Identificação de Sistemas Dinâmicos Não-lineares No Domínio Da

5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da

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Srie Arquimedes, Volume 2, Anais do DINCON 20032 Congresso Temtico de Aplicaes de Dinmica e Controle da

Sociedade Brasileira de Matemtica Aplicada e Computacional (SBMAC).So Jos dos Campos, SP, Brasil, 18-22 Agosto de 2003, ISBN:

Editores: J. M. Balthazar, G. N. da Silva, M. Tsuchida,M. Boaventura, L.C.S. Ges e J. D. S. Silva.

IDENTIFICAO DE SISTEMAS DINMICOS NO-LINEARES NO DOMNIO DAFREQNCIA

Roberto Barbosa CintraLuiz Carlos Sandoval GesInstituto Tecnolgico de Aeronutica

Centro Tcnico Aeroespacial

12.228-900 So Jos dos Campos, SP

Brasil

[email protected]; [email protected]

1. RESUMO

A utilizao de tcnicas de identificao de sistemas no domnio da freqncia bastante

difundida para sistemas lineares de uma entrada e uma sada. A extenso de tais tcnicas a sistemas

lineares de mltiplas entradas e uma ou mltiplas sadas (Bendat,1976; Bendat e Piersol, 1986) e

mais recentemente a sistemas no-lineares (Bendat,1997; Pintelon e Schoukens,2001) ampliou as

possibilidades de utilizao de abordagens no domnio da freqncia para a identificao.

Neste trabalho utiliza-se um sistema no-linear de uma sada como caso de estudo para a tcnica

da dinmica reversa associada a funes de densidade espectral condicionadas (CRP) na

identificao no-paramtrica das funes de resposta em freqncia de interesse. Ainda, definindo-

se um modelo paramtrico de interesse a ser aplicado, atravs da maximizao da funo de

verossimilhana no domnio da freqncia(Schoukens,2001), obtm-se a identificao paramtrica.


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2. PALAVRAS CHAVES

Identificao no domnio da freqncia; Sistemas No-lineares; CRP

3. INTRODUO

A identificao de sistemas dinmicos permite a construo de modelos matemticos para um

sistema de interesse a partir de dados medidos(Ljung,1999). Usualmente, um modelo divido em

duas parcelas, a determinstica e a estocstica e, neste contexto, o objetivo da teoria de identificao

proporcionar uma abordagem sistemtica para obter um modelo matemtico, to bom quanto

possvel, para a parcela determinstica do modelo, eliminando, tanto quanto possvel, as distores

causadas pelo rudo(Pintelon e Schoukens,2001).

O processo de identificao, que visa construo de um modelo a partir dos dados provenientes

do sistema, engloba trs aspectos fundamentais(adaptado de Ljung,1999 e de Pintelon e

Schoukens,2001):

a) Obter informaes a respeito do sistema de interesse, observando suas flutuaes naturais,

planejando experimentos especficos que ativamente excitem o sistema, ou seja, obter um conjunto

de dados suficientemente representativo do sistema de interesse;

b) Selecionar um conjunto de modelos candidatos, isto possveis estruturas para representar o

sistema. Modelos paramtricos ou no-paramtricos? Caixa branca ou preta? Linear ou No-

linear?

c) Estabelecer um critrio de avaliao, atravs do qual os modelos elegveis possam ser

comparados e ordenados. No caso dos paramtricos, que proporcione a obteno dos referidos

parmetros;

d) Validao do modelo selecionado, atravs de testes nas mesmas condies em que ser

empregado, anlise da relao entre a complexidade do modelo selecionado e a utilizao especfica

do mesmo.


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Figura 1: Esquema do Processo de Identificao.

Um determinado modelo pode ser avaliado como bom quando os valores de resposta por ele

estimado prximo queles da sada do sistema efetivamente medidos e no utilizados no

processo de identificao, no contexto da validao do modelo obtido.

O processo de identificao pode ser concludo se, obtida a resposta em freqncia, por

exemplo, o modelo suficiente j foi obtido; neste caso no h necessidade de se particularizar o

sistema, ou seja uma identificao no-paramtrica suficiente.

Por outro lado, como a prpria Figura 1 sugere, em outras situaes, uma estrutura pode ser

admitida e a meta da identificao ento passa a ser obteno de valores ou parmetros. Observe-se

que a estrutura do modelo a ser empregada nem sempre conhecida, assim, vrias possibilidades

podem ser testadas at que a mais adequada, segundo algum critrio de classificao estabelecido,

seja obtida. Definida a estrutura, o que no limite implica na quantidade de parmetros a serem

identificados, o processo de minimizao da funo-custo(penalizao do erro de predio, a

diferena entre a sada medida e a estimada pelo modelo), leva identificao dos parmetros que

so ajustados at que a sada do modelo coincida, tanto quanto possvel, com a sada medida.

