Matemática Aplicada

Equações Exponenciais

Equações que envolvem termos em que a incógnita

aparece no expoente são chamadas de equações

exponenciais. Por exemplo,

Apresentaremos a seguir as propriedades:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Agora vamos apresentar alguns exemplos de

equações com a respectiva solução.

Na maioria dos casos a aplicação das propriedades

de potências reduz as equações a uma igualdade de

potências da mesma base

o que, usando o fato que a função

e portanto, resolver a equação.

Exemplos

Resolver as seguintes equações exponenciais:

a)

Solução:

b)

Solução:

c)

Solução:

d)

Solução:

Iremos agora usar um artifício. Faremos uma

substituição conforme abaixo:

,

temos:

Observamos que não satisfaz porque

e)

solução:

Função Exponencial

a) Definição

Dado um número real a, a > 0 e a 1, definimos

função exponencial de base a à função f de R em

R que associa a cada x real o número real ax.

Simbolicamente:

Observações, Propriedades e Exemplos:

- A função exponencial é definida somente para

base “a” positiva, uma vez que se a é negativo

teríamos valores da imagem ax não pertencente ao

conjunto dos números reais. Por exemplo para

, a

x é igual à , que pertence ao

conjunto dos números complexos, contradizendo a

definição da função exponencial;

- A base também tem que ser diferente de 1 porque

para todo x real teríamos como imagem, sempre, o

valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para

qualquer que seja o x. Em outras palavras a

imagem seria o conjunto unitário {1}, o que

também contradiz a definição. E a não pode ser

zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;

- A função obtida acima é denominada de função

constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;

- Qualquer que seja a função exponencial temos

que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par

ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no

conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto

significa que o gráfico cartesiano da função

exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;

- Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2

pertencentes ao seu domínio, então as imagens

correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);

- Uma função f é dita decrescente se x1 < x2 então

f(x1) > f(x2);

- No caso da função exponencial ela é crescente

se, e somente se, a > 1. E decrescente se, e

somente se, 0 < a < 1. A demonstração da

propriedade não será feita aqui;

- A função exponencial é injetora, ou seja, dados

x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2).

Esta propriedade é decorrência direta da

propriedade acima;

- Como a base a é maior que zero, temos que ax >

0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto

imagem da função exponencial é o conjunto dos

números reais positivos;

- Da propriedade acima concluí-se que a curva

representativa (gráfico) da função está toda acima

do eixo dos x;

- Exemplos de funções exponenciais:

b) Teoremas

Neste tópico serão apresentados os principais

teoremas sobre as funções exponenciais.

T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos

reais, a > 1, então:

Não será apresentada a demonstração que depende

de outros fatos não tratados aqui.

T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos

reais, a > 1, então:

Demonstração:

Daqui, pelo teorema T1 temos:

T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos

reais, 0 < a < 1, então:

Demonstração:

Pelo teorema T1, vem que:

T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos

reais, 0 < a < 1, então:

Equação Logarítmicas

Definição:

Sendo a e b números reais positivos, com b 1,

chamamos de logaritmo de a na base b o expoente

real x no qual se eleva b para obter a

com,

a > 0 e e b > 0

Exemplos:

a) log2 8 = 3, pois 23 = 8

b) log10 100 = 2, pois 102 = 100

c) log5 25 = 2, pois 52 = 25

d) log1/3 9 = -2, pois (1/3)-2

= 9

As equações envolvendo logaritmos são chamadas

de equações logarítmicas e são resolvidas

aplicando-se propriedades dos logaritmos, assim

vamos a elas:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

* 9)

* A propriedade acima é uma mudança de base

Além disto, devemos inicialmente analisar as

condições de existência dos logaritmos, levando-se

em conta os domínios de definição do logaritmo e

da base:

Exemplos

Resolva as seguintes equações:

a)

Solução

Vamos primeiramente analisar as condições de

existência:

Temos:

Pela condição de existência,

b)

Solução:

Condição de existência:

Temos

Pela condição de existência,

Certas equações exponenciais não podem ser

resolvidas usando-se apenas as propriedades da

potenciação.

Ao resolver a equação 2x = 10, por exemplo,

podemos afirmar que 2x representa um número real

compreendido entre 23 e 24.

Assim concluímos que x é um número irracional e

para determiná-lo com maior aproximação,

precisamos conceito, o de logaritmo.

Com ele podemos resolver problemas de potências

com qualquer expoente real, como o exemplo acima.

Aplicando-se a propriedade temos:

Obs.: Quando a base é 10, por convenção,

omitimos a base, ou seja, log10 x = log x

Funções Logarítmicas

Gráfico de uma função logarítmica

Para a construção do gráfico da função logarítmica

devemos estar atentos a duas situações: a > 1 e 0 <

a < 1

Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:

Função Crescente

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:

Função Decrescente

1- Calcule o valor de x:

a)

b)

c)

d)

e)

2- Dados ,

3- Resolva a equação:

4- Resolva a equação:

5- Resolva a equação:

6- Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule

log 144

7- Dado log 2 = 0,3010, calcule

8- Passe log 48 para a base 2

9- Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule

log2 3

10- Construa os gráficos da função e

(atribuir os seguintes valores para x: ¼,

½, 1, 2, 4).

