.103). O documento apresenta ainda uma terceira situação, diferente

das duas anteriores, que é aquela em que a fração é usada como uma espécie

de índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, ou seja,

quando é interpretada como razão (BRASIL, 1997, p.103).

Segundo Brasil (1997) a construção do conceito de números racionais

pressupõe uma organização de ensino que possibilite experiências com

diferentes significados e representações demandando um razoável espaço de

tempo.

Há também um outro significado, a fração como operador, ou seja,

quando ela desempenha um papel de transformação em que atua sobre uma

situação e a modifica.

No segundo ciclo, os alunos ampliam conceitos já trabalhados no ciclo

anterior, estabelecendo relações que os aproxima de novos conceitos,

aperfeiçoam procedimentos conhecidos e constroem novos.

Brasil (1997) sugere, como um trabalho interessante, o uso da

calculadora em atividades em que os alunos são convidados a dividir 1 por 2, 1

por 3, 1 por 4, 1 por 5, levantando hipóteses sobre as escritas que aparecem

no visor da calculadora, começando a interpretar o significado dessas

representações decimais. Ao fazer uso da calculadora, os alunos perceberão

que as regras do sistema de numeração decimal, utilizadas para representar

números naturais, podem ser aplicadas para se obter a escrita dos números

racionais na forma decimal.

Constatou-se que o documento proposto em Brasil (1997), propõe que

as frações sejam abordadas com os seguintes significados: parte do todo,

17

quociente e razão. E o outro significado, a fração como operador, deve ser

trabalhado, no terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental.

No primeiro ciclo o trabalho do professor centra-se na análise das

hipóteses levantadas pelos alunos e na exploração das estratégias pessoais

que desenvolvem para resolver situações problemas, já no segundo ciclo

podemos dar alguns passos no sentido de levar os alunos a compreenderem

enunciados, terminologias e técnicas convencionais, sem deixar é claro de

valorizar e estimular suas hipóteses e estratégias pessoais. (BRASIL, 1997) .

Brasil (1997), orienta que o ensino de fração, no segundo ciclo, deve ser

baseado na resolução de situações problema, cuja solução não se encontra no

campo dos números naturais, possibilitando assim, que eles se aproximem da

noção de número racional (quociente, parte todo, razão) e de suas

representações, fracionária e decimal.

De acordo com Brasil (1997), resolver a situação problema não resume

em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando

procedimentos adequados. É necessário desenvolver habilidades que

permitam pôr à prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes

caminhos, para obter a solução. O valor da resposta correta cede lugar ao valor

do processo de resolução evidenciando assim uma concepção de ensino e

aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da

ação refletida que constrói conhecimentos.

Assim, é necessário que o professor entenda o aluno como agente da

construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu

conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas. Neste contexto,

o papel do professor ganha novas dimensões, a de organizador da

aprendizagem. Para desempenhar esse papel, além de conhecer as condições

socioculturais, as expectativas e competência cognitiva dos alunos, precisará

escolher os problemas que possibilitam a construção de conhecimentos e

procedimentos que alimentam o processo de resolução, sempre tendo em vista

os objetivos a que se propõe atingir.

Além de organizador, o professor também é consultor nesse processo.

Não mais aquele transmissor de conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece

as informações necessárias, quando os alunos não têm condições de obter

18

sozinhos. Outra função é a de mediador, ao promover confrontações das

propostas dos alunos, ao disciplinar as condições em que cada aluno pode

intervir para expor sua solução, questionar, contestar.

O professor atua como controlador ao estabelecer as condições para a

realização das atividades e fixar prazos, sem esquecer de dar o tempo

necessário aos alunos. Como mediador da aprendizagem estimula a

cooperação entre os alunos, tão importante quanto a própria interação

adulto/criança. A interação entre professor e aluno desempenha papel

fundamental na formação das capacidades cognitivas e afetivas.

1.2 Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos das 4ª e 8ª

séries do Ensino Fundamental segundo Leonel Valpereiro Moutinho

A pesquisa teve como foco o ensino do conceito de fração. Consciente

das grandes dificuldades que os alunos dos Ensinos Fundamental, Médio e até

mesmo Superior enfrentam quando se deparam com a mesma, o pesquisador

Moutinho (2007), interessou-se pelo assunto, considerando-o como um grande

desafio.

Apresentou como justificativa para sua pesquisa, os baixos resultados

de desempenho apresentado pelos alunos, das 4ª e 8ª séries do Ensino

Fundamental. A realização desse estudo teve como objetivo identificar as

concepções que alunos das 4ª e 8ª séries do ensino Fundamental, de escolas

públicas, apresentam em relação à fração no que tange a cinco diferentes

significados: Número, Parte Todo, Quociente, Medida e Operador Multiplicativo.

O estudo direciona-se a responder a seguinte questão: “quais as concepções

que são possíveis de se identificar com relação aos cinco diferentes

significados da fração, a partir da aplicação de um estudo diagnóstico, com

alunos das 4ª e 8ª séries do Ensino fundamental?”

A fundamentação teórica da pesquisa contou com a Teoria dos Campos

Conceituais proposta por Vergnaud (1993) e as idéias teóricas de Nunes et al

(2003) com relação aos diferentes significados da fração. A metodologia

constou de um estudo descritivo realizado com a elaboração de um

19

instrumento diagnóstico que foi aplicado a 65 alunos da 4ª série e 58 alunos da

8ª série do Ensino Fundamental, distribuídos em duas escolas da rede pública

estadual da cidade de São Paulo. Os resultados foram analisados, observando-

se o desempenho e as estratégias utilizadas pelos alunos, quando resolveram

de forma errônea as questões propostas. Algumas concepções usadas pelos

alunos foram identificadas e variaram, conforme a situação e o significado

abordado nas questões.

Segundo Moutinho (1997), os alunos da 4ª série demonstraram possuir

a concepção parte-todo, como central para resolução dos problemas; já os

das 8ª série, além desta, buscaram resolver os problemas com um uso mais

intenso de operações sem, contudo, atingir um índice de acerto favorável, o

que resultou em um desempenho geral menor na 8ª do que na 4ª série. O autor

concluiu enfatizando a necessidade de se realizar um trabalho mais amplo do

Campo Conceitual da fração, com base no uso de diferentes situações,

abordando os distintos significados da fração propostos por Nunes et al. (2003)

na busca de um melhor aprendizado desse conceito ao longo das séries do

Ensino Fundamental.

1.3 Números fracionários: a construção dos diferentes significados por

alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do Ensino Fundamental segundo

Isabel Cristina Peregrina Vasconcelos

No convívio com os alunos, dando aulas na disciplina de matemática na

Educação Básica, Vasconcelos (2007), constatou um alto índice de

dificuldades apresentadas pelos alunos na compreensão do conceito de

número racional, que faz parte do pensamento multiplicativo. Escolheu como

tema da pesquisa de mestrado: Números fracionários: a construção dos

diferentes significados por alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do Ensino

Fundamental.

A sua pesquisa teve como objetivo comparar as estratégias cognitivas

utilizadas por alunos de 4ª a 8ª séries do Ensino Fundamental com bom

empenho em matemática, com as estratégias cognitivas utilizadas por alunos

20

que apresentam baixo desempenho escolar em matemática, durante o

processo de aquisição dos diferentes significados dos números fracionários:

parte todo, quociente e operador multiplicativo.

Vasconcelos (2007) escolheu estas séries pelo fato de os números

fracionários terem seu ensino iniciado formalmente a partir da 4ª série,

seguindo ao longo do Ensino Fundamental.

A amostra foi constituída por cinquenta alunos do Ensino Fundamental

da 4ª a 8ª série de uma escola privada de classe média. Foram escolhidos dez

alunos de cada série, sendo cinco alunos que apresentavam bom desempenho

e cinco alunos que representavam baixo empenho na disciplina matemática.

A amostra foi dividida em dois grupos de igual tamanho (25 alunos

cada), utilizando o critério de desempenho: bom desempenho, Grupo I; baixo

desempenho, Grupo II.

O perfil dos grupos foi determinado pela média alcançada pelos alunos

na avaliação escolar do primeiro trimestre: média acima de 8,0, Grupo I, e os

que alcançaram média abaixo de 4,0, Grupo II. Foi solicitada a autorização dos

pais para que os alunos participassem da pesquisa.

Foram apresentados às crianças sete problemas, envolvendo situações

com números fracionários e lhes foi solicitado que explicassem como os

resolveram, a fim de que se pudesse verificar que estratégias aplicaram para

chegar à solução desses problemas.

As sete situações problema, que envolviam fração, no que diz respeito

aos significados: parte todo, quociente e operador multiplicativo tiveram como

referência Merlini (2005) e Nunes et al (2003).

Todas as questões estavam relacionadas com situações do cotidiano do

aluno dentro e fora da escola. Foram colocados à disposição dos educandos

materiais manipuláveis, para auxiliar na representação das soluções dos

problemas, também material para representação escrita do seu pensamento.

Uma exigência feita aos alunos foi a que se fizesse anotação da

operação matemática usada para resolver o problema, assim como a

explicação oral do seu pensamento de solução, pois o objetivo do estudo foi o

de verificar as estratégias utilizadas por eles para resolução das situações

problema.

21

Vasconcelos (2007) realizou entrevistas que foram gravadas em áudio e

vídeo e, em seguida, analisadas e interpretadas. Os resultados obtidos na

análise das entrevistas focaram os índices de estratégias utilizadas e de

acertos por significados com quantidades contínuas e discretas.

Em seguida apresenta a análise quantitativa dos resultados, com base

na resolução das situações problema propostas aos alunos. Na análise

quantitativa buscou-se evidenciar as estratégias cognitivas utilizadas pelos

sujeitos da pesquisa. Nessa análise quantitativa foram considerados dois

enfoques: um relacionado aos significados dos números fracionários e o outro

relacionado às estratégias utilizadas pelos alunos para resolver as situações

problema.

Na análise considerou-se a classificação dos diferentes significados:

parte todo, quociente e operador multiplicativo. Os vinte e cinco sujeitos

pesquisados de cada Grupo foram considerados, independentemente da série.

O Grupo I apresentou melhor desempenho no significado da parte todo,

sendo 56% o índice de acertos, seguido pelos significados quociente e

operador multiplicativo, ambos com o mesmo índice de 52% de acertos. Os

alunos do Grupo II tiveram um melhor índice de acertos no significado

quociente, sendo 48% o índice de acertos, em relação ao significado parte

todo, em que o índice de acertos atingiu 36% e o significado operador

multiplicativo alcançou 24% dos acertos.

Os alunos do Grupo I apresentam índice de 96% de acertos no

significado operador multiplicativo de 84% de acertos no significado quociente

e 80% de acertos foram alcançados no significado da parte todo. Em relação

ao Grupo II, destaca-se o índice de 80% de acertos para o significado operador

multiplicativo com quantidades contínua, seguida pelo índice de 56% de

acertos no significado parte todo e 40% de índice de acertos para o significado

do quociente.

Vasconcelos (2007) conclui que o desempenho geral dos alunos dos

dois grupos foi sensivelmente melhor no significado operador multiplicativo com

quantidades contínuas.

Segundo Vasconcelos (2007), tanto os alunos do Grupo I, quanto os do

Grupo II, obtiveram menores índices de acertos na resolução dos problemas

22

envolvendo quantidades discretas, podendo ter ocorrido em razão do enfoque

metodológico escolar, que inicia o ensino de frações com situações que

abordam quantidades contínuas a partir do significado da parte todo, seguido

por problemas e cálculos com operador multiplicativo.

A estratégia mais utilizada pelos dois grupos foi a utilização de dados do

problema: o aluno elabora suas respostas com dados contidos no enunciado e/

ou parte das respostas da referida questão. Percebe-se que os alunos têm

dificuldades porque não utilizam as estratégias adequadas para resolver

situações problema, uma vez que não são ensinados a isso, ou porque não se

criam as condições necessárias para o seu uso.

Verificou-se também a desconexão entre a compreensão dos alunos

sobre a divisão e a aprendizagem de fração e a relacionou-se à tendência

metodológica de ensinar o conceito de números fracionários em que se

enfatiza somente o significado parte todo.

Constatou-se também que existem semelhanças na utilização das

estratégias pelos alunos dos dois grupos, porém os resultados mostram

diferenças na recuperação automática de fatos na memória, que afetam a

resolução de problemas mais complexos.

A pesquisa aponta a necessidade do uso de material concreto, para que

possam ser manipulados, ajudando assim os alunos a encontrarem a solução

para o problema, explorando a aquisição dos números fracionários em várias

situações e em diferentes contextos, diversificando as experiências.

O estudo mostrou que a necessidade de que os alunos tenham tempo

para integrar os diferentes significados, com seus símbolos e suas

representações, o que se considera um ensino efetivo e uma aprendizagem

significativa, pois reverte, assim, o quadro de dificuldades no ensino dos

números fracionários.

1.4 Um estudo sobre as relações entre as atitudes em relação à Matemática

e a resolução de problemas envolvendo frações, segundo Andressa

Maria Justulin e Nelson Antonio Pirola

Segundo a pesquisa de Justulin e Pirola (2008), um dos conteúdos em

23

que alunos e professores têm encontrado dificuldade diz respeito às frações.

Sabe-se que os números fracionários estão presentes no cotidiano, mas

parece que os estudantes não gostam ou não se sentem familiarizados no

trabalho com eles.

Os pesquisadores procuraram investigar as possíveis relações entre as

atitudes em relação à matemática e a resolução de problemas envolvendo

frações. Veja a definição de atitudes que ambos adotaram para a pesquisa:

Atitude é uma disposição pessoal, idiossincrática, presente em todas os indivíduos, dirigida a objetos, eventos ou pessoas, que assume diferente direção e intensidade de acordo com as experiências do indivíduo. Além disso, apresenta componentes de domínio afetivo, cognitivo e motor (BRITO, apud JUSTULIN; PIROLA, 2008, p. 4).

De acordo com as definições adotadas na pesquisa, as atitudes podem

ser modificadas, pois assumem direcionamentos e intensidades de acordo com

a vivência do indivíduo. Constata-se que atitudes negativas em relação à

matemática podem ser transformadas e um aluno pode aprender a ter atitudes

positivas em relação a essa disciplina.

Os autores relatam que pesquisas realizadas, na literatura educacional

com base nas diferenças entre os sexos com relação às atitudes e habilidades

matemáticas, afirmam a existência de diferenças, mas afirmam que têm pouca

importância ao longo da vida estudantil, sendo um problema mais cultural.

Quanto a solução de problemas, a pesquisa aponta que os

conhecimentos aprendidos na escola pouco facilitam suas atividades cotidianas

e que as atuais propostas educacionais enfatizam um ensino por meio da

solução de problemas, mas os livros didáticos utilizados em sala de aula

apresentam os problemas de maneira direta e acabada, não estimulando a

criatividade, utilizam-se de grande formalismo e apresentam uma matemática

mecanicista.

