Exemplo-Lajes

1

Exemplo de cálculo das lajes do tabuleiroutilizando as tabelas de Rüsch

Planta esquemática do tabuleiro

L1 L2 L3 L4

L5

L6

Viga principal

Viga principal

Tran

sver

sina

Tran

sver

sina

Tran

sver

sina

Cor

tina

Cor

tina

Borda livre

Borda livre

5 m 8,5 m 8,5 m 5 m

1 m

5 m

1 m

2

Esquema das lajes isoladas

5 m

5 m

8,5 m

5 mLajes L1 = L4 Lajes L2 = L3

Lajes L5 = L6

L1 L2 L3 L4

L5

L6

Viga principal

Viga principal

Tran

sver

sina

Tran

sver

sina

Tran

sver

sina

Cor

tina

Cor

tina

Borda livre

Borda livre

Borda livre

27 m

1 m

1.1- Cálculo das lajes “isoladas”1.1.1- Lajes L1 = L4a) CargasCarga permanente

Laje: h = 18cm Pavimentação: emédio = (5 + 11) / 2 = 8cmPeso próprio da laje: 0,18 x 25 = 4,50 kN/m2

Peso da pavimentação: 0,08 x 24 = 1,92 kN/m2

Peso do recapeamento: 2,00 kN/m2

---------------g = 8,42 kN/m2

Carga móvel (classe 45)Q = 75 kN (peso de uma roda) q = 5 kN/m2 (carga distribuída na pista)

Coeficiente de impactol = 5m (menor dos vãos) ⇒ φ = 1,4 – 0,007 x 5 = 1,365

1- Momentos fletores nas lajes “internas” (L1 , L2 , L3 , L4)

3

b) Identificação da tabela de Rüsch

lx = 5m , ly = 5m ⇒ ly / lx = 1

Parâmetros para utilização das tabelas: lx / a , t / alx = 5m , a = 2m ⇒ lx / a = 2,5

m316,050,020,0b20,0'the2'tt =×=×=+⋅+=

e = emédio = 8cm = 0,08m

h = 18cm = 0,18m

t = 0,316 + 2 × 0,08 + 0,18 = 0,656m ⇒ t / a = 0,656 / 2 = 0,328

Consultando o índice das tabelas:tabela 85 , página 57

5 m

5 m

x

y

= x

= y

Direção dotráfego

Mxm , Mym Mye

Momentos que podem ser calculados:Mxm , Mym , Mye

c) Momentos fletores da carga permanenteMg = k . g . lx2

k = coeficiente fornecido pela tabelag = 8,42 kN/m2 lx = 5m

Mxm,g = 0,030×8,42×52 = 6,32 kN.m/mMym,g = 0,036×8,42×52 = 7,58 kN.m/mMye,g = -0,084×8,42×52 = -17,68 kN.m/m

d) Momentos fletores da carga móvelMq = φ ( Q . ML + q1 . Mp + q2 . Mp’ )

φ = 1,365 Q = 75 kN q1 = q2 = q = 5 kN/m2

ML = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a e t/aMp = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/aMp’ = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a

lx/a = 2,5t/a = 0,328 ⇒ é necessário interpolar ML entre

t/a = 0,25 e 0,50

4

Mxm,q :

Mxm,q = 1,365×(75×0,295 + 5×0 + 5×0,17) = 31,36 kN.m/m

0,17-0,2330,2950,3232,50,500,3280,25

Mp’MpML para t / alx / a

Mym,q :

Mym,q = 1,365×(75×0,271 + 5×0 + 5×0,27) = 29,59 kN.m/m

0,27-0,2500,2710,2812,50,500,3280,25


Mye,q :

Mye,q = -1,365×(75×0,741 + 5×0 + 5×0,66) = -80,36 kN.m/m

0,66-0,700,7410,762,50,500,3280,25


1.1.2- Lajes L2 = L3

a) CargasCarga permanente

Laje: h = 18cm Pavimentação: emédio = (5 + 11) / 2 = 8cmPeso próprio da laje: 0,18 x 25 = 4,50 kN/m2



---------------g = 8,42 kN/m2

É a mesma das lajes L1 e L4


Coeficiente de impactol = 5m (menor dos vãos) ⇒ φ = 1,4 – 0,007 x 5 = 1,365

5


lx = 5m , ly = 8,5m⇒ ly / lx = 1,7

Consultando o índice das tabelas:tabela 88 ⇒ ly / lx = 2,0 e tabela 89 ⇒ ly / lx = 1,5

As tabelas 88 e 89 “não existem”

As indicações para o cálculo são fornecidas no índice:para a carga permanente ⇒ valores de k estão no índicepara a carga móvel ⇒ Mxm e Mym utilizar a tabela 1