Matrizes

Definição

As matrizes são tabelas de números reais utilizadas

em quase todos os ramos da ciência e da

engenharia. Várias operações realizadas por

computadores são através de matrizes. Vejamos

um exemplo. Considere a tabela abaixo que

apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.

O conjunto ordenado dos números que formam a

tabela é denominado matriz e cada

número é chamado elemento da matriz.

Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3

(lê-se: cinco por três), isto é, uma

matriz formada por 5 linhas e 3 colunas.

Representa-se uma matriz colocando-se seus

elementos entre parênteses ou entre colchetes.

Exemplos:

: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3

colunas)

: matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3

colunas)

: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)

Representação Algébrica

Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes

genéricas e letras minúsculas correspondentes para

os elementos. Algebricamente, uma matriz pode

ser representada por:

Pode-se abreviadamente representar a matriz

acima por A = (aij)n x m

aij = i – linha

j – coluna

a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito)

(na tabela significa a idade de Pedro 18)

Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3

x 2 em que aij = 3i – j.

Resolução: A representação genérica da matriz é:

Matriz Quadrada

Se o número de linhas de uma matriz for igual ao

número de colunas, a matriz é dita

quadrada.

Exemplo:

Observações:

1ª) Quando todos os elementos de uma matriz

forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz

nula.

2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que

i = j, formam uma diagonal denominada diagonal

principal. A outra diagonal é chamada diagonal

secundária.

Resolva:

1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem

3, em que

2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de

ordem 3, definida por

3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2,

definida por

Matriz unidade ou matriz identidade

A matriz quadrada de ordem n, em que todos os

elementos da diagonal principal são

iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é

denominada matriz unidade ou matriz

identidade. Representa-se a matriz unidade por In.

Exemplo:

Matriz transposta

Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos

transposta de A a matriz de ordem n x m obtida

pela troca ordenada das linhas pelas colunas.

Representa-se a matriz transposta de A por At.

Exemplo:

Igualdade de Matrizes

Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada

elemento de A for igual ao elemento

correspondente de B, as matrizes A e B são ditas

iguais.

Exemplo:

Dadas as matrizes

,

calcular x e y para que A = B.

Resolva:

1) Determine x e y, sabendo que

Resp: x = 5 e y = -1

2) Determine a, b, x e y, sabendo que

Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5

3) Dada as matrizes

calcule x, y e z para que B = At.

Resp: x = , y = 8 e z = 2

4) Sejam

calcule a, b e c para que A = B.

Resp: a = - 3 , b = c = - 4

Operações com matrizes

Adição e Subtração: a adição e subtração de duas

matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ou

subtraindo-se os seus elementos correspondentes.

Exemplo:

C = A + B

Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma

matriz A a matriz – A cujos elementos são os

simétricos dos elementos correspondentes de A

Exemplo:

Propriedades da Adição:

Comutativa: A + B = B + A

Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento Neutro: A + 0 = A

Elemento Oposto: A + (-A) = 0

Exemplo: Dadas as matrizes

,

calcule:

Exemplo: Dadas as matrizes

calcular a matriz X tal que X – A + B = 0

O segundo membro da equação é uma matriz nula

de ordem 3 x 1.

Resolva:

1) Dada a matriz

obtenha a matriz X tal que X = A+ At

2) Sendo A = (aij)1x3 tal que

e

calcule A+B.

3) Ache m, n, p e q, de modo que:

4) Calcule a matriz X, sabendo que

Multiplicação de um número real por uma

matriz:

Para multiplicar um número real por uma matriz

multiplicamos o número por todos os elementos da

matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo.

Exemplo:

Resolva:

1) Para

Resolva X + 2A - B = 0

2) Para

Resolva

3) Resolva o sistema

Multiplicação de Matrizes

Não é uma operação tão simples como as

anteriores; não basta multiplicar os elementos

correspondentes. Vejamos a seguinte situação.

Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998

(França), o grupo do Brasil era formado também

pela escócia, Marrocos e Noruega. Os resultados

estão registrados abaixo em uma matriz A, de

ordem 4 x 3.

Então:

A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de

ordem 3 x 1

Então:

Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o

total de pontos feitos por cada país.

Essa pontuação pode ser registrada numa matriz

que é representada por AB (produto de A por

B).Veja como é obtida a classificação:

Esse exemplo sugere como deve ser feita a

multiplicação de matrizes. Observe a relação que

existe entre as ordens das matrizes:

Observe que definimos o produto AB de duas

matrizes quando o número de colunas de A for

igual ao de linhas de B; além disso, notamos que o

produto AB possui o número de linhas de A e o

número de colunas de B.

A matriz existe se n = p (o número de coluna de A

é igual o número de linha da B.)

Calcule:

Observação:

1ª Propriedade Comutativa A.B = B.A, não é

valida na multiplicação de matrizes.

Observação:

2ª Propriedade: Se A e B são matrizes tais que

AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que

uma delas (A ou B) seja nula.

Observação: A.B = A.C, B C. – na álgebra

a.b = a.c b = c

Observação:

3ª Propriedade: o cancelamento do produto de

matrizes não é válido

Propriedades:

- Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C

- Associativa: A.(B.C) = (A.B).C

- Elemento neutro: A. In = A

2) Dada a matriz:

, calcule A²

3) Sabendo que

, calcule MN – NM.

