ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS COM ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO

Pedro Filipe Tiago Arruda

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira

Orientador: Doutor Luís Manuel Soares dos Santos Castro

Vogais: Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis

Outubro de 2009

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao Professor Luís de Castro pela possibilidade de desenvolver uma

dissertação sob a sua orientação.

Agradeço ao meu irmão, Mário Arruda, pelo enorme voluntarismo em todo o

processo e as diversas horas gastas na ajuda e compreensão da temática em estudo.

Um especial agradecimento aos meus pais, Vítor Arruda e Maria Tiago Arruda,

pois foi devido à sua exigência, incentivo e estimulo que me permitiram trabalhar para

atingir os objectivos.

Agradeço à instituição IST, nomeadamente ao trabalho de vários docentes

durante o meu Mestrado, bem como aos vários colegas que tive a oportunidade de

conhecer e trabalhar em conjunto.

i

RESUMO:

Neste trabalho é apresentado um modelo de elementos finitos Híbrido-Misto

de Tensão (HMT) para a análise linear de estabilidade de pórticos planos e lajes. Este

modelo foi implementado utilizando polinómios ortonormais de Legendre como

funções de aproximação para os campos de esforços e de deslocamentos. A utilização

deste tipo de funções permite o cálculo dos operadores matriciais do sistema

governativo através da utilização de expressões analíticas e possibilita a adopção de

refinamentos p-hierárquicos muito eficazes.

Demonstra-se que ainda que apesar do sistema governativo inicial dos HMT

não ser idêntico aos dos Elementos Finitos (EF) convencionais, é possível chegar a um

sistema governativo matematicamente semelhante, mas com significado físico

diferente. Desta forma, podem ser aplicadas as técnicas usais para o cálculo de valores

e vectores próprios de estruturas com os modelos HMT.

Assumindo um comportamento fisicamente linear, a solução do problema

pode ser determinada através da realização de uma análise geometricamente não

linear na posição deformada. Para validar o modelo apresentado e para demonstrar as

suas potencialidades, são apresentados e discutidos alguns exemplos numéricos. Os

resultados obtidos são comparados com soluções analíticas e com soluções obtidas

com recurso a outras técnicas numéricas de referência usando EF convencionais.

PALAVRAS-CHAVE

Elementos Finitos

Modelos Híbridos Mistos de Tensão

Análise Linear de Estabilidade

Pórticos Planos, Lajes Espessas

Polinómios de Legendre

ii

ABSTRACT:

This work presents a hybrid mixed stress finite element model for the linear

stability analysis of beams and Reissner-Mindlin plate bending problems. This model is

based on the use of complete sets of orthonormal Legendre polynomials as

approximation functions. The use of this type of functions allows the development of

analytical closed form solutions for the computation of all integrals involved in the

definition of the different structural operators. It enables also the implementation of

highly efficient p- refinement procedures.

Although the governing system may be different from the conventional finite

elements, it is possible to achieve a governing system mathematical identical, but with

different physical meanings. There for the conventional techniques of Eigen values in

structures can be applied with hybrid mixed stress finite elements.

Assuming a physically linear behaviour, the solution of the problem can be

determined by performing a non geometrical analysis in the deformed position. To

validate the model and to illustrate its potential, several numerical tests are presented

and discussed. The results obtained with the hybrid-mixed model are compared with

analytical solutions and with other numerical solutions computed with the classical

displacement finite element formulation.

KEYWORDS

Finite Elements

Hybrid Mixed Stress Models

Linear Stability Analysis

Beams, Reissner-Mindlin Plate Bending problems

Legendre Polynomials

iii

NOTAÇÃO Letras Latinas Minúsculas b – Forças de massa. e – Deformações generalizadas. f – Matriz que reúne os parâmetros elásticos - formato de flexibilidade. h – espessura da laje. mx – Momento flector de laje ao longo do x. my – Momento flector de laje ao longo do y. mxy – Momento torsor de laje ao longo de x e y . mρ – Matriz de massa do elemento infinitesimal. n – Normal exterior unitária à fronteira. qV – Pesos da aproximação dos deslocamentos generalizados no domínio. qΓ – Pesos da aproximação dos deslocamentos generalizados na fronteira. s – Esforços independentes no domínio. t – Forças na fronteira. u – Campo de deslocamentos do elemento. u – Deslocamento longitudinal de barra. uΓ – Deslocamento de fronteira generalizado.

u – Deslocamento longitudinal nodal de barra.

Γu – Operador dos deslocamentos de fronteira. uV – Campos de deslocamentos no domínio do elemento. uΓ – Campos de deslocamentos na fronteira do elemento. vx – Esforço transverso de laje ao longo de x. vy – Esforço transverso de laje ao longo de y. w – Deslocamento transversal de barra.

w – Deslocamento transversal de fronteira. Letras Latinas Maiúsculas A – Área da secção. Ac – Área de corte da secção. AV – Operador de compatibilidade no domínio. AΓ – Operador de compatibilidade na fronteira. D – Operador diferencial de equilíbrio. D* – Operador diferencia de compatibilidade. E – Módulo de elasticidade. Ee – Operador de flexibilidade linear. F – Operador de flexibilidade generalizado. Fi – Forças nodais de barra. N – Matriz das normais exteriores à fronteira. QV – Forças de massa generalizadas. QΓ – Forças de fronteira generalizadas. Pi(x) – Polinómio de Legendre de grau i. S – Função aproximação dos campos de esforços no domínio.

iv

T – Matriz dos cosenos directores. UV – Funções de aproximação dos campos de deslocamentos no domínio do elemento. UΓ – Funções de aproximação dos campos de deslocamentos na fronteira do elemento. V – Domínio do elemento. X – Pesos das aproximações dos campos de esforços no domínio. Letras Gregas Minúsculas α – Ângulo de rotação da barra. γ – Distorção. ε – Deformação. ζ – Coeficiente de proporcionalidade de amortecimento. θ – Rotação. λ – Coeficiente de normalização dos polinómios de Legendre. ς – Referencial de fronteira do elemento. σ – Tensão. υ – Coeficiente de poisson. χ – Curvatura. Letras Gregas Maiúsculas Γ – Fronteira do elemento. Γσ – Fronteira estática do elemento. Γu – Fronteira cinemática do elemento.. Φ – Coeficiente de Corte. Φn – Vector próprio normalizado do modo de vibração n. Abreviaturas EF – Elementos Finitos. HMT – Híbridos Mistos de Tensão.

1

Índice

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 3

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ...................................................................................................................... 3

1.2 OBJECTIVOS ....................................................................................................................................... 5

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................................................................ 5

2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA PARA ANÁLISES LINEARES ................................................................ 6

2.1 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS EM PROBLEMAS DE ELASTICIDADE ...................................................................... 6

2.2 ELEMENTO BARRA ............................................................................................................................... 6

2.3 ELEMENTO DE LAJE .............................................................................................................................. 8

2.4 MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS MISTOS DE TENSÃO ................................................................ 9

3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA PARA ANÁLISES GEOMETRICAMENTE NÃO LINEARES .................... 13

3.1 ANÁLISE LINEARIZADAS ....................................................................................................................... 13

3.2 EFEITOS GEOMETRICAMENTE NÃO LINEARES EM BARRAS .......................................................................... 13

3.2.1 No Domínio ..................................................................................................................... 13

3.2.2 Na Fronteira ................................................................................................................... 15

3.3 ANÁLISE DOS EFEITOS GEOMETRICAMENTE NÃO LINEARES EM BARRAS COM MODELOS CONVENCIONAIS DE EF .. 16

3.4 ANÁLISE DOS EFEITOS GEOMETRICAMENTE NÃO LINEARES EM BARRAS COM MODELOS HMT ......................... 17

3.4.1 Matriz Gv2 ...................................................................................................................... 19

3.4.2 Matriz Gv3 ...................................................................................................................... 20

3.4.3 Determinação de cargas críticas .................................................................................... 20

3.5 EFEITOS GEOMETRICAMENTE NÃO LINEARES EM PLACAS .......................................................................... 21

3.6 ANÁLISE DOS EFEITOS GEOMETRICAMENTE NÃO LINEARES EM PLACAS COM MODELOS CONVENCIONAIS DE EF .. 23

3.7 ANÁLISE DOS EFEITOS GEOMETRICAMENTE NÃO LINEARES EM PLACAS COM MODELOS HMT .......................... 23

4 ANÁLISE DE PÓRTICOS PLANOS ...................................................................................................... 25

4.1 COLUNA SIMPLESMENTE APOIADA SEM DEFORMABILIDADE POR CORTE ....................................................... 25

4.2 COLUNA EM CONSOLA COM DEFORMABILIDADE POR CORTE ...................................................................... 28

4.3 SENSIBILIDADE AO SHEAR LOCKING ....................................................................................................... 30

4.4 TESTES NUMÉRICOS ........................................................................................................................... 30

4.4.1 Coluna em Consola ......................................................................................................... 31

4.4.2 Coluna Bi-Encastrada ..................................................................................................... 32

4.4.3 Coluna Encastrada-Apoiada ........................................................................................... 33

4.4.4 Pórtico em L .................................................................................................................... 34

4.5 ESFORÇOS GEOMETRICAMENTE NÃO LINEARES ....................................................................................... 35

4.5.1 Coluna Simplesmente Apoiada ....................................................................................... 35

4.5.2 Coluna em Consola ......................................................................................................... 37

4.5.3 Pórtico quadrado irregular ............................................................................................. 39

5 ANÁLISE DE PLACAS ........................................................................................................................ 42

5.1 PLACA SIMPLESMENTE APOIADA .......................................................................................................... 42

5.2 LAJE SIMPLESMENTE APOIADA COM DEFORMABILIDADE POR CORTE ........................................................... 45

5.3 TESTES NUMÉRICOS ........................................................................................................................... 46

5.3.1 Placa Simplesmente Apoiada ......................................................................................... 46

5.3.2 Placa Encastrada ............................................................................................................ 48

5.3.3 Placa Simplesmente Apoiada com Bordo Livre .............................................................. 49

2

5.3.4 Placa Simplesmente Apoiada Carregada por Tensões de Corte ..................................... 50

5.3.5 Placa Rectangular Simplesmente Apoiada ..................................................................... 51

5.3.6 Placa Simplesmente Apoiada ......................................................................................... 52

6 CONCLUSÕES .................................................................................................................................. 55

BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 57

ANEXO A .............................................................................................................................................. 58

A.1 – SISTEMA GOVERNATIVO DOS HMT PARA PÓRTICOS PLANOS ..................................................................... 58

A.2 – SISTEMA GOVERNATIVO DOS HMT PARA LAJES ...................................................................................... 64

ANEXO B .............................................................................................................................................. 68

B.1 – POLINÓMIOS DE LEGENDRE ................................................................................................................. 68

B.1.2 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................................................................. 68

B.1.3 – PROPRIEDADES DOS POLINÓMIOS DE LEGENDRE ................................................................................... 68

B.1.4 – FORMULAS GERADORAS DOS POLINÓMIOS DE LEGENDRE ....................................................................... 68

B.1.5 – EXPRESSÕES PARA INTEGRAÇÕES ANALÍTICAS ....................................................................................... 70

ANEXO C .............................................................................................................................................. 73

C.1 – FORMULAS E TEOREMAS ..................................................................................................................... 73

C.1.1 – DIVERGÊNCIA DE UM CAMPO VECTORIAL ............................................................................................ 73

C.1.2 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA .............................................................................................................. 73

C.1.3 – MUDANÇA DE REFERENCIAL ............................................................................................................. 73

ANEXO D .............................................................................................................................................. 74

D.1 – ELEMENTOS CONVENCIONAIS .............................................................................................................. 74

D.1.1 – PÓRTICOS ..................................................................................................................................... 74

D.1.2 – PLACAS ........................................................................................................................................ 74

3

1 Introdução

1.1 Considerações Iniciais

A formulação clássica de Elementos Finitos (EF) [16] é ainda, nos dias de hoje, a

ferramenta de cálculo numérico mais usada no mundo profissional de projecto. Isto deve-se à

robustez matemática da formulação e ao facto das equações do sistema governativo serem

bastante intuitivas, visto se poderem comparar com as do “Método dos Deslocamentos” [5].

Nas formulações não convencionais [16], o sistema governativo não apresenta a priori

nenhuma semelhança com a equação de rigidez, nem qualquer significado físico imediato. Em

todo caso é possível usando a formulação não clássica chegar a uma equação

matematicamente idêntica à do “Método dos Deslocamentos”, mas significado físico diferente

usando uma condensação matricial, sendo esse um dos objectivos deste trabalho.

A razão para o estudo dos modelos Híbridos Mistos de Tensão (HMT) deve-se ao facto

de se tentar ultrapassar as dificuldades dos modelos de EF convencionais [3], que são:

- A soluções obtidas satisfazem apenas as condições de compatibilidade, não se

verificando localmente as condições de equilíbrio quer no domínio, quer na fronteira estática,

quer ao longo da fronteira inter-elementar.

- A qualidade dos resultados depende fortemente da discretização adoptada, o que

implica a utilização de geradores de malhas.

- A discretização da malha depende das condições fronteira e do tipo de

carregamentos.

- Em fenómenos de fendilhação os modelos tendem a ser complexos visto ser

necessário introduzir descontinuidades no campo de deslocamentos.

Ao contrário, os modelos Híbridos Mistos de Tensão possuem as seguintes vantagens

[7,9]:

- O uso de macroelementos permite evitar o uso de geradores de malhas, uma vez que

a discretização se baseia na utilização de macroelementos e onde se necessita apenas de

refinar mais a malha se a geometria da estrutura for mais complexa.

- A distorção dos macroelementos não diminui a qualidade da solução obtida.

- Uma escolha apropriada para os graus de aproximação dos diferentes campos

permite obter soluções “quasi-equilibradas”, com as vantagens que daí decorrem de um ponto

de vista de dimensionamento estrutural.

- Se as funções de aproximação forem ortogonais, tais como se tem no caso dos

polinómios de Legendre, então o sistema governativo pode ser bastante esparso o que

permite a adopção de algoritmos altamente eficazes para o armazenamento e o tratamento

deste tipo de sistemas.

4

- Quando aplicados na análise de lajes de Reissner-Mindlin, os modelos HMT não são

sensíveis ao fenómeno do Shear Locking [3].

- Quando se efectuam análises fisicamente não lineares, estas geralmente evoluem

com base no valor do campo de tensões. Desta forma e tendo em conta que os modelos HMT

permitem a obtenção de uma aproximação bastante precisa para os campos estáticos, é

possível obter modelos robustos e computacionalmente muito competitivos para a análise

deste tipo de problemas.

- O refinamento do tipo p é mais fácil de implementar do que no caso dos EF

convencionais.

