INTRODUÇÃO A DEMANDA DE MERCADO

FUNÇÕES CONSTANTES, LINEARES E QUADRÁTICAS

FUNÇÃO CONSTANTE

y = k ou f(x) = k

Seja k um número real qualquer. A função f definida em R e tal que y = f(x) = k, recebe o nome de função constante, portanto, o valor de y não varia com o aumento de x.

A representação gráfica de uma função constante é sempre uma reta paralela ou coincidente com o eixo x (abscissas), passando pelo ponto (0 , y).

FUNÇÃO CONSTANTE

Na prática, lidamos com muitas funções constantes. Mesmo sem saber nomeá-las, você já resolve situações

relacionadas a elas.

Por exemplo, um restaurante com sistema rodízio cobra R$ 20,00 por pessoa, não importando se ela

consome 0,2 kg, 0,5 kg, 2 kg, ... Assim, o preço único pago é sempre de R$ 20,00.

FUNÇÃO CONSTANTE

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA:

(kgkg) – consumo x

(pp) – preço y

p

kg0 0,1 0,2 0,3 ... 0,9 1... 2

20

Logo, se relacionarmos o consumo x de cada pessoa ao valor pago, obteremos uma função f constante: f(x) = k

p = 20,00

FUNÇÃO CONSTANTE

Exemplo 1: y = - 3 Representação gráfica

-3

y = - 3

y

x

●

FUNÇÃO CONSTANTE

EXEMPLO 2:

y = 1, se 0 ≤x ≤ 2

5, se 2 ≤ x ≤ 5

Representação Gráfica

y

x

y = 5

y = 11

5

2 50

FUNÇÃO LINEAR

y = A.x ou f(x) = A.x

É a função f dada por y = A.x, com x Є R e A um número real qualquer não nulo (zero)

A representação gráfica de uma função linear é uma reta que contém a origem ( 0 , 0 ) do sistema de eixos (plano cartesiano x,y), ou seja, a reta dessa função sempre irá passar pela origem do plano cartesiano (x,y). Sendo assim, necessitamos, portanto, de apenas mais um ponto para construir a reta.

FUNÇÃO LINEAR

EXEMPLO: y = 4.xx y = 4.x

0 4.0 = 0

1 4.1 = 4

Representação no Gráfico

4

1

y = 4 . xy

x0

FUNÇÃO LINEAR AFIM

É a função f dada por y = A.x + B, com x Є R e A e B números reais não nulos (zero).

A representação gráfica da função linear afim é uma reta pelo ponto (x=0, y=B), ou seja, o valor do número real B, sempre será um ponto, que deverá ser marcado em cima da reta do y. Sendo assim, necessitamos de mais um ponto para a construção da reta.

y = A.x + B ou f(x) = A.x + B

FUNÇÃO LINEAR

Exemplo: y = 2.x + 1

Na tabela:

x y = 2.x + 1 y

0 2.0 + 1 1

2 2.2 + 1 5

0 2 x

5

1

y = 2.x + 1y

Representação no Gráfico

CONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARESCONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARES

APLICAÇÕES

Exemplo 1:Um comerciante compra 100 unidades de um produto por R$ 20,00 a unidade. Acrescenta 50% ao custo e passa a vender o produto para seus clientes.

Construir um modelo linear que descreva:

a. A receita do comerciante em função das unidades vendidas do produto;

b. O lucro do comerciante em função das unidades vendidas;

c. O domínio da variável quantidade, nesse caso.

RESOLUÇÃO EXEMPLO 1:

a.) Cálculo do preço de venda:

Custo por unidade: R$ 20,00

Acréscimo: 50% x R$ 20,00 = R$ 10,00

Preço de venda: R$ 20,00 + R$ 10,00 = R$ 30,00

A receita por unidade vendida é R$ 30,00 e, portanto, para q unidades devemos ter:

R = 30.q

CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 1:

b.) O lucro por unidade vendida corresponde ao acréscimo de 20%, ou seja, R$ 10,00.

O lucro para q unidades vendidas será, portanto:

L = 10.q.

CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 1:

c.) A quantidade pode variar de 0 a 100 unidades ou 0 ≤ Q ≤ 100, pois é a disponibilidade do comerciante para venda do produto.

APRESENTAÇÃO NO GRÁFICO DO EXEMPLO 1:

R = 30. q , onde 0 q 100

R

q

Substituindo o valor de q, de 0 até 100 temos:

q R = 30. q R

0 30. 0 0

1 30. 1 30

2 30. 2 60

100 30. 100 3000

3000

0 100

1000

L = 10.q

R = 30.q

CONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARESCONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARES

Exemplo 2:Uma máquina de bordar tem 12 cabeças, isto é, é capaz de bordar um desenho em 12 camisetas ao mesmo tempo.

A máquina é comandada por um computador. O operador demora 30 minutos para inicializar a máquina (ligar a máquina, ligar o computador, carregar o programa etc.). A cada 10 minutos a máquina completa uma operação com os 12 desenhos.

a. Descrever a produção de peças desenhadas pela máquina a partir das 8 horas da manhã, até as 12 horas, em função do tempo.

b. Qual o domínio da variável tempo?

c. Qual é a quantidade de bordados produzidos até as 11 horas?

