INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS · introduÇÃo as equaÇÕes integro-diferenciais circuitos de primeira ordem: rc, rl resposta natural e forÇada circuitos de segunda

INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS

CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM: RC, RLRESPOSTA NATURAL e FORÇADA

CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM: RLC SÉRIE e PARALELO

RESPOSTA NATURAL RESPOSTA SUPERAMORTECIDARESPOSTA SUBAMORTECIDARESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA

CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM: RC, RLRESPOSTA NATURAL e FORÇADA

CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM: RLC SÉRIE e PARALELO

RESPOSTA NATURAL RESPOSTA SUPERAMORTECIDARESPOSTA SUBAMORTECIDARESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA

INTRODUÇÃO

Com a chave no lado esquerdo o capacitor recebe carga da bateria.

Chave no ladodireitoo capacitor se descarregaatravés dalâmpada.

dxxfetxetxet

tTH

xtt

)(1

)()(0

0

0 ∫=− ττττ

RESPOSTA GERAL: CIRCUITO DE PRIMEIRA ORDEM

0)0(; xxfxdt

dxTH =+=+τ

IncluIindo a condição inicialno modelo do capacitor (tensão)ou no indutor (corrente):

Resolvendo a equação diferencial, usando o fator de integração, tem-se:

dxxfetxetxt

t

TH

xttt

)(1

)()(0

0

0 ∫−−−−

+= ττ

τ

0)0();()()( xxtftaxtdtdx =+=+

τt

e−

/*

τ É denominada de constante de tempo e esta associada a resposta do circuito.

É denominada de constante de tempo e esta associada a resposta do circuito.

CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM COMFONTES CONSTANTES

0)0(; xxfxdt

dxTH =+=+τ

( ) τ0

)()( 0

tt

THTH eftxftx−−

−+= 0tt ≥

A forma da solução é:

021 ;)(0

tteKKtxtt

≥+=−−τ

Qualquer variável do circuito éda forma:

021 ;)(0

tteKKtytt

≥+=−−τ

Somente os valores das constantesK1, K2 podem mudar

TRANSIENTE

TEMPOCONSTANTE

EVOLUÇÃO DO TRANSIENTE E A INTERPRETAÇÃO DA CONSTANTE DE TEMPO

VISÃO QUALITATIVA:MENOR CONSTANTE DE TEMPOMAIS RÁPIDO O TRANSITÓRIODESAPARECE

Erro menor que 2% Transiente é zeroa partir deste ponto

Descarrega de 0.632 do valorInicial em uma constante de tempo

Tangente atinge o eixo x no valor da constante de tempo

CRTH=τ

CONSTANTE DE TEMPO

−+

vS

RS a

b

C

+

vc_

Carga em um capacitor

THCC

TH vvdt

dvCR =+

O modelo:

0)0(, == CSS vVv

Assume

A solução pode ser escrita como:

τt

SSC eVVtv−

−=)(

CRTH=τ

transiente

Para efeitos práticos, o capacitor é“carrregado” quando o transitórioé insignificante.

0067.0

0183.00498.0135.0

5

432

368.0

ττττ

ττt

et −

dtdv

C C

S

SC

Rvv −

0=−+S

SCc

Rvv

dtdv

C

: KCL@a

Efeito do Capacitor na fase de carga.

Robert L. BoylestadIntroductory Circuit Analysis, 10ed.

Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458

All rights reserved.

ASSUME FIND 2)0(.0),( SVvttv =>

)(tv @KCL USE 0.t FORMODEL >

0)()( =+−

tdtdv

CR

Vtv S

2/)0( SVv = condition initial

PASSO 1 CONSTANTE DE TEMPO

fydtdy =+τ

PASSO 2 ANÁLISE DO ESTADO INICIAL

value)state(steady ,t and 0for

IS SOLUTION

1

21 0,)(

Kv(t)

teKKtvt

→∞→>>+=

−

τ

τ

SVK =∴

1

values)statesteady (equating

fKfydtdy ==+ 1 THEN ISMODEL THE IF τ

PASSO 3 USO DA CONDIÇÃO INICIAL

1221 )0()0(

0

KvKKKv

t

−=⇒+== AT

fvK −= )0(22/2/)0( 2 SS VKVv −=⇒=

0,)2/()( >−=−

teVVtv RCt

SS :ANSWER

EXAMPLE

sVtvtdtdv

RC =+ )()(

R/*

Resumo: Sentido das tensões e correntes quandoa chave é fechada




Corrente no capacitor durante a fase de carga.