Em anos recentes têm vindo a ser desenvolvidos modelos híbridos-mistos de tensão

para a análise estática de estruturas laminares planas, placas e lajes [1,6,7]. Uma das

vantagens associadas à utilização deste tipo de formulação reside na flexibilidade que

possibilita na escolha das funções de aproximação a considerar. Esta característica permite

que sejam considerados conjuntos de funções com propriedades especiais e cuja utilização

não é possível caso se adopte a clássica formulação de deslocamento do método dos

elementos finitos. São exemplos destas funções os monómios, os polinómios ortogonais de

Legendre [7,9] e os sistemas de wavelets [4].

O modelo aqui apresentado diz-se híbrido pelo facto de se aproximar de forma

independente o campo de tensões no domínio e o campo de deslocamentos na fronteira

estática (onde se consideram incluídas as fronteiras inter-elementares), e misto por se

aproximarem simultaneamente o campo de tensões e de deslocamentos no domínio. Todas as

condições fundamentais do problema são impostas ponderadamente na forma de resíduos

pesados.

O modelo diz-se de tensão tendo em conta a forma como são tratadas no domínio as

condições de equilíbrio e de compatibilidade e porque a ligação entre elementos é efectuada

através da imposição ponderada das condições de equilíbrio na fronteira. As ponderações

acima referidas podem ser efectuadas por forma a que a solução obtida possa verificar

localmente as condições de equilíbrio no domínio e/ou na fronteira.

Como não é necessário verificar a priori nenhuma das condições fundamentais do

problema, há uma grande liberdade na escolha das funções de aproximação a utilizar. São

utilizados neste trabalho polinómios ortonormais de Legendre. A exploração das propriedades

destas funções permite a definição de soluções analíticas para todos os operadores estruturais

envolvidos na definição do sistema governativo da estrutura. Evita-se desta forma o recurso a

quaisquer esquemas de integração numérica em análises lineares. Por outro lado, a

estabilidade numérica associada à consideração de polinómios ortonormais de Legendre

permite a utilização de graus elevados na definição da aproximação. Este facto possibilita que

se definam malhas de macro-elementos onde o refinamento da solução se consegue através

da consideração de processos p-adaptativos altamente eficazes. Uma apresentação detalhada

destas funções e dos algoritmos que permitem o cálculo analítico dos integrais pode ser

encontrada em [8].

5

1.2 Objectivos

Os primeiros estudos envolvendo modelos HMT consistiram em análises fisicamente e

geometricamente lineares [9]. Prosseguiu-se de seguida para as análises estáticas fisicamente

não lineares [4] e observou-se uma grande vantagem em relação aos EF convencionais visto se

aproximar o campo dos esforços nos modelos HMT. Assim, e tendo em conta os excelentes

resultados obtidos com os estudos anteriormente desenvolvidos, este é o primeiro trabalho

onde se generalizam os modelos híbridos-mistos de tensão por forma a ser possível a

consideração de efeitos geometricamente não lineares e o cálculo de cargas críticas e modos

de encurvadura através da realização de análises lineares de estabilidade.

O modelo discutido neste trabalho permite realizar análises geometricamente não

lineares para a determinação de cargas críticas em pórticos planos e lajes. É executada uma

análises linear de estabilidade para o cálculo de esforços e cargas críticas, o que significa que

todos os efeitos geometricamente não lineares se encontram “linearizados”.

São apresentadas três hipóteses para a determinação da matriz geométrica associada

aos modelos HMT, onde uma delas envolve a possibilidade da determinação de cargas críticas

com deformabilidade por corte. Foi implementado um programa de cálculo automático em

Matlab [17] para a determinação de cargas críticas e esforços geometricamente não lineares

para pórticos planos. Este permite a determinação dos modos de encurvadura , os diagramas

de esforços e deformadas para os esforços lineares e não lineares e ainda a determinação das

cargas criticas. Para as lajes foi modificado um programa já existente, onde se adicionaram as

respectivas matrizes geométricas e rotinas extra para o cálculo de modos de encurvadura e

respectivas tensões críticas.

Para validar os resultados usaram-se EF convencionais, através do recurso a um

programa comercial SAP2000 [10].

1.3 Organização do Trabalho

No capítulo 2 é apresentada a formulação do problema, tanto para o elemento de barra como

para o elemento de laje. É também formulada a aproximação do modelo HMT para análises

lineares estáticas. No capítulo 3 são formuladas as matrizes geométricas para as análises

geometricamente não lineares, tanto para os EF como para os modelos HMT para os

elementos barra e laje. No capítulo 4 e 5 são executados vários testes para ilustração, e

validação do desempenho dos modelos numéricos apresentados. Para finalizar, no capítulo 6

são apresentadas as conclusões finais e perspectivados desenvolvimentos futuros.

Para que o leitor se familiarize com o sistema governativo dos modelos HMT, este é

apresentado no Anexo A para os pórticos planos. Para as lajes apenas são apresentadas as

matrizes geométricas, estando o sistema governativo detalhado em [8]. No Anexo B é feita

uma introdução aos polinómios de Legendre e seus respectivos integrais, e no Anexo C são

apresentados alguns teoremas matemáticos usados neste trabalho.

6

2 Formulação do Problema para Análises Lineares

2.1 Relações Fundamentais em Problemas de Elasticidade

De acordo com a mecânica dos meio contínuos, as grandezas físicas num corpo

elástico linear e as grandezas que as relacionam podem ser representadas através do diagrama

apresentado na Figura 2-1.

Figura 2-1 – Diagrama com identificação das grandezas físicas envolvidas na análise estrutural.

As condições de equilíbrio, compatibilidade e as relações constitutivas que regem este

problema podem ser expressas do seguinte modo [11]:

Equilíbrio Domínio:

�� � � � 0 (2.1)

Equilíbrio Fronteira:

�� � � � à (2.2)

Elasticidade Linear:

� �� (2.3)

Compatibilidade no Domínio:

� ��� (2.4)

Compatibilidade na Fronteira:

� � �Г � Г� (2.5)

2.2 Elemento Barra

Para os elementos de barra, as grandezas a considerar são as que se listam nos

vectores apresentados na equação (2.6)

� � ����� � ����� � � ����� � � ����� (2.6)

CompatibilidadeEquilíbrio

Cargas

Esforços(s)

Deformações(e)(e=f s)

Elasticidade

(Ds+b(e=D*u)

(b)Deslocamentos

(u)

=0)

7

O operador diferencial de equilíbrio D em análises lineares é dado por:

� � !!!!" 0 0 ##$0 ##$ 0##$ 0 %1'(

((() (2.7)

O operador diferencial de compatibilidade D*, e a matriz de flexibilidade infinitesimal f, são dados por:

�� � !!!!" 0 0 ##$0 ##$ 0##$ 0 1 '(

((() � �

!!!!" 1,- 0 00 1,. 00 0 1/.0'(

((() (2.8)

A matriz com as componentes da normal exterior à fronteira �112, e os vectores que

reúnem as forças prescritas ao longo da fronteira estática t, e os deslocamentos impostos na

fronteira cinemática uΓ, são dados por:

�1126 � 7 0 0 %10 %1 0%1 0 0 8 �1129 � 70 0 10 1 01 0 08 �6 � �:;:<:=� �9 � �:>:?:@� �à � ��A�B�C � (2.9)

O eixo da barra pode rodar em torno do plano, pelo que é necessário ter em conta a

relação entre os referenciais local e global, tal como se encontra representado de forma

esquemática na Figura 2.2. Assim sendo, é necessário projectar as forças com as mesmas

direcções dos deslocamentos independentes, de acordo com (2.10).

�112D� � � � Г (2.10)

D � 7EF� G %�HI G 0�HI G EF� G 00 0 18 (2.11)

Figura 2-2 – Elemento barra.

F2F1

F3

F5

F4

F6

x

w

uq

m

p

q

a

8

Nas definições anteriores, (M,N,V) representam o momento flector, esforço axial e

esforço transverso ao longo da barra e (w,u,θ) o deslocamento transversal, longitudinal e

rotação ao longo da barra. Também ao longo da barra são definidas as componentes de

deformação associadas a cada um dos esforços: curvatura, extensão e distorção (χ,ε,γ). O

vector b define o carregamento transversal, longitudinal e os momentos distribuídos ao longo

do eixo da barra. As propriedades mecânicas do material são definidas através do módulo de

elasticidade E, do coeficiente de poisson υ e área reduzida de corte , .0.

2.3 Elemento de Laje

Figura 2-3 – Laje de Reissner-Mindlin.

No caso das lajes de Reissner-Mindlin, os campos de esforços, de deformações, de

deslocamentos e as forças actuantes no domínio podem ser agrupados nos seguintes vectores

[12]:

� �XYZY[ �\�]�\]^\^] _Y

Ya �XYZY[ �\�]�\]�\�] _Y

Ya � � ��\�]�� � � ��;�<� � (2.12)

Os operadores diferenciais de equilíbrio D e de compatibilidade no domínio D* são

agora dados por [12]:

� � !!!!!" bb$ 0 bbc %1 00 bbc bb$ 0 %10 0 0 bb$ bbc'((

((() �� �

!!!!!!!!!" bb$ 0 00 bbc 0bbc bb$ 01 0 bb$0 1 bbc'(

(((((((() (2.13)

x

buG

Gs

y

V

x

y

m

m

mm

m

m

m

m

v

v

v

v

x

x

x

x

y

y

y

y

xy

xy

xyxy

xydx

dy

dx

dx

dy

dy

x

x

xm

vx

xym

vyxym

ym

yy

++

+

+

+

+

9

A matriz de flexibilidade infinitesimal, f, é dada por [12]:

� � 12,e= !!!!!!" 1 %f 0 0 0%f 1 0 0 00 0 2(1 � f) 0 00 0 0 (1 � f)e<6h 0

0 0 0 0 (1 � f)e<6h '(((((() (2.14)

A matriz com as componentes da normal unitária exterior à fronteira, �112, e os vectores

que reúnem as forças prescritas ao longo da fronteira estática t, e os deslocamentos impostos

na fronteira cinemática uΓ, são dados por [12];

�112 � i\ 0 ] 0 00 ] \ 0 00 0 0 \ ]j � � ��k� ^ � �à � l�Ck�C �A m (2.15)

Nas definições anteriores, w e θx{y} representam o deslocamento transversal e a

rotação ao longo de x{y}, γx{y} a distorção no plano (x,z){(y,z)}, χx{y} a curvatura de flexão ao

longo de x{y}, χxy a curvatura de torção, mx{y} o momento flector ao longo de x{y} e mxy, o

momento torsor. As características mecânicas são: o módulo de elasticidade E, o coeficiente

de poisson υ e o factor de corte, h. Em relação ás características geométricas, h corresponde a

espessura da laje.

2.4 Modelos de Elementos Finitos Híbridos Mistos de Tensão

Começa-se por definir o sistema governativo para análises lineares, para poder

generalizar os modelos HMT tanto para as barras como para as lajes.

A formulação de elementos finitos híbrida-mista de tensão (HMT) utilizada neste

trabalho considera duas aproximações distintas e independentes para o campo de esforços e

para o campo dos deslocamentos no domínio, expressas por:

� � tu (2.16)

�v � wv�v (2.17)

As matrizes S e UV reúnem as funções de aproximação no domínio. Os vectores X e qV

listam os pesos das funções de aproximação, os quais constituem as incógnitas do problema. A

estas funções impõe-se apenas, como única restrição, formarem uma base completa e serem

integráveis no domínio.

Na fronteira estática (a qual inclui também as fronteiras entre elementos), é também

aproximada de forma independente o campo de deslocamentos. Define-se desta forma:

�à � w�à (2.18)

10

A matriz UΓ lista as funções de aproximação do campo de deslocamentos na fronteira

estática e o vector qΓ os pesos correspondentes. A representação das matrizes S, UV, UΓ e qΓ, encontram-se no Anexo A para os pórticos planos.

Recorrendo ao método de Galerkin e utilizando como funções de peso as funções de

aproximação do campo dos deslocamentos no domínio, a equação de equilíbrio (2.1) é

estabelecida de uma forma fraca segundo:

|wv (�� � �)#� � 0 (2.19)

|wv �� #� � % |wv �#� (2.20)

|wv �t #�u � % |wv �#� (2.21)

A equação de equilíbrio no domínio pode ser reescrita na forma:

.v u � %}� (2.22)

com:

.v � |wv �t #� (2.23)

}v � |wv �#� (2.24)

A condição de equilíbrio na fronteira é imposta ponderadamente na forma de resíduos

pesados, através da equação (2.25).

| wГ� (�� % �)#Г~ � 0 (2.25)

É possível agora verificar que:

|wГ� �� #Г~ � |wГ� � #Г~ (2.26)

| wГ� (�t) #Г~u � | wГ� � #Г~ (2.27)

A equação de equilíbrio na fronteira no modelo discreto pode ser expressa na forma:

.Г�u � }Г (2.28)

com:

.Г� � |wГ� (�t)#Г~ (2.29)

11

}Г � |wГ� � #Г~ (2.30)

A imposição ponderada das relações de elasticidade é dada pelas seguintes igualdades:

|t ( % ��)#� � 0 (2.31)

o que resulta em:

|t #� � |t �� #� (2.32)

|t #� � |t � t #� u (2.33)

Tendo em conta (2.33), as relações de elasticidade no modelo discreto podem ser

escritas na forma: ,� � :u (2.34)

com

,� � |t #� (2.35)

: � |t � t #� (2.36)

A ponderação da condição de compatibilidade no domínio é dada pelas seguintes

igualdades:

|t ( % ���)#� � 0 (2.37)

|t #� � |t ��� #� (2.38)

A utilização do teorema da divergência permite escrever:

|t #� � %|(�t) � #� � |(�t) � #� � |(�t) � #����������������������������������� ���� � �v

(2.39)

|t #� � %|(�t) w�#� qV � |(�t) wГ#Г� qГ � |(�t) �Г#Г� (2.40)

As condições de compatibilidade no domínio assumem o seguinte formato:

,� � %.v�v � .�à � �Bà (2.41)

com

�BГ � |(�t) �Г#Г� (2.42)

Combinando as equação (2.36) com a (2.41) é possível obter o seguinte sistema

governativo elementar:

12

i : %.Г .v%.Г 0 0.v 0 0 j � � u�Г�v� � � �BГ%}Г%}v� (2.43)

O sistema governativo global tem uma estrutura muito semelhante ao do sistema

governativo elementar e resulta de um processo de espalhamento directo, apresentado de

forma detalhada no Anexo A. A ligação entre elementos é efectuada através da imposição de

uma mesma aproximação para o campo de deslocamentos na fronteira comum a esses

elementos.