O ensino e a aprendizagem do conceito de fração têm sido bastante

limitado e muitas vezes apresentado fora da realidade do educando, criando

uma certa aversão a esse conceito e à matemática, muitas vezes impedindo o

educando de tentar compreender e desenvolver raciocínios e buscar solucionar

um determinado problema proposto.

A pesquisa apresenta algumas abordagens que podem ser encontradas

24

nos diversos trabalhos que investigam esse conceito: a ênfase no ensino por

meio de materiais concretos, manipulativos, pesquisa experimental, sequências

ou metodologias de ensino e formação de professores. Por meio desta

pesquisa constataram que o conhecimento do professor a respeito de frações e

a forma de ensiná-las podem levar a uma aprendizagem fragmentada ou

pautada em aspectos mecânicos. Destaca-se a importância da formação dos

professores, principalmente de 1ª a 4ª série, que possuem uma formação não

específica da matemática e que são os responsáveis pela formação inicial do

aluno.

Foram sujeitos da pesquisa 95 alunos de uma escola pública estadual

de uma cidade da Diretoria de Ensino da Região Jaú. Teve como objetivo

analisar os alunos do Ensino Médio, verificar o que entenderam e apreenderam

sobre frações e suas atitudes em relação à matemática. A coleta de dados foi

realizada em duas etapas distintas após a autorização do diretor da unidade

escolar e de alguns professores cederem suas aulas para aplicação dos

instrumentos de pesquisa.

A primeira etapa foi dividida em dois dias. No primeiro dia, os alunos

responderam o questionário pessoal, a escala de atitudes em relação à

matemática e realizaram a prova de matemática através do recurso do Mínimo

Múltiplo Comum. Teve a duração de 50 minutos.

No segundo dia, os alunos realizaram a Prova de Matemática

resolvendo operações com frações sem utilizar o Mínimo Múltiplo Comum.

Solicitou-se também que resolvessem problemas envolvendo frações, que teve

a duração de 50 minutos. Na segunda etapa, selecionaram um aluno com

média de aproximadamente 5 (cinco), para realizar uma entrevista, sendo esta

audiografada, na qual solicitou-se que o aluno explicasse cada procedimento

que realizava.

Quanto ao desempenho dos alunos, a nota geral foi composta pela

média aritmética simples das notas nas questões do algoritmo e das notas nos

problemas, sendo ambas numa escala de zero a dez.

Na análise do desempenho das duas provas, observou-se que os alunos

apresentaram melhor desempenho na prova de algoritmo do que na prova que

25

continha os problemas em que a maioria dos sujeitos obteve notas abaixo de

cinco.

A análise do desempenho na prova de algoritmo mostrou que as

diferenças por série foram significativas, mas não foram encontradas

diferenças por gênero nem interação série e gênero. Já o desempenho na

prova de problemas, além da diferença entre as séries, foi encontrada

diferença por gênero, mas não foi encontrada interação.

Segundo os autores, novas análises a respeito dos procedimentos e das

possíveis relações entre gênero, série, desempenho e atitudes em relação à

Matemática estão em desenvolvimento. No entanto, os dados obtidos até o

momento parecem indicar uma significativa relação entre as variáveis em

estudo.

1.5 Breves considerações sobre a Revisão da Literatura

Os estudos aqui apresentados sobre o ensino de Matemática

apresentados em Brasil (1997) orientam o ensino de fração a partir da

resolução de situações problema e também com o uso de material concreto.

Os estudos de Moutinho (2005) e Vasconcelos (2007) procuraram seguir

as orientações propostas no documento apresentado em Brasil (2007) e têm

como finalidade verificar o nível de acertos dos alunos na resolução de

problemas. Os resultados demonstraram que os alunos envolvidos na pesquisa

não apresentaram o desempenho esperado pelos pesquisadores.

Justulin e Pirola (2008), realizaram pesquisa sobre as atitudes de alunos

e professores em relação à Matemática e confirmaram ser importante a atitude

positiva dos professores para desenvolver atitudes positivas nos alunos, para

que estes apresentem bom desempenho em Matemática.

Assim, pode-se constatar a necessidade da realização de estudos para

melhor compreender o baixo desempenho dos alunos em relação ao conteúdo

frações.

26

CAPÍTULO II

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2 PESQUISAS SOBRE O TEMA 2.1 Pesquisas de Bryant e Nunes

A fundamentação teórica sobre a qual se baseia esta proposta de ensino

está apoiada, principalmente, no trabalho sobre o significado da representação

fracionária dos números racionais de Terezinha Nunes e Peter Bryant.

Terezinha Nunes, psicóloga, chefe do Departamento de Psicologia da

Oxford Brookes University, estuda como nasce nas pessoas o pensamento

matemático. Em suas pesquisas, ouviu gente de todo tipo. Na Universidade

Federal de Pernambuco, trabalhou com operários que mal sabiam escrever,

mas entendiam muito de escala presente em plantas residenciais. Mais tarde,

em Londres, continuou a investigação com crianças. Nos dois grupos, detectou

semelhanças.

Peter Bryant é professor de Psicologia do Departamento de Psicologia

da Oxford Brookes University.

Nunes e Bryant (1997) apresentam uma descrição do raciocínio

matemático das crianças, analisam como elas pensam sobre problemas

matemáticos e o que a matemática significa para elas.

Os autores, no capítulo 8, intitulado “Compreendendo Números

Racionais” chamam atenção para a grande dificuldade relacionada ao ensino e

aprendizagem de frações e argumentam que:

Com as frações as aparências enganam. As vezes as crianças parecem ter uma compreensão completa das frações e, ainda assim, não a têm. Elas usam os termos fracionários certos; elas falam sobre frações coerentemente; elas resolvem alguns problemas fracionários; mas diversos aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que é possível que alunos passem pela escola sem dominar as dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba (NUNES; BRYANT, 1997, p.191).

27

Nunes e Bryant (1997), alertam para o fato de que, em muitos casos, os

alunos enquanto estão trabalhando com as frações, desempenham muito bem

a destreza nos cálculos. Entretanto, diversas partes da pesquisa demonstram

que a impressão de crianças raciocinando com sucesso sobre frações poderia

ser falsa.

Os pesquisadores fazem uma crítica à forte tendência de privilegiar o

significado de parte-todo no trabalho com frações, alegando que esse modo de

apresentar o tema às crianças pode na realidade, conduzi-las ao erro, isto é, se

o método de ensino escolhido focar somente o significado parte-todo, a

compreensão de que o conjunto dos números racionais é uma extensão do

conjunto dos números naturais fica prejudicada, conforme podemos ver:

Uma forma comum de apresentar as crianças às frações é mostrar-lhes todos divididos em partes, alguns dos quais distinguidos do resto, por exemplo, pintados. As crianças são informadas que o número total de partes é o denominador, então, o número de partes pintadas é o numerador. Esta introdução, junto com alguma instrução sobre algumas regras para calcular, permite que as crianças transmitam a impressão de que sabem muito sobre fração (NUNES; BRYANT, 1997, p.191).

Nunes e Bryant (1997), tratam de dois temas: a compreensão das

crianças com relação a números racionais como quantidades extensivas e

quantidades intensivas, sabendo que estes dois temas não cobrem a gama

interior dos problemas que podem ser colocados sobre números racionais, mas

os autores acreditam que eles envolvem os tópicos fundamentais com os quais

as crianças devem lidar para entender este tipo de números.

A primeira seção do capítulo apresenta a compreensão das crianças nas

relações envolvidas na divisão simples de quantidades descontínuas e

contínuas, considerando apenas os aspectos extensivos do número racional,

examinando as evidências sobre a compreensão das crianças de relações em

situações de divisão e os começos da quantificação.

Nunes e Bryant (1997), propõem ainda que existe uma conexão entre

divisão e fração, ficando, especialmente claro, quando se pensa em um tipo de

problema envolvendo quantidades contínuas, pois se pensarmos em um

problema como, por exemplo, 5 barras de chocolate dividido para 6 pessoas, o

resultado da divisão será fração. Esta conexão faz referência a uma análise

28

matemática de números racionais feita por Kieren (1988; 1994; apud Nunes e

Bryant, 1997), em que sugere que as frações são números produzidos por

divisões e que, portanto, são números do campo dos quocientes.

Os autores citados alegam que, de fato existe uma lacuna entre a

compreensão das crianças sobre as propriedades básicas de frações e as

tarefas com números racionais resolvidas nos contextos das avaliações

educacionais. Assim Nunes e Bryant (1997) afirmam que:

[...] quando as crianças resolvem tarefas experimentais sobre divisão e números racionais, elas se engajam em raciocinar sobre as situações. Em contraste, quando elas resolvem tarefas matemáticas em avaliações educacionais elas vêem a situação como um momento no qual elas precisam pensar em que operações fazer com os números, como usar o que lhes foi ensinado na escola, concentrando-se nas manipulações de símbolos, os alunos poderiam desempenhar em um nível mais baixo que teriam desempenhado se tivessem se preocupado mais com a situação problema (p.212).

A segunda seção do capítulo examina a compreensão das crianças dos

aspectos extensivos e intensivos de números racionais no contexto de sua

compreensão de equivalências e cortes sucessivos. A terceira seção discute

questões relacionadas à compreensão e à representação de números

racionais. A seção final apresenta as conclusões dos autores e indica questões

adicionais para pesquisa.

Os estudos relatados nas duas primeiras seções, indicam que as

crianças de 6 a 7 anos começam a desenvolver uma compreensão das

relações inversas entre quociente e o divisor em situações de divisão. Fazem

julgamentos usando estas relações quando o dividendo consiste tanto em

materiais descontínuos como contínuos, mostrando assim um conhecimento

emergente de relações entre funções de unidade.

Elas podem também resolver problemas de divisão quantitativas simples

sobre quantidades descontínuas manipulando materiais concretos por meio de

formas que requerem antecipação ou estruturação de situação indo além do

simples efetuar de rotinas observadas na vida cotidiana, permitindo assim as

primeiras tentativas de quantificar cortes com quantidades contínuas na divisão

do todo em duas partes. Quando as partes são iguais, podem pensar em

termos de igualdade; quando são diferentes, podem usar sua compreensão de

29

relações: “maior/menor do que” para resolver problemas parte-todo.

A seção seguinte é voltada para o aspecto intensivo dos números

racionais e a investigação de como os aspectos extensivos e intensivos estão

relacionados durante o desenvolvimento das crianças.

Nunes e Bryant (1997) constataram que os resultados que foram

revisados são bastante consistentes em termos da via desenvolvimental que

eles indicam para a compreensão de números racionais. A compreensão das

crianças das relações nos números racionais, assim como a relação inversa

entre o número de partes e seu tamanho, parece ser desenvolvida em paralelo

com sua compreensão da relação inversa entre o divisor e o quociente na

divisão de números inteiros.

Uma outra constatação de Nunes e Bryant (1997), é a relação lógica

compreendida por crianças novas, que parece ser usada aproximadamente ao

mesmo tempo no início da quantificação dos números racionais, ou seja, as

relações parte-todo, expressadas por “igual a” e “maior do que” constroem uma

compreensão inicial de metade com base nesta relação. Essa noção de

metade parece oferecer a oportunidade para o desenvolvimento de uma

conexão inicial entre os aspectos extensivos e intensivos que caracterizam os

números racionais.

Nunes e Bryant (1997) afirmam que há uma discrepância entre a

compreensão das crianças de divisão e números racionais fora da escola e seu

conhecimento de representações ensinadas na escola devido ao modo de

como a linguagem fracionária é introduzida, como um procedimento simples de

contagem dupla em situações estáticas de parte-todo.

Porém, quando os alunos são levados a resolver problemas usando seu

conhecimento cotidiano e representações simbólicas, eles podem fazer as

conexões adequadas espontaneamente ao longo de um período de tempo de

instrução relativamente breve, e podem usar seu conhecimento cotidiano para

resolver problemas mais complexos.

Afinal, para perceber esta extensão, o aluno precisará vivenciar

situações em que a ideia da divisão for ampliada. O estudo dos significados

das representações fracionária dos números racionais tem sido enfatizado em

várias pesquisas conforme constatamos acima.

30

O documento oficial Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,1997),

também sugere que no segundo ciclo do Ensino Fundamental sejam

trabalhados três significados: parte-todo, razão e quociente, e somente no

terceiro ciclo do Ensino Fundamental, seja introduzido o significado de

operador multiplicativo.

Normalmente a concepção parte-todo é encontrada como origem das

demais concepções e como geradora da linguagem e das representações, pois

depende da divisão de um inteiro em partes ou séries iguais, equivalentes

como quantidades de superfície ou quantidade de objetos.

2.2 Pesquisas de Vergnaud Para a realização deste estudo, descrevemos também um breve relato

sobre a teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud, apresentado

na pesquisa de Moutinho (2005) e Moreira (2002).

O psicólogo francês Gerard Vergnaud, estruturou a teoria dos Campos

Conceituais com o objetivo de possibilitar uma melhor consistência às

pesquisas sobre aprendizagem matemática e oferecer condições para uma

análise da relação existente entre os conceitos como conhecimentos explícitos

e os invariantes operatórios implícitos nos comportamentos dos sujeitos diante

de uma determinada situação, sustentando também um aprofundamento da

análise entre significados e significantes.

Segundo Moutinho (2005), Vergnaud toma como premissa que o

conhecimento está organizado em campos conceituais cujo domínio, por parte

do sujeito, ocorre ao longo de um largo período de tempo. Por meio de

experiência, maturidade e aprendizagem analisa os tipos de situações

problema de matemática, seus tipos de formulação aliado às idades

psicológicas e à maturação matemática, chegando às estruturas envolvidas na

resolução dos problemas, a fim de entender as filiações e saltos dos

conhecimentos dos alunos, isto é, compreender as relações e a evolução das

concepções e a prática do aluno frente a sua dada situação.

Vergnaud conceitua Campo Conceitual como:

31

Um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição (apud MOREIRA, 2002, p. 8).

O conjunto de situação em questão apresenta-se dentro de um contexto,

no qual o problema se encontra inserido, contribuindo para que os conceitos

presentes nas situações ganhem significados.

Segundo Moutinho (2005), Vergnaud define significado como sendo uma

relação do sujeito com as situações e os significantes, relações estas

individuais por evocarem os esquemas presentes em cada sujeito. Já o

significante pode ser caracterizado por signos e ou objetos e ou palavras

presentes em uma determinada situação comum a todos os sujeitos.

Segundo Moreira (2002) a teoria dos campos conceituais, desenvolvida

por Vergnaud, supõe que a essência do desenvolvimento cognitivo é a

conceitualização. Logo, deve-se dar toda atenção aos aspectos conceituais dos

esquemas e à análise conceitual das situações para as quais os estudantes

desenvolvem seus esquemas, na escola ou fora dela. Trata-se de uma teoria

psicológica do processo de conceitualização do real que permite localizar e

estudar continuidades e rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu

conteúdo conceitual.