Mye utilizar a tabela 58

Momentos que podem ser calculados:

Mxm , Mym , Mye8,5 m

5 m

x

y

= x

= y


Mxm , Mym Mye

Parâmetros para utilização da tabela: lx / a , t / a

lx = 5m , a = 2m ⇒ lx / a = 2,5

t = 0,316 + 2 × 0,08 + 0,18 = 0,656m ⇒ t / a = 0,328são iguais aos da laje L1

c) Momentos fletores da carga permanenteMg = k . g . lx2

k = coeficiente fornecido pelo índice das tabelas em função de ly / lxly / lx = 1,7 ⇒ é necessário interpolar entre ly / lx = 2,0 e 1,5

g = 8,42 kN/m2 lx = 5m

-0,1050,0390,0541,5-0,1110,0380,0661,7-0,1190,0370,0842,0

MyeMymMxm

Valores de k paraly / lx Mxm,g = 0,066×8,42×52 = 13,89 kN.m/mMym,g = 0,038×8,42×52 = 8,00 kN.m/mMye,g = -0,111×8,42×52 = -23,37 kN.m/m

6

d) Momentos fletores da carga móvel

Mq = φ ( Q . ML + q1 . Mp + q2 . Mp’ )

φ = 1,365 Q = 75 kN q1 = q2 = q = 5 kN/m2

ML = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a e t / a

Mp = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a

Mp’ = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a

lx/a = 2,5

t/a = 0,328 ⇒ é necessário interpolar ML entret/a = 0,25 e 0,50

Tabela 1 com tráfego na direção y ⇒ Mxm e Mym

Tabela 58 com tráfego na direção y ⇒ Mye

Tabela 1 com tráfego na direção y ⇒ Mxm e Mym

Tabela 58 com tráfego na direção y ⇒ Mye

Mxm,q :

Mxm,q = 1,365×(75×0,581 + 5×0,58 + 5×0,96) = 69,99 kN.m/m

0,960,580,560,5810,592,5

0,500,3280,25Mp’Mp

ML para t / alx / a

Mym,q :

Mym,q = 1,365×(75×0,323 + 5×0,10 + 5×0,24) = 35,39 kN.m/m

0,240,100,2900,3230,3382,5

0,500,3280,25Mp’Mp

ML para t / alx / a

Mye,q :

Mye,q = -1,365×(75×0,84 + 5×0,39 + 5×0,95) = -95,14 kN.m/m

0,950,390,820,840,852,5

0,500,3280,25Mp’Mp

ML para t / alx / a

7

1.2- Correção para laje contínua

Direção da continuidade da laje ⇒ x’

x

y

x

y

x

y

x

y

L1 L2 L3 L4

y'

x'

Corrigir somente os efeitos da carga móvel

1.2.1- Lajes L1 = L4 Mxm,q = 31.36 Mym,q = 29,59 Mye,q = -80,36lx’ = ly = 5m ly’ = lx = 5m ⇒ ly’ / lx’ = 1

Laje marginal ou extremaPlaca vinculada nos 4 lados

Coeficientes fornecidos pela tabela de correção:MA = MB/2 α01 = 1,05 α0B = 0,96

Os vãos são menores que 20m:20,105,1

10051

2,1

1001

2,101

'x1 =⋅

+=α⋅

+=α

l

10,196,0

10051

2,1

1001

2,1B0

'xB =⋅

+=α⋅

+=α

l

Mx’m,q = Mym,q ⇒ correção com α1 ⇒ Mym,q,corr = Mym,q.α1 = 29,59 × 1,20 = 35,51My’m,q = Mxm,q ⇒ não precisa ser corrigido ⇒ não está na direção da continuidadeMx’e,q = Mye,q ⇒ correção com αB ⇒ Mye,q,corr = Mye,q.αB = -80,36 × 1,10 = -88,40

Após as correções: Mxm,q = 31,36 Mym,q = 35,51 Mye,q = -88,40

5 m

5 m

x

y

= x

= y

Mxm , Mym Mye

x'

y'

A1

B

8

1.2.2- Lajes L2 = L3 Mxm,q = 69,99 Mym,q = 35,39 Mye,q = -95,14lx’ = ly = 8,5m ly’ = lx = 5m ⇒ ly’ / lx’ = 0,59

Laje internaPlaca vinculada nos 4 lados

Coeficientes fornecidos pela tabela de correção:α02 = 1,05 α0C = 1,00

Os vãos são menores que 20m:

16,105,1

1005,81

2,1

1001

2,102

'x2 =⋅

+=α⋅

+=α

l

11,100,1

1005,81

2,1

1001

2,1C0

'xC =⋅

+=α⋅

+=α

l

Mx’m,q = Mym,q ⇒ correção com α2 ⇒ Mym,q,corr = Mym,q.α2 = 35,39 × 1,16 = 41,05My’m,q = Mxm,q ⇒ não precisa ser corrigido ⇒ não está na direção da continuidadeMx’e,q = Mye,q ⇒ correção com αC ⇒ Mye,q,corr = Mye,q.αC = -95,14 × 1,11 = -105,61

Após as correções: Mxm,q = 69,99 Mym,q = 41,05 Mye,q = -105,61

8,5 m

5 m

x

y

= x

= y

Mxm , Mym Myex'

y'

C2

C

1.3- Valores finais para dimensionamento no E.L.U.

