EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Capítulo 4

EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.

Capítulo 4Capítulo 4

VIGAS-COLUNA


Vigas-ColunaVigas-Coluna


Viga-Coluna com Carga Lateral ConcentradaViga-Coluna com Carga Lateral Concentrada

20

2"

22

2

2 Lx

EIQx

wkwPwQx

dxwd

EIM para

EIP

k 2

PQx

kxBkxAxw2

cossen)(



PQx

kxBkxAxw2

cossen)(

)2cos(1

20)

2('

00)0(

kLPkQ

AL

w

Bw

22cossen

2)(

kLkLkx

PkQ

xw

22cos2sen

2kL

kLkL

PkQ

2,tan

2kL

uuuPkQ com

3

3

3

3

3

3 tan348

tan2

348

tan24

48 uuu

EIQL

uukLEI

QLuu

kPLEI

EIQL

EIQL48

3

0 30

tan3u

uu



30

tan3u

uu

...31517

152

3tan 75

3

uuu

uu

...

10517

52

1 420 uu

crPPL

EIP

u 46.24 2

222

...1...998.0984.01

2

0

2

0crcrcrcr PP

PP

PP

PP

crPP

11

0EI

QL48

3

0



Momento Fletor Máximo

crcr

max PPEIPLQL

PPEIPQLQL

PQL

M1

112

141

14844

23

crPP

LEIP

EIPL

82.01212

2

22

2

cr

crmax PP

PPQLM

118.01

4

cr

crmax PP

PPMM

118.01

0


Viga-Coluna com Carga DistribuídaViga-Coluna com Carga Distribuída

dxdxdwP

dxwqdxdxwdEI

VULLL 2

00

2

02

2

22

Lx

xw sen)(

LPqL

LEIL

LPL

qL

LEI

dxLx

LP

dxLx

qdxLx

LEI

VULLL

42

4222

22

cos2

sensen2

22

4

24

2

42

4

42

0

22

42

00

24

42



224

4

3

140

222

24)

LPEIqL

LPqL

LEIVU

crPPEI

qL

EIPLEI

qLLPEI

EIEIqL

1

15

15363845

1

15

15363845

51536

3845

5

4

2

25

4

224

4

EIqL

3845 4

0 crPP

11

000386.15

15365

Deslocamento Máximo



cr

cr

crcr

crcrmax

PP

PPqLPPP

PqL

PPEIPLqL

PPEIPqLqL

PqL

M

1

03.01

811

03.118

11

485

181

13845

8822

22422

Momento Máximo

cr

crmax PP

PPMM

1

03.010


P = carga axial agindo no membro no momento da falha quando ambas, a compressão axial e flexão, estão presentes;

Pu = carga última no membro quando somente a compressão axial está

presente, isto é, a carga de flambagem do membro;

M = momento primário máximo agindo no membro no instante da falha quando ambas, a compressão axial e flexão estão presentes; este momento exclui a amplificação devido à presença da carga axial, ou seja, é o momento devido ao carregamento transversal somente;

Mu = momento último do membro sob flexão somente; na condição final,

este momento é o momento plástico da seção; na condição limite, é o momento sob o qual a fibra extrema atinge a tensão de escoamento.

Viga-Coluna: Equação de Interação Viga-Coluna: Equação de Interação


Viga-Coluna: Equação de InteraçãoViga-Coluna: Equação de Interação

1uu MM

PP

1

1

crPP

M

MPP

uu


Análise de Vigas-Coluna de um Único VãoAnálise de Vigas-Coluna de um Único Vão

crPPMM

11

0

a) Calcule a Carga Crítica

b) Se P/Pcr < 0.6

c) Se P/Pcr > 0.6

)(cossen)( 221 xfj

jx

Cjx

CxM

dxxdf

jjx

jC

jx

jC

dxdM

xV)(

sencos)( 221 PEI

j

PxVxV

xP

xMxMx

)()()(

)()()( 00 ;

C1, C2 e f(x) tabelados


Análise de Vigas-Coluna de um Único VãoAnálise de Vigas-Coluna de um Único Vão

Exemplo

11

crcr PPM

MPP

u

Viga Projetada a partir de


Análise de Vigas-Coluna - ExemploAnálise de Vigas-Coluna - Exemplo

Passo 1: Determine se P > Pcr , considere P agindo sozinho

kips ksi

in; in; A

crcrcr

minmin

153.8762.07.107.104.99

10700

'

4.99503.050'