RESOLUÇÃO EXEMPLO 2:

a.) Começando a contar o tempo, a partir das 8 horas, a cada 10 minutos a máquina produz 12 bordados.

Para t minutos após as 8 horas temos:30’ tempo de preparação da máquina

t – 30’ tempo de operação da máquina

t – 30’ número de operações da máquina

10

t – 30’ . 12 número de bordados produzidos no tempo t

10

Chamando q a quantidade de bordados produzidos num tempo t teremos:

q = t – 30’ . 12 ou q = 12.t – 360 ou q = 1,2.t – 36

10 10

CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 2:

b.) Como a produção começa às 8 horas e 30 minutos, quando t = 30 min, e vai até as 12 horas, quando t = 240 min, então o intervalo que faz sentido para o cálculo da quantidade produzida, isto é, 30 ≤ t ≤ 240.

CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 2:

c.) Das 8 horas às 11 horas temos 3 horas ou 180 minutos. Substituindo esse valor na equação de produção, obtém-se:

q = 1,2.t – 36

Substituindo t por 180 minutos:

q = 1,2.(180) – 36

q = 180 bordados

Obs.: Realmente, o tempo de operação da máquina é de 2 horas e 30 minutos ou 150 minutos. O número de operações da máquina é: 150 = 15.

10

Portanto, o número de bordados executados nessas 15 operações é: 15 x 12 = 180.

APRESENTAÇÃO NO GRÁFICO DO EXEMPLO 2:

Descrever a produção de peças desenhadas pela máquina a partir das 8 horas da manhã, até as 12 horas, em função (t ) do tempo e (q) para o bordado.

Tabela: fórmula [ qq = 1,2. t t – 36 ]

t h mint h min q q = 1,2. t t – 36 qq

8- 9 1 60 1,2 . 60 – 36 36

8-10 2 120 1,2 . 120 – 36 108

8-11 3 180 1,2 . 180 – 36 180

8-12 4 240 1,2 . 240 – 36 252

q

t 1 2 3 4

252

180

108

36

RESUMO

O nome de função linear é dado a toda função cuja representação gráfica seja uma reta.

Exemplo:

1) y =4, 0 x 3 2) y = 2x, 1 x 5 3) y = -4x+12, 0 x 3

Função Constante no Função Linear no Função Linear Afim no

Intervalo [ 0, 3 ] Intervalo [ 1, 5 ] Intervalo [ 0, 3 ]

3 x 1 5 x 3 x

4 10

2

12

yy y

00 0

y = A.x2 + B.x + C ou f(x) = A.x2 + B.x + C 

É a função f definida por y = A.x2 + B.x + C, com x Є R e onde A, B e C são números reais quaisquer, com A ≠ 0.

O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima, caso A seja positivo, e concavidade voltada para baixo, caso A seja negativo.

Exemplos: y = 3.x2 + 14.x + 5 A > 0, concavidade para cima

y = –2.x2 + 18 A < 0, concavidade para baixo

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Antenas ParabólicasParábola não é apenas o gráfico de uma

função do 2º grau. A forma de, parábola aparece também em antenas, que podem ser vistas em muitas casas, prédios e sítios.

A forma parabólica dessas antenas permite captar sinais fracos e dispersos, concentrando-os em um único ponto, para que sejam amplificados.

Hoje, graças às antenas parabólicas e aos satélites de comunicação, pode-se estar conectado não só a todo nosso território como a qualquer ponto do planeta, recebendo todo tipo de informação, seja noticiosa, científica, cultural ou esportiva, nos mais diversos idiomas.

Parabólica

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Construção da Parábola:A parábola fica bem caracterizada quando conhecemos seu

cruzamento com os eixos x e y, e seu vértice. O vértice da parábola posiciona seu eixo de simetria vertical.

Os pontos principais são:

a. Cruzamento com o eixo Ox

São as raízes (soluções x1 e x2) da equação do 2º grau A.x2 + B.x + C = 0

b. Cruzamento com o eixo Oy

É o ponto correspondente a x = 0, onde y = C.

c. Vértice, corresponde ao ponto (Xv ; Yv), que possui a seguinte fórmula para cálculo Pv ( - B ; - Δ ).

2.A 4.A

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Xv = – B ; Yv = – ∆

2.A 4.A

Vértice

Ponto C

X2X1

y

x

Eixo de Simetria

PONTO VÉRTICE Pv ( Xv ; Yv )

GRÁFICO

FUNÇÃO QUADRÁTICA

y = x2 – 4.x + 3 Então: A = 1, B = – 4 e C = 3

∆ = B2 – 4.A.C

∆ = (- 4)2 – 4.1.3

∆ = 16 – 12 = 4

x’= -(-4) + 2 = X1 = 3

x = - B ±√ ∆ 2.1

2. A x”= -(-4) – 2 = X2 = 1

2.1

A parábola cruza o eixo x nos pontos ( 3 , 0 ) e ( 1 , 0 ).