De acordo com Moreira (2002), Vergnaud destaca que é preciso dar

toda atenção aos aspectos conceituais dos esquemas e à análise conceitual

das situações nas quais os aprendizes desenvolvem seus esquemas na escola

ou na vida real. A este respeito, Moutinho (2005) entende que:

A teoria, no que diz respeito à noção de esquema tem como um de seus pressupostos básicos que o conhecimento constitui-se e desenvolve-se ao longo de um período de tempo e com base na interação adaptativa do sujeito com as situações de experiências (p.13).

Moutinho (2005) subentende que a teoria dos Campos Conceituais

busca compreender as relações existentes entre os conceitos dentro dos

processos de aprendizagem, pois para Vergnaud, um dos pilares de um

Campo Conceitual é o conjunto de situações onde o domínio progressivo exige

uma variedade de conceitos, de procedimentos e de representações

32

simbólicas, havendo uma estreita conexão um com os outros.

Segundo Moutinho (2005), para Vergnaud o conhecimento conceitual

deve emergir dentro de situações problema, de forma a contribuir, para que os

conceitos presentes nessas situações ganhem significados, pois:

Ao considerar um campo conceitual como sendo um conjunto de situações, destacamos que uma das vantagens dessa abordagem pelas situações é permitir a produção de uma classificação apoiada na análise das tarefas cognitivas e dos procedimentos que podem ser adotados em cada um deles (2005, p.16).

Moutinho (2005) destaca que uma das vantagens dessa abordagem

pelas situações é permitir a produção de uma classificação apoiada na análise

das tarefas cognitivas e dos procedimentos que podem ser adotados em cada

um deles. Ele aponta que Vergnaud define dois conceitos dentro dos campos

conceituais: os de estruturas aditivas e as de estruturas multiplicativas.

As estruturas aditivas são formadas a partir de um conjunto de situações

onde o domínio requer uma adição, uma subtração ou o conjunto de tais

operações. As estruturas multiplicativas são representadas por situações onde

o domínio requer multiplicações, divisões ou combinações dessas operações.

Nesse sentido, segundo Moutinho (2005), o estudo do desenvolvimento

de um campo conceitual requer que um conceito seja visto como uma

composição de uma terna de conjuntos definida por Vergnaud como S. I. R:

a) S: é um conjunto de situações que tornam o conceito significativo,

isto é, a realidade;

b) I: é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades, relações);

c) R: é um conjunto de representações simbólicas que podem ser

usados para pontuar e representar os invariantes.

Segundo Moutinho (2005), Vergnaud acredita que o conceito

matemático tem por base uma variedade de situações onde cada situação,

normalmente não pode ser analisada com a ajuda de apenas um conceito. Por

mais simples que seja a situação ela envolve mais que um conceito visto que o

mesmo não pode ser apropriado com base da vivência de uma única situação.

Moreira (2002) e Moutinho (2005), entendem, que professor deve propor

ao aluno uma diversidade de situações de modo que ao tentar resolvê-los, o

aluno possa reconhecer e manipular propriedades já conhecidas do objeto

33

matemático em questão, também fazer a relação entre esses objetos e

propriedades. São os Invariantes fazendo assim uso das representações.

Os conhecimentos contidos nos esquemas são chamados de: conceito

em ação, ou também de “Invariantes Operatórios”.

Assim:

Os invariantes são componentes cognitivos essenciais dos esquemas. Eles podem ser implícitos ou explícitos. São implícitos quando estão ligados aos esquemas de ação do aluno. Neste caso, embora o aluno não tenha consciência dos invariantes que está utilizando, esses podem ser reconhecidos em termos de objetos e propriedades (do problema) e relacionamentos e procedimentos feitos pelo aluno. Os invariantes são explícitos quando estão ligados a uma concepção. Nesse caso eles são expressos por palavras e/ou outras representações simbólicas (VERGNAUD, apud MOUTINHO, 2005, p.18).

Conforme Moreira (2002), as expressões conceito-em-ação e teorema-

em-ação designam os conhecimentos contidos nos esquemas. São também

designados, por Vergnaud, pela expressão mais global invariantes operatórios.

Teorema-em-ação é uma proposição considerada como verdadeira sobre o

real; conceito-em-ação é uma categoria de pensamento considerada como

pertinente. Nesta perspectiva:

O teorema em ação está relacionado com as estratégias tomadas e utilizado pelo sujeito em situação de solução de um certo problema, sem que a mesmo seja capaz de explicá-las ou justificá-las. O conceito em ação é a manifestação do próprio conceito com suas propriedades e definições, quando manifestado geralmente são explícitos (MOUTINHO, 2005, p.19).

Moutinho (2005), conclui que adequando a Teoria dos Campos

Conceituais de Vergnaud ao estudo do Conceito de números racionais,

supõem-se rupturas com idéias construídas pelos alunos a respeito dos

números naturais demandando maior tempo e uma abordagem adequada. Já

com relação aos números naturais, os alunos vivenciam um conjunto de

situações formando uma concepção de que a multiplicação sempre aumenta,

sendo assim o produto é sempre maior do que os dois fatores. Refletindo

sobre os números racionais vê se a necessidade de outro conjunto de

situações, tendo que superar as dificuldades causando a ruptura dessa

expectativa.

34

A construção do conhecimento pelo aprendiz não é um processo linear, facilmente identificável. Ao contrário, é complexo, tortuoso, demorado, com avanços e retrocessos, continuidades e rupturas. O conhecimento prévio é determinante no progressivo domínio de um campo conceitual, mas pode também, em alguns casos, ser impeditivo. Continuidades e rupturas não são, no entanto, excludentes. Pode haver continuidade e ruptura (MOREIRA, 2002, p.20).

Moutinho (2005) acredita como Vergnaud que o conceito de fração pode

ser construído a partir da coordenação da interação entre os três conjuntos da

terna: Situações, Invariantes e Representações.

2.3 Proposta de trabalho

O ensino e aprendizagem da matemática, muitas vezes de modo

mecânico e repetitivo, torna-se difícil, o que causa ojeriza nos alunos, levando-

os ao desencanto com a matemática. Com base nas pesquisas apresentadas

na Revisão da Literatura e na Fundamentação Teórica, pretende-se aplicar um

questionário com as situações problema apresentadas na pesquisa de

Vasconcelos (2007) para verificar o nível de compreensão dos alunos da 5ª

Ano do Ensino Fundamental de uma escola particular do município de Lins,

com relação ao tema fração.

Assim, na presente pesquisa pretende-se responder a seguinte questão:

qual o nível de compreensão de fração dos alunos do 5º Ano do Ensino

Fundamental de uma escola da rede particular do município de Lins?

Para responder tal questão pretende-se alcançar os seguintes objetivos:

Objetivo Geral:

Investigar as variáveis envolvidas na produção de respostas na

resolução dos problemas propostos sobre fração.

Objetivos específicos:

a) analisar as possíveis causas das dificuldades na apropriação dos

conhecimentos matemáticos sobre fração;

b) identificar a natureza das dificuldades apresentadas na resolução

dos problemas propostos;

35

c) comparar os resultados obtidos com os resultados descritos na

pesquisa de Vasconcelos (2007);

d) desenvolver e aplicar recursos que possibilitem a reversão de

quadros referentes ao baixo desempenho na resolução dos

problemas de fração.

36

CAPÍTULO III

METODOLOGIA E ANÁLISE DOS RESULTADOS

3 INTRODUÇÃO

Neste capítulo apresenta-se a metodologia aplicada na pesquisa e a

análise dos resultados.

3.1 Metodologia

A pesquisa iniciou-se a partir de um amplo estudo da literatura a respeito

de estudos que tratam do ensino aprendizagem de frações.

A seguir, elaborou-se a proposta de trabalho, que consiste em aplicar a

mesma sequência de situações problema aplicada por Vasconcelos (2007) em

uma escola particular de Porto Alegre e comparar os resultados obtidos com os

da presente pesquisa.

Para a aplicação da sequência foram selecionados quinze alunos do 5º

Ano A, do Ensino Fundamental, de uma escola particular do município de Lins,

a partir de indicação da professora da turma.

A aplicação da sequência de situações problema ocorreu em horário

normal de aula e teve a duração de aproximadamente uma hora. O instrumento

(Anexo 1), utilizado junto aos alunos, era constituído de 7 situações problema

que envolvem números fracionários, sendo que lhes foi solicitado que

explicassem como os resolviam, a fim de identificar os caminhos utilizados para

obter a solução dos mesmos.

A análise dos resultados realizou-se a partir das estratégias cognitivas

que os alunos utilizaram para resolverem as situações problema propostas de

acordo com as idéias de Nunes e Bryant (1997) e Vergnaud (1993),

apresentadas na fundamentação teórica.

A comparação dos resultados obtidos pelos alunos com os resultados

apresentados na pesquisa de Vasconcelos (2007) deu-se com a finalidade de

verificar as estratégias e dificuldades apresentadas pelos alunos dos dois

37

grupos, durante a resolução dos sete problemas com significado quociente,

parte todo e operador multiplicativo com quantidades discretas e contínuas.

Considerando os resultados apresentados, optou-se pela realização de

uma intervenção por meio de contação de pequenas histórias, sempre

utilizando uma linguagem infantil. Cada história abordou um dos significados do

estudo de frações. Para a apresentação de cada conceito eram utilizados

argumentos multidisciplinares, como: O jogo de damas – sua história e regras,

sistemas de medidas, História do Brasil, taxa de impostos, porcentagem,

questões ambientais. A intervenção teve como finalidade oferecer aos alunos

que participaram da pesquisa oportunidade de sanar as dificuldades

apresentadas e, assim, contribuir para a aprendizagem mais significativa do

conceito de fração.

Após a intervenção aplicou-se novamente a mesma sequência de

situações problema e posteriormente analisaram-se os resultados obtidos,

comparando-os com os da aplicação inicial, com a finalidade de verificar se a

realização da intervenção surtiu o efeito desejado.

3.2 Análise dos resultados

No quadro 1 a seguir são apresentados os acertos de cada aluno e tipo

de raciocínio utilizado e tipos de acerto por questão.

Para confecção do quadro considerou-se acerto total para o aluno que

apresentou a resolução e a resposta correta de cada questão; considerou-se

meio certo para o aluno que apresentou algum raciocínio correto de cada

questão, mas não conseguiu finalizar a questão corretamente; e, finalmente,

considerou-se errado total para o aluno que não apresentou nenhum tipo de

raciocínio correto para cada questão.

A classificação quanto ao tipo de raciocínio deu-se da seguinte maneira:

a) raciocínio aritmético: são classificadas, nesta categoria, as

resoluções que utilizam apenas as operações numéricas entre as

frações.

b) raciocínio pictórico: são classificadas, nesta categoria, as resoluções

que utilizam a representação de alguma figura para melhor

38

compreensão do problema.

O quadro abaixo apresenta os resultados de cada aluno por questão.

NOMES M F QUESTÕES Acerto Total

Errado Total

Meio Certo Tipo de raciocínio

1 X Aritmético e pictórico




5 X Pictórico

6 ------ --- ---- Não fez

1.Ale x

7 X Aritmético


2 X Pictórico

3 X Pictórico

4 X Pictórico

5 X Pictórico


2.Ana x

7 X Aritmético






6 ------ ---- --- Não fez

3.Bre x

7 X Aritmético





5 x Pictórico e

6 ------ ---- --- Não fez

4.Carol x

7 X Aritmético

1 X Aritmético e pictórico 2 X Aritmético e pictórico





5.Cat x

7 X Aritmético


2 x Aritmético e pictórico




6 X Aritmético

6.Edu x

7 X Aritmético

39

continua


Errado Total

Meio Certo

Tipo de raciocínio


2 X Pictórico

3 X Pictórico

4 X Pictórico


6 X Pictórico

7.Gab

x








8.Gra x


1 X Aritmético

2 X Pictórico

3 X Pictórico

4 X Pictórico

5 X Pictórico

6 x Pictórico

9.Hug x








10.Jul x

7 X Aritmético







11.Laí x

7 X Aritmético






6 X Aritmético

12.La G x


40

continua

Fonte: Elaborado pela autora, 2010. Quadro 1: Acertos de cada aluno e tipos de raciocínio utilizados

Na quadro 1 observa-se que o aluno Ale ao responder a questão 1, da

situação problema com significado quociente com quantidade discreta,

solucionou corretamente o problema, porém apresentou dificuldade em realizar

a representação simbólica da fração, talvez porque o significado quociente com

quantidade discreta não tenha sido compreendido adequadamente. Usou tipo

de raciocínio aritmético e pictórico.

Quanto a questão 2, que enfoca o significado quociente com quantidade

contínua, o aluno ganhou meio acerto, pois acertou somente a letra a da

questão, não sabendo representar na forma fracionária a divisão. Também na

questão 3, que aborda o significado parte todo com quantidade contínua, Ale

não conseguiu representar na forma fracionária, nem na pictórica. Da análise

da resolução da questão 4, que aborda o significado parte todo com quantidade

discreta para retratar a situação, o aluno conseguiu fazer a relação não

desprezando o todo envolvido, fez a contagem das partes relacionando-a com

o todo. Já na análise da questão 5, que enfoca o significado de operador


Errado Total

Meio Certo

Tipo de raciocínio





5 X pictórico

6 X pictórico

13.La N x







6 X aritmético

14.Ma x

7 X aritmético







15.Que x

7 X Aritmético

41

multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que o mesma não

conseguiu acerto total, pois se supõe a não compreensão da relação existente

entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o número de partes

consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de operador multiplicativo

com quantidade discreta, em que há o papel de transformação, dentro de uma

representação de uma ação imprimindo sobre o número ou quantidade o aluno

não fez. A resposta apresentada pelo aluno na questão 7, em que se aborda o

significado parte todo com quantidade contínua, ele não conseguiu acerto total,

pondendo-se concluir que o mesmo ao resolver a situação problema não

utilizou adequadamente os dados oferecidos no problema.

No quadro 1 observa-se que a aluna Ana ao responder a questão 1, da


solucionou corretamente o problema, porém apresentou dificuldade em realizar

a representação simbólica da fração. Quanto a questão 2, que enfoca o

significado quociente com quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto,

pois acertou somente a letra a e b da questão, sabendo representar na forma

pictórica a divisão, embora não soube fazer a representação simbólica da

fração. Na questão 3, que aborda o significado parte todo com quantidade

contínua, não conseguiu representar na forma fracionária, nem na pictórica,

alegando que não entendeu.

Na questão 4, que aborda o significado parte todo com quantidade

discreta, a aluna não conseguiu fazer a relação desprezando o todo envolvido,

fez a representação pictórica porém de maneira incorreta. Quanto a questão 5,

a aluna não fez, alegando que não entendeu. Já na questão 6, a aluna

demonstrou estar descontextualizada com os conhecimentos escolares para

resolver a situação problema. Não soube fazer a transformação, isto é, a

representação de uma ação imprimindo sobre o número ou quantidade. Da

análise da questão 7, pode-se inferir que a mesma não conseguiu acerto total

pois não respondeu a letra “a” e acertou metade da letra d. Percebe-se que a

aluna não soube utilizar os dados do problema.

