Matematica Versao Final 01-08-11 2

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matemática

SumáriocAPÍTULO 1 : conjuntos ............................................................................................................................................................................03

cAPÍTULO 2 : conjuntos numéricos .................................................................................................................................................09

cAPÍTULO 3 : sistema métrico ...............................................................................................................................................................36

cAPÍTULO 4 : razões e proporções .....................................................................................................................................................44

cAPÍTULO 5 : cálculo algébrico... .....................................................................................................................................................53

cAPÍTULO 6 : equações do 1º grau. ....................................................................................................................................................65

cAPÍTULO 7 : equações do 2º grau.. ...................................................................................................................................................74

cAPÍTULO 8 : sistemas de equações do 2º grau .........................................................................................................................81

cAPÍTULO 9 : geometria plana....................................................................................................... ..................................................... 84

cAPÍTULO 10 : triângulo ............................................................... ........................................................................................................... 92

cAPÍTULO 11 : polígonos............................................................... ........................................................................................................... 117

cAPÍTULO 12 : quadriláteros notáveis ............................................................... ........................................................................ 121

cAPÍTULO 13 : circunferência e círculo ............................................................... ..................................................................... 124

cAPÍTULO 14 : funções ............................................................... ............................................................................................................... 136

cAPÍTULO 15 : estatítica ............................................................... .......................................................................................................... 151

PROF.: LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS

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PArTe 1

cONJUNTOS

1 - conceito

Conjunto proporciona a idéia de coleção, admitin-do-se coleção de apenas um elemento (conjunto unitá-rio) e coleção sem nenhum elemento (conjunto vazio). são primitivas, aceitas sem definição, as noções de:

conjunto - elemento - pertinênciaseja um elemento x e um conjunto a.se x pertence ao conjunto a ⇒ x ∈ a.se x não pertence ao conjunto a ⇒ x ∉ a.

os símbolos ∈ e ∉ relacionam elemento com conjunto.

2 - representação de um conjuntoum conjunto pode ser representado:

2.1 - Por extensão

enumeram-se seus elementos, escrevendo-os en-tre chaves e separando-os por vírgulas. por exemplo, o conjunto dos dias da semana:

a = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}

podemos utilizar a representação por extensão, mesmo que o conjunto seja infinito ou finito, mas com um número elevado de elementos.

exemplos:a) conjunto dos números ímpares;a = {1, 3, 5, ...} → conjunto infinito.b) conjunto dos números pares estritamente po-sitivos, menores que 200.b = {2, 4, 6, ..., 198} → conjunto finito.

2.2 - Por compreensão

o conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos.

exemplos:a) a = {x / x é um número inteiro e x > 8}b) b = {x / x é vogal}

A propriedade que caracteriza o conjunto per-mite determinar se um dado elemento pertence ou não ao conjunto.

3 - Diagrama de Venn

uma figura utilizada para representar um con-junto é chamada de diagrama de Venn. por exemplo, o conjunto a = {1, 2, 3, 4} pode ser representado por:

•1•2

•4

•3

a

•7

os elementos de a são representados por pontos internos a esta figura.

tem-se, por exemplo, que: 2 ∈ a e 7 ∉ a.

4 - Igualdade de conjuntossejam os conjuntos a e b.o conjunto a é igual ao conjunto b se eles pos-

suem os mesmos elementos e em qualquer ordem.indica-se por a = b

exemplo:a = {x / x é vogal da palavra matemática}b = {x / x é vogal da palavra aritmética}tem-se que a = b, porque possuem os mesmos

elementos.

5 - conjunto Unitário e conjunto Vazioembora a noção intuitiva de conjunto esteja as-

sociada à idéia de pluralidade (coleção de objetos), admite-se que existem conjuntos com apenas um ele-mento, chamados conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado conjunto vazio.

exemplos:i - a = {x / x é um número ímpar positivo e x < 2} ⇓ a = {1}

ii - b = {x / x é um número primo positivo e x < 2} ⇓ b = { } ou b = ∅

observe que não existe um número que seja pri-mo, positivo e menor que 2, ou seja, não existe elemento que satisfaz o conjunto b. logo, b é um conjunto vazio.

Outro exemplo:conjunto dos números pares cuja soma seja um

número ímpar.

MATEMÁTICA

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6 - Principais Símbolos Lógicos

/ significa tal que ∃ significa existe ao menos um∃! significa existe um único∀ significa qualquer que seja ou para todo significa implica significa equivalente

estes símbolos simplificam a linguagem matemá-tica e a universaliza.

7 - Subconjuntosdizemos que um conjunto a é subconjunto de

b, ou que a está contido em b, ou que a é parte de b se, e somente se, todo elemento de a for também elemento de b.

ab

•1

•5

•3

•1 •2 •4

em símbolos:a ⊂ b “a está contido em b”, ou b ⊃ a “b contém a”exemplo:a = {0, 2, 4} e b = {0, 1, 2, 3, 4, 5} a ⊂ b

considerando os conjuntos a e b, se existir pelo menos um elemento de a que não pertença a b, então a não é subconjunto de b

em símbolos:

a ⊄ b a não está contido em bb ⊃ a b não contém a.

os símbolos ⊃ , ⊃ , ⊃ e ⊃ relacionam con-juntos.

Propriedade da Inclusão

i - todo conjunto é subconjunto dele mesmo, isto é:a ⊂ a, (∀a)ii - o conjunto vazio é subconjunto de qualquer

conjunto, isto é:∅⊂a, (∀ a)iii - a ⊂ b e b ⊂ a a = b (∀, a e b).

8 - conjunto Universo

a teoria dos conjuntos estabelece que um con-junto que contém todos os conjuntos estudados, cha-ma-se conjunto universo.

assim:• quando estudamos a geometria plana, o con-

junto universo é formado de todos os pontos do plano.

• quando estudamos a população humana, o conjunto universo é constituído de todos os ha-bitantes da terra.

Conjunto universo é o conjunto ao qual perten-cem os elementos envolvidos em um determinado estudo.

9 - conjunto das Partes

o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto a é denominado conjunto das par-tes de A, sendo indicado por p(a).

exemplo: dado a = {1, 2, 3}, teremos: p(a) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.em relação ao conjunto das partes, é preciso sem-

pre bastante atenção quanto ao emprego dos símbolos ∈ e ⊂.

portanto, você deve observar que, no exemplo dado, ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, são elementos do conjunto p(a); assim, por exemplo:

a)∅∈p(a) e ∅⊂p(a)b){1, 2} ∈p(a) e {{1, 2}} ⊂p(a)

Importante:se o conjunto a tem n elementos, então o con-junto p(a) tem 2n elementos.se o número de elementos de a é igual a 3, então o número de elementos de p(a) é igual a 23 = 8. logo, dizemos que o conjunto a possui 8 sub-conjuntos.

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10 - Operações com conjuntosDefinições:

I) União: dados dois conjuntos a e b, a união entre eles será o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a a ou a b.

representa-se por: a ∪ b.

II) Intersecção: dados dois conjuntos a e b, a intersecção entre eles será o conjunto formado pelos elementos que são comuns a a e b.

representa-se por: a ∩ b.

III) Diferença: dados dois conjuntos a e b, a diferença entre eles (a – b) será o conjunto formado pelos elementos que pertencem apenas ao conjunto a.

representa-se por: a – b.

Observação: se tivermos dois conjuntos, a e b, de modo que b ⊃ a, a diferença a – b é denominada de Complementar de B em relação a A. representa-se por: cB

A .

exemplodados os conjuntos a = {1, 2, 3}, b = {2, 3, 4} e c = {1, 2}, temos:a) a ∪ b = {1, 2, 3, 4}b) a ∩ b = {2, 3}c) a – b = {1}d) cC

A = {3}

considerações complementaresi)

bbb aaa

a ∪ b a ∪ b a ∪ b = a

ii)

ba

a ∩b = b

b

a ∩b

a b

a ∩b = ∅*

a

* quando a ∩ b = ∅, diz-se que os conjuntos a e b são conjuntos disjuntos.

iii)

b

a

a–b = cBA

b ⊂ a

b

a – b = a

ab

a – b

a

Exercícios

01. numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal a, 180 lêem o jornal b e 60 lêem os jornais a e b. pergunta-se:

a) quantas pessoas lêem apenas o jornal a? b) quantas pessoas lêem apenas o jornal b? c) quantas pessoas lêem jornais?d) quantas pessoas não lêem jornais?

Respostas:a) 190 b) 120c) 370 d) 100

02. uma cidade que tem 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol, a e b. numa pesquisa feita com todos os habitantes, constatou-se que 1.200 pessoas não apreciam nenhum dos clubes, 1.300 pessoas apreciam os dois clubes e 4.500 pessoas apreciam o clube a. pergunta-se:

a) quantas pessoas apreciam apenas o clube a? b) quantas pessoas apreciam o clube b?c) quantas pessoas apreciam apenas o clube b?

Respostasa) 3.200b) 5.600c) 4.300

03. numa cidade são consumidos três produtos a, b e c. feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela abaixo:

Produtos N.º de consumidores

a 150b 200c 250

a e b 70a e c 90b e c 80

a, b e c 60nenhum dos três 180

pergunta-se:a) quantas pessoas consomem apenas o produto a?b) quantas pessoas consomem o produto a ou o

produto b ou o produto c?

6

c) quantas pessoas consomem o produto a ou pro-duto b?

d) quantas pessoas consomem apenas o produto c?e) quantas pessoas foram consultadas?

Respostas:a) 50b) 420c) 280d) 140e) 600

04. num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis; 18 jogam vôlei e tênis; 11 jogam as três modalidades. o número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.

pergunta-se:a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei? b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

Respostasa) 36b) 59c) 20

05. numa pesquisa realizada, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal a, 150 liam o jornal b, 20 liam os dois jornais (a e b) e 110 não liam nenhum dos jornais. quantas pessoas foram consultadas?

a) 230 b) 250c) 320 d) 340

Resposta: d

06. numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos a ou b. o produ-to b é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. quantas pes-soas usam o produto a?

a) 1200 b) 1340c) 1520 d) 1800

Resposta: c

Testes

01. se a = {a, b, c, d}, pode-se afirmar que:a) a ⊂ a b) a ∩ a =∅ c) {a, c} ∈a d) {a, c} ⊂ a

02. um conjunto a contém os cinco primeiros nú-meros naturais, os cinco primeiros números pa-res e os cinco primeiros números ímpares. então, o número de elementos do conjunto a é:

a) 10 b) 11 c) 12d) 15

03. se a ∪ b = {1, 2, 3, 4, 5}, a ∩ b = {1, 3} e a = {1, 3, 5}, então:

a) b = ∅ b) b = {1, 3, 4, 5} c) b = {2, 4}d) b = {1, 2, 3, 4}

04. dados a = {1, 3, 4, 7, 8}, b = {2, 4, 6, 8} e c = {2, 3, 5, 7, 8}, o conjunto (a ∩ c) ∪ b tem:

a) 5 elementos b) 6 elementos c) 4 elementosd) não tem elementos

05. se um conjunto a tem 2 elementos e um conjunto b tem 6 elementos, então, o conjunto a ∪ b tem, no mínimo:

a) 2 elementos b) 4 elementos c) 6 elementosd) 8 elementos

06. considere as proposições:i) {1, 2} ⊂ {1, 2, 3} ii) {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 2} iii) {1, 2} ⊄ {1, 3, 4}iv) {2} ⊂ {{2}, 1}

então o número de proposições verdadeiras é:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

07. a sentença verdadeira é:a) se a ⊂ b, então a ∩ b = b

7

b) se p ⊂ (a ∪ b), então p ⊂ a e p ⊂ b c) se p ⊂ a e p ⊂ b, então p ⊂ (a ∩ b)d) se a ∪ b = a, então a ⊂ b

08. seja a um conjunto com 8 elementos. o número total de subconjuntos de a é:

a) 6 b) 8 c) 128 d) 256

09. (cMBH/2004) seja o conjunto a = {{1}, 2, {1, 2}}. pode-se afirmar que:

a) 1 ∈ a b) {1} ∈ a c) {1} ⊂ ad) {1, 2} ∉ a

10. a região hachurada, no gráfico abaixo, repre-senta:

a b

c

a) (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)b) (a ∪ b) ∩ (a ∪ c) c) (a ∪ b) ∩ (b ∪ c) d) (a ∩ b) ∪ (b ∩ c) ∪ (a ∩ c)

O texto seguinte tem como referência os testes 11, 12 e 13.

em uma pesquisa de opinião pública efetuada na av. santos dumont entre pessoas que se encontravam nas filas ou nas proximidades dos pontos iniciais das linhas de ônibus a e b, que se destinavam ao bairro céu azul, constatou-se que:

• 55% usavam a linha a. • 40% usavam a linha b. • 15% usavam as linhas a e b.

assinale a alternativa cOrreTA.

11. a porcentagem dos entrevistados que usavam a linha a ou a linha b era de:

a) 15% b) 20% c) 80% d) 95%

12. a porcentagem dos entrevistados que não usa-

vam nenhuma das linhas era de:a) 15% b) 20%

c) 45% d) 80%

13. a porcentagem dos entrevistados que usavam apenas a linha a era de:

a) 15%b) 20%c) 35%d) 40%

14. (cOLTec/2007) foram consultados 100 alunos do coltec, para saber qual seria o tipo pre-ferido de música: rock ou axé. todos os alunos escolheram,pelo menos, um tipo de música e fo-ram obtidos os seguintes resultados: 70 alunos disseram que preferem rock e 50 alunos optaram por axé.

suponha que, a partir destes dados, fossem retiradas estas conclusões:I – 20 alunos gostam de rock e de axé.II – 80 alunos gostam de rock ou axé.

poderíamos então afirmar quea) i e ii são falsas.b) somente i é falsa.c) somente ii é falsa.d) i e ii são verdadeiras.

15. numa escola há n alunos. sabe-se que 56 alunos lêem o jornal a, 21 lêem os jornais a e b, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal b. o valor de n é:

a) 127b) 137c) 158d) 183

16. num canil, existem três raças de cães: pastor, dál-mata e fila. sabendo-se que 56 são pastores, 126 não são dálmatas e 25% são filas, o número de dálmatas, é:

a) 81b) 134c) 142d) 154

17. um conjunto m é tal que p(m) tem 128 elemen-tos. o número de elementos do conjunto m é:

a) 6b) 7c) 8d) 9

18. sejam os conjuntos a = {1, 2, 3}, b = {3, 4} e c = {1, 2, 4}. o conjunto X, tal que X ∪ b = a ∪ c e X ∩ b = ∅, é:

a) ∅

8

b) {1} c) {1, 2}d) {3, 4}

19. (ceFeT/2004) 300 alunos foram entrevistados a respeito de três frutos: mamão, maçã e abacaxi. o resultado foi o seguinte: 160 disseram que gostam de comer mamão; 120 gostam de comer maçã; 90 gostam de comer abacaxi; 30 gostam de comer mamão e maçã; 40 gostam de comer mamão e abacaxi; 50 gostam de comer maçã e abacaxi e 10 gostam de comer os três frutos. dos alunos entre-vistados o número dos que não gostam de comer nenhum dos frutos é

a) 80b) 60c) 55d) menor de 50

20. (ceFeT/2006) numa escola de línguas estran-geiras, estudam 300 alunos. o número de estu-dantes matriculados apenas em espanhol cor-responde à metade dos que estudam inglês, e a quantidade dos que cursam apenas inglês é igual à dos que estudam espanhol. o número de alunos que cursa inglês e espanhol é

a) 40b) 50c) 60d) 80

21. em uma universidade, 80% dos alunos leem o jornal a, 60% leem o jornal b. sabendo que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que leem ambos os jornais é:

a) 40%b) 30%c) 20%d) 10%

22. (cOLTec/2005) em um grupo de 15 pessoas, 7 lêem jornal, 5 lêem revista e 6 não lêem nem jornal nem revista. quantas pessoas lêem jornal e revista?

a) 1b) 2c) 3d) 4

23. se n(a∪b) = 15 e considerando que n(a) = 7 e n(a∩b) = 3, então n(b–a) é:

a) 7b) 8c) 9d) 10

24. (cMBH/2006) em um grupo de 110 alunos, 23 participaram das olimpíadas de matemática e fí-sica, 20 participaram das olimpíadas de física e biologia, 15 participaram das três olimpíadas. a quantidade de alunos que participou da olimpíada de física foi igual ao número de participantes da olimpíada de biologia. sabendo-se que 65 alunos participaram das olimpíadas de física ou biologia e não participaram da olimpíada de matemática e que 25 alunos participaram das olimpíadas de matemática e biologia, considerando que os 110 alunos participaram de olimpíadas, o número to-tal de alunos que participaram somente da olim-píada de matemática, somado com o número de alunos que participaram apenas da olimpíada de biologia foi igual a:

a) 44b) 43 c) 42 d) 41

25. numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois fil-mes a e b. precisamente:

• treze dessas pessoas assistiram ao filme a;• cinco pessoas assistiram aos dois filmes;• seis pessoas não assistiram a nenhum dos filmes.

sabendo que todas as 29 pessoas opinaram, quantas pessoas assistiram ao filme b?a) 15b) 20c) 25d) 30

gabaritos

1d 2a 3d 4b 5c

6d 7c 8d 9b 10d

11c 12b 13d 14c 15c

16d 17b 18c 19d 20b

21a 22c 23b 24d 25a

9

PArTe 2

cONJUNTOS NUMÉrIcOS

1 - conjunto dos Números Naturais: IN

os números naturais surgiram da necessidade de contar objetos. por isso, às vezes são chamados de números de contagem. representa-se o conjunto dos números naturais por in.

in = {0, 1, 2, 3, ...}

in* = in – {0} = {1, 2, 3, ...}

Números Naturais

I) pares = {0, 2, 4, 6, ...} = {x ∈ in / x = 2n e n ∈ in}II) ímpares = {1, 3, 5, 7, ...} = {x ∈ in / x = 2n + 1 e n ∈ in}III) primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Importante:um número natural é primo quando admite so-mente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo.

O único natural primo e par é o número 2.

Operações Fundamentais em IN:• adição e sua inversa, subtração;• multiplicação e sua inversa, divisão;• potenciação e sua inversa, radiciação.

I – Adiçãopropriedades estruturais da adição em in• comutativa: a + b = b + a• associativa: (a + b) + c = a + (b + c)• elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a

II – Multiplicação propriedades estruturais da multiplicação em n• comutativa: a . b = b . a• associativa: (a . b). c = a . (b . c)• elementos neutro : a . 1 = 1 . a = a• distributiva: a(b + c) = ab + ac e a(b - c) = ab - ac

o zero na multiplicação é o fator anulador do produto:

a . b = 0, se a = 0 ou b = 0.

III - Divisão a operação divisão é usada quando a meta é re-

partir uma quantidade em partes iguais ou quando

deseja-se saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra quantidade.

d d q . d + r = d e (d ≠ 0)r q

d ∈ in (dividendo) d ∈ in* (divisor)q ∈ in (quociente) r ∈ in (resto)

• se r = 0 divisão exata (q ∈ in)neste caso, dizemos que d é divisor de d ou d é múltiplo de d, isto é, d = q . d.

• se r ≠ 0 divisão não exata e, neste caso, q ∉ in.

é bom lembrar que, se r ≠ 0, o maior valor do resto r é uma unidade a menos que o valor do divisor.

IV - Potenciação

an = vezes n

a....a.a.a.a.a

Importante:

a0 = 1 (a≠ 0) a1 = a 1n = 1

propriedades estruturais da potenciação em ina) am . ap = am + p

b) am : ap = am – p (a ≠ 0) c) (a . b)m = am . bm

d) (am)p = am . p

e) (a : b)m = am : bm

expressões Numéricas em IN

uma sequência de operações matemáticas é uma expressão numérica.

para resolver segue-se uma prioridade de símbo-los (parênteses, colchetes e chaves) e de operações.

• 1º) potenciações ou radiciação, obede-cendo a ordem em que aparecem, da esquer-da para a direita.

• 2º) multiplicações ou divisões, obede-cendo a ordem em que aparecem, da esquer-da para a direita.

• 3º) adições e subtrações, obedecendo a ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.

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• 4º) se houver parênteses, colchetes e cha-ves, a simplificação começa pelas expressões contidas no interior de cada sinal de asso-ciação, a partir do mais interno, estando um dentro do outro.

Testes

01. numa adição de três parcelas, a primeira é 1268, a segunda tem 936 unidades a mais que a primeira e a terceira tem 195 unidades a menos que a segun-da. a soma das três parcelas é:

a) 2204b) 2009c) 4018d) 5481

02. (cMBH/2004) a metade do número 314

– 274 é igual a:

a) 22 x 3

12

b) 312

x 272

c) 37 – 27

2

d) 24 x 3

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03. a afirmação cOrreTA é:a) o resto de uma divisão é sempre maior que o divisor.b) o resto de uma divisão é sempre igual ao divisor.c) o resto de uma divisão é sempre menor que o divisor.d) o resto de uma divisão é sempre zero.