Conhecimento Prvio Projeto do Experimento Obtenodos dados

.Equaes Dinmicas .Sinal suficientemente .Pr-tratamento

.Experimentos anteriores excitante na faixa de interesse dos dados

Seleo do Modelo Obteno do Modelo Especfico Genrico Estrutura e Parmetros

.Teste de alternativas de modelos.Paramtrico ou no-paramtrico da mesma classe.Domnio da Freqncia ou do tempo

ndice de Custo ou critrio Processo de Validao do Modelo de otimalidade Especfico

No Resultados

Satisfatrios? Sim

Modelo Especificado


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Uma medida do quanto possvel os valores medidos e estimados podem se aproximar a

verossimilhana, que corresponde probabilidade do erro de predio ser nulo. Deste modo, obter

os valores dos parmetros que maximizam a verossimilhana pode corresponder minimizao do

ndice J de penalizao do erro de predio.

Figura 2: Separao Esquemtica de Mtodos para Identificao de Sistemas(adaptado de

Nelles,2000).

O principal objeto de interesse neste trabalho a aplicao de tcnicas de identificao no-

paramtricas no domnio da freqncia a sistemas de mltiplas entradas e uma (MISO) ou mais

sadas(MIMO), com particular interesse nos sistemas no-lineares como por exemplo aeronaves. O

uso associado das funes de densidade espectral condicionadas e do mtodo de anlise dinmica

reversa permitem a especificao de modelos, admitida uma determinada estrutura.

4. NOMENCLATURA

2 ( )xy f - funo de coerncia ordinria entre x

e y;2

.( 1)!( )ix y i f - funo de coerncia parcial entre

xie y;

c coeficiente de atrito viscoso;

E[.] espertana matemtica;

( ) ( )i jx x ij

G f G f = - funo densidade

espectral de potncia entre i e j;

. ! . !( ) ( )i j rx x x ij rG f G f = - funo densidade

espectral de potncia entre i e j condicionada a

r;

H(f) funo de transferncia;

k constante elstica;

Identificao deSistemas

Mtodos de Estimao Mtodos

de Parmetros No-Paramtricos

No domnio No domnio No domnio No domniodo tempo da freqncia do tempo da freqncia

.mnimos quadrados .mnimos quadrados .resposta impulsiva .resposta em freqncia

.otimizao no-linear .otimizao no-linear .anlise de transiente .anlise de Fourier

.mnimos quadrados repetidos .anlise decorrelao .anlise Espectral


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m massa;

p(x) - funo densidade de probabilidade;

0( )P x x - funo probabilidade acumulada ;

Re[.] parte real;

5. SISTEMAS NO-LINEARES: SEM MEMRIA E COM MEMRIA FINITA

Um sistema no-linear dito sem memria se age instantaneamente sobre a entrada de forma

no-linear, isto , no h nenhuma ponderao quanto a entradas passadas.

Figura 5.1: Exemplo de Sistema No-Linear sem Memria.

Para o sistema ilustrado na figura 5.1, a sada s depende da entrada corrente:

3( ) [ ( )] ( )y t G x t x t= = (1)

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )]a y t a y t a G x t a G x t G a x t a x t + = + + (2)

Admita-se que x(t) uma entrada arbitrria cuja funo densidade de probabilidade p(x). Se

um sistema no-linear de memria nula tal que a relao entre a sada e a entrada bijetora, ento

a funo densidade de probabilidade da resposta dada por(Bendat,1997):

2

( )( )

( )

p xp y

dg x

dx

= (3)

Ainda, tem-se:

0 0

0 0( ) ( ) ( ) ( )

x y

P x x p x dx p y dy P y y

= = = (4)

A aplicao de (4) identificao de sistemas direta, pois atravs da comparao entre as

probabilidades acumuladas, pode-se obter uma tabela ou uma funo interpolada para a no-

linearidade de interesse conforme ilustram as figuras a seguir.

x(t) ( )3 y(t)


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Figura 5.2: Distribuies Empricas de Probabilidade: Entrada Gaussiana e Resposta de um

Sistema No-Linear sem Memria do tipo cbico.

Figura 5.3: Pares (x,y) conforme (4) para funo cbica.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x ou y

ProbabilidadeAcumulada

Distribuio Normal(Entrada)Distribuio da Sada

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-15

-10

-5

0

5

10

x0

y0


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Utilizando-se exatamente a mesma abordagem, substituindo-se a no-linearidade cbica por uma

zona morta, obteve-se os resultados ilustrados na fig.I.4.

Figura 5.4: Pares (x,y) conforme (4) para Sistema No-Linear sem memria Zona Morta entre

0,5 e 0,5.

