EXPERIÊNCIA 6b

MEDIDA DA VELOCIDADE DA LUZ. A velocidade da luz no vácuo é uma das mais importantes e intrigantes constantes da natureza. Quer provenha de um laser sobre uma mesa ou de uma estrela que se esteja se afastando a grandes velocidades a luz tem sempre a mesma velocidade. Numa terminologia mais precisa e mais abrangente a velocidade da luz é independente das velocidades relativas da fonte de luz e do observador. Albert Einstein revelou em sua Teoria da Relatividade Restrita dois aspectos surpreendentes da velocidade da luz:

1 - A velocidade da Luz estabelece o valor limite da velocidade que pode ser atingida por qualquer corpo. 2 - Objetos que se movem com velocidades próximas à da luz seguem um conjunto de leis físicas drasticamente diferentes, não apenas das leis de Newton, mas dos pressupostos básicos da intuição humana.

Com isso em mente, não é surpreendente que tanto tempo e esforço tenham sido investidos na medição da velocidade da luz. Algumas das medidas mais precisas foram feitas por Albert Michelson entre 1926 e 1929 usando métodos muito semelhantes ao que você utilizará nesse experimento. Michelson mediu a velocidade da luz no ar de 2.99712×108 m/s. A partir desse resultado ele deduziu a velocidade da luz no vácuo como sendo 2.99796×108 m/s. Michelson, entretanto, não foi o primeiro a se preocupar com tal medida. Através da história, os poucos que pensaram em especular sobre a velocidade da luz a consideraram como infinita. Um dos primeiros a questionar essa suposição foi Galileu, o grande físico Italiano considerado pai da física experimental. De fato, em 1667, Galileu sugeriu um método para medir a velocidade da luz. O método era bastante simples. Duas pessoas levaram uma lanterna cada uma ao topo de duas colinas separadas por uma distância de aproximadamente uma milha. A primeira pessoa descobria a sua lanterna e quando a outra via a luz emitida imediatamente descobria a sua. Medindo o tempo transcorrido entre o instante em que a primeira pessoa descobriu a sua lanterna e o instante em que ela via a luz da lanterna da outra pessoa, dividindo por duas vezes a distância entre as colinas a velocidade da luz poderia ser determinada. Entretanto, com a velocidade da luz sendo o que é, e com os tempos de reação humanas sendo o que são, Galileu somente pode determinar que a velocidade da luz era muito maior do que ele poderia determinar por esse método. A primeira medida bem sucedida da velocidade da luz foi feita por um astrônomo dinamarquês chamado Olaf Römer, em 1675. Römer baseou as suas medidas nas observações das eclipses de uma das luas de Júpiter. Ele observou que a duração das eclipses era menor quando a Terra estava se movendo em direção a Júpiter do que quando ela estava se afastando. Ele interpretou o fenômeno corretamente e calculou uma velocidade de 2.1×108 m/s. Apesar de obter

um valor de cerca de 2/3 do valor correto, o método de Römer serviu para mostrar que, de fato, a velocidade da luz não era infinita e deu uma estimativa razoável para o seu valor - nada mal para 1675! Em 1849, o cientista francês Fizeau desenvolveu um método engenhoso para medir a velocidade da luz com distâncias razoáveis, ou seja, não interplanetárias como no método de Römer. Ele usou uma roda dentada girando em alta velocidade em frente de uma fonte de luz para iluminar um espelho distante com o feixe pulsado de luz. O espelho devolveria o feixe em direção à roda e, dependendo da posição da roda, o pulso poderia passar de volta ou ser bloqueado. Fizeau mediu as freqüências de rotação da roda dentada que permitiam observar os pulsos que retornavam e mediu cuidadosamente a distância entre o espelho e a roda dentada para obter o valor de 3.15×108 m/s para a velocidade da luz. Foucault melhorou o método de Fizeau usando um espelho rotativo em vez da roda dentada. O método será discutido com mais detalhe abaixo. Como mencionado anteriormente Michelson utilizou o método de Foucault para medir a velocidade da luz com uma precisão impressionante (2.99774×108 m/s) quando comparado com o valor atualmente aceito e utilizado para redefinir o metro padrão (2.99792458×108 m/s exatamente). O MÉTODO DE FOUCAULT Este método foi desenvolvido por Foucault em 1862. Um diagrama esquemático da configuração experimental pode ser visto na figura 1 abaixo.