04. sejam as afirmações:I- numa divisão, o dividendo é igual ao divisor, que

é 0; então, o quociente é igual a 1.II- qualquer número natural elevado a expoente

zero é igual a 1.III- qualquer potência de expoente 1 é sempre igual a 1.

associando-se V ou F a cada afirmação, obtemosa) v, f, vb) v, v, fc) v, f, fd) f, f, f

05. (cMBH/2005) a calculadora de pedro é bem diferente. ela tem uma tecla t que triplica o nú-mero escrito no visor, e uma tecla d que apaga o algarismo das dezenas do número no visor. pedro digitou 145 e, em seguida, somou este número com 2000. depois de obtido o resultado, apertou

a tecla d, depois a tecla t e, na sequência, duas vezes a tecla d e uma vez a tecla t. a soma dos algarismos do número obtido é igual a:

a) 0 b) 6 c) 15 d) 45

06. numa divisão não exata, o divisor é 4, o quociente é 12 e o resto é o maior possível. então, o dividendo é

a) 48 b) 49c) 50 d) 51

07. numa divisão exata, o divisor é 6 e o quociente é 0. então, o dividendo é

a) 0 b) 1c) 6 d) 12

08. (cMBH/2006) o produto de um número natural de três algarismos por 3 tem como resultado um número terminado em 907. a soma dos valores absolutos dos algarismos desse número natural de três algarismos vale:

a) 26 b) 25c) 24 d) 18

09. o número pelo qual devemos multiplicar a dife-rença entre 382 e 190 para obter o número 4224, é:

a) 12 b) 22 c) 24d) 32

10. (ceFeT/2007) um número natural de três alga-rismos inicia-se com 6. se esse primeiro algarismo for colocado depois dos outros dois, o dobro do novo número formado terá 75 unidades a menos que o original. a soma desses três algarismos é:

a) 14b) 15c) 16d) 17

11. o algarismo das unidades da potência do número 9999 é:a) 0b) 1c) 3d) 9

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12. o número natural representado pela expressão (82 + 62) : 102 – (42 + 32) : 52 é

a) 0b) 1c) 2d) 3

13. considerem-se todas as divisões em que os seus termos são naturais. o divisor é 253 e o quociente é igual ao resto. o número de tais divisões é:

a) 124b) 180c) 200d) 252

14. (ceFeT/2004) ao copiar um problema envolven-do multiplicação de dois números naturais, um aluno cometeu um engano e escreveu um dos nú-meros como 54 ao invés de 45. sua resposta estava 198 unidades maior do que deveria ser. a resposta correta para o problema de multiplicação é:

a) 405b) 945c) 990d) 1188

(cOLTec/Adaptado) Instrução: Leia o texto abaixo e responda às questões de 16 e 17.

“(...) objetos inanimados também representavam o rei, em especial suas moedas, que traziam sua ima-gem e por vezes, seu nome (o louis de ouro valia cerca de 15 libras). no mesmo caso estava o seu brasão e seu emblema pessoal, o sol. e também seu leito, ou a mesa posta para sua refeição, mesmo que ele estivesse ausente. era proibido, por exemplo, portar chapéu na sala em que a mesa do rei estava posta. (...) os sobera-nos eram ‘imagens vivas’ de deus, os ‘representantes da majestade divina’. (...)”

Fonte: BURKE, Peter. A fabricação do Rei. Rio de Janeiro: Jorge Zahar editor, 1994, p.20 e 21.

antigamente, os impostos eram cobrados por um sú-dito do rei, chamado de coletor de impostos, que ia para a vila dos aldeões recolher as moedas de ouro. para responder às questões abaixo, suponha que a mo-eda vigente seja o louis.

15. supondo que o coletor de impostos deposite 6 mo-edas por minuto em uma caixa, enchendo-a em 4 horas, quanto tempo levará, em horas, para encher a mesma caixa se depositar 8 moedas por minuto?

a) 2,0

b) 2,4 c) 3,0d) 5,3

16. suponhamos que um coletor de impostos consi-ga, em uma tarde, coletar 600 moedas. destas, ele resolve doar 80 para um mendigo, que passava na rua. chegando ao castelo, ele conta ao rei o que havia feito. o rei acha o gesto nobre e resolve ficar com apenas 4/5 do que sobrou e dar o restante para o coletor de impostos. então, o número de moedas que o coletor ganhou foi

a) 104 b) 120 c) 416d) 480

17. (ceFeT/2003) o valor da expressão {[14+(6 x 2³ – 5 x 5 + 2 x 7²) : 11] : 5²} – 1 é:a) – 28/5b) 0c) 1d) 336/25

18. (ceFeT/2007) um número natural n foi divido por 12 e deu resto 5. a soma dos restos das divi-sões de n por 4 e por 3 é igual a:

a) 2 b) 3c) 4 d) 5

19. (cOLTec/2006) ana e carlos são atletas pro-fissionais que correm sempre a uma velocidade constante: ana corre 6km/h, enquanto carlos corre 8km/h. se carlos corresse por 3 horas segui-das, quanto tempo ana deveria correr de modo a percorrer a mesma distância que carlos?

a) 1hb) 3hc) 2hd) 4h

gabaritos

1d 2a 3c 4d 5b

6d 7a 8c 9b 10b

11d 12a 13d 14c 15c

16a 17b 18b 19d

12

Múltiplos e Divisores em INconceito de Múltiplo e Divisor

a b a ∈inb ∈in*k ∈ in

0 k

a = b.k

se b . k = a, então:• b é divisor ou fator de a• K é divisor ou fator de a• a é múltiplo de b e de k.

I – Múltiplos

dizemos que a é múltiplo de b se existe c natural tal que a = b.c.

Ex: m(4) = {0, 4, 8, 12, 16, ...}

Propriedades dos Múltiplos• todo número natural é múltiplo dele mesmo.• 0 (zero) é múltiplo de todo número natural.• todo número natural é múltiplo de 1 (um).• o conjunto dos múltiplos de um número (dife-

rente de zero) é infinito.

II – Divisores

dizemos que a é divisor de b se b é múltiplo de a.

Ex: d(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Propriedades dos Divisores• todo número natural, diferente de zero, é divi-

sor dele mesmo.• todo número natural, diferente de zero, é divi-

sor de zero.• 1 (um) é divisor de qualquer número natural.• o conjunto dos divisores de um número é fi-

nito.

Ex: determine o conjunto dos divisores de 24, em in.d(24) = {1, 2, 3, 4, 6 , 8, 12, 24}

Ex: determine o conjunto dos divisores primos de 24, em in.

24 = 2 x 12 = 2 x 2 x 6 = 2 x 2 x 2 x 3 {2,3}

III – Fatoração de um Número Natural

fatorar um número natural é decompor este nú-mero no produto de seus fatores primos.

Ex: fatorando o número 24, tem-se:24 = 2 x 2 x 2 x 3 ou 24 = 23 x 3

técnica: 2412

63

2223

1 23 x 3

critérios de Divisibilidade em IN

Divisibilidade por 2um número é divisível por 2 quando terminar em

0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, isto é, quando terminar em par.

Exemplos:a) 126 é divisível por 2 (termina em 6).b) 460 é divisível por 2 (termina em 0).c) 943 não é divisível por 2 (termina em 3).

Divisibilidade por 3

um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número divisível por 3.

Exemplos:a) 147 é divisível por 3 (1 + 4 + 7 = 12 e 12 é divi-sível por 3).b) 648 é divisível por 3 (6 + 4 + 8 = 18 e 18 é divi-sível por 3).c) 2 153 não é divisível por 3 (2 + 1 + 5 + 3 = 11 e 11 não é divisível por 3).


um número é divisível por 4 quando terminar em dois zeros ou quando o número formado pe-los dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplos:a) 1 300 é divisível por 4 (termina em dois zeros).b) 624 é divisível por 4 (24 é divisível por 4).c) 738 não é divisível por 4 (38 não é divisível por 4).


um número é divisível por 5, quando terminar em 0 ou 5.

Exemplos:a) 320 é divisível por 5 (termina em 0).b) 765 é divisível por 5 (termina em 5).c) 623 não é divisível por 5 (não termina em 0 ou 5).

13


um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo.

Exemplos:a) 642 é divisível por 6 (é divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo).b) 596 não é divisível por 6 (é divisível por 2, mas não por 3).c) 963 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não por 2).


um número é divisível por 8 quando terminar em três zeros ou quando o número formado pelos três úl-timos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:a) 3 000 é divisível por 8 (termina em três zeros).b) 1 672 é divisível por 8 (672 é divisível por 8).c) 2 516 não é divisível por 8 (516 não é divisível por 8).


um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número divisível por 9.

Exemplos:a) 648 é divisível por 9 (6 + 4 + 8 = 18 e 18 é divi-sível por 9).b) 2 356 não é divisível por 9 (2 + 3 + 5 + 6 = 16 e 16 não é divisível por 9).

Divisibilidade por 10, 100, 1 000 ...

um número é divisível por 10, 100, 1 000 .... quan-do terminar em um zero, dois zeros, três zeros, ..., respectivamente.


um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e par for igual a zero ou for um número divisível por 11.

Exemplos:a) 1 892 é divisível por 11 (2 + 8 = 10 e 9 + 1 = 10 e 10 – 10 = 0).b) 8 371 é divisível por 11 (1 + 3 = 4 e 7 + 8 = 15 e 15 – 4 = 11).

c) 6 247 não é divisível por 11 (7 + 2 = 9 e 4 + 6 = 10 e 10 – 9 = 1).


um número é divisível por 12 quando for divisí-vel por 3 e por 4, ao mesmo tempo.

Exemplos:a) 528 é divisível por 12 (é divisível por 3 e por 4).b) 2 361 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não por 4).


um número é divisível por 15 quando for divisí-vel por 3 e por 5, ao mesmo tempo.

Exemplos:a) 1860 é divisível por 15 (é divisível por 3 e por 5).b) 365 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não por 3).

Divisores de um Número em IN

técnicas para determinar:

1) conjunto dos divisores de um número natural.exemplo: determinar todos os divisores

1 180 2 2 90 2 4 45 3 3, 6, 12 15 3 9, 18, 36 5 5 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180 1

d(180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180}

Produto de um divisor por um fator primo é igual a um divisor.

2) Quantidade de divisores de um número natural não-nuloo número de divisores de a é igual ao produto

dos expoentes dos fatores primos de a, acrescidos de uma unidade.

Ex: determine o número de divisores de 180.

180 = 22 x 3

2 x 5

1 ⇒(2 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) =

3 x 3 x 2 = 18

o número 180 tem 18 divisores.

14

Máximo Divisor comum (m.d.c.)Conceito

consideremos os conjuntos dos divisores dos núme-ros 20 e 30.

d(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}d(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

os divisores comuns de 20 e 30 são: 1, 2, 5, 10

o maior divisor comum de 20 e 30 é 10.então, o número 10 é denominado máximo divi-

sor comum de 20 e 30, e que representamos por: m.d.c. (20, 30) = 10

logo, podemos dizer que:

dados dois ou mais números, não nulos, de-nomina-se máximo divisor comum (m.d.c.) des-ses números o maior dos seus divisores comuns.

Técnicas para o cálculo do m.d.c.Decomposição em fatores primos

1º) decompõe-se cada número em seus fatores primos.

2º) calcula-se o produto dos fatores comuns, cada um deles com o menor expoente. o produto as-sim obtido será o m.d.c. procurado.

exemplo:determine o m.d.c. (60,24).

60 2 24 230 2 12 2 60 = 22 . 3 . 515 3 6 2 24 = 23 . 3

51

5 3 31

m.d.c (60,24) = 22 . 3 = 4.3 = 12

Divisões sucessivas (ou algorítmo de euclides)

divide-se o maior número pelo menor; a seguir, divide-se o menor pelo primeiro resto; a seguir, divi-de-se o primeiro resto pelo segundo resto; e assim por diante, até obter-se uma divisão exata.

o último divisor é o m.d.c. procurado.

Exemplo:calcular m.d.c. (60, 24)

2 2

60 24 12 →m.d.c. (60,24)

12 0

Observação:

para calcular o m.d.c. de 3 números, por exem-plo, calcula-se o m.d.c. de 2 deles e depois calcula-se o m.d.c. do terceiro número com o m.d.c. dos 2 núme-ros tomados inicialmente.

Exemplo: calcular o m.d.c. (52, 39, 65)

1 1 2

65 39 26 13

26 13 0

4

52 13 →m.d.c dos 3 números dados.

0

logo, m.d.c. (52, 39, 65) = 13.

• Propriedadedados dois ou mais números, se um deles for divisor comum dos outros, então esse núme-ro será o m.d.c. dos números dados.

Exemplo:seja determinar m.d.c. (9, 18, 36)

observa-se que 9 é divisor comum de 18 e 36.

236 180

2

18 9 → m.d.c (9, 18, 36) = 9

0

15

Números primos entre si

Exemplos:1) m.d.c (16,9) = 1

1 1 3 2

16 9 7 2 1

7 2 1 0

2) m.d.c (32, 25) = 1

1 3 1 1 3

32 25 7 4 3 1

7 4 3 1 0

dois ou mais números são primos entre si quando o m.d.c entre eles é igual a 1

logo:16 e 9 são primos entre si.32 e 25 são primos entre si.

Mínimo Múltiplo comum (m.m.c.)Conceito

consideremos os conjuntos dos múltiplos de 4 e 6.m(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...}m(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...}os múltiplos comuns de 4 e 6 são 0, 12, 24, 36, ...o menor múltiplo comum de 4 e 6, diferente de

zero, é 12.então, o número 12 é denominado mínimo múl-

tiplo comum de 4 e 6, que representamos por

m.m.c. (4, 6) = 12

podemos dizer então que:

dados dois ou mais números, diferentes de zero, denomina-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.) desses números o menor de seus múltiplos co-muns, diferente de zero.

Técnicas para o cálculo do m.m.c.

Decomposição em fatores primos

podemos determinar o m.m.c. de dois ou mais números diferentes de zero por meio da decomposi-ção em fatores primos:

1º) decompõe-se cada número em seus fatores primos.2º) calcula-se o produto dos fatores comuns e não

comuns cada um deles elevado ao maior expoente.o produto assim obtido será o m.m.c., procurado.

exemplo:calcular m.m.c. (60, 24)

60 2 24 230 2 12 2 60 = 22 . 3 . 515 3 6 2 24 = 23 . 3

51

5 3 31

m.m.c. (60, 24) = 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120

Decomposição simultânea

de modo prático, as decomposições podem ser fei-tas simultaneamente, pois desta maneira já se obtém os fatores comuns e não comuns com o maior expoente.

exemplo:calcular o m.m.c. (60, 24)60 24 2 }30 12 2 23

15 6 215

51

311

35

m.m.c. (60, 24) = 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120

Propriedades

a) dados dois ou mais números diferentes de zero, se um deles for múltiplo de todos os outros, então esse número será o m.m.c. dos números dados.

exemplo: calcular o m.m.c. (4, 6, 12).

4, 6, 12 21, 3, 6 2 m.m.c. (4,6,12) = 121, 3, 3 31, 1, 1

b) dados dois ou mais números que são primos entre si, então o m.m.c. entre eles será o produto dos números dados.

exemplo: calcular o m.m.c. (4, 9).observa-se que 4 e 9 são números primos entre si.4, 9 22, 9 2 m.m.c. (4,9) = 22 x 32 = 361, 9 31,1,

31

3

16

relação entre o M.M.c e M.D.c

o produto de dois números, diferentes de zero, é igual ao produto do m.d.c. pelo m.m.c. dos mesmos números.

Exemplo: Sejam os números 60 e 24.temos:• m.m.c. (60, 24) = 120• m.d.c. (60, 24) = 12a) o produto dos números dados: 60 x 24 = 1440b) m.d.c. (60, 24) x m.m.c. (60, 24) = 12 x 120 = 1440

observamos que: 60 x 24 = m.d.c. (60, 24) x m.m.c. (60, 24)assim, temos que:

m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b) = a . b ,

com a ≠ b e b ≠ 0.

EXERCÍCIOS pROpOStOS

01. sejam os números a = 23.52.7n e b = 23.52.75. determine o menor valor de n para que a seja divisível por b.

Resposta: n = 5

02. o número 2m . 32 tem 15 divisores. determine o valor de m.

Resposta: m = 4

03. um terreno de forma retangular tem as dimen-sões de 24m de frente por 56m de fundo. calcule o valor da maior medida, em metros, de uma cor-da que sirva para medir exatamente as dimensões desse terreno.

Resposta: 8m

04. três fios têm comprimentos de 36 m, 48 m e 72 m. deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em núme-ro inteiro de metros, e sem que haja perda de ma-terial. calcule o menor número total possível de pedaços.

Resposta: 13

05. um certo planeta possui dois satélites naturais: lua a e lua b. o planeta gira em torno do sol e os satélites em torno do planeta, de forma que o alinhamento sol-planeta-lua a ocorre a cada 18 anos, e o alinhamento sol-planeta-lua b ocorre a cada 48 anos. se o ano em que estamos ocorrer o alinhamento sol-planeta-lua a-lua b, determine daqui a quantos anos esse fenômeno se repetirá.

Resposta: 144 anos.

Testes

01. sejam as afirmações:I- todo número que não é divisível por 2 é divisível por 3.II- todo número divisível por 9 é também divisível por 3.III- todo número que termina em 5 é divisível por 3.

são verdadeiras:a) i e ii. b) i e iii.c) somente a ii.d) somente a iii.

02. o m.d.c. dos números 23 . 32 . 5 e 2n . 34 . 7 é 36. o valor de n é:a) 1 b) 2 c) 3d) 4

03. sendo a = 2 . 102 e b = 32 . 5, o m.m.c. de a e b éa) 23 . 32 . 52

b) 2 . 32 . 5 c) 32 . 52

d) 23 . 32 . 5

04. o número 2n-1 . 34 . 5 tem 50 divisores. o valor de n éa) 1 b) 2 c) 3d) 5

05. considere-se o número composto de 9 algaris-mos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são iguais a 2, isto é, o número 22222222 n. o menor valor de n a fim de que este número seja divisível por 3 é

a) 0 b) 1 c) 2d) 3

17

06. o conjunto a é formado por todos os divisores de 10 e por todos os divisores de 15. então, o conjunto a tem

a) 6 elementosb) 7 elementosc) 8 elementosd) 9 elementos

07. sabendo-se que a x b = 10 584 e que m.m.c. (a, b) = 504, então m.d.c. (a, b) é igual a

a) 21b) 26c) 31d) 36

08. seja a o conjunto dos múltiplos de 6 e seja b o conjunto dos múltiplos de 15. então, a b é o con-junto de todos os múltiplos de

a) 30b) 45c) 60d) 90

09. o m.m.c. e o m.d.c. dos números 14 e 42 são, res-pectivamente

a) 7 e 42b) 42 e 7c) 42 e 14d) 14 e 42

10. duas peças de tecidos devem ser cortadas em pe-daços de tamanhos iguais, sendo esse tamanho o maior possível. se uma peça mede 90 m e a outra 70 m, cada pedaço mede, em metros,

a) 10b) 5c) 2d) 1

11. um carro e uma moto partem juntos do ponto inicial de um autódromo. o carro percorre o cir-cuito em 210 segundos e a moto em 280 segun-dos. o carro e a moto passarão juntos novamente no ponto inicial depois de

a) 360 segundosb) 480 segundosc) 720 segundosd) 840 segundos

12. o produto de dois números naturais, a e b, é 25 x 33 e o m.d.c (a, b) = 22 x 3. então, o m.m.c.(a, b) é:

a) 6b) 64c) 72d) 96

13. o número m = 488a9b, onde b é o algarismo das unidades e a, o algarismo das centenas. sabendo--se que m é divisível por 45, (a + b) é igual a:

a) 7

b) 9 c) 16d) 18

14. ( cmbH/2002) três cidades brasileiras a, b e c realizam grandes festas. na cidade a, estas festas ocorrem de 15 em 15 meses; em b, de 8 em 8 me-ses; e, finalmente, em c, de 9 em 9 meses. se essas festas coincidiram em setembro de 1982, coinci-dirão novamente em setembro de:

a) 2018b) 1994c) 2012d) 2018

15. (cMBH/2001) das afirmativas abaixo, a única verdadeira é

a) o número 1 é primob) se m = 24 . 3b .5, n = 23 . 32 e m é múltiplo de n,

então b> 2c) mdc(258,204) < 6d) o número x = 74 . 132 . 19 tem 30 divisores

16. (ceFeT/2005) para que o número n = 22 . 14x tenha 15 divisores, o valor de x deverá ser igual a:

a) 4b) 3c) 2d) 1

17. (ceFeT/2005) sendo x e y inteiros positivos e primos entre si, pode-se afirmar que

a) 3y é múltiplo de 2x.b) o m.d.c de 2x e 3y pode ser 1.c) o m.m.c de 2x e 3y é 6d) o produto entre 2x e 3y é ímpar.

18. ( cOLTec/2007) em um treinamento da equipe de atletismo do coltec, três atletas correm em uma pista. eles partem ao mesmo tempo do pon-to de largada e combinam parar de correr quando passarem juntos novamente pela marca de largada.sabendo-se que o atleta a leva sempre 60 segun-dos, para dar uma volta na pista, que o atleta b, para dar a mesma volta, sempre gasta 70 segun-dos, e o atleta c dá uma volta em 90 segundos. então, o número de voltas que o atleta mais rápi-do deu foi

a) 2.b) 6.c) 12.d) 21.