Peso próprio da laje = 4,50 kN/m2

Carga permanente total: g = 8,42 kN/m2

Peso próprio / g = 0,52 < 0,75 ⇒ pontes em geral⇒ γg = 1,35 e γq = 1,5

1.3.1- Lajes L1 = L4

Mxm,d = 1,35×6,32 + 1,5×31,36 = 55,57 kN.m/mMym,d = 1,35×7,58 + 1,5×35,51 = 63,26 kN.m/mMye,d = 1,35×(-17,68) + 1,5×(-88,40) = -156,47 kN.m/m

1.3.2- Lajes L2 = L3

Mxm,d = 1,35×13,89 + 1,5×69,99 = 123,74 kN.m/mMym,d = 1,35×8,00 + 1,5×41,05 = 72,38 kN.m/mMye,d = 1,35×(-23,37) + 1,5×(-105,61) = -189,96 kN.m/m

9

1.3.3- Momento fletor negativo das lajes L1 = L4

na ligação com a cortina

x

y

MAMxm , Mym

MB = Mye

MA MB = Mye

MA = MB / 2 = Mye / 2 MA = -156,47 / 2 = -78,23

2- Forças cortantes nas lajes “internas”

2.1- Lajes L1 = L4

a) Cargasg = 8,42 kN/m2 Q = 75 kN q = 5 kN/m2 φ = 1,365


lx = 5m , ly = 5m ⇒ ly / lx = 1

Consultando o índice das tabelas:tabela 102

Parâmetros para a tabela de Rüsch:lx/a = 2,5 t/a = 0,328

Forças cortantes que podem ser calculadas:Vy = Qx → Vx = Qx ↑

5 m

5 m

x

y

= x

= y


Vx

Vy

10

c) Efeito da carga permanenteVx,g = Vy,g = 0,44 g.lx = 0,44×8,42×5 = 18,52 kN/m

d) Efeito da carga móvelVq = φ ( Q . VL + q1 . Vp + q2 . Vp’ )

0,26-0,951,531,800,400,011,001,551,802,50,500,3280,500,500,3280,25

Vp’VpVL para t / a

Vp’VpVL para t / a

Qx ↑ = VxQx → = Vy

lx / a

Vx,q = 1,365×(75×1,53 + 5×0 + 5×0,26) = 158,41 kN/mVy,q = 1,365×(75×1,55 + 5×0,01 + 5×0,40) = 161,48 kN/m

e) Valores totais para dimensionamento no E.L.U.Vx,d = 1,35×18,52 + 1,5×158,41 = 262,62 kN/mVy,d = 1,35×18,52 + 1,5×161,48 = 267,22 kN/m

2.2- Lajes L2 = L3a) Cargas

g = 8,42 kN/m2 Q = 75 kN q = 5 kN/m2 φ = 1,365


lx = 5m , ly = 8,5m ⇒ ly / lx = 1,7

Parâmetros para a tabela de Rüsch:lx/a = 2,5 t/a = 0,328

Tabelas a serem utilizadas:tabela 99: Vx = Qx ↑tabela 102: Vy = Qx →

c) Efeito da carga permanenteVx,g = 0,5 g.lx = 0,5×8,42×5 = 21,05 kN/m

Vy,g = 0,44 g.lx = 0,44×8,42×5 = 18,52 kN/m

8,5 m

5 m

x

y

Direção dotráfego=

x

= y

Vx

Vy

11

d) Efeito da carga móvel: Vq = φ ( Q . VL + q1 . Vp + q2 . Vp’ )

e) Valores totais para dimensionamento no E.L.U.Vx,d = 1,35×21,05 + 1,5×130,15 = 223,64 kN/mVy,d = 1,35×18,52 + 1,5×158,41 = 262,62 kN/m

0,230,090,881,251,422,5

0,500,3280,25Vp’Vp

VL para t / alx / atabela 99 , Vx = Qx ↑

Vx,q = 1,365×(75×1,25 + 5×0,09 + 5×0,23) = 130,15 kN/m

0,400,011,001,551,802,5

0,500,3280,25Vp’Vp

VL para t / alx / atabela 102 , Vy = Qx →

Vy,q = 1,365×(75×1,55 + 5×0,01 + 5×0,40) = 158,41 kN/m

Borda livre

27 m

1 m


= x

= y

x

y

3- Momentos fletores nas lajes em balanço (L5 e L6)

lx = 1m , ly = 27m ⇒ ly / lx = 27 = ∞

Tabela no.98 com tráfego na direção y (páginas 72 e 73)