Matriz Transposta

Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz

transposta de A (indica-se At) a matriz n x m cujas

linhas são ordenadamente, as colunas de A.

Exemplos:

Propriedades da transposta:

A = B At = B

t

(At)

t = A

(k.A)t = k.A

t (k é real)

(A + B)t = A

t + B

t

(A.B)t = B

t.A

t (no produto de A.B,

inverte a ordem)

Resolva:

1) Sendo

,

mostre que (A.B)t = B

t.A

t

Matriz simétrica

Quando A = At dizemos que A é matriz simétrica.

Exemplo:

Matriz anti-simétrica

Quando A = - At dizemos que A é matriz anti-

simétrica.

Exemplo:

Matriz Inversa

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é

uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é

denominada matriz inversa de A e é indicada por

A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos

que A é uma matriz inversível ou não singular.

Exemplo: Verifique se existe e, em caso

afirmativo, determine a matriz inversa de

Resolução: Pela definição temos,

Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas,

A seguir verificamos se XA = I2

1) Determine a inversa das matrizes:

Equações matriciais do tipo AX = B ou XA = B,

para A inversível.

Seja A uma matriz tal que exista A-1. Sabendo que

AX = B, vamos demonstrar que X = A-1

B.

O mesmo também é válido XA = B X = BA-1

1) Sabendo que:

a) verifique-se

b) determine X tal que AX = B

Não deixe de resolver a lista de exercícios de

matrizes!!!

Exercícios de Matrizes

1) Construa a matriz real quadrada A de ordem 3,

definida por:

2) Sendo

calcule:

a) N – P + M

b) 2M – 3N – P

c) N – 2(M – P)

3) Calcule a matriz X, sabendo que:

4) Dadas as matrizes

determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a

matriz identidade.

5) Dadas as matrizes

Calcule:

a) A²

b) A³

c) A²B

d) A² + 3B

6) Dadas as matrizes

calcule AB + Bt

7) Resolva a equação:

8) Sendo

determine os valores de a e b, tais que B = P.A.P-1

9) Determine os valores de x, y e z na igualdade

abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2:

10) Dadas as matrizes

então a matriz -2AB é igual a:

11) A inversa da matriz é:

12) Se então:

a) x = 5 e y = -7

b) x = -7 e y = -5

c) x = -5 e y = -7

d) x = -7 e y = 5

e) x = 7 e y = -5

13) Sendo então

a matriz X, tal que é igual a:

14) Se A e B são matrizes

tais que

então a matriz Y = At.B será

nula para:

a) x = 0

b) x = -1

c) x = -2

d) x = -3

e) x = -4

15) A solução da

equação matricial

é a matriz:

Determinantes

2.1 Definição

Determinante é um número real que se associa a

uma matriz quadrada.

2.2 Determinante de uma matriz quadrada de

2ª ordem

Dada a matriz de 2ª ordem

chama-se determinante associado a matriz A (ou

determinante de 2ª ordem) o número real obtido

pela diferença entre o produto dos elementos da

diagonal principal e o produto dos elementos da

diagonal secundária.

Então, determinante de A = a11 . a22 – a12 . a21

Indica-se

Observação: Dada a matriz A de ordem 1, define-

se como determinante de A o seu próprio

elemento, isto é:

det A = 2 . 1 – 3 . 4 = 2 – 12

det A = –10

Resolva:

1) Resolva a equação:

2) Resolva a equação:

3) Sendo calcule

det (AB).

2.3 Menor Complementar

O menor complementar Dij do elemento aij da

matriz quadrada A, é o determinante que se obtém

de A, eliminando–se dela a linha “i” e a coluna “j”,

ou seja, eliminando a linha e a coluna que contém

o elemento aij considerado.

Exemplo:

Dada a matriz calcular D11,

D12, D13, D21 e D32.

2.4 Cofator

Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem

Chama-se Cofator do elemento aij da matriz

quadrada o número real que se obtém

multiplicando-se (-1)i+j

pelo menor complementar

de aij e que é representado por Aij = (-1)i+j

.Dij

Exemplo: Dada a matriz

calcular:

a) A11 b) A13 c) A32

Resolva: Dada a matriz

determine A13 , A21 , A32 e A33.

2.5 Definição de Laplace

O determinante associado a uma matriz quadrada

A de ordem n 2é o número que se obtém pela

soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou

de uma coluna) qualquer pelos respectivos

cofatores. Exemplo:

Sendo uma matriz de

ordem 3, podemos calcular o det A a partir de

determinantes de ordem 2 e da definição de

Laplace. Escolhendo os elementos da primeira

linha temos:

Observação: Para se aplicar esse método é melhor

escolher a linha ou coluna que tiver o maior

número de zeros.

Resolva: Calcule o determinante da matriz A

utilizando a definição de Laplace:

2.6 Regra de Sarrus (regra prática para

calcular determinantes de ordem 3)

Seja a matriz repetimos as duas

primeiras colunas à direita e efetuamos as seis

multiplicações em diagonal. Os produtos obtidos

na direção da diagonal principal permanecem com

o mesmo sinal. Os produtos obtidos da diagonal

secundária mudam de sinal. O determinante é a

soma dos valores obtidos.

