Gutemberg Filho - Engenharia Civil

Fatoração

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2

Definição

É a transformação da soma e/ou subtração de váriostermos em um produto de diversos fatores

𝒂. (𝒃 + 𝒄) =

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Exemplos

• 5x + 5y = 5(x+y)

• m² + 2mn + n² = (m+n)²

• x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = (x+y)³

Definição

A fatoração é um recurso que utilizamos na

simplificação de sentenças matemáticas. Quando

for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de

uma fração ou de uma equação, por exemplo.

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Fator comum

A forma mais básica de fatoração é a colocação defatores comuns em evidência

Exemplo:

14m + 28n = 7.2m + 7.4n = 7(2m + 4n)

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Agrupamento

No tipo de fatoração por agrupamento não temosum fator que é comum a todos os termos, noentanto temos fatores que são comuns a algunstermos e outros fatores que são comuns a outrostermos

𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚 = 𝒂 + 𝒃 . (𝒙 + 𝒚)

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Exemplo

4x + 6x + 4y + 6y

Nos dois primeiros termos (4x e 6x) o X é um fator comum. Já nosdois segundos termos (4y e 6y) o Y é um fator comum.

= x (4 + 6) + y (4 + 6)

Temos outro fator comum, o (4 + 6).

= (4 + 6) . (x + y)

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Praticando

13j + 7j + 13k + 7k

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= j(13 + 7) + k(13 + 7)

(13 + 7) . (j + k)

Fatoração de...

1. Diferença de dois quadrados

2. Trinômio quadrado perfeito (SOMA)

3. Trinômio quadrado perfeito (DIFERENÇA)

4. Cubo perfeito (SOMA)

5. Cubo perfeito (DIFERENÇA)

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Diferença de dois quadrados

a² - b² = (a + b) . (a – b)

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EXEMPLO

25y² - 9z² = (5y)² - (3z)² = (5y + 3z) . (5y – 3z)

A fatoração foi realizada encontrando o valor de a e b, que

são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do

segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).

Praticando

49w² - 36y² = ?

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= (7w)² - (6y)²

a = 7w; b= 6y

= (7w + 6y) . (7w – 6y)

Trinômio quadrado perfeito - SOMA

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O quadrado da SOMA de dois termos é a forma fatoradade um trinômio quadrado perfeito

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Como fatorar o trinômio abaixo?

x² + 14x + 49

Resolução

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1°) Encontrar a

obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x², noprimeiro termo;

2°) Encontrar b

obtemos o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49, noterceiro termo

Assim,

a = x e b = 7

Resolução

Realizando a substituição de a e b, vamos entãoanalisar a2 + 2ab + b2 termo a termo para verificar se opolinômio obtido é igual ao polinômio original.

Quando substituímos a por x em a2 chegamos ao x2 original

Substituindo a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . X . 7,equivalente ao 14 x original

E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72,equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.

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Resposta

Assim,

x² + 2 . x . 7 + 7² = (x + 7)²

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Exemplo

4x² + 12xy + 9y²

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= (2x)² + 2. 2x . 3y + (3y)²

Obs.: a = 2x e b = 3y

= (2x + 3y)²

Trinômio quadrado perfeito - DIFERENÇA

Procede-se como na SOMA

Exemplo

9x² - 24xy + 16y²

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a² - 2ab + b² = (a - b)²

a = 9x² = (3x)² = 3x b = 16y² = (4y)² = 4y

2ab = 2 . 3x . 4y

Resposta

Assim, como cada membro do trinômio éequivalente ao trinômio original, a fatoração de:

9x² - 24xy + 16y² é (3x – 4y)²

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Cubo perfeito - SOMA

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, quenada mais é que o cubo da soma de dois termos

PARA A FATORAÇÃO DE CUBO PERFEITO UTILIZAREMOS AMESMA TÉCNICA QUE FOI APLICADA PARA TRINÔMIO.

(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑18/27

Exemplo

343 + 144y + 189y² + 27y³

Nosso objetivo é escrevê-lo na forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

FAREMOS A RAIZ DO PRIMEIRO E DO ÚLTIMO MEMBRO DOPOLINÔMIO

Substituindo a por 7 que é a raiz cúbica de 343

E

Substituindo b por 3y que é a raiz cúbica de 27y3

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Resolução

Temos que:

• 343 = 7³ = a³• 441y = 3 . 7² . 3y = 3a²b• 189y² = 3 . 7 . (3y)² = 3ab²• 27y³ = (3y)³ = b³

Logo, a forma fatorada de 343 + 144y + 189y² + 27y³é (7 + 3y)³

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Cubo perfeito - DIFERENÇA

(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑

EXEMPLO

Vamos fatorar a sentença abaixo de forma análoga a quefizemos no tipo de fatoração anterior

8a³ - 84a²b + 294ab² - 343b²

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Resolução

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• Extraímos a raiz cúbica de 8a3 e de 343b³

a = 2a e b = 7b

• 8a³ = (2a)³ = a³

• 84a²b = 3 . (2a)² . 7b = 3a²b

• 294ab² = 3 . 2a . (7b)² = 3ab²

• 343b³ = (7b)³ = b²

Resposta

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Assim, a forma fatorada do polinômio:

8a³ - 84a²b + 294ab² - 343b²

é (2a – 7b )³

Praticando...

1°) 125a³ + 150a²b + 60ab² + 8b³

2°) 1000x³ - 1500x² + 750x - 125

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Resposta 1°

125a³ + 150a²b + 60ab² + 8b³

125a³ = (5a)³ = a³

8b³ = (2b)³ = b³

= (5a)³ + 3 . (5a)² . 2b + 3 . 5a . (2b)² + (2b)³

= (5a + 2b)³

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Resposta 2°

1000x³ - 1500x² + 750x – 125

1000x³ = (10x)³ = a³

125 = 5³ = b³

= (10x)³ - 3 . (10x)² . 5 + 3 . 10x . 5² - 5³

= (10x - 5)³

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Obrigada pela atenção!

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