Para se obter um sistema de equações com um formato idêntico ao que é obtido com

recurso à formulação clássica do método dos elementos finitos, pode efectuar-se uma

condensação matricial do sistema governativo. Para tal, escreve-se primeiro o sistema

governativo (2.43) na forma:

� :B .C.C 0� � � uB�v� � � }B%}v� (2.44)

com

:B � � : %.�%.� 0 � .C � �.v0 � }B � � �B�%}�� uB � �u��� (2.45)

É então possível obter:

�:BuB � .C�v � }B.C uB � %}v � � � uB � :B�;}B % :B�;.C�v.C (:B�;}B % :B�;.C�v) � %}v � (2.46)

O formato condensado do sistema governativo global vem então dado por:

� ���{�v} � {}} (2.47)

com:

� ��� � .C :B�;.C } � .C :B�;}B � }v (2.48)

Esta equação é formalmente idêntica à do modelo de deslocamento do métodos dos

EF, ou seja, é possível usar os algoritmos de resolução utilizados nas formulações

convencionais. Em todo caso o seu significado físico é completamente diferente, isto porque as

incógnitas qV são apenas pesos das funções aproximação, sem qualquer significado físico

imediato em relação ao elemento finito.

13

3 Formulação do Problema para Análises Geometricamente não Lineares

3.1 Análise Linearizadas

De acordo com [14], para determinar uma carga crítica é apenas necessário usar uma

análise linear de estabilidade com apenas alguns efeitos geometricamente não lineares. Esses

efeitos geometricamente não lineares em análises lineares de estabilidade podem ser

contabilizados escrevendo o equilíbrio na configuração deformada ou considerando

deformações não lineares na relação constitutiva usando o principio da estacionaridade da

energia potencial. Caso se use os dois ao mesmo tempo já se está a sair dos efeitos

linearizados de estabilidade e perdem-se as vantagens associadas ao cálculo linear na

determinação das cargas críticas.

Apesar dos enormes progressos feitos nas análises geometricamente exactas, neste

trabalho essas ideias não foram tidas em conta por dois motivos: primeiro porque não existe

necessidade de se usarem teorias geometricamente exactas na determinação de cargas

críticas, e depois porque no âmbito das aplicações na área da engenharia civil se verifica que

os deslocamentos de 2ª ordem em estruturas correntes são relativamente pequenos.

Existem várias formas alternativas para contabilizar os efeitos geometricamente não

lineares. Pode por exemplo usar-se o princípio da minimização da energia potencial [14], ou

podem escrever-se as condições de equilíbrio na posição deformada, deixando as deformações

sempre lineares [13]. Esta última é a alternativa adoptada no desenvolvimento deste trabalho.

3.2 Efeitos Geometricamente Não Lineares em Barras

3.2.1 No Domínio

Observando a Figura 3-1 e estabelecendo as condições de equilíbrio num troço

infinitesimal da barra, é possível obter as equações (3.1)

Figura 3-1 – Equilíbrio no domínio na posição deformada.

F2

F1

F3

F5

F4

F6

xw

uq

q

H

T

M

T+dT

H+dH

M+dM

q(x)

ww+dw

dx

p

m

p(x)

m(x)

14

XYZY[�:v � D % D % #D % �#$ � 0 �:� � %� � � � #� � �#$ � 0 �� � %(D � #D)#$ � (� � #�)#� % � � � � #� % �#$<2 � � � 0

� (3.1)

Desprezando os infinitésimos de ordem superior, é possível escrever:

XYZY[#D#$ � � � 0#�#$ � � � 0#�#$ % D � � #�#$ � � � 0

� (3.2)

Estas são as equações de equilíbrio para barras sem deformabilidade por corte, onde a

orientação dos eixos de esforço transverso é sempre perpendicular ao eixo na posição

indeformada da barra.

Caso se pretenda contabilizar a carga crítica incluindo o efeito da deformabilidade por

corte, é importante orientar os eixos na posição deformada. Admitiu-se os eixos dos esforços

na posição deformada perpendicular às fibras na posição deformada em relação ao ângulo α�dw/dx, em conformidade com [13].

Figura 3-2 – Rotação dos eixos na posição deformada.

D � �EF�(G) � ��HI(G) ¢ � � �G (3.3)

� � %��HI(G) � �EF�(G) ¢ %�G � � (3.4)

Rescreve-se assim a equação (3.2) da seguinte maneira:

XYZY[ �v�\ � ��\ £� �¤�\¥ � � � 0�¦�\ % ��\ £� �¤�\¥ � � � 0�§�\ % (� � �G) � (%�G � �) �¤�\ � � � 0 �

XYZY[ �v�\ � ��\ £� �¤�\¥ � � � 0�¦�\ % � �¨¤�\¨ % �v�\ �¤�\ � � � 0

�§�\ % � % � £�¤�\¥< � � � 0�� (3.5)

Como foi indicado anteriormente, desprezam-se sempre os termos de ordem

quadrática:

© � ª#�#$«< ¬ 0 (3.6)

T

H

NV

a

15

Para a determinação de cargas críticas com uma análise linear de estabilidade, apenas

se admite que o esforço axial possa provocar efeitos de 2ª ordem. Assim sendo, desprezam-se

todas as parcelas do esforço transverso que possam produzir efeitos geometricamente não

lineares, o que resulta em:

©XYZY[ #�#$ � ##$ ª� #�#$« � � � 0#�#$ � � � 0#�#$ % � � � � 0

� (3.7)

Rescreve-se assim a equação (2.1) com as parcelas geometricamente não lineares,

definindo o seguinte operador:

­� � ® ##$ ª� ##$« 0 00 0 00 0 0¯ (3.8)

�� � � � ­v� � 0 (3.9)

3.2.2 Na Fronteira

Também é necessário usar impor a rotação dos eixos com a posição deformada na

fronteira,

:; � %�° EF�(G) % �° �HI(G) ¬ %�° % �°G:< � �° �HI(G) % �° EF�(G) ¬ �°G % �°:= � %�° (3.10)

:> � �± EF�(G) � �± �HI(G) ¬ �± � �±G:? � %�± �HI(G) � �± EF�(G) ¬ %�±G � �±:@ � �± (3.11)

Figura 3-3 – Equilíbrio na fronteira na posição deformada.

F2

F1

F3

F5

F4

F6

V0

N0

M0

ML

NL

VL

16

!!!!"

0 0 %10 %1 0%1 0 00 0 10 1 01 0 0 '(((() �

!!!!"�° �°�°�± �±�± '((

(() � !!!!"%�° 0 00 0 00 0 0�± 0 00 0 00 0 0'((

(() !!!!"G° �°�°G± �±�± '((

(() � !!!!":; :<:=:> :?:@ '((

(() (3.12)

Rescreve-se assim a equação (2.2) com as parcelas geometricamente não lineares,

definindo os seguintes operadores

­Г � !!!!"%1 0 00 0 00 0 01 0 00 0 00 0 0'(

((() (3.13)

�112 � � �­Г�Г � � (3.14)

3.3 Análise dos Efeitos Geometricamente Não Lineares em Barras com Modelos Convencionais de EF

Neste capítulo apenas se pretende demonstrar as semelhanças que existe nos passos

de dedução do sistema governativo dos modelos de EF convencionais em comparação com os

modelos HMT. Na formulação clássica de EF apenas se aproximam os campos de

deslocamentos no domínio:

� � ²� (3.15)

Ponderando as equações de equilíbrio no domínio deduz-se:

|² (�� � �)#� ��������������I´µ¶· ¶¸ Lº»¼¶½

| ² (­v�)#� � 0 (3.16)

Olhando apenas para as parcelas dos efeitos geometricamente não lineares,

|² (­v�)#� � 0 (3.17)

e usando o teorema da divergência

|² �­v�#� � |² �(�112­;�)#Г % |(­;²) �­;�#� (3.18)

Substituindo o campo dos deslocamentos pelas respectivas aproximações, define-se a

matriz geométrica GV.

� |² �(�112­;�)#Г�����������¿

% |(­;²) �­;²#������������ÀÁ� � 0

(3.19)

17

Adicionando os termos da análise linear chega-se à equação de equilíbrio (3.20).

Acontece que nos EF convencionais a parcela denotada em (3.19) por F desaparece quando o

sistema governativo global é construído, visto estas serem formulações compatíveis que

asseguram a continuidade do campo de deslocamentos ao longo das fronteiras cinemáticas e

fronteiras inter-elementares [3].

(� � /v)� � } (3.20)

3.4 Análise dos Efeitos Geometricamente Não Lineares em Barras com Modelos HMT

Para os modelos HMT vão ser propostos três formatos alternativos para a matriz

geométrica, onde cada um parte de uma hipótese diferente de cálculo. A matriz GV1 parte dos

mesmos pressupostos dos adoptados para a dedução da matriz geométrica com elementos

finitos convencionais.

Ponderando as equações de equilíbrio no domínio, deduz-se que:

| w�� (�� � � � ­��)#� � 0 (3.21)

Usando os mesmos passos dos elementos finitos convencionais, que envolve o uso do

teorema da divergência na parcela geometricamente não linear, define-se a matriz geométrica GV1 para os HMT. Desenvolvendo a equação (3.25), obtém-se sucessivamente:

|wv �t#� ���������ÃÁ�

u % |(­;wv) �­;wv#��������������ÀÁÄ�v � %| wv �#��������ÅÁ

% |wV �(�112­;w�)#Г���������������ÅÆÄ

(3.22)

� .vu % /v;�v � % }v % /�;�� � .vu % /v;�v � /�;�� � % }v

(3.23)

Ao contrário dos EF convencionais, nos HMT os valores de /�;�� � : não

desaparecem do sistema governativo quando é efectuada a reunião das equações

elementares.

Ponderando as condições de equilíbrio ao longo da fronteira estática é possível

escrever:

|wГ Ç�112 � � �­Г�Г % �È#Г� � 0 (3.24)

Substituindo o campo dos esforços e deslocamentos na fronteira pelas respectivas

aproximações obtém-se:

� |wГ (�112 tu � �­ГwГ�Г % �)#Г � 0 (3.25)

18

� |wГ �112t#Г�������ÃГ�

u % |wГ �#Г �������ÅГ� |wГ (�­ГwГ�Г)#Г�������������ÀГ�

� 0 (3.26)

� .Г u � }Г � /Г �Г � 0 (3.27)

Na elasticidade admitiu-se que as deformações são sempre lineares, ou seja

desprezou-se os termos de ordem superior no tensor das deformações. Assim sendo, as

ponderações são as mesmas dos modelos HMT para análises lineares, ficando deste modo

definido o sistema governativo dos HMT para análises estáticas lineares de estabilidade:

i : %.Г .v%.Г /Г 0.v /�; %/v;j � � u�Г�v� � � �B%}Г%}v� (3.28)

Este sistema governativo tem a desvantagem de não ser simétrico, tendo já sido

estudado em [2]. Verificou-se que este sistema é computacionalmente muito pesado para a

determinação de cargas críticas. Para tentar ultrapassar esta desvantagem vai utilizar-se uma

hipótese simplificativa a qual corresponde a assumir que à medida que se consideram

aproximações mais refinadas as parcelas GΓ e GΓ1 tendem a ser desprezáveis no sistema

governativo. Isto acontece porque à medida que se consideram discretizações mais refinadas

se tende a obter uma mesma aproximação para o campo de deslocamentos na fronteira, quer

se considere a aproximação definida no domínio, que se considere a aproximação

directamente definida ao longo dessa mesma fronteira. Define-se desta forma:

i : %.Г .v%.Г 0 0.v 0 %/v;j � � u�Г�v� � � �B%}Г%}v� (3.29)

Um problema que surge associado a esta simplificação, é que se torna por vezes difícil

obter uma correcta modelação para o esforço transverso geometricamente não linear nas

zonas de transição entre o domínio e a fronteira. Esta desvantagem vai ser bem visível nos

exemplos apresentados na secção 4.5.1.

A razão para executar este passo é poder usar a condensação matricial referida no

capítulo 2.4, e assim chegar a um sistema governativo matematicamente idêntico ao dos EF

convencionais. Efectuando a referida condensação matricial verifica-se que:

(� � /v;)�v � } (3.30)

Em todo caso este sistema governativo é fisicamente diferente dos EF convencionais

visto o valor dos pesos dos deslocamentos no domínio não terem qualquer semelhança com os

deslocamentos dos nós.

19

3.4.1 Matriz Gv2

Usa-se neste caso a equação (3.2) para formular as equações de equilíbrio no domínio.

Com esta opção, as condições de equilíbrio na fronteira ficam semelhantes às que são

definidas para as análises lineares, sendo esta uma vantagem em termos de formulação.

Define-se assim o operador de equilíbrio LV2 e admite-se a designação de novos eixos T�V e H�N.

XYZY[#�#$ � � � 0#�#$ � � � 0#�#$ % � � � #�#$ � � � 0

� (3.31)

­2 � ® 0 0 00 0 0##$ 0 0¯ �� � � � �­2� � 0 (3.32)

Ponderando as equações de equilíbrio no domínio obtém-se:

| w�� (�� � � � �­2�)#� � 0 (3.33)

Desenvolvendo a equação (3.37) obtém-se:

� |wv �t#� ���������ÃÁ�

u � |wv �­<wv#������������ÀÁ¨�v � %|wv �#��������ÅÁ

(3.34)

Depois de montado o sistema governativo observa-se que o sinal da matriz geométrica

mudou em relação ao sistema governativo (3.30) e que se perde a condição de determinação

de cargas críticas com deformabilidade por corte. Verifica-se também que esta matriz não é

simétrica, pormenor que não influencia a convergência do modelo, apenas tornando mais

demorado o processo de resolução.

i : %.Г .v%.Г 0 0.v 0 /v<j � � u�Г�v� � � �B%}Г%}v� (3.35)

Este sistema também pode ser condensado matricialmente, exactamente como em

(3.30), resultando:

(� % /v<)�v � } (3.36)

20

3.4.2 Matriz Gv3

Usa-se neste caso a equação (3.2) para formular as equações de equilíbrio no domínio

com α�-θ. Este possui as mesmas vantagens e desvantagens da matriz GV2. Define-se assim o

operador de equilíbrio LV3.

XYZY[#�#$ � � � 0#�#$ � � � 0#�#$ % � % �� � � � 0

� (3.37)

­= � 70 0 00 0 00 0 18 �� � � % �­=� � 0 (3.38)

A imposição ponderada das condições de equilíbrio (2.19) conduz à definição da matriz

geométrica GV3.

| wv �t#� ���������ÃÁ�

u % |wv �­=wv#������������ÀÁÎ�v � %|wv �#��������ÅÁ

(3.39)

Este formato possui ainda as seguintes vantagens adicionais: o sistema governativo é

simétrico e caso o esforço normal N seja constante a matriz geométrica é totalmente diagonal,

o que é especialmente eficaz na resolução do problema de vectores e valores próprios

envolvido na determinação das cargas críticas e dos modos de encurvadura.