Resolva:

a) Calcule o determinante da matriz

b) Resolva a equação

c) Dada as matrizes

determine x para que det A = det B

d) Resolva a equação

e) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3,

em que:

Ache o valor do determinante de M.

f) Calcule o determinante da matriz P2 , em que P

é a matriz

2.7 Determinante de uma matriz quadrada de

ordem n > 3

Seja a matriz quadrada de ordem 4

vamos calcular o

determinante de A. Para tanto, aplicaremos o

teorema de Laplace, até chegarmos a um

determinante de 3ª ordem, e depois empregaremos

a regra de Sarrus. Assim, desenvolvendo o

determinante acima, segundo os elementos da 1ª

linha, temos:

Substituindo em (1) temos:

det A = 34 – 132 + 111 = 13

Resolva: Calcule o determinante a seguir,

desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª

linha.

2.8 Propriedade dos Determinantes

1ª propriedade: Se todos os elementos de uma

linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem

iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é,

det A = 0.

Exemplo:

2ª propriedade: Se os elementos correspondentes

de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz

quadrada A forem iguais, seu determinante será

nulo, isto é, det A = 0

Exemplo:

3ª propriedade: Se uma matriz quadrada A possui

duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu

determinante será nulo, isto é , det A = 0

Exemplo:

4ª propriedade: Se todos os elementos de uma

linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada

são multiplicados por um mesmo número real k,

então seu determinante fica multiplicado por k.

Exemplo:

5ª propriedade: Se uma matriz quadrada A de

ordem n é multiplicada por um número real k, o

seu determinante fica multiplicado por kn, isto é:

det (kAn) = kn . det An.

Exemplo:

6ª propriedade: O determinante de uma matriz

quadrada A é igual ao determinante de sua

transposta, isto é, det A = det At.

Exemplo:

7ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si

duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada

A, o determinante da nova matriz obtida é o oposto

do determinante da matriz anterior.

Exemplo:

8ª propriedade: O determinante de uma matriz

triangular é igual ao produto dos elementos da

diagonal principal.

Exemplo:

9ª propriedade: Sendo A e B duas matrizes

quadradas de mesma ordem e AB a matriz

produto, então det AB = det A . det B (teorema de

Binet)

Exemplo:

10ª propriedade: Seja A uma matriz quadrada. Se

multiplicarmos todos os elementos de uma linha

(ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os

resultados aos elementos correspondentes de outra

linha (ou coluna), formando uma matriz B, então

det A = det B (Teorema de Jacobi).

Exemplo:

Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os

resultados à 2ª linha obtemos:

Exercícios de Determinantes

1) Dadas as matrizes

calcule:

a) det (A²)

b) det (B²)

c) det (A² + B²)

2) Determine a solução da equação

3) Sendo dê o

valor de:

a) det (A). det(B)

b) det (A.B)

4) Considere as matrizes

Sabendo que a matriz B é igual a matriz C, calcule

o determinante da matriz A.

5) Calcule o determinante da matriz M = (AB). C,

sendo

6) A solução da equação

a) 1 b) 58 c) -58 d)

e) 2

7) A equação

tem como conjunto verdade:

a) {-6, 2} b) {-2, 6} c) {2, 6}

d) {-6, 6} e) {-2, 2}

8) O determinante da matriz

vale:

a) -3 b) 6 c) 0 d) 1 e) -1

9) A solução da equação

vale:

a) {-11, 5} b) {-6, 3} c) {0, 3}

d) {0, 6} e) {5, 11}

Sistema de Equações

Os sistemas de equações consistem em ferramentas

importantes na Matemática, eles são utilizados

para determinar os valores de x e y nas equações

com duas variáveis. A resolução dos sistemas

consiste em estabelecer uma relação entre as

equações e aplicar técnicas de resolução. Os

métodos usados na resolução de um sistema são:

substituição e adição. Exemplos de sistemas de

equações:

Método da Substituição

O método da substituição consiste em trabalhar

qualquer equação do sistema de forma a isolar uma

das incógnitas, substituindo o valor isolado na

outra equação. Observe passo a passo a resolução

do sistema a seguir:

Nesse caso, vamos escolher a 2º equação e isolar a

incógnita x.

x – y = –3

x = –3 + y

Agora, substituímos o valor de x por –3 + y na 1º

equação.

2x + 3y = 19

2(–3 + y) + 3y = 19

–6 + 2y + 3y = 19

2y + 3y = 19 + 6

5y = 25

y = 5

Para finalizar, calculamos o valor de x utilizando a

seguinte equação:

x = –3 + y

x = –3 + 5

x = 2

Portanto, a solução do sistema é x = 2 e y = 5, isto

é, o par ordenado (2,5)

Método da Adição

O método da adição deve ser utilizado nos

sistemas em que existe a oportunidade de zerar

uma das incógnitas. Observe a resolução do

sistema a seguir:

1º passo: somamos as equações, eliminando uma

das incógnitas e determinando o valor da outra

incógnita.

___________

Calculado o valor de x, basta escolher uma das

equações e substituir o valor de x por 11.

x + y = 10

y = 10 – x

y = 10 – 11

y = –1

A solução do sistema é o par ordenado (11, –1).

