Em física, a lei ou princípio da conservação de energia estabelece que a quantidade

total de energia em um sistema isolado permanece constante. Uma consequência

dessa lei é que energia não pode ser criada nem destruída: a energia pode apenas

transformar-se. A exemplo, na combustão da gasolina dentro de um motor a explosão

parte da energia potencial associada às ligações químicas dos reagentes transforma-

se em energia térmica, esta directamente associada à energia cinética das partículas

dos produtos e à temperatura do sistema (que elevam-se de forma substancial). Pelo

princípio da conservação da energia a energia interna do sistema imediatamente antes

da explosão é entretanto igual à energia interna imediatamente após a explosão.

Há de se tomar cuidado com o princípio associado à conservação da energia no que

se refere ao escopo de sua aplicação. Em seu sentido mais abrangente a conservação

da energia implica que se tenha como parcela na energia total do sistema, em acordo

com o princípio da equivalência entre massa e energia, uma termo associado à massa

deste sistema. Neste caso massa é tratada como se energia fosse, e não há lei de

conservação de massa para o sistema, apenas a lei da conservação da energia em

seu sentido mais abrangente.

Quando no âmbito da física clássica, entretanto, massa e energia são entidades

distintas e não relacionadas, e nestas condições a lei da conservação da energia

degenera-se em duas leis clássicas: a lei da conservação da energia em seu sentido

não o mais abrangente, e a lei da conservação de massas.

História

Filósofos da Antiguidade, desde Thales de Mileto, já tinham suspeitas a respeito da

conservação de alguma substância fundamental da qual tudo é feito. Porém, não

existe nenhuma razão particular para relacionar isso com o que conhecemos hoje

como "massa-energia". A saber Thales pensou que a substância era a água.

Em 1638, Galileu publicou sua análise de diversas situações -incluindo a célebre

análise do "pêndulo-ininterrúpto" - que pode ser descrita, em linguagem moderna,

mediante a conversão contínua de energia potencial em energia cinética e vice-versa,

garantida que a totalidade da soma destas duas - a qual dá-se o nome de energia

mecânica do sistema - permaneça sempre constante. Porém, Galileu não mencionou o

processo usando as ideias modernas de energia, e não pode ser creditado pelo

estabelecimento desta lei.

Foi Gottfried Wilhelm Leibniz durante 1676–1689 quem primeiro tentou realizar uma

formulação matemática do tipo de energia associada ao movimento (energia cinética).

Leibniz percebeu que em vários sistemas mecânicos (de várias massas, “mi” cada

qual velocidade “vi” ),

era conservada enquanto as massas não interagissem. Ele chamou essa quantidade

de vis viva ou força viva do sistema. O princípio representa uma afirmação acurada da

conservação de energia cinética em situações em que não há atrito. Muitos físicos

naquele tempo consideravam que a conservação de momento, que é válida mesmo

em sistemas com presença de atrito, como definido pelo momento:

era a vis viva. Foi demonstrado mais tarde, que sob certas condições, ambas as

quantidades são conservadas simultaneamente, como em colisões elásticas.

Engenheiros, tais como John Smeaton, Peter Ewart, Karl Hotzmann, Gustave-Adolphe

Hirn e Marc Seguin objetaram que a conservação de momento sozinha não era

adequada para cálculos práticos, e faziam uso do princípio de Leibniz. O princípio foi

também defendido por alguns químicos, tais como William Hyde Wollaston.

Académicos, tais como John Playfair rapidamente apontaram que a energia cinética

claramente não era conservada. Os fundamentos desta não conservação são óbvios

em vista de uma análise moderna baseada na segunda lei da termodinâmica, mas nos

séculos XVIII e XIX o destino da energia cinética perdida ainda era desconhecido.

Gradualmente foi-se suspeitando que o calor oriundo do aumento de temperatura

inevitavelmente gerado pelo movimento sob atrito era outra forma de vis viva. Em

1783, Antoine Lavoisier e Pierre-Simon Laplace revisaram as duas teorias correntes, a

vis viva e teoria do calórico (ou flogisto), o que, junto com as observações de Conde

Rumford em 1798 sobre a geração de calor durante perfuração de metal para a

fabricação de canhões (em um processo chamado alesagem), adicionaram

considerável apoio à visão de que havia nítida correlação entre a variação no

movimento mecânico e o calor produzido, de que a conservação era quantitativa e

podia ser predita, e que era possível o estabelecimento de uma grandeza que se

conservaria no processo de conversão de movimento em calor.

A vis viva começou a ser conhecida como energia, depois do termo ser usado pela

primeira vez com esse sentido por Thomas Young em 1807.

A recalibração da “vis” viva para

o que pode ser entendido como encontrar o valor exacto da constante para a

conversão de energia cinética em trabalho foi em grande parte o resultado do trabalho

de Gustave-Gaspard Coriolis e Jean-Victor Poncelet durante o período de 1819–1839.

O primeiro chamou a quantidade de quantité de travail (quantidade de trabalho) e o

segundo de travail mécanique (trabalho mecânico), e ambos defenderam seu uso para

cálculos de engenharia.

No artigo Über die Natur der Wärme, publicado no Zeitschrift für Physik em 1837, Karl

Friedrich Mohr deu uma das primeiras declarações gerais do princípio da conservação

de energia, nas palavras: "além dos 54 elementos químicos conhecidos, há no mundo

um agente único, e se chama Kraft [energia ou trabalho]. Ele pode aparecer, de

acordo com as circunstâncias, como movimento, afinidade química, coesão,

electricidade, luz e magnetismo; e a partir de qualquer uma destas formas, pode ser

transformado em qualquer um dos outros."