Uma situao mais completa relativa a sistemas no-lineares de memria finita(Bendat,1997),

que so obtidos via insero de sistemas lineares a parmetros contantes antes e/ou aps sistemas

no-lineares sem memria:

Figura 5.5:Sistema No-linear com memria finita, com pores lineares antes e aps uma no-

linearidade esttica.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y0

x0

Sistema u(t) Sistema v(t) Sistemax(t) Linear No-linear Linear y(t)

B(f) Sem Memria A(f)


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Um sistema do tipo ilustrado na fig 5.5 denominado de Wiener-Hammerstein(Pintelon e

Schoukens,2001,p.81). Quando B(f) igual a 1, denomina-se sistema de Hammerstein e quando

A(f) igual a 1, denomina-se sistema de Wiener. Neste trabalho s se considerou sistemas no-

lineares deste tipo.

6. UTILIZAO DA METODOLOGIA DE DENSIDADES ESPECTRAIS DE POTNCIA

NA IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES

Em 1995, numa conferncia em Porto Rico, Bendat proferiu uma palestra na qual apresentou as

tcnicas direta e reversa para anlise e identificao de sistemas MISO no-lineares. Tais tcnicas

so aplicveis a qualquer sistema no-linear que possa ser modelado por equaes diferenciais ou

ntegro-diferenciais no-lineares(Bendat,1997). As principais caractersticas dessas abordagens so:

a. Modelos dinmicos do tipo SISO no-lineares sem realimentao podem ser

convertidos em modelos de dinmica direta equivalentes, do tipo MISO lineares

sem realimentao;

b. Modelos dinmicos do tipo SISO no-lineares com realimentao podem ser

convertidos em modelos de dinmica reversa equivalentes, do tipo MISO lineares

sem realimentao;

c. Uma representao no-linear exata obtida utilizando-se uma funo de resposta

em freqncia linear de cada componente no-linear;

d. As propriedades de amplitude do sistema no-linear bem como os parmetros

fsicos com coeficientes dependentes da freqncia podem ser identificados;

e. No h restries na probabilidade ou natureza espectral quanto aos sinais de

excitao ou resposta;


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f. Todos os resultados podem ser avaliados em cada freqncia tanto para os termos

lineares quanto no-lineares, atravs das funes de coerncia;

Considere-se, por exemplo, um sistema linear massa-mola-amortecedor excitado por uma

resultante fsica x(t), com o deslocamento fsico correspondente dado por y(t). A equao do

movimento no domnio do tempo dada por:

2

2( )

d y dym c ky x t

dtdt+ + = (5)

A idia fundamental do mtodo reverso simplesmente inverter os papis da entrada e da sada,

utilizando-se os dados experimentais:

Figura 6.1: Formas Direta e Reversa Equivalentes para Sistemas Lineares.

2

2( )

d x dxy t m c kx

dtdt= + + (6)

Neste contexto, x passa a ser o deslocamento matemtico correspondente entrada enquanto y

passa a ser a sada matemtica medida, correspondente fora.

A abordagem de identificao via determinao de funes de resposta em freqncia, atravs

de densidades espectrais de potncia condicionadas ou no, embora no paramtrica em princpio,

pode servir de base para a estimao de parmetros. Considere-se um sistema SISO, porm com

uma no-linearidade, cuja resultante fsica x(t), com o deslocamento fsico correspondente dado

por y(t) e equao dinmica dada por:

2

2

( ) ( )( ) ( , , ) ( )

d y t dy t m c ky t p y y t x t

dtdt+ + + =& (7)

Direto X(f) H(f) Y(f) Y(f)=H(f).X(f)

Reverso Y(f) A(f) X(f) Y(f)=H(f).X(f)

A(f)=H- (f)


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A representao do sistema dado por (7) teria para sua dinmica reversa a forma ilustrada na

Figura 6.2.

Figura 6.2: Representao do sistema no-linear reverso dado por (7).

7. SISTEMAS LINEAR E NO-LINEAR EM PARALELO

Considere-se a situao representada na figura 7.1: o sistema tem uma parcela no-linear e outra

linear em paralelo(adaptado de Bendat,1997,p.98):

Figura 7.1: Modelo SISO No-linear em Paralelo com Sistema Linear.

A relao entre a entrada e a sada, conforme ilustrado na fig.III.1, dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h v vY f Y f Y f N f H f X f Y f N f = + + = + + (8)

Conseqentemente:

( ) ( ) ( ) ( ) 2Re[ ( )]h h v v h vyy y y y y nn y y

G f G f G f G f G f = + + + (9)

Como * *[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )h v vy y v xy

G H f X f Y f H f G f = = , a separao entre os componentes linear e

no-linear da sada no factvel, exceto no caso em que as pores so no-correlacionadas. Para

yh(t)

Sistema Linear H(f) n(t)

x(t) y(t)yv(t)

Sistema No-linear

Sistema Linear H(f)

y(t)entrada x(t)matemtica sada

Sistema No-linear matemtica

( , , )p y y t&


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se forar tal no-correlacionamento, trabalha-se com um sistema (terico) equivalente revisado

cuja representao dada na figura a seguir:

Figura 7.2: Modelo SISO No-linear em Paralelo com Sistema Linear Revisado.