19. (ceFeT/2006) um subconjunto a de números naturais contém os dez menores múltiplos de 4, os

18

oito menores múltiplos de 6, os seis menores múl-tiplos de 12 e sete números ímpares. o número de elementos de a é:

a) 23b) 24c) 25d) 26

20. (ceFeT/2001) se a e b são dois números naturais e primos entre si, então o mínimo multiplo comum entre a e b vale:

a) ab) a x bc) bd) a + b

21. (ceFeT/2006) numa loja de material elétrico, existem três rolos de fio, cujos comprimentos são 180 m, 240m e 330m. deseja-se recortar todo o fio em pedaços com o maior comprimento possível, sem deixar sobrar. o número de pedaços obtido é

a) 20b) 25c) 30d) 36

22. seja o número a = 83 41m, onde m é o algarismo das unidades. sabendo-se que a é divisível por 15, o valor de m é

a) 1b) 3c) 5d) 7

23. (ceFeT/2009) considere a sequência abaixo: 1.9 + 2 = 11 12.9 + 3 = 111 123.9 + 4 = 1 111 ............................ ............................ ............................

nessas condições, o número 1 111 111 111 pode ser escrito da formaa) 123 456.9 + 7b) 1 234 567.9 + 8c) 12 345 678.9 + 9d) 123 456 789.9 + 10

24. (ceFeT/2009) os números naturais x, y e z são os menores divisores, pelos quais se pode dividir 2 700, 1 080 e 4 500, respectivamente, obtendo-se, desse modo, quocientes iguais. assim sendo (y . z) : x vale

a) 5b) 6

c) 8d) 10

25. (ceFeT/2008) na divisão de dois números intei-ros e positivos, o quociente obtido é 18 e o resto é igual ao divisor menos 2 unidades. sendo a dife-rença entre o dividendo e o divisor igual a 106, o resto é um número

a) primob) ímparc) múltiplo de 2d) par e maior que 8

26. (cOLTec/2008) duas engrenagens, presas em dois eixos fixos, estão acopladas. uma engrena-gem tem 72 dentes e a outra, 48. inicialmente, os dentes encaixados dessas engrenagens são mar-cados, e elas em seguida começam a girar. após alguns giros, os dentes marcados se encaixam no-vamente.

para que isto aconteça, qual deve ser o total de giros dados pelas duas engrenagens?a) 5b) 6c) 8d) 9

27. (cOLTec/2009) a soma dos números que divi-dem 84 e 300 e são múltiplos de 2 e 3 é:

a) 6b) 12c) 18d) 23

28. (cOLTec/2008) léa tem uma fábrica artesanal de chocolates que produz, por dia, 60 chocolates meio amargo, 96 chocolates brancos, 120 choco-lates ao leite e 72 chocolates crocantes. ela deseja embalar toda a produção diária, sem deixar so-brar nenhum chocolate, em caixas contendo os quatro tipos de chocolates, sendo que a quanti-dade de cada tipo de chocolate por caixa deve ser igual.

desta forma, sabendo que léa usou o número máximo de caixas, qual é o número de chocolates brancos por caixa?

a) 5b) 6c) 8d) 10

29. (cOLTec/ 2010)um número é múltiplo de 6 e composto por três fatores primos. o maior divi-sor comum entre esse número e 140 é 14.

assim sendo, é cOrreTO afirmar que a soma dos fatores primos que compõem esse número éa) 9 .

19

b) 11 .c) 12 .d) 14 .

30. (ceFeT/ 2011) numa divisão de números natu-rais, o divisor excede de 5 o quociente que, por sua vez, excede o resto também em 5. sabendo-se que o dividendo é 1.075, pode-se afirmar que esse divisor é

a) 10b) 15c) 25d) 35

gabaritos

1c 2b 3a 4d 5c

6a 7a 8a 9c 10a

11d 12c 13a 14c 15d

16c 17b 18d 19a 20b

21b 22c 23d 24d 25c

26a 27c 28c 29c 30d

2 - conjunto dos Números Inteiros: Z

o conjunto dos números inteiros surge pela ne-cessidade de calcular com números negativos.

z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}⇓z + = {0, 1, 2, 3...} ⇒ z + = in ou in ⊂ z z - = {..., -3, -2, -1, 0}z + ∩ z - = {0} e z + ∪ z - = z z * = z - {0}

na reta, se x ∈z “está à direita” de y ∈ z ⇒ x > y

Opostos ou Simétricos

Módulo ou Valor Absoluto de um Número Inteiro

se x ∈ z, indica-se o módulo de x por |x|.

módulo nos dá a idéia de distância até a origem da reta.

conceito:

{ x, se > 0se x ∈ z ⇒ |x| =

-x, se x < 0

o módulo de um número inteiro é um número natural

Exemplo: |4| = 4 e |-5| = -(-5) ou |-5| = 5

observação: |x| > 0 para x ∈ z

dois números que tenham mesmo módulo e si-nais diferentes são definidos como números si-métricos ou opostos

Ex.: +7 e –7 são simétricos ou opostos, visto que |+7| = |-7|

Operações em Z

Adição

se a ∈ z e b ∈ z ⇒ a + b = s e s ∈ z

logo, a adição é fecHada em z .

considerações:

I) a > 0 e b > 0 ⇒ a + b = s e s > 0ex.: (+5) + (+7) = +12

II) a < 0 e b < 0 ⇒ a + b= s e s < 0ex.: (-7) + (-5) = -12

III) a > 0 e b < 0 ⇒ a + b = s e s > 0, se |a| > |b|ex.: (+7) + (-5) = +2

IV) a > 0 e b < 0 ⇒ a + b = s e s < 0, se |a| < |b|ex.: (+5) + (-7) = -2

Propriedades estruturais da adição em z

a) comutativa : a + b = b + ab) associativa : a + (b + c) = (a + b)+ cc) elemento neutro : a + 0 = 0 + ad) elemento simétrico (oposto): a + (-a) = (-a) + a = 0

Subtração

a diferença entre dois números inteiros é igual à soma do primeiro com o oposto do segundo, ou seja

se a ∈z e b ∈ z, entãoa – b = a + (-b)

20

exemplos: (+10) – (+3) = 10 + (-3) = 10 – 3 = 7(-7) – (+5) = (-7) + (–5) = – 7 – 5 = – 12(-3) – (–1) = (-3) + (+1) = – 3 + 1 = – 2

Multiplicação

quando vamos calcular o produto de dois núme-ros inteiros utilizamos as seguintes regras:

1ª) se os fatores têm sinais iguais (ambos positivos ou ambos negativos), então, multiplicamos os módulos e damos ao resultado o sinal positivo.

2ª) se os fatores têm sinais contrários (um positivo e o outro negativo), então, multiplicamos os módulos e damos ao resultado o sinal negativo.

resumindo:1º fator 2º fator produto

+ + +- - ++ - -- + -

exemplos: (+5) . (+7) = + 35(-5) . (-7) = + 35(+5) . (-7) = - 35(-5) . (+7) = - 35

Observação:para multiplicar três ou mais números inteiros

nós multiplicamos os dois primeiros, em seguida mul-tiplicamos o resultado pelo número seguinte, e assim por diante.

exemplo: 4 . (-1) . (-3) = (-4) . (-3) = + 12 = 12

Propriedades

a) Fechamentoo produto de dois números inteiros é sempre um

número inteiro.

a, b ∈ z ⇒ (a . b) ∈ z

Exemplo:(-2) . (+12) = - 24- 2 ∈ z ; + 12 ∈ z ; - 24 ∈ z

b) comutativaa ordem dos fatores não altera o produto.

a, b ∈ z ⇒ a . b = b. a

c) Associativana multiplicação de três fatores podemos asso-

ciar os dois primeiros ou os dois últimos.

a, b e c ∈ z ⇒ (a . b) . c = a . (b . c)

exemplo:[(+3) . (-4)] . (-2) = (+3) . [(-4) . (-2)] = + 24 = 24

d) elemento Neutroo número +1 é chamado elemento neutro da

multiplicação de inteiros, porque para todo número inteiro a, temos

a . (+1) = (+1) . a = a

exemplo:(+5) . (+1) = (+1) . (+5) = + 5 = 5(+1) . 0 = 0 . (+1) = 0

e) Distributivaem geral, se a, b e c são números inteiros

quaisquer temos:a . (b + c) = a . b + a . c

ou, ainda, (b + c) . a = b . a + c . a

esta é a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

exemplo: (+3) . [(+5) + (-2)] = (+3) (+5) + (+3) (-2) =

+15 - 6 = 9

Divisão

o quociente de dois números inteiros, com o segundo diferente de zero, é obtido dividindo-se o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. se o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quo-ciente é positivo; se o dividendo e o divisor têm sinais contrários, o quociente é negativo.

Potenciação

já sabemos que:an = a . a . a, ... a, com a ∈z e n ∈z as regras para as potências de números intei-

ros com base diferente de zero, são:

21

1º) O expoente é um número par

Exemplos: (+2)2 = (+2) . (+2) = + 4 (-2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = + 16

temos, então, a regra: Quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo.

2º) O expoente é um número ímpar

Exemplos: (+2)3 = (+2) . (+2) . (+2) = + 8 (-2)5 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = - 32

temos, então, a regra: Quando o expoente é ímpar, desde de que o sinal, seja envolvido pelo parênteses, a potência manterá o mesmo sinal do interior dos parênteses.

Observações:

1ª) a potência com expoente 1 é igual ao pró-prio número.

exemplo: (+3)1 = + 3; (-5)1 = - 5

2ª) a potência com expoente zero e base dife-rente de zero é igual ao número 1.

exemplo: (+2)0 = + 1; (-7)0 = + 1

3ª)

{ (-3)2 = 9(-3)2 ≠-32, pois:

-32 = -9o quadrado de -3 é diferente de menos o quadrado de 3


01. se a = -(-2)5 e b = -(+2)5, determine o valor de (a - b).

Resposta: 64

02. calcule o valor da expressão:(-10)3 - 3 . (-10)2 . (-2)2.

Resposta: -2200

03. se a ∈ z é tal que a = -22 + 20 - (-2)0, determine o valor de a4 + 1.

Resposta: 257

04. analise a sentença:“Para todo x ∈ z , se x é negativo, então –x é positivo”.

esta sentença é verdadeira ou falsa?

Resposta: Verdadeira

05. numa divisão de dois números inteiros positivos, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. se a soma do dividendo e do divisor é 125, qual é o resto desta divisão?

Resposta: 6

06. na divisão de dois números inteiros positivos, o quociente é 13 e o resto é o maior possível. se a diferença entre o dividendo e do divisor é igual a 220, determine a soma dos algarismos do resto.

Resposta: 7

Testes

01. observe na reta numérica (orientada) os núme-ros x e y.

supondo que a divisão do número y pelo número x seja exata, temos que:

y x 0a) x . y < 0 b) x > 0 e y < 0 c) x < 0 e y > 0d) (y : x) > 0

02. dois números inteiros, um positivo e outro negati-vo, têm como produto –12 e como soma +4. o quo-ciente do maior pelo menor, é

a) 3 b) -3 c) 2d) -2

03. sejam os conjuntos a = {x ∈ z / x = 6n + 3, n ∈ z}e b = {x ∈ z / x = 3n, n ∈ z }

então, a ∩ b é:a) {x ∈ z / x é ímpar e múltiplo de 3}b) {x ∈ z / x é par e múltiplo de 3}c) {x ∈ z / x é múltiplo de 9}d) {x ∈ z / x é ímpar}

22

04. o menor número inteiro positivo que, ao ser dividi-do por qualquer um dos números, dois, três, cinco ou sete,deixa resto um, é:

a) 210 b) 211 c) 420d) 421

05. o menor número inteiro positivo n pelo qual se deve multiplicar 1188 para se obter um número di-visível por 540 é tal que:

a) 1 < n < 6 b) 6 < n < 10 c) 10 < n < 20d) 20 < n < 30

06. na divisão do número inteiro positivo p pelo núme-ro inteiro positivo m, o quociente é 13 e o resto 5. o menor valor de p é:

a) 18b) 44 c) 57d) 83

07. (cMBH/2005) certa quantidade de provas preci-sam ser embaladas em envelopes. se colocarmos 20 provas em cada envelope, sobram 15 provas, se colocarmos 25 provas em cada envelope, sobram 3 envelopes. o número de provas que precisa se em-balado é igual a:

a) 325b) 350c) 375d) 400

08. (cMBH/2007) o número de divisores de 4.200 que não são primos é igual a:

a) 4b) 6c) 22d) 44

09. (ceFeT/2009) considere os conjuntos a = {6, 7, 8, 9, 10} e b = {1, 2, 3, 4, 5}.

o número baba

-+ 22

, em que a ∈ a e b ∈ b , NÃO pode sera) inteiro.b) negativo.c) positivo menor que 10.d) positivo maior que 10.

10. (ceFeT/2008) nas operações com elementos do conjunto Z, afirma-se:

I- o produto de dois números inteiros ímpares é ím-par.

II- sejam n e m dois números inteiros, com n > m e m = 0. se n : m = p, então p é inteiro.

III- se k é um número inteiro, então k2 + k é necessaria-mente múltiplo de 2.

IV- se m e n, com m ≠ n, são dois números primos entre si, então necessariamente m e n são primos.

V- qualquer número inteiro escrito na forma 4n + 1, com n ∈ Z , é ímpar.

são FALSAS apenas as afirmativasa) ii e iv.b) iii e v.c) i, ii e iv.d) ii, iii e iv.

gabaritos

1d 2b 3a 4b 5a6d 7c 8d 9b 10a

3 - conjunto dos Números racionais

Introdução

é o conjunto de todos os números que estão ou podem ser colocados em forma de fração.

Fração

quando dividimos um todo em partes iguais e queremos representar matematicamente uma ou al-gumas dessas partes, empregamos um par ordenado de números naturais, diferentes de zero.

lê-se: meio ou um meio representa-se: 1

2

lê-se: três quartosrepresenta-se: 3

4então: denomina-se fração todo par ordenado de núme-

ros naturais, com o segundo diferente de zero, onde:• o primeiro número indica quantas partes foram

tomadas do todo (numerador);• o segundo número indica em quantas partes

iguais o todo foi dividido (denominador).

23

Tipos de Frações

observe as figuras.

a)

a figura nos mostra a fração 3

4, na qual o nume-

rador é menor que o denominador.

essa fração é denominada fração própria ou ordinária.

b)

33

23

53

a figura nos mostra a fração 53 , na qual o nume-

rador é maior que o denominador.

esta fração é denominada fração imprópria

c)

33

33

63

44

as figuras nos mostram frações cujo numerador é múltiplo do denominador.

estas frações são denominadas frações aparentes.

elas são consideradas numerais de números na-turais.

assim: 44

é numeral do número natural 1.

63 é numeral do número natural 2.

d) quando o denominador da fração é 10 ou po-tência de 10 (100, 1000, 10000, ...), a fração é denomi-nada fração decimal.

exemplos 1000231,

100135,

1007,

0151,

013

e) Número Misto - a expressão 3 + 1/2 (soma de um número inteiro com um número fracionário) é denominada número misto e é representada pelaforma abreviada 3

12 (lê-se: três inteiros e um meio).

observe

31

= 3 +1

=3

+1

=6

+1

=7

2 2 1 2 2 2 2⇓ ⇓

número misto fração imprópria

então: • todo número misto pode ser escrito em forma

de fração imprópria por meio da seguinte regra prática:

31

=3 x 2 + 1

=7

2 2 2 • toda fração imprópria pode ser escrita em for-

ma de número misto por meio da seguinte regra prática:

7→

7 2e escreve-se

7= 3

12 1 3 2 2

Frações equivalentes

observe:

1/2 2/4 3/6

6/10 3/5

duas ou mais frações que representam a mesma parte do todo são equivalentes.

24

exemplo: 63,

42,

21 são equivalentes e escrevemos

63

42

21

==

Obs.: multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um mesmo número natural, di-ferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada.

exemplos:1

=1 x 2

=2

⇒1

=2

2 2 x 2 4 2 46

=6 : 2

=3

⇒6

=3

10 10 : 2 5 10 5

Simplificação de Frações

Simplificar uma fração é obter outra fração equi-valente à fração dada, cujos termos sejam números pri-mos entre si.

obs: o objetivo de simplificarmos, é para que pradonizemos os resultados.

1º Processo

dividindo-se, sucessivamente, os termos da fra-ção por um fator comum.

48=

48 : 2=

24 : 2=

12 : 2=

6 : 3=

272 72 : 2 36 : 2 18 : 2 9 : 3 3

⇒48

=2 ⇓

72 3 fração irredutível 2º Processo

dividindo-se os termos da fração pelo seu m.d.c.m.d.c. (48, 72) = 24

48=

48 : 24=

2⇒

48=

272 72 : 24 3 72 3

⇓fração irredutível

redução de Frações a um Mesmo Denominador

para reduzir duas ou mais fração ao menor deno-minador comum, procede da seguinte maneira:

1º) calculamos o m.m.c. dos denominadores das frações dadas: esse m.m.c. será o denominador comum.

2º) divide-se o denominador comum pelo de-nominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.

exemplo:

reduzir as frações 56 , 1

3, 3

4, ao menor denomi-

nador comum.

56 1

3 3

4 m.m.c (6, 3, 4) = 12

⇓ ⇓ ⇓

2 x 5 12 4 x 1

12 3 x 3 12

⇓ ⇓ ⇓

1012 4

12 912

comparação de Frações

comparar frações significa estabelecer uma rela-ção de igualdade ou desigualdade entre essas frações.

vamos analisar dois casos distintos.

1º casoas frações têm o mesmo denominador.

7/8

3/8

pelo gráfico: 7/8 > 3/8

quando duas frações têm o mesmo denomina-dor, a maior é aquela que tem maior numerador.

2º casoas frações têm denominadores diferentes. quando as frações têm denominadores diferen-

tes, devemos reduzi-las ao menor denominador co-mum para, em seguida, compará-las.

exemplo:comparemos as frações 3

4 e 710 .

como 1520 > 14

20 ⇒ 34 > 7

10} 34 = 15

20

710 = 14

20

Operações Fundamentais em Q

I - Adição e subtração de frações

1º caso: as frações têm o mesmo denominador.quando as frações têm o mesmo denominador,

mantém-se o denominador comum e somam-se ou subtraem-se os numeradores.

25

exemplos:

1º) 58 + 28 = 5 + 2 8 = 78

2º) 11 4 – 54 = 11 – 5

4 = 64 = 32⇓

simplifica-se o resultado

2º caso: as frações têm denominadores diferentes.quando as frações têm denominadores diferen-

tes, devemos, em primeiro lugar, reduzi-las ao menor denominador comum para, em seguida, efetuar a adi-ção ou a subtração.

exemplos:

1º) 35 + 14 = 12

20 + 520 12 + 5 20 = 17

20

2º) 78 – 14 = 7

8 – 28 = 7 – 2

8 = 58

II – Multiplicação de Frações

o produto de duas frações é uma fração onde:

• o numerador é o produto dos numeradores;• o denominador é o produto dos denominadores.

1º) 2 x 25 = 2

1 x 25 = 2 x 2

1 x 5 = 45

2º) 23 x 4

5 = 2 x 43 x 5 = 815

Observação:a) para facilitar a multiplicação de frações, devemos,

sempre que possível, simplificá-las antes da operação.

exemplos:

37 x 2

3 = 27

27 x 3

5 x 14 9 = 2

71

x 3 1

5 x 14 2

93

= 415

b) fração de fração

calcular 35 de 1

2 .

35 de 1

2 é uma expressão que pode ser represen-

tada por 35 x 1

2 .

portanto, na prática, substituímos a preposição de pela operação multiplicação.

logo: 35 de 1

2 = 35 x 1

2 = 310

exemplo: 34 de 20 = 3

4 x 20 = 341

x 20 5

1 = 15

III - Divisão de Frações

a) números inversos ou recíprocos seja determinar o número que multiplicado por

23 é igual a 1.

verifica-se que o número procurado é 32 , pois

2 1

31

x 3 1

21

= 1

os números 23 e 3

2 são chamados inversos ou recíprocos.

de um modo geral, para qualquer número racional a, com a ≠ 0, existe outro racional 1/a , chamado inverso multiplicativo ou recíproco de a, tal que:

a . 1a = 1

a. a = 1

na prática, obtemos o inverso de um número ra-cional, diferente de zero, trocando o numerador com o denominador.

é evidente que não existe o inverso do número zero.

b) divisãopara se dividir uma fração por outra, deve-se

multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.exemplos:

1º) 58 : 3

4 = 582

x 4 1

3 = 56

2º) 35 : 2 = 3

5 x 12 = 310

Observação:Todo quociente de dois números naturais, com

o divisor diferente de zero, pode ser escrito em forma fracionária.

1º) 2 : 5 = 25 → forma fracionária

quociente de dois números naturais

2º) 3 : 9 = 31

93

= 13

(simplificando-se a fração 39 )

26

deste modo, toda fração representa um quociente do numerador pelo denominador.

exemplos:

1º) 25 = 2 : 5 2º)

1213

= 12 : 1

3

3º) 452

= 45 : 2

IV - Potenciação de Números Racionais

se a ∈ Q e n ∈ in ⇒ an ∈ Q

seja determinar a potência 3

32

.

pela definição de potência, já estudada para os números naturais, temos:

3

32

= 23 = 23 x23 x 23 = 2 x 2 x 2

3 x 3 x 3 = 23

33 = 827

para se elevar uma fração a uma dada potên-cia, deve-se elevar o numerador e o denominador a essa potência.

também para os números racionais, tem-se que:

a) potência de expoente 1 é igual à própria base.

53

53 1

=

49

49 1

=

b) potência de expoente 0 é igual a 1.

185 0

=

1

27 0

=


01. vários lápis foram distribuídos entre 3 pessoas de modo que a primeira recebeu 2/3 dos mesmos: a segunda recebeu 1/5 do resto e a terceira ficou com 24 lápis. quantos lápis foram repartidos?

Resposta: 90

02. uma torneira enche um tanque em 5h e outra o esvazia em 8h. abrindo as duas torneiras, em quanto tempo o tanque ficará cheio?

Resposta: 13h 20min

03. uma torneira com vazão de 50l/min gasta 27 min para encher um determinado tanque. quanto tempo será necessário para encher o mesmo tan-que, utilizando-se três torneiras que têm vazão de 45l/min cada uma?

Resposta: 10 min

04. a diferença entre os 4/5 e os 2/3 do preço de um automóvel é r$ 4.800,00. qual o preço do auto-móvel?

Resposta: r$ 36.000,00

05. qual a fração equivalente a 0,75 cuja soma dos termos é igual a 84?

Resposta: 36/48

06. um tanque está cheio de água até sua terça parte. adicionando-se 35 litros de água ele fica cheio até os seus 4/5. qual a capacidade do tanque?