Uma etapa fundamental no desenvolvimento do moderno princípio conservação foi a

demonstração do equivalente mecânico do calor. A teoria do calórico afirmava que o

calor não podia ser criado nem destruído, mas a conservação de energia implica algo

contraditório a esta ideia: calor e o movimento mecânico são intercambiáveis.

O princípio do equivalente mecânico foi exposto na sua forma moderna pela primeira

vez pelo cirurgião alemão Julius Robert von Mayer.[1] Mayer chegou a sua conclusão

em uma viagem para as Índias Orientais Neerlandesas, onde ele descobriu que o

sangue de seus pacientes possuía uma cor vermelha mais profundo devido a eles

consumirem menos oxigénio, e também consumiam menos energia para manterem a

temperatura de seus corpos em um clima mais quente. Ele tinha descoberto que calor

e trabalho mecânico eram ambos formas de energia, e após melhorar seus

conhecimentos de física, ele encontrou uma relação quantitativa entre elas.

Aparato de Joule para a medição do equivalente mecânico do calor. Um peso

descendente preso a uma corda causa uma rotação numa pá imersa em água.

Entretanto, em 1843 James Prescott Joule descobriu de forma independente o

equivalente mecânico do calor em uma série de experiências. No mais famoso, agora

chamado "aparato de Joule", um peso descendente preso a uma corda causava a

rotação de uma pá imersa em água. Ele mostrou que a energia potencial gravitacional

perdida pelo peso no movimento descendente era igual à energia térmica (calor)

ganha pela água por fricção com a pá.

Durante o período entre 1840 e 1843 um trabalho similar foi efectuado pelo engenheiro

Ludwig A. Colding, embora este tenha sido pouco conhecido fora de sua nativa

Dinamarca.

Tanto o trabalho de Joule quanto o de Mayer sofreram inicialmente forte resistência e

foram, quando apresentados, por muitos negligenciados. No decorrer da história,

entretanto, a ideia foi aceita e o trabalho de Joule foi o que acabou por conquistar o

maior fama e reconhecimento.

Em 1844, William Robert Grove postulou uma relação entre mecânica, calor, luz,

electricidade e magnetismo tratando todas elas como manifestação de uma "única"

força ("energia" em termos modernos). Grove publicou suas teorias em seu livro "The

Correlation of Physical Forces" (A Correlação de Forças Físicas).[2] Em 1847,

aperfeiçoando o trabalho anterior de Joule, Sadi Carnot, Émile Clapeyron e Hermann

von Helmholtz chegaram a conclusões similares às de Grove e publicaram suas

teorias em seu livro "Über die Erhaltung der Kraft" ("Sobre a Conservação de Força",

1847). A aceitação moderna geral do princípio decorre dessa publicação.

Em 1877, Peter Guthrie Tait afirmou que o princípio surgiu com Sir Isaac Newton,

baseado numa leitura criativa das proposições 40 e 41 de "Philosophiae Naturalis

Principia Mathematica". Isso é agora geralmente tratado como nada mais do que um

exemplo de história "Whig".

Mecânica

Na mecânica clássica a conservação de energia é normalmente dada por

E = T + V,

onde T é a energia cinética e V a energia potencial.

Na verdade este é o caso particular da lei de conservação mais geral

e

onde L é a função lagrangeana. Para esta forma particular ser válida, o seguinte deve

ser verdadeiro:

O sistema é scleronomous (tanto energia cinética quanto a potencial são funções

explícitas do tempo)

A energia cinética é uma forma quadrática em relação às velocidades.

A energia potencial não dependa das velocidades.

Mecânica de Lagrange

A mecânica de Lagrange ou mecânica lagrangiana, nomeada em honra ao seu

criador, Joseph-Louis de Lagrange, é uma formulação da mecânica clássica que

combina a conservação do momento com a conservação da energia. Exposta pela

primeira vez no livro Méchanique Analytique em 1788, a formulação é provida de uma

potente ferramenta matemática e equivalente a qualquer outra formulação da

mecânica, como, por exemplo, o formalismo newtoniano.

Na mecânica lagrangiana, a trajectória de um sistema de partículas é obtido

resolvendo as equações de Lagrange em uma de suas duas formas, chamadas

equações de Lagrange de primeira espécie,[1] que trata as restrições explicitamente

como equações adicionais, geralmente utilizando os multiplicadores de

Lagrange;[2][3]e as equações de Lagrange de segunda espécie, que incorpora as

restrições directamente na escolha das coordenadas generalizadas.[1][4] O lema

fundamental do cálculo de variações mostra que resolver as equações de Lagrange é

equivalente a encontrar o caminho que minimiza o funcional acção, uma quantidade

que é a integral da função de Lagrange no tempo.

Dado um conjunto de coordenadas generalizadas para descrever o sistema

físico estudado, a Lagrangiana de qualquer sistema o caracteriza de forma unívoca e

pode apresentar as seguintes dependências funcionais , em que

são as velocidades generalizadas.

Pelo Princípio de Hamilton [5], que nos diz que o trajecto real da partícula [6], entre os

instantes e é aquele que minimiza a acção .

Fixados os extremos da trajectória no espaço de configuração. Encontramos [7] às

equações de Euler-Lagrange

Que são equações diferenciais parciais de segunda ordem em .

No caso de um sistema não-conservativo (ou dissipativo), temos

em que são as forças generalizadas, externas.

A Mecânica Lagrangeana é baseada num formalismo escalar mais simples e geral,

quando comparado ao formalismo vectorial de Newton. Com isso é capaz de

descrever igualmente bem fenómenos a baixas velocidades ou a velocidades

relativistas. O único aspecto que difere entre cada caso é a Função de Lagrange.

Função de Lagrange

Na mecânica clássica, lagrangiana (símbolo: ) é uma função de coordenadas, taxas

de variação destas coordenadas (velocidades) e do tempo, dada matematicamente

pela subtracção da energia cinética (T) pela energia potencial (U):

.