Para este sistema revisado, visto que 0 ( ) ( ) ( ) ( )u v hY f Y f Y f Y f + = + , a forma equivalente a (9)

:

( ) ( ) ( ) ( ) 2Re[ ( )]h h v v h vyy y y y y nn y y

G f G f G f G f G f = + + + (10)

E a relao entre as funes de transferncia, visto que y0e yue so no-correlacionados, dada

por:

)(

)()()(0

fG

fGfHfH

xx

xyv+= (11)

Ainda, as seguintes relaes decorrem:

)()(

)()( fX

fG

fGYfY

xx

xy

vuv= (12)

)(

)(

)()(

2

fG

fG

fGfGxx

xy

yyyy

v

vvuu = (13)

)(

)(

)(

)(

)(

)(1 00

fG

fG

fG

fG

fG

fG

yy

nn

yy

yy

yy

yy uu ++= (14)

Considerando-se a definio de coerncia ordinria:

)(

)(

)()(

)()(

)()()( 00

22

0

2

2

fG

fG

fGfG

fGfH

fGfG

Gf

yy

yy

yyxx

xx

yyxx

xy

xy === (15)

Sistema Linear timoy0(t)

x(t)y(t)

Sistema No-linear yu(t)

Revisado

0 ( )H f


12/28

Por analogia, observando-se (15) a funo coerncia da parcela no-linear no-correlacionada

(Bendat,1997,p.101) :

)(

)()(2

fG

fGfq

yy

yy

xyuu= (16)

Assim, de (14) a (16), o espectro do rudo dado por:

)()]()(1[)( 22 fGfqffG yyxyxynn = (17)

Pode-se interpretar o termo que multiplica o espectro da sada em (17) como o complemento da

coerncia mltipla referente entrada isto , quanto mais prximo de zero, mais a entrada explica

a sada, tanto atravs do canal linear quanto do no-linear.

A generalizao da situao anterior, com sistemas no-lineares do tipo Wiener, corresponde a

um MISO linear conforme ilustrado na Figura 7.3, a seguir:

Figura 7.3: Vrios Modelos No-lineares em Paralelo com Sistema Linear.

Sistema Linear H(f) yh(t)

n(t)Sistema No-linear Sistema Linear A1(f)

sem memria g1(x) v1(t) yv1(t)

x(t) y(t)

Sistema No-linear Sistema Linear A1(f) yv2(t)

sem memria g2(x) v2(t)

Sistema No-linear Sistema Linear A1(f) yvn(t)

sem memria gn(x) vn(t)

M

M


13/28

Utilizando-se a abordagem direta ou reversa, dependendo da equao dinmica do sistema, para

as entradas v na fig.III.3, tem-se um sistema de mltiplas entradas e uma sada MISO linear cuja

soluo no domnio da freqncia ser explorada na seo 8. Neste contexto, um problema no-

linear que envolvesse n no-linearidades seria resolvido como um sistema linear desde que as

mesmas pudessem ser representadas sob a forma de Wiener. Observe-se que, admitida essa

limitao para o sistema no-linear, a extenso para o caso de mltiplas entradas e mltiplas sadas

direta.

8. SISTEMAS LINEARES DE MLTIPLAS ENTRADAS E UMA SADA (MISO)

O problema geral de um sistema linear de mltiplas entradas e uma sada est representado na

Figura 8.1:

Figura 8.1: Sistema Linear com mltiplas entradas e rudo na sada.

Tal problema foi solucionado por Bendat(1976) e quatro restries precisam ser satisfeitas para

que a abordagem seja aplicvel:

a. Nenhuma das funes de coerncia ordinrias entre qualquer par de entradas pode ser

igual a 1. Caso tal ocorra, elas contm informaes redundantes e, deste modo, uma

delas deve ser eliminada;

X1(f) H1(f) Y1(f) N(f)

X2(f) H2(f) Y2(f)

X3(f) H3(f) Y3(f) Y(f)

...

Yk(f)

Xk(f) Hk(f)

+

+


14/28

b. Nenhuma das funes de coerncia ordinrias entre qualquer entrada e a sada deve

ser igual a 1. Caso tal ocorra, as demais entradas no esto contribuindo para a sada

e, deste modo, o modelo adotado deveria ser de uma entrada e uma sada;

c. A funo de coerncia mltipla entre uma entrada qualquer e as demais entradas no

deve ser unitria. Caso tal ocorra, essa entrada qualquer no proporciona nenhuma

informao nova e deve ser eliminada do modelo;

d. A funo de coerncia mltipla entre a sada e as entradas dadas deve, em situaes

prticas, ser suficientemente elevada, acima de 0,50 o valor utilizado no trabalho

inicial(Bendat,1976), 0,80 foi alterado para 0,50 por Bendat e Piersol(1986) de

modo que as hipteses tericas quanto ao sistema provem-se razoveis. Caso

contrrio, outras entradas relevantes devem estar sendo negligenciadas; o valor 0,50

no preciso, julgamental;

Assume-se que as medidas tanto dos sinais de entrada quanto sada so simultneas. Ainda, admite-

se que os erros presentes tanto os de sistema quanto os estatsticos presentes nas variveis medidas

tenham sido minimizados atravs de calibrao precisa dos instrumentos de medida bem como pr-

processamento de dados realizado.