Cruzamento com o eixo y é o ponto (0, C), ou seja:

A parábola cruza o eixo y no ponto (0 , 3)

EXEMPLO 1:

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Vértice da Parábola:

Fórmula: V= ( - B , - ∆ )

2.A 4.A

V= -(-4) , - (4)

2.1 4.1

V = ( 2, -1)

– 1

Ponto C

31

y

x

Eixo de Simetria

66

3

2

Ponto Vértice

X2

X1

Graficamente temos:

A = + 1, portanto:

A > 0, concavidade para cima

FUNÇÃO QUADRÁTICA

y = – x2 + 10.x – 16

∆ = B2 – 4.A.C

∆ = (+ 10)2 – 4. –1. –16

∆ = 100 – 64 = 36

X1 = - 10 + 6 = X1 = 2

x = - B ±√ ∆ = 2.(-1)

2.A X2 = - 10 – 6 = X2 = 8

2.(-1)

A parábola cruza o eixo x nos pontos ( 2 , 0 ) e ( 8 , 0 ).

Cruzamento com o eixo y é o ponto (0, C), ou seja:

A parábola cruza o eixo y no ponto (0 , -16)

EXEMPLO 2:

Então: A = -1, B = 10 e C = -16

FUNÇÃO QUADRÁTICA

– 16

Ponto C

82

y

Eixo de Simetria

9

5

Ponto Vértice

X1 X2

Vértice da Parábola:

Fórmula: V= ( - B , - ∆ )

2.A 4.A

V= -(10) , - (36)

2.-1 4.-1

V = ( 5, 9)

Graficamente temos:

A = - 1, portanto:

A < 0, concavidade para baixo

FUNÇÃO QUADRÁTICA

APLICAÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA

EXEMPLO:Sabendo que o modelo funcional que descreve a receita (R) pela venda de uma quantidade q de um bem é dada pela equação R = 10.q – 2.q² e que o modelo que descreve o custo total do bem em função da quantidade produzida é C = 2.q + 2,5 , determinar:

a. Um modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, em função da quantidade produzida e comercializada.

b. A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor do lucro. Construa também o gráfico do Lucro “L” em função da quantidade “q”.

RESOLUÇÃO DO EXEMPLO

a.) Neste caso, precisamos substituir as equações acima na seguinte fórmula:

Lucro é igual a Receita total menos o Custo total ou

Lucro = Receita – Custo :

L = R – CL = 10.q – 2.q² – (2.q + 2,5) L = 10.q – 2.q² – 2.q – 2,5L = – 2.q² + 8.q – 2,5 com q ≥ 0

RESOLUÇÃO DO EXEMPLO

b. Após substituirmos os valores no exercício “a” obtivemos uma função do 2º grau como resposta, para resolvermos a parte “b” calcularemos o ponto vértice dessa função. Lembrando que o ponto vértice tem a seguinte fórmula: Xv = – B ; Yv = – ∆

2.A 4.A

Então: A = – 2, B = + 8 e C = – 2,5

∆ = B2 – 4.A.C (+ 8)2 – 4. – 2 . – 2,5 64 – 20 = 44

A parábola cruza o eixo x nos pontos ( 0,34... ; 0 ) e ( 3,66... ; 0 ).

4...63,68

2.244)8(

.2

A

Bx...34,0

4...63,68

1 q

...66,34

...63,682

q

RESOLUÇÃO DO EXEMPLO

Cruzamento com o eixo y é o ponto (0, C), ou seja:

A parábola cruza o eixo y no ponto ( 0 ; - 2,5 )

Vértice da ParábolaXv = – B ; Yv = – ∆

2.A 4.A

Xv = - (+8) + 2 Yv = - (+44) + 5,5 2. –2 4. –2

O vértice da parábola tem coordenadas PV = ( 2 ; 5,5 ).

RESOLUÇÃO DO EXEMPLO

0,34...

Ponto C(0 , -2,5)

3,66...

L

q

Lucro Máximo de 5, 5quando a quantidade é 2

5,5

-2,5

2

X1 (0,34 , 0)

X2

(3,66 , 0)

O gráfico da função quadrática L = – 2.q² + 8.q – 2,5 com q ≥ 0

O valor do Lucro Máximo é de 5,5 quando a quantidade vendida for igual a 2.

BIBLIOGRAFIA

MORETTIN, L.G., Estatística Básica, 7ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2000.NEUFELD, J.L., Estatística Aplicada a Administração Usando o Excel, São Paulo, PEARSON, 2003.SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2007.SPIEGEL, M.R., Estatística, 3ª Edição, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 1994.SPIEGEL, M.R., Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 1977.Complementar:GIOVANNI, J.R., Matemática Fundamental: 2º Grau – Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.SILVA, Ermes Medeiros, Estatística para os Cursos de: Economia, Administração e Ciências Contábeis, 3ª ed., São Paulo: Atlas, 1999.

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