Resposta: 75 litros.

07. um automóvel percorre inicialmente os 3/11 de uma estrada. numa segunda etapa roda 3/8 do que resta do percurso. após essa segunda etapa ainda lhe faltam 340 km para percorrer. qual o comprimento em quilômetros da estrada toda?

Resposta: 748 km.

08. eu tenho 2/3 da idade de meu irmão e juntos te-mos 30 anos. quais são as nossas idades?

Resposta: 12 e 18 anos.

09. os 3/4 dos 2/6 de minha mesada são r$ 80,00. qual a minha mesada?

Resposta: r$ 320,00

10. de sua verba mensal para envio de correspondência, uma firma gastou, no mês passado, 4/15 com telegra-mas, 11/24 com cartas e 4/11 do restante com fax. a despesa com fax foi de r$ 68,00. calcule, a verba total gasta por essa firma com correspondência, nesse mês.

Resposta: r$ 680,00

11. numa corrida, 2/9 dos ciclistas que dela partici-pavam desistem durante a 1ª volta. dos que co-meçaram a 2ª volta, 1/7 desiste antes do término da corrida, que se encerra com 18 ciclistas. qual o número de ciclistas que iniciaram a corrida?

Resposta: 27

27

Números Decimais

24,7 = 24710

43,8: 1000 = 0,0438

7100

= 0,07

610

0,6 =

Fração Decimal

é a fração cujo denominador é uma potência de 10.

610

, 7100

, 81000

, 110000

, etc

Número Decimal

as frações decimais podem ser escritas na forma:

410

= 0,4 7100

= 0,07 81000

= 0,008

o número de algarismos da parte decimal é igual ao número de zeros do denominador da fração deci-mal correspondente.

exemplos:

1,48 = 148

100 24,7 = 247

10

Propriedades dos números decimais

a) um número não se altera quando acrescenta-mos ou retiramos zeros à direita de sua parte decimal.

exemplo: 5,7 = 5,70 = 5,700 = 5,7000

b) para multiplicarmos um número decimal por 10, 100, 1000, etc., a vírgula se desloca para a direita uma, duas, três, etc., casas decimais.

exemplo: 0,851 x 10 = 8,51 4,931 x 100 = 493,1 7,2 x 1000 = 7200

c) para dividirmos um número decimal por 10, 100, 1000, etc., a vírgula se desloca para a esquerda, uma, duas, três, etc., casas decimais.

exemplo: 73,2 : 10 = 7,32 8,3 : 100 = 0,083 43,8 : 1000 = 0,0438

Operações com Números Decimais

I – Adiçãocolocamos uns sobre os outros, vírgula debaixo

de vírgula.

exemplo: 3 + 0,487 + 2,9 3,000+ 0,487 2,900 6,387

II – Subtraçãoprocede-se como na adição, colocando minuendo

sobre subtraendo e vírgula sob vírgula. se o minuendo tiver menos casas decimais que o subtraendo, é preciso acrescentar zeros de forma a igualar as casas decimais.

exemplo: 5,08 – 3,4852 5,0800- 3,4852 1,5948

III – Multiplicaçãomultiplica-se como se os números fossem

inteiros, dando ao resultado um número de casas decimais igual à soma dos números de casas decimais dos fatores.

exemplo: 5,32 x 3,8

5,32 3,8 42561596 20,216

x

+

IV – Divisãoiguala-se o número de casas decimais no dividen-

do e no divisor; eliminam-se as vírgulas e efetuamos a divisão. obtido o quociente inteiro, acrescenta-se um zero no resto e coloca-se uma vírgula no quociente à direita. continua-se a divisão, colocando-se sempre um zero à direita de cada novo resto.

exemplo: 72,2379 : 5,873 → 72,2379 : 5,8730

a seguir, efetua-se a divisão como se fossem números inteiros.

722379 58730135079 12,3

17619000000

28

Dízima Periódica

é número decimal que tem “infinitas” casas de-cimais, o algarismo ou número que repete é chamado de período.

ex.: 1/3 = 0,333... = 0,3indica-se por:0,333.... = 0,(3) = 0,3 = 3

9 = 1

3 (dízima periódica

simples- dps)

Observação: numa dps a fração geratriz possui numerador igual ao período e denominador for-mado por tantos 9 quantos forem os algarismos do período.

0,1727272... = 0,1(72) = 0,172 = 172 - 1990

= 171990

=

= 19110

(dízima periódica composta- dpc)

Observação: numa dpc a fração geratriz possui numerador formado pela diferença entre o nú-mero formado, depois da vírgula, até o período e o ante-período. no denominador escrevemos um número formado por tantos 9 ( noves) quan-tos forem os algarismos do período acompanha-dos de tantos 0 (zeros)quantos forem os algaris-mos do ante-período.

0,333... ∈ Q e 0,1727272... ∈Q

a fração equivalente a uma dízima periódica denomina-se fração geratriz.

Potenciação de Números Decimais

pela definição de potência, temos: (0,6)3 = 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216 (1,4)2 = 1,4 x 1,4 = 1,96

valem as convenções:1ª) (2,5)1 = 2,52ª) (3,2)0 = 1


01. escrever as geratrizes das seguintes dízimas periódicas: respostas:

a) 0,7 a) 79

b) 3,45 b) 3 511

c) 0,8534 c) 84499900

d) 2,03 d) 2 1

30

e) 0,0016 e) 42475

f) 1,202 f) 1 91

450

02. calcular o valor das expressões: respostas:a) (30,333...)9 + (20,222...)18 a) 43

b) 80,666... - 90,5 b) 1

c) 0,17+ 0,26 0,333...

c) 43

03. efetuar as seguintes adições:

respostas:a) 12,1 + 0,0039 + 1,98 a) 14,0839b) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 b) 462,791c) 0,003 + 101,6 + 0,5 c) 102,103

04. efetuar as seguintes subtrações:

respostas:a) 6,03 – 2,9456 a) 3,0844b) 1 – 0,34781 b) 0,65219c) 142,2 – 0,9988765 c) 141,2011235

05. calcular o valor das expressões: respostas:

a) (4,3 + 0,912) - (10 - 9,813) a) 5,025

29

b)

+-

+ 001,0

0 113

10002 3069,3 b) 0

06. efetuar as seguintes multiplicações:

respostas:

a) 4,31 x 0,012 a) 0,05172

b) 1,2 x 0,021 x 4 b) 0,1008

c) 3,01 100

1 4 x c) 1,2341

07. calcular o valor das potências:

respostas:

a) (0,04)3 a) 0,000064

b) (2,31)2 b) 5,3361

c) (0,001)4 c) 10-12

d) 2

0 0 11 1

d) 0,0121

Testes

01. 0,72 : 12 é igual aa) 6b) 0,6c) 0,06d) 0,006

02. se x = 2 : 0,002, o valor de x éa) 10 000b) 1 000c) 100d) 10

03. 7,4 x 0,2 e 7,4 : 0,2 valem, respectivamente,a) 14,8 e 37b) 14,8 e 3,7c) 1,48 e 3,7d) 1,48 e 37

04. o valor da expressão (0,8)2 : 4 éa) 0,16b) 0,016c) 0,0016 d) 1,6

05. o valor da expressão (0,012 + 1,5) : 16,8 éa) 0,06b) 0,15c) 0,09d) 0,14

06. a expressão 0,5 x 0,2 vale (0,1)2

a) 1b) 10c) 100d) 0,1

07. o valor da expressão 3,2 - 2 é 0,3 x 0,2a) 20b) 10c) 2d) 1

08. sejam as afirmações:

i ) 411 = 2,75

ii) 53 1 ≠ 2,6

iii) 0 3

7 = 0,2333...

iv) 31 = 0,3

são verdadeiras:a) i e iib) i e iiic) ii e ivd) iii e iv

09. ( ceFeT/2005) o valor de x +y na forma irredu-tível do número

32,1111

11

1

--

-=

yx

a) 7b) 30c) 37d) 67

10. (ceFeT/2006) se qp é fração irredutível equiva-

30

lente a ...333,2

. . . 6 6 6 6 , 5 , o valor de p + q é igual a:

a) 24b) 25c) 27d) 28

11. (UFMG) considere x,y e z números naturais.na divisão de x por y,obtém-se quociente z e resto 8.

sabe-se que a representação decimal de yx é a dí-

zima periódica 7,363636... então, o valor de x+y+z éa) 190.b) 193.c) 191.d) 192.

12. (ceFeT/05) um determinado trabalho é feito por joão em 9 dias, por josé em 12 e por pedro em 18. o número de dias que os três juntos gastariam para executar esse trabalho é

a) 4b) 6c) 7d) 8

13. (ceFeT/07) o valor de 2-N para a expressão

21

1- 22 -

+=N é igual a

a) ) 2 2 - 3 ( 4

b) ) 2 2 ( 21

+

c) 5d) 3

14. (ceFeT/2005) dados os números reais

5 2 , 0 z , 8

7 2 - y . . . 3 3 3 , 0 ===x , 5 2 , 0 z , 8

7 2 - y . . . 3 3 3 , 0 ===x , o valor da

expressão 21

zy x + é igual aa) -1b) 0c) 1d) 2

15. (ceFeT/2009) a um cliente de uma companhia telefônica foi oferecido o seguinte plano:

• gratuidade em 10 horas de ligação por mês• r$ 38,00 pela assinatura mensal• r$ 0,02 por minuto que exceder as 10 horas

considerando que o cliente contratou esse plano, e que o consumo foi de 17 horas e 23 minutos em outu-bro, e de 8 horas e 45 minutos em novembro, logo, sua despesa nos dois meses foi dea) r$ 84,86b) r$ 95,36c) r$ 96,86d) r$ 107,36

gabaritos

1c 2b 3d 4a 5c6b 7a 8b 9d 10a

11c 12a 13a 14a 15a

4 - Números Irracionais

números irracionais são números não racionais. nãopodem ser escritos na forma .* , zzbezzacom

ba

∈∈

estes números apresentam infinitas casas deci-mais não-periódicas.

exemplo: 0,1121231234...

também são irracionais:

( ) ( )2

3 , 2 3 , 3 2 , 2 3 , II , 5 , 3 , 2 -+P, ( ) ( )2

3 , 2 3 , 3 2 , 2 3 , II , 5 , 3 , 2 -+

5 - conjunto dos Números reais Ir

o conjunto ir = Q ∪ irracionaisirracionais = ir – QIN ⊂ z ⊂ Q ⊂ ir

irracionais

Qir - Q

Z

ir

IN

relação entre a reta Orientada e os Números reais

Princípios:I – a cada ponto da reta orientada fica associado

um único número real.II – cada número real fica associado a um único

ponto de reta orientada.

31

Intervalos na reta real (subconjuntos de Ir)

x < a a < x ≤ b x ≥ b

ba x ∈ ir

notação:a = {x ∈ ir / x < a} = ]-∞ , a[ (aberto em a, a ∉a)b = {x ∈ir / a < x < b} = ] a, b] (aberto em a e

fechado em b, a ∉ b e b ∈b)c = {x ∈ ir / x > b} = [b, + ∞ [ (fechado em b, b ∈c)

exemplo: a = {x ∈ ir / 2 < x < 5} e b = {x ∈ ir / 4 < x < 7}

determine: a ∩ b a ∪ b a – b b – a

a52

b74

a ∩ b

a ∪ b

54

72

a - b42

b - a75

respostas:a ∩ b = [ 4,5 ] = { x ∈ir /4≤ x ≤ 5 }a ∪ b = ] 2, 7 [ = { x ∈ir / 2 < x < 7 }

a – b = ]2, 4 [ = { x ∈ir / 2 < x < 4 }b – a = ] 5, 7 [ = { x ∈ir / 5 < x < 7 }

Potenciação em Ir

an = a .a .a... a (n vezes se n ∈ in e a ∈ ir )

nn

aa 1

=- (n ∈ z e a ∈ir *)

q pqp

aa =

Propriedades da potenciação em Ir.

a ≠ 0 e b ≠ 0 tem-se

i) a0 = 1 e a1 = a e 1n = 1ii) am . an = am + n iii) am : an = am - n

iv) (am)p = (ap)m = am . p v) (a . b)n = an . bn

vi) (a : b)n = an : bn

vii) nn

ab

ba

=

-

viii) q pqp

aa =

Potência de Dez

são potências de base 10.1º caso 2º caso100 = 1 10-1 = 0,1101 = 10 10-2 = 0,01102 = 100 10-3 = 0,001103 = 1000 10-4 = 0,0001

Aplicação0,0037 = 37 x 10-4

"deslocar vírgula para direita cria-se um fator que é potência de 10 com expoente negativo"

370000 = 37 x 104

"deslocar vírgula para esquerda cria-se um fator que é potência de 10 com expoente positivo"

Notação científica de uma grandeza

a medida de uma grandeza é representada na for-ma científica por uma expressão do tipo a . 10n, onde

a ∈ir e 1 < a < 10 e n ∈ z .exemplo: a forma científica de:i) 0,000034 = 3, 4 x 10-5

ii) 3400000 = 3,4 x 106

radiciação em Ir

=⇔= nbba=⇔= nbba a (n ∈ IN e n ≥ 2) •néoíndice(paran=2,raizquadradaen=3,

raiz cúbica) •aéoradicando(a∈ ir )•béaraiz(b∈ ir )

obs.: quando n=2, não o representamos, ape-sar de não ser errado!

exemplo:

( )( )( )( )( ) 8 2 2 8

5 2 ? 5 2

8 2 2 8

6 1 4 46 1

2

3

2

-=--=-

∉-=-

==

==

ir

33

3

(atenção)

32

n a ∈Ir se n é par (n ≠ 0) e a ∈ Ir+

se n é impar n ≠e a ∈ Ir

propriedades de radiação em ir (respeitando condição de existência em ir)

)0p( aa

)0p( aa

a

b aba

pn pmn m

pn pmn m

n

nn

nnn

≠=

≠=

=

⋅=⋅

÷ ÷

⋅ ⋅

ba

b ( )n m

n m n

mnn m m

n m

aa

aa

aa

aa

=

=

=

=

⋅

nm

m

v)

vi)

vii)

viii)

i)

ii)

iii)

iv)

Operações com radicais (respeitando condições de existência em Ir)

I - Adição/Subtração } radicais semelhantes

⇓ mesmo índice mesmo radicandoexemplo

26 2)473( 242723 =-+=-+

II - Multiplicação/Divisão

a) radicais com mesmo índice b) radicais com índices diferentes

exemplo

4 1 0 2 2x7)5x4(75x24 ==

5555 2448)32 1(4382 1 =÷÷=÷

i)

ii)

b) para multiplicar ou dividir radicais com índi-ces diferentes, reduzem-se os radicais ao mesmo índi-ce (m.m.c dos índices).

exemplo

5 1 1 15 1 55 1 6

35 2

a2 1a4.a3

a4.a3

=

i)

66 36 4

3 2

a4a3:a2 1

a3:a2 1

=

ii)

III - racionalização de uma fraçãoracionalizar uma fração com radical no denomi-

nador é obter uma fração equivalente sem radical no denominador.

obs.: o objetivo de racionalizarmos, é padro-nizar os resultados!

a a

aa.

a.1a 1

==1º caso) a

a

aa.

a.1a 1

==

a a

a.aa.1

a 1 n p-n

n p-nn p

n p-n

n p==2º caso)

obs. (a+b)(a-b) = a2 - b2

ba)b()a( )ba( )ba( 22 -=-=-+

ba ba

)ba).(ba( )ba.(1

ba 1

--

=-+

-=

+3º caso)


determine o valor de:

01. 5 . 3-2 + 3-1 – 4 x 40

resposta: -28/9

02. (b – a) : 2 + 2c, sendo a = (3/2)2; b = (2/5)-2 e c = (-1/2)-3

resposta: -14

03. 0,002 x 0,0003 x 108

0,1 x 60 x 103

resposta: 0,01

04. n2 se 1,5 x 0,5 x 0,001 = 7,5.10n

resposta: 16

05. 25x + 9y + 1 sendo 5x = 2 e 3y = 5

resposta: 229

06. (x : y) se x é a metade de 215 e y é o dobro de 210.

resposta: 8

33

07.

c b a , se a = (0,01)5; b = (0,1)10 e c = (0,001)6

resposta: 0,01

08. 10x+2

10x+1

resposta: 10

09. (a.b) sendo a = 0,18 x 103

0,12 x 102 e

b = 0,0012 x2 x 102 + 3 x 10-3

(0,3)2

resposta:40,5

10. 2

32 -

–

1

21 -

- +

1

41 -

-

resposta: 2,5 x 10-1

11. eFeTUe:

1) 0 8 120 83 + resp: 24 5

2) 5 72 12 - resp: 3-

3) 2 36 25.3 resp: 10 6 2 1

4) 4 3 : 6 3 2 resp: 6

47 2

32

5) 844 2:22.2 + resp: 84 28 +

12. SIMPLIFIQUe:

1) 6 4x resp: 6 4x

2) 6 4x resp: 3 2

3) 3 58x resp: 2x 6 4x

4) 3 542 yx resp: xy 3 2y x 2

5) 43

..

bbaba resp: 3 ba

6) 322

23

30 5

⋅+ resp: 2 a

7) 2 33 933 + resp: 3 3 2

13. rAcIONALIZe:

1) 32

3 resp: 33

2) 7 2

1x

resp: xx7 5

3) 5 332a

resp: aa

325 2

4) 2

1-x

resp: 2

2-+

xx

Testes

01. a população de uma colônia de bactéria e. coli dobra a cada 20 minutos. em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1000 bactérias por mililitro. no final do experimento, obteve-se um total de 4,096 × 106 bactérias por mililitro.

assim sendo, o tempo do experimento foi dea) 3 horas e 40 minutosb) 3 horasc) 3 horas e 20 minutosd) 4 horas

02. as bactérias são os menores organismos celulares e também os mais antigos e abundantes do mun-do. um dos segredos de tanto sucesso é a veloci-dade com que se multiplicam. bastam 20 minutos para que a população bacteriana consiga se dupli-car. dessa forma, se em um copo de leite existem inicialmente 2 × 103 bactérias, após 1 hora e 40 minutos, o número de bactérias que haverá nesse copo é:

a) 104 b) 105 c) 6,4 × 104

d) 6,4 × 103

03. sejam a = {x ∈ ir | 2 < x < 5} e b = {x ∈ ir | 4 < x}, subconjuntos de ir

podemos afirmar que:a) a – b ⊂ bb) a – b ⊂ ac) b – a ⊂ ad) a – b = ]2, 4[

34

04. seja a um número real diferente de 2 . então,

podemos afirmar que a expressão aa2

a2 2-

-

- , vale:

a) 2

b) 2

c) 2 – a

d) 2 + a

05. a medida de área de um círculo é de pr2, onde r é a medida do raio.

se a medida do lado de um quadrado é l a medida da diagonal do mesmo é l 2 . a razão entre me-didas a e b de duas grandezas, nessa ordem, é a/b.

com as informações acima, tem-se que, a razão entre as áreas de dois círculos que têm os raios as medidas da diagonal e do lado de um quadrado é:

a) 2b) 2 2c) 2p d) 4 2

06. considere ab

ab

babaE

+-

= , onde a = 1/2 e b = 4.

para se obter um número inteiro, basta adicionar e aa) –2/33 c) –2/11b) 2/33d) 2/11

07. considere os números 32a += e 244b -= . o valor de a2 + b é:

a) 3b) 5c) 7d) 9

08. os algarismos a e b formam os números ab e ba, no sistema de base 10. se a + b = 12, o valor de ab + ba é

a) 102b) 112 c) 122d) 132

09. a expressão 49:

51

31

65 2

+

- é:

a) 10-1

b) 2 × 10-1

c) 3 × 10-1

d) 4 × 10-1

10. os números p e q são tais que 3 < p < 6 e 18 < q < 36.

o maior valor possível de qp é:

a) 1/2b) 1/3c) 1/6d) 1/12

11. se a = 23,5, então:a) 6 < a < 8,5b) 8,5 < a < 10c) 10 < a < 11,5d) 11,5 < a < 13

12. sobre o número ( ) ( ) 32272121037m +-+=

foram feitas quatro afirmações:I- m é um número primo.II- m é um número irracional.III- m é um múltiplo de 42.IV- m é um número natural.

o número de afirmações falsas é:a) 1 b) 2c) 3d) 4

13. (ceFeT/2009) considere o número real a, tal que 0 < a < 1. entre os números abaixo, o maior que a é

a) a3

b) 0,8 ac) a2

d) a

14. (cOLTec/2007) suponha que r representa o conjunto dos números reais; q, o conjunto dos números racionais e n, o conjunto dos números naturais. sendo a={x ∈ r | x ≤ 7}, b={x ∈ q | x > 3} e c={x ∈ n | x > 6}, o conjunto que representa a ∩ b - c é

a) {x ∈ r | 3 < x < 7}.b) {x ∈ q | 3 < x < 7}.c) {x ∈ q | 3< x ≤ 7}.d) {x ∈ q | 3< x < 6}.

15. (cOLTec/2008) sendo a e b números reais, tais que a 3 − b − a + b 3 = 2 , então qual é o valor de a + b?

a) 2

b) 3

c) 3 + 1

d) 3 – 1

35

16. (cOLTec/2008) qual das sequências abaixo está na ordem crescente?

a) 73 1,2,1,

3 17

b) 73 1,1,2,

3 17

c) 2,73 1,1,

3 17

d) 2,73 1,

3 17,1

17. (cOLTec/2008) assinale a forma simplificada

de escrever a expressão ( )

152

34

3.33

3.3 -+

a) 27

3-

b) 3 23

c) 3–3 + 3 21

-

d) 1+ 33

18. (cOLTec/2009) se 5x = 4, então o valor da ex-

pressão 25 xx 51-+ seráa) 198b) 398c) 425d) 625

19. (cOLTec/2009) a sentença 37 : 32 . 25 – 3–1 . 93 + ( ) 6 3 . 2 . 3 equivale a:

a) 65 + 35 b) 26 + 315 c) 26 + 39 – 9 d) 25 . 325

20. (cOLTec/ 2011) considere estes númerosr = 210 x 310 x 510 ,s = 25 x 3 x 520 et = 220 x 310 x 510 .