Na quadro 1 observa-se que o aluno Bre ao responder a questão 1, da


solucionou o problema, resolvendo os dois itens usando o tipo de raciocínio

42

Aritmético e pictórico corretamente. Quanto a questão 2, que enfoca o

significado quociente com quantidade contínua, o aluno ganhou meio acerto,

pois acertou somente a letra a da questão, não sabendo representar na forma

fracionária a divisão. Percebe-se que o aluno tem dificuldade para fazer a

interpretação da situação problema, não conseguindo usar estratégias para

chegar a solução correta.

Também na questão 3, que aborda o significado parte todo com

quantidade contínua, não conseguiu representar na forma fracionária, porém,

representou corretamente o raciocínio pictórico. Na questão 4, que aborda o

significado parte todo com quantidade discreta, o aluno conseguiu fazer a

relação não desprezando o todo envolvido, fez a contagem das partes

relacionando com o todo, fez a representação pictórica de maneira correta.

Quanto a questão 5, o aluno teve acerto total, representando corretamente a

fração pedida. Já na questão 6, o aluno demonstrou estar descontextualizado

com os conhecimentos escolares para resolver a situação problema. Não

soube fazer a transformação isto é a representação de uma ação imprimindo

sobre o número ou quantidade, dizendo que não entendeu. Da análise da

questão 7, que aborda o significado parte todo com quantidade contínua

percebe-se que o mesmo conseguiu acerto total.

Na quadro 1 observa-se que a aluna Carol ao responder a questão 1, da


solucionou o problema corretamente. Porém inverteu o numerador pelo

denominador, não distinguindo a relação que há entre numerador e

denominador. Na questão 2, que enfoca o significado quociente com

quantidade contínua, a aluna teve acerto total. A mesma usou do raciocínio

aritmético e pictórico corretamente. Também na questão 3, que aborda o

significado parte todo com quantidade contínua, Carol conseguiu representar o

raciocínio aritmético e pictórico corretamente. Da análise da resolução da

questão 4, que aborda o significado parte todo com quantidade discreta para

retratar a situação a aluna não conseguiu fazer a relação desprezando o todo

envolvido, não fez a contagem das partes relacionando com o todo.

Já na análise da questão 5 que enfoca o significado de operador

multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que a mesma não

43

conseguiu acerto total, pois, usou apenas o raciocínio pictórico faltando a

representação fracionária. A questão 6, que enfoca o significado de operador

multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de transformação,

dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o número ou

quantidade a aluna não fez. A resposta apresentada pela aluna na questão 7,

em que se aborda o significado parte todo com quantidade contínua não

conseguiu acerto total, assim, percebe-se que a mesma ao resolver a situação

problema não utilizou adequadamente os dados oferecidos no problema.

No quadro 1 observa-se que a aluna Cat ao responder a questão 1, da


solucionou o problema corretamente. Representou a fração por meio de

desenho e não na forma numérica. Quanto a questão 2, que enfoca o

significado quociente com quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto,

pois acertou somente a letra a da questão, não sabendo representar na forma

fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o significado parte todo

com quantidade contínua, a aluna representou corretamente na forma

fracionária e teve um raciocínio pictórico correto.

Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte

todo com quantidade discreta para retratar a situação, verifica-se que a aluna

conseguiu fazer a relação não desprezando o todo envolvido, fez a contagem

das partes relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o

significado de operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir

que a mesma também conseguiu acerto total pois, percebe-se que a mesma

teve a compreensão da relação existente entre o número de partes em que o

todo foi dividido e, o número de partes considerados. A questão 6, que enfoca

o significado de operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o

papel de transformação, dentro de uma representação de uma ação imprimindo

sobre o número ou quantidade, a aluna não fez. A resposta apresentada pela

aluna na questão 7, em que aborda o significado parte todo com quantidade

contínua, conseguiu acerto total, destaca-se que ela ao resolver a situação

problema utilizou adequadamente os dados oferecidos no problema.

No quadro 1 observa-se que o aluno Edu ao responder a questão 1, da


44

solucionou o problema corretamente. Porém, não soube representar na forma

fracionária a divisão. Na questão 2, que enfoca o significado quociente com

quantidade contínua, o aluno ganhou meio acerto, pois acertou somente a letra

a e b da questão, não sabendo representar na forma fracionária a divisão.

Quanto a questão 3, que aborda o significado parte todo com quantidade

contínua, o aluno representou corretamente na forma fracionária e teve um

raciocínio pictórico correto.


todo com quantidade discreta para retratar a situação, o aluno não conseguiu

fazer a relação desprezando o todo envolvido, não fez a contagem das partes

relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado de

operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que o mesmo

conseguiu acerto total, pois, percebe-se que o mesmo teve a compreensão da

relação existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o

número de partes consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de

operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de

transformação, dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o

número ou quantidade, o aluno teve erro total. A resposta apresentada pelo

aluno na questão 7, em que aborda o significado parte todo com quantidade

contínua conseguiu acerto total.

No quadro 1 observa-se que a aluna Gab ao responder a questão 1 da



fracionária a divisão e a representação pictórica também não acertou. Na

questão 2 que enfoca o significado quociente com quantidade contínua, a

aluna ganhou meio acerto, pois acertou somente a letra a e b da questão, não

sabendo representar na forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que

aborda o significado parte todo com quantidade contínua, não representou

corretamente na forma fracionária e teve um raciocínio pictórico incorreto não

interpretando corretamente os dados do problema.


todo com quantidade discreta para retratar a situação, a aluna não conseguiu

fazer a relação desprezando o todo envolvido, não fez a contagem das partes

45

relacionando-a com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado

de operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que aa

mesma teve erro total, pois, supõe-se que não houve a compreensão da

relação existente entre o números de partes em que o todo foi dividido e, o




número ou quantidade o aluno teve erro total. A resposta apresentada pela


contínua conseguiu acerto total.

No quadro 1 observa-se que a aluna Gra ao responder a questão 1 da


solucionou o problema corretamente. Representou na forma fracionária a

divisão e a representação pictórica também de maneira correta. Na questão 2

que enfoca o significado quociente com quantidade contínua, a aluna ganhou

meio acerto, pois acertou somente a letra a e b da questão, não sabendo

representar na forma fracionária a divisão. Na questão 3, que aborda o

significado parte todo com quantidade contínua, Gra conseguiu representar na

forma fracionária e na pictórica corretamente.


todo com quantidade discreta para retratar a situação a aluna não conseguiu

fazer a relação por não desprezar o todo envolvido, não fez a contagem das

partes relacionando com o todo. Já na análise da questão 5, que enfoca o


que a mesma não conseguiu acerto total por não compreender a relação

existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o número de

partes consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de operador



quantidade, a aluna fez corretamente tanto no raciocínio aritmético quanto no

pictórico. A resposta apresentada pela aluna na questão 7, em que aborda o

significado parte todo com quantidade contínua conseguiu acerto total,

levando-se a inferir que a mesma ao resolver a situação problema utilizou

46

adequadamente os dados oferecidos no problema e a sua vivência no

cotidiano.

No quadro 1 observa-se que o aluno Hug ao responder a questão 1 da



fracionária a divisão. Na questão 2 que enfoca o significado quociente com

quantidade contínua, o aluno ganhou meio acerto, pois acertou somente a letra

a e b da questão, não sabendo representar na forma fracionaria a divisão.

Também na questão 3, que aborda o significado parte todo com quantidade

contínua, o mesmo não conseguiu representar na forma fracionária, porém

desenhou representando o número fracionário corretamente.



fazer a relação por não desprezar o todo envolvido, não fez a contagem das

partes relacionando com o todo. Já na análise da questão 5, que enfoca o

significado de operador multiplicativo com quantidade contínua, observa-se que

o mesmo teve erro total, pois, supõe-se a não compreensão da relação


partes consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de operador



quantidade, o aluno fez incorretamente usando apenas o raciocínio pictórico. A

resposta apresentada pelo aluno na questão 7, em que aborda o significado

parte todo com quantidade contínua não conseguiu acerto total, podendo-se

inferir que ao resolver a situação problema não utilizou adequadamente os

dados oferecidos no problema.

No quadro 1 observa-se que a aluna Jul ao responder a questão 1 da


solucionou o problema corretamente, também soube representar na forma


quantidade contínua, a aluna ganhou acerto total, sabendo representar na

forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o significado parte

todo com quantidade contínua, a aluna representou corretamente na forma

47

fracionária e teve um raciocínio pictórico correto.


todo com quantidade discreta para retratar a situação, a aluna conseguiu fazer

a relação não desprezando o todo envolvido, fez a contagem das partes

relacionando-as com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado

de operador multiplicativo com quantidade contínua, observa-se que a mesma

conseguiu acerto total, pois, supõe-se que teve a compreensão da relação


partes considerados. A questão 6, que enfoca o significado de operador



quantidade a aluna teve erro total, pois, não acredita-se que não compreendeu

a necessidade da transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação, percebe-

se, assim, que a mesma não aplicou seus conhecimentos escolares. A

resposta apresentada pela aluna na questão 7, em que aborda o significado

parte todo com quantidade contínua conseguiu meio acerto, pode-se inferir

que ela não utilizou os dados da situação problema em questão.

Na quadro 1 observa-se que a aluna Lai ao responder a questão 1 da




quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto, não sabendo representar na


todo com quantidade contínua, a aluna teve erro total pois fez a representação

da forma fracionária errada.


todo com quantidade discreta para retratar a situação a aluna não conseguiu

fazer a relação pois desprezou o todo envolvido, não fez a contagem das

partes relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o


que a mesma conseguiu acerto total pois, supõe-se que teve a compreensão

da relação existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o


48



número ou quantidade, a aluna teve acerto total pois compreendeu a

necessidade da transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação. A resposta

apresentada pela aluna na questão 7, em que aborda o significado parte todo

com quantidade contínua conseguiu acerto total, pode-se inferir que ela utilizou

os dados da situação problema em questão corretamente.

No quadro 1 observa-se que a aluna La G. ao responder a questão 1 da




quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto, não soube representar na


todo com quantidade contínua, a aluna não representou corretamente na forma

fracionária mas teve um raciocínio pictórico correto.


todo com quantidade discreta para retratar a situação, a aluna conseguiu fazer

a relação, pois não desprezou o todo envolvido, fez a contagem das partes

relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado de

operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que a mesma

também conseguiu acerto total pois supõe-se que teve a compreensão da

relação existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o




número ou quantidade, a aluna teve acerto total, pois compreendeu a

necessidade da transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação, vimos que

a mesma aplicou seus conhecimentos escolares. A resposta apresentada pela

aluna na questão 7, onde aborda o significado parte todo com quantidade

contínua conseguiu acerto total, pode-se inferir que ela soube utilizar os dados

da situação problema em questão corretamente.

No quadro 1 observa-se que a aluna La N. ao responder a questão 1 da


49

solucionou o problema corretamente, não soube representar na forma

fracionaria a divisão. Na questão 2 que enfoca o significado quociente com

quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto, uma vez que não soube

representar na forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o

significado parte todo com quantidade contínua, a aluna não representou

corretamente na forma fracionária, fez a inversão da posição do numerador

pelo denominador, supomos que não houve a compreensão da relação

existente entre o numerador e o denominador. Da análise da resolução da

questão 4, que aborda o significado parte todo com quantidade discreta para

retratar a situação, a aluna conseguiu fazer a relação pois não desprezou o

todo envolvido e fez a contagem das partes relacionando-as com o todo. Na

análise da questão 5, que enfoca o significado de operador multiplicativo com

quantidade contínua, pode-se inferir que a mesma também conseguiu acerto

total, pois supõe-se que teve a compreensão da relação existente entre o

números de partes em que o todo foi dividido e, o número de partes

consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de operador multiplicativo

com quantidade discreta, em que há o papel de transformação dentro de uma

representação de uma ação imprimindo sobre o número ou quantidade, a aluna

teve acerto total pois compreendeu a necessidade da transformação, ao fazer a

divisão e a multiplicação, assim pode-se inferir que a mesma aplicou seus

conhecimentos escolares. A resposta apresentada pela aluna na questão 7, em

que aborda o significado parte todo com quantidade contínua conseguiu acerto

total, pode-se inferir que ela soube utilizar os dados da situação problema em

questão corretamente.

No quadro 1 observa-se que o aluno Ma ao responder a questão 1 da




quantidade contínua, o aluno teve acerto total, soube representar na forma

fracionária a divisão explicando com detalhes sua reflexão, usando também o

raciocínio pictórico. Quanto a questão 3, que aborda o significado parte todo

com quantidade contínua, o aluno representou corretamente na forma

fracionária.

50



fazer a relação, pois não desprezou o todo envolvido e não fez a contagem das

partes relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o


que a mesma também conseguiu acerto total pois, supõe-se que teve a

compreensão da relação existente entre o número de partes em que o todo foi

dividido e, o número de partes consideradas. A questão 6, que enfoca o

significado de operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o


sobre o número ou quantidade o aluno não compreendeu a necessidade da

transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação, assim percebe-se que o

mesmo não aplicou seus conhecimentos escolares. A resposta apresentada

pelo aluno na questão 7, em que aborda o significado parte todo com

quantidade contínua conseguiu meio acerto, destacando-se que ele não soube

utilizar os dados da situação problema em questão corretamente.

No quadro 1 vemos que a aluna Qué ao responder a questão 1 da




quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto, pois não soube representar

na forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o significado

parte todo com quantidade contínua, a aluna representou corretamente na

forma fracionária.


todo com quantidade discreta para retratar a situação a aluna conseguiu fazer

a relação pois não desprezou o todo envolvido, fez a contagem das partes

relacionando-as com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado

de operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que a

mesma também conseguiu acerto total pois, supõe-se que a mesma teve a

compreensão da relação existente entre o números de partes em que o todo foi

dividido e, o número de partes consideradas. A questão 6, que enfoca o

significado de operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o

51


sobre o número ou quantidade a aluna teve acerto total pois compreendeu a

necessidade da transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação, vimos que

a mesma aplicou seus conhecimentos escolares. A resposta apresentada pela


contínua conseguiu acerto total, mostrando que soube utilizar os dados da

situação problema em questão corretamente.

3.2.1 Comparação dos resultados obtidos com os resultados da pesquisa de

Vasconcelos (2007).

Procede-se a análise quantitativa dos dados: Índice de acerto total e

índice de acertos por significado abordado.

