GPEFEEquilíbrio e Elasticidade

Prof. Me. Diego A. C. Albuquerque

diego.albuquerque@msn.com

Aula 09:

Equilíbrio e Elasticidade

Equilíbrio e Elasticidade

O equilíbrio de corpos é umdos objetos de estudo quemais desperta interesse nafísica e na engenharia.

Em projetos que envolvemequilíbrio quando as variáveissão calculadas corretamenteresulta em artigos de revistasde física e engenharia.

Quando não são bemcalculados, resultam emartigos da área jurídica.

Equilíbrio e Elasticidade

Equilíbrio e Elasticidade

Condições de Equilíbrio:

ctePres =r

cteLres =r

Equilíbrio Estático Equilíbrio Dinâmico

Equilíbrio de um Corpo Rígido

Para que um corpo extenso esteja em equilíbrio osconceitos até aqui estudados para equilíbrio de umpartícula são ampliados com base no momento envolvido.

Chegamos então às seguintes condições para que umcorpo extenso esteja em equilíbrio:

0= τ0= F

Equilíbrio de um Corpo Rígido

DICAS PARA A RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS QUE ENVOLVEM O CONCEITO DE MOMENTO

I) Identificar o centro de massa do corpo.

II) Desenhar todas as forças que atuam sobre o sistema.

III) Identificar o eixo de rotação do sistema.

IV)Escrever a equação do torque para cada uma dasforças existentes no sistema.

V) Combinar as equações do momento de modo queuma situação de equilíbrio seja estabelecida.

A força F = 600i+300j-600k N, atua na extremidade da viga.a) Determine o momento dessa força em relação ao ponto A.b) Determine o momento dessa força em relação ao ponto O.

Centro de Gravidade

O centro de gravidade representa a localização do corpo onde atua a força de gravidade (semelhante ao centro de massa).

Para casos em que a força de gravidade emtodas as partículas que compõem o corpo é amesma, podemos dizer que o centro degravidade coincide com o centro de massa.

Tipos de Equilíbrio Estático

Elasticidade

Elasticidade e Comportamento Mecânico de Materiais

Propriedades mecânicas:

Elasticidade: É uma propriedademecânica associada à capacidadede um material se deformar e voltarao seu estado inicial.

Informação que caracteriza um material e que geralmente éutilizada em projeto de componentes de qualquer natureza:

Elasticidade

Na estrutura atômica dos materiais temosátomos arranjados seguindo uma seqüenciarepetitiva (Estrutura Cristalina).

Tais átomos são unidos por forças interatômicas, quepodem ser comparadas a molas:

Ao aplicarmos uma força sobre omaterial, poderemos entãodeformar essa ligações, como umadeformação de molas.

Em nosso cotidiano, nos deparamos com materiais queparecem não se deformar (como uma escada, uma mesa,etc.) e outros que são facilmente deformáveis (como umamangueira, uma borracha).

Elasticidade

O que muda de um material para o outro?

A diferença entre a propriedade mecânica (deformação) dediferentes materiais se deve a sua estrutura atômica, i.e., aforma como os átomos estão organizados.

Podemos classificar materiais (basicamente)em:

Metais

Polímeros

Cerâmicas

Elasticidade

Os metais possuem estrutura cristalina, jáos polímeros possuem longas cadeiascarbonicas, maleáveis e flexíveis e por essemotivo são facilmente deformáveis.

De uma maneira geral, todos os materiais são deformáveis,mas possuem diferentes deformações para uma mesmaforça aplicada.

Tensão x Deformação

Ao aplicarmos uma força em um determinadomaterial, (seja alongando-o ou comprimindo-o) omaterial responde através de uma deformação.

De uma maneira geral temos os fenômenos de Tração e Compressão

Tensão x Deformação

A deformação do material será resultado da força que éaplicado sobre ele, da direção em que é aplicada e em qualponto do material foi aplicado.