O sistema governativo pode escrever-se neste caso na seguinte forma:

i : %.Г .v%.Г 0 0.v 0 %/v=j � � u�Г�v� � � �B%}Г%}v� (3.40)

Este sistema também pode ser condensado matricialmente exactamente como em

(3.30) resultando:

(� � /v=)�v � } (3.41)

3.4.3 Determinação de cargas críticas

O problema da determinação de cargas críticas consiste num simples problema de

valores e vectores próprios num ponto de bifurcação [14]. Tanto para os modelos de EF

convencionais como para os modelos HMT estas são determinadas com as equações

#�� � Ï/v � 0 (3.42)

#�(� � Ï/v;) � 0 (3.43)

21

#�(� % Ï/v<) � 0 (3.44)

#�(� � Ï/v=) � 0 (3.45)

Os valores próprios são dados por λ e os vectores próprios por qV. Os valores iniciais de N são determinados com base numa análise elástica linear com cargas unitárias.

3.5 Efeitos Geometricamente Não Lineares em Placas

Neste caso apenas se vão escrever as equações de equilíbrio no domínio, visto no

capítulo 3.4 se ter desprezado o efeito geometricamente não linear do equilíbrio na fronteira

para a matriz GV1. Neste trabalho apenas se determinam tensões críticas em lajes, onde a

única carga considerada é o esforço de membrana inicialmente existente.

Considerando o elemento de placa na sua configuração inicial e deformada, tal como

se encontra representado na Figura 3-4, deduz-se o equilíbrio na posição deformada, usando o

somatório de forças verticais e momentos totais [kN e kNm]. Maiores detalhes desta dedução

podem ser encontrados em [13], onde hij�σij x espessura. Admite-se como nula a carga

transversal aplicada no domínio da laje, q(x,y)�0.

Figura 3-4 – Equilíbrio no domínio na posição deformada do elemento placa.

w

y

x

A

dy

dx

mxy+dmxy

my+dmy

vy+dvy

mxy

my

vy

mxy

mxvx

mxy+dmxy

mx+dmx

vx+dvx

q(x,y)

hxy+dhxy

hy+dhy

hxy

hy

hxy+dhxy

hx+dhx

hxy

hx

22

XYYZYY[b^\b$ � b^]bc � 0b�\b$ � b�\]bc % ^\ � e\ b�b$ � e\] b�bc � 0b�\b$ � b�\]bc % ^] � e] b�bc � e\] b�b$ � 0

� (3.46)

O equilíbrio na posição deformada das placas pode ser escrito na seguinte forma:

�� � � � ­<� � 0 ­< � !!!"0 0 e\ bb$ � e\] bbc0 0 e]\ bb$ � e] bbc0 0 0 '(

(() (3.47)

Caso se pretenda contabilizar a deformabilidade por corte no cálculo da carga crítica,

então é necessário orientar os eixos na posição deformada em conformidade com a orientação

das fibras normais flectidas. E admitindo que o esforço de membrana é constante, chegamos

assim a uma nova equação de equilíbrio:

XYYZYY[b^\b$ � b^]bc � I\ b<�b$< � I\] b<�b$bc � I] b<�bc< � 0b�\b$ � b�\]bc % ^\ � 0b�\b$ � b�\]bc % ^] � 0

� (3.48)

�� � � � ­v� � 0 (3.49)

Resultando no seguinte operador de equilíbrio na posição deformada:

­v � ®0 0 00 0 00 0 I\ b<b$< � I\] b<b$bc � I] b<bc<¯

23

3.6 Análise dos Efeitos Geometricamente Não Lineares em Placas com Modelos Convencionais de EF

É possível usar os mesmos passos da dedução das barras para as matrizes geométricas

das placas. Contudo, também seria possível deduzir a matriz geométrica dos EF convencionais

[13] usando princípios energéticos. Deste modo definem-se os seguintes operadores para as

lajes:

­; � !!!!"0 0 00 0 00 0 bb$0 0 bbc'(

((() I � !!

"0 0 0 00 0 0 00 0 I\ I\]0 0 I\] I] '(() (3.50)

Assim sendo esta tem a seguinte forma para as lajes de Reissner Mindlin, onde o

sistema governativo toma a mesma forma das barras. Ou seja apesar dos valores da matriz do

esforço axial de membrana n e do operador L1 serem diferentes das barras, o significado

matemático da matriz geométrica GV é comum.

/v; � |(­;wv) I­;wv#� (3.51)

(� � /v;)�v � } (3.52)

3.7 Análise dos Efeitos Geometricamente Não Lineares em Placas com Modelos HMT

Exactamente como nos EF convencionais, a dedução das matrizes geométricas em

placas com os modelos HMT segue os mesmos passos das barras. A matriz GV1 parte dos

mesmos pressupostos dos adoptados para a dedução da matriz geométrica com elementos

finitos convencionais. Na matriz GV2 admite-se que o esforço de corte se mantém sempre

perpendicular ao eixo inicial da superfície média da placa na posição indeformada. Por fim, na

matriz GV3 admite-se o mesmo pressuposto anterior e que dw/dx�-θx e dw/dy�-θy. Deste

modo definem-se os seguintes operadores e as respectivas matrizes geométricas:

­< � !!!"0 0 I\ bb$ � I\] bbc0 0 I\] bb$ � I] bbc0 0 0 '(

(() ­= � 7 %I\ %I\] 0%I\] %I] 00 0 08 (3.53)

/v; � |(­;wv) I­;wv#� (3.54)

/v< � |wv ­<wv#� (3.55)

24

/v= � |wv ­=wv#� (3.56)

Exactamente como nos EF convencionais, também estas matrizes geométricas têm o

mesmo significado matemático no sistema governativo anteriormente apresentado no

capítulo 3.4. Também é possível aplicar exactamente a mesma condensação matricial das

barras e respectivos algoritmos para o cálculo de valores e vectores próprios para a

determinação de tensões críticas. Maiores detalhes da construção das matrizes geométricas

com os modelos HMT encontram-se apresentadas no Anexo A.

25

4 Análise de Pórticos Planos

Neste capítulo apresentam-se e discutem-se vários testes para validar os modelos

propostos e para aferir a respectiva eficácia numérica na determinação de cargas críticas,

modos de encurvadura e esforços geometricamente não lineares em pórticos planos.

Começou-se por efectuar uma análise da eficiência da discretização tipo p- quando comparada

com uma discretização tipo h- para a barra simplesmente apoiada. É de seguida executado um

teste para a determinação de cargas críticas com deformabilidade por corte. É também

apresentado um teste para se demonstrar a não ocorrência de Shear Locking com os modelos

HMT. São apresentados vários exemplos de determinação de cargas críticas com os modelos

HMT e EF convencionais e comparados com as respectivas formulas teóricas conhecidas, para

barras sem deformabilidade por corte. Os resultados para os EF convencionais foram obtidos

por recurso ao programa comercial SAP2000. Por final são executados vários testes para aferir

a eficácia dos HMT em determinar os esforços geometricamente não lineares em pórticos.

4.1 Coluna Simplesmente Apoiada sem Deformabilidade por Corte

Neste exemplo efectua-se a de uma barra simplesmente apoiada, onde se pretende

demonstrar as vantagens numéricas do uso dos macroelementos. São ainda apresentados os

vários modos de encurvadura obtidos com uma discretização envolvendo a consideração de 2

elementos, de modo a poder mostrar a violação das condições de compatibilidade que pode

ocorrer quando se utilizam modelos HMT. Considera-se a coluna apresentada na Figura 4-1

Figura 4-1 – Coluna simplesmente apoiada comprimida.

ÚÛÜ � Ý<I< ,-­< (4.1)

Na equação (4.1) é apresentado o valor teórico da carga crítica duma coluna

simplesmente apoiada, sem deformabilidade por corte. O valor de L é o comprimento do vão

da coluna e n o valor do modo de encurvadura para o qual se quer determinar a carga crítica.

Para a comparação de resultados na determinação da carga crítica, considerou-se a

discretização referida na Tabela 4-1. Para mostrar a eficácia dos macro elementos, atribui-se

um maior numero de graus de liberdade aos elementos com menores dimensões.

9 m

E=210 GPa

A=0,01 m

I=0,001 m

u=0,2

2

4

F=5/6

P

26

Grau Aproximação Polinómio

Discretizações Graus Liberdade M N V

A1 (1 elemento) 56 13 2 13

A12 (2 elementos) 64 7 2 7

A14 (4 elementos) 80 4 2 4

A18 (8 elementos) 96 2 2 2

Tabela 4-1 – Discretizações adoptadas.

Para os graus de aproximação dos deslocamentos, e para evitar algum problema

associado à existência de dependências no sistema governativo global, usou-se um grau abaixo

dos respectivos esforços. Na discretização A1 considerou-se apenas 1 único elemento. Os

valores da carga crítica estão associados a cada um dos modos de encurvadura, comparando-

se os resultados obtidos com os valores teóricos.

Os resultados obtidos para a determinação do valor absoluto do erro (isto porque os

HMT apresentam tanto majorantes como minorantes da carga crítica) entre a carga crítica

teórica e a carga crítica numérica, para as várias matrizes geométricas são apresentados de

seguida em escala logaritmica. No caso do erro ser 100% é porque não foi possível determinar

a carga crítica desse modo de encurvadura

Figura 4-2 – Erro da carga crítica com a matriz geométrica GV1.

Figura 4-3 – Erro da carga crítica com a matriz geométrica GV2.

0,0010%

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Erro

(%)

Modo de Encurvadura

Erro A1

Erro A12

Erro A14

Erro A18

0,0000%

0,0000%

0,0001%

0,0100%

1,0000%

100,0000%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Erro

(%

)

Modo de Encurvadura

Erro A1

Erro A12

Erro A14

Erro A18

27

Figura 4-4 – Erro da carga crítica com a matriz geométrica GV3.

Os resultados são idênticos nos 3 casos. O macro elemento para os primeiros modos

de encurvadura é sempre o mais eficiente, mas para elevados modos de encurvadura os

resultados acabam por ser semelhantes. Verifica-se também que o macro elemento é mais

eficaz com a matriz geométrica GV3. Apresenta-se de seguida as deformadas para a

discretização A12 os 12 primeiros modos de encurvadura obtidos considerando a matriz

geométrica GV 3:

Figura 4-5 – Modos de encurvadura obtidos com a discretização A12 para GV3.

0,0000%

0,0000%

0,0000%

0,0010%

0,1000%

10,0000%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Erro

da(

%)

Modo de Encurvadura

Erro A1

Erro A12

Erro A14

Erro A18

28

Observa-se que as deformadas dos modos de encurvadura são coerentes com a

fronteira cinemáticas até ao 7º modo, visto este ultimo já ter violado a imposição do

deslocamento horizontal nulo no apoio. Também se observa que a partir do 7º modo se perde

a compatibilidade no nó central.

4.2 Coluna em Consola com Deformabilidade por Corte

Determinou-se a carga crítica com deformabilidade por corte usando a matriz

geométrica GV1 e os EF convencionais para diferentes tipos de discretização. Para a

determinação da carga crítica teórica com deformabilidade por corte usou-se a hipótese da

viga de Timoshenko dw/dx=α, ou seja o corte é perpendicular à fibra de flexão pura na posição

deformada.

Apresenta-se em (4.2) a carga crítica teórica duma consola com deformabilidade por

corte. A dedução desta equação [13] parte dos mesmos pressupostos, da determinação

numérica de cargas críticas com deformabilidade por corte usados neste trabalho

Figura 4-6 – Coluna comprimida.

ÚÞ � Ý< ,-­< ÚÛÜ � ÚÞ1 � ÚÞ/.Û

(4.2)

Consideraram-se as seguintes discretizações da Tabela 4-1para os campos de esforços

M e V, onde o N tomou sempre o valor de grau 2. Para os graus de aproximação dos

deslocamentos, e para evitar dependências no sistema governativo usou-se um grau abaixo do

que é utilizado na aproximação dos respectivos esforços. Para os EF convencionais usou-se o

mesmo número total de graus de liberdade dos modelos HMT para cada uma das

discretizações adoptadas, tornando possível deste modo uma comparação directa entre os

valores da determinação de cargas críticas com deformabilidade por corte com os modelos

HMT e com os EF convencionais. O valor da discretização adoptada para os modelos HMT e o

número de graus de liberdade usados encontram-se representados na Tabela 4-2. O gráfico da

comparação em escala logaritmica do valor do erro da determinação da carga crítica com os

modelos de EF convencionais e com os modelos HMT encontra-se apresentado na Figura 4-7.

9 m

P

E=210 GPa

A=0,01 m

I=0,001 m

u=0,2

2

4

F=5/6

29

Grau para nM e nV Discretização Graus de liberdade

com os HMT

3 a 16

4 b 20

5 c 24

6 d 28

7 e 32

8 f 36

9 g 40

10 h 44

50 i 204

Tabela 4-2 – Discretizações adoptadas.

Figura 4-7 – Gráfico do erro da carga crítica com deformabilidade por corte.

Verifica-se que os EF convencionais apresentam uma maior rapidez de convergência

que os modelos HMT. O problema da convergência deve-se ao facto da matriz geométrica GV1

não ser muito eficaz, como demonstrado no exemplo 4.1, por apresentar o mais baixo índice

de convergência.

Apresentam-se de seguida as deformadas da discretização d) para os 6 primeiros modos de

encurvadura determinados com recurso à matriz geométrica GV 1:

Figura 4-8 – Modos de encurvadura da consola.

0,0000%

0,0001%

0,0010%

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

a b c d e f g h i

Erro

(%)

Tipo de Discretização

GV1

EF convencionais

30

Verifica-se que os modos de encurvadura são coerentes com as fronteiras cinemáticas

até ao 3º modo, visto que a partir deste último já se começa a violar a condição de rotação

nula na base. Isto demonstra mais uma vez alguma ineficácia da matriz geométrica GV1 em

determinar correctamente os modos de encurvadura, mesmo para discretizações envolvendo

um elevado número de graus de liberdade.

4.3 Sensibilidade ao Shear Locking

Nos modelos HMT, o fenómeno do Shear Locking não ocorre [8]. Para ilustrar a não

ocorrência deste efeito, varia-se a espessura da coluna e determina-se para cada caso o

quociente entre o valor das cargas críticas teóricas (com vigas sem deformabilidade por corte)

e o valor das cargas críticas determinadas numericamente com GV1 (com deformabilidade por

corte).

ßáEHF � ÚÛÜ(�óâHEF)ÚÛÜ(I��éâHEF) (4.3)

Considerou-se os seguintes graus de aproximação para os esforços: M-9,N-2,V-9. Para

os respectivos deslocamentos, e para evitar alguma dependência no sistema governativo usou-

se um grau abaixo dos esforços respectivos.

Figura 4-9 – Gráfico do rácio em função da esbelteza.

Verifica-se que à medida que a esbelteza vai aumentando o valor do rácio tende para a

unidade, o que significa que não se verifica a existência de Shear Locking quando se utilizam os

modelos HMT.