Classificação de um sistema quanto ao número

de soluções

Resolvendo o sistema:

Encontramos uma única solução: o par ordenado

(3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível

(tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema:

Verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1, 7),

(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),... são algumas de suas

infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema

é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas

soluções).

No sistema:

Verificamos que nenhum par ordenado satisfaz

simultaneamente as equações. Portanto, o sistema

é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:

a) Sistema Possível e Determinado (solução

única);

b) Sistema Possível e Indeterminado (infinitas

soluções);

c) Sistema Impossível (não tem solução).

Sistema normal

Um sistema é normal quando tem o mesmo úmero

de equações (m) e de incógnitas (n) e o

determinante da matriz incompleta associada ao

sistema é diferente de zero.

Se m = n e det A 0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada

por:

em que i {1,2,3,...,n}, D = det A é o

determinante da matriz incompleta associada ao

sistema, e Dxi é o determinante obtido pela

substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela

coluna formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n

incógnitas, ele pode ser:

a) Sistema Possível e Determinado (solução

única), se D = det A 0; caso em que a solução é

única.

Exemplo:

m = n = 3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo

solução única.

b) Sistema Possível e Indeterminado (infinitas

soluções), se D = Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0,

para n = 2. Se n 3, essa condição só será válida

se não houver equações com coeficientes das

incógnitas respectivamente proporcionais e termos

independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta

infinitas soluções.

Exemplo:

D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo

infinitas soluções.

c) Sistema Impossível (não tem solução), se D = 0

e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não

tem solução.

Exemplo:

Como D = 0 e Dx 0, o sistema é impossível e

não apresenta solução.

Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o

mesmo conjunto solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2)

satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são

equivalentes:

S1 ~ S2.

Propriedades

a) Trocando de posição as equações de um

sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Por exemplo:

e

S1 ~S2

b) Multiplicando uma ou mais equações de um

sistema por um número K (K IR*), obtemos um

sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

Multiplicando a equação (II) por 3

S1 ~S2

c) Adicionando a uma das equações de um sistema

o produto de outra equação desse mesmo sistema

por um número k ( K ЄIR*), obtemos um sistema

equivalente ao anterior.

Por exemplo:

Dado:

Substituindo a equação (II) pela soma do produto

de (I) por -1 com (II), obtemos:

S1~S2, pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os

sistemas.

Exercícios de revisão

1) Encontre o valor das variáveis:

a)

b)

2) a Lei das Correntes visa o equacionamento das

correntes nos diversos nos de um circuito, e por

isso e também conhecida por “Lei de Nos”.

“A soma algébrica das correntes que entram em

um nó e igual a soma das correntes que dele

saem.”

Calcule a corrente I2 na figura abaixo:

3) Um eletricista e verificou que numa residência

haviam correntes elétricas definidas por I1 , I2 e I3.

Calcule I1 , I2 e I3, sabendo-se que a soma total das

corretes são definidas pelas equações:

10I1 + 30I2 + 20I3 = 150

20I1 + 50I2 + 30I3 = 240

30I1 + 20I2 + 40I3 = 230

4) Resolver o seguinte sistema de equações

lineares adotando operações aritméticas com 4

(quatro) dígitos significativos e arredondamento

ponderado.

5) Resolver o seguinte sistema de equações

lineares

6) Resolver o seguinte sistema de equações

lineares

Trigonometria e relações trigonométricas

Quando da sua criação pelos matemáticos gregos,

a trigonometria dizia respeito exclusivamente à

medição de triângulos, e tal como as funções e

relações trigonométricas apresentadas a seguir, é

aplicada exclusivamente ao estudo de triângulos

retângulos. Porém, as funções trigonométricas

resultantes, e apresentadas mais adiante,

encontram aplicações mais vastas e de maior

riqueza noutras áreas como a Física (por exemplo,

no estudo de fenômenos periódicos) ou a

Engenharia.

Em trigonometria, os lados dos triângulos

retângulos assumem nomes particulares,

apresentados na figura ao lado. O lado mais

comprido, oposto ao ângulo reto θ, chama-se

hipotenusa; os lados restantes, ligados ao ângulo

reto, chamam-se catetos.

Teorema de Pitágoras

O geómetra grego Pitágoras (570–501 a.C.)

formulou o seguinte teorema, que tem hoje o seu

nome, e que relaciona a medida dos diferentes

lados de um triângulo retângulo: a soma do

quadrado dos catetos é igual ao quadrado da

hipotenusa. Ou seja, se x e y forem o comprimento

dos dois catetos e h o comprimento da hipotenusa,

ter-se-á:

x² + y² = h² .

Relações trigonométricas de ângulos

Na esmagadora maioria das aplicações

trigonométricas relacionam-se os comprimentos

dos lados de um triângulo recorrendo a

determinadas relações dependentes de ângulos

internos. Assim, apresentam-se de seguida

algumas relações trigonométricas com esse fim.

Utilizaremos o triângulo retângulo anteriormente

apresentado.

Seno de

É o quociente do comprimento do cateto oposto ao

ângulo pelo comprimento da hipotenusa do

triângulo, ou seja,

h

y

hipotenusa

oposto cateto)sen( .