A relação entre a força e o ponto de aplicação da forçasobre o material recebe o nome de Tensão e pode serobtida por:

0A

F=σ

²)(

)(

²/

:

0 mforçadaaplicaçãodeinicialÁreaA

NAplicadaForçaF

mNTensão

onde

=

=

=σ

Tensão x Deformação

O material sofrerá uma determinada deformaçãopodendo retornar ao seu estado original(deformação elástica) ou não retornar mais ao seuestado (deformação plástica).Em um caso extremo, o material irá se romper(ruptura).

Metais Polímeros

Tensão x Deformação

Deformação Elástica

Na região de comportamento elástico, podemos encontrar adeformação através da equação:

εσ E=Que é a nossa Lei de Hooke aplicada a um material.

σ é a tensão em N/m² (Também chamado de Pascal = Pa)

E é o módulo de elasticidade do material (Tambémconhecido como Módulo de Young). medido em Pascal.

ε é a deformação (adimensional).

Tensão x Deformação

0L

L∆=ε

A deformação ε pode ser obtida por:

Onde L0 é o comprimento inicial e ΔL éa variação do comprimento.

Tensão x Deformação

F / A

Intervalo de deformação permanente

Intervalo linear (elástico)

Análise de um gráfico de Tensão x Deformação

Tensão x Deformação

Análise de um gráfico de Tensão x Deformação

O limite elástico domaterial é o valor detensão máxima onde omaterial ainda apresentacomportamento elástico.

O limite de ruptura domaterial é o valor detensão máxima que omaterial suporta sem queocorra o rompimento domaterial.

Cisalhamento

Da mesma forma que temos a tensãono caso da compressão e traçãoteremos uma tensão relacionada aoefeito de cisalhamento.

A tensão de cisalhamento relaciona-se com uma força aplicadaparalelamente a uma superfície, como objetivo de causar o deslizamentode planos paralelos uns em relaçãoaos outros.

Na estrutura cristalina dos materiais temosplanos cristalográficos:

Cisalhamento

A tensão de cisalhamento pode ser obtida por:

γτ G=Onde:

τ = Tensão de Cisalhamento (Pa)γ = Deformação de Cisalhamento (adimensional)G = Módulo de Cisalhamento (característico de cada

material).

A

F=τL

x∆=γ

Cisalhamento

Alguns valores do Módulo de Cisalhamento de alguns materiais:

Coeficiente de Poisson

Quando um material deforma devido a umaforça de tração ou de compressão, adeformação pode ocorrer nas direçõesperpendiculares à do esforço aplicado.

Se o material for isotrópico e adireção de aplicação do esforçofor unidimensional, podemosusar a definição do coeficientede Poisson para encontrar adeformação em outras direções:

z

y

z

x

εε

εεν −=−=

Coeficiente de Poisson

As três características dosmateriais relacionadas àdeformação estãointerligadas. No caso demateriais isotrópicos temosa seguinte relação válida:

)1(2 ν+= GE

Deformação Plástica

A deformação plástica é umadeformação não-recuperável e pode seridentificada também em um gráfico detensãoxdeformação.

Para muitas aplicações torna-seimprescindível conhecer o nível detensão no qual a deformação plástica temseu início, ou onde ocorre o fenômeno deescoamento. Para os metais, o pontoonde ocorre a transição elastoplástica échamado de limite deproporcionalidade e está representadono gráfico ao lado pelo ponto P.

Elástico Plástico

Ten

são

Deformação

0.002

Deformação Plástica

Nem sempre o limite de proporcionalidade éidentificado com precisão como mostrado nográfico.

Dessa forma, por convenção, adota-se o conceito de

limite de escoamento.

O limite de escoamento é obtido da seguinte maneira:

• Adota-se uma linha paralela à região linear da curva

tensão deformação;

• A linha adotada deve passar por uma pré-

deformação especificada (geralmente 0,002);

• O ponto de intersecção entre a linha adotada e a

curva tensão deformação é chamado de limite de

escoamento (sy).