1

( ) ( ) ( ) ( )k

j j

j

Y f H f X f N f =

= + (18)

Conseqentemente, em termos de densidades espectrais:

1

( ) ( ) ( )i i j i

k

x y j x x x n

j

G H f G f G f =

= + (19)

Observe-se que se fosse apenas uma entrada x sem correlao com o rudo de sada, a relao

(19) levaria relao SISO ( ) ( )xy xxG f H f G= . Por outro lado, mesmo havendo mltiplas entradas,

se no houver correlao com o rudo, tem-se:


15/28

1

( ) ( )i i j

k

x y j x x

j

G H f G f =

= (20)

A equao (20) corresponde a um conjunto de k equaes e k incgnitas. Ocorre, porm, que no

caso genrico em que h correlao no nula entre as vrias entradas, essa abordagem no consegue

estabelecer a contribuio marginal de cada entrada independentemente. Assim, o problema de

identificao em princpio resolvido, visto que as funes de transferncia foram obtidas, mas no

totalmente explicado, visto que as contribuies individuais no so calculveis.

Quando h correlao entre pares de entradas, se for definida a causalidade da influncia da

entrada i sobre a i+1, pode-se remover tal efeito. Imaginando-se um ordenamento das entradas e

a retirada seqencial dos efeitos da entrada i sobre a subseqente i+1, pode-se obter um novo

sistema no qual as entradas so no correlacionadas. A grande vantagem desse sistema transformado

que possvel o estabelecimento do efeito individual de cada entrada na sada.

Um sistema mais geral, com mltiplas entradas e uma sada, como o ilustrado na figura IV.1,

que apresenta entradas com um certo grau de correlao entre si, pode ser transformado num sistema

de mesma ordem, porm com entradas no correlacionadas. Adotando-se a mesma conveno

estabelecida por Bendat(1976), a qual indica a retirada de uma entrada sobre a outra atravs de um

subescrito do tipo ponto. Assim, 3.2.1 3.2!X X= equivalente a dizer que da entrada

original 3X foram retiradas as parcelas lineares referentes s duas entradas anteriores:

Figura 8.2: Sistema com mltiplas entradas no correlacionadas e uma sada com rudo.

L1y(f) Y1(f) N(f)

L2y(f)

L3y(f) Y(f)

...

Lky(f)

+ +

1 2 1, , . .., ( )kY x x x f

1 2, ( )Y x x f

1( )Y x f2 1( )X f

3 2!( )X f

( 1)!( )k kX f

1( )X f


16/28

Para o sistema transformado:

( 1)!

1

( ) ( ) ( ) ( )q

iy i i

i

Y f L f X f N f

=

= + (21)

Como as entradas so no correlacionadas, a esperana [ ( ) ( )] 0i jE u f u f = se as entradas forem

distintas:

*

( 1)! ( 1)!

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q q

yy jy j j jy j j

j j

G f E L f X f N f L f X f N f = =

= + +

(22)

( 1)! ( 1)!

2

1( ) ( ) ( ) ( )j j j j

q

yy jy x x nn

jG f L f G f G f

== + (23)

O mais importante, porm, a relao entre as funes de transferncia individuais. No caso das

entradas no correlacionadas, a funo de transferncia tima entre qualquer das q entradas no

correlacionadas e a sada y dada, exatamente como no caso SISO:

( 1)!

( 1)! ( 1)!

( )( )

( )

j j

j j j j

x y

jy

x x

G fL f

G f

= (24)

Retomando-se (33) e admitindo-se que Y possa ser tratada como a q+1 varivel e que o rudo a

diferena entre tal entrada e as demais:

1 ( 1)!

1

1 ( 1)! 1. !

1

1. ! 1 ( 1)!

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

q

q iy i i

i

q

q iy i i q q

i

q

q q q iy i i

i

Y f X f L f X f N f

X f L f X f X f

X f X f L f X f

+ =

+ +=

+ + =

= = +

= +

=

(25)

Observe-se que generalizando-se (25):

. ! .( 1)!

1

( ) ( ) ( ) ( )r

j r j ij i i

i

X f X f L f X f=

= (26)

Assim:


17/28

1

.( 1)! .( 1)!