Junto com o princípio de Hamilton, define toda a dinâmica de um sistema, sem

precisar recorrer a vectores e diagramas, mas apenas usando funções escalares. A

lagrangiana possui dimensões de energia.

Uma escolha para as coordenadas generalizadas

Em um sistema clássico, por exemplo, temos que (aqui estamos assumindo

que as coordenadas generalizadas são os módulos dos vectores posição de cada

partícula que compõem o sistema) e a Função de Lagrange define-se como

Em que é a Energia Cinética e é a Energia Potencial de Interacção.

Quanto às equações de Euler-Lagrange, temos

Aplicação ``clássica

A Mecânica de Lagrange tem a vantagem de resolver elegantemente problemas

complexos, sendo um bom exemplo do grau de abstracção embutido no formalismo de

Lagrange a simplicidade com que podemos deduzir as Leis de Conservação a partir

das simetrias do espaço-tempo. Deixa-se, aqui, a título de exemplo, a dedução da

Conservação do Momento Linear:

• Conservação do Momento Linear

Sendo o espaço homogéneo[8], tem-se que . Num sistema isolado

(conservativo), pelas equações de Euler-Lagrange, temos . Definindo

[9], chegamos a

De fato, na mecânica clássica teremos , se

somente não for função das velocidades generalizadas.

Mecânica hamiltoniana

Mecânica hamiltoniana é uma reformulação da mecânica clássica que foi descoberta

em 1833 pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton. Originou-se da mecânica

lagrangiana, outra reformulação da mecânica clássica, introduzida por Joseph Louis

Lagrange em 1788. Ela pode entretanto ser formulada sem recorrer a mecânica

lagrangiana, usando espaços simpléticos. Veja a secção sobre esta formulação

matemática para isto. O método hamiltoniano difere do lagrangiano em que ao invés

de expressar confinamentos diferenciais de segunda ordem sobre um espaço

coordenado n-dimensional, ela expressa confinamentos de primeira ordem sobre um

espaço de fases 2n-dimensional.[1].

Como com a mecânica lagrangiana, as equações de Hamilton fornecem uma maneira

nova e equivalente de olhar mecanismos clássicos. Geralmente, estas equações não

fornecem uma maneira mais conveniente de resolver um problema particular.

Entretanto, fornecem introspecções mais profundas na estrutura geral de mecanismos

clássicos e em sua conexão aos mecânicos quânticos como compreendidos através

dos mecânicos hamiltonianos, assim como suas conexões a outras áreas da ciência.

Visão geral simplificada dos usos

Para um sistema fechado a soma da energia cinética e potencial no sistema é

representado por um conjunto de equações diferenciais conhecido como as equações

de Hamilton para este sistema. Hamiltonianos podem ser usados para descrever tais

sistemas simples como uma bola batendo, um pêndulo ou uma mola oscilante na qual

as mudanças de energia de cinética para potencial e vice-versa, alternam-se no

tempo. Hamiltonianos podem também ser empregados para modelar a energia de

outros sistemas dinâmicos mais complexos tais como órbitas planetárias e na

mecânica quântica.[1]

As equações de Hamilton são geralmente escritas como segue:

Nas equações acima, o ponto acentuando denota a derivada ordinária com respeito ao

tempo das equações p = p(t) (chamada momento generalizado) e q = q(t) (chamado

coordenadas generalizadas), tomando valores em algum espaço vectorial, e =

é o assim chamado Hamiltonian, ou função ou (valoração escalar)

Hamiltoniano. Então, num pequena nota mais explicitamente, pode-se escrever

e especifica o domínio de valores nos quais o parâmetro t ("tempo") varia.

Para uma derivação mas detalhadas destas equações da mecânica lagrangeana, ver

abaixo.

Interpretação física básica, mnemotécnica

A mais simples interpretação das equações de Hamilton é como segue, explicando-as

a um sistema unidimensional consistindo de uma partícula de massa m e exibindo

conservação de energia:

O Hamiltoniano representa a energia do sistema, a qual é a soma de energia

cinética e potencial, tradicionalmente notado T & V, respectivamente. Aqui q é a

coordenada x e p é o momento, mv. Então

Note que T é a função de p apenas, enquanto V é a função de somente de x (ou q).

Agora a derivada no tempo do momento p iguala-se a força Newtoniana, e então aqui

a primeira equação de Hamilton significa que a força sobre a partícula iguala-se a taxa

na qual ele perde energia potencial com relação a alterações em x, sua localização.

(Força iguala-se ao gradiente negativo da energia potencial.)

A derivada no tempo de q significa a velocidade: a segunda equação de Hamilton aqui

significa que a velocidade da partícula iguala-se a derivada de sua energia cinética

com relação ao seu momento. (Para a derivada com relação a p de p²/2m iguala p/m =

mv/m = v.)

Usando equações de Hamilton

1. Primeiro escreve-se o Lagrangiano L = T – V. Expressa-se T e V como se

estave-se usando-se equação de Lagrange.

2. Calcula-se o momento por diferenciação do Lagrangiano com relação à

velocidade.

3. Expressa-se as velocidades em termos do momento por inversão das

expressões na etapa (2).

4. Calcula-se o Hamiltoniano usando a definição usual, .

Substitui-se pelas velocidades usando os resultados na etapa (3).