Figura 1 - Diagrama esquemático do Método de Foucault

O feixe paralelo de luz é focalizado no ponto s pela lente L1. A lente L2 é posicionada de forma que a imagem de s é criada sobre o espelho fixo Fm após refletir sobre o espelho rotativo Rm. Para que o ponto s refletido possa ser observado através do microscópio, um divisor de feixe (Beam Splitter) é posicionado no caminho ótico. Assim uma imagem refletida é formada em s’. Suponhamos que Rm seja rodado suavemente de modo que o raio refletido atinja um ponto diferente em Fm. Devido à forma esférica de Fm o raio ainda será refletido diretamente de volta para Rm e a imagem ainda será formada em s’. Apenas o ponto de reflexão em Fm muda. Imaginemos agora Rm rodando constantemente a uma alta velocidade. Neste caso, a imagem em s’ será deslocada porque, com Rm rodando, o pulso de luz viaja de Rm até Fm e retorna encontrando Rm num ângulo diferente. Como será mostrado, medindo-se o deslocamento do ponto imagem refletido pode-se determinar a velocidade da luz. DESCRIÇÃO QUANTITATIVA DO MÉTODO DE FOUCAULT Para usarmos o método de Foucault para determinar a velocidade da luz (c) é necessário determinar a relação precisa entre a velocidade da luz e o deslocamento do ponto imagem. Consideremos um feixe de luz deixando a fonte. Ele segue o caminho descrito na seção anterior. A figura 2 mostra o caminho do feixe até Fm, quando Rm está rodado de um ângulo φ com relação à direção de incidência. Como mostra a figura, o feixe atinge o ponto a.

Figura 2 - Quando o feixe luminoso incide em Rm fazendo um ângulo φ, ele será refletido para o ponto a em Fm.

A figura 3 mostra o caminho do feixe quando Rm está num ângulo φ∆+φ=φ' . Assim, o

ângulo entre o raio incidente e o refletido é 2φ′ e chamaremos o novo ponto onde o feixe atinge Fm de b. Se D é a distância entre Fm e Rm , então a distância entre a e b pode ser calculada: ( )( ) φ∆=φ−φ∆+φ=−=∆ DDbaab 222 (1)

Figura 3 - Quando Rm faz um ângulo φ′=φ+∆φ com o feixe incidente o feixe refletido atinge o ponto b.

Pensemos agora num único pulso de luz com Rm rodando. O pulso atinge Rm quando o ângulo

de incidência é φ e atinge o ponto a, mas ao retornar encontra o espelho rodado de ∆φ, ou seja, com um ângulo de incidência de φ′=φ+∆φ. Devemos agora determinar onde o novo ponto imagem será projetado. Observando a figura 4 vemos que o problema torna-se uma simples aplicação de ótica geométrica. Apesar da reflexão do feixe proveniente do objeto s ocorrer no ponto a, o ponto imagem s’ é deslocado do ponto s pela rotação do espelho e, portanto, é como se o feixe refletido proviesse do ponto b. Figura 4 - Análise das imagens virtuais

Analisando a figura 4 temos que ∆ab pode ser visto como uma ampliação de ∆s e, ao refletir em Fm , ∆s′ como uma redução de ∆ab assim:

abBD

Aaboiss ∆

+=∆

=′∆=∆ (2)

onde i é a distância da imagem até L2 (A) e o é a distância de L2 até o objeto (D+B), que nesse caso se constitui da imagem virtual de ∆ab. Combinando (1) e (2) obtemos:

BD

DAs+

∆=′∆

φ2 . (3)

O ângulo ∆φ depende da velocidade de rotação de Rm e do tempo que o pulso de luz leva para ir e voltar de Rm até Fm (2D) e, portanto:

cDω

=φ∆2 , (4)

onde c é a velocidade da luz e ω é a freqüência angular de Rm em rad./s. Substituindo (4) em (3) teremos:

( )BDcADs

+ω

=′∆24 , (5)

que pode ser rearranjada para fornecer c:

( ) sBDADc

′∆+ω

=24 . (6)