1

( ) ( ) ( ) ( )r

j r j ij i i

i

X f X f L f X f

=

= (27)

A relao (27) proporciona o clculo recursivo das transformadas de Fourier dos sinais

condicionados. Tambm:

. ! .( 1)! .( 1)!( ) ( ) ( ) ( );

1,2,... ; , 1

ij r ij r rj ir r G f G f L f G f

r q r i j q

=

= < + (28)

A expresso anterior permite a obteno recursiva dos espectros condicionados. Porm a

determinao das ( )rjL f essencial para que seja possvel tal clculo. Generalizando-se a equao

(24) entretanto, a definio das L fica dada:

.( 1)!

.( 1)!

( )( ) ;

( )

1, 2,..., 1;

1, 2,..., 1;

r j

r r

x x r

rj

x x r

G fL f

G f

r j

j q

=

=

= +

(29)

E assim:

.( 1)!

. ! .( 1)! .( 1)!

.( 1)!

( )( ) ( ) ( );

( )

1,2,... ; , 1

r

r

x xj r

ij r ij r ir r

x xr r

G fG f G f G f

G f

r q r i j q

=

= < +

(30)

A permite o clculo do prximo espectro condicionado a partir do anterior.

Multiplicando-se (21) por *.( 1)!( )i iX f e tomando-se a esperana:

.( 1)! .( 1)!

.( 1)!

.( 1)!

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

1,2,..., ;

i i

i i

q

iy i jy ij x x ij i

qiy i

iy jy ij

j ix x i

G f H f L f G f

G fL f H f L f

G f

i q

=

=

=

= =

=

(31)

A soluo de (31) ocorre em ordem reversa: resolve-se para i=q, q-1 e assim sucessivamente at

que i=1.


18/28

Por definio, as funes de coerncia ordinria entre qualquer das entradas 1 a q e a sada y

dada por:

2

2( )

( )( ) ( )

i

i

i i

x y

x y

x x yy

G ff

G f G f = (32)

A coerncia parcial analogamente definida por:

!

1

! 1

2

. !2

. !

. ! . !( )

( )( )

( )

i i

i i

i i i i

x y x

x y x

x x x yy x f

G ff

G f G

= (33)

Assim, descontado o efeito das q entradas, obtm-se o espectro do rudo:

1

1

2

. ! . !

1

2 2

. !

1

(1 )

( ) (1 )

q i i

i i

q

yy x yy x y x

i

q

ny x y x

i

G G

f

=

=

=

(34)

Ainda, a coerncia mltipla das q entradas, isto a poro de potncia de sada decorrente da

totalidade das entradas comandadas, o complemento da coerncia do rudo e, assim, dada por:

1

2 2

: ! . !

1

( ) 1 (1 )q i i

q

y x x y x

i

f

=

= (35)

9. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT), ESTIMADORES DE DENSIDADE

ESPECTRAL DE POTNCIA (PSD)

Para o caso de um sistema real cujos dados so amostrados e o tamanho das amostras finito, as

equaes de densidade espectral de potncia no se aplicam diretamente e estimativas das

densidades espectrais de potncia devem ser calculadas. Marple(1987); Oppenheim e Schafer(1975);

Ljung(1999) comentam ass distores decorrentes da utilizao de estimativas bem como algoritmos

e aspectos prticos da implementao do clculo dos estimadores via segmentao dos dados,

janelamento, transformada discreta de Fourier (DFT) em particular a transformada rpida de Fourier


19/28

(FFT) e clculo de mdias para gerar as estimativas do espectro. Para se estimar o espectro de um

sinal de tempo contnuo, alguns passos devem ser seguidos (Pintelon e Schoukens,2001,p.):

a. Discretizao no tempo, que consiste em amostrar o sinal contnuo em intervalos de

tempo constantes;

b. Restringir o tamanho da amostra, visto que o nmero de dados com os quais um

computador pode lidar finito. Deste modo o comprimento limitado a N amostras,

excluindo o resto, o que chamado de janelamento;

c. Discretizao na freqncia, pois um sinal discreto no tempo ainda possui um espectro

contnuo em freqncia, assim o espectro deve ser calculado apenas em conjuntos de

freqncias eqidistantes.

Uma expresso para a DFT :

21

0

( ) ( ) ; 0,1,... 1

j knN

N

n

X k x nT e k N

=

= = (36)

onde:x(nT) ou x(n) corresponde ao sinal no domnio do tempo j discretizado e janelado via

w(n).

