ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fct - UNL Estruturas ...As lajes, de uma forma geral possuem deformação bidireccional. Vejamos o caso particular das lajes vigadas, rectangulares,

1A. P. Ramos Set. 2006

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL

Estruturas de Betão Armado II

3 – Lajes - Análise



3 – Lajes - AnáliseTEORIA DE COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE LAJES FINAS

HIPÓTESES DO MODELO DE COMPORTAMENTO (1)

1) Laje de pequena espessura (deformação por corte

deprezável - h



3 – Lajes - AnáliseTEORIA DE COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE LAJES FINAS

HIPÓTESES DO MODELO DE COMPORTAMENTO (2)

4) Hipótese de Bernouli – as fibras perpendiculares ao

plano médio da laje permanecem rectas e

perpendiculares após a deformação (não há

deformação por corte);

5) As tensões normais ao plano médio são desprezáveis.




yzu∂∂

−=ω

2xzu∂∂

−=ω

1

u1 – deslocamentos na direcção x

u2 – deslocamentos na direcção y

u3 – deslocamentos na direcção z

Os deslocamentos u1 e u2 variam linearmente na espessura:

ω=3u




DEFORMAÇÃO

)(21

,, ijjiij uu +=ε

2

2

xzxx ∂∂

−=ωε

yxzxy ∂∂∂

−=ωε

2

2

2

yzyy ∂∂

−=ωε

0=== zzyzxz εεε



3 – Lajes - AnáliseTENSÕES

)(1 2 yyxxxx

E ευευ

σ +−

=

)(1 2 xxyyyy

E ευευ

σ +−

=

)1(22

υεσ

−==

EGcomG xyxy

0)5 =zzhipóteseDa σ



3 – Lajes - AnáliseMOMENTOS (1)

∫−=2

2

h

hdzzm xxx σ

∫−=2

2

h

hdzzm xyxy σ

∫−=2

2

h

hdzzm yyy σ



3 – Lajes - AnáliseMOMENTOS (2)

)( 22

2

2

xyDmy ∂

∂+

∂∂

−=ωυω

)( 22

2

2

yxDmx ∂

∂+

∂∂

−=ωυω

Se introduzirmos agora o conceito de rigidez de flexão da laje:

)1(12 23

υ−=

hED

yxDmxy ∂∂

∂−−=

ωυ2

)1(



3 – Lajes - AnáliseEQUAÇÃO DE LAGRANGE

Dq

yyxx=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∇ 44

22

4

4

44 ωωωω

Por equilíbrio:

Equação de Lagrange

(deduzida em 1811)

qym

yxm

xm yxyx −=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2



3 – Lajes - AnáliseEQUAÇÃO DE LAGRANGE

Ainda por equilíbrio:

ym

xmv xyxx ∂

∂+

∂∂

=x

my

mv xyyy ∂

∂+

∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−= 22

2

2

yxxDvx

ωω

Ou :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−= 22

2

2

yxyDvy

ωω



3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO CILÍNDRICA

As lajes com comprimento infinito numa direcção, ao longo da qual existem apoios lineares, têm uma deformação cilíndrica, em que w é constante ao longo dessa direcção.

0=∂∂

xω

w = cte em x logo:

022

=∂∂

xω



3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO CILÍNDRICA

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

−=

∂∂

−=

2

2

2

2

yDm

yDm

y

x

ω

ωυ

yx mm υ=

Logo:

É necessário que o mx = ν my para contrariar a deformação devida ao efeito de Poisson.

Para ν = 0.2: my → Asy

mx → Asx = 0.2 Asy

O efeito de Poisson surge sempre que w é constante ao longo de uma direcção.

Efeito de Poisson



3 – Lajes - AnáliseEXEMPLOS DE EFEITO DE POISSON

Lajes em que lx ≥ 2 ly

Consolas

Apoio de continuidade



3 – Lajes - AnáliseEFEITO DE POISSON

A armadura correspondente ao efeito de Poisson (20% da

armadura principal) designa-se por armadura de distribuição.

ssd AA 2.0=

As lajes com flexão cilíndrica designam-se por lajes

unidirecionais ou armadas numa só direcção, porque só existe

armadura principal na direcção da flexão cilíndrica.



3 – Lajes - AnáliseLAJE APOIADA EM DOIS BORDOS

Deformada

Flexão cilíndrica




m22




m11




m12



3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL

As lajes, de uma forma geral possuem deformação bidireccional. Vejamos o caso particular das lajes vigadas, rectangulares, com lx < 2ly:

Nestes casos, além de mx e my surgem também momentos torsores mxy. Estes têm especial relevância junto dos cantos onde convergem dois bordos simplesmente apoiados.

Devido à deformação da laje estes cantos teriam a tendência a levantar, o que é impedido pelos apoios, resultando num esforço cuja direcção principal é a diagonal das linhas dos apoios.




Laje rectangular apoiada no contorno

L1/L2=1.5





L1/L2=1.5

m11

m11





L1/L2=1.5

m22

m22

Os esforços no menor vão (m22) são superiores aos no

maior vão (m11).





L1/L2=1.5

m12

Os máximos e os mínimos verificam-se junto aos cantos e em módulo são da mesma ordem de grandeza.





L1/L2=1.5




Laje rectangular apoiada em dois bordos e

encastrada nos outros dois

L1/L2=1.5

Deformada




Comparação entre os dois casos analisados

L1/L2=1.5

A laje apoioada no contorno é mais

deformável




Laje rectangular apoiada em dois bordos e

encastrada nos outros dois

L1/L2=1.5

m11

m22

Os esforços no menor vão (m22) são superiores aos do

maior vão (m11).




Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois

L1/L2=1.5




Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois

L1/L2=1.5

Os maiores valores para os

momentos torsores surgem junto ao canto

em que convergem os

dois bordos apoiados

m12




Laje quadrada

apoiada no contorno

Deformada




Laje quadrada

apoiada no contorno

m11

m22




Laje quadrada

apoiada no contorno

Os maiores valores para os

momentos torsores surgem junto aos cantos

m12




Laje quadrada

apoiada no contorno

Reacções nos apoios

Reacções verticais nos cantos ↓




Laje Quadrada apoiada no contorno excepto

nos cantos

Deformada

Os cantos levantam !




Laje Quadrada apoiada no contorno excepto nos cantos




Laje Quadrada apoiada no contorno excepto nos cantos

Reacções nos apoios

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