O seno de pode aparecer com uma das seguintes

representações: sen, sin, sen(), sin().

Coseno de

É o quociente do comprimento do cateto adjacente

ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do

triângulo, ou seja,

h

x

hipotenusa

adjacente cateto)cos( .

Em geral, o coseno de aparece com uma das

duas representações: cos, cos().

Tangente de

É o quociente dos comprimentos do cateto oposto

pelo cateto adjacente, ou seja,

x

y

x

h

h

y

hx

hy

/

/

adjacente cateto

oposto cateto)tan( .

É usual representar a tangente de a de uma das

seguintes maneiras: tan, tan(), tg, tg().

Co-tangente de

É definida como o recíproco da tangente de :

oposto cateto

adjacente cateto

)tan(

1)cotan(

y

x

.

A co-tangente de a pode aparecer representada de

uma das maneiras seguintes: cotan(), cotg(),

cotan, cotg.

Pelas definições em c) e d), e segundo as

definições em a) e b), podemos ver ainda que:

)cos(

)sen()tan(

e

)sen(

)cos()cotg(

.

a) Secante e co-secante de

Definem-se ainda as funções secante de e

co-secante de como, respectivamente:

x

h

)cos(

1)sec(

e

y

h

)sen(

1)cosec(

.

A secante pode ser representada por: sec(),

sec. A co-secante pode ser representada por:

cosec(), cosec, csc(), csc.

Observação:

Das definições acima, temos:

Fórmula fundamental da trigonometria

A fórmula fundamental da trigonometria surge

como um caso particular do teorema de Pitágoras.

12

2

2

2222

h

y

h

xhyx .

Pela definição de seno e de coseno de um ângulo,

dadas acima por a) e b), temos que:

1)(cos)(sen 22 .

Relações trigonométricas derivadas

Dividindo a relação fundamental por cos² , temos

sen² + cos² = 1 cos²

ou

Dividindo a relação fundamental por sen² ,

temos:

sen² + cos² = 1 sen²

Ângulos Notáveis

Os ângulos de 30°, 45° e 60° são utilizados com

muita freqüência e por isso convém memorizá-los.

Para isto temos uma tabela que resume esses

valores:

30° 45° 60°

sen

cos

tg

1

Exemplo

1) Qual é a altura h da torre, conhecendo-se apenas

a distância entre os pontos A e B, e os ângulos e

β?

Dados: = 20° e = 18°

Gráficos de Funções trigonométricas

Análises mais detalhadas

1. SENO: O seno de um ângulo nada mais é do

que a medida da coordenada vertical de um ponto

no eixo Y. Digamos que este ponto seja P(x,y). A

medida vertical do segmento 0Y lhe dá o seno do

ângulo em que o segmento 0P faz com o eixo X.

Exemplo: 1. Qual é o seno de 27°?

Solução: Com um papel milimetrado e um

transferidor, tome uma vertical e uma horizontal

qualquer como referências de alinhamento para o

transferidor. Marque com um ponto P o ângulo de

27°.

Tome cuidado porque sua referência é o eixo X à

direita da origem zero.

Trace de leve e a lápis, um segmento 0P, ou seja,

desde o ponto P até a origem dos eixos de

referência. Observe que o segmento 0P é a

diagonal ou hipotenusa de um triângulo-retângulo.

Agora, trace um pontilhado de leve, a lápis e

vertical, desde P até este tocar a horizontal adotada

em um ponto que chamaremos de M. Este

pontilhado é o segmento MP. Faça o mesmo, só

que horizontal, desde P até a vertical adotada. Este

encontro, chamaremos de ponto Q e o segmento

horizontal formado será QP.

Pois bem, a medida do segmento QO dividida pela

medida da diagonal OP, nos dará o seno de 27°.

Para medir estes segmentos, use régua ou baseie-se

nos centímetros e milímetros do papel

milimetrado.

Proceda da maneira explicada para calcular os

senos de demais ângulos à sua escolha. Como

exercícios, sugere-se 19°, 31°, 53°, 74° e 87°.

1-a. A FUNÇÃO sen x:

Da mesma forma que a análise das demais funções

matemáticas, vamos analisar a função f(x) = sen x.

O Domínio desta função, ou seja, os elementos

contidos no eixo X, são números reais baseados

em arcos de ângulos. Para o ângulo de 90°,

utilizaremos , para 180°, e assim por diante.

A tabela abaixo nos indica os arcos de ângulos

mais conhecidos para usarmos no eixo X:

Estes arcos lêem-se "pi-radianos" e são obtidos

multiplicando-se 180° (o próprio rad) por uma

fração tal que o resultado coincida com um ângulo

exato conhecido. Como exercício, tabele de 15 em

15 graus, desde o 150° ao 360°. Dica: = 180°.

Pois bem, no eixo Y irá a imagem da função, ou

seja, o resultado do seno para cada ângulo. Com o

auxílio de uma calculadora ou calculando a

"muque", com triângulos-retângulos e papel

milimetrado, temos que:

O que se observa?

1. O ângulo de 90° é 1: Isto por que 1 é o raio de

uma circunferência adotada por padrão. Se o raio

de uma circunferência que você fizer no papel

milimetrado possuir 12cm, então 12cm = 1 por

padrão.