Página 72 ⇒ coeficientes para Mxe (engastamento)Myr (borda livre)

Página 73 ⇒ coeficientes para Mxm (meio da laje)Mym (meio da laje)

Mxm e Mym não serão calculados ⇒ vão lx é pequeno (1m)

Myr

Mxe

12

a) CargasCarga permanente

Laje: hmédio = (15 + 28) / 2 = 21,5cmPavimentação: emédio = (5 + 11) / 2 = 8cm

Peso próprio da laje: 0,215 x 25 = 5,38 kN/m2



---------------g = 9,30 kN/m2

(Defensa e placa pré-moldada serão consideradas separadamente)


Coeficiente de impactol = 2×1,38m (laje em balanço) ⇒ φ = 1,4 – 0,007 x 2,76 = 1,381

b) Parâmetros para as tabelas de Rüschlx = 1m , a = 2m ⇒ lx/a = 0,5t’ = 0,316m , emédio = 0,08m , hmédio = 0,215m

⇒ t = 0,316 + 2×0,08 + 0,215 = 0,691m ⇒ t/a = 0,346

c) Momentos fletores da carga permanenteMxe,g = -0,5×9,30×12 = -4,65 kN.m/m (laje, pavimentação e recapeamento)Myr,g = 0

Efeito do peso da defensa, base da defensa e placa pré-moldada:Defensa: (0,1934×25)×(1,00 + 0,19) = 5,75 kN.m/mBase da defensa: (0,15×0,38×25)×(1,00 + 0,19) = 1,70 kN.m/mPlaca pré-moldada: (0,07×1,31×25)×(1,00 + 0,38) = 3,16 kN.m/m

Valor total:Mxe,g = -4,65 – 5,75 – 1,70 – 3,16 = -15,26 kN.m/m

13

Mxe,q :

--0,390,4520,490,5

0,500,3460,25Mp’Mp

ML para t / alx / a

Mxe,q = -1,381×(75×0,452 + 5×0 + 5×0) = -46,82 kN.m/m

d) Momentos fletores da carga móvel

Myr,q :

--0,1450,2190,2650,5

0,500,3460,25Mp’Mp

ML para t / alx / a

Myr,q = 1,381×(75×0,219 + 5×0 + 5×0) = 22,68 kN.m/m

e) Valores totais para dimensionamento no E.L.U.Mxe,d = 1,35×(-15,26) + 1,5×(-46,82) = -90,83 kN/m

Myr,d = 1,35×0 + 1,5×22,68 = 34,02 kN/m

4- Procedimento alternativo - sem uso das tabelas de Rüschpara o cálculo das lajes em balanço (L5 e L6)Artigo do Prof. Telêmaco van Langendonck - Revista Estrutura no.33 - 1961

φQ

22,5

6,2557

,5

50 50

28,7

5

87,5

43,75 6,25

2050

h = 21,5e = 8

87,5

50 + 2x8 + 21,5 = 87,5

57,5

20 + 2x8 + 21,5 = 57,5

Área de contato da roda propagado:A = 0,575×0,875 = 0,5031 m2

Área contida na zona de influência:Ai = A – 0,225×0,225 = 0,4525 m2

14

Cálculo do momento fletor da carga móvel

Qi = φ.Q.Ai / A ⇒ Mq = Qi / 2

Q = 75 kN ⇒ peso de uma roda do veículo

φ = 1,381 ⇒ coeficiente de impacto

Ai = 0,4525 m2 ⇒ área contida na zona de influência

A = 0,5031 m2 ⇒ área de contato da roda propagado

Qi = 1,381×75×0,4525 / 0,5031 = 93,16 kN

Mq = 93,16 / 2 = 46,58 kN.m/m

Valor calculado utilizando as tabelas de Rüsch:

Mxe,q = 46,82 kN.m/m

Cálculo da força cortante da carga móvel

bw = b + 0,5.a1.(1 – b / l)b = 0,575 ma1 = 0,50 ml = 1,00 + 0,38 = 1,38 m

bw = 0,575 + 0,5×0,50×(1 – 0,575 / 1,38)= 0,72 m

vq = φ.Q / bw

= 1,381×75 / 0,72= 143,85 kN/m

b bw

a1

φQ

38 100

Conforme procedimento indicado na NBR 6118 de 1978, itens 3.3.2.4 e 3.3.2.5

Documents

Exemplo-Lajes