é cOrreTO afirmar que:a) apenas r e s são divisíveis por 3010.b) apenas r e t são divisíveis por 3010.c) apenas s e t são divisíveis por 3010.d) os três números são divisíveis por 3010.

21. (cOLTec/2011) a altitude inflencia a variação de temperatura, assim, em uma mesma latitude, a cada acréscimo de 180m de altitude há ,em mé-dia, uma diminuição da ordem de 10c.

belo horizonte está, aproximadamente na mesma latitude de potosi, bolivia, contudo a altitude de belo horizonte é de , aproximadamente, 850m e a de potosi, 4000m.

considerando-se essas informações é cOrreTO afir-mar que, quando, em belo Horizonte ,é de 300 , em poto-si , ela é de, aproximadamentea) 6 0cb) 12,5 0cc) 47,5 0cd) 141 0c

22. (ceFeT/2010)o domínio positivo de uma função real f é o maior conjunto de números que possuem imagens positivas pela função.

a função real f, definida no conjunto dos naturais e

dada por ( ) ( )

2591)( 4

2

++⋅-

=n

nnfn

possui, como domí-nio positivo, o conjunto dos númerosa) pares.b) ímpares.c) múltiplos de 3.d) múltiplos de 4.

23. (ceFeT/2010) para realizar uma dinâmica em uma aula de matemática, a classe foi dividida em grupos de 7 participantes, e um deles deveria ser o líder. como o grupo de josé teve dificuldade para fazer essa escolha, ele propôs as seguintes etapas:

1- identificar-se com a letra a e aos seus colegas com as letras b, c, d, e, f e g.

2- pedir ao professor que escolhesse um número inteiro n maior ou igual a 2.131 e menor ou igual a 2.136.

3- iniciar a contagem de 1 até n, associando 1 para o aluno identificado com b, 2 para c e, assim por diante, até chegar a ele mesmo, identificado com a. depois continuar a contagem, recomeçando pelo b e, assim por diante, até se chegar ao nú-mero n.

4- tornar-se-á líder o aluno associado a n.

considerando essa situação, é INcOrreTO afirmar quea) o aluno a poderá ser o líder.b) o aluno c jamais será líder.c) o líder será o aluno d, se n = 2.132.d) o líder será o aluno f, se n = 2.133.

gabaritos

1d 2c 3b 4b 5a

6a 7d 8d 9c 10b

11c 12b 13d 14b 15c

16a 17c 18b 19a 20b

21b 22a 23c

36

PArTe 3

1 - Sistema Métrico

Decimal

1.1-Medidas de comprimento

a unidade fundamental para medir comprimen-tos é o metro. indica-se por: m.

também trabalhamos com múltiplos e submúlti-plos do metro:

Tabela de unidades para medir comprimentos

km hm dam m dm cm mm

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

cada unidade de comprimento é igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior.

ex.:12,45dm = 124,5cm ou 1,245 x 102cm 7,83dam = 0,783hm ou 7,83 x 10-1hm

utilizamos medidas de comprimento em geome-tria, por exemplo, para determinarmos o perímetro de uma figura.

PerÍMeTrO de um polígono é a soma das me-didas dos lados, utilizando sempre a mesma uni-dade de medida.

ex.: determine o perímetro do retângulo sendo as medidas de suas dimensões 24m e 18m.

18m

24 m

perímetro = 2 x 24m + 2 x 18mperímetro = 48m + 36mperímetro = 84m

obs: na circunferência, calculamos seu compri-mento por c = 2πr, sendo r o raio da circunferência. mais detalhes sobre esse assunto na parte 13.

1.2-Medidas de Superfície

Introduçãoa unidade fundamental para medir superfícies é

o metro quadrado. indica-se por: m2.da mesma forma, trabalhamos com múltiplos

e submúltiplos do m². cada unidade de superfície é igual a 100 vezes a unidade imediatamente inferior.

tabela de unidades para medir superfícies

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1000000m2

106m2

10000m2

104m2

100m2

102m2

1m2

1m2

0,01m2

10-2m2

0,0001m2

10-4m2

0,000001m2

10-6m2

Importante: denomina-se área a medida de uma superfície.

ex.:3,42m2 = 342dm2 ou 3,42 x 102dm2

12,16dam2 = 0,1216hm2 ou 1,216 x 10-1hm2

Medidas Agrárias

para medir grandes porções de terra usa-se uma unidade agrária denominada hectare (ha) e que é equivalente ao hectômetro quadrado (hm2).

os submúltiplos do ha são: o are (a) e o centiare (ca).

equivalências:1ha = 1hm2 1a = dam2 1ca = 1m2

1ha = 10000m2 ou 104m2

ex.: um quadrado de 1dm de lado tem 1dm2 de área. qual a medida em m2, da superfície desse qua-drado? 1dm2 = 0,01m2 ou 10-2m2

Áreas das Figuras Planas

abaixo, segue a área das principais figuras geométri-cas planas. os detalhes de cada uma estudaremos em outra unidade.

quadro de áreas na seguinte ordem: retângulo, triângulo, quadrado, paralelogramo, trapézio, losan-go, hexágono e círculo.

b

A = a . b

retângulo

a

Triângulo

h

b

A = b . h 2

37

Paralelogamo

h

b

A = b . h

Trapézio

h

b

b

A = (B + b) . h 2

d

d

A = D . d 2

Losango

23 3 6

2

q el

=D=Α

Hexágono

l

r

círculo

≈≈A pr2

(p 3,14)

1.3 Medidas de Volumea unidade fundamental para medir volume é o

metro cúbico. indíca-se por: m3.também trabalhamos com múltiplos e submúlti-

plos do m³, segundo tabela abaixo.

tabela de unidades para medir volumes

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

109m3 106m3 103m3 1m3 10-3m3 10-6m3 10-9m3

cada unidade de volume é igual a 1000 vezes a unidade imediatamente inferior.

ex.: 1) 32m3 = 32000dm3 ou 3,2 x 104dm3

2) 32000dm3 = 0,032dam3 ou 3,2 x 10-2dam3

Medida de capacidade

para medirmos capacidade, uma das unidades consideradas é o litro (l) e

importante: 1l = 1dm³

tabela de unidades de medida de capacidade

kl - hl - dal - l - dl - cl - ml

ex: 1) 32l = 3200cl ou 3,2 x 103 cl 2) 0,32dl = 0,0032dal ou 3,2 x 10-3dal 3) 120ml = 0,12l = 0,12dm3 = 120cm3

Volume de alguns sólidos geométricos

abaixo segue o cálculo de alguns sólidos geomé-tricos.

I) cubo

V= a3

••

•a

a

a

II) Paralelepípedo retângulo

V= a.b.c

c

a b

38

V= pr2. h

h

r

III) cilindro

•

r

V) esfera

V= 4. pr3

3

1.4 Medidas de Massaa unidade fundamental para medir massa é o gra-

ma. indica-se por: g.na tabela abaixo estão seus múltiplos e submúl-

tiplos.

tabela de medidas de massa

kg hg dag g dg cg mg1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

cada unidade de massa é igual a 10 vezes a unida-de imediatamente inferior.

importante: 1 tonelada = 1t = 1000kg

2 - Sistema Métrico não Decimal

2.1- Unidade de Tempo

dia Hora minuto segundo

↓ ↓ ↓ ↓

d h min s

tabela

1d = 24h 1h = 60min 1min = 60s

exemplos de transformações:01) 1h 56min 10s =60min + 56min + 10s =116min + 10s = 6960s + 10s = 6970s

02) 8472s = ?8472s : 60s 141min 12s141min : 60 min 2h 21min8472s = 2h 21min 12s

2.2- Unidade de Ângulo

Grau 1 grau = 1º

360º representa uma volta completa

Submúltiplos: minuto e segundo

1º = 60' 1' = 60''

radiano: rad

1rad corresponde a um arco da circunferência, de comprimento igual ao comprimento do raio.

2p rad = 360º → prad = 180º


01. determine o número de metros de arame neces-sários para cercar um terreno retangular medindo 0,01Km de frente por 250dm de fundo, se a cerca deve ter 5 fios de arame.

Resp.) 350m

02. determine, em metros quadrados, a área de um retângulo de perímetro 32dm, sendo a medida da base o triplo da medida da altura.

Resp.) 0,48m2

39

03. determine a área de um círculo de raio igual a 6 cm. use p=3,14.

Resp.) 113,04cm2

04. quanto se gastou para ladrilhar uma sala de 7,5 m de comprimento por 4,8 m de largura, sabendo-se que os ladrilhos usados são de for-ma quadrada, de 0,20 m de lado e custaram r$ 300,00 o cento?

Resp.) r$ 2700,00

05. na figura abaixo, abcd é um retângulo de perímetro igual a 48 m e cujo lado maior é o triplo do menor. determinar a área da região hachurada, sabendo-se que o ponto f pertence ao lado ab.

fa

d c

b

Resp. 54m2

calcule a área das figuras:

06. 4 cm

•

•

2 cm

2 cm

8 cm

• •

•

•

Resp. 24cm2

07.

4 cm

3 cm

7 cm

•

•

Resp. 16,5 cm2

08. abcd é um quadrado de lado 4cm. calcule a área hachurada, sendo AD e Bc diâmetro de uma semi-circunferência de mesmo raio.

a b

cd

use p=3,14.

Resp. 1,72 cm2

09. quantos vasilhames de 5 dl são necessários para engarrafar a bebida que está num barril de capa-cidade igual a 8,4 hl?

Resp.) 1680

10. um negociante compra 1,015m3 de vinho, pa-gando por hectolitro, r$ 2500,00. para lucrar r$ 10150,00 na venda de todo o vinho, determine o preço de venda de cada litro desse vinho.

Resp.) r$ 35,00

11. um trem parte de uma cidade A às 8 horas e 10 minutos e chega a uma cidade B às 15 horas e 55 minutos, com uma velocidade média de 36km/h. se a velocidade média fosse 30km/h, em que ho-rário teria chegado à cidade B?

resp.) 17 horas e 28 minutos

12. abcd é um quadrado de lado 4 cm. calcule a área hachurada.

Resp: 6,88 cm2

13. na figura abaixo, abcd é um retângulo de perí-metro igual a 48 m e cujo lado maior é o triplo do menor. determinar a área da região hachurada, sabendo-se que as duas curvas são semi-circunfe-

40

rências de centro o, sendo o raio da menor 2/3 do da maior.

A E O F B

D C

Resp: 178,65 cm2

14. abc é um triângulo equilátero cujo perímetro mede 180 cm e de altura igual a 52 cm; as curvas são semi-circunferências de diâmetro igual a 20 cm. calcular a área hachurada.

A

B C

Resp: 1089 cm2

15. abcd é um quadrado de lado 4 cm. calcule a área hachurada.

A

C

B

D

Resp: 9,12 cm2

Testes

01. o perímetro de um triângulo é 0,097m e dois de seus lados medem 0,21dm e 42 mm. a medida do terceiro lado, em centímetros, é:

a) 3,4 b) 5,29 c) 34 d) 52,9

02. uma mesa tem forma quadrada e seu perímetro é 480 cm. a área dessa mesa, em metros quadrados, é

a) 576 b) 144 c) 5,76 d) 1,44

03. carlos comprou um sítio medindo 1,84 ha. se o metro quadrado custou r$ 3,00, o total pago por carlos foi

a) r$ 5520,00 b) r$ 5200,00 c) r$ 52500,00d) r$ 55200,00

04. as dimensões de um tanque retangular são 1,5m; 2,0m e 3,0m. determine o menor tempo gasto para enchê-lo, com uma torneira de vazão 10l/min.

a) 15 horasb) 12 horasc) 10 horasd) 9 horas

05. uma sala de forma retangular tem 7,5m de compri-mento e 4,8m de largura. para ladrilhá-la, compram-se azulejos quadrados a r$ 300,00 o cento, pagando r$ 2700,00. o perímetro de cada azulejo é, em cm:

a) 60b) 70c) 80d) 90

06. uma corrida de automóveis tem início às 2h 10 min 42s. se o vencedor faz um tempo de 3 830 s, a que horas ele termina a prova?

a) 3 h 13 min 42 s b) 3 h 14 min 32 s c) 3 h 13 min 32 sd) 3 h 14 min 42 s

07. (cMBH/2008) a distância entre dois lados opos-tos de um hexágono regular mede 8 0 1 cm. o perímetro desse hexágono mede:

a) 36cmb) 36 √3c) 18cmd) 18 √3cm 08. o número de lotes de 360m2 que são obtidos ao se

dividir um sítio cuja área mede 6 hectares e 84 ares, é:a) 180 b) 190 c) 200d) 210

41

09. se uma pessoa percorre 3,6km em 12 minutos, a velocidade média dessa pessoa, em m/s, é:

a) 3,5 b) 4 c) 5d) 12

10. em um estacionamento para veículos, paga-se por hora ou fração de hora de acordo com a tabela1ª hora - r$ 2,002ª hora - r$ 1,903ª hora - r$ 1,804ª hora - r$ 1,705ª hora - r$ 1,60

a partir da 6ª hora - r$ 1,20 por hora ou fração. após p horas, um motorista retira seu veículo e deve pagar r$ 19,80. o valor de p, em horas, é:a) 12 b) 13 c) 14d) 15

11. (cMBH/2004) inscreve-se um quadrado em um círculo de raio r. a medida da área sombreada, em função de r é igual a:

a) p (r2 - 2 )b) p (r2 - 3 )c) r2 (p- 2)d) r2 (p- 1)

12. uma caixa d’água de 1000 litros tem um furo no fundo por onde escoa água a uma vazão constan-te. Às doze horas de certo dia, a caixa está cheia e, às dezoito horas, só tem 850 litros. a caixa ficará com água pela metade, no dia seguinte, às:

a) 9h b) 8h c) 7hd) 6h

13. (cMBH/2007) observe a figura

n

m s q

p

bb

12-a

2 a

ela representa um triângulo inscrito em um retângulo de base 12 - a e altura b. sabendo que ms = 2, qs = a e

que sp = np, podemos afirmar que a área do triângulo nps é igual a:

a) 2

3 . 7

b) 3 . 7

c) 2

6 . 7

d) 6 . 7

14. (cMBH/2006) uma parede de 484 m2 de área de um laboratório, foi revestida com cerâmicas qua-dradas de 0,11m de lado. sabendo-se que cada ce-râmica custou r$ 2,00 e que a mão-de-obra para colocação foi de r$ 85,00 por m2, o custo total do revestimento, em reais, foi igual a:

a) 121140b) 121150c) 121160d) 121170

15. um recipiente tem a forma de um cubo de ares-ta medindo 2dm. uma pedra é jogada dentro do cubo quando este estava totalmente cheio de água e fica totalmente submersa. retirando a pedra, o nível da água no cubo baixa de 1dm. o volume da pedra, em litros, é:

a) 2b) 4c) 6d) 8

16. (cMBH/2004) a figura abaixo está decompos-ta em 3 quadrados, identificados por b, i e c, e um triângulo isósceles, identificado por e. a ra-zão entre o total das áreas das figuras identifica-das por vogais e das identificadas por consoantes, nesta ordem, pode ser indicada por:

ebi c 3

a)

5 2 ) e

0 1 3 ) d

2 1 5 ) c

0 8 7 2 ) b

3 1 a)

b)

5 2 ) e

0 1 3 ) d

2 1 5 ) c

0 8 7 2 ) b

3 1 a)

c)

5 2 ) e

0 1 3 ) d

2 1 5 ) c

0 8 7 2 ) b

3 1 a)

d)

5 2 ) e

0 1 3 ) d

2 1 5 ) c

0 8 7 2 ) b

3 1 a)

42

se a área do trapézio é s, então a área do triângulo pqr é

a)

S 8 5 ) d S

8 3 ) c

S 3 5 ) b S

5 3 ) a

b)

S 8 5 ) d S

8 3 ) c

S 3 5 ) b S

5 3 ) a

c) S 8 5 ) d S

8 3 ) c

S 3 5 ) b S

5 3 ) a

d)

20. (ceFeT/2008) uma piscina foi projetada em for-ma de um retângulo cujo comprimento é o triplo da largura, conforme fig. 1. antes de ser cons-truída, seu proprietário decidiu modificá-la, con-forme fig. 2, na qual AB, Bc e cD são diâmetros dos semicírculos anexados.

se o preço da construção for proporcional ao seu pe-rímetro, e o custo da primeira piscina com 16 m de comprimento for de r$ 1.888,00, então o segundo projeto custará(use: π = 3,14)a) r$ 2.465,20b) r$ 2.590,40c) r$ 2.535,80d) r$ 2.560,60

21. (cOLTec/2007) neste trecho de morte e vida severina:

essa cova em que estás,com palmos medida,

é a cota menorque tiraste em vida.

faz-se uma referência a dois tipos de medida: palmos e cova.

segundo o inmetro, um palmo tem 22cm, en-quanto uma polegada mede a oitava parte de um palmo.

considerando-se que uma cova tem 28 polegadas de profundidade, a profundidade de uma cova em cen-tímetros éa) 10,18.b) 101,81.c) 7,7.d) 77.

17. (ceFeT/2009)na geometria plana, quando são conhecidos os três lados a, b e c de um triângulo qualquer, é possível calcular a área s sem neces-sidade da determinação de sua altura, utilizando a fórmula de Heron: s= ( ) ( ) ( )cpbpapp --- ,em

que2

cbap ++= é o semiperímetro.

considere a figura abaixo de um terreno triangular cujos lados medem 4x – 2, 2x +2 e 2x, com área e perí-metro de mesmo valor numérico.a área deste terreno é igual a:

2xterreno

2x + 2

4x - 2

a) 24b) 26c) 28d) 30

18. (ceFeT/2009) sobre um mesmo segmento, são marcadas as temperaturas de duas escalas termo-métricas conforme mostra a figura.

e1 6

15

18

33e2

se a temperatura em e1 for ______, então, a corres-pondente em e2 será ____.

a opção que completa, cOrreTAMeNTe as lacu-nas éa) 0 e 7b) 10 e 21c) 15 e 24d) 30 e 75

19. (ceFeT/2008) no trapézio abcd da figura abaixo, as bases ab e cd estão divididas em partes iguais.

d r m cqn

a p t b

S 8 5 ) d S

8 3 ) c

S 3 5 ) b S

5 3 ) a

43

22. (cOLTec/2008) uma torneira, com vazão cons-tante de 6 litros por segundo, enche um tanque com forma de um paralelepípedo de 6m de altura, 3m de comprimento e 5m de largura.

o volume da água no tanque pode ser calculado pelo produto entre a área da base do tanque e a altura da coluna de água.

a altura da coluna de água, depositada no tanque, au-menta com o tempo, em cm/s, na taxa de:a) 0,02b) 0,04c) 0,12d) 0,20

23. (cOLTec/2009) observando os dados da tabela, pode-se concluir que em 1 litro de sangue, o total, em mg, de uréia e ácido úrico, é aproximadamente

a) 240b) 340c) 380d) 480

24. (cOLTec/2009) usain bolt bateu o recorde mundial na prova dos 100 m rasos nas olimpía-das de pequim. ele obteve o tempo de 9 segundos e 69 centésimos do segundo na final. especialistas consideram que brevemente ele correrá essa dis-tância em 9 segundos e 6 décimos do segundo, ou menos. para fazer esse último tempo ele deverá correr a uma velocidade média de:

a) 26,66 km/hb) 37,5 km/hc) 96 km/hd) 375 km/h 25. (ceFeT/2007) os elementos x e y pertencem a

um conjunto de 100 números cuja média aritmé-tica é 8,55. retirando-se x e y, a média aritmética dos elementos restantes passará a ser 7,5. saben-do-se que 3x – 2y = 85, então, x é igual a

a) 55b) 65c) 75d) 80

26. (ceFeT/2007) certa cerâmica é vendida em caixas fechadas com 40 unidades cada. as peças são quadrados de 30 cm de lado. sabendo-se que há uma perda de 10%, devido à quebra no as-sentamento, e que o preço da caixa é r$ 36,00, o valor gasto somente com esse material para re-vestir 240 m de piso é

a) r$ 2 640,00b) r$ 2 696,00

c) r$ 2 728,00d) r$ 2 760,00

27. (cOLTec/2011) míriam, emanuelle, víctor e Henrique propuseram-se investigar o consumo de energia durante o banho, usando chuveiro elé-trico.considerando as informações contidas num manual do chuveiro de suas casa e ultilizando um cronômetro, cada um deles mediu a duração do próprio banho. a partir da análise dos dados fornecidos no quadro, é cOrreTO afirmar que, entre os quatros alunos, quem consumiua maior quantidade de energia durante o banho foi

a) emanuelle.b) Henrique.c) míriam.d) víctor.

28. (cOLTec/2011) é cOrreTO afirmar que, para obter consumao igual ao de mirian, o tempo de banho de emanuelle deve ser de

a) 6 minutos e 15 segundos.b) 12 minutos e 30 segundos.c) 12 minutos e 50 segundos.d) 16 minutos.

29. (cOLTec/2011) considere duas retas paralelas, s e t. os pontos a e e pertencem à reta s e os pon-tosm, g, j e K pertencem à reta t

com base nessas informações, é cOrreTOa) a área do triângulo age é maior que a área do

quadrilátero amge.b) a área do triângulo ame é menor que a área do

triângulo aje.c) a área dos triângulos ame, age, aje e aKe é

igual.d) o perímetro do triângulo ame é igual ao períme-

tro do triângulo aje.