Tensão no capacitor durante a fase de carga




Após fase de carga: Capacitor circuito aberto







A função e -x (x ≥ 0).

Curto circuito p/ Capacitor (chave fechada t= 0).




Gráfico Universal de Constantes de tempo.




Corrente i C x tempo, durante a fase de carga .




Tensão v C x tempo durante a fase de carga.







Rede básica de carga e descarga .




Ciclos de carga e descarga da rede básica .

)(ti

0),( >tti FIND

0t FORKVL USE MODEL. >

−+ Rv

−

+

Lv)(ti

KVL

)()( tdtdi

LtRivvV LRS +=+=

0)0()0()0(

0)0(0=+

+=−⇒

=−⇒<i

ii

it

inductor

CONDITIONINITIAL

PASSO 1R

Vtit

dtdi

RL S=+ )()( R

L=τ

PASSO 2 ESTADO ESTACIONÁRIOR

VKi S==∞ 1)(

PASSO 3 CONDIÇÃO INICIAL

21)0( KKi +=+

−=

−R

Lt

S eR

Vti 1)( :ANS

EXAMPLE

)0();(

0,)(

211

21

+=+∞=>+=

−

xKKxK

teKKtxtτ

0t FORKCL MODEL. >

)()(

tiRtv

IS +=

)(tv

⇒= )()( tdtdi

Ltv )()( titdtdi

RL

IS +=

PASSO 1

PASSO 2 SS IKIi =⇒=∞ 1)(

PASSO 3 210)0( KKi +==+

−=

−R

Lt

S eIti 1)( :ANS

0)0( =+i :CONDITIONINITIAL

RL=τ

PROBLEMA

Resumo: Circuito transitórioR-L básico.

O circuito no instante em que a chave é fechada.

O circuito no estado estacionário (regime).

Gráfico da forma de onda de iL durante o ciclo carga.

Gráficos de funçõesy = 1 –e−t/τ e y = e−t/τ.

Forma da onda de iL durante a fase de carga para três valores diferentes de L.

Gráfico da tensão υL em função do tempo.

0t FORMODEL >

2

)()(

Rtv

ti =

É MAIS SIMPLES DETERMINAR ATRAVÉSDO MODELO DE TENSÃO

0t FOR STATESTEADY IN CIRCUIT <INITIAL CONDITIONS

VvVkk

kvC 4)0(4)12(

633

)0( =+⇒=+

=−

0)(

)(

||;0)(

)()(

2121

=+

==++

P

P

Rtv

tdtdv

C

RRRR

tvt

dtdv

CR

tv

Ω== kkkRP 26||3

sFCRP 2.0)10100)(102( 63 =×Ω×== −τPASSO 1

PASSO 2 0)( 1 ==∞ Kv

PASSO 3 VKVKKv 44)0( 221 =⇒=+=+

0],[4)( 2.0 >=−

tVetvt

0],[3

4)( :ANS 2.0 >=

−tmAeti

t

0,)( 21 >+=−

teKKtitτ

0),( >ttvO FIND

C

1R

2R

KCL USE 0.t FORMODEL >

0)()(0)( 2121

=++⇒=+

+ cCCC vt

dtdv

CRRRR

vt

dtdv

C

sFCRR 6.0)10100)(106()( 6321 =×Ω×=+= −τPASSO 1

)(31

)(42

2)( tvtvtv CCO =

+=

PASSO 20,)( 21 >+=

−teKKtv

t

Cτ 01 =K

CONDIÇÃO INICIAL. CIRCUITO NO ESTADO INICIAL t<0

−−

+)0(Cv V)12(

96=

][88)0( 221 VKKKvC =⇒+==+PASSO 3

0],[8)( 6.0 >=−

tVetvt

C

0],[38

)( 6.0 >=−

tVetvt

O

EXEMPLO

)(tvc DETERMINE

)0();(

0,)(

1211

21

+=+∞=>+=

−

iKKvK

teKKtv

C

t

Cτ

0),(1 >tti FIND

KVL USE 0.t FORMODEL >

⇒=+ 0)(1811 ti

dtdi

L

L

0)()(91

11 =+ tit

dtdi

)0();(

0,)(

12111

211

+=+∞=>+=

−

iKKiK

teKKtitτ

PASSO 1 s91=τ

PASSO 2 01 =K

CONDIÇÃO INICIALCORRENTE NO INDUTOR PARA t<0

)0(1 −i

CIRCUITO NO ESTADO INICIAL

AV

i 11212

)0(1 =Ω

=−PASSO 3

][1)0()0( 22111 AKKKii =⇒+=+=−

0],[][)( 991

1 >== −−

tAeAeti t

t

:ANS

)(1 ti

−

+

Lv

EXEMPLO




Exemplo: Ilustrar vC e iC do circuito abaixo, para chave em 1 em t = 0 e em 2 apos 9 ms .