5. Aplica-se as equações de Hamilton.

Hamiltoniano (mecânica quântica)

Em mecânica quântica, o Hamiltoniano H é o observável correspondente à energia

total do sistema. Como todos os observáveis, o espectro do Hamiltoniano é o conjunto

de possíveis resultados quando mede-se a energia total de um sistema. Como

qualquer outro operador auto-adjunto, o espectro do Hamiltoniano pode ser

decomposto, via suas medidas espectrais, em pontos "puros", absolutamente

contínuos, e partes singulares. O espectro de pontos puros pode ser associado a auto

vectores, os quais por sua vez são estados ligados do sistema. Os espectros

absolutamente contínuos correspondem aos estados livres. O espectro singular,

curiosamente, compreende resultados fisicamente impossíveis. Por exemplo,

considere-se o potencial propriamente finito, o qual admite estados ligados com

energias negativas discretas e estados livres com energias positivas contínuas.

O princípio da incerteza de Heisenberg

O princípio da incerteza de Heisenberg consiste num enunciado da mecânica

quântica, formulado inicialmente em 1927 por Werner Heisenberg, impondo restrições

à precisão com que se podem efectuar medidas simultâneas de uma classe de pares

de observáveis.

Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos:

O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada xi e a incerteza

associada ao seu correspondente momento linear pi não pode ser inferior, em

grandeza, à constante de Planck normalizada.

Em termos matemáticos, exprime-se assim:

onde é a Constante de Planck (h) dividida por 2π.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A constante de Planck

A constante de Planck, representada por h, é uma das constantes fundamentais da

Física, usada para descrever o tamanho dos quanta. Tem um papel fundamental na

teoria de Mecânica Quântica, aparecendo sempre no estudo de fenómenos em que a

explicação por meio da mecânica quântica se torna influente. Tem o seu nome em

homenagem a Max Planck, um dos fundadores da Teoria Quântica. Seu valor é de

aproximadamente:

,

ou, com eV como unidade de energia:

,

ou, ainda, no sistema CGS:

erg · s

Um dos usos dessa constante é a equação da energia do fóton, dada pela seguinte

equação:

onde:

E = energia do fóton, denominada quantum;

h = constante de Planck;

ν = frequência da radiação. Lê-se "ni".

Constante reduzida de Planck

Em algumas equações de física, tal como a equação de Schrödinger, aparece o

símbolo , que é apenas uma abreviação conveniente para , chamada de

constante reduzida de Planck, ou para alguns, constante de Dirac, diferindo da

constante de Planck pelo factor 2π. Consequentemente:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A explicação disso é fácil de se entender, e fala mesmo em favor da intuição, embora

o raciocínio clássico e os aspectos formais da análise matemática tenham levado os

cientistas a pensarem diferentemente por muito tempo

Quando se quer encontrar a posição de um electrão, por exemplo, é necessário fazê-

lo interagir com algum instrumento de medida, directa ou indirectamente. Por exemplo,

faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto faz aqui que se considere a

radiação do modo clássico - constituída por ondas electromagnéticas - ou do modo

quântico - constituída por fótons. Se se quer determinar a posição do electrão, é

necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com

que se quer determinar a posição.

Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência) maior é a

precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação (onda ou fóton) em

virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação

e o electrão sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do

efeito Compton. Como consequência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo

previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica clássica.

Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que ao se medir a

velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível.

Resumidamente, pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais

precisamente se medir uma grandeza, forçosamente mais será imprecisa a medida da

grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada

Algumas pessoas consideram mais fácil o entendimento através da analogia. Para se

descobrir a posição de uma bola de plástico dentro de um quarto escuro, podemos

emitir algum tipo de radiação e deduzir a posição da bola através das ondas que

"batem" na bola e voltam. Se quisermos calcular a velocidade de um automóvel,

podemos fazer com que ele atravesse dois feixes de luz, e calcular o tempo que ele

levou entre um feixe e outro. Nem radiação nem a luz conseguem interferir de modo

significativo na posição da bola, nem alterar a velocidade do automóvel. Mas podem

interferir muito tanto na posição quanto na velocidade de um electrão, pois aí a

diferença de tamanho entre o fóton de luz e o electrão é pequena. Seria, mais ou

menos, como fazer o automóvel ter de atravessar dois troncos de árvores (o que

certamente alteraria sua velocidade), ou jogar água dentro do quarto escuro, para

deduzir a localização da bola através das pequenas ondas que baterão no objecto e

voltarão; mas a água pode empurrar a bola mais para a frente, alterando sua posição.

Desta forma torna-se impossível determinar a localização real desta bola pois a

própria determinação mudará a sua posição. Apesar disto, a sua nova posição pode

ser ainda deduzida, calculando o quanto a bola seria empurrada sabendo a força das

ondas obtendo-se uma posição provável da bola e sendo provável que a bola esteja

localizada dentro daquela área.

Natureza da medida em mecânica quântica

Como se pode depreender da argumentação acima exposta, a natureza de uma

medida sofre sérias reformulações no contexto da mecânica quântica. De fato, na

mecânica quântica uma propriedade leva o nome de observável, pois não existem

propriedades inobserváveis nesse contexto. Para a determinação de um observável, é

necessário que se tenha uma preparação conveniente do aparato de medida, a fim de

que se possa obter uma colecção de valores do ensemble de entes do sistema. Se

não puder montar, ao menos teoricamente (em um Gedankenexperiment) uma

preparação que possa medir tal grandeza (observável), então é impossível determiná-

la naquelas condições do experimento.

Uma comparação tornará mais clara essa noção. No experimento de difracção da

dupla fenda, um feixe de electrões atravessando uma fenda colimadora atinge mais

adiante duas outras fendas paralelas traçadas numa parede opaca.

Do lado oposto da parede opaca, a luz, atravessando as fendas simultaneamente,

atinge um anteparo. Se se puser sobre este um filme fotográfico, obtém-se pela

revelação do filme um padrão de interferência de zonas claras e escuras. Esse

resultado indica uma natureza ondulatória dos electrões, resultado esse que motivou o

desenvolvimento da mecânica quântica.