30. (ceFeT/2011) um ciclista partiu do centro de belo Horizonte até a serra do cipó, percorrendo 100 km em 4 horas e voltou ao local de origem, gastando 5 horas.

44

portanto , a velocidade média durante todo esse trajeto em k/h é de:

a) 305

b) 9

002

c) 9

052

d) 3001

31. (ceFeT/2011) no loteamento recanto verde, um professor comprou uma chácara, cujo terreno tem forma retangular e dimensões 40 m x 90 m. ele pretende cercar essa área com estacas de ci-mento distanciadas de 2,5 m uma da outra. o nú-mero de estacas necessário para cercar todo esse terreno é

a) 102b) 103c) 104d) 108

gabaritos

1a 2d 3d 4a 5c

6b 7b 8b 9c 10c

11c 12b 13d 14a 15b

16d 17a 18b 19c 20d

21d 22b 23b 24b 25b

26a 27c 28b 29c 30b

31c

PArTe 4

1 - razões entre Dois Números reais

a razão entre duas grandezas de mesma natureza é o quociente dos números que exprimem as suas me-didas, na mesma unidade.

sejam a e b dois números reais que expressam es-

sas grandezas. dizemos que ou a : b é a razão entre

as grandezas, onde a é o antecedente e b o consequen-te (lê-se razão de a para b ou a está para b).

ex.: um retângulo a tem 10cm e 15cm de dimen-sões e um retângulo b tem 8cm e 12cm de dimensões. então, a razão entre seus perímetros é 5/4 ou 4/5.

utilizamos várias razões no nosso dia a dia:

velocidade média = distância percorrida tempo gasto

densidade = massa volume

escala = comprimento no desenho comprimento real

densidade demográfica = número de habitantes área

porcentagem: a% = a 100

porcentagem é uma razão cujo termo conse-quente equivale a 100. logo, podemos escrever a porcentagem em forma decimal:

30% = 30100 = × 0,30 = 0,3

2 - Proporção

é uma igualdade de duas ou mais razões.

dcbauoKdc

ba :: === K ou a : b = c : d

45

Propriedade Fundamental das Proporções

dcbauoKdc

ba :: === a.d = b.c isto é, o produto dos extre-

mos é igual ao produto dos meios.

ex.: numa maquete de escala 1/40, a altura de um prédio é de 80cm. logo, a altura real do mesmo é 32m.

x0 8

0 41

= x = 3200 cm ou x = 32m

obs: os termos presentes nos meios podem trocar entre si, assim como os extremos.

ex: dcbauoKdc

ba :: === é mesmo que

db

ca=↔ .

Propriedades das Proporções

dcbauoKdc

ba :: ===

I) a ±b = c ±d ou a ±b = c ±d a c b d

II) a ±c = a ou a ±c = c b ±d b b ±d d

III) a .c = a2 ou a .c = c

2

b . d b2 b . d d2

3 - Sequências diretamente propor-cionais e inversamente proporcionais

a sequência de números x, y e z é diretamente proporcional à seqüência de números a, b e c se

kcz

by

ax

===

ex.: os números 6, 8 e 15 são proporcionais, nes-sa ordem, aos números 12, 16 e 30, também nessa or-dem. verifique!

a sequência de números x, y e z é inversamente proporcional à seqüência de números a, b e c

se c

z

b

y

a

x111 == , ou a .x = b . y = c . z

ex.: os números 12, 15 e 20, nessa ordem, são in-versamente proporcionais, respectivamente, aos nú-meros 10, 8 e 6. verifique!

Divisão Proporcional

I) dividir o número 360 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5.

kzyx===

532 x = 2k, y = 3k e z = 5k

x + y + z = 360 2k + 3k + 5k = 360

k = 36

logo, x = 2 . 36 = 72 y = 3 . 36 = 108 z = 5 . 36 = 180

II) dividir o número 130 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

⇒=++⇒=++

===⇒===

0 3 1432

0 3 1

4

3 ,

251

31

21

kkkzyx

kzekykxkzyx

0 2 10 3 12 1 3 1

=⇒=⇒ kk

logo,

0 34

0 2 1

0 43

0 2 1

0 62

0 2 1

=⇒=

=⇒=

=⇒=

zz

yy

xx

4 - Grandezas Proporcionais

Grandezas Diretamente Proporcionais

duas grandezas são diretamente proporcionais, quando variam sempre na mesma razão.

Ex.: distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la com velocidade constante.

Grandezas Inversamente Proporcionais

duas grandezas são inversamente proporcionais quando variam, uma na razão inversa da outra.

Ex.: o número de operários (com mesmo índice de produção) e o tempo que eles gastam para executar uma tarefa.

5 - regra de Três

regra de Três Simples: é um processo matemático utilizado para resol-

ver problemas que envolvem somente duas grande-zas proporcionais.

46

Ex. 1: uma vara de 2m, quando colocada verti-calmente produz uma sombra de 60cm. determine a altura de um prédio que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12m.

2m –– 0,60m mxxx

046,042

216,02

=⇒=⇒=⇒

x –– 12m (d)

Ex. 2: para paginar um livro que tem 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. determine o número de páginas com 30 linhas por páginas, que são necessárias para paginar esse livro.

45 –– 280 30 –– x ( i )

0 2 40 3

5 4 x 0 8 25 40 30 8 2

=⇒⇒= xxx

págs.

regra de Três composta: utilizada para resolver problemas que envolvem

três ou mais grandezas proporcionais.

Ex. 1: se 16 homens gastam 10 dias montando 32 máquinas, determine o número de dias que 20 ho-mens necessitarão para montar 60 máquinas.

16h –– 10d –– 32 máq20h –– x –– 60 máq( i ) –– ( d )

diasxxx

x51

0661230201

=⇒=

Ex. 2: em uma fragata, havia víveres para ali-mentar uma tripulação de 18 homens durante 12 dias. após o quarto dia de viagem, esta fragata recolheu 6 náufragos. determine o número de dias que o alimen-to existente a bordo deverá durar.

16h –– 4d –– 4/1224h –– x –– 8/12( i ) –– ( d )

.68814424 saidx

xx

x=⇒=

6 - Porcentagem

Porcentagem ou Taxa de Porcentagem

é toda razão de conseqüente 100.

ex.:

2 0 , 0%2%20 0 1

2

5 3 , 0%5 3%5 30 0 1

5 3

=⇒=

=⇒=

podemos aplicar porcentagem através da re-gra de três. basta colocar o valor total como 100%.

Ex. 1: 20 corresponde a que taxa percentual de 400?

i) resolvendo por regra de três simples:I) 400 –– 100%

ou 5 = 5%0 0 4

0 0 1 x 0 2=⇒ x 20 –– x

ii) resolvendo de forma direta:

II) %550,050,0004

02=⇒=

Ex. 2: 20% de “qual valor” é igual a 120.20% –– 120

0 0 6ou 0 0 60 2

0 2 1 x 0 0 1=⇒==⇒ xx100% –– x

Operações de compra e Venda:

problemas relacionados com compra e venda de mercadorias com lucro ou prejuízos referentes a preço de custo e preço de venda.Exemplos:

a) vendi uma mercadoria com lucro de 35% sobre o preço de custo, por r$ 2700,00. qual o lucro obtido?

Solução:o lucro de 35% refere-se ao preço de custo, por-

tanto, o preço de custo é nosso referencial e a ele atri-buímos o porcentual 100. temos as seqüências direta-mente proporcionais:

preço de custo ...... 100% ............ xlucro .................. 35% ............... y preço de venda .... 135% ............ 2700.e a proporção:

0 075 3 1

0 0 7 2. x 5 3 onde 5 3 1

0 0 .7 25 3

y0 0 1

x==== y

portanto, o lucro obtido é de r$ 700,00. observe

que não seria correto calcular 35% de r$ 2.700, pois esse valor corresponde ao preço de venda da merca-doria, e o lucro foi calculado sobre o preço de custo.

47

b) comprei uma mercadoria por r$ 1440,00 e a vendi com um lucro de 20% sobre o preço de venda. qual o preço de venda desta mercadoria?

Solução:

o lucro de 20% refere-se ao preço de venda, por-tanto, o preço de venda é nosso referencial e a ele atri-buímos o porcentual 100. temos as seqüências direta-mente proporcionais:

preço de custo ......80% .............. 1440lucro .....................20% ............. x preço de venda .....100%.......... ye a proporção

10002081440 yx

==

088.108

044.1100001

05208

044.1===

xydondeyx

portanto o preço de venda é de r$ 1800,00. ob-serve que não seria correto calcular 25% de r$ 1440,00 já que este valor é o preço de custo e o porcentual dado refere-se ao preço de venda.

c) vendi uma mercadoria por r$ 13500,00 com prejuízo de 10% sobre o preço de custo. qual o preço de custo desta mercadoria?

Solução:

o prejuízo refere-se ao preço de custo e, portan-to, o nosso preço de custo é o nosso referencial e a ele atribuímos o porcentual 100. temos as sequências diretamente proporcionais:

preço de custo ...... 100% ..... xprejuízo.................. 10% ..... y preço de venda...... 90% ..... 13500 e a proporção:

000.4%511

006.400100151511

006.4====

xydondeyx

portanto o preço de custo foi de r$ 15.000,00.

d) comprei uma mercadoria por r$ 4.600,00 e vendi com um prejuízo de 15% sobre o preço de ven-da. qual o preço de venda?

Solução:

o prejuízo é sobre o preço de venda, e, portanto, o nosso referencial é o preço de venda. a ele atribuímos o porcentual 100. temos as seqüências proporcionais:

preço de custo ...... 115% ...... 4.600prejuízo ................. 15% ...... x

preço de venda ..... 100% ...... ye a proporção:

000.4%511

006.400100151511

006.4====

xydondeyx

e) um objeto foi comprado por r$ 8.000,00 e ven-dido a r$ 10.000,00. determine o porcentual de lucro.

I) sobre o custo.II) sobre a venda.

Solução:

I) para determinarmos o porcentual de lucro so-bre o preço de custo (este será o referencial) a ele atri-buímos o percentual 100. temos as seqüências direta-mente proporcionais:

preço de custo ....... 100% .............8.000lucro ...................... x% ............... 2.000preço de venda....... y%...............10.000

5 20 0 0 . 8

0 0 0 . 2 0 0 1 x donde0 0 0 . 80 0 1

0 0 0 . 8===

xx

portanto o porcentual de lucro sobre o preço de custo é de 25%.

II) para determinarmos o porcentual de lucro sobre o preço de venda (este será o referencial) a ele atribuímos o percentual 100. temos as seqüências di-retamente proporcionais:

preço de custo ...... x% ....... 8.000preço de venda ..... 100% ....... 10.000lucro ...................... y% ....... 2.000

0 2 0 0 0 . 0 1

0 0 0 . 2 0 0 1y donde y

0 0 0 . 20 0 1

0 0 0 . 0 1===

x

portanto o porcentual de lucro sobre o preço de venda é de 20%.

7 - Juros Simples

Juro é toda compensação que se paga ou recebe por um valor (capital) que se pede emprestado ou que se empresta. essa compensação, sendo “parte” do capital, pode ser indicada em taxa percentual (taxa de juros). essa taxa de juro incide sobre o capital inicial, tantas vezes quantos forem os períodos de aplicação (tempo), portanto sem percentuais corrigidos (acumulados).

esse é o regime de Juros Simples.

Montantemontante é o total que se paga ou recebe no final

do empréstimo.

m = c + j

Indica-se: montante = m (capital final)

48

Importante:a) quanto não se explicita o “tempo” da taxa per-

centual, considera-se período anual.b) comercialmente tem-se que

1 mês = 30 dias e 1 ano = 360 dias


01. a largura de um automóvel é 2m. uma miniatura do mesmo foi construída na escala 1:40. determi-ne, em cm, a largura da miniatura.

resp.) 5cm

02. a distância entre são paulo e brasília é 1150km. determine a velocidade média de um veículo que fez esse percurso em 12 horas e 30 minutos.

resp.) 92km/h

03. dois atletas foram correr em uma pista. o primei-ro percorreu 1800m da pista em 5 minutos e o se-gundo percorreu a mesma distância em 6 minu-tos. determine a velocidade média de cada atleta.

resp.) 6m/s e 5m/s

04. o número 105 foi dividido em 3 partes de modo que a 1ª está para a 2ª, assim como 2 está para 3 e a 2ª está para a 3ª, assim como 4 está para 5. de-termine, das três partes, o valor da maior.

resp.) 45

05. uma lebre está 80 metros à frente de um cão que a persegue. enquanto a lebre percorre 19 metros, o cão percorre 21 metros. determine quantos me-tros o cão deverá percorrer para alcançar a lebre.

resp.) 840m

06. uma roda de 24 dentes engrena-se com outra de 16. determine quantas voltas dá a menor, en-quanto a maior dá 150 voltas.

resp.) 225

07. I- uma mercadoria foi comprada por r$ 6000,00 e

vendida por r$ 7500,00. o lucro em relação ao preço de custo é a%.

II- uma mercadoria foi comprada por r$ 6000,00 e vendida por r$ 7500,00. o lucro em relação ao preço de venda é b%.

III- uma mercadoria foi comprada por r$ 8000,00 e vendida por r$ 6400,00. o prejuízo em relação ao preço de custo é c%.

determine o valor de a% + b% + c%.

resp.) 65%

08. em quanto tempo um capital triplica a 20%, no regime de juros simples.

resp.) 10 anos

09. a média aritmética de um conjunto de 50 núme-ros é 26. se retirarmos os números 80 e 20 desse conjunto, qual será a média aritmética dos núme-ros restantes?

resp.) 25

Testes

01. o valor de x no sistema

==

=+

425

18zyx

zx é:

a) 25 b) 35 c) 45d) 55

02. ao dividir um certo número em partes direta-mente proporcionais a 3, 4 e 5, a maior parte su-pera a menor em 12 unidades.o número é igual a:

a) 60 b) 72 c) 84d) 96

03. duas pessoas formam uma sociedade. a primeira aplicou durante um ano o capital de r$ 15000,00 e a segunda r$ 12000,00 durante um ano e 6 meses. do lucro de r$ 16500,00 a primeira recebeu, em r$:

a) 6500,00 b) 7000,00

49

c) 7200,00d) 7500,00

04. (cMBH/2004) numa escola, a nota total g é dada pela soma das notas de participação e de discipli-na, que são, nesta ordem, diretamente propor-cional e inversamente proporcional ao número t de tarefas realizadas num determinado período. sendo t ≠ 0 e c ≠ 0, onde c é a constante de pro-porcionalidade em ambos os casos, a nota total g, em função de t, é:

( )

( )

( )t

tctG

tcttG

ccttG

cttG

tctG

1 ) ( ) e

1 ) ( ) c

1 ) ( ) c

2) ( ) b

2) ( ) a

2

2

2

+=

+=

+=

=

=

d

( )

( )

( )t

tctG

tcttG

ccttG

cttG

tctG

1 ) ( ) e

1 ) ( ) c

1 ) ( ) c

2) ( ) b

2) ( ) a

2

2

2

+=

+=

+=

=

=

d)

05. três pessoas formam uma empresa com os capitais de r$ 200000,00, r$ 300000,00 e r$ 600000,00. o segundo sócio entra na empresa um mês após o primeiro, e o terceiro entra na empresa um mês após o segundo. sabendo-se que, após 10 meses de funcionamento, o terceiro sócio teve um pre-juízo de r$ 84000,00 a mais que o primeiro, o prejuízo total da empresa, em r$, foi de:

a) 270000,00 b) 285000,00 c) 300000,00d) 315000,00

06. se 20 operários fazem uma obra em 30 dias tra-balhando 6 horas por dia, o número de operários para fazer a mesma obra em 10 dias trabalhando 12 horas é:

a) 20 b) 25 c) 30d) 35

07. um trabalho é feito por um operário em 20 dias. o número de dias para fazer um trabalho três vezes mais difícil com um operário duas vezes mais capaz, é:

a) 15 b) 18 c) 20d) 30

08. um operário faz um trabalho em 40 dias, com uma jornada de 10 horas por dia.o número de dias necessários para fazer um outro trabalho, 1/5 mais difícil, por um operário de capacidade 1/3

menor que o primeiro, com uma jornada de 12 horas por dia, é:

a) 45 b) 54 c) 60d) 64

09. num acampamento avançado, 30 soldados dis-põem de víveres para 2 meses. se mais 90 sol-dados chegam ao acampamento, este ficará sem abastecimento por quantos dias?

a) 30 diasb) 25 diasc) 36 diasd) 45 dias

10. um granjeiro tem ração para alimentar 32 gali-nhas durante 22 dias. após 4 dias, resolve com-prar mais 4 galinhas. se a ração de cada galinha não foi diminuída, as provisões durarão, em dias:

a) 16 b) 15 c) 14d) 12

11. (cMBH/2005) dagoberto comprou uma gela-deira e optou por pagar em duas parcelas iguais, sendo uma no ato da compra e a outra trinta dias depois. o preço à vista da geladeira é r$ 2200,00 e os juros mensais cobrados pela loja, 20%. portan-to, a entrada foi igual a:

a) r$ 1250,00b) r$ 1320,00c) r$ 1200,00d) r$ 1210,00

12. (cMBH/2006) um estudante gasta 20% de sua bolsa de estudo com transporte.se o transporte aumenta 26% e a bolsa 5%, a porcentagem da bol-sa que este estudante passará a ter para gastar com transporte será de:

a) 21%b) 22%c) 23%d) 24%

13. (cMBH/2006) em um orfanato foi feito um le-vantamento da situação familiar das crianças, ou seja, a quantidade de crianças que conheciam seus pais ou familiares.constatou-se que 4% delas não se lembravam de nenhum desses familiares, 8% lembravam-se de todos eles, 15% apenas dos pais(pai e mãe) e 13% apenas da mãe e irmãos. sabendo que 40% não se lembravam da mãe, pode-se afirmar que p percentual de crianças que tinham recordações da pai ou dos irmãos era:

a) 50%

50

b) 76%c) 72%d) 56%

14. (cMBH/2004) um lote foi vendido por r$ 20.700,00, com um lucro de 15% sobre o valor inicial; em seguida, revendido por r$ 22.770,00. o lucro total das duas transações, em relação ao valor inicial, equivale a um percentual de:

a) 25%b) 26,5%c) 34%d) 36% 15. (cMBH/2006) um engenheiro planejou uma lei-

tora ótica que lê 5000 cartões-resposta em 10 mi-nutos.ele espera conseguir planejar uma segunda máquina de tal forma que ambas, operando jun-tas, leiam 27000 cartões-resposta em 15 minutos. assim sendo, a segunda máquina sozinha demo-raria pra ler 9100 cartões-resposta em x minutos.

o valor de x

1 é:

a) a5

b) 1 12 2

c) 1 16

d) 71 17

16. (cMBH/2008) uma loja promoveu dois descon-tos sucessivos no preço de uma mercadoria. o primeiro desconto foi de 12% e o segundo, de 5%. esses dois descontos sucessivos equivalem a um desconto único de:

a) 15%b) 16%c) 16,2%d) 16,4%

17. (ceFeT/2009) um produto com embalagem de 500 ml está em promoção, no supermercado A, por r$ 9,60. esse mesmo produto é vendido em embalagem de 250 ml, no supermercado B, por

r$ 7,68. se os 500 ml forem adquiridos em B, paga-se a mais

a) 50%b) 55%c) 60%d) 65%

18. (ceFeT/2008) na divisão de dois números intei-ros e positivos, o quociente obtido é 18 e o resto é igual ao divisor menos 2 unidades. sendo a dife-rença entre o dividendo e o divisor igual a 106, o resto é um número

a) primob) ímparc) múltiplo de 2d) par e maior que 8

19. (ceFeT/2008) num laboratório, foram reali-zadas misturas com os líquidos i (l1) e ii (l2), obtendo-se as soluções s1, s2, s3 e s4 da seguinte forma:

•emS1, foi usado somente l1. •emS2, 90% de s1 e 10% de l2. •emS3, 90% de s2 e 10% de l2. •emS4, 90% de s3 e 10% de l2.

desse modo, s4 apresentará uma concentração de l2 igual aa) 25,6%b) 27,1%c) 32,4%d) 35,8%

20. (ceFeT/2008) num reservatório com 280 litros de água, foram acrescentados 3/20 de sua capaci-dade. se ainda faltam 57% para encher totalmente esse reservatório, então a quinta parte do restante, em litros, é igual a

a) 114b) 116c) 118d) 120

21. (ceFeT/2008) duas impressoras produzem 330 cartazes em 3 horas de trabalho.

sabendo-se que uma delas é 20% mais rápida que a outra, o número de cartazes que a mais lenta im-primiria em 4 horas e 48 minutos seria de

a) 212b) 220c) 232d) 240

51

25. (cOLTec/2009) uma empresa comercializa bis-coitos em embalagens no formato de cilindro.

para aumentar o volume de biscoitos por emba-lagem, é preciso aumentar o raio da base do cilin-dro em 10%. o volume do cilindro é o produto da área do circulo da base pela altura.

considerando que a empresa não mudou a altu-ra da embalagem, o volume de biscoitos da nova embalagem aumentou

a) 10%b) 11%c) 20%d) 21%

26. (cOLTec/2009) a loja eletrochico aumentou inicialmente os preços de alguns eletrodomésti-cos em 20% com o objetivo de fazer, na semana seguinte, uma promoção em que dará como des-conto 20% sobre o novo preço. na realidade essa promoção, em relação ao preço original, ofereceu:

a) nenhum descontob) 4% de descontoc) 4% de aumentod) 10% de desconto

27. (ceFeT/2006) os médicos recomendam para um adulto 800 mg de cálcio por dia e informam que 1 litro de leite contém 1880 mg de cálcio. se um adulto tomar 200 ml de leite, o percentual da dose diária recomendada de cálcio que ele absorve é

a) 17%b) 27%c) 37%d) 47%

28. (ceFeT/2006) para fazer 22 pães, um padeiro utiliza 1 quilo de farinha de trigo, 7 ovos e 200 gramas de manteiga. o maior número de pães que ele conseguirá fazer com 13 quilos de farinha, 56 ovos e 4 quilos de manteiga é

a) 160b) 176c) 216d) 228

29. (ceFeT/2006) sobre o preço final do produto de uma fábrica, gastam-se 1/5 com impostos, 1/4 com salários, 30% com matéria-prima e o restante é lu-cro. o percentual representado pelo lucro é

a) 15%b) 20%c) 25%d) 30%

30. (ceFeT/2007) um recipiente contém 2.375 litros de uma mistura de combustível, sendo 4% de álco-ol puro. o número de litros de álcool que se deve

22. (cOLTec/2007) na eleição para presidente da ilha de santa cruz, concorreram os seguintes candidatos: sapo, chuchu, pimenta, doidim e nobody, que obtiveram estes resultados no pri-meiro turno:

candidato Porcentagem de votos

sapo x

chuchu metade dos votos do sapo

pimenta 15%

doidim 4%

nobody 1%

brancos e nulos 14%

um segundo turno acontece, caso não haja um candidato que tenha obtido, no primeiro turno, mais de 50% dos votos válidos (total de votos me-nos os brancos e nulos). no segundo turno, con-correm os dois candidatos com maior votação no primeiro turno.

assim, podemos afirmar que, na eleição da ilha de santa cruz,a) não houve segundo turno.b) houve segundo turno entre pimenta e chuchu.c) houve segundo turno entre sapo e chuchu.d) houve segundo turno entre sapo e pimenta.