Solução: Aplica-se Thévenin para determinar RTh daconstante de tempo .




Substitui-se o equivalente de Thévenin .




Formas de onda da tensão e corrente no capacitor.




Exemplo Indutor: Obter v L e iL.

Determinando RTh para o circuito.

Determinando ETh para o circuito

Circuito equivalente de Thévenin.

Formas de onda resultantes de iL e vL para o circuito.

CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM

EQUAÇÃO BÁSICA

Simples Nó: Uso KCL

Ri Li Ci

0=+++− CLRS iiii

)();()(1

;)(

0

0

tdtdv

CitidxxvL

iRtv

i CL

t

tLR =+== ∫

SL

t

t

itdtdv

CtidxxvLR

v =+++ ∫ )()()(1

0

0

Diferenciando

dtdi

Lv

dtdv

Rdt

vdC S=++ 1

2

2

Malha simples: Uso KVL

−+ Rv

−+ Cv

−

+

Lv

0=+++− LCRS vvvv

)();()(1

; 0

0

tdtdi

LvtvdxxiC

vRiv LC

t

tCR =+== ∫

dtdv

Ci

dtdi

Rdt

idL S=++2

2

SC

t

t

vtdtdi

LtvdxxiC

Ri =+++ ∫ )()()(1

0

0

EXEMPLO LYRESPECTIVE FOR EQUATIONAL DIFFERENTI THE WRITE ),(),( titv

><

=0

00)(

tI

tti

SS

Si

MODEL O PARA RLC PARALELO

dtdi

Lv

dtdv

Rdt

vdC S=++1

2

2

0;0)( >= ttdtdiS

01

2

2

=++Lv

dtdv

Rdt

vdC

−

+

Sv

><

=00

0)(

t

tVtv S

S

MODELO PARA RLC SÉRIE

dtdv

Ci

dtdi

Rdt

idL S=++2

2

0;0)( >= ttdt

dvS

02

2

=++Ci

dtdi

Rdt

idL

A RESPOSTA DA EQUAÇÃO

)()()()( 212

2

tftxatdtdx

atdt

xd =++

EQUATION

THE FOR SOLUTIONS THESTUDY WE

solutionary complement

solution particular

:KNOWN

c

p

cp

x

x

txtxtx )()()( +=

0)()()( 212

2

=++ txatdt

dxat

dt

xdc

cc

SATISIFES

SOLUTIONARY COMPLEMENT THE

SE A FUNÇÃO FORÇADA É UMA CONSTANTE

solution particular a is 2

)(aA

xAtf p =⇒=

Axadt

xd

dt

dx

aA

x ppp

p =⇒==⇒= 22

2

2

0 :PROOF

)()(

)(

2

txaA

tx

Atf

c+=

= FUNCTION FORCING ANY FOR

0)(4)(2)(2

2

=++ txtdtdx

tdt

xd

EXEMPLO

0)(16)(8)(4 2

2

=++ txtdtdx

tdt

xd

FREQUENCYNATURAL

ANDRATIO DAMPING EQUATION,

STICCHARACTERI THE DETERMINE

COEFICIENTE DA SEGUNDA DERIVADA

0)(4)(2)(2

2

=++ txtdtdx

tdt

xd

2nωnςω2

0422 =++ ss

EQUATION STICCHARACTERI

RAZÃO DE DECAIMENTO, FREQ. NATURAL

2=⇒ nω

5.0=⇓

ς

A EQUAÇÃO HOMOGÊNEA

0)()()( 212

2

=++ txatdtdx

atdt

xd

0)()(2)( 22

2

=++ txtdtdx

tdt

xdnn ωςω

FORM NORMALIZED

2

11

22

2

22

aa

a

aa

n

nn

=⇒=

=⇒=

ςςω

ωω

ratio damping

frequency natural (undamped)