Entretanto, pode-se objectar e afirmar-se que a natureza dos electrões seja

corpuscular, ou seja, composta de fótons. Pode-se então perguntar por qual fenda o

electrão atravessou para alcançar o anteparo. Para determinar isso, pode-se pôr, junto

de cada fenda, uma pequena fonte luminosa que, ao menos em princípio, pode indicar

a passagem dos electrões por tal ou qual fenda. Entretanto, ao fazê-lo, o resultado do

experimento é radicalmente mudado. A figura de interferência, antes presente, agora

dá lugar a uma distribuição gaussiana bimodal de somente duas zonas claras em meio

a uma zona escura, e cujos máximos se situam em frente às fendas.

Isso acontece porque as naturezas ondulatória e corpuscular do electrão não podem

ser simultaneamente determinadas. A tentativa de determinar uma inviabiliza a

determinação da outra. Essa constatação da dupla natureza da matéria (e da luz) leva

o nome de princípio da complementaridade.

Essa analogia serve para mostrar como o mundo micro físico tem aspectos que

diferem significativamente do que indica o senso comum.

Para se entender perfeitamente o alcance e o real significado do princípio da

incerteza, é necessário que se distingam três tipos reconhecidos de propriedades

dinâmicas em mecânica quântica:

Propriedades compatíveis: são aquelas para as quais a medida simultânea e

arbitrariamente precisa de seus valores não sofrem nenhum tipo de restrição básica.

Exemplo: a medição simultânea das coordenadas x, y e z de uma partícula. A medição

simultânea dos momentos px,py e pz de uma partícula.

Propriedades mutuamente excludentes: são aquelas para as quais a medida

simultânea é simplesmente impossível. Exemplo: se um electrão está numa posição xi,

não pode estar simultaneamente na posição diferente xj.

Propriedades incompatíveis: são aquelas correspondentes a grandezas

canonicamente conjugadas, ou seja, aquelas cujas medidas não podem ser

simultaneamente medidas com precisão arbitrária. Em outras palavras, são grandezas

cujas medidas simultâneas não podem ser levadas a cabo em um conjunto de

subsistemas identicamente preparados (ensemble) para este fim, porque tal preparo

não pode ser realizado. Exemplos: as coordenadas x,y e z e seus correspondentes

momentos px,py e pz, respectivamente. As coordenadas angulares θi e os

correspondentes momentos angulares Ji.

Observáveis e operadores

No formalismo matemático da mecânica quântica, os observáveis são representados

por operadores matemáticos sobre um espaço de Hilbert.

Esses operadores podem ser construídos a partir de seus equivalentes clássicos.

Na formulação de Heisenberg, as relações da incerteza podem ser dados na forma de

um operador comutador, que opera sobre dois outros operadores quaisquer:

onde A e B são operadores quaisquer.

No caso das relações de incerteza:

Dirac notou a semelhança formal entre o comutador e os parênteses de Poisson.

Sabedor da equivalência usada por Schrödinger quando este postulou a forma da

equação de onda, Dirac postulou as seguintes equivalências, que valem como receita

para se acharem os operadores quânticos correspondentes a grandezas clássicas:

A descrição ondulatória dos objectos microscópicos tem consequências teóricas

importantes, como o principio da incerteza de Heisenberg. O fato de os objectos

microscópicos, em muitas situações, terem uma localização no espaço mesmo que

aproximada, implica que não podem ser descritos por uma onda com um só

comprimento de onda (onda plana), pois esta ocuparia todo o espaço. É necessária

uma super posição de comprimentos de ondas diferentes para se obter um "pacote"

de ondas mais bem localizado e que represente o objecto microscópico.

O papel do princípio da incerteza nas formulações m odernas da mecânica

quântica

Hoje em dia, o princípio da incerteza é importante principalmente por dois motivos: um

histórico e outro didáctico. Ambos são análogos: o princípio da incerteza mostra de

maneira clara que concepções clássicas a respeito da medida devem ser

abandonadas.

No entanto, o princípio da incerteza *não* é um bom princípio (ou postulado) da

mecânica quântica, já que é inexacto e pouco geral. A mecânica quântica não-

relativística é totalmente descrita com alguns postulados, dos quais as relações de

incerteza de Heisemberg surgem de forma pouco natural. Mas o espírito do princípio

da incerteza é mantido: não se pode ter um sistema que, ao ser medido, tenha a

probabilidade 1 de se encontrar tanto uma ou outra grandeza, se essas grandezas

corresponderem a operadores que não comutam. Iremos explicar isto melhor adiante:

Todas as grandezas que podem ser medidas correspondem aos chamados "auto

valores" de certos objectos matemáticos chamados de operadores (na verdade, a

natureza requer que esses operadores sejam de uma classe especial, a dos

"observáveis"). Chamemos um operador qualquer de A, e chamemos seus auto

valores de a_n (a_1 é um auto valor, a_2 é outro e assim por diante). Existem estados

quânticos, chamados "auto estados" (que representaremos por | φn > ) do operador A,

nos quais uma medida tem 100% de hipóteses de encontrar o valor a_n. Esses auto

estados e esses auto valores são definidos pela seguinte equação:

A | φn > = an | φn >

Um operador é dito um observável se esses auto estados φn > formarem uma "base".

Diz-se que um grupo qualquer de estados quânticos formam uma base se qualquer

outro estado quântico puder ser escrito como uma super posição deles. Ou seja, para

qualquer estado quântico | Ψ > ,

Onde os coeficientes cn, em geral complexos, indicam o quanto os auto estados

correspondentes | φn > influenciam no estado resultante, | Ψ > . Um dos postulados da

mecânica quântica diz que a probabilidade de uma medida da grandeza A revelar o

valor a_n é:

P(an) = | cn | 2

Quando o sistema está no auto estado | φn > , o postulado acima mostra que a

probabilidade de se encontrar o valor a_n correspondente é 100%. Assim, pode-se

dizer que o sistema *possui a grandeza A bem definida*.