A tabela 1 apresenta as quantidades de acertos por total de itens e a

tabela 2 apresenta o número de acertos, levando-se em consideração os

quatro significados de fração escolhidos para essa pesquisa.

Tabela 1: Desempenho Geral dos alunos do 5º Ano do Ensino Fundamental em relação às sete questões aplicadas.

QUESTÕES Acerto Total Errado Total Meio Certo Não fizeram 1 7 --- 8 --- 2 3 --- 12 --- 3 7 5 3 --- 4 7 8 --- --- 5 9 5 1 --- 6 5 7 --- 3 7 9 1 5 ---

TOTAL GERAL 47 26 29 3 Fonte: Elaborada pela autora, 2010

Tabela 2: Desempenho Geral dos alunos do 5º Ano do Ensino Fundamental em relação aos quatros significados de fração escolhidos

Significados Parte todo Quociente Medida Operador

Multiplicativo

Acerto Total 14 10 9 14

Erro Total 13 0 1 12

Meio Certo 3 20 5 1

Não fizeram --- --- --- 3

TOTAL GERAL 30 30 15 30

Fonte: Elaborada pela autora, 2010

52

Observa-se que o número de acerto para a questão 2 que envolveu o

significado quociente teve menor índice de acerto total. Acreditamos com isso

que uma das dificuldades encontradas foi a falta de compreensão da ação de

distribuição e também necessidade de ter uma nova visão das relações

parte/todo. Outro motivo foi a inversão de numerador pelo denominador, pois

eles acreditam que o numerador não pode ser maior que o denominador e com

isso não assimilam as frações impróprias.

Observa-se também que a questão de número 4 obteve um maior

número de erro total, já esta envolvia o significado parte/todo. A maioria

desconsiderou o todo envolvido, fazendo contagem somente das partes ou

seja, o aluno contou somente a parte destacada e depois conta as demais

partes esquecendo-se de relacionar o todo.

A questão de número 5 envolvendo o significado Operador Multiplicativo

e a questão de número 7 envolvendo medida são as que tiveram um maior

número de acerto total.

A seguir, na tabela 3, apresenta-se a porcentagem de acertos por

significados da fração com a finalidade de se estabelecer uma comparação dos

resultados obtidos pelas duas Escolas antes da intervenção.

Tabela 3: Porcentagem de acertos gerais por significados entre os dois grupos de escolas antes da intervenção.

Significados Parte todo Quociente Medida Operador Multiplicativo

Porto Alegre/RS 36% 48% 0 24% Lins/SP 30% 21% 19% 30%

Fonte: Elaborada pela autora, 2010

Na comparação de números de acerto total entre as duas escolas,

constata-se que os grupos de alunos das duas escolas apresentam as mesmas

dificuldades para realização das atividades de resolução de problemas

envolvendo frações. Percebe-se que as estratégias utilizadas eram comuns

para os alunos das duas escolas e nota-se que a estratégia mais adotada foi a

de parte/todo,

Os pontos comuns encontrados foram:

a) Dificuldade na transferência do conhecimento informal para a formal.

b) Conforme Nunes e Bryant (1997), há desconexão entre o

53

conhecimento informal que as crianças desenvolvem

espontaneamente e os conhecimentos mais formais, que aprendem

nas aulas.

c) As crianças resolvem os problemas de forma prática, no entanto não

conseguem representá-los através da escrita.

d) Inversão do numerador pelo denominador, porque entendem que o

numerador não pode ser maior que o denominador.

e) Relação parte/parte: o aluno despreza o todo envolvido e faz

contagem das partes.

54

CAPÍTULO IV

INTERVENÇÃO 4 CONTAÇÃO DE HISTÓRIAS ENVOLVENDO FRAÇÕES

A técnica utilizada para a intervenção foi a técnica de contação de

estórias. Utilizou-se um total de 4 aulas para a contação de estórias. Utilizou-se

o texto do capítulo 1 da produção didática, intitulada “Era uma vez” (Anexo 2),

de Drechmer e Andrade (2009).

1º momento: Era uma vez /

Com os alunos dispostos em círculo a professora da sala prepara-os

para ouvir uma história. Entra-se na sala dizendo em alto tom: “Era uma vez...”

bastando para que todos voltassem o olhar para a porta. Deu-se continuidade a

contação. Para a apresentação de cada conceito utilizou-se argumentos

multidisciplinares, como: O jogo de damas – sua história e regras, sistemas de

medidas, História do Brasil, taxa de impostos, porcentagem, questões

ambientais.

A primeira estória utiliza o jogo de damas para a introdução do conceito

de frações. Os personagens foram apresentados aos alunos, assim como a

noção de frações. Expressões do tipo “metade”, “pedaço”, ‘“parte”, “divisão”,

“partição”, “fração” foram abordadas pelos personagens da história e serviu

para introduzir o vocabulário próprio e a idéia principal do conceito de frações.

Estas expressões foram discutidas em sala, dando início a estruturação do

conceito de frações. A expressão “das doze pedras do jogo, encontramos

apenas oito” utilizada no texto, serviu como base para a apresentação do

significado parte-todo, ou seja, quanta parte do todo está sendo considerada

em uma determinada situação. Também serve para conceituar o numerador e

o denominador das frações.

Os números fracionários encontrados em livros de receitas também

foram citados no texto e utilizados na construção do conceito. Utilizou-se o

quadro negro como recurso auxiliar.

A aula foi bem aceita. Os alunos gostaram do recurso da contação de

histórias, ficaram interessados pelos personagens e participaram ativamente da

55

narração, dando suas opiniões.

2º momento: Marteladas Matemáticas/ O significado Número (Anexo 3).

Nesta história são citadas as medidas fracionárias em polegadas que

encontra-se em alguns canos e tubulações da construção civil, assim como o

significado da polegada como unidade de medida.

Levou-se para a sala de aula tubos, canos e conexões em PVC, onde os

alunos puderam verificar as inscrições das frações em polegadas (2

1,

4

3) assim

como era descrito no texto da estória. Explorou-se o conceito ‘número’, ou seja,

a divisão do numerador pelo denominador, resultando em um número decimal

que representa a fração estudada. Nesta ocasião, expressões como “três

quartos” e “três dividido por quatro” foram comparadas e associadas,

conceituadas como sinônimas.

Os alunos acompanharam todo o desenvolvimento da aula, ouvindo

atentamente a estória e participando das atividades propostas. Interessam-se

muito pelo antigo sistema de medidas britânicas, e passaram a medir o material

escolar utilizando o polegar.

3º momento: “Os Quintos dos Infernos - Significado ‘Operador

Multiplicativo’” (Anexo 4).

Deixou-se um suspense no ar ao apresentar o título da história “Os

Quintos dos Infernos” - Significado ‘Operador Multiplicativo’”, onde este

significado foi discutido. O texto apresenta, como recurso ilustrativo, a

expressão “vá para os quintos dos infernos”, originada na época do Brasil

colonial para designar a fração de impostos pagas ao Rei de Portugal (um

quinto), sobre o ouro extraído do Brasil.

Iniciou-se apresentando aos alunos a origem da expressão

anteriormente citada (o ‘quinto’ dos infernos), assim como sua justificativa

histórica.

Em seguida, propôs-se algumas questões envolvendo o conceito do

operador multiplicativo e os alunos foram instigados a resolvê-las. Por exemplo:

“Se um quinto do ouro produzido no Brasil ia para Portugal, e se um minerador

produzia 10 kg de ouro, quanto, desta quantia, deveria ser pago na forma de

impostos?” Com base nestas observações era desenvolvido o conceito do

56

“Operador Multiplicativo”, que, na sequência, foi estendido para outras

situações.

4º momento: A divisão e o Significado Quociente (Anexo 5).

A Divisão e o Significado Quociente foi também abordado na contação

de estórias, em seu enredo, apresentou-se às crianças utilizando balas para

introduzir e evidenciar a fração como divisão.

No texto, os personagens se deparam com uma situação aparentemente

sem solução: como dividir três ‘coisas’ entre quatro pessoas? A situação

problema dos pacotes de balas foi sugerida no texto. Assim como na sala de

aula, os personagens resolvem abrir os pacotes e dividir as balas igualmente

entre eles. O texto reforça a idéia de que fração também significa divisão, ou

seja, 20 balas dividido entre 4 pessoas é igual a 5. Em seguida, o conceito

‘Quociente’ foi melhor explorado no quadro negro, sugerindo outras situações

em que o significado quociente poderia ser empregado. No final da aula,

solicitou-se aos alunos para que dividissem as balas igualmente entre a turma.

Verificou-se que os alunos gostaram da técnica de contação de histórias,

sendo que alguns falaram que nem parecia aula de matemática. Participaram

de todas as etapas do processo de intervenção sempre interagindo entre si e

com a professora, procurando participar fazendo perguntas, questionando,

dando suas opiniões.

4.1 Resultados e Análise da Aplicação da Sequência de Situações-

Problema após a Intervenção

Uma semana após a contação de estórias, realizou-se novamente a

aplicação da mesma sequência de situações-problema com a finalidade de

verificar se os alunos apresentaram melhora no desempenho.

Conforme o quadro abaixo, ao que tudo indica, a intervenção por meio

da contação de história, atingiu seu objetivo. Os alunos gostaram dos textos e

passaram a participar das aulas e das atividades propostas com mais interesse

e foi verificada uma melhor compreensão do assunto conforme constatamos na

tabela a seguir.

57

Tabela 4: Resultados comparativos entre a 1ª e a 2ª aplicação. Tipos de acertos por questões.

Acerto Total Errado Total Meio Certo Não fizeram Questões

1ª apli 2ª apli 1ª apli 2ª apli 1ª apli 2ª apli 1ª apli 2ª apli 1 07 15 --- --- 08 --- --- --- 2 03 13 --- --- 12 02 --- --- 3 07 15 05 --- 03 --- --- --- 4 07 14 08 --- --- 01 --- --- 5 09 13 05 01 01 01 --- --- 6 05 14 07 --- --- --- 03 01 7 09 12 01 --- 05 02 --- 01

Total Geral

47 96 26 01 29 06 03 02

Fonte: Elaborado pela autora, 2010

Obervando-se a tabela 4, tanto na 1ª, como na 2ª aplicação, pode-se

constatar que a questão 1 não apresentou nenhum errado total, nota-se que a

quantidade de acerto total foi geral após a intervenção. A questão 2 apresentou

aumento de acerto total e diminuição da quantidade de meio certo. A questão 3

na 1ª fase, apresentou sete acertos totais, cinco erros totais e três meio certo,

já com a intervenção nota-se que a quantidade de acerto total foi apresentada

por todos os alunos, eliminando-se o erro total e o meio certo.

A questão 4, na 1ª fase, apresentou mais erros do que acertos e não

apresentou nenhum meio certo, com a intervenção obteve-se aumento de

acerto total e eliminação do erro total com apenas um meio certo. A questão 5

apresentou um resultado positivo com 9 acertos totais e 5 erros totais com

apenas um meio certo, depois da intervenção aumentou também o número de

acerto total e diminuiu o erro total, mantendo um meio certo.

Na questão 6 obteve-se 5 acertos totais, 7 erros totais e 3 não fizeram,

depois da intervenção o número de acerto total aumentou eliminando o erro

total e tendo apenas um meio certo e um que não fez. E por último, a questão 7

com 9 acertos totais, apenas 1 erro total e 5 meio certo. Após a intervenção

tpercebe-se o aumento de acerto total, nenhum erro total e apenas 2 meio

certo

Portanto há uma grande necessidade de iniciar um trabalho que busque

conexão do conhecimento informal com a formalidade que este conceito exige.

O trabalho desenvolvido indica que o estudo de frações utilizando os

quatro significados dos conceitos apresentado de forma significativa ao aluno,

pode melhorar a capacidade de compreensão do conteúdo pelo aluno,

58

favorecendo que a aprendizagem ocorra de forma significativa e efetiva.

Uma vez identificadas tais dificuldades, essa mesma teoria pode ajudar

no delineamento de estratégias e também na seleção de situações

instrucionais que possam ajudar na progressiva superação de tais dificuldades

ou, em outras palavras, no progressivo domínio dos campos conceituais

envolvidos. Esse domínio progressivo implica capacidade de resolver

problemas, conceitualização e mudança, uma evolução conceitual. como

afirma Moutinho (2005).

De um modo geral, pode-se dizer que essa teoria é potencialmente útil

na análise das dificuldades dos alunos, na resolução de situações problemas,

na aprendizagem de conceitos e na mudança conceitual. Visto que ao aplicar a

bateria de questões na sala do 5º Ano, utilizando tal abordagem, observamos

que o processo de aprendizagem elaborados por eles sofreram

transformações, levando-os a buscar novos caminhos, estratégias para chegar

a resolução das situações problemas que envolviam as questões. Deixando

claro a importância da intervenção do mediador, no caso o professor, dentro da

sala de aula.

59

CONCLUSÃO

O estudo teve como objetivo geral: investigar as variáveis envolvidas na

produção de respostas na resolução dos problemas propostos sobre fração. O

referencial teórico adotado leva em consideração situações que envolvem o

conceito de fração, nas concepções parte/todo, medida, quociente e operador

multiplicativo a fim de refletir e dar significado a esse conhecimento.

Analisando os dados obtidos de ambos os grupos constatamos, na

análise dos resultados, que existem semelhanças comuns nas estratégias

escolhidas por eles para resolverem as situações problema e que nem sempre

as estratégias utilizadas por eles auxiliaram na compreensão da situação e na

resolução correta. Tais fatos mostram que os alunos apresentam dificuldades

de interpretação e de conceitualização dos significados.

As dificuldades encontradas pelos alunos na primeira aplicação que

mais se destacou foi a inversão do numerador pelo denominador, pela crença

de que o numerador não pode ser maior que o denominador. Após a

intervenção notou-se que a idéia foi superada pela maioria mudando assim as

estratégias de resolução da situação problema envolvendo essa questão.

Observando os resultados comparativos entre a 1ª e a 2ª aplicação e

analisando os tipos de acertos por questão, percebemos que houve uma

progressão crescente nas estratégias utilizadas para resolverem as situações

problema. Quando da primeira aplicação, as crianças já tinham visto tais

conteúdos em sala. Na 2º aplicação, vimos que os alunos tiveram maior

interesse em resolver as questões, lembrando que utilizamos as histórias

contadas com os seus significados.

Observando e analisando a influência de nossa intervenção com a

contação de história, notamos que houve um índice de acerto

significativamente maior, reduzindo bastante o problema de interpretação das

situações problema e aumentando o número de acertos e diminuindo os erros.

Notamos que os alunos utilizaram um maior número de estratégias corretas

para a resolução dos problemas após a intervenção.

Entendemos que esse crescimento foi decorrente de o aluno

compreender a conceitualização dos significados trabalhados. Porém sabemos

60

que o tempo disponível foi muito pequeno para podermos aprofundar mais o

assunto.

O estudo mostrou que há necessidade de redescutir as formas como os

conteúdos matemáticos são abordados e, em especial os números racionais.