4.4 Testes numéricos

Para a análise da determinação de cargas críticas sem deformabilidade por corte

consideram-se as diversas estruturas apresentadas nos capítulos seguintes. Calculou-se a carga

crítica para estruturas usando os modelos HMT, com a matriz geométrica GV1, GV2, GV3 e com

recurso ao programa SAP2000 para os elementos finitos convencionais. As malhas tipo usadas

para os elementos finitos convencionais estão representadas no Anexo D. Comparam-se os

resultados em relação ao valor das cargas críticas teóricas e a sua variação em função do tipo

0,991

1,011,02

1,03

20 30 40 45 50 60 90

Rác

io P

e/P

cr

Esbelteza

Pe/Pcr

31

de discretização p- para os HMT. O Tipo de discretização varia segundo os graus de

aproximação como referido na Tabela 4-1 no capítulo 4.2.

4.4.1 Coluna em Consola

Considera-se a coluna apresentada na Figura 4-10 em conjunto com as suas

características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,

considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.

Figura 4-10 – Coluna em Consola.

O valor teórico da carga critica duma consola é dado por:

ÚÛÜ � Ý< ,-4­< (4.4)

Figura 4-11 – Erro da carga crítica em função da discretização.

No caso da barra em consola verifica-se uma convergência rápida do elemento HMT

com GV3, em comparação com os outros casos. Os EF convencionais são mais eficientes com

9 m

P

E=210 GPa

A=0,01 m

I=0,001 m

u=0,2

2

4

F=5/6

0,0000%

0,0000%

0,0000%

0,0001%

0,0100%

1,0000%

a b c d e f g h i

Erro

(%

)

Tipo de Discretização

GV1

GV2

GV3

EF

32

menos graus de liberdade que os HMT com GV1 e GV2, mas para maior refinamento o GV2, apresenta melhores resultados para maiores graus de discretização.

4.4.2 Coluna Bi-Encastrada

Para este exemplo considera-se a coluna apresentada na Figura 4-12 em conjunto com

as suas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por

corte, considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.

Figura 4-12 – Coluna bi-encastrada.

O valor teórico da carga critica duma coluna bi-encastrada é dado por:

ÚÛÜ � Ý< ,-0,25­< (4.5)

Figura 4-13 – Erro da carga crítica em função da discretização.

No caso da barra encastrada - encastrada deslizante verifica-se uma convergência

semelhante dos elementos HMT com GV1, GV2 e GV3, sendo no entanto esta última opção

ligeiramente melhor. Os EF convencionais são sempre mais eficientes com menos graus de

9 m

P

E=210 GPa

A=0,01 m

I=0,001 m

u=0,2

2

4

F=5/6

0,0000%

0,0000%

0,0000%

0,0001%

0,0100%

1,0000%

a b c d e f g h i

Erro

(%

)

Tipo de Discretização

GV1

GV2

GV3

EF

33

liberdade que os modelos HMT com GV1. Verifica-se também que os EF convencionais

apresentam menores erros com menores graus de liberdade.

4.4.3 Coluna Encastrada-Apoiada

Testa-se neste exemplo a coluna apresentada na Figura 4-14 em conjunto com as suas

características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,

considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.

Figura 4-14 – Coluna encastrada-apoiada.

O valor teórico da carga critica é dado por:

ÚÛÜ � Ý< ,-0.699155575­< (4.6)

Figura 4-15 – Erro da carga crítica em função da discretização.

No caso da barra encastrada-apoiada os elementos EF convencionais são mais

eficientes que os elementos HMT. Estes, para graus de aproximação elevados, com GV2, e GV3 , apresentam uma convergência assinalável. Os elementos HMT com GV1, apresentam os piores

resultados, tendo erros acima dos 1% para discretizações “abaixo” da d).

9 m

P

E=210 GPa

A=0,01 m

I=0,001 m

u=0,2

2

4

F=5/6

0,0000%

0,0001%

0,0010%

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

a b c d e f g h i

Erro

da

(%)

Tipo de Discretização

GV1

GV2

GV3

EF

34

4.4.4 Pórtico em L

Considera-se a coluna apresentada na Figura 4-16, em conjunto com as suas

características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,

considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.

Figura 4-16 – Pórtico em L.

Neste exemplo o valor da carga crítica PCR foi determinada com base nas funções de

estabilidade referidas em [14].

Figura 4-17 – Erro da carga crítica em função da discretização.

No caso do pórtico representado acima, os elementos EF convencionais são os mais

eficientes. Apenas com o aumento dos graus de aproximação, os elementos HMT vão

apresentar uma convergência semelhante, mas mesmo assim com piores resultados. Mais uma

vez se verifica que a matriz geométrica GV3 fornece os melhores resultados

9 m

9 m

P

P

E=210 GPa

A=0,01 m

I=0,001 m

u=0,2

2

4

F=5/6

0,000%

0,000%

0,001%

0,010%

0,100%

1,000%

10,000%

a b c d e f g h i

Erro

(%

)

Tipo de Discretização

GV1

GV2

GV3

EF

35

4.5 Esforços Geometricamente Não lineares

Usando a mesma estrutura dos exemplos anteriores, calcularam-se esforços e

deslocamentos não lineares usando os modelos HMT e os EF convencionais. Os valores

teóricos foram comparados com os de uma análise linear de estabilidade [14].

4.5.1 Coluna Simplesmente Apoiada

Considera-se a coluna apresentada na Figura 4-18 em conjunto com o seu

carregamento e as suas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra

deformabilidade por corte, considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.

Figura 4-18 – Coluna simplesmente apoiada.

Para a determinação dos esforços e deslocamento geometricamente não lineares

considerou-se que as cargas actuantes na Figura 4-18 são: q=10kN/m e P=2/3PCR.

Figura 4-19 – Gráfico do erro do momento flector a ½ vão da coluna simplesmente apoiada.

9 m

P

q

E=210 GPa

A=0,1 m

I=0,001 m

u=0,2

2

4

F=5/6

0,00000%

0,00000%

0,00010%

0,01000%

1,00000%

a b c d e f g

Erro

(%

)

Tipo de discretização

GV1

GV2

GV3

EF

36

Figura 4-20 – Gráfico do erro do deslocamento no centro da coluna simplesmente apoiada.

Verifica-se que os modelos HMT produzem em geral melhores resultados tanto para o

momento flector como para os deslocamentos geometricamente não lineares, em

comparação com os EF convencionais. O andamento de esforços e a deformada obtidos com a

matriz geométrica GV3 e com a discretização d) está representado na figura 4-21, onde azul se

apresenta os resultados de 1ª ordem, e a vermelho os resultados não lineares.

Figura 4-21 – Diagramas de esforços M,N,V e deformada w com consideração da matriz

geométrica GV3.

Observa-se que quando se considera a matriz geométrica GV3 apenas engloba os

esforços não lineares para os momentos flectores e deslocamentos transversais, isto porque

os eixos dos esforços se mantêm na posição inicial não deformada, ou seja não engloba a

rotação do eixo do esforço transverso na posição deformada. Em todo caso, observando a

Figura 4-22, verifica-se que a consideração da matriz geométrica GV1 para a discretização i)

consegue estimar os esforços não lineares para o esforço transverso, mas visto não se ter

considerado os efeitos geometricamente não lineares na fronteira estática, verifica-se que os

resultados apresentam uma instabilidade quando se aproximam da fronteira. De acordo com

[2] caso se considere os efeitos geometricamente não lineares na fronteira estática, já é

possível obter com sucesso os esforços transversos não lineares. É possível constatar este

facto observando a Figura 4-22, onde se verifica claramente a instabilidade da solução ao

longo da barra.

0,00000%

0,00010%

0,01000%

1,00000%

100,00000%

a b c d e f g

Erro

(%

)

Tipo de discretização

GV1

GV2

GV3

EF

37

Figura 4-22 – Resultados da discretização i) para a matriz GV1 sem e com efeitos

geometricamente não lineares na fronteira estática.

4.5.2 Coluna em Consola

Testa-se neste exemplo a coluna apresentada na Figura 4-23 em conjunto com o seu

carregamento e as suas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra

deformabilidade por corte, considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.

Figura 4-23 – Coluna em consola.

Para a determinação dos esforços e deslocamento geometricamente não lineares

considerou-se que as cargas actuantes na Figura 4-23 são Q=10kN e P=2/3PCR.

9 m

P

Q

E=210 GPa

A=0,1 m

I=0,001 m

u=0,2

2

4

F=5/6

38

Figura 4-24 – Gráfico do erro do momento flector na base da coluna em consola.

Figura 4-25 – Gráfico do erro do deslocamento no topo da coluna em consola.

Verifica-se que os modelos HMT produzem uma melhor aproximação aos esforços

teóricos, bem como aos deslocamentos, em comparação com os EF convencionais. O

andamento de esforços e a deformada para GV3 com a discretização d) são apresentados na

Figura 4-26

0,00000%

0,00001%

0,00100%

0,10000%

10,00000%

a b c d e f g

Erro

(%

)

Tipo de discretização

GV1

GV2

GV3

EF

0,00000%

0,00010%

0,01000%

1,00000%

100,00000%

a b c d e f g

Erro

(%

)

Tipo de discretização

GV1

GV2

GV3

EF

39

Figura 4-26 – Resultados da discretização d) para a matriz GV3.

4.5.3 Pórtico quadrado irregular

Para este caso considerou-se um exemplo mais geral, no qual se determinam em

pontos da estrutura esforços e deslocamentos devidos aos efeitos geometricamente não

lineares. O pórtico é constituído por cargas verticais pontuais e distribuídas e por cargas

horizontais. As fundações são todas feitas através de encastramentos perfeitos e é

considerada a deformabilidade por corte das barras. Para a determinação dos esforços e

deslocamento geometricamente não lineares considerou-se que as cargas actuantes na Figura

4-27 são q=10kN/m , P=10000kN e H=10kN.

40

Figura 4-27 – Pórtico quadrado irregular

Considerou-se apenas a discretização d) referida na Tabela 4-1 no capítulo 4.2 visto ter

sido a partir da qual os resultados do modelo pareceram convergir. O andamento de esforços

e a deformada conseguidos com recurso à matriz geométrica encontram-se representados na

Figura 4-28. O número total de graus de liberdade associado ao modelo HMT é de 263 em

comparação com os dos EF convencionais que consideram uma malha com 375 graus de

liberdade. É apresentado na Tabela 4-3 e na Tabela 4-4 em vários pontos das estrutura os

valores dos esforços e deslocamentos geometricamente não lineares com os HMT e com os EF

convencionais, para as várias matrizes geométricas.

9 m

9 m

H

H

P P

9 m

9 m

qqE=210 GPa

A=0,01 m

I=0,001 m

u=0,2

2

4

F=5/6

1

2

3

4

5

68

7

1

2 3

4 5

6

78

41

Figura 4-28 – Resultados da discretização d) para a matriz GV3.

EF GV1 GV2 GV3

M V w M V w M V w M V w

127,30 2,48 0,021533 -127,52 2,95 0,021504 -127,53 2,95 0,021504 -127,53 2,95 0,021425

Tabela 4-3 – Quadro dos resultados para o nó 2 na barra 1.

EF GV1 GV2 GV3

M V w M V w M V w M V w

74,89 5,00 0,042702 74,73 24,94 0,042672 74,73 24,94 0,042672 74,73 24,94 0,044696

Tabela 4-4 – Quadro dos resultados para o nó 3 na barra 7.

O valor momento positivo no nó 3 da barra 7 deve-se à fraca inércia axial da barra, que

permite uma deformada de modo a que a curvatura nessa zona seja negativa. Verifica-se que

apesar dos resultados com os EF convencionais e com os HMT serem bastante próximos, estes

últimos convergiram mais rápido com menos graus de liberdade. Também se observa que não

existe conclusão alguma sobre se os HMT providenciam majorantes ou minorantes de esforços

e deslocamentos.

42

5 Análise de Placas

Neste capítulo apresentam-se e discutem-se vários testes para validar os modelos

propostos e para aferir a respectiva eficácia numérica na determinação de cargas críticas,

modos de encurvadura em lajes. Começou-se por efectuar uma análise da eficiência associada

à utilização de macroelementos na análise de uma laje simplesmente apoiada. É de seguida

executado um teste para a determinação de tensões críticas com deformabilidade por corte. É

também apresentado um teste para se demonstrar a não ocorrência de Shear Locking com os

modelos HMT. São apresentados vários exemplos de determinação de cargas críticas com os

modelos HMT e EF e comparadas as respectivas soluções com soluções analíticas [14]

conhecidas, para lajes sem deformabilidade por corte.

Em todos os exemplos seguintes os resultados obtidos para a determinação do valor

absoluto do erro (isto porque os HMT apresentam tanto majorantes como minorantes da

tensão crítica) entre a tensão crítica teórica e a tensão crítica numérica, para as várias matrizes

geométricas são apresentados de seguida em escala logaritmica.

5.1 Placa Simplesmente Apoiada

Neste exemplo efectua-se uma análise da eficiência numérica associada ao uso de

macroelementos na análise de uma laje simplesmente apoiada. São ainda apresentados os

vários modos de encurvadura obtidos com recurso a uma discretização envolvendo apenas 1

elemento finito. Considera-se a laje apresentada na Figura 5-1 e as suas características

geométricas e mecânicas.

Figura 5-1 – Laje quadrada simplesmente apoiada.

Para a comparação de resultados na determinação da tensão, consideram-se as

discretizações apresentadas na Tabela 5-1.

Grau Aproximação Polinómio

Discretizações Graus Liberdade mx my mxy vx vy

D1 (1 elemento) 452 7 7 7 6 6

D12 (2 elementos) 492 5 5 5 4 4

D14 (4 elementos) 668 4 4 4 3 3

D116 (16 elementos) 1976 3 3 3 3 3

Tabela 5-1 – Discretizações adoptadas.

(0,0)

(0,6)

(6,0)

(6,6)

s s

E=210 GPa

h=0,005 m

F=5/6u=0,2

43

Para os graus de aproximação dos deslocamentos, e para evitar alguma dependência

no sistema governativo usou-se um grau abaixo dos respectivos esforços. Os resultados

obtidos para as cargas críticas baseadas na utilização das diferentes matrizes geométricas

foram os seguintes:

Figura 5-2 – Erro da tensão crítica com a matriz geométrica GV1.

Figura 5-3 – Erro da tensão crítica com a matriz geométrica GV2.

1,0000%

10,0000%

100,0000%

1 2 3 4 5 6 7

Erro

(%

)

Modos de Encurvadura

Erro D1

Erro D12

Erro D14

Erro D116

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

1 2 3 4 5 6 7

Erro

(%

)

Modos de Encurvadura

Erro D1

Erro D12

Erro D14

Erro D116

0,0001%

0,0010%

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

1 2 3 4 5 6 7

Erro

(%

)

Modos de Encurvadura

Erro D1

Erro D12

Erro D14

Erro D116

44

Figura 5-4 – Erro da tensão crítica com a matriz geométrica GV3.