Agora consideremos dois operadores A e B, como o operador da posição e o operador

do momento. Em geral, os auto estados de um operador não são os mesmos auto

estados do outro operador. Consequentemente, se o sistema está em um estado

quântico onde a grandeza A é bem definida, a grandeza B não será bem definida. Ou

seja, haverá uma "incerteza" na grandeza B.

Mas, e se o sistema estiver num estado onde a grandeza A é bem definida, e

efectuarmos uma medida na grandeza B? Pode-se pensar que, então, saberemos

exactamente o valor de ambas as grandezas. Mas isso está errado, devido a outro dos

postulados da mecânica quântica: se uma medida de uma grandeza qualquer B revela

o valor b_n, então o sistema *é perturbado pela medida *, e passa para o auto estado |

φn > correspondente à grandeza B_n.

Então, suponha que dois operadores A e B não possuem os mesmos auto estados. Se

efectuarmos em um sistema qualquer a medida da grandeza A, e encontrarmos um

certo valor, o sistema se torna um auto estado de A, com um valor bem definido de A e

uma incerteza no valor de B. Se, após isso, efectuarmos uma medida no valor de B,

então lançamos o sistema num auto estado de B, com um valor bem definido de B e

uma incerteza no valor de A. Com isso, dizemos que é impossível saber

simultaneamente o valor da grandeza A e da grandeza B.

A incerteza entre a posição e o momento proposta por Heisenberg é, então, uma

consequência dos postulados da mecânica quântica, e não um postulado por si só.

Equação de Schrödinger

Em Física, a Equação de Schrödinger, proposta pelo físico austríaco Erwin

Schrödinger em 1925, descreve a evolução temporal de um estado quântico de um

sistema físico. Essa equação tem uma importância capital na teoria da mecânica

quântica, e seu papel é similar ao da segunda Lei de Newton na Mecânica Clássica.

Pela formulação matemática da mecânica quântica, todo sistema é associado a um

espaço de Hilbert complexo, tal que cada estado instantâneo do sistema é descrito por

um vector unitário nesse espaço. Este vector de estados guarda as probabilidades

para os resultados de todas as possíveis medições aplicadas ao sistema. Em geral, o

estado de um sistema varia no tempo e o vector de estados é uma função do tempo. A

equação de Schrödinger provê uma descrição quantitativa da taxa de variação deste

vector.

Usando a notação de Dirac, o vector de estados é dado, num tempo t por |ψ(t)>. A

equação de Schrödinger é:

Nas equações, i é o número imaginário, ħ é a constante de Planck dividida por 2π e o

Hamiltoniano H(t) é um operador auto-adjunto actuando no vector de estados. O

Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda

Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas

propriedades físicas do sistema.

Uma maneira mais didáctica de observar a Equação de Schrödinger é em sua forma

independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três

relações:

Definição de Energia Mecânica: Em = Ec + V

Equação do Oscilador Harmónico:

Relação de De Broglie:

Onde ψ é a função de onda, λ é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e

p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que , que pode ser substituída na equação

do Oscilador Harmónico:

Rearranjando a equação de energia, temos que , substituindo v2

na equação anterior:

, definindo , temos:

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita

na notação de operadores:

, em que é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de

onda.

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física clássica

Mecânica clássica

Em física clássica — primeiramente em mecânica clássica — um oscilador harmónico

corresponde a um sistema que quando tirado da posição de equilíbrio apresenta uma

força restauradora F proporcional ao deslocamento x de acordo com a Lei de Hooke:

onde k é uma constante positiva, dita constante elástica.

Se F for a única força actuando no sistema, o sistema será chamado de oscilador

harmónico simples. É caracterizado por um movimento de "vai-e-vem" e seu

deslocamento é uma função sinusoidal do tempo. É característica desse sistema a

amplitude constante e frequência constante.

Se houver uma força de atrito que contraria o movimento diz-se um oscilador

harmónico amortecido. Nessa situação a frequência de oscilações é menor que no

oscilador sem amortecimento, além de a amplitude das oscilações diminuir conforme o

tempo.

Caso haja uma força externa dependente do tempo diz-se que se trata de um

oscilador harmónico forçado.

Finalmente, se comparecem tanto a força externa como o atrito interno, tem-se o caso

do oscilador harmónico forçado e amortecido.

Exemplos de osciladores harmónicos são pêndulos, massas ligadas a molas,

vibrações acústicas, além de vários outros.

Electromagnetismo clássico

Uma analogia interessante pode-se estabelecer entre os osciladores mecânicos

clássicos forçados e amortecidos com o circuito eléctrico RLC submetidos a uma fonte

externa de energia eléctrica, pois têm a mesma solução matemática (sua equação

diferencial característica é de mesma forma e ordem).

Oscilador harmónico simples

O oscilador harmónico simples é isolado de forças externas, além de não ter

amortecimento algum. Então a única força que age é a força elástica da mola:

Usando a 2ª Lei de Newton:

A aceleração a é igual a derivada segunda de x:

Se definirmos , então a solução poderá ser escrita do seguinte modo:

Podemos observar que:

Substituindo:

Integrando:

onde K é uma constante, dado K = (A ω0)2

Integrando dos dois lados (sendo φ a constante resultante da integração) teremos:

E assim teremos a solução geral para x :

Sendo que a amplitude e a fase inicial serão determinadas através das condições

iniciais.

Do mesmo modo poderíamos escrever:

Entretanto agora está deslocado em relação a forma anterior.

Ou senão podemos escrever também:

já que a que a soma de soluções de uma equação diferencial também é solução para

a equação diferencial.