50'503.0762.0193.0

2

2

2

2

AFPL

EF

LLL

I

Passo 2: Determine o nível de tensão devido à carga P atuando sozinho e a margem de segurança em relação à flambagem

165.01186.9

7.101..186.9

762.07

cc f

FSM

AP

f cr ; ksi


Análise de Vigas-Coluna - ExemploAnálise de Vigas-Coluna - ExemploPasso 3: Determine as expressões para o momento ao longo da viga

M2

M1

PP

x

jL

jL

MM

sen

cos12

C1 C2 f(x)

1M 0

a b

x

W

P Pax

jLjWj

para sen

bsen

ax

jLj

aWj para

tan

sen

ja

Wj sen

0 0

0

4100.34

03.2850

sen

03.2835

sen03.2875.003.28

50cos812

sen

sen

sen

cos12

1

jLjb

wj

JL

jL

MMC

ax para

03.287

514.010700

P

EIj y



, de modo que 8012 MC 000)( 2 jxf

axj

x

j

xxM ; cos8sen41.34)(

3265.16

03.2850

tan

03.2815

sen03.2875.0

03.2850

sen

03.2850

cos812

tan

sen

sen

cos12

1

jLjb

wj

JL

jL

MMC

7207.1803.28

15sen03.2875.08sen12

j

aWjMC

000)( 2 jxf

axj

x

j

xxM ; cos7207.18sen3265.16)(

ax para



Passo 4: Determine o momento máximo

in-kip

; in-kip ; in-kip

429.2403.28

15cos8

03.28

15sen41.34

128 21

C

BA

M

MMMM

O momento máximo se dará ou numa das extremidades A e B, ou no ponto C de aplicação da carga, ou em algum ponto entre A e C, ou em algum ponto entre C e B.

63.373424.13013.48

41.34tan0sen

8cos

41.34 x

j

x

j

x

j

x

jj

x

jdx

dM rad

in-kips

rad

max 839.2403.28

10.20cos7207.18

03.28

10.20sen3265.16

10.207172.08721.0tan0sen7207.18

cos3265.16

M

xj

x

j

x

j

x

jj

x

jdx

dM

Entre A e B ?

Entre B e C ?como x > a = 15, não há mínimo local no intervalo



Mmax = 24.840 kips-in

Passo 5: Calcule a tensão total e a margem de segurança do passo 2, tensão de compressão: fc = - 9.186 ksi

tensão normal máxima de flexão: fb = Mc / I = 24.840x0.97/0.514 = 46.877 ksi

tensão combinada: ftotal = | fc | + | fb| = 56.063 ksi

M.S. = Fy / ftotal – 1 = 70/56.063 – 1 = + 0.249

Como pode ser notado, o projeto da viga é mais crítico em relação à flambagem em torno do eixo z e a margem de segurança é + 0.165


Vigas-Coluna ContínuasVigas-Coluna Contínuas


Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 1Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 1



9171.071.32

307643.0

71.32

2571.32

5

5.010700

j

L

j

L

P

EIj RL ; ; in

0919.1

9171.0

29171.029171.0tan2422tan24

0610.10412.17643.0tan

1

7643.0

1

7643.0

3

tan

113

1076.10726.17643.0

1

7643.0sen

1

7643.0

61

sen

16

33

R

RL

RL

jL

jLjL

jLjLL

j

jLjLL

j

;

;

44 10346.95.010700

3010788.7

5.010700

25

6

R ; FF

EI

LF L

Passo 1: Inicie com os cálculos preliminares

Passo 2: Calcule o valor das funções de Berry

Passo 3: Calcule as funções F:



M2 = - 28.143 kips-in

233

3

10592.45.01070024

0919.1302.0

24

10774.725

5.12

7643.0sen

27643.0sen

5

1

sen

sen

EI

wLH

HL

b

jL

jb

P

WH

R

LL

143.2810605.3

101456.10103694.5107762.410605.3

10592.410774.71076.110346.930

0610.110346.90412.110788.720726.110788.720

3

2

222

23

234

442

4

MM

M

ou

Passo 4: Calcule as funções H:

Passo 5: Substitua na fórmula geral e resolva para M2








Vigas com Carga Axial de TraçãoVigas com Carga Axial de Tração

EI

Pk , com )(" 2 xfwkw

)(coshsenh)( xwkxBkxAxw p

)(coshsenh)( 243̀ xfj

j

xC

j

xCxM

dx

xdfj

j

x

j

C

j

x

j

C

dx

dMxV

)(senhcosh)( 243

PEI

j

C3, C4 e f(x) tabelados

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