Observa-se que o macroelemento com a matriz GV3 é o que apresenta melhores

resultados. No entanto, a discretização baseada na consideração de elementos de pequenas

dimensões e com grau mais baixo e onde se utilizam matrizes geométricas GV1 é mais eficiente,

e apresenta resultados semelhantes ao modelos HMT com GV2. As deformadas para a

discretização D1 dos modos de encurvadura são as seguintes:

1ª modo de encurvadura 2ª modo de encurvadura

3ª modo de encurvadura 4ª modo de encurvadura

5ª modo de encurvadura 6ª modo de encurvadura

Figura 5-5 – Modos de encurvadura; discretização D1 e matriz geométrica GV3.

Verifica-se que nos 4 primeiros modos de encurvadura se cumprem as condições de fronteira

cinemática. É apenas para modos de encurvadura superior ao 5º que as condições de fronteira

cinemática são violadas. A geometria das deformadas dos modos de encurvadura dos modelos

HMT coincidem com a dos EF convencionais

45

1ª modo de encurvadura 2ª modo de encurvadura

3ª modo de encurvadura 4ª modo de encurvadura

5ª modo de encurvadura 6ª modo de encurvadura

Figura 5-6 – Modos de encurvadura com EF convencionais

5.2 Laje Simplesmente Apoiada com Deformabilidade por Corte

Nos modelos HMT, o fenómeno do Shear Locking não ocorre [8]. Para ilustrar a não

ocorrência deste efeito, varia-se a espessura da laje e determina-se para cada caso o quociente

entre o valor das tensões críticas teóricas (com lajes sem deformabilidade por corte) e o valor

das tensões críticas determinadas numericamente com GV1 (com deformabilidade por corte).

ßáEHF � ~ÛÜ(�óâHEF)~ÛÜ(I��éâHEF) (5.1)

Observando a Figura 5-7 , verifica-se exactamente como nas colunas que o efeito de

Shear Locking não ocorre em placas com os HMT.

46

Figura 5-7 – Gráfico da variação da esbelteza da laje.

5.3 Testes numéricos

Para a análise da determinação da tensão crítica em lajes consideraram-se as

estruturas apresentadas de seguida. Em todos os casos são consideradas discretizações

envolvendo apenas 1 elemento finito. Calculou-se a tensão crítica com as matrizes geométricas GV1, GV2 e GV3, e procedeu-se também ao cálculo da mesma grandeza com recurso a modelos

de elementos finitos convencionais. As malhas tipo usadas para os elementos finitos

convencionais estão representadas no Anexo D .Compararam-se os resultados em relação ao

valor das tensões críticas teóricas e a sua variação em função do tipo de discretização p-. O

tipo de discretização varia segundo os graus de aproximação referidos na Tabela 5-2. Para os

EF convencionais com refinamento h- tentou-se usar aproximadamente o mesmo número de

graus de liberdade dos modelos HMT.

Discretização Grau de mx/my/mxy Grau de vx/vy

a 3 2

b 4 3

c 5 4

d 6 5

e 7 6

Tabela 5-2 – Discretizações adoptadas para os modelos HMT.

5.3.1 Placa Simplesmente Apoiada

Neste exemplo considerou-se a laje apresentada na Figura 5-8 em conjunto com as

suas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,

considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte. A laje é quadra e encontra-se

simplesmente apoiada com esforço de membrana constante segundo x.

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

6 10 15 30 75 100 600 1200

Rác

io

Esbelteza

Pte/Pcr

47

Figura 5-8 – Laje quadrada simplesmente apoiada.

Figura 5-9 – Erro da tensão crítica da laje simplesmente apoiada.

No caso da laje simplesmente apoiada, o elemento HMT baseado na consideração da

matriz geométrica GV3 é claramente o mais eficaz, com um pequeno erro para baixos valores

dos graus de aproximação. Os EF convencionais são melhores que os elementos HMT baseados

na utilização da matriz geométrica GV1 mas piores em relação aos que são obtidos com a matriz

geométrica GV2 para elevados graus de discretização. A deformada está de acordo com as

condições de fronteira cinemáticas para a discretização d) com a matriz GV3, sendo a

deformada desta apresentada na Figura 5-10.

Figura 5-10 – Modo de encurvadura da laje simplesmente apoiada.

(0,0)

(0,6)

(6,0)

(6,6)

s s

E=210 GPa

h=0,005 m

F=5/6u=0,2

0,0000%

0,0001%

0,0010%

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

a b c d e

Erro

(%)

Tipo de Discretização

GV1

GV2

GV3

EF

48

5.3.2 Placa Encastrada

Testou-se a laje com as características geométricas e mecânicas apresentadas na

Figura 5-11. Para que não ocorra deformabilidade por corte, considerou-se um baixo valor na

flexibilidade por corte. A laje é quadrada e encontra-se encastrada em todos os lados, com

esforço de membrana constante segundo x.

Figura 5-11 – Laje quadrada encastrada.

Figura 5-12 – Erro da tensão crítica da laje encastrada.

No caso da laje encastrada, o resultado é em tudo idêntico ao da laje simplesmente

apoiada. O elemento HMT com GV3 é claramente o mais eficaz, mas demora um pouco mais a

convergir. Os EF convencionais são melhores que os elementos HMT GV1 mas piores em

relação ao GV2. A deformada está de acordo com as condições de fronteira cinemáticas para a

discretização d) com a matriz GV3, sendo a deformada desta apresentada na Figura 5-13.

Figura 5-13 – Modo de encurvadura da laje encastrada.

s s

E=210 GPa

h=0,005 m

F=5/6u=0,2

(0,0)

(0,6)

(6,0)

(6,6)

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

a b c d e

Erro

(%)

Tipo de Discretização

GV1

GV2

GV3

EF

49

5.3.3 Placa Simplesmente Apoiada com Bordo Livre

Aferiu-se a eficácia dos modelos HMT com a laje apresentada na Figura 5-14 com as

respectivas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por

corte, considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte. A laje é quadrada e encontra-se

simplesmente apoiada em 3 lados com 1 lado livre, com esforço de membrana constante

segundo x.

Figura 5-14 – Laje simplesmente apoiada com bordo livre.

Figura 5-15 – Erro da tensão crítica da laje simplesmente apoiada com bordo livre.

No caso da laje apoiada-livre, os elementos EF convencionais são sempre melhores

que os elementos HMT para GV1 e GV2 . Em todo caso verifica-se a superioridade da matriz GV3. Estas últimas necessitam de um grau de aproximação elevado para convergir para os valores

teóricos. A deformada está de acordo com as condições de fronteira cinemáticas para a

discretização d) sendo a deformada desta apresentada na Figura 5-16.

Figura 5-16 – Modo de encurvadura.

s s

E=210 GPa

h=0,005 m

F=5/6u=0,2

(0,0)

(0,6)

(6,0)

(6,6)

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

a b c d e

Erro

(%

)

Tipo de Discretização

GV1

GV2

GV3

EF

50

5.3.4 Placa Simplesmente Apoiada Carregada por Tensões de Corte

Analisa-se a laje apresentada na Figura 5-17 para testar a determinação de tensões

críticas com um estado de tensão corte puro. Para que não ocorra deformabilidade por corte,

considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte. A laje é quadra e encontra-se

simplesmente apoiada onde para se obter corte puro, aplicou-se as referidas cargas na

fronteira o que resultou nos seguintes esforços de membrana:

�~6ê � 0 �� H � ë~6ê � 1 �� H ì ë�

Figura 5-17 – Laje simplesmente apoiada com tensões de corte.

Figura 5-18 – Erro da tensão crítica da laje simplesmente apoiada com corte.

No caso da laje carregada por tensões de corte, a convergência dos HMT é igual nos 3

casos e mais eficaz que os elementos EF convencionais, que precisam de um elevado

refinamento para se aproximar dos valores teóricos. A deformada viola um pouco as condições

de fronteira cinemáticas para a discretização d) com a matriz GV3 sendo a deformada desta

apresentada na Figura 5-19.

t t

t

t

E=210 GPa

h=0,005 m

F=5/6u=0,2

(0,0)

(0,6)

(6,0)

(6,6)

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

a b c d e

Erro

(%)

Tipo de Discretização

GV1

GV2

GV3

EF

51

Figura 5-19 – Modo de encurvadura da laje simplesmente apoiada com corte.

5.3.5 Placa Rectangular Simplesmente Apoiada

Considera-se a laje apresentada na Figura 5-20 em conjunto com as suas

características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,

considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte. A laje é rectangular longa e encontra-

se simplesmente apoiada com esforço de membrana constante segundo x.

Figura 5-20 – Laje rectangular simplesmente apoiada.

Figura 5-21 – Erro da tensão crítica da laje rectangular simplesmente apoiada.

No caso da laje carregada longa, os elementos EF convencionais apresentam maior

eficiência em relação aos HMT. No entanto ambos precisam de elevados refinamentos para

convergir para os valores teóricos

Neste caso verifica-se que as condições fronteira foram fortemente violadas. Isto é

devido a que a discretização adoptada não possuir um polinómio com um grau suficiente para

simular os pontos de inflexão do primeiro modo de vibração que se situam de 6 em 6 metros

(0,6)

(0,0)

(24,6)

(24,0)

s s

E=210 GPa

h=0,005 m

F=5/6u=0,2

1,0000%

10,0000%

100,0000%

a b c d e

Erro

(%)

Tipo de Discretização

GV1

GV2

GV3

EF

52

[14]. Para resolver este problema com modelos HMT com malhas apenas com um elemento

finito é necessário adoptar uma discretização diferente na direcção x e y, ou aumentar apenas

o grau na direcção y.

5.3.6 Placa Simplesmente Apoiada

Admite-se a laje apresentada na Figura 5-22 em conjunto com as suas características

geométricas e mecânicas, para testar os efeitos da distorção nas malhas utilizadas nos

modelos HMT. Para que não ocorra deformabilidade por corte, considerou-se um baixo valor

na flexibilidade por corte.

Figura 5-22 – Laje simplesmente apoiada distorcida.

Neste caso procedeu-se a uma distorção de elementos finitos numa laje simplesmente

apoiada. Calculou-se a tensão crítica para 3 situações de distorção para 3 graus de

aproximação diferentes e compararam-se os resultados obtidos com os respectivos valores

teóricos.

Distorção Ponto Central Inferior Ponto Central Superior

x y x y

A 3 0 3 6

B 2 0 4 6

C 1 0 5 6

Tabela 5-3 – Distorções efectuadas.

1º E.F.

2º E.F.

s s

E=210 GPa

h=0,005 m

F=5/6u=0,2

(0,0)

(0,6)

(6,0)

(6,6)

53

Figura 5-23 – Erro da tensão crítica da laje distorcida para a discretização c).

Figura 5-24 – Erro da tensão crítica da laje distorcida para a discretização d).

Figura 5-25 – Erro da tensão crítica da laje distorcida para a discretização f).

Verifica-se que quanto maior é a distorção, maior é o erro apresentado. Tal como

esperado, para maiores graus de aproximação menor é o erro em relação ao valor teórico,

onde se observa que à medida que a discretização aumenta os erros das várias matrizes

geométricas tendem para um valor único, ou seja à medida que se aumenta o grau da

aproximação diminui-se o efeito da distorção da malha.

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

A B C

Erro

(%)

Tipo de Distorção

GV1

GV2

GV3

0,0000%

0,0001%

0,0010%

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

A B C

Erro

(%)

Tipo de Distorção

GV1

GV2

GV3

0,0001%

0,0010%

0,0100%

0,1000%

1,0000%

10,0000%

100,0000%

A B C

Erro

(%)

Tipo de Distorção

GV1

GV2

GV3

54

55

6 Conclusões

O objectivo deste trabalho consistiu no desenvolvimento e teste de um modelo

híbrido-misto de tensão para a análise geometricamente não linear, para três hipóteses de

matrizes geométricas.

Embora utilizando uma formulação não-convencional, o formato condensado do

sistema governativo global obtido apresenta uma estrutura semelhante à que é habitual nas

formulações clássicas do Método dos Elementos Finitos, não obstante o significado físico dos

diferentes operadores e das grandezas generalizadas ser substancialmente distinto.

Foram apresentados alguns exemplos numéricos. A qualidade dos resultados obtidos

traduz um bom desempenho do modelo apresentado. As principais conclusões são as

seguintes:

- Os modelos HMT permitem a adopção de processos de refinamento p- e h- bastante

eficazes;

- Sendo possível o refinamento hierárquico sem alteração da malha, podem utilizar-se

na discretização da estrutura macro-elementos de grandes dimensões, o que simplifica de

forma significativa as operações de pós-processamento;

- A distorção da malha tem pouca influência na qualidade da solução fornecida pelos

modelos HMT, ao contrário do que acontece nos modelos de EF convencionais;

- No caso de lajes espessas o fenómeno do Shear Locking não ocorre nos modelos

HMT, ao contrário do que pode suceder nos modelos de EF convencionais.

- No modelo HMT, as discretizações podem conduzir a sistemas com um número

bastante elevado de graus de liberdade. No entanto, como as matrizes são sempre muito

esparsas, o uso de algoritmos especialmente desenhados para o armazenamento e tratamento

de sistemas esparsos de grandes dimensões permite assegurar a eficácia numérica de todo o

processo de cálculo;

- A relação entre os graus dos polinómios utilizados na aproximação dos campos

estáticos e os graus dos polinómios associados à aproximação dos campos cinemáticos deve

ser cuidadosamente estabelecida por forma a evitar o aparecimento de modos espúrios, os

quais se manifestam através da existência de dependências no sistema governativo global;

- Visto o modelo HMT não satisfazer localmente nem as condições de equilíbrio nem as

condições de compatibilidade, nada se pode concluir em relação à minoração ou majoração

das cargas críticas calculadas.

- Das 3 matrizes geométricas testadas, a que obteve melhores desempenhos

numéricos tanto ao nível de carga e tensões críticas como ao nível de esforços

geometricamente não lineares foi a GV3. Nas estruturas esbeltas a deformabilidade por corte é

desprezável. Assim sendo, esta matriz é aplicável na determinação de cargas críticas e esforços

geometricamente não lineares em estruturas do ramo de engenharia civil.

56

Como trabalhos futuros prevê-se:

- A utilização de outro tipo de funções de aproximação. Especial interesse terá a

aplicação de sistemas de wavelets e séries de Walsh para esse efeito [4];

- Desenvolvimento de modelos HMT para análises fisicamente e geometricamente não

lineares (plasticidade e dano) de estruturas sujeitas à acção de carregamentos cíclicos;

- Inclusão dos efeitos geometricamente não lineares com o uso da teoria

geometricamente exacta nos modelos HMT.