Há também necessidade urgente de romper as crenças e concepções que o

professor tem do ensino e aprendizagem da matemática em específico com

relação ao número fracionário.

Pode-se concluir então que as questões colocadas foram, em parte,

respondidas satisfatoriamente e que é possível fazer um trabalho mais

construtivo com várias concepções dos significados relatados no decorrer da

pesquisa, reforçando a necessidade de um trabalho com vários enfoques

didáticos e pedagógicos para o conceito de números fracionários.

As várias concepções e as características de cada fração tornam-na um

conteúdo relativamente difícil de ser ensinado e entendido, necessitando então

de uma melhor formação do professor em desenvolver habilidades e

competências para lidar com situações de sala de aula envolvendo frações.

O professor que se preocupa com a construção de conhecimento pelo

próprio aluno busca ser mediador do processo, levando o aluno a ter

segurança e autoconfiança na busca de soluções. Sendo de suma importância

o professor conhecer os diferentes significados dos números fracionários,

podendo assim propor aos alunos uma variedade de situações desafiadoras,

provocando conflitos cognitivos que transformam as estratégias em

ferramentas de pensamento.

Para que se reverta o quadro de dificuldades no ensino de fração, é

necessário, em primeiro lugar, que os alunos tenham tempo para integrar os

diferentes significados, com seus símbolos e suas representações,

considerando que haja, um ensino efetivo e uma aprendizagem significativa.

Quanto ao resultado obtido após a intervenção, pudemos constatar na

produção da escrita uma evolução na criatividade por eles elaborada, ficando

bastante claro que atividades deste tipo devem estar presentes no cotidiano do

trabalho do professor com o aluno, pois as crianças têm condições de aprender

tal conteúdo, desde que se trabalhe com concepções de cada significado de

maneira correta.

61

Esperamos que este trabalho seja o ponto de partida para uma série de

outros, pois, com uma pequena amostragem observamos a grande dificuldade

de compreensão do assunto estudado. Este é de suma importância para a

cultura de todo cidadão e assim melhor ensinado. Se não for bem ensinado na

Educação Básica, fatalmente surgirão dificuldades no Ensino Médio e Superior.

62

REFERÊNCIAS

ANDRADE, S. V. R. de; DRECHMER, P. A. de O. O estudo de frações e seus cinco significados. Caderno Pedagógico. Cascavel: 2009. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br>. Acesso em 06 Set.2010. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Introdução. Brasília: MEC/SEF, 1997. ____Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. BRASIL. Ministério de Educação e do Desporto. Referencial Curricular Nacional para educação infantil. Vol. 3. P. 209 – 239. Brasília: MEC, 1998. JUSTULIN, A. M.; PIROLA, N. A.. Um estudo sobre as relações entre as atitudes em relação à Matemática e a resolução de problemas envolvendo frações. Disponível em: <http://www2.rc.unesp.br/ eventos/matematica/ebrapem2008/upload/304-1-A-gt3_Justulin_ta.pdf>. Acesso em 05 Jun. 2010. MERLINI, V. L.. O conceito de frações em seus diferentes significados: um estudo diagnóstico com alunos de 5ª e 6ª série do ensino fundamental. 2005. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, SP. MOREIRA, M. A. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em Ensino de Ciências. v.7, n.1, 2002. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/public/ ensino/ revista.htm>. Acesso em 19 Out. 2010. MOUTINHO, L. V.. Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos das 4ª e 8ª séries do ensino fundamental. 2005. 218f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, SP. NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.

63

PEREIRA, N. A., SCALON, J. D. Net. O fracasso do ensino-aprendizagem da matemática na educação infantil. Minas Gerais. Disponível em: <http://www.unincor.br/revista/professor/fracasso.html>. Acesso em: 24 Abr. 2009. SILVA, Maria José Ferreira da. Sobre a Introdução do Conceito de Número Fracionário. Disponível em: <http://www4.pucsp.br/pos/edmat/ma/ dissertacao/ maria_jose.pdf>.Acesso em 30 Set. 2010. VASCONCELOS, I. C. P. Números fracionários: a construção dos diferentes significados por alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do ensino fundamental. 2007. 104f. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-graduação em Educação. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, RS.

64

APÊNDICE

65

APÊNDICE I – Termo de Consentimento

CENTRO UNIVERSITÁRIO CATÓLICO SALESIANO AUXILIUM

PEDAGOGIA

TERMO DE CONSENTIMENTO

Autorizo meu (minha)filho(a)___________________________________

a participar da pesquisa intitulada “Números Fracionários: a construção dos

diferentes significados pela criança”, como parte do Trabalho de Conclusão de

Curso (TCC) realizada pela professora Érika Kazue Okuma, aluna do curso de

Pedagogia do Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium, sob a

orientação do profº. M.Sc. Mestre Marcos José Ardenghi, durante o segundo

semestre de 2010.

Declaro estar ciente de que a pesquisa tem o objetivo de comparar

estratégias cognitivas utilizadas por alunos de 5º Ano (Quarta série) durante o

processo da aquisição dos diferentes significados dos números fracionários.

Da mesma forma, declaro ter conhecimento de que o procedimento

metodológico utilizado será a aplicação de algumas situações problema de

matemática em entrevista individual, para que o aluno explique o seu

pensamento ao resolvê-las e possa assim ser analisadas as estratégias

cognitivas que ele utiliza. Será disponibilizado material manipulável como

auxiliar na representação da solução pelo aluno, assim como material para a

representação escrita do seu pensamento. Este encontro será agendado e

previamente combinado com a coordenação e devidamente comunicado à

família.

Autorizo também, a divulgação dos resultados encontrados, em forma

de artigo.

_______________________________

Assinatura do Pai/Mãe ou Responsável

2010

66

ANEXOS

67

ANEXO 1 - Instrumento de Investigação

Nome:_________________________________________________________

Ano:___________________________________________________________

Idade:_________________________________________________________

Questão 1: Tenho 12 adesivos e vou dividi-los igualmente entre 4 crianças. a) Quantos adesivos cada criança ganhará? b) Que fração representa esta divisão?

Questão 2: Duas barras de chocolate foram divididas igualmente entre 3 crianças. a) Cada criança come um chocolate inteiro? ( )sim ( )não b) Cada criança receberá pelo menos metade de um chocolate?( )sim ( ) não c) Qual a fração de chocolate que cada criança receberá?

Questão 3: Uma barra de chocolate foi dividida em 5 partes iguais. Maria comeu 3 dessas partes. Que fração da barra representa o que Maria comeu?

Questão 4: No material de Paulo há 6 lápis coloridos e 2 lápis pretos. Que fração representa a quantidade de lápis pretos em relação ao total de lápis?

Questão 5: Carlos partiu o chocolate e comeu 3/4 dele. Desenhe o chocolate e mostre quanto Carlos comeu.

Questão 6: Carolina tem uma coleção de 24 adesivos. A coleção de sua prima é 2/3 da sua. Quantos adesivos têm a prima de Carolina?

Questão 7:

Temos pacotes de farinha de diferentes pesos:

a) A mãe de Marina pediu que ela fosse ao mercado comprar 1 Kg de farinha. Chegando lá, a garota encontrou diferentes pacotes. Quantos e quais pacotes Marina comprou? b) Se a mãe dela quisesse 2 ½ Kg (dois quilos e meio), quantos pacotes Marina levaria? c) Quantos pacotes de ½ kilo são necessários para obter 1 kilo de farinha? d) Proponha duas maneiras diferentes de comprar 2 kilos e meio de farinha?

1/2 kg 1/4 kg 1 kg 1 1/2 kg

Fonte: Vasconcelos, 2007.

68

ANEXO 2

ERA UMA VEZ...

Um domingo de manhã. Os quatro primos estavam reunidos na sala da

casa do Vô Noé: Pedro Henrique e sua irmã Ana Carolina, Nicolas e seu

irmãozinho Kaio.

A confusão era geral: Estavam discutindo sobre o jogo de damas. As

equipes, formadas por irmãos, estavam em um impasse difícil de ser

solucionado. Nicolas dizia que o grupo adversário não poderia ‘comer a

pecinha pulando para trás, enquanto que Pedro e Ana defendiam-se,

afirmavam que aquela jogada era possível, e, portanto, poderia ser feita sim. A

confusão era tão grande que até os dois cachorrinhos da Vó Luzia, que

estavam por ali, esconderam-se por detrás do sofá, só espiando pelo cantinho

dos olhos aquela bagunça... Kaio, o mais novinho da turma, não entendia muito

bem do que se tratava, pois ainda não conhecia muito bem as regras daquele

jogo... Mas não ficava de fora do rebuliço. Gritava:

- É verdade!!! O Ni tem razão!!! Não pode!!! Está errado!!! Vocês perderam...

Os primos não deixavam barato. Respondiam:

- Não é verdade... Você nem sabe jogar!!! Fecha o bico!!!

- Olha como você fala com o meu irmão – argumenta Nicolas – Ele sabe jogar

um pouquinho...

- Mas um pouquinho não serve – fala Ana. Tem que saber jogar o jogo

todo! A confusão era tanta, que saiu do controle. Na tentativa de elaborar uma

resposta à altura, Kaio subiu em cima da mesa e, sem querer, tropeçou sobre o

tabuleiro de damas... As pecinhas voaram para todo lado! Os quatro primos

ficaram olhando, boquiabertos, as pecinhas rolarem para debaixo do sofá, atrás

da cortina, da estante de TV... Silêncio...

De repente, Pedro, Ana e Nicolas olham para Kaio e começam a falar,

todos ao mesmo tempo:

- Olha o que você fez!!! - Grita Nicolas.

- Claro! Vocês estavam perdendo... - Fala Pedro, com raiva – Ele fez de

propósito!

69

- Não é verdade... - choraminga Kaio, já com lágrimas nos olhos – Não

foi por querer...

- Foi sim... – Fala Ana – Eu sabia que você iria fazer algo parecido...

Foi o suficiente para Kaio desatar a choradeira... E olha que uma das

coisas que o Kaio sabe mesmo fazer é chorar! Pelo amor de Deus!!! Ele chora

com vontade... Exercita mesmo os pulmões... Dá pra ouvir da outra esquina!

Foi o bastante para chamar a atenção da Vó Luzia que estava na cozinha (a

chamar atenção também de todas as outras pessoas em um raio de 300

metros de distância). Não demorou nada para a Vó aparecer na porta da sala

com as mãos na cintura, logo perguntando:

- Alguém pode me explicar o que está acontecendo aqui?

Foi o que bastou. Todos falaram ao mesmo tempo:

- Foi o Kaio!

- É! Ele não queria perder!

- Ele subiu em cima da mesa!

- BUÁÁÁÁÁÁÁ!!!

A Vó Luzia olhou para aquela turminha, já arrependida da pergunta que

havia feito. Respirou fundo e disse:

- Ta bom, ta bom... Isso não foi nada... É só juntar as pecinhas e começar um

novo jogo. Mas desta vez, sem subir em cima da mesa, ta? Vamos lá: todos

juntando pecinhas! Impressionante como a Vó Luzia consegue acalmar as

crianças só com algumas palavrinhas... A turminha começou a procurar as

peças pela sala. Até o Kaio, ainda secando os olhinhos, ajudou na tarefa.

As pecinhas do jogo de Damas

Estava todo mundo procurando as pecinhas do jogo: Ana olhava atrás

do sofá, Nicolas procurava debaixo do tapete, Pedro procurava atrás da cortina

e Kaio juntava as pecinhas que estava perto da estante.

- Quantas já encontramos? – perguntou Pedro Henrique?

- Hum, deixa ver: 4, 5, 6... Hiiii, só achei 6 pecinhas pretas... metade do total...

-responde Nicolas – e vocês? Quantas pecinhas já encontraram?

- Das doze pecinhas brancas, achamos apenas oito – afirma Aninha.

70

A Vó Luzia, que estava prestando atenção na conversa, colocou o

lanche na mesa e chamou as crianças, que vieram correndo. As pecinhas de

dama, pelo jeito, ficariam para depois.

- Ôba! Bolo de fubá!!! Meu preferido... – Falou Pedro Henrique.

- Eu também adoro bolo de fubá. Vó, eu quero um pedaço!!! – Disse Nicolas, já

puxando a cadeira para sentar-se.

- Eu também quero – disse Kaio – quero um pedaço bem grande!!!

- Assim não vale: todos devem ter um pedaço do mesmo tamanho... –

finalizou Aninha.

Pedro, suspirando fundo, disse:

- Ahhh!!! Eu gosto tanto de bolo de fubá que poderia comer um bolo inteiro...

A Vó Luzia, sempre atenta a tudo, enquanto servia o lanche para as

crianças, argumentou:

- Sabe, crianças... Vocês estão me fazendo lembrar de um conteúdo

importante no estudo de Matemática, chamado FRAÇÕES!

- Frações??? – Perguntou Pedro.

- Pedro, a mãe falou que não se pode falar com a boca cheia. Engole primeiro

e depois fala! – Disse Ana que, apesar de ser mais novinha que o irmão,

parecia ser muito mais organizada.

- Vó... o que é frações? É de comer? – Perguntou Kaio, colocando outro

pedaço de bolo na boca.

- Não, Kaio... São conceitos que a gente utiliza sempre que precisamos dividir

as coisas. Veja este bolo: Ele é muito grande para uma só pessoa, então

dividimos em pedaços para que todos comam. Esta é a idéia principal do

estudo de Frações: a divisão. Aliás, é exatamente isso que essa palavra

significa: Fração significa dividir ou partir alguma coisa.

- Então, Vó, eu estou comendo uma ‘FRAÇÃO’ do bolo? - perguntou Aninha.

- Claro, meu amor. É isso mesmo... Você está comendo uma ‘fração’ do bolo,

ou seja, uma ‘parte’ do bolo! Você já entendeu a idéia principal deste conceito!

– Disse a avó, impressionada com a perspicácia da sua netinha.

Ana Carolina, já percebendo o tom orgulhoso da Vó Luzia, deu um

suspiro profundo e direcionou um risinho debochado para o irmão, dizendo

baixinho:

71

- Eh, eh, eh... eu sou demais!!!

Pedro Henrique fez uma careta para a irmã. Coisa que ele odiava era

ver a Aninha se achando demais... Não suportava!

- Vejam! – disse a Vó, apontando para o bolo – Em quantas partes o bolo foi

dividido?

- Eu respondo, eu respondo – disse Pedro, olhando para a irmãzinha, com cara

de poucos amigos – O bolo foi dividido em... peraí... 14, 15, 16,... , 20 pedaços,

Vó!

- Isso mesmo, Pedro. – disse a Vó.

Aninha, com a mesma carinha de deboche, olhou para Pedro e falou,

baixinho:

- Parabéns, Pedro... não achei que saberia responder essa... difíííícil, hein???

Eh, eh, eh...