Elástico Plástico

Ten

são

Deformação

0.002

Deformação Plástica

Alguns aços e outros metais exibem ocomportamento Tensão-Deformação mostrado nafigura a seguir.

A transição elastoplástica ocorre deforma abrupta.No limite de escoamento superior adeformação plástica é iniciada comuma real diminuição da tensão.

A deformação seguinte flutua em tornode algum valor de tensão, denominadolimite de escoamento inferior.

Nesses ensaios o limite deescoamento adotado é o mesmo dolimite de escoamento inferior. Deformação

Ten

são

Limite de

escoamento

superior

Limite de

escoamento

inferior

Limite de Resistência à Tração

(LRT)

Após o limite de escoamento, a tensão aumenta atéum ponto máximo (M) na curva tensão deformação.

Esse ponto é chamadode Limite deResistência à Tração(LRT) e corresponde atensão máxima quepode ser suportadapela estrutura emtração.

No LRT inicia-se oempescoçamento, etoda a tensão geradase concentra nele até afratura (F)

Deformação

Ten

são

LRT

Ductilidade

Pequena deformação plástica até a fratura = material frágil.

Alta deformação plástica até a fratura = material dúctil.

A ductilidade é uma medida do grau dedeformação plástica que foi suportado até afratura.

Deformação

Ten

são

Dúctil

Frágil

Podemos quantificar aductilidade de um materialcom base no seualongamento percentual(%AL) ou pela reduçãopercentual da área (%RA)

Ductilidade

Redução percentual na área:

Lf = comprimento no momento da fraturaL0 = o comprimento útil original.

O alongamento percentual é a porcentagem dedeformação plástica na fratura:

100.%0

0

−=

L

LLAL f

100.%0

0

−=

A

AARA f Af = área do pescoço no

momento da fraturaA0 = área original.

Resiliência

Assim sendo, o módulo de resiliência (Ur) de um material édado como a energia necessária para submeter o material doestado original ao limite de escoamento.

A resiliência é a capacidade de um materialabsorver energia quando ele é deformado, eapós a remoção da carga, permitir arecuperação da energia.

=l

dUr

ε

εσ0

Considerando a região

elástica (linear) llrU εσ2

1=

Onde el representa a deformação no escoamento.

Tenacidade

A tenacidade é a medida de um materialabsorver energia até a sua fratura.

Em um gráfico tensão-deformação, a tenacidade do materialpode ser obtida a partir da área sob a curva s-e no gráfico.Um material mais tenaz apresenta área maior

Deformação

Ten

são

Dúctil

FrágilAnalisando a mesma figurautilizada para demonstrarfragilidade e ductilidade,podemos observar que omaterial dúctil apresentado émais tenaz que o materialfrágil mesmo possuindo menorLRT e menor limite deescoamento.

Tensão Verdadeira e

Deformação Verdadeira

Analisando o gráfico de tensão-deformaçãoapresentado, temos a falsa impressão que após o LRT adiminuição da tensão indica que o material está setornando mais fraco.

Na verdade o que ocorre é quea área na região doempescoçamento estádiminuindo e as equaçõesutilizadas para definição datensão não leva em conta essavariação.

Deformação

Ten

são

LRT

Torna-se então, necessário, autilização do conceito de tensãoverdadeira e deformaçãoverdadeira.

Tensão Verdadeira e

Deformação Verdadeira

A tensão verdadeira pode ser calculadalevando em consideração não a área inicial,mas a área instantânea (Ai).

iv A

F=σ E para a deformação verdadeiratemos:

=L

Liv lnε

Até a região do empescoçamento a tensão e deformaçãoverdadeira estão relacionadas com a tensão e deformaçãode engenharia por:

)1( εσσ +=v )1ln( εε +=v