Para se estimar o espectro(PSD) propriamente dito, neste trabalho utilizou-se o mtodo do

Periodograma de Welch(Marple,1987,p.154-158; Oppenheim e Schafer,1975,p.553-570). Tal

mtodo consiste em se dividir o vetor de dados de comprimento N em P segmentos de D amostras

cada, com um salto de S amostras entre segmentos adjacentes, assim P inteiro e P (N-D)/S+1, de

modo que haja sobreposio entre os dados de segmentos adjacentes, elevando o nmero de

segmentos que entram no clculo das mdias, deste modo suavizando o espectro e reduzindo a

varincia do estimador. Para o estimador do autoespectro tem-se os passos:

( ) ( ) ( ) ( )px n w n x n pS= + (37)

1( ) ( ) 2

0

( ) ( )D

p p j nfT

n

X f T x n e

=

= (38)


20/28

*( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ;0 1p p pxxG f X f X f p P

U D T =

% (39)

1

2

0

( )

D

n

U w n

== (40)

1( )

0

1 ( ) ( )P

p

W xx

p

G f G f P

=

= % (41)

O fator U retira a parcela de vis da PSD decorrente da janela. O valor mdio dos periodogramas

ento:

2

( )[ ( )] ( )W xx W fE G f G fU

= (42)

12

0

( ) ( )D

j nfT

n

W f T w n e

=

= (43)

Para o caso do espectro cruzado, analogamente:

*( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )p p pxyG f X f Y f

U D T =

% (44)

1( )

0

1 ( ) ( )P

p

xy xy

p

G f G f P

=

= % (45)

10. ESTUDO DE CASO; SIMULAO E IDENTIFICAO DE UM SISTEMA NO

LINEAR

Seja um sistema dinmico cuja equao dada por:

2

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mx t cx t kx t c x t x t k x t y t + + + + =&& & & & 46)

Considerando-se a dinmica reversa, a seguinte figura pode representar o sistema:


21/28

Figura 10.1 Representao de um sistema no-linear SISO

Aplicando-se a transformada ao sistema reverso:

2 2

1 2( )( ) ( ) { ( ) ( )} ( ) { ( )} ( )X m j c k A F x t x t A F x t Y + + + + =& & (47)

Neste contexto, h trs FRF a serem obtidas: A, correspondente inversa da poro linear do

sistema; A1, referente ao amortecimento no-linear; A2referente mola no-linear.

Os grficos a seguir mostram os resultados de simulao obtidos para um sistema cujas

caractersticas so dadas na tabela 10.1:

Tabela 10.1: Parmetros utilizados no exemplo 1

M c k C1 k1 fs Entrada

1kg 4N/m/s 350N/m 100N/(m/s)2

1000N/m2

100Hz Rudo

branco

X()

X1() Y()

X2()

( )A

1 ( )A

2 ( )A


22/28

Figura 10.2 Densidades Espectrais de Potncia da Entrada e Sada utilizadas na simulao

O rudo utilizado excita toda a faixa de freqncia de interesse. Esse um fator importante na

seleo da entrada, isto , o sinal tem que ser suficientemente excitante na poro do espectro em

que se tem interesse no estudo de algum sistema.

Figura VI.3 Respostas em Freqncia para abordagens SISO e MISO.

10-2

10-1

100

101

-80

-70

-60

-50

-40

-30

MdulodaFRF

(dB)

Estimativa MISOEstimativa SISO

10-2

10-1

100

101

-200

-100

0

100

200

ngulodeFase(graus)

Freqncia (Hz)

Estimativa MISOEstimativa SISO

10-2

10-1

100

101

56

58

60

62

64

MdulodaPSD

dorudo

(dB)

10-2

10-1

100

101

-100

-80

-60

-40

-20

MdulodaPSDdarespo

sta(dB)

freqncia (Hz )


23/28

Observe-se a diferena entre as estimativas SISO, em que H dada por Gxy/Gxxe a estimativa

MISO que utiliza as densidades condicionadas. No primeiro caso o sistema no apresenta

ressonncia em 3Hz, enquanto no segundo a diferena h resposta significativa. Os ngulos de fase

tambm so distintos.

Figura 10.5 Resposta em Freqncia estimada para a poro no-linear relativa a ( ) ( )x t x t& & .

Tal FRF, conforme expresso na Tabela 10.1, corresponde a uma constante de valor 100 e,

portanto, fase nula. A varincia do mdulo observado na poro apresentada 3 e a mdia 91.

10-2

10-1

100

101

0

500

1000

1500

2000

2500

Mdulo

daFRF

dex

2

10-2

10-1

100

101

-100

-50

0

50

ngulo

deFase(graus)

Freqncia (Hz)


24/28

Figura 10.6 Resposta em Freqncia estimada para a poro no-linear relativa a x2.

Tal FRF, conforme expresso na Tabela 10.1, corresponde a uma constante de valor 1000 e,

portanto, fase nula. A varincia do mdulo observado na poro apresentada 308 e a mdia 1089.

O principal motivo de tamanha diferena em termos de qualidade da estimativa est relacionada

potncia relativa de cada poro. Neste contexto, quanto maior a intensidade da excitao, tanto

mais exacerbadas so as caractersticas no-lineares.