O Pedro ficou muito irado... chegou a ficar vermelho... A Vó Luzia, sem

perceber o que se passava, continuou:

- Vejam: se dividimos o bolo em 20 pedaços iguais, e eu comer um pedaço,

isso significa que eu comi a parte correspondente a “um vigésimo” do bolo. É

assim que a gente escreve esse número. Veja:

A Vó Luzia pegou um papel que estava por ali e escreveu: 20

1.

- Nossa, Vó... que número estranho... – disse Aninha.

- Ah! – Disse Nicolas – Eu vi um número desses no livro de receitas da minha

mãe! Quer ver?

O menino saiu correndo e voltou com um livro nas mãos. Abriu e

mostrou para o resto da turminha. Naquele livro de receitas existiam muitos

números como aquele: e muitos outros... As crianças ficaram encantadas...

Nunca haviam visto números como aqueles... E agora já sabiam o que eram:

Frações!

- Olha o que está escrito aqui – disse Aninha 2

1de xícara de farinha de trigo...o

que isso significa, Vó?

A Vó olhou para a menina e explicou:

- Lembre-se que a parte de baixo da fração significa em quantas partes está

72

dividido o nosso objeto de estudo, que chamaremos de unidade ou todo,

enquanto que a parte de cima significa quantos pedaços a gente vai utilizar.

Neste caso, vamos imaginar a xícara dividida em duas partes iguais, e encher

uma delas com farinha. É fácil entender, não acha?

É sim, Vó. É bem fácil!!!

- Olhe, Vó – disse Pedro – veja essa parte da receita: 3

2de copo de leite. Neste

caso, a gente deveria imaginar um copo dividido em três partes iguais e encher

duas dessas partes com leite, né Vó?

- É isso mesmo, menino! Nossa, como você é inteligente!!!

Pedro olhou para a Aninha com cara de ‘pouco caso’, deu uma

piscadinha pra

ela e respondeu:

- É mesmo, Vó... eu sou inteligente...

Nicolas, ainda pensativo e com o olho pregado na forma do bolo,

perguntou:

- E se eu comer dois pedaços do bolo, Vó? Como ficaria a fração?

Pedro Henrique disse, empolgado:

- É bem fácil. Veja: se você já tinha comido uma parte das vinte que tinha na

forma 20

1 e agora comer mais uma das vinte partes, então, no total, você vai

comer duas das vinte partes. É assim que escreve esse número, ó!

- É mesmo, disse Nicolas... está certo! Não é difícil entender as frações!

- Vamos ‘escrever’ a fração do bolo que a gente já comeu? – Pergunta Ana –

Olha: O Ni comeu dois pedaços, o Pedro, o Kaio e eu comemos um pedaço

cada... então, no total, comemos 5 pedaços... Então, nós comemos cinco dos

vinte pedaços que o bolo tinha. Fica assim: 20

5

Agora vamos escrever a fração do bolo que ainda resta na forma – Fala

Pedro, empolgado... – sobraram 15 pedaços, dos vinte que tinha... então ainda

tem na forma 20

15 do bolo.

Todos concordaram com a observação. Kaio, que até aquele momento

estava prestando atenção na conversa, perguntou:

73

- Vó, é só no livro de receitas que a gente acha esse tipo de número?

- Não, meu amor... – disse a Vó, pegando o menino no colo – A gente pode

encontrar as frações em muitas outras situações. Querem ver? Vamos para a

sala, que eu mostro.

A avó conduziu as crianças para sala onde as pecinhas do jogo de

damas ainda estavam sobre a mesinha. Acomodou as crianças perto da mesa

e perguntou:

- Nicolas, quantas pecinhas pretas a gente usa no jogo de damas?

- Doze – respondeu rápido.

- E quantas você encontrou? – perguntou a Vó, novamente.

- Nós encontramos 6 pecinhas: a metade.

A avó pegou o caderno e a caneta que as crianças estavam usando

para fazer anotações, entregou ao menino e pediu:

- Muito bem! Agora represente esse número utilizando para isso a idéia de

números fracionários.

O menino pegou o papel, olhou para a avó e disse:

- Bom, são doze peças, não são? – e escreveu o número doze:

- E nós encontramos 12

6 não é? Então fica assim: Parou, pensou um

pouquinho, e concluiu:

- É isso mesmo: das 12 pecinhas do jogo, eu achei apenas seis. O número 12

eu coloco embaixo, e o número seis eu coloco em cima. Não é?

- Isso mesmo – disse a avó – O número que você colocou embaixo da fração

chama-se denominador e o número que você colocou encima chama-se

numerador. Então, sua fração tem denominador 12 e numerador 6. É a gente

diz que são “seis doze avos”.

- Olha as nossas pecinhas, Vó – disse Ana, mostrando as mãozinhas cheias de

peças – Das doze pecinhas brancas, achamos apenas oito.

- Já sei, Vó – disse Pedro, que estava prestando atenção – No nosso caso, a

fração que representa as pecinhas brancas tem denominador 12, porque são

12 peças no total, e numerador 8, porque a gente só encontrou essas

pecinhas, mesmo... né?

Antes que a avó pudesse responder algo, Nicolas complementa:

74

- É isso mesmo... e a gente escreve a “sua” fração assim: “oito doze avos” 12

8.

- Muito bem, disse a avó... Mas agora vamos procurar essas pecinhas para

continuar o nosso jogo de Damas...

- Aqui tem uma, Vó... disse Kaio, pegando uma pecinha debaixo da almofada.

Fonte: Andrade; Drechemer (2009).

75

ANEXO 3

MARTELADAS MATEMÁTICAS: O SIGNIFICADO “NÚMERO”

Naquele dia, o Vô Noé estava empolgado com uma de suas atividades

favoritas: a marcenaria. Ele adora utilizar o seu tempo livre para fazer

brinquedos para as crianças, molduras, suportes, e toda sorte de objetos. O

projeto do dia seria construir casinhas de passarinho para o jardim, e as

crianças resolveram acompanhar as atividades do avô.

Estavam todos na garagem, onde o Vô Noé guarda as ferramentas que

ele usa para suas atividades: martelo, pregos, réguas, serras, serrote... Dava

pra ouvir o barulho de longe... era ‘roc roc’ daqui, ‘pow pow’ dalí,

‘zuimmmmmm!!!’ acolá... Foi então que o Vô pediu:

- Nicolas, alcance aquele pedaço de cano para o Vô.

O menino correu e pegou o material solicitado. Já estava trazendo,

quando alguma coisa lhe chamou a atenção. Parou, olhou bem para o cano e

disse, surpreso:

- Olha, Vô... neste cano tem aquele número diferente que a Vó Luzia estava

falando...

- Que número? Perguntou o avô, interessado.

- As Frações, Vô... Olha uma delas aqui... – e mostrou com o dedinho a

seguinte especificação escrita no cano: 4

3.

- É mesmo - disse a Ana, soltando um gritinho de surpresa – é uma fração! O

que ela está fazendo neste cano, Vô?

O avô parou o que estava fazendo e olhou bem para as crianças... Elas

nem piscavam de curiosidade. Depois da pequena pausa, ele explicou:

- Esta especificação serve para sabermos a ‘bitola’ do cano.

- Bitola??? – perguntaram, os dois netinhos, ao mesmo tempo.

- Sim, a bitola é a medida do cano. Este tem “três quartos” de polegada.

- E o que isso significa? – perguntou Pedro, intrigado.

O avô pegou uma ‘régua’ que estava na bancada e mostrou, dizendo:

76

- Olha, esta régua é um pouco diferente da que a gente usa normalmente,

porque, ao invés de centímetros, vem expressa em polegadas.

- E o que é uma polegada? – perguntou Aninha.

- Na época do antigo império britânico, as pessoas tinham dificuldade em medir

as coisas, então, quando precisavam medir um comprimento que não era muito

grande utilizavam o dedo ‘polegar’ como parâmetro. – Explicou isso mostrando

o ‘dedão’ da mão - Daí apareceu a unidade ‘polegada’, que equivale a distância

entre a dobra do polegar e a ponta do dedo.

- Essa distância, Vô? – Perguntou Kaio, mostrando a pontinha do dedão da

mão direita.

- Essa mesma! – afirma o avô.

- Mas as pessoas mediam as coisas usando o ‘dedão’ da mão, Vô? –

Perguntou Pedro, ainda duvidando da informação.

- É isso mesmo! Algumas medidas era feita utilizado esta medida. – respondeu

o avô.

- Ah, então vamos ver... esse pedacinho de cano tem 5 ‘polegadas’ de

comprimento – disse Nicolas, medindo o objeto com a pontinha do dedo.

- E a minha bonequinha tem 7 ‘polegadas’... – disse Aninha, utilizando o

mesmo método.

- Olha, o serrote do Vô tem 12 ‘polegadas’ – afirmou Pedro...

- Mas se for o Vô que tiver medindo, vai ter “menos polegadas”, né, Vô? – disse

Aninha olhando para o dedão do seu avô.

- É mesmo... A ‘minha polegada’ é menor que a ‘polegada do Vô’...

- falou Nicolas, comparando o tamanho da pontinha do seu dedo com a do seu

avô. – E olha o ‘tamanhinho’da polegada do Kaio!

- Kaio ficou olhando a pontinha do seu dedo polegar... era pequenininho

mesmo!

- Não, Ni... Não é ‘a sua polegada’ que é menor... É o seu dedinho. Depois de

algum tempo as pessoas perceberam que o ‘tamanho’ da ponta do dedo

variava, o que gerou muitos problemas, principalmente no comércio. Para

evitar este tipo de confusão, hoje utilizamos o Sistema Internacional de

Unidades, que utiliza o metro, o centímetro e o milímetro para medir o

comprimento. Foi convencionado que uma polegada valeria 2,5 cm,

77

aproximadamente. Ainda hoje encontramos medidas em polegadas, por

exemplo: a bitola de canos, mangueiras e pregos; os monitores de TV e de

computador, entre outras coisas.

- Tá, Vô... Mas o que isso tem a ver com a nossa fração? – perguntou Ana.

- Pois é. O cano que o Nicolas encontrou tem a inscrição: 4

3

Para explicar esta medida, vamos pegar a régua graduada em

polegadas e vamos medir o seu diâmetro, assim... - colocou o cano sobre a

régua.

- Se prestarmos atenção, fica fácil entender a inscrição 4

3 Disse o avô. Dêem

uma olhada:

- É mesmo - disse Nicolas – Se dividirmos a ‘polegada’ em 4 pedacinhos

iguais, a gente vê que o cano ocupa o lugar de 3 desses pedacinhos. Agora

entendi porque está escrito 4

3 no cano.

Aninha, que estava prestando atenção em tudo, disse:

- Ah! Eu vi outro pedaço de cano, só que mais fininho... Peraí... Vou ver se

encontro – saiu correndo e já voltou com sua descoberta na mão – Olha: está

escrito aqui 2

1, Vamos medir?

Ana posicionou o cano sobre a régua, observando a medida alcançada.

- É mesmo, Ni... Com esse cano também dá certo... – disse, olhando para o

primo, com um sorrisinho nos lábios - aqui está marcando 2

1 e com a régua,

podemos ver que, ao dividirmos a ‘polegada’ em 2 partes iguais, o cano ocupa

o lugar de uma dessas partes.

As crianças pareciam satisfeitas com as novas descobertas...

Aprenderam como os antigos europeus mediam as coisas e descobriram que

as frações estão mais presentes em nossas vidas do que pensavam.

Neste momento, Paulo Henrique, o primo mais velho daquela turminha,

chegou na casa do Vô Noé. Depois das saudações, as crianças mostraram os

pedacinhos de cano e a régua do Vô, contando toda a história de ‘polegadas’ e

‘frações’ que haviam acabado de aprender. O primo, que já havia estudado

78

esses conceitos na escola, riu da empolgação das crianças. Olhou para o

número 2

1 escrito no cano e disse:

- Ah, um ‘dividido’ por dois... Nicolas, que havia conduzido a conversa até

então, disse:

- Não, Paulo Henrique... Não é “um dividido por dois” que se fala... a gente lê

esse número como “um sobre dois”, ou “meio”.

- Na verdade, Ni, podemos ler essa fração como “um sobre dois”, “meio”, ou

ainda, “um dividido por dois”. Todas estas formas estão certas. Aninha olhou

para o primo mais velho e perguntou intrigada:

- Mas se isso é verdade, como pode o número 1, que é pequeno, dividir 2, que

é maior?

- Ora, Ana... Se você e o Nicolas vão lanchar e só tem um refri na geladeira, o

que vocês fazem?

- A gente divide, ué? – Respondeu rapidinho...

- É exatamente isso, Aninha... A idéia de frações está muito ligada à idéia de

divisão. A fração 2

1 também significa “um dividido por dois” – e pegou a

calculadora que estava na bolsa, fez a continha 1 ÷ 2 e mostrou o resultado

para os pequenos: R = 0,5

- A fração pode assumir o significado de número, se a gente dividir o

numerador pelo denominador. E a gente faz isso sempre que quiser saber o

‘valor numérico’ da nossa fração. Agora nós sabemos que a fração 2

1 tem

valor numérico 0,5.

- Paulo Henrique, qual é o “valor numérico” desta outra fração? – Perguntou

Pedro, com o cano de 4

3.

- Vamos calcular? – perguntou Paulo Henrique entregando a calculadora para

o menino – É só digitar 3 ÷ 4. Ou então, pode fazer a continha no caderno,

como a professora ensinou.

- Ah, hoje estou com preguiça... Vou fazer usando a calculadora, mesmo. -

Pedro fez a continha e obteve a resposta 0,75 – O “valor numérico” desta

fração é 0,75. Fácil!

79

E as crianças verificaram que, além de mais presentes do que

imaginavam, as frações também poderiam aparecer nas mais variadas

formas... Nesta hora a Vó Luzia chamou todo mundo para tomar café da tarde:

leite com chocolate e bolinhos de chuva. As crianças abandonaram por alguns

instantes a bancada da garagem do Vô Noé e correram para a mesa da

cozinha...


80

ANEXO 4

OS QUINTOS DOS INFERNOS: SIGNIFICADO “OPERADOR MULTIPLICATIVO”

Os quatro primos estavam sentados na sala, assistindo TV. Era bem na

hora da novela das sete.

De repente, a vilã da novela, Márcia Gertrudes, mãe de Jéferson Flávio,

que era contra o casamento do filho com a mocinha Angélica Aparecida, só

porque ela era vesga de um olho e manca da perna esquerda, olhou bem na

cara da moça e falou:

- Quer saber? Vá para os quintos dos infernos!!!!

Aquela expressão retumbou pela sala! Os primos se entreolharam, cada

um com uma cara mais impressionada que o outro.

- O que ela falou? – perguntou Aninha, depois de recuperar o fôlego.

- Disse para Angélica Aparecida ir para os “Quintos dos Infernos”... –respondeu

Nicolas, com os dois olhos arregalados, quase do tamanho da testa!

