Física

Aula 05 - Mecânica

Prof.: Célio Normando

Assunto: Vetores

- Cálculo do módulo da resultante para dois vetores

- Cálculo do módulo da resultante para n vetores

- Produto de vetores

Cálculo do módulo da resultante para dois vetores

AF1

F2

Sejam dois vetores e que formam um ângulo entre si, dispostos como mostra a figura seguinte:

F1

R

F2

A expressão é verdadeira ou falsa?

R = F1 + F2

VERDADEIRA.

E agora esta certo? R = F1 + F2

Não, pois o módulo da soma (R) não é igual a soma dos módulos dos vetores (F1 + F2).

F1

F2

R

Cálculo do módulo da resultante para dois vetores

A R

F2

Prolongando-se a direção de e tirando-se uma perpendicular de até esta direção, obtêm-se os triângulos OAC e ABC.

o B

A

C

No OAC OA2 = OC

2 + AC

2

R2 = F2. sen2 + F2 + 2F1F2 . cos + F2.cos2 1 2 1

R2 = (F1. sen ) 2 + (F2 + F1 . cos )2

R2 = F2 (sen2 +cos2) + F2 + 2F1 . F2 cos 1 2

No ABCAC = F1 sen

BC = F1 cos

R = F2 + F2 + 2F1F2 .cos 1 2

R2 = F2 + F2 + 2F1 F2 .cos 1 2

Casos particulares

1º Caso: e na mesma direção e no mesmo sentido.

AF1

F2

F1

F2

Processo Analítico

= 0 cos = 1

R = F2 + F2 + 2F1F2 R= (F1 + F2) 2 1 2

R = F1 + F2

F1

F2

R

Processo Geométrico

Substituindo o valor do cos na

equação

tem-se:

R = F2 + F2 + 2F1F2 .cos 1 2

Casos particulares

2º Caso: e ortogonais

AF1

F2

F2

R

F1

Processo Geométrico Processo Analítico

= 90º cos = 0Substituindo o valor do cos na equação geral:

R = F2 + F2

1 2

F1

F2

Casos particulares

3º Caso: e na mesma direção mas no sentido contrário.

AF1

F2

Processo Geométrico

F1 F2

R

Processo Analítico

R = | F1 - F2 |

R = F2 + F2 - 2F1F2 R= (F1 - F2) 2 1 2

Substituindo o valor do cos na

equação

tem-se:

R = F2 + F2 + 2F1F2 .cos 1 2

ou R = F2 – F1

= 180º cos = -1

Cálculo do módulo da resultante para n vetores

O processo anterior torna-se bastante complexo quando se têm mais de dois vetores. Para a solução de um sistema de n vetores o processo mais adequado é o PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM COMPONENTES ORTOGONAIS. Para fins didáticos o sistema é constituído de apenas quatro vetores como mostra a figura seguinte.

Y

X

2F

F2

F3

F4

F1

Y

X

2F

F1y

F1x

Cálculo do módulo da resultante para n vetores

1o)Decompor todos os vetores segundo os eixos ortogonais XY.

O processo da decomposição em componentes ortogonais consiste em:

F1X = F1.cos

F1Y = F1.sen

F2X = F2.cos

F2Y = F2 . sen

F3X = F3.cos

F3Y = F3.sen

F4X = F4.cos

F4Y = F4.sen

F1

F2x

F2y

F2

F3x

F3y

F3

F4

F4x

F4y

3º) De posse dos FX e FY pode se calcular o módulo da resultante para o caso de dois vetores ortogonais pela expressão:

Cálculo do módulo da resultante para n vetores

R = (Fx)2 + ( Fy)

2

2º) Encontrar a resultante dos vetores nos eixos X e Y

Fx=F1 . cos + F4 .cos - F2 . cos - F3 . cos

Fy=F1 . sen + F 2 . sen - F3 . sen - F4 . sen

Y

X

F1y

F1x

F2x

F2y

F3x

F3y

F4x

F4y

Produto de vetores

O produto de vetores difere do produto de escalares, pois existem dois casos:

O produto de dois vetores obtendo-se como resultado um escalar.

O produto de dois vetores obtendo-se como resultado um vetor.

Produto escalar de dois vetores

Imagine dois vetores e que formam entre si um ângulo (). O

produto escalar do vetor pelo vetor , cuja notação é

(que se lê A escalar B), é definido:

A

AB

A

AB

AB

A .

A

B

2F

=A .

B

A .

B . cos

é uma grandeza escalar.A .

B

W = W = F . d . cos

F .

d

A grandeza trabalho (W) é obtida do produto escalar da força pelo deslocamento. Por essa razão o trabalho é escalar.

Produto vetorial de dois vetores

Dados os vetores e coplanares que formam entre si um ângulo

, o produto vetorial de por , cuja notação é x (que se lê

A vetor B), é um vetor cujas características são:

A

AB

A

AB

C A

B

Módulo

2F

= A .

B . sen

C

Direção

SentidoSerá determinado pela regra da mão esquerda.

A

ABPerpendicular ao plano formado

pelos vetores e

A

B

C

A grandeza Momento estático é vetorial pois obtida do produto vetorial de dois vetores.

M = M = F . d . sen

F x

d

Agora procure resolver as Atividades para Sala e Atividades Propostas.

As soluções estão disponíveis no Click Professor.