2. Para ângulos acima de 90°, o ângulo volta a

diminuir: Isto por que o valor do seno de um

ângulo qualquer NUNCA ultrapassa 1! Podemos

afirmar com segurança, portanto, que a IMAGEM

no eixo Y está entre -1 e 1. Você irá reparar que

para qualquer ângulo, há um seno positivo ou

negativo, dentro do intervalo entre -1 e 1. Logo: -1

1 sen x +1. Então, se você tabelar senos para

ângulos de 0° a 360° , não importando o intervalo

adotado, o gráfico será uma onda:

Em se tratando de características de sinal da

imagem, esta função é PAR, ou seja, ela se

mantém positiva para ângulos entre 0° e 180° e

negativa para ângulos entre 180° e 360°.

2. COSSENO: O cosseno de um ângulo nada mais

é do que a medida da coordenada horizontal de um

ponto no eixo X. Digamos que este ponto seja

P(x,y). A medida horizontal do segmento 0X lhe

dá o cosseno do ângulo em que o segmento 0P faz

com o eixo X.

2-a. A FUNÇÃO cos x: Pois bem: Vamos retomar

ao esquema geométrico da figura milimetrada.

Reaproveitando o triângulo-retângulo de

segmentos, se dividirmos o valor da medida do

segmento OM (horizontal) pela medida do

segmento OP (a diagonal ou hipotenusa), iremos

obter o cosseno do ângulo exemplo adotado (27°).

Dos ângulos sugeridos como exercícios

anteriormente, calcule o cosseno de cada um.

Da mesma forma que o seno, a imagem da função

cosseno nunca excede 1 e baixa de -1, o que faz

com que sua imagem seja assim: -1 cos x +1,

todavia, como o cosseno de 90° é 1, diz-se que por

diferença de defasagem, o gráfico desta função

"atrasa" noventa graus, além de ser ÍMPAR em

termos de sinal da imagem, pois ela se alterna, ou

seja, cosseno é positiva para valores entre 0° e 90°,

negativa para valores entre 90o e 180o, positiva

para valores entre 180° e 270° e negativa para

valores entre 270° e 360°.

Como exercício, complete a tabela acima, para

ângulos de 150° a 360° e repare o comportamento

do sinal.

3.TANGENTE: Para visualizarmos geométrica-

mente a tangente de um ângulo qualquer, temos

que levar em conta que a medida OP diagonal é

referência à medida do raio R de uma

circunferência (OP = Raio). Façamo-la, com a

origem dos eixos XY no seu centro, como uma

mira de tiro-ao-pato. Uma reta vertical toca sua

extremidade direita, cortando o eixo X (veja a

figura abaixo).

A tangente é a medida do segmento GC. Em

termos de papel milimetrado, sua obtenção só será

possível se desenharmos uma semi-circunferência

de 90 , ocupando um o dos quatro cantos deste

papel.

Ao contrário das funções seno e cosseno, a

tangente vai além dos valores entre 1 e -1, de tal

forma que a imagem desta têm como característica

tg Para se ter uma idéia disto, saiba

por exemplo que a tangente de 89,9° = 573. E a

tangente de 90°, por ser perfeitamente paralela ao

eixo tangente, nunca encontra-o e portanto, não

existe.

3-a. A FUNÇÃO tg x: Esta função têm como

característica números enormes quando os ângulos

tendem a se aproximar demais de 90°. Acima

deste, a projeção começa a diminuir até que em

180° ela se torne zero e de 180° a 360°, negativa.

A função tangente, portanto, é PAR.

Como exercício, obtenha os valores para tangente

de 150° a 360°.

Exercícios de Revisão

1. Usando papel milimetrado e a técnica do

triângulo-retângulo, obtenha seno, cosseno e

tangente dos ângulos, comparando os resultados

com os da calculadora:

a) 12° b) 29° c) 36°

d) 41° e) 67° f) 84°

2. Descreva os domínios e imagens das funções

seno, cosseno e tangente. Comente, dando seu

parecer de entendimento.

3. Converta para radianos os ângulos do exercício

1.

4. Um círculo têm raio de 14cm. Uma formiga que

percorreu

deste círculo, quanto ela percorreu,

em metros?

5. Resolva x:

6. Eleve o valor do seno de qualquer ângulo ao

quadrado e some com o valor do quadrado do

cosseno deste mesmo ângulo. O quê você nota?

Será que funciona para qualquer outro ângulo?

Justifique sua resposta.

7. O sol do meio-dia de um dia de verão projeta a

sombra de uma haste de 60cm no chão. Se esta

haste faz 40 com a horizontal, qual o é o

comprimento real da sombra?

8. Uma pessoa de 1,80 projeta, em uma certa hora,

uma sombra de 1m no chão. Um prédio, nesta

mesma hora, projeta outra sombra, de 9,2m. Qual é

a altura do prédio?

9. (Colégio Militar) Você vê uma montanha ao

longe e ela ocupa 25° no seu campo de horizonte

de visada. Se você se aproxima desta montanha a

tal ponto dela ocupar 45°, depois de caminhar

12km, calcule a altura desta montanha.

10. Em uma circunferência de raio 15cm, centrada

em (0,0), um ponto sobre a periferia desta

circunferência, assinalando o ângulo de 137°, têm

coordenadas P(X,Y). Calcule X e Y.