ςωn

02 22 =++ nnss ωςωEQUATION STICCHARACTERI

ANALISE DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA

0)()(2)( 22

2

=++ txtdtdx

tdt

xdnn ωςω

FORM NORMALIZED

02

)(22 =++

=

nn

st

ss

Ketx

ωςωiff solution a is

stst Kesdt

xdsKet

dtdx 2

2

2

;)( == :PROOF

stnnnn Kesstxt

dtdx

tdt

xd)2()()(2)( 222

2

2

ωςωωςω ++=++

02 22 =++ nnss ωςωEQUATION STICCHARACTERI

roots)distinct and (real :1 CASE 1>ςtsts eKeKtx 21

21)( +=roots) conjugate(complex :2 CASE 1<ς

d

nn

js

js

ωσςωςω

±−=−±−= 21

( )tAtAetx ddt ωωσ sincos)( 21 += −

tjttjst dndn eeee ωςωωςω m−±− == )( :HINT

tjte ddtj d ωωω sincos m

m =

roots) equal and (real 1 :3 CASE =ςns ςω−=

( ) tnetBBtx ςω−+= 21)(

)022()02( 22 =+=++ nnn

st

sANDss

te

ςωωςωiff solution is :HINT

tsts eKeKtx 2121)( +=

frequency noscillatio damped=dω

*12)( KKtx =⇒ real

[ ]tj

d

deKtxjs

KK )(1

*12 Re2)( ωσ

ωσ+−=⇒

±−==

2/)( 211 jAAK += ASSUME

1

0)()(

2

222

2222

−±−=

−±−=

=−++

ςωςω

ωωςςω

ωςωςω

nn

nnn

nnn

s

s

s

(modes of the system)

factor damping =σ

EXEMPLO

0)(4)(4)(2

2

=++ txtdtdx

tdt

xd

0442 =++ ss


0)2(044 22 =+⇒=++ sss

242 =⇒= nn ωω 142 =⇒= ςςωn

system 3) (case damped critically a is this

t

st

etBBtx

etBBtx2

21

21

)()(

)()(−+=

+=

DETERMINAR A FORMA DA SOLUÇÃO GERAL

0)(16)(8)(42

2

=++ txtdtdx

tdt

xd

0)(4)(2)(2

2

=++ txtdtdx

tdt

xd

242 =⇒= nn ωω 5.022 =⇒= ςςωn

system 2) (case dunderdampe

325.0121;1 2 =−=−=== ςωωςωσ ndn

( )( )tAtAetx

tAtAetxt

ddt

3sin3cos)(

sincos)(

21

21

+=

+=−

− ωωσ

3103)1(42 22 jssss ±−=⇒=++=++

Raizes reais e iguaisRaizes complexas conjugadas

CRITICAMENTE AMORTECIDOCRITICAMENTE AMORTECIDOSUBAMORTECIDOSUBAMORTECIDO

PROBLEMA

FCHLR

RLC

2,2,1 ==Ω=WITH CIRCUIT PARALLEL

01

2

2

=++Lv

dtdv

Rdt

vdC 0

2

2

=++Ci

dtdi

Rdt

idL

042

1

02

2

2

2

2

2

=++

=++

vdtdv

dtvd

vdtdv

dt

vd0

163

)41

(41

222 =++=++ s

ss

21

41

;21 =⇒== ςςωω nn

+=

−tAtAetv

t

c 43

sin43

cos)( 214

43

41

121

1 2 =−=−= ςωω nd

FFFCHLR

RLC

2,1,5.0,1;2 ==Ω=WITH CIRCUIT SERIES

EQUAÇÃO HOMOGÊNEA

022

2

=++Ci

dtdi

dt

id

valuesreplace& L/:

CC nn =⇒== ςςωω 22;1

C=0.5 subamortecidoC=1.0 criticamente amortecidoC=2.0 superamortecido

Classificar a resposta paraum dado valor de C

41=σ

EXEMPLOFCHLR 5

1,5,2 ==Ω=VvAi CL 4)0(,1)0( =−=

∫ =+++t

L dtdv

CidxxvLR

v

0

0)0()(1

011

2

2

=++ vLCdt

dvRCdt

vd

015.22 =++ ss


25.1;1 ==⇒ ςωn

25.15.2

2

4)5.2(5.2 2 ±−=−±−=s

tt eKeKtv 5.02

21)( −− +=

To determine the constants we need

)0();0( ++dtdv

v

Vvvv CC 4)0()0()0( ==+=++= 0t KCL AT

0)0()0()0( =+++++

dtdv

CiR

vL

C

5)5/1()1(

)5/1(24

)0( −=−−−=+dtdv

2;255.02

421

21

21 ==⇒

−=−−=+

KKKK

KK

0;22)( 5.02 >+= −− teetv tt

RiLi Ci

0=++ CLR iii

PASSO 1MODELO

PASSO 2

PASSO 3RAIZES

PASSO 4FORMA DASOLUÇÃO

PASSO 5: OBTER AS CONSTANTES

)0(),0( LC iv FIND GIVEN NOT IF

ANALIZARCIRCUITOt=0+

%script6p7.m%plots the response in Example 6.7%v(t)=2exp(-2t)+2exp(-0.5t); t>0t=linspace(0,20,1000);v=2*exp(-2*t)+2*exp(-0.5*t);plot(t,v, 'mo' ), grid, xlabel( 'time(sec)' ), ylabel( 'V(Volts)' )title( 'RESPONSE OF OVERDAMPED PARALLEL RLC CIRCUIT')

USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA

SUPERAMORTECIDOSUPERAMORTECIDO

EXAMPLO FCHLR 04.0,1,6 ==Ω=

VvAi CL 4)0(;4)0( −==

∫ =+++t

CvdxxiC

tdtdi

LtRi0

0)0()(1

)()(

0)(1

)(2

2

=++ tiLC

tdtdi

LR

dt

id

0)(25)(62

2

=++ titdtdi

dt

id

02562 =++ ss :Eq. Ch.6.062

5252

=⇒==⇒=

ςςωωω

n

nn

432

100366js ±−=−±−= :roots dω

)4sin4cos()( 213 tAtAeti t += −

Aii L 4)0()0( ==

)0( +dtdi

COMPUTE TO

)()( tdtdi

LtvL =

)0()0()0( CvRidtdi

L −−= 20)0( −=+⇒dtdi

41 =⇒ A

)4cos44sin4()(3)( 213 tAtAetit

dtdi t +−+−= −

24)4(320:0@ 22 −=⇒+×−=−= AAt

0];)[4sin24cos4()( 3 >−= − tAtteti t

+

−

Rv−+ Lv

−

+

Cv0=++ CLR vvv

∫+=−−=t

CC dxxiC

vtdtdi

LtRitv0

)(1

)0()()()(

0];)[4sin224cos4()( 3 >+−= − tVttetv tC

model

Form:

USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA%script6p8.m%displays the function i(t)=exp(-3t)(4cos(4t)-2sin( 4t))% and the function vc(t)=exp(-3t)(-4cos(4t)+22sin(4 t))% use a simle algorithm to estimate display timetau=1/3;tend=10*tau;t=linspace(0,tend,350);it=exp(-3*t).*(4*cos(4*t)-2*sin(4*t));vc=exp(-3*t).*(-4*cos(4*t)+22*sin(4*t));plot(t,it, 'ro' ,t,vc, 'bd' ),grid,xlabel( 'Time(s)' ),ylabel( 'Voltage/Current' )title( 'CURRENT AND CAPACITOR VOLTAGE')legend( 'CURRENT(A)' , 'CAPACITOR VOLTAGE(V)' )

SUBAMORTECIDOSUBAMORTECIDO

EXEMPL0 HLFCRR 14,1,195,0,1,1 21 ==Ω=Ω=AiVv LC 5.0)0(,1)0( ==

KVL

0)()()( 1 =++ tvtiRtdtdi

L

KCL

)()(

)(2

tdtdv

CR

tvti +=

0)()()(

)(1

212

2

2

=+

++

+ tvt

dtdv

CR

tvR

dt

vdCt

dtdv

RL

0)()(1

)(2

211

22

2

=++

++ tv

LCRRR

tdtdv

LR

CRt

dt

vd

0)(9)(6)(2

2

=++ tvtdtdv

tdt

vd 0962 =++ ss :Eq. Ch.

162,3 =⇒== ςςωω nn

22 )3(096 +==++ sss :Eq. Ch.

( )tBBetv t21

3)( += −

Vvv c 1)0()0( =+=+

)0()0(

)0()0(

0

2 dtdv

CR

vii

t

L +==

+= KCL AT

56,2)0( −=⇒dt

dv

11)0( Bv ==

44,056,2)0(3)0( 22 =⇒−=+−= BBvdt

dv

( ) 0;44,01)( 3 >+= − ttetv t

( ) 0;26,0025,1)( 3 >+= − tteti t

USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA

%script6p9.m%displays the function v(t)=exp(-3t)(1+6t)tau=1/3;tend=ceil(10*tau);t=linspace(0,tend,400);vt=exp(-3*t).*(1+6*t);plot(t,vt, 'rx' ),grid, xlabel( 'Time(s)' ), ylabel( 'Voltage(V)' )title( 'CAPACITOR VOLTAGE')

CRITICAMENTE AMORTECIDOCRITICAMENTE AMORTECIDO

Second

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INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS · introduÇÃo as equaÇÕes integro-diferenciais circuitos de primeira ordem: rc, rl resposta natural e forÇada circuitos de segunda