A frequência das oscilações será dada pela seguinte fórmula:

Oscilador harmónico amortecido

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Equação de Pauli

A equação de Pauli , também conhecida como Equação Schrödinger-Pauli, é uma

formulação da Equação de Schrödinger para um spin-partícula que leva em

consideração a interacção da rotação de uma partícula com o campo

electromagnético. Essas situações são os casos não-relativísticos da Equação de

Dirac, onde as partículas em questão tem uma velocidade muito baixa para que os

efeitos da relatividade tenham importância, podendo ser ignorados.

A equação de Pauli foi formulada por Wolfgang Pauli no ano de 1927.

Detalhes

A equação de Pauli é mostrada como:

Onde:

é a massa da partícula.

é a carga da partícula.

é um vector de três componentes do dois-por-dois das matrizes de Pauli. Isto

significa que cada componente do vector é uma matriz de Pauli.

é o vector de três componentes da dinâmica dos operadores. Os componentes

desses vectores são:

é o vector de três componentes do potencial magnético.

é o potencial escalar eléctrico.

são os dois componentes spinor da onda, podem ser representados como .

De forma mais precisa, a equação de Pauli é:

Mostra que o espaço Hamiltoniano (a expressão entre parênteses ao quadrado) é uma

matriz operador dois-por-dois, por conta das matrizes σ de Pauli.

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Princípio de exclusão de Pauli

O princípio de exclusão de Pauli é um princípio da mecânica quântica formulado por

Wolfgang Pauli em 1925. Ele afirma que dois férmions idênticos não podem ocupar o

mesmo estado quântico simultaneamente. Uma forma mais rigorosa de enunciar este

princípio é dizer que a função de onda total de um sistema composto por dois fermions

idênticos deve ser anti-simétrica. Para electrões de um mesmo átomo, ele implica que

dois electrões não podem ter os mesmos quatro números quânticos. Por exemplo, se

os números quânticos n, l, e ml são iguais nos dois electrões, estes deverão

necessariamente ter os números ms diferentes, e portanto os dois electrões têm spins

opostos.

O princípio de exclusão de Pauli é uma consequência matemática das restrições

impostas por razões de simetria ao resultado da aplicação do operador de rotação a

duas partículas idênticas de spin semi-inteiro.

O princípio de exclusão de Pauli é um dos mais importantes princípios da física,

basicamente porque os três tipos de partículas que formam a matéria ordinária -

electrões, protons e neutrons - têm que satisfazê-lo. O princípio de exclusão de Pauli é

a razão fundamental para muitas das propriedades características da matéria, desde

sua estabilidade até a existência das regularidades expressas pela tabela periódica

dos elementos.

O princípio de exclusão de Pauli é uma consequência matemática das propriedades

do operador momento angular, que é o gerador das operações de rotação, em

mecânica quântica. A permutação de partículas num sistema de duas partículas

idênticas (que é matematicamente equivalente à rotação de cada partícula de um

ângulo de 180 graus) deve resultar em uma configuração descrita pela mesma função

de onda da configuração original (quando as partículas têm spin inteiro) ou numa

mudança de sinal desta função de onda (para partículas de spin semi-inteiro). Por

isso, duas partículas de spin semi-inteiro não podem estar em um mesmo estado

quântico, já que a função de onda do sistema composto pelas duas teria que ser igual

a sua simétrica, e a única função que atende a esta condição é a função identicamente

nula.

Partículas com função de onda anti-simétrica são chamadas férmions, e obedecem ao

princípio de exclusão de Pauli. Além das mais familiares já citadas - elétron, próton e

neutrão - são também fermions o neutrino e o quark (que são os constituintes

elementares dos prótons e neutrões), além de alguns átomos, como o hélio-3. Todos

os férmions possuem spin "semi-inteiro", o que quer dizer que seu momento angular

intrínseco tem valor (a constante de Planck dividida por 2π) multiplicada

por um semi-inteiro (1/2, 3/2, 5/2, etc.). Na teoria da mecânica quântica, fermions são

descritos por "estados anti-simétricos", que são explicados em mais detalhes no artigo

sobre partículas idênticas.

Um sistema formado por partículas idênticas com spin inteiro é descrito por uma

função de onda simétrica; estas partículas são chamadas bósons. Ao contrário dos

fermions, elas podem partilhar um mesmo estado quântico. São exemplos de bósons o

fóton e os bósons W e Z.

História

No início do século XX tornou-se evidente que átomos e moléculas com elétrons

emparelhados ou um número par de electrões são mais estáveis que aqueles com um

número ímpar de electrões. Num artigo famoso The Atom and the Molecule publicado

em 1916 por Gilbert N. Lewis, por exemplo, a regra três dos seis postulados propostos

pelo autor para explicar o comportamento químico das substâncias estabelece que um

átomo tende a ter um número par de electrões em sua camada de valência, sendo

esse número, de preferência oito, que estão normalmente dispostos simetricamente

nos oito vértices de um cubo (ver: átomo cúbico). Em 1922 Niels Bohr mostrou que a

tabela periódica pode ser explicada pela hipótese de que certos números de electrões

(por exemplo, 2, 8 e 18) correspondem a "camadas fechadas" estáveis.

Pauli procurou uma explicação para estes números, que eram a esta altura apenas

empíricos. Ao mesmo tempo, ele estava tentando explicar certos resultados

experimentais envolvendo o Efeito Zeeman em espectroscopia atómica e no ferro

magnetismo. Ele encontrou uma pista essencial em um artigo de 1924 escrito por

E.C.Stoner, que estabelecia que, para um dado valor do número quântico principal (n),

o número de níveis de energia de um electrão no espectro de um átomo de metal

alcalino posto sob a acção de um campo magnético externo, situação na qual todos os

níveis de energia degenerados são separados, é igual ao número de electrões na

camada fechada de um gás nobre correspondente ao mesmo valor de n. Este fato

levou Pauli a perceber que os números aparentemente complicados de electrões em

camadas fechadas podem ser reduzidos a uma regra muito simples, a de que só pode

haver um electrão em cada estado atómico, definido por um conjunto de quatro

números quânticos. Para esta finalidade ele introduziu um novo número quântico com

apenas dois valores possíveis, identificado por Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck

como o spin do electrão.