23. (cOLTec/2007) a loja rainha do lar fez uma promoção no início da copa do mundo de 2006, oferecendo 30% de desconto no preço de todos os modelos de televisão. com a desclassificação da seleção brasileira, a loja resolveu descontar mais 30% sobre o preço das tvs até o final da compe-tição. assim o desconto total, em relação ao preço anterior às promoções, foi de

a) 36%.b) 51%.c) 60%.d) 63,6%.

24. (cOLTec/2009) os cérebros de vinte camun-dongos pesam juntos 36 g. cada um desses cére-bros tem peso diferente. se, em média, o cérebro de um camundongo equivale a 4,8% do seu peso total, então o peso estimado desses vinte camun-dongos, em kg, é

a) 0,60b) 0,75c) 1,25d) 1,50

52

acrescentar a esse recipiente para a nova mistura ter 5% de álcool é

a) 20b) 23c) 24d) 25

31. (cOLTec/2010) sabe-se que, no distrito fede-ral, a taxa de mortalidade por gripe suína foi de 0,07 pessoa em 100 mil habitantes, o que repre-sentou 2 mortes.

com base na leitura do texto e nessas informações, é cOrreTO afirmar que a população do distritofede-ral é de, aproximadamente,a) 1 809 455 habitantes.b) 2 857 142 habitantes.c) 3 220 980 habitantes.d) 5 122 456 habitantes.

32. (cOLTec/2010) para se esvaziar o tanque de uma empresa, utilizam-se duas bombas. para fa-zer todo o serviço sozinhas, uma gasta 6 horas; e a outra, 8 horas.

é cOrreTO afirmar, então, que, para esvaziar esse tanque, utilizando-se, ao mesmo tempo, as duas bom-bas, serão necessáriosa) de 2 horas e 45 minutos a 3 horas.b) de 3 horas a 3 horas e 15 minutos.c) de 3 horas e 15 minutos a 3 horas e 30 minutos.d) de 3 horas e 30 minutos a 3 horas e 45 minutos.

33. (cOLTec/2010) por meio de um acordo comer-cial, as ilhas de santa cruz e da prata resolvem abolir o dólar americano (us$) como referência financeira e passam a fazer a conversão direta en-tre as respectivas moedas: cruzado (cr$) e prata (p$). no dia dessa mudança, us$ 1,00 valia ou cr$ 1,60 ou p$ 4,00.

assim sendo, é cOrreTO afirmar que cr$ 1,00 valea) p$ 0,40 .b) p$ 2,50 .c) p$ 5,60 .d) p$ 6,40 .

34. (cOLTec/2011) ao final de 90 minutos de du-ração de uma partida de futebol realizado em um dia quente, certo atleta profissional reduziu cerca de 4% de sua massa corporal , que passou a ser de 76,8 Kg.

então é cOrreTO afirmar que, antes da partida, a massa corporal desse atleta era , aproximadamente dea) 73,7 Kgb) 80 kgc) 80,8 kgd) 125 kg

35) (ceFeT/ 2010) na prevenção da gripe suína está sendo muito usada uma solução com 70% de ál-cool e 30% de água, cuja concentração é de 70%. um laboratório desenvolve duas soluções da se-guinte maneira:• S1 com 60% do princípio ativo p;• S2 com 80% de s1 e 20% de p.

dessa forma, s2 tem uma concentração percentual de, aproximadamente,a) 68b) 78c) 88d) 98

36. (ceFeT/2010) duas marcas de pastas de dente, alegria e felicidade, sofreram algumas mudanças em seus pesos e preços, conforme a seguinte tabela:

pasta alegria

pasta felicidade

antes depois antes depois

peso(em gramas) x x x x – 20

preço (em reais) 4,00 4,50 4,00 4,00

um consumidor que comprava a pasta felici-

dade, ao ver a alteração no peso desse produto, constatou que seu preço, por grama, havia se tor-nado 25% maior.

analisando esses dados, é INcOrreTO afirmar quea) a pasta alegria teve um aumento de 12,5%.b) a compra da pasta alegria tornou-se mais econô-

mica.c) a pasta felicidade, após a mudança, passou a con-

ter 100g.d) o aumento do preço, por grama, da pasta alegria

foi o dobro da felicidade.

37. (ceFeT/2011) uma herança de r$60.000,00 foi dividida entre três filhos a, b e c, de maneira in-

53

versamente proporcional às respectivas idades 10, 15 e 18 anos. a quantia, em reais, que o filho b recebeu foi

a) 12.000,00b) 14.000,00c) 18.000,00d) 27.000,00

38. (ceFeT/2011) um ciclista partiu do centro de belo Horizonte até a serra do cipó, percorrendo 100 km em 4 horas e retornou ao local de origem, gastando 5 horas. portanto, a velocidade média durante todo esse trajeto, em km/h, foi de

a) 305

b) 9

002

c) 9

052

d) 3001

gabaritos

1c 2b 3d 4d 5b

6c 7d 8c 9d 10a

11d 12d 13c 14b 15d

16d 17c 18c 19b 20a

21d 22a 23b 24b 25d

26b 27d 28b 29c 30d

31b 32c 33b 34b 35a

36c 37c 38b

PArTe 5

cÁLcULO ALGÉBrIcO

1 - Introdução

em determinado tempo da história (sec. Xvi) surgiram inovações nas expressões matemáticas. as letras passam a ser usadas para indicar números reais.

assim, na expressão (2a + 2b), a e b passam a re-presentar números reais.

a expressão (2a + 2b) denomina-se expressão al-gébrica ou expressão literal, onde as letras a e b são chamadas de variáveis.

Exemplos:

1º) expressões algébricas: 2x2y; -xy2; 0,7xy

2º) expressões algébricas fracionárias:

yxx

5;

y 2 3

2

Obs.: expressão algébrica fracionária contém variável ou variáveis no denominador.

2 - Valor Numérico

ao substituir as variáveis de uma expressão algé-brica por números e efetuar os cálculos indicados, ob-temos o valor numérico da expressão algébrica.

exemplo:

determine o valor numérico de p.(p - a).(p - b).(p - c)

sendo , para a = 5, b = 13 e c = 10, sendo 2

cbaP ++=

i) 4 12

0 13 15=

++=p

ii) 14.(14 - 5).(14 - 13).(14 - 10) = 14 x 9 x 1 x 4 = 504

3 - Monômios e Polinômios

Monômio

é toda expressão algébrica inteira racional de um só termo. os monômios são formados de duas partes:

54

1ª parte: numérica ou coeficiente numérico.

2ª parte: literal ou parte variável.

-

xy variávelparte1- numérico ecoeficient

y x variávelparte3 numérico ecoeficient

3 22

yx

yx

o grau geral de um monômio é definido pela soma dos expoentes das variáveis.

Exemplo:

3x2y é um monômio de grau 3, pois (expoente 2

do x) + (expoente 1 do y) = 3

yx 52

- é um monômio do 2º grau, pois

(expoente 1 do x) + (expoente 1 do y) = 2

Monômios Semelhantes

dois ou mais monômios são semelhantes quando têm a mesma parte variável.

Exemplo:

1º) são semelhantes os monômios 3x2y; 7x2y e -x2y.2º) não são semelhantes os monômios 3x2y e 7xy2.

Polinômio

polinômio é toda expressão algébrica composta por dois ou mais monômios não semelhantes.

Exemplos de polinômios

1º) 3x2y + 7xy2 (também chamado de binômio, pois é composto por dois monômios)

2º) 2x2 - 5x + 6 (também chamado de trinômio, pois é composto por três monômios)

3º) 3x2y + 7xy2 - 2xy - 1

o grau de um polinômio é definido pelo grau do monômio de maior grau.

Exemplo:

1º) 2x2y - 5xy3 + y2 = polinômio do 4º grau 2º) x2 - 7x + 12 = trinômio do 2º grau

4 - Operações com Monômios

Adição e Subtração de Monômios Semelhantes ou redução de Termos Semelhantes

efetua-se adicionando ou subtraindo os coefi-cientes numéricos e conservando a parte literal.

Exemplos:

1º) 5x2y + 7x2y - x2y = (5 + 7 - 1) x2y = 11x2y

-ax + 3ax2 - 7ax - ax2 =

= (-1 -7)ax + (3 - 1)ax2 = -8a + 2ax2

Multiplicação e Divisão de Monômios

efetua-se a multiplicação ou divisão dos coefi-cientes numéricos entre si e das partes literais (potên-cias) entre si.

Exemplos:

1º) (3,2x2y3) . (0,5xy2) = (3,2 x 0,5) x2y3 . xy2 = = 1,6x3y5

2º) 3223 8 322 1 babaxba -=-

3º) yxyxyxyx 32

35:

52

53:

52 4253 =

//

+=

-

-

4º) determine o quociente da soma (-8a2 + 10a2 + a2) pelo monômio (-3a2)

(-8a2 + 10a2 + a2):(-3a2) = 3a2 : (-3a2) = -1

Potenciação de Monômio

para os coeficientes, eleva-se ao expoente indica-do. na parte literal, aplica-se as propriedades das po-tências.

Exemplo:

1º) (-3x2y3)2 = 9x4y6

2º) (-0,2xy)3 = -0,008x3y3

5 - Operações com Polinômios

Adição e Subtração de Polinômios

efetua-se adicionando ou subtraindo os termos semelhantes dos polinômios.

55

Exemplos:

sejam os polinômiosa = 2x3 - 5x2 - 7x + 1 eb = -4x3 - 7x2 + 9x - 3efetue:1º) a + b = (2x3 - 5x2 - 7x + 1) + (-4x3 - 7x2 + 9x - 3)= -2x3 - 12x2 + 2x - 2

2º) a - b = (2x3 - 5x2 - 7x + 1) - (-4x3 - 7x2 + 9x - 3) = 2x3 - 5x2 - 7x + 1 + 4x3 + 7x2 - 9x + 3

= 6x3 + 2x2 - 16x + 4

lembre-se, não há como somar ou subtrair termos que não são semelhantes, logo, nem sem-pre o resultado será um monômio!

Multiplicação de Polinômios

efetua-se aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração.Exemplos:

1º) 2x2.(3x2 - 4x + 5) = 6x4 - 8x3 + 10x2

2º)

0 172 10 15 1

82 1 54

23

3

2

--

--+

-+

xxx

xxxx

x( ) ( )

=

+=

=-+

0 1- x7- x2 10 1- x8 x5 1- x2 1

54 . 23

2

2

xx

Divisão de Polinômios

1º cASO: divisão de polinômio por monômio Exemplos:

a) (12x4 – 16x3 + 4x2) : (4x) = = (12x4) : (4x) – (16x3) : (4x) + (4x2) : (4x) = = 3x3 – 4x2 + xb) (10x3y2 – 20x2y3 – xy4) : (2xy) = = (10x3y2) : (2xy) – (20x2y3) : (2xy) – (xy4) : (2xy) = = 5x2 - y - 10xy2 - 1

2 y3

portanto, para dividir um polinômio por um mo-nômio (não nulo), divide-se cada termo do polinômio por esse monômio.

2º cASO: divisão de polinômio por polinômio

sejam as divisões a seguir:

a) (3x2 – 7x + 3) : (x – 2) dividendo: 3x2 – 7x + 3 (grau 2) divisor: x – 2 (grau 1) vejamos como se efetua esta divisão.

1º) divide-se o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor.

3x2 - 7x + 3 = 3xx

x3

2-xx23

2º) multiplica-se o quociente obtido pelo divisor.

3x . (x – 2) = 3x2 – 6x

3º) subtrai-se do dividendo o resultado da multi-plicação. essa subtração é feita adicionando-se o opos-to do produto ao dividendo.

xxxx3

2 373 2 -+-

3 63 2

+-+-

xxx

4º) repetem–se os passos anteriores, consideran-do como dividendo o resultado da subtração (-x +3).

1 2 3

63 2

--+-

+-

xxxx 13

2 373 2

--

+-x

xxx

quociente

resto

quociente: 3x - 1resto: 1

a divisão é considerada terminada quando se tem por resto um polinômio de grau menor que o grau do divisor.

b) (10x4 + 3x3 – 5x2 + 7x – 3) : ( 2x2 – x + 1)

10x4 + 3x3 – 5x2 + 7x – 3-10x4 + 5x3 – 5x2

8x3– 10x2 + 7x - 3 -8x3 + 4x2 - 4x -6x2 + 3x - 3 +6x2 - 3x + 3 0

2x2 – x + 15x2 + 4x - 3

quociente: 5x2 + 4x - 3resto: 0

quando a divisão p : q dá resto zero, dize-mos que p é divisível por q ou q é divisor de p, exatamente como vimos anteriormente em nú-meros naturais.

56

c) (12x3 – 4x +9) : (2x2 + x +3)

observe que, no polinômio dividendo, falta o termo de grau 2. completando o polinômio, efetuamos a divisão.

12x3 + 0x2 – 4x + 9-12x3 - 6x2 – 18x -6x2 – 22x + 9 +6x2 + 3x + 9 -19x + 18

2x2+ x + 36x - 3

quociente: 6x - 3resto: - 19x + 18

Obs: na divisão de polinômios, vale a seguinte relação:

dividendo = quociente. divisor + resto → onde o resto é nulo ou um polinômio de grau menor que o grau do divisor.

Testes

01. sendo a = ,3be21

-= o valor numérico da expres-

são 2

6a

ba - é

a) 8 b) 0 c) 24d) 12

02. dadas as expressões a = 3x2 + 5xy – 2y2 b = x2 – y2 c = 3xy – y2

o valor de a – b – c éa) 2x2 + 8xy + 5y2 b) 2x2 + 2xy – 4y2 c) 2x2 d) 2x2 + 2xy

3. (cMBH/2004) se x, y ∈ n* e x > y, é cOrreTO afirmar que:

a) 1>xy

b) 11

1 ++

<<+ x

yxy

xy

c) 11

++

>xy

xy

d) xy

xy

>+1

04. reduzindo os termos semelhantes da expressão: 2x2y – 5ab + 2xy

21 + 7a2b + 4xy2 + 10ab – 6x2y,

temosa) 6x2y + 12ab

b) 5ab + yx4xy29 22 -

c) – 4x2y + 5ab + 6xy2 + 7a2b

d) 5ab + 7a2b – 4x2y + 2xy29

05. simplificando a expressão: – 2 ( 5x + 3y) – 3 ( 2x + y) + 9y, encontramos

a) 4x + 12y b) – 16x c) 4x d) – 16x + y

06. (cMBH/2004) sendo a , b ∈ r* + tais que a sua soma é 9, o valor de b que torna a expressão

1-

-+b

aba equivalente a 5 é:

a) 3b) 4c) 5d) 6

07. se a = x3 + 1 e b = x2 – x + 1, então o quociente de a por b é igual a

a) x2 + 1b) x + 1c) x2 – 1 d) x – 1

08. (cMBH/2005) um número x mais o seu inverso é igual a 5. então o valor de y + 1/y, onde y é a terceira potência de x , é igual a:

a) 125b) 110c) 100d) 80

57

09.

13) x4 – 1x23

- – 212x6

2-

--- + 3, é igual a :

a) 2

13x3x2 4 +-

b) 2

10x3xx2 24 +-+

c) 2x4 + x2 - 3x + 10.

d) 2

10x3x4 +-

10. não é do 3º grau o monômioa) 3a2b

b) abc31

c) 3ab2 d) 3ab

11. são dados dois números reais, sendo que o maior vale o triplo do menor. se o menor dos números é expresso pelo monômio 2x, o monômio que re-presenta o produto desses dois números é:

a) 12x b) 12x2

c) 6xd) 6x2

12. (cMBH/2004) o lucro de uma empresa obedece

à expressão l = 3 ;

p, a ∈ n*, sendo p a quantidade de produtos ven-didos e a a quantidade de aquisições efetivadas pela empresa.

a expressão equivalente à expressão dada é:

a) (p + a)

b) ( p – a )2

c) (p + a )

d) p2 + a2

13. (cMBH/2008) se y = 114

23

-++

xxx , então o valor

de y para x = 32

- é:

a) – 7 91 8

b) – 7 95 8

c) – 7 97 8

d) – 7 98 3

14. tome um número real x e acrescente-lhe a sua quinta parte. do resultado obtido, subtraia a me-tade de x. a seguir, multiplique o novo resultado por 5. o resultado final é:

a) 5xb) 5/8 c) 3,5x d) 0,14x

15. dividindo-se um polinômio f por (8x2 + 1), ob-têm-se quociente (3x - 1) e resto (4x - 2). o resto da divisão de f por (x - 1) é:

a) 22 b) 20c) 10d) -10

16. observe a figura

x

5x

o monômio área da região sombreada é:a) 5x2 b) 2,5xc) 2,5x2

d) 5x

17. se x + y = 10, xy = 24 e x2 + y2 = 52, o valor de (x + y)(x2 - xy + y2) é:

a) 35b) 70c) 140d) 280

18. (ceFeT/ 2011) o valor numérico da expressão

12

2 23 -+-xxx para x = 3 é

a) 2

301 -

58

b) 2

34 +

c) ( )134 -

d) 2

8331 -

gabaritos

1c 2d 3b 4d 5b

6c 7b 8b 9b 10d

11b 12a 13b 14c 15b

16c 17d 18d

6 - Produtos Notáveis

os “produtos notáveis” são produtos especiais, re-sultados de multiplicações muito freqüentes no cálculo algébrico. os “produtos notáveis” são identificados se-gundo características próprias e estudados caso a caso.

1º caso) quadrado da soma de dois termos

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

verificando: (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

2º caso) quadrado da diferença de dois termos

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

verificando: (a - b)2 = (a - b).(a - b) = a2 - ab - ab + b2

= a2 - 2ab + b2

3º caso) produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b) . (a - b) = a2 - b2

verificando: (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2

= a2 - b2

4º caso) cubo da soma de dois termos

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

verificando: (a + b)3 = (a + b).(a + b)2

= (a + b).(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5º caso) cubo da diferença de dois termos

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

verificando: (a - b)3 = (a - b).(a - b)2 = (a - b).(a2 - 2ab + b2) = a3 - 2a2b + ab2 - a2b+ 2ab2 - b3

= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Exemplos:

1º) (x + 4y)2 = x2 + 8xy + 16y2

2º) (2x - 5)2 = 4x2 - 20x + 253º) (x + 6).(x - 6) = x2 - 364º) (3a + 2)3 = 27a3 + 54a2 + 36a + 85º) (2a - 1)3 = 8a3 - 12a2 + 6a - 1

7 - Fatoração de um Polinômio

fatorar um polinômio, quando possível, é escrever esse polinômio como um produto de dois ou mais fatores. as técnicas usuais de fatoração, serão estudas caso a caso.

1º caso) evidenciação

i) se 2b + 2h é o resultado de 2(b + h), tem-se que 2(b + h) é a forma fatorada de 2b + 2h. logo, 2b + 2h = 2(b + h) onde 2 é o fator comum.

ii) se xy - y2 é o resultado de y(x - y), tem-se que y(x - y) é a forma fatorada de xy - y2.logo, xy - y2 = y(x - y) onde y é o fator comum.

portanto, quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, pode-se colocá-lo em evidência. a forma fatorada é o produto do fator comum pelo poli-nômio que se obtém dividindo cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

Exemplos:

i) x5 - 2x4 + x3 = x3(x2 - 2x + 1)ii) 8x4y2 - 20x3y5 = 4x3y2(2x - 5y3)iii) a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

59

2º caso) Agrupamento

agrupar os termos que tem fator comum e colo-cá-lo em evidência, conforme vimos acima.