Se pensarmos num feixe contínuo de luz como uma série de pulsos infinitamente pequenos, a imagem devida a cada pulso será desviada da mesma quantidade e formarão um único ponto. Medindo o deslocamento desta imagem, da velocidade de rotação de Rm e das distâncias entre os componentes a velocidade da luz pode ser determinada. Como medir A? É importante notar que a distância A é a distância do objeto da lente L2. Mas qual é o objeto que será colocado nesta posição para medir o deslocamento da sua imagem? Neste caso o objeto se constitui do ponto focal do laser criado pela lente L1. Se quiséssemos que a imagem deste ponto fosse feita no infinito então a distância A seria a própria distância focal da lente L2. Entretanto, como desejamos criar uma imagem deste ponto sobre o espelho fixo Fm a distância A será um pouco maior que a distância focal de L2. Como o objeto é o foco do laser criado pela lente L1, obviamente, ele se encontra exatamente na posição do foco da lente L1. Uma vez estabelecida a imagem no microscópio, a distância A pode ser determinada medindo-se a distância que separa as lentes L1 e L2 e subtraindo-se deste valor a distância focal de L1. O EXPERIMENTO Primeiramente é necessário observar algumas regras de segurança e de salvaguarda do equipamento:

1) NUNCA OLHE DIRETAMENTE O FEIXE DO LASER!!! 2) Não olhe pelo microscópio com o motor do espelho rotativo desligado pois você poderá acabar olhando diretamente o feixe do laser.

3) Nunca toque na superfície do espelho, mesmo que ele esteja sujo. Este é um espelho de superfície refletora frontal, que NÃO SE PODE LIMPAR com um pano (ao contrário de espelhos comuns). A superfície refletora é facilmente danificável. Qualquer dúvida consulte o professor para evitar uma possível catástrofe. 4) Não pressione o botão vermelho no controle do motor por mais de um minuto consecutivo. Após um minuto acionado dê um tempo para resfriar o motor.

O Experimento está baseado na equação (5), e consiste em fazer medidas do deslocamento da imagem em função da freqüência angular de rotação do espelho. A precisão das medidas depende do máximo deslocamento da imagem. O sentido de deslocamento da imagem depende do sentido de rotação do espelho. Assim, a precisão das medidas pode ser aumentada fazendo-se medições com ambos os sentidos de rotação. O sistema de controle da rotação do espelho possui um visor que indica a freqüência de rotação (em Hz e não em rad/s !!!) que é medida através de foto-sensor acoplado ao eixo do espelho. A freqüência pode ser ajustada através de um botão rotativo. O sistema possui ainda uma chave com as indicações CW-CCW. A posição CW (Clockwise) faz com que o espelho gire na direção dos ponteiros do relógio e CCW (Counter-clockwise) na direção contrária. Existe ainda um botão vermelho que, se pressionado, faz com que o espelho gire na mais alta rotação possível. Não se deve pressionar este botão por mais de um minuto consecutivo pois pode acarretar um superaquecimento do motor. O deslocamento da imagem pode ser medido através da leitura do micrômetro que existe no suporte do microscópio. Meça o deslocamento da imagem para várias freqüências de rotação do motor nos dois sentidos e faça um único gráfico de ∆s′ em função de ω contendo tanto as freqüências positivas quanto negativas. Sugestão: inicie com a máxima freqüência em um dos sentidos e vá diminuindo até passar pelo zero; mude o sentido de rotação e prossiga aumentando a freqüência até atingir novamente o máximo. Com reste procedimento você pode mexer no micrômetro em um só sentido, evitando que folgas mecânicas produzam um erro considerável.

Como mostra a equação (5) a velocidade da luz poderá ser determinada a partir da inclinação da reta do gráfico ∆s’ vs. ω e dos valores A, B e D. Determinando-se os erros na inclinação e nos valores de A, B e D, encontre o erro experimental em c. Qual destes parâmetros precisaria ser mais trabalhado para melhorar a sua medida, ou seja, qual dos parâmetros acima contribui mais para o erro final? USO DO COMPUTADOR Utilize o computador para traçar o gráfico com os pontos experimentais obtidos e para fazer uma regressão linear neles (forçando com que a reta passe pela origem), obtendo assim a reta que melhor se ajusta. A partir da inclinação desta reta e de seu erro, além dos demais parâmetros, determine c±∆c.

REFERÊNCIA Instruction Manual and Experiment Guide for PASCO scientific Model OS-9261, OS-9262, and OS-9263A - SPEED OF LIGHT APPARATUS. O roteiro deste experimento foi, em grande parte, traduzido da referência citada acima pelos alunos Alessandro Martim Marques e Fernando Antônio G. da Silva e pelo professor Júnio M.R.Cruz. Uma cópia do original em inglês desta referência se encontra disponível no laboratório para consulta. Apêndice:

Diagrama esquemático simplificado do experimento de Foucalt.