10-2

10-1

100

101

0

500

1000

1500

2000

2500

MdulodaFRF

dex

2

10-2

10-1

100

101

-100

-50

0

50

ngulodeFase(gra

us)

Freqncia (Hz)


25/28

Figura 10.7 Funes de Coerncia.

A coerncia mltipla 1 porque no foi adicionado rudo de medio na simulao em que estes

resultados foram obtidos. Observe-se que a coerncia da estimativa SISO, correspondente

coerncia ordinria entre a entrada e a sada, bastante elevada, embora haja diferenas to

relevantes nas FRFs. Por outro lado, as pores no-lineares tm graus de coerncia distintos, o que

explica a diferna na varincia das estimativas obtidas.

Com o intuito de ilustrar o impacto do rudo de medida na qualidade dos estimadores, realizou-

se uma srie de simulaes cujos resultados esto sintetizados na tabela e grfico a seguir:

10-2

10-1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Coerncia

Freqncia (Hz)

Coerncia Mltipla

1,4

2,4.1

(dx/dt|dx/dt|)

3,4.2

(x2)


26/28

Tabela 10.2: razo Sinal/Rudo e parmetros relacionados ao mdulo do estimadores das FRFs

das pores no-lineares.

SNR(dB)1c 1c 1

1

c

c

1

k 1k

1

1

k

k

91 3 0.03 1089 308 0.2869 91 3 0.03 1138 343 0.30

49 92 4 0.04 1251 607 0.49

29 102 11 0.11 1459 1036 0.71

-11 118 17 0.14 430 194 0.45

-31 125 25 0.20 54 46 0.85

-51 128 32 0.25 6 7 1.17

O indicador desvio/mdia isoladamente tenha aplicao limitada, a observao conjunta dele e

do erro da mdia indica a deteriorao dos estimadores medida em que o rudo aumenta. Os efeitos

so maiores no estimador de pior desempenho na situao sem rudo.

Figura 10.8 Indicador do efeito do rudo de medio na qualidade do estimador.

-100 -50 0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

razo Sinal/Rudo (dB)

razodesvio/mdia

Mdulo do Estim ador da FRF de dx/dt|dx/dt|

Mdulo do Estimador da FRF de x2


27/28

11.CONCLUSES

A utilizao da tcnica CRP, isto , a dinmica reversa associada s densidades espectrais

condicionadas, permite a identificao no-paramtrica de sistemas SISO/MISO no-lineares do tipo

Wiener. Por um raciocnio anlogo ao apresentado, considerando-se agora tambm as sadas

correlacionadas, extende-se a utilizao a sistemas MIMO.

No contexto da identificao, deve ser vista como uma etapa inicial do processo. Estabelecendo-

se uma estrutura para o modelo, pode ser aplicada na obteno das FRFs que por sua vez propiciam

uma estimativa inicial dos parmetros de interesse.

Mesmo quando as no-linearidades so aparentemente pequenas visto que a coerncia entre

entrada e sada elevada, podem existir diferenas importantes de comportamento dinmico, em

particular nas regies em que o sistema apresentar plos.

A caracterizao das no-linearidades depende da capacidade de excitao da entrada utilizada

tanto no que diz respeito faixa de freqncia excitada bem como a amplitude do sinal. Quanto mais

ampla a resposta obtida maior a probabilidade, em geral, de se elevar a importncia relativa da

poro no-linear do sistema e de diminuir a varincia da FRF.

A qualidade do estimador depende tambm da razo sinal/rudo e se deteriora medida em que

o nvel do rudo se eleva relativamente; o impacto maior no estimador de pior qualidade mesmo

sem rudo. No exemplo simulado, especificamente, h um limiar (inferior) a partir do qual a razo

independe do rudo, isto , a qualidade limitada pela prpria situao: sinal de excitao,

caractersticas relativas aos estimadores das PSDs e tcnica de identificao utilizada.

12. AGRADECIMENTOS

Ponha agradecimentos aqui.


28/28

13.REFERENCIAS

[1] BENDAT, J. S., System Identification from multiple input/output data. Journal of Sound and

Vibration. v. 49, n.3, p. 293-308,1976.

[2] BENDAT, J. S., Nonlinear system techniques and applications. Los Angeles: John Wiley,

1997.

[3] BENDAT, J. S.; PIERSOL, A. G., Random data: analysis and measurement procedures.

New York: John Wiley, 1986.

[4] LJUNG, L., System identification: Theory for the user. New York: Prentice Hall, 1999.

[5] MARPLE Jr., S. L., Digital Spectral Analysis: with applications. Englewood Cliffs:

Prentice-Hall, 1987.

[6] OPPENHEIM,A.V.;SCHAFER,R.W.Digital Signal Processing. Englewood Cliffs: Prentice-

Hall, 1975.

[7] PINTELON, ; SCHOUKENS, System Identification: a frequency domain approach, IEEE

Press, New York, 2001.

Documents

Identificação de Sistemas Dinâmicos Não-lineares No Domínio Da