57

BIBLIOGRAFIA

[1] Almeida J.P.B.M, Freitas J.A.T., “Alternative approach to the formulation of hybrid

equilibrium finite elements”, Comput & Struct, 1991. [2] Arruda M.R.T.,” Análise Geometricamente não Linear de Pórticos Planos com Elementos

Finitos Híbridos-Mistos de Tensão”, www.civil.ist.utl.pt\~marruda\an_gnl.pdf. IST 2008. [3] Bathe K.J. “Finite Element Procedures In Engineering Analysis”, Prentice-Hall Englewood Cliffs, 1982. [4] Castro L.M.S.S., “Wavelets e Séries de Walsh em Elementos Finitos”, Tese para obtenção do grau de Doutor em Engenharia Civil, IST 1996. [5] Freitas J.A.T., “Análise Elástica de Estruturas”, Associação de Estudantes do IST, AEIST 1987. [6] Freitas J.A.T., “Duality and symmetry in mixed integral methods of elastostatics”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 28, pp. 1161-1179, 1989. [7] Freitas J.A.T., Almeida J.P.B e Pereira E.M.B.R., “Alternative Hybrid Formulations for the

Finite Element Method”, Proc. 7th World Congress Finite Element Method, pp. 264-271, Mónaco, 1993. [8] Mendes L.A.M., “Modelos de Elementos Finitos Híbridos Mistos de Tensão na Análise

Elastoplástica de Estruturas Laminares Planas”, Dissertação para obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Estruturas, IST, 2002. [9] Pereira E.M.B.R., e J.A.T. Freitas, “A Hybrid-mixed Element Model Based on Legendre

Polynomials for Reissner-Mindlin Plates”, Computer Methods in Applied Mechanics in Engineering, pp. 111 - 126, 1996. [10] SAP2000, “Structural Analysis Program”, Nonlinear version 10.1.0 CSI, 1984-2009. [11] Timoshenko S.P. e Goodier J.N., “Theory of Elasticity”, 3ª edição, McGraw Hill International Book Company, Tóquio, 1970. [12] Timoshenko S.P. e Woinowsky-Krieger S., “Theory of Plates and Shells”, 2ª edição, McGraw-Hill International Book Company, Tóquio, 1970. [13] Timoshenko S.P. ., “Theory of elastic stability”, 2ª edição, New York : McGraw-Hill, 1961. [14] Reis A., Camotin D., “Estabilidade Estrutural”, Mcgraw-Hill. 2000. [15] Wang C.M., Wang C.Y., Reddy J.N., “Exact solutions for buckling of structural members” Boca Raton : CRC Press, c2005. [16] Zienkiewicz, Taylor, “The Finite Element Method”, Volume 1 2 e 3, 5ª Edição, Londres 2003. [17] The MathWorks, MatLab 2008a, www.mathworks.com

58

Anexo A

A.1 – Sistema Governativo dos HMT para Pórticos Planos

Definem-se agora as matrizes de aproximação e os operadores estruturais utilizados

na análise de pórticos planos, considerando polinómios ortonomais de Legendre como funções

de aproximação.

Polinómios de Legendre:

- Funções aproximação

A aproximação para o campo de esforços no domínio pode ser escrita na forma:

��� � !!!!"%Ú6(í) %�������kîï; %0 % %0 %

%0 % %Úê(í) %�������kðï; %0 %%0 % %0 % %Úñ(í) %�������kÁï; '(

((()

������������������������

� i �u6}I§ � 1�uêòI§ � 1�uñ}I§ � 1j���������ó

onde

nM – Grau máximo do Polinómio de Legendre para aproximação de M

nN – Grau máximo do Polinómio de Legendre para aproximação de N

nV – Grau máximo do Polinómio de Legendre para aproximação de V

A aproximação para o campo de deslocamentos no domínio vem dada por:

��v� � !!!!"%Ú6(í) %�������kôï; %0 % %0 %

%0 % %Úê(í) %�������kõï; %0 %%0 % %0 % %Úñ(í) %�������kѲï; '(

((()

�����������������������÷Á

� i��v6}I¤ � 1��vêòI� � 1��vñ}IѲ � 1j���������øÁ

onde

nw – Grau máximo do Polinómio de Legendre para aproximação de w

nu – Grau máximo do Polinómio de Legendre para aproximação de u

nθ – Grau máximo do Polinómio de Legendre para aproximação de θ

A aproximação para os campos de deslocamentos na fronteira é dada através de:

59

��Г� � i#¤BBBB#�BBBB#ѲBBBj � 71 0 00 1 00 0 18�������÷Г� 7�Г6�Гê�Гñ8���øГ

- Mudança de Base

Para se tirar partido da ortogonalidade dos polinómios de Legendre, a definição da

aproximação e o cálculo dos diferentes operadores estruturais vai ter de ser efectuada ao nível

de um elemento mestre.

Figura A.1 – Mudança de coordenadas no elemento barra

Exactamente como no caso dos elementos isoparamétricos da formulação clássica de

EF, utiliza-se a seguinte transformação de coordenadas (ver Figura A.1):

$ � $; � ²; � $< � ²< onde l²; � ;< (1 % í)²< � ;< (1 % í)� Usando a regra da derivada da função composta:

#²#$ � #²#í � #í#$ onde #$#í � ­2 © #í#$ � 2­

Tendo em conta a definição das aproximações e a necessária mudança de

coordenadas, os operadores estruturais são agora definidos da seguinte forma:

- Matriz F

O operador de flexibilidade generalizado no domínio é dado pela seguinte forma:

: � | t ±° ($)�t($)#$ � | t ;

�; (í)�t(í) #$#í #í � ­2| t ;�; (í)�t(í)#í

x1

x2

L

x=-1 x=0 x=1

60

: � ­2 |

!!!!!!!!!"�ù

% % %Ú6(í)% % %ú 1,- �% Úê(í) %���������������������kîï;I§ � 1 ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %�

ù%0%ú �% 0 %� �ù% % %Ú6(í)% % %ú 1,. �% Úê(í) %���������������������kðï;I¦ � 1 ù%0%ú �% 0 %�

ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %� �ù% % %Ú6(í)% % %ú 1/.Û �% Úê(í) %���������������������kÁï;Iv � 1'((

((((((()�í;

�;

- Matriz AV

O operador de compatibilidade no domínio é dado por

.v � | (�t($)) wv±° ($)#$ � | Ç�t(í)È wv(í);

�;#$#í #í � | ­2 Ç�t(í)È ;

�; wv(í)#í

.v � |

!!!!!!!!!!!" ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %� �7 % % %##í ÚH(í)% % % 8 1,. �% Úë(í) %�������������������

IѲ�1I� � 1

ù%0%ú �% 0 %� �7 % % %##í ÚH(í)% % % 8 1,. �% Úë(í) %�������������������I��1

I� � 1 ù%0%ú �% 0 %��7 % % %##í ÚH(í)% % % 8 1,. �% Úë(í) %�������������������

I��1I� � 1 ù%0%ú �% 0 %� % ­2 ù% % %ÚH(í)% % %ú �% Úë(í) %�

'((((((((((()

�í1

%1

- Matriz AΓ

O operador de compatibilidade na fronteira é dado por:

.Г � (�ñt(íñ)) � wv(íñ)

.Г � !!!!!!" ù%0%ú ù%0%ú ù % % %Ú6(%1) � %1% % % ú

ù%0%ú ù % % %Úê(%1) � %1% % % ú ù%0%úù % % %Úñ(%1) � %1% % % ú ù%0%ú ù%0%ú

ù%0%ú ù%0%ú �ù% % %Ú6(1)% % %ú� I§ � 1ù%0%ú ù% % %Úê(1)% % %ú �ù% % %0% % %ú� I¦ � 1

ù% % %Úñ(1)% % %ú ù%0%ú �ù% % %0% % %ú� Iv � 1'(((((()

- Matriz GV 1

A matriz geométrica no domínio é dada por:

/v; � | (­;wv) ±° ($)�­;wv($)#$ � | Ç­;w(í)È �­;wv(í) #í#$ #í#$ #$#í #í;

�; � | Ç­;w(í)È �­;wv(í) #í#$ #í;�;

61

/v; � |

!!!!!!!!!!"�i % % %##$Ú6(í)% % % j� �% ##$Úê(í) %�m�����������������������kôï;

I¤ � 1 ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %�ù%0%ú �% 0 %� �ù%0%ú �% 0 %�������������kõï;

I� � 1 ù%0%ú �% 0 %�ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %� �ù%0%ú �% 0 %�������������kѲï;

IѲ � 1'(((((((((()#í#$#í;

�;

- Matriz GV 2

A matriz geométrica no domínio é dada por:

/v< � | wv ±° ($)�­;wv($)#$ � | wv (í)�­;wv(í) #í#$ #$#í #í;

�; � | wv (í)�­;wv(í)#í;�;

/v< � |

!!!!!!!!!" �ù%0%ú �% 0 %�������������kôï;

I¤ � 1 ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %�ù%0%ú �% 0 %� �ù%0%ú �% 0 %�������������kõï;

I� � 1 ù%0%ú �% 0 %��ù% % %Ú6(í)% % %ú� �% ##$Úê(í) %�����������������������kôï;

IѲ � 1 ù%0%ú �% 0 %� �ù%0%ú �% 0 %�������������kѲï;IѲ � 1'(

(((((((()#í;

�;

- Matriz GV 3

A matriz geométrica no domínio é dada por:

/v= � | w ±° ($)­=w($)#$ � | w(;

�; í) ­=w(í) #í#$ #$#í #í � | w(;�; í) ­=w(í)#í

/v= � | !!!!!!!"ù

%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %�ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %�ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %� �ù% % %Ú6(í)% % %ú��% Úê(í) %�������������������kѲï;

IѲ � 1'((((((() �í;

�;

As propriedades dos polinómios de Legendre permitem que sejam obtidas fórmulas

analíticas para todos os integrais envolvendo estas funções e as suas derivadas. As expressões

correspondentes podem encontrar-se no Anexo B.

- Vector QV

O vector das cargas generalizadas no domínio é dado por:

62

}v � | wv ±° ($)�($)#$ � | wv (;

�; í)�(í) #$#í #í � ­2| wv (í);�; �(í)#í

ou seja,

}v � | ­2 !!!!!!" �% % %Ú6(í)�% % %�I¤ � 1�% % %Úê(í)�% % %�I� � 1� % % %Úñ(í)�% % % �IѲ � 1'((

(((();

�; #í

Quando se consideram cargas constantes, apenas é diferente de 0 o termo que

envolve o polinómio P0. Tal como indicado no Anexo B, tem-se neste caso:

| Ú°(í)#;�; í � √2

- Vector QΓ

As cargas generalizadas aplicadas na fronteira são dadas por:

}Г � 7�°�°�°8

- Montagem do sistema governativo

Na montagem do sistema governativo global, o que difere em relação aos EF

convencionais é que as matrizes F e AV são espalhadas de forma independente para cada

elemento. Apenas a matriz AΓ é espalhada tendo em conta os elementos vizinhos e as

condições de fronteira.

O número de colunas da matriz AΓ está associado ao número de deslocamentos

independentes nas fronteiras de cada elemento, cuja identificação é em tudo semelhante ao

dos EF convencionais. Apenas entram na matriz AΓ do sistema governativo global as colunas da

matriz AΓ do elemento isolado associadas ao grau de liberdade global. Para ilustrar este

processo de espalhamento considere-se o exemplo representado na Figura A.2.

Figura A.2 – Barra utilizada para ilustrar a montagem do sistema governativo

Temos 2 EF

×

×⇒

)22( de blocos 2

)22( de blocos 2

VA

F

d2

d1

d3

d4

q3

q2

q6

q5

q1 q4Gs1 Gs2

(a) (b)

63

Temos 2 σ

Γ com 2 EF )22( de blocos 2por blocos 2 ×⇒Γ

A

A relação entre os graus de liberdade elementares e os graus de liberdade globais é

dada pela seguinte tabela de incidências:

,ü�I�F �; �< �= �> �? �@ý % % % % #; #<� % #; #< % #> #=

O sistema governativo global tem o seguinte formato:

!!!!"

:þ 0 .vþ 0 %.Гþ; 00 :� 0 .v�0 %.Г�; %.Г�<.vþ 0 0 0 0 0%.Гþ; %.Г�; 0 0 0 00 %.Г�< 0 0 0 0 '(((()

Para a matriz AΓa1 entram a 5ª e 6ª coluna de AΓa, para AΓb1 entra a 2ª e 3ª coluna de AΓb e para AΓb2 entram a5ª e6ª coluna de AΓb. Apesar de X e qv não terem significado físico

imediato, isso já não contece com qΓ que está associado aos graus de liberdade. Neste caso

�Г; � �#;#<� �Г< � �#>#=�

64

A.2 – Sistema Governativo dos HMT para Lajes

As definições das matrizes de aproximação e os operadores estruturais utilizados na

análise de lajes encontram-se detalhadas em [8]. Neste anexo apenas se apresenta as

definições das matrizes geométricas com os HMT.

- Matriz GV 1

/v; � | !!!!!!!!"�ù

%0%ú �% 0 %�������������kôï;I¤ � 1 ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %�

ù%0%ú �% 0 %� �ù%0%ú �% 0 %�������������kõï;I� � 1 ù%0%ú �% 0 %�

ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %� �/}�kѲï; IѲ � 1 '(((((((()d�

onde:

/ � b�Û���kþb$ I\ b��6k�þ�b$ � b�Û���kþbc I]\ b��6k�þ�b$ � b�Û���kþb$ I]\ b��6k�þ�bc b�Û���kþbc I] b��6k�þ�bc

Os detalhes das mudanças de coordenadas em elementos isoparametricos para as

lajes com os HMT encontra-se detalhadas em [8]. Usando as respectivas mudanças de

coordenadas vai se chegar a um novo operador diferencial:

bb$ � bbí bíb$ � bb bb$ e bbc � bbí bíbc � bb bbc

As deduções do valores de A, B ,C e D provem da matriz AV (neste trabalho os índices

são omitidos para simplificar as formulas) e encontram-se detalhados em [8], obtendo-se

assim 4 casos diferentes para o calculo da matriz geométrica

1º caso £ ��\ . ��\¥

bbí .<|�|< bbí�������I»�¼´½¶· ;

% bbí .�|�|< bb�������I»�¼´½¶· <% bb .�|�|< bbí�������I»�¼´½¶· =

� bb �<|�|< bb�������I»�¼´½¶· >

Integral tipo 1:

| | bÚ6(í)bí;�;

;�;

.<|�|< bÚ�(í)bí Úê()Úk()|�|#í#

Integral tipo 2:

| | bÚ6(í)bí;�;

;�;

.�|�|< Ú�(í) bÚk()b Úê()|�|#í#

Integral tipo 3:

| | bÚê()b;�;

;�;

.�|�|< Úk() bÚ�(í)bí Ú6(í)|�|#í#

65

Integral tipo 4:

| | bÚê()b;�;

;�;

�<|�|< bÚk()b Ú6(í)Ú�(í)|�|#í#

2º caso £ ��] . ��]¥

bbí �<|�|< bbí�������I»�¼´½¶· ?