Conexão com a simetria do estado quântico

O princípio de exclusão de Pauli pode ser deduzido a partir da hipótese de que um

sistema de partículas só pode ocupar estados quânticos anti-simétricos. De acordo

com o teorema spin-estatística, sistemas de partículas idênticas de spin inteiro

ocupam estados simétricos, enquanto sistemas de partículas de spin semi-inteiro

ocupam estados anti-simétricos; além disso, apenas valores de spin inteiros ou semi-

inteiros são permitidos pelos princípio da mecânica quântica.

Como discutido no artigo sobre partículas idênticas, um estado anti-simétrico no qual

uma das partículas está no estado (nota) enquanto a outra está no estado é

No entanto, se e são exactamente o mesmo estado, a expressão acima é

identicamente nula:

Isto não representa um estado quântico válido, porque vectores de estado que

representem estados quânticos têm obrigatoriamente que ser normalizáveis, isto é

devem ter norma finita. Em outras palavras, nunca poderemos encontrar as partículas

que formam o sistema ocupando um mesmo estado quântico.

Consequências

O princípio de exclusão de Pauli ajuda a explicar uma grande variedade de fenómenos

físicos. Um destes fenómenos é a "rigidez" ou "resiliência" da matéria ordinária

(fermions): o princípio proíbe que fermions idênticos sejam espremidos uns contra os

outros (cf. módulo de Young e módulo de rigidez de sólidos), e por isso nossas

observações quotidianas do mundo macroscópico mostram que objectos materiais

colidem, ao invés de atravessar uns aos outros, e de que somos capazes de nos

apoiar de pé sobre o solo sem nele afundar. Outra consequência deste princípio é a

elaborada estrutura das camadas electrónicas dos átomos e a maneira como átomos

partilham electrões na formação da variedade de moléculas ou substância químicas e

a gama de suas combinações (química). Um átomo electricamente neutro contém

electrões ligados em número igual ao de protons de seu núcleo. Como os electrões

são fermions, o princípio de exclusão de Pauli os proíbe de ocupar o mesmo estado

quântico, e por isso os electrões tem que se "empilhar" em estados quânticos diversos

no interior de um átomo.

Considere, por exemplo, um átomo de hélio neutro, que tem dois electrões ligados.

Ambos podem ocupar o estado de mais baixa energia (1s) mas para isso têm que ter

spins opostos. Isto não viola o princípio de Pauli porque o spin é parte da

caracterização do estado quântico do electrão, e por isso os dois electrões ocupam

estados quânticos diferentes. No entanto, o spin só pode ter dois valores diferentes

(ou auto valores). Num átomo de lítio, que contém três electrões ligados, o terceiro

electrão não pode ocupar um estado 1s, já que resultaria com o spin, e portanto o

estado quântico, igual a algum dos dois primeiros, e tem que ocupar um dos estados

2s de energia mais alta. De forma análoga, os elementos sucessivos vão requerer que

os electrões adicionais vão ocupando estados de energia cada vez mais alta, a cada

vez que um número par de electrões esgota os estados disponíveis no estado anterior.

As propriedades químicas de uma substância dependem fortemente do número de

electrões em sua camada mais externa, o que dá origem à tabela periódica dos

elementos.

Em condutores e semicondutores, electrões livres têm que partilhar o espaço total

disponível no interior do material - e por isso seus níveis de energia se empilham

criando uma estrutura de bandas a partir de cada nível de energia atómico. Em bons

condutores (metais) os electrões estão tão fortemente degenerados que eles acabam

por não contribuir de forma significativa para a capacidade térmica do metal. Muitas

propriedades mecânicas, eléctricas, magnéticas, ópticas e químicas dos sólidos são

consequências directas da repulsão de Pauli entre electrões livres ou semi-livres.

A Astronomia mostra outra demonstração espectacular deste efeito, na forma de

estrelas anãs brancas e estrelas de neutrões. Em ambos os tipos de objectos, a

estrutura atómica usual da matéria ordinária é quebrada por forças gravitacionais

enormes, fazendo com que a estabilidade seja suportada apenas pela "pressão de

degenerescência". Esta forma exótica de matéria é chamada de matéria degenerada.

Nas anãs brancas, os átomos são impedidos de colapsar uns sobre os outros pela

pressão de degenerescência de seus electrões. Nas estrelas de neutrons, que exibem

forças gravitacionais ainda mais intensas, os electrões e os protons colapsam

formando neutrons, que são capazes de produzir pressões de degenerescência

maiores. Os neutrões são os objectos mais "rígidos" conhecidos - seu módulo de

Young, ou mais apropriadamente módulo de rigidez é 20 ordens de grandeza maior

que o do diamante.

De acordo com a relatividade geral, as forças gravitacionais no centro de um buraco

negro se tornam tão intensas que toda a matéria se quebra em seus constituintes

fundamentais, que são supostamente puntiformes e sem estrutura interna. Todas

estas partículas poderiam se empilhar em um ponto zero dimensional porque as forças

gravitacionais seriam maiores que a pressão de degenerescência. Isto parece violar o

princípio de exclusão de Pauli, mas já que o interior de um buraco negro está além do

horizonte de eventos, ele é inacessível a verificação experimental e esta hipótese

permanece sem comprovação possível.