- Ir para onde? – perguntou Kaio, quase sem mexer a boca.

- Para os “Quintos dos Infernos”... – Respondeu Pedro Henrique.

Silêncio na sala!!!

Todos ainda estavam sob o efeito das palavras da vilã Márcia Gertrudes,

até que Aninha, olhando para o irmão Pedro, quebrou o silêncio novamente:

- Mas onde ficam os “Quintos dos Infernos”?

Pedro olhou para a irmã com cara de quem sabe de tudo... Ele não

sabia onde

ficava os “Quintos dos Infernos”, mas se sentiu na obrigação de responder a

pergunta. Pensou um pouquinho e deduziu:

- Ah, Ana... os “Quintos dos Infernos” é a mesma coisa que as “quinas do

Inferno”... sabe, é o cantinho da parede do inferno. Márcia Gertrudes falou para

Angélica Aparecida ir para o cantinho do inferno, e...

Já ia continuar com aquela lorota toda, quando ouviram a Vó Luzia, que

até aquela hora estava quietinha, vendo a confusão, dar uma risadinha

incontida. Só naquele momento as crianças perceberam que a avó também

estava na sala, em sua poltrona, assistindo a novela. A avó ainda estava se

81

recuperando do último apontamento feito por Pedro, quando as crianças, quase

que ao mesmo tempo, perguntaram:

- Vó, onde fica é esse tal de “Quintos dos Infernos”???

A avó verificou o interesse das crianças pelo assunto. Assim, levantou-

se da poltrona e foi em direção da estante, dizendo:

- Para explicar esta história, eu vou precisar de um recurso...

Procurou, procurou, até que achou um grande livro que estava na

estante. O livro, de capa dura e com muitas folhas, chamava-se ‘A História do

Brasil’. Voltou a sua poltrona enquanto os netos se acomodaram ao redor dela.

- O que é isso, Vó? – Perguntou Nicolas.

- É um livro que conta um pouco da História do Brasil – respondeu a avó. Kaio,

o menorzinho de todos, perguntou:

- E os “Quintos dos Infernos” fica aqui, no Brasil?

- Não, meu amor – disse a avó, passando a mão na cabecinha do neto – mas

vou explicar essa história direitinho para vocês.

Colocou o livro sobre o colo e começou a folhá-lo. De repente, parou em

uma página. Nela estava estampada uma foto de uma igreja, com o altar todo

dourado.

As crianças olharam admiradas... as paredes, o teto, o altar, tudo era

dourado... Aninha suspirou fundo, e disse:

- Aaaaiiiii... que lugar lindo!!! Onde fica?

- Esta é a Igreja e Convento de São Francisco. Fica na cidade de Salvador,

capital da Bahia.

- Nossa, Vó... que igreja linda! – Exclamou Nicolas – toda pintada de dourado...

- Ela não é “pintada de dourado”, Ni... ela é recoberta de ouro!!!

- Nossa!!!! De ouro!!!! – falaram todos ao mesmo tempo...

As crianças perderam a fala só de imaginar uma igreja inteirinha

revestida de ouro... Parecia até coisa do filme do Indiana Jones!

- Essa igreja, crianças, é uma das mais ricas do Brasil. O seu interior é todo

feito de jacarandá - uma madeira nobre, muito rara e valiosa - e ouro. Alguns

afirmam que foi utilizada uma tonelada de ouro em pó em seu interior. Outros

dizem que não foi tanto, algo em torno de 800 quilos. Já ouvi dizer que, no

mundo todo, só a Capela Sistina, no Vaticano, é mais rica...

82

- Ai, Vó... Quero casar em um lugar assim: com um vestido de princesa e em

uma igreja feita de ouro... - Disse Aninha, suspirando.

Pedro, vendo a cara da irmã, disse para Nicolas, baixinho e torcendo o

nariz:

- Essas meninas... Só pensam em casamento...

- É mesmo, ih, ih, ih... – responde Ni.

- Vó – pergunta Kaio – por que colocaram tanto ouro dentro de uma só igreja?

- Ah, Kaio... esta é uma boa pergunta, com uma resposta muito curiosa: Muitas

pessoas ricas e influentes do Brasil Colônia, preocupadas com sua ‘entrada no

céu’, se propunham a custear na construção da igreja e, em troca, ganhavam o

direito de serem enterradas em ‘território santo’, ou seja, dentro das igrejas.

Elas imaginavam que, desta forma, iriam diretamente para o céu.

Estavam tão preocupados com este objetivo que faziam doações de grandes

somas de dinheiro, escravos, ouro, prata... tudo para entrar no céu.

- Que burros! – indignou-se Nicolas – Então só os ricos iam para o céu? Que

preconceito!

- Isto é o que as pessoas imaginavam na época. Assim, as igrejas deste

período da história do Brasil são famosas pela sua riqueza, beleza, e também

por fazerem o papel de grandes túmulos. Muitas guardam até hoje os restos

mortais dos milionários que viveram em nosso país.

- Nossa! Pelo tanto de ouro desta igreja – argumentou Pedro – deveria ter

muuuuita gente querendo ir para o céu...

- É que nesta igreja, Pedro, houve outro fator que influenciou na sua

construção: Portugal não se opunha na construção de igrejas aqui no Brasil.

Dizem, então, que todo este ouro foi empregando nesta igreja para não ser

enviado para Portugal. – depois de uma pequena pausa, continuou: - Nesta

época o Brasil era um grande produtor de ouro, e a descoberta desse metal tão

cobiçado atraiu a atenção do rei de Portugal, que começou a cobrar o “quinto”.

- O quinto??? – perguntaram todos, na mesma hora.

- Sim. O quinto era o imposto cobrado pela Coroa portuguesa sobre o ouro e

diamantes. Tinha esse nome porque correspondia a 5

1 de toda riqueza

produzida nas colônias.

- Um quinto, Vó? – Perguntou Nicolas – Então estamos falando de uma fração!

83

- Isto mesmo, Ni. Uma fração de todo o ouro que era encontrado no Brasil ia

para o rei de Portugal na forma de impostos. O “quinto” significa que, de cada 5

quilos de ouro, um ia para a Coroa portuguesa.

- Se a produção fosse de 10 quilos de ouro, deveria pagar 2 quilos de imposto,

né, Vó? – disse Pedro.

- Isso mesmo!

- Mas e se eles produzissem 8 quilos? – Perguntou Nicolas - Como vou saber

quanto teriam que pagar?

- A avó olhou para o menino com os óculos na ponta do nariz. Percebeu a

importância da pergunta e viu que deveria aprofundar um pouco mais a

palestra.

Levantou-se e pegou o caderno e lápis que estavam sobre a estante.

Olhando

novamente para o menino, disse:

- Vamos ver... eles tinham que pagar 5

1 de todo o ouro na forma de imposto,

né? Se a produção fosse de 10 quilos de ouro... – e escreveu sobre o papel:

5

1x10 =

5

10

- deveriam pagar 5

10 de impostos. Mas vocês já sabem que

5

10 também

significa 10 ÷ 5 não é? Então deveriam pagar 2 quilos de ouro de imposto,

porque 10 ÷ 5 = 2 .Todos concordam?

- É... parece que está certo... – disse Nicolas desconfiado – mas e se fosse 8

quilos?

- Então... se fosse 8 quilos, teríam: 5

1x 8 =

5

8

- E, como vocês sabem, 5

8 também pode ser escrito como 8 ÷ 5, que resulta

em 1,6 quilos de ouro, ou seja, se a produção fosse de oito quilos de ouro,

deveriam pagar um quilo e seiscentos gramas de impostos. Era assim

procediam para saber o imposto de qualquer quantidade de ouro que

produziam... multiplicavam a produção por 5

1.

84

- Nossa – disse Aninha – Eu acho que eles não gostavam desse tal “quinto”.

- É, Aninha... Não gostavam mesmo... Para falar a verdade, eles odiavam ter

que pagar o imposto ao rei de Portugal. Por isso eles diziam que era “o quinto

dos infernos”.

- Mas Vó – perguntou Pedro – O que isso tem a ver com a novela? Porque o

que tem a ver a Márcia Gertrudes com o Rei de Portugal?

- Boa pergunta, Pedro. É que as autoridades enviavam os impostos para

Portugal em um grande navio, chamado Nau dos Quintos. Naquela época, a

viagem de navio do Brasil até Portugal poderia levar muitas semanas. As

vezes, devido as turbulências, o navio nem chegava ao seu destino. Por isso,

ele era visto como de navio que iria para muuuuuito longe, quase para o fim do

mundo. Então, quando eles não gostavam de alguém e queriam vê-lo longe,

mandavam que ele fosse com o navio dos Quintos. E logo essa expressão

evoluiu para: “Vá para os quintos dos infernos”.

- Já sei, Vó – disse Nicolas – Era como se hoje a gente dissesse: “Vá ver se eu

estou lá na esquina!”

- Eh, eh, eh... é isso mesmo, Ni! – disse a avó, rindo da associação feita pelo

neto.

Kaio que estava atento a tudo, perguntou:

- Vó, o Brasil ainda paga para Portugal o imposto dos Quintos dos Infernos?

A avó, que estava bem-humorada até aquele momento, olhou para o neto com

um pouco mais de apreensão. Pensou um pouco e, depois de um profundo

suspiro, respondeu:

- Sabe, Kaio... Naquela época as pessoas achavam que estavam sendo

exploradas por Portugal. Esta história dos impostos sobre a produção do ouro

motivou as pessoas a pensarem na independência do Brasil. A Inconfidência

Mineira, uma tentativa de revolta contra a coroa portuguesa, teve aí um de

seus motivos. Depois que o Brasil se tornou independente, nenhum imposto

mais foi pago a Portugal. Entretanto, meu anjo, agora a nossa situação me

parece pior que no passado. Se calcularmos todos os impostos que pagamos

ao nosso governo, chegamos a marca de 40%, ou seja, dois quintos de tudo o

que produzimos.

As crianças ficaram perplexas.

85

- Mas, Vó... peraí... – disse Pedro, pensativo – Isso significa que pagamos para

o nosso governo o dobro de impostos que era pago para o governo de

Portugal. Isso significa que o nosso governo explora nosso povo duas vezes

mais que o governo de Portugal. Como pode isso?

A avó ficou sem saber o que responder, e a conversa acabou por aí.


86

ANEXO 5

A DIVISÃO E O SIGNIFICADO “QUOCIENTE”

As crianças estavam brincando no quintal quando viram o Vô Noé

chegar do supermercado. Ele vinha cheio de sacolas, e as crianças correram

para ajudá-lo. Isto não era sem intenção: as crianças estavam muito

interessadas nas gostosuras que o Vô trazia naquelas sacolinhas.

Cada Neto pegou uma embalagem da mão do avô, já olhando, através

das sacolas plásticas, o que cada uma delas continha.

– Ovos... disse Nicolas, meio desanimado.

– Pão, falou Aninha, torcendo o nariz.

– Iiiii – resmungou Pedro – Alface...

Kaio olhou para os primos com uma risadinha safada, e disse:

- Balas!

Ele mal terminou de falar e já saiu correndo com a sacola do mercado

nas mãos. Os primos não pensaram duas vezes: colocaram as embalagens

sobre a mesa da cozinha e saíram em disparada atrás do priminho que, a

essas alturas, já tinha se escondido atrás da casa do Vô. Só se ouvia a correria

e as risadinhas das crianças.

As crianças estavam muito satisfeitas... O Vô Noé tinha comprado três

pacotes de balas: chocolate, doce de leite e menta. Kaio, que segurava todos

os pacotes de bala nas mãozinhas, disse:

- Esse é o meu – apontando para o pacote de balas de chocolate. Aninha, com

seu senso de justiça, disse para o priminho:

- Não, Kaio. Você não pode ficar com um pacote inteiro. Temos que dividir

direitinho para nós quatro.

- Mas só tem três pacotes – disse Kaio – como vamos dividir três pacotes entre

nós quatro?

Diante do problema, Aninha olhou para Pedro e Nicolas, e disse:

- É verdade! Como faremos para dividir três coisas entre quatro pessoas?

Nicolas, depois de pensar por um segundo, disse:

- Muito fácil, ué! A gente divide. Vejam! Pegou os pacotes de balas que o Kaio

segurava e levou para a mesa de centro da sala do Vô Noé. Abriu cada um

deles e contou: haviam 20 balas em cada pacote.

87

Pegou papel e lápis que estavam na estante e, olhando para os primos,

disse:

- Se tem 20 balas em cada pacote, então, para que a divisão seja justa,

devemos fazer: =÷ 420 5

- Então sabemos que, de cada pacote, cada um de nós vai receber 5 balas.

- É isso mesmo – continuou Pedro. Mas a gente também pode escrever esta

operação na forma de frações, assim: 4

20= 5

- É mesmo – disse Aninha – o sinal da fração também significa divisão.

Lembra?

- Verdade. A fração das balas que cada um vai receber é 4

20. Aliás, é

exatamente isso que a palavra fração significa: uma parte.

– Disse Nicolas, com toda propriedade de quem sabe tudo de frações.

E terminou dizendo: Então, a parte das balas que cada um vai receber é 4

20.

E, olhando para todos no grupo, separou as 20 balas do pacote em montinhos,

sendo que cada montinho ficou com 5 balas.

- É – disse Pedro – Mas se a considerarmos que temos três pacotes, então

teremos três vezes esta quantidade. Pedro pegou os outros dois pacotes e

continuou a fazer a partilha dos doces.

Ao final da tarefa, Kaio contou:

- 1, 2, 3, ..., 13, 14, 15! Eu ganhei 15 balas!

- Claro, Kaio – disse Aninha – todos nós ganhamos 15 balas. Agora a divisão

está justa!

As crianças juntaram suas balas da forma que puderam: Aninha pegou

um dos pacotes vazios de balas que estava por aí para guardar suas balinhas.

Nicolas e Pedro enrolaram suas balas na camiseta e Kaio já se preparava para

comê-las ali mesmo. Já estavam salivando quando a Vó Luzia, da porta da

sala, disse:

- Nada de balas agora, crianças! O almoço está servido. Já para a mesa!

As crianças, suspirando, viram que teriam que esperar um pouco mais

para saborear os doces.


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Okuma, Érika Kazue Ensino e aprendizagem de fração: um estudo comparativo e uma intervenção didática / Érika Kazue Okuma. -- Lins, 2010.

87p. il. 31cm.

Monografia apresentada ao Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium – UNISALESIANO, Lins-SP, para graduação em Pedagogia, 2010

Orientadores: Marcos José Ardenghi; Fátima Eliana Frigatto Bozzo.

1. Fração. 2. Campo Conceitual. 3. Aprendizagem. I Título.

CDU 37

036 e

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ENSINO E APRENDIZAGEM DE FRAÇÃO: UM ESTUDO …unisalesiano.edu.br/biblioteca/monografias/51854.pdf · obtenção do título de Graduação em Pedagogia, sob a orientação do Profº