% bbí ��|�|< bb�������I»�¼´½¶· @% bb ��|�|< bbí�������I»�¼´½¶· �

� bb �<|�|< bb�������I»�¼´½¶· �

Integral tipo 5:

| | bÚ6(í)bí;�;

;�;

�<|�|< bÚ�(í)bí Úê()Úk()|�|#í#

Integral tipo 6:

| | bÚ6(í)bí;�;

;�;

��|�|< Ú�(í) bÚk()b Úê()|�|#í#

Integral tipo 7:

| | bÚê()b;�;

;�;

��|�|< Úk() bÚ�(í)bí Ú6(í)|�|#í#

Integral tipo 8:

| | bÚê()b;�;

;�;

�<|�|< bÚk()b Ú6(í)Ú�(í)|�|#í#

3º caso £ ��] . ��\¥

% bbí �.|�|< bbí�������I»�¼´½¶· �� bbí ��|�|< bb�������I»�¼´½¶· ;°

� bb �.|�|< bbí�������I»�¼´½¶· ;;% bb ��|�|< bb�������I»�¼´½¶· ;<

Integral tipo 9:

| | bÚ6(í)bí;�;

;�;

�.|�|< bÚ�(í)bí Úê()Úk()|�|#í#

Integral tipo 10:

| | bÚ6(í)bí;�;

;�;

��|�|< Ú�(í) bÚk()b Úê()|�|#í#

Integral tipo 11:

| | bÚê()b;�;

;�;

�.|�|< Úk() bÚ�(í)bí Ú6(í)|�|#í#

Integral tipo 12:

| | bÚê()b;�;

;�;

��|�|< bÚk()b Ú6(í)Ú�(í)|�|#í#

66

4º caso £ ��\ . ��]¥

% bbí �.|�|< bbí�������I»�¼´½¶· �� bb ��|�|< bbí�������I»�¼´½¶· ;=

� bbí �.|�|< bb�������I»�¼´½¶· ;>% bb ��|�|< bb�������I»�¼´½¶· ;<

Integral tipo 13:

| | bÚê()b;�;

;�;

��|�|< Úk() bÚ�(í)bí Ú6(í)|�|#í#

Integral tipo 14:

| | bÚ6(í)bí;�;

;�;

�.|�|< Ú�(í) bÚk()b Úê()|�|#í#

Verifica-se que em geral integrar analiticamente a matriz geométrica como até tem

sido feito com todos os operadores dos HMT é impossível. Isto deve-se a que o integral fica

inversamente proporcional ao valor do Jacobiano:

/v;6ê � | | �(í, ) 1|�(í, )|#í#;�;

;�;

Este apenas é possível integrar analiticamente quando elemento finito não se encontra

distorcido. Assim sendo é necessário executar uma integração numérica com pontos de Gauss

no plano como referido em [3].

- Matriz GV 2

Exactamente como na matriz geométrica anterior definida, também nesta é necessário

executar uma mudança de coordenadas, ficando assim definida a matriz GV2.

/v< � |

!!!!!!!!!"�ù

%0%ú �% 0 %�������������kôï;I¤ � 1 ù%0%ú �% 0 %� /;,=

ù%0%ú �% 0 %� �ù%0%ú �% 0 %�������������kõï;I� � 1 /<,=

ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %� �ù%0%ú �% 0 %�������������kѲï;IѲ � 1'((

((((((()#�

/;,= � I\�\Û���kþ b��6k�þbí .|�|% I\�\Û���kþ b��6k�þb %�|�| %I]\�\Û���kþ b��6k�þbí %�|�|� I]\�\Û���kþ b��6k�þb �|�|

67

/;,= � I]\�]Û���kþ b��6k�þbí .|�|% I]\�]Û���kþ b��6k�þb %�|�| %I]�]Û���kþ b��6k�þbí %�|�|� I]�]Û���kþ b��6k�þb �|�| - Matriz GV 3

Exactamente como na matriz geométrica anterior definida, também nesta é necessário

executar uma mudança de coordenadas, ficando assim definida a matriz GV3.

/v= � | !!!!!!!" �%/;,;ò���kôï; I¤ � 1 %/;,< ù%0%ú �% 0 %�

%/<,; �%/<,<ò���kõï; I� � 1 ù%0%ú �% 0 %�ù%0%ú �% 0 %� ù%0%ú �% 0 %� �ù%0%ú �% 0 %�������������kѲï;

IѲ � 1'((((((()#�

/;,; � | | Ú6(í)Úê()I\Ú�(í)Úk()|�| #í#;�;

;�;

/<,; � | | Ú6(í)Úê()I]\Ú�(í)Úk()|�|#í#;�;

;�;

/;,< � | | Ú6(í)Úê()I]\Ú�(í)Úk()|�|#í#;�;

;�;

/<,< � | | Ú6(í)Úê()I]Ú�(í)Úk()|�|#í#;�;

;�;

68

Anexo B

B.1 – Polinómios de Legendre

Apresenta-se neste anexo a informação necessária para a definição dos polinómios de

Legendre. Discutem-se as suas propriedades mais relevantes e listam-se as expressões que

permitem efectuar o cálculo analítico de todos os integrais envolvendo estas funções e as suas

derivadas.

B.1.2 – Considerações Iniciais

Os polinómios de Legendre de ordem n, Pn(x), correspondem às soluções da equação

diferencial de Legendre:

(1 % $<) � #<Úk($)#$< % 2 � $ � #Úk($)#$ � I � (I � 1) � Úk($) � 0 Somos desta forma conduzidos à definição de funções do tipo polinomial, que podem

ser geradas pela fórmula de Rodriguez

Úk($) � 12k I! � #k#$k ($< % 1)k B.1.3 – Propriedades dos Polinómios de Legendre

Verifica-se que polinómios de grau consecutivo são alternadamente funções pares e

ímpares Úk(%$) � (%1)k Úk($)

Os integrais definidos no intervalo [-1,1] do produto de dois polinómios de Legendre

podem ser calculados a partir das igualdades:

XYZY[| Úk($)Ú�($)#$ � 0 � I ì �;

�;| Úk($)Ú�($)#$ � 22I � 1 � I ì �;�;

� Assim sendo, conclui-se que os polinómios de Legendre são ortogonais no intervalo [-

1,1]

B.1.4 – Formulas Geradoras dos Polinómios de Legendre

Várias fórmulas podem ser utilizadas para gerar os polinómios de Legendre,

correspondendo a maioria a fórmulas de recorrência

#Úkï;($)#$ % $ � #Úk($)#$ � (I � 1) � Úk($)

69

$ � #Úk($)#$ % #Úk�;($)#$ � I � Úk($) #Úkï;($)#$ % #Úk($)#$ � (2I � 1) � Úk($)

($< % 1) � #Úk($)#$ � I � $ � Úk($) % I � Úk�;($)

Assim sendo, é possível usar a seguinte sucessão para determinar os valores de Pn(x)

(I � 1) � Úk�;($) % (2I � 1) � $ � Úk($) � I � Úk�;($) � 0 com P0(x)=1 e

P1(x)=x.

Por forma a que se verifique a condição de ortonormalidade:

| (Úk($);�; )<#$ � 1

A fórmula de Bonnet é escalada por λn;

Ïk � �2I � 12

Obtem-se deste modo o formato alternativo

I � 1Ïk�; � Úk�;($) � 2I � 1Ïk � Úk($) % IÏk�; � Úk�;($)

EF� Ú°($) � Ï° Ú;($) � Ï; � $

Na Figura apresentam-se os polinómios de Legendre unidimensionais de grau igual ou

inferior a 14.

70

B.1.5 – Expressões para Integrações Analíticas

Uma das principais vantagens associadas à utilização destes polinómios consiste em

ser possível dispensar os processos numéricos no cálculo das integrações, pois é sempre

possível definir expressões analíticas para os operadores estruturais (em problemas onde se

assumem as hipóteses de linearidade física e geométrica), mesmo para os casos em que não se

consegue tirar directamente partido da ortogonalidade.

Apresentam-se de seguida as expressões

71

XYZY[| Ú6($)Úê($)#$ � 1 � H ì ë ;

�;| Ú6($)Úê($)#$ � 0 E. E ;�;

�

XYYZYY[| Ú6($)Úê($)$#$ � H2Ï6Ïê � H � ë � 1 ;

�;| Ú6($)Úê($)$#$ � H2Ï6Ïê � H � ë % 1 ;�;| Ú6($)Úê($)$#$ � 0 E. E ;�;

�

XYYYZYYY[| Ú6($)Úê($)$<#$ � 4H= � 6H< % 12(2H % 1)(2H � 3)Ï6< � H � ë ;

�;| Ú6($)Úê($)$<#$ � ë(ë % 1)2(2ë % 1)Ï6Ïê � H � ë % 2 ;�;| Ú6($)Úê($)$<#$ � H(H % 1)2(2H % 1)Ï6Ïê � H � ë � 2 ;�;| Ú6($)Úê($)$<#$ � 0 E. E ;�;

�

XYYYYYZYYYYY[| Ú6($)Úê($)$=#$ � ë(ë % 1)(ë % 2)2(2ë % 1)(2ë % 3)Ï6Ïê � H � ë % 3 ;

�;| Ú6($)Úê($)$=#$ � 3ë(ë< % 2)2(4ë< % 9)Ï6Ïê � H � ë % 1 ;�;| Ú6($)Úê($)$=#$ � 3H(H< % 2)2(4H< % 9)Ï6Ïê � H � ë � 1 ;�;| Ú6($)Úê($)$=#$ � H(H % 1)(H % 2)2(2H % 1)(2H % 3)Ï6Ïê � H � ë � 3 ;�;| Ú6($)Úê($)$=#$ � 0 E. E ;�;

�

XYZY[| Ú6($) bÚê($)b$ #$ � 2Ï6Ïê � H � ë � H � ë é H��ýâ ;

�;| Ú6($) bÚê($)b$ #$ � 0 E. E ;�;

�

XYYZYY[| Ú6($) bÚê($)b$ $#$ � H � H � ë ;

�;| Ú6($) bÚê($)b$ $#$ � 2Ï6Ïê � H � ë � H � ë é �ýâ ;�;| Ú6($) bÚê($)b$ $#$ � 0 E. E ;�;

�

72

XYYYZYYY[| Ú6($) bÚê($)b$ $<#$ � H(H % 1)2Ï6Ïê � H � ë � ;

�;| Ú6($) bÚê($)b$ $<#$ � 3ë< % ë % 12Ï6Ïê � H � ë % 1 ;�;| Ú6($) bÚê($)b$ $<#$ � 2Ï6Ïê � H � ë � H � ë é �ýâ ;�;| Ú6($) bÚê($)b$ $<#$ � 0 E. E ;�;

�

XYYZYY[| bÚ6($)b$ bÚê($)b$ #$ � (H< � H)Ï6Ïê � H � ë, H � 0 , ë � 0 , H � ë é �ýâ ;

�;| bÚ6($)b$ bÚê($)b$ #$ � (ë< � ë)Ï6Ïê � H � ë, H � 0 , ë � 0 , H � ë é �ýâ ;�;| bÚ6($)b$ bÚê($)b$ #$ � 0 E. E ;�;

�

XYYZYY[| bÚ6($)b$ bÚê($)b$ $#$ � (H< � H)Ï6Ïê � H � ë, H � 0 , ë � 0 , H � ë é H��ýâ ;

�;| bÚ6($)b$ bÚê($)b$ $#$ � (ë � ë)Ï6Ïê � H � ë, H � 0 , ë � 0 , H � ë é H��ýâ ;�;| bÚ6($)b$ bÚê($)b$ #$ � 0 E. E ;�;

�

Casos Particulares

| bÚ6($)b$ bÚê($)b$ #$ � 0 E. E ;�;

| | Ú°($)Ú°(c)#$#c � 2;�;

;�;

| | Ú;($)Ú°(c)$#$#c � 2√3;�;

;�;

73

Anexo C

C.1 – Formulas e Teoremas

C.1.1 – Divergência de um Campo Vectorial

Seja v(x,y,z)�(v1(x,y,z), v2(x,y,z), v3(x,y,z)) uma função vectorial diferenciável.

Define-se a divergência {v} do campo vectorial através de [58]:

#H^({^}) � b^;b$ � b^<b$ � b^=b$

C.1.2 – Teorema da Divergência

Seja (S) uma superfície fechada que encerra o domínio (V), definida em cada ponto

com um único vector normal e exterior (n). Seja v(x,y,z)�(v1(x,y,z), v2(x,y,z), v3(x,y,z)) uma

função vectorial diferenciável. Demonstra-se que:

|#H^ ({^})#� � |{^} �I�#t

C.1.3 – Mudança de Referencial

Seja f uma função diferenciável em todo o seu domínio. Pode demonstrar-se que:

a) no caso do eixo linear com x�x(ξ) para um eixo (ξ) isoparamétrico mestre

| �($)\<\; #$ � | �($(í))\<

\;#$(í)#í #í � | �(í);

�;#$(í)#í #í

b) no caso do plano com (x,y)�(x(ξ,η),y(ξ,η)) para um domínio (ξ,η) isoparamétrico

mestre

| | �($, c)]<]; #$#c\<

\; � | | �($(í, ), c(í, ))|�(í, )|�<�; #í# <

; � | | �(í, );�; |�(í, )|#í#;

�;

74

Anexo D

D.1 – Elementos Convencionais

Apresenta-se neste Anexo as malhas tipo utilizadas nos testes numéricos que

permitiram determinar cargas críticas e esforços geometricamente não lineares utilizando EF

convencionais, com recurso ao programa comercial SAP2000

D.1.1 – Pórticos

No caso dos Pórticos utilizou-se um (ou mais) elemento(s) barra para cada coluna (com

as respectivas condições de apoio). A necessidade de um numero mais elevado de graus de

liberdade para permitir a comparação com o elementos HMT foi resolvida discretizando

proporcionalmente os elementos barra até que estes atingissem um valor de graus de

liberdade igual ou superior aos utilizados nos elementos HMT.

O método é recíproco para todas as colunas testadas e as estruturas em pórtico.

D.1.2 – Placas

No caso das Placas utilizou-se um (ou mais) elemento(s) shell para cada placa (com as

respectivas condições de apoio). A necessidade de um numero mais elevado de graus de

liberdade para permitir a comparação com o elementos HMT foi resolvida discretizando

75

proporcionalmente os elementos shell até que estes atingissem um valor de graus de

liberdade igual ou superior aos utilizados nos elementos HMT.

O método é recíproco para todas as placas testadas.