11) Calcule o seno, o cosseno , a tangente, a

cotangente, a secante e a cossecante de na figura

seguinte:

12) Uma pessoa sobe uma rampa de 10m de

comprimento e se eleva verticalmente 5m. Qual o

ângulo que a rampa forma com o plano horizontal?

13) Um observador enxerga uma montanha

segundo um ângulo .

Caminhando 420m em direção à montanha, passa a

enxergá-la segundo um ângulo . Calcule a altura

da montanha, sabendo que

Dados:

14) Simplificando a fração

, obteremos:

15) Calcule o seno, cosseno e a tangente de e de

na figura a seguir:

16) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, faz

um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma

pessoa que sobe esta rampa inteira eleva-se

verticalmente:

a) 17m b) 10m c) 15m

d) 5m e) 8m

17) Calcule x indicado na figura:

Números Complexos

Na matemática temos o conceito de numero

complexos que nos ajudam a resolver os

problemas de corrente alternada (CA). O conjunto

dos números complexos e formado pela soma da

parte real e da parte imaginaria do numero.

Z = a + j . b = parte real + parte imaginaria

sendo que {a, b R e j2 = -1}

A parte imaginaria e composta pelo termo “j”, que

corresponde i = .

Observe que a raiz quadrada de menos um não tem

solução no conjunto dos números reais e por isso e

classificada agora como numero imaginário.

Representação geométrica dos números

complexos

Uma maneira de definir o conjunto dos números

complexos e um conjunto de pares ordenados de

números reais (a,b) em que estão definidas:

· Igualdade:

(a, b) = (c, d) portanto a = c e b = d

O plano cartesiano no qual estão representados os

números complexos e denominado plano

complexo. Dizemos que o ponto P(a, b) e o afixo

do numero complexo a + j.b . Podemos associar a

cada numero complexo Z = a + j*b um único vetor

com extremidades no ponto 0, origem do sistema

de coordenadas cartesianas, e no ponto P(a, b).

Numero complexo na forma retangular

Z = a + j . b

A forma apresentada corresponde a forma

retangular, que permite realizar somas e subtrações

dos números, bastando somar todos os termos reais

entre si e separadamente os termos imaginários,

conforme o exemplo:

Z1 = a + j.b

Z2 = c + j.d

Z3 = e + j.f

Z1 + Z2 + Z3 = (a + c + e) + j . (b + d + f)

Numero complexo na forma polar

Uma outra forma de representar os números

complexos e a forma polar, que consiste em

representar um numero através de um angulo de

defasagem e o valor da distancia do ponto a sua

referencia.

módulo

fase

Neste tipo de representação podemos efetuar as

multiplicações e divisões, da seguinte forma: o

modulo e multiplicado ou dividido, e o ângulo

somando nas multiplicações e subtraído nas

divisões. Veja exemplos:

Conversão

Para realizar conversão entre as duas formas

utilizamos a função de conversão de retangular

para polar (R→ P ou x → θ) na calculadora, ou

utilizamos as formulas abaixo:

Para conversão polar para retangular, utilizamos as

funções inversas na calculadora, ou as formulas de

trigonometria abaixo:

Exercício:

1) Represente no plano complexo os seguintes

números complexos na forma retangular:

a) Z1 = 6 b) Z2 = 2 - j3

c) Z3 = j4 d) Z4 = -3 + j2

e) Z5 = -4 - j4 g) Z6 = 3 + j3

2) Represente no plano complexo os seguintes

números complexos na forma polar:

a) C1 = 5 b) Z7 = 1 ∟ 90°

c) Z8 = 1 ∟ 50° d) C2 = 10 ∟ 45°

e) Z9 = 5 ∟ 30° f) C3 = 3 ∟ 45º

3) Realize a adição e subtração dos números

complexos apresentados nos exercícios 01 e 02.

Observação: Para somar ou subtrair e mais

conveniente na forma retangular.

a) Z1 + Z3 b) Z6 – Z2 – Z1

c) C1 – C2 d) Z2 – Z5

e) C1 + C3 f) Z1 + C3

g) Z1 + Z4 + Z6 h) C2 – C1

i) Z4 – C1

4) Realize a multiplicação e a divisão dos numero

complexos apresentados nos exercícios 01 e 02

Observação: Neste caso e mais conveniente na

forma polar

a) Z1 * Z4 b) Z2 / Z5

c) C3 * C1 d) Z1 * C3

e) C3 / C2 f) Z3 * Z3

g) C3 * C3 * C3 h) (C2)²

i) (C5 / C3) * Z6

REFERÊNCIAS:

DANTE, L. R. Matemática: Contexto e

Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999.

GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R.,

GIOVANNI Jr, J. R. Matemática Fundamental.

São Paulo: Editora FTD Ltda, 1994.

LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia

e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda,

1988.

MEDEIROS, Matemática Básica para Cursos

Superiores. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2002.

WEBER, J. E. Matemática para Economia e

Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 2a

ed. 1986.

Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson

Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São

Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

BOLDRINI, José Luiz. Álgebra linear: 591

problemas resolvidos, 442 problemas

suplementares. Ed. Harbra, 2004