Exemplos:i) ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

ii) a4 - a3 + a2 - a = a(a3 - a2 + a - 1) = a[(a3 - a2) + (a - 1)] = a[a2(a - 1) + (a - 1)] = a(a - 1)(a2 + 1)

3º caso) Trinômio quadrado perfeito

é todo trinômio resultado do quadrado da soma ou da diferença de dois termos.

como,i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 é um trinômio quadrado perfeito. ii) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 é um tri-nômio quadrado perfeito.

pesquisar se um trinômio é quadrado perfeito

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

a . 2 . b

Exemplos:

i) x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2

x2 . 2 . 1

ii) 4x2 - 4xy2 + y4 = (x2 + 1)2

2x . 2 . y2

4º caso) Trinômio do 2º Grau

trinômio do 2º grau do tipo x2 + sx + p, onde s é a soma e p o produto de dois números.

seja a expressão x2 + 5x + 6.o coeficiente de x é 5. logo, a soma de dois nú-

meros deve ser: s = 5o termo independente é 6. logo, o produto de

dois números deve ser: p = 6

os únicos dois números possíveis para que a soma seja 5 e produto 6 são 2 e 3:

p = 6 = 2×3 s = 5 = 2+3

assim, podemos escrever x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3).

Ex:i) x2 + 7x + 12s = 7 e p = 12 → p = 12 = 3 × 4 e s = 7 = 3 + 4

portanto: x² +7x +12 = (x+3)(x+4)

obs: começar a analisar os números por p é mais fácil, já que se o produto é positivo, os nú-meros procurados devem ter sinais iguais (am-bos positivos ou ambos negativos) e se o produto é negativo, seus sinais são opostos (um número é positivo e o outro, negativo).

ii) x2 – 8x + 15s = –8 e p = 15 → p = 15 = (–5) × (–3) e s = –5 –3 = –8 portanto: x² – 8x +15 = (x–5)(x–3)

iii) x2 + 3x – 10s = 3 e p = –10 → p = –10 = (5) × (–2) e s = 5 –2 = 3

portanto: x² + 3x -10 = (x–2) . (x+5)

neste caso, como o produto é negativo, os núme-ros procurados devem ter sinais contrários. a soma é positiva, donde se conclui que o maior número, em valor absoluto, é positivo.

5º caso) Diferença de dois Quadrados

se (a + b)(a - b) = a2 - b2, então:

a2 - b2 = (a + b) (a – b)

logo, (a + b) (a – b) é a forma fatorada da expres-são a2 – b2.

vejamos, nos exemplos seguintes, como se deve proceder para fatorar uma diferença de quadrados.

a) fatoremos a² – 16

a2 - 16

a2 16

a 4

60

portanto a2 – 16 = (a + 4) (a – 4)

b) fatoremos 9x² – 25y4

9x2 --- 25y4

3x 5y2

9x2 25y4

portanto9x2 - 25y4= (3x + 5y2) (3x - 5y2)

6º caso) Soma ou Diferença de Dois cubos

observemos as igualdadesa) (a + b) ( a2 – ab + b2) = a3 + b3

podemos então dizer que (a + b) (a2 – ab + b2) é a forma fatorada do polinômio a3 + b3

b) (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

aqui, também, dizemos que (a – b) (a2 + ab + b2) é a forma fatorada do polinômio a3 – b3.

Exemplos:fatoremos os polinômios:a) x3 + 1 = x3 + 13 = (x + 1) ( x2 – x . 1 + 12) x3 + 1 = (x + 1) (x2 – x + 1)

b) 8a3 + x3 = (2a)3 + x3 = (2a + x) [(2a)2 – (2a) . x + x2] 8a3 + x3 = (2a + x) (4a2 – 2ax + x2)

c) x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3) (x2 + x . 3 + 32) x3 – 27 = (x – 3) (x2 + 3x + 9)

obs: algumas expressões admitem fato-ração com emprego de mais de um caso. nesta situação, basta aplicar sucessivamente os casos possíveis.

observe os exemplos a seguir.

vamos obter as formas fatoradas das expressões seguintes:

a) 5x4 – 45x2; 5x2 é fator comum. logo = 5x2 (x2 – 9); x2 – 9 é diferença de quadrados. logo = 5x2 ( x + 3) ( x – 3)

b) 4x4 – 16x3y + 16x2y2; 4x2 é fator comum. logo= 4x2 (x2 – 4xy + 4y2); x2 – 4xy + 4y2 é quadrado

perfeito. logo = 4x2 (x – 2y)2

c) 5x4y – 5y; 5y é fator comum. logo = 5y(x4 – 1); x4 – 1 é diferença de quadrados.

portanto= 5y(x2 + 1) (x2 – 1); x2 – 1 é diferença de quadra-

dos. logo= 5y(x2 + 1) (x + 1) (x – 1)

8 - mdc e mmc de monômios e polinômios

no estudo das operações em in, já tivemos a oportunidade de calcular o m.d.c. e o m.m.c. de dois ou mais números. para recordar as técnicas apropria-das, calculemos m.d.c. (24;36;60) e m.m.c. (24;36;60)

1º) decompõem-se os números em fatores primos.

24 2 36 2 60 2 12 2 18 2 30 2 6 2 9 3 15 3 3 3 3 3 5 5 1 1 1

24 = 23 . 3 36 = 22 . 32 60 = 22 . 3 . 5

2º) aplicam-se as seguintes regras:

o m.d.c de dois ou mais números é igual ao pro-duto dos fatores comuns a esses números, cada um deles elevado ao menor de seus expoentes.

daí m.d.c. = 22 . 3 = 12

o m.m.c de dois ou mais números é igual ao pro-duto dos fatores comuns e não comuns, cada um de-les elevado ao maior de seus expoentes.

daí m.m.c. = 23 . 32 . 5 = 360

as mesmas regras se aplicam para a determinação do m.m.c. e o m.d.c. de monômios e de polinômios.

Máximo Divisor comum e Mínimo Múltiplo comum de Monômios

vamos obter o m.d.c e o m.m.c dos monômios 5a2xy, –50ax2 e 35a3y3.

61

1º) fatorando os coeficientes dos monômios, te-mos.

5a2xy -2 . 52ax2

5 . 7a3y3

2º) aplicando as regras citadas anteriormente, vem

m.d.c. = 5 . a m.m.c. = -2 . 52 . 7 . a3 . x2 . y3

m.d.c. = 5a m.m.c. = -350a3x2y3

Máximo Divisor comum e Mínimo Múltiplo comum de Polinômios

vamos obter o m.d.c. e o m.m.c. das expressões a seguir:

a) a2 – 1; 4a + 4; a2 + 2a + 1

1º) fatorando as expressões, temosa2 - 1 = (a + 1) . (a - 1)4a + 4 = 4(a + 1)a2 + 2a + 1 = (a + 1)2

2º) aplicando as mesmas regras, vem

m.d.c. = a + 1

m.m.c. = 4(a + 1)2 (a - 1)

b) 4x3 – 4x; 4x3 – 8x2 + 4x; 2x4 – 2x2

1º) fatorando as expressões, temos

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

-+=-=-

-=+-=+-

-+=-=-

112122214124484

1141444

22224

2223

23

xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxx

2º) como m.d.c. (2, 4) = 2 e m.m.c. (2, 4) = 4, temos, para as expressões dadas

m.d.c. = 2x(x - 1)

m.m.c. = 4x2(x + 1)(x - 1)2

9 - Frações Algébricas

examinemos algumas expressões algébricas.

a) 1x

x-

essas expressões se denominam fra-ções algébricas, porque são quocien-tes indicados de dois polinômios.

nessas expressões, admite-se sem-pre que os denominadores são di-ferentes de zero. isso é essencial, poissabe-se que não existe divisão por zero.c)

121

2

2

+--xx

x

b) 1a

a2

2

+

Simplificação de Frações Algébricas

para simplificar uma fração algébrica, dividimos o numerador e o denominador da fração pelos fato-res comuns aos mesmos. isto é, cancelamos os fatores comuns.Exemplos:

a) ( )( ) 1

111

121

2

1

2 +=

++

=++

+aa

aaa

a

b) ( )( )

( ) 221

121

)1(8)1( )1(4

112814

86 1844

22

1

22

2

2

2

-+

=-+

=-

-+

=+--

=+-

-

xx

xx

xxx

xxx

xxx

Operações com Frações AlgébricasAdições e Subtrações

1º cASO: Os denominadores são iguais

efetuemos:

a) 2xy + x - 1

y -x-2 y = 2x + x - 1 - (x - 2) =y

= 2x + x - 1 - x + 2y =

2x + 1y

b) xx - 1 - 1 +x

x - 1 - 2 - xx - 1 = x - (1 + x) - (2 - x)

x - 1

= x - 1 - x - 2 + xx - 1 = x -3

x - 1

nesses casos, basta dar ao resultado o denomi-nador comum e efetuar as operações indicadas nos numeradores.

2º cASO: Os denominadores são diferentes

é necessário reduzir as frações ao mesmo denomi-nador. devemos, então, determinar o mínimo múlti-plo comum dos denominadores das frações dadas.

62

exemplos:

a) cálculo do m.m.c.

2

2

84

xx

xm.m.c. = 8x2=-+ 22 8

5412

xxx

logo

=-+=-+ 22222 85 . 1

81 . 2

82 . 8

85

412

xxxx

xxx

22222 8361

85261

85

82

861

xx

xx

xxxx -

=-+

=-+=

b) 22

2 1yx

xyx

x--

-+

=

cálculo do m.m.c.

m.m.c. = (x + y) (x - y)

ou= x2 - y2

-+=-

+=+

)( )(22 Yxyxyx

yxyx

logo

( )

2222

22

22

2

2222

2

11

11

yxyx

yxyyxx

yxx

yxyxx

yxx

yxx

--

=-

+/--/

=--

---

=--

-+

Multiplicações e Divisões

sabemos que:

cbda

cd

ba

dc

bae

dbca

dc

ba

.

..... ==÷==

o mesmo procedimento se aplica a quaisquer fra-ções algébricas, conforme segue.

a) ( )( ) ( )1 1

122 2

1124

21

2

2

-+-

⋅-

=--

⋅-

aaxx

xa

axx

xa

simplificando antes de multiplicar, temos

112

)1()1()12(2

21

--

=-+-

⋅-

ax

aaxx

xa

b) ( )( )

( )4

332

.2

362:2

96 22

2

2 +=

++

=+++ xa

xa

ax

ax

axx

c) 96

1 6512.

144

22

22

+++

÷

++++

+++

xxx

xxxx

xxx

fatorando, temos:

65

1)3( )2(

)1()3(.

)3( )2( )1()1.()2(

)3(1

)3( )2()1(.

1)2(

2

222

2

22

++=

=++

=++

+++++

=

=++

÷

++

+++

xx

xxx

xxxx

xx

xx

xxx

xx

Potenciação de Frações Algébricas

sabemos que: n

nn

ba

ba

=

a partir dai, podemos calcular a potência n-ésima de frações algébricas, como nos exemplos eguintes:

a) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )3

63

3

3 232

2

2

2

2 2

2

4

2

2 222

7 2 3 3

1212

11

11

94

32

32

yxyx

yxyx

yxyx

xxxx

xx

xx

yx

yx

yx

-=

-=

-

+++-

=+-

=

+-

==

b)

c)


01. determine 2

213

+- x

resp.) 4139 2 +- xx

02. determine o desenvolvimento de (am - bn)2

resp.) a2m - 2ambn + b2n

63

03. desenvolva (a + b + c)2.

resp.) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

04. corta-se um pedaço de arame que tem 20cm de comprimento em duas partes de comprimentos dife-rentes e constrói-se, com cada uma delas, um quadra-do. indicando a medida do lado de um dos quadrados por x, determine o polinômio que expressa a soma das áreas dos dois quadrados.

resp.) 2x2 - 10x + 25

05. fatore:

Resp.1º) 3a + 3b 3(a + b)2º) 6xy2 - 3x2y + 12x3y 3xy(2y - x + 4x2)3º) ax + by + bx + ay (a + b)(x + y)4º) 12a2 - 3a - 20ab + 5b (4a - 1)(3a - 5b)5º) 9a2 - 6a + 1 (3a - 1)2

6º) x2 + 6xy + 9y2 (x + 3y)2

7º) a10 - 49b6 (a5 + 7b3)(a5 - 7b3)

06. conjugando casos de fatoração, transforme em produto os polinômios:

Resp.1º) 18x2 - 8y4 2(3x + 2y2)(3x - 2y2)2º) 7a2 - 28ab + 28b2 7(a - 2b)2

3º) a3x2 - ay4 a(ax + y2)(ax - y2)4º) 3x2 + 6x - 45 3(x + 5)(x - 3)

Testes

01. (cMBH/2005) a fração algébrica ( ) )(

3322

2233

yxyxyxyxyx

--+-- ,

onde x ≠ ±y, equivale a:

a) yxyx

+-

b) yxyx

-+

c) yx +

1

d) x3 – y3

02. o valor de m na expressão x2 – mx – 3, para que sua forma fatorada seja (x – 1) (x + 3), é

a) 3

b) –2 c) 2d) –3 03. sabendo-se que a2 + 2ab + b2 = 25, a + b pode valera) 5 b) 2 c) 3d) 1

04. (cMBH/2006) se (2x-1) é um quadrado perfeito, a expressão do quadrado perfeito imediatamente inferior a (2x-1) será:

a) 122 -- xx

b) 1222 -- xx

c) 1122 +-- xx

d) 1122 --- xx

05. a forma fatorada da expressão x4 – 625 éa) (x2 + 5) (x2 – 5)b) (x2 + 5) (x + 5)c) (x2 – 5)2

d) (x2 + 25) (x + 5) (x – 5)

06. a forma fatorada da expressão ab + 5b – 2a – 10 éa) (a + 5) (b + 2)b) (a + 5) (b – 2) c) (a – 5) (b – 2)d) (a – 5) (b + 2) 07. fatorando a expressão a5 – a3 – a2 + 1, encontramosa) (a – 1)2 (a2 + a – 1) b) (a + 1)2 (a2 + a + 1)c) (a – 1)2 (a + 1) (a2 + a + 1) d) (a – 1)3 (a2 + a + 1)

08. (cMBH/2007) o valor numérico da expressão

a3 – b 3 – 3a 2b + 3ab 2 quando 3

3

227 +

=a e

3

3

24722 -

=b , é :

a) 28b) 30c) 32d) 34

09. a fração 1x4x4

1x42

2

++- , é equivalente a

a) 1x21x2

+-

64

b) 1x21x2

-+

c) x41-

d) 1x4

1+

-

10. a forma cOrreTA mais simples de se apresentar

a expressão algébrica fracionária, 1x

1x2x2

2

-+- é :

a) 1x1x

+-

b) 0 c) -1d) x - 1

11. considere o conjunto de todos os valores de x e y para os

quais a expressão m = 22

22

121yy xx

xy

yx

22

++

-

está definida.

nesse conjunto, a expressão equivalente a m é:a) (x–y)(x+y)b) (x–y)(x²+y²)c)

yxyx

+-

d) yx

yx yx+

+- )()( 22

12. (cMBH/2008) considerando que , 0,51 2

>=

+ x

xx ,

então o valor de 33 1

xx + é igual a:

a) 0

b) 5

c) 52-

d) 52 13. simplificando-se a expressão

-⋅

+-

--+

xyyx

yxyx

yxyx ,

obtém-sea) 4

b) yx +

4

c) 22

4yxyx

-

d) 2xyx +

14. seja p =³²²)(

²)(²³

yy x yx

yxy xx

--

÷+- .

a expressão equivalente a p é:a) xyb) (x–y)²c) xy(x–y)²

d) 2

yxyx

+-

15. (cOLTec/2009) se a + b + c = 3 4 e a + b - c = a, então o valor da expressão a2 + 2ab + b2 – c2 será

a) 2 3 4 b) 4 3 4 c) 8 3 4 d) 8 3 4

16. (ceFeT/2006) sendo o número n = 6842 – 6832, a soma dos algarismos de n é

a) 14 b) 15c) 16 d) 17

17. (ceFeT/2007) o valor numérico da expressão

e = 822

61822

--+--

yx xyx para x = 628 e y = 576 é :

a) 560 b) 600c) 640d) 700

18. (cOLTec/2010) considere esta expressão: ( a + b )4 – ( a – b )4 , em que a e b são nú-meros naturais.

nesse caso, é INcOrreTO afirmar que essa expresãoa) é divisível por a.b) é divisível por 4b.c) é múltipla de 8.d) é múltipla de a + b.

19. (cOLTec/2011) analise estas expressões:

I - ( ) 122

2

=++

baba

II - ( )( ) 122

2

-=-+

baba

65

III -baba

ba-

=-+ 1

22

a partir da análise dessas expressões, é cOrreTOa) apenas a i e a ii são falsas.b) apenas a i e a iii são falsas.c) apenas a ii e a iii são falsas.d) as três expressões são falsas.

20. (ceFeT/2010) se 31 2

=

-

xx ,então,

22 1

xx -

é igual aa) 0b) 1c) 5d) 6

21. (ceFeT/2011) simplificando a expressão

22

4334

babbabaa

---+

, com a ≠ b, obtém-se

a) baba

-+

b) a2 + ab + b2

c) a – bd) (a + b)3

gabaritos

1a 2b 3a 4b 5d 6b

7c 8c 9a 10a 11a 12d

13b 14a 15a 16d 17b 18d

19a 20c 21b

PArTe 6

eQUAÇÃO DO 1º GrAU

1 - conceitos

Definição

equação do 1º grau com uma variável (incógnita) x é toda equação do tipo

onde os coeficientes a e b são números reais com a ≠ 0.

raiz de Uma equação do 1º Grau

raiz de uma equação é o valor da incógnita para o qual a equação (igualdade) seja uma “sentença ver-dadeira”.

Ex.: 3 é raiz da equação 2x + 1 = 7, visto que se x = 3 tem-se 2 . 3 + 1 = 7 ou 7 = 7, que é uma setença (igualdade) verdadeira.

conjunto-Verdade (V)

o conjunto-verdade ou o conjunto-solução de uma equação, é o conjunto que tem como elementos as raízes da equação dada.

Ex.: se 3 é raiz da equação 2x + 1 = 7, então o conjunto-verdade dessa equação é v = {3}.

equações equivalentes

equações equivalentes são equações que têm o mesmo conjunto-verdade.

obtém-se equações equivalentes de dois modos:

1º) somando algebricamente o mesmo número aos dois membros da equação (igualdade).

Ex.: x - 2 = 7

1º membro é (x - 2) 2º membro é 7

x - 2 + 2 = 7 + 2 ou x = 9 (raiz)⇓

2º) multiplicando algebricamente os dois mem-bros da equação (igualdade) por um mesmo número diferente de zero.

66

Ex.:

)( 2 13 . 43 . 3

43

raizxx

x

=⇒=

⇓

=

2 - resolução de Uma equação do 1º Grau

resolver uma equação do 1º /grau é determinar o valor da variável para o qual a equação seja uma sen-tença verdadeira. para isto, a partir da equação dada procura-se obter equações equivalentes até chegar a raiz da equação.

Exemplos:

1º) resolva a equação: 3x - 1 = 11

Solução:

3x - 1 = 11 3x = 11 + 1 3x = 12

3x = 12 x = 123 x = 4 (raiz)

v = { 4 }⇓

2º) determine a raiz da equação:2(x + 1) - 3(x - 1) = 5(x + 1)

Solução:

2x + 2 - 3x + 3 = 5x + 5-x + 5 = 5x + 5-x - 5x = 5 - 5-6x = 0 x = 0 v = {0}

3º) calcule a raiz de:

34

122

133

1-

+=

-+

+ xxx

Solução:

( ) ( ) ( )

61131361

33622263366814421

21.312321

13614

34

122

133

1

-=⇒-=

-=--+=-++

-+=

-++

-+

=-

++

xx

xxxxx

xxx

xxx

3 - Problemas envolvendo equações do 1º Grau

são problemas que podem ser resolvidos por meio de uma equação do 1º grau. compor a “equação solução” do problema consiste em traduzir a situação proposta em uma sentença matemática (equação do 1º grau).

resolver a equação e analisar a raiz (verificar se a raiz satisfaz ao problema).

para isso, devemos seguir alguns passos.1º: ler o problema com atenção.2º : identificar o termo desconhecido e chamá-lo

de uma incógnita qualquer (x, por ex.).3º: montar uma equação matemática que repre-

sente o problema.4º resolver esta equação.5º analisar a raiz encontrada e dar a resposta ba-

seando-se nela.

Exemplos1º) determine o número cujo dobro mais 5 uni-

dades, é igual a 27.

Solução:

seja x o número procurado2x é o dobro de x2x + 5 = 27 2x = 22 x = 11 de fato, 2 . 11 + 5 = 22 + 5 = 27

Resp.) O número é 11.

2º) a quinta parte de um número, menos 3 uni-dades é igual a 2. qual é o número?

Solução:

x é o número

5x é a quinta parte do número

235

=-x é a equação

) Verdadeiro ( 235

2355 2

=-

=-

oVerificaçã

{ }5 25 20 15 1

50 1

55 1

5

235

=⇒==-

=-

=-

Vxx

x

x

Resp.) O número é 25.

67

3º) a soma de dois números é 37. o maior excede o menor em 3 unidades. quais são os números?

Solução:

x é o número menorx + 3 é o número maiorx + x + 3 = 37 é a equação

x + x + 3 = 37x + x = 37 - 32x = 34x = 17 e x + 3 = 20

Resp.) Os números são 17 e 20.

4º) a soma de dois números consecutivos é 31. quais são os números?

Solução:

x é o número menorx + 1 é o número consecutivox + x + 1 = 31 é a equação

x + x + 1 = 31 2x = 30x = 15 e x + 1 = 16

Resp.) Os números são 15 e 16.

4 – Inequações do 1º Grau

inequação do 1º grau é toda desigualdade do tipo:ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0 ouax + b < 0 ou ax + b ≤ 0 ou redutível a uma dessas

desigualdades, onde a e b são números reais com a ≠ 0.

o processo para resolver uma inequação do 1º grau é o mesmo usado para resolver uma equação do 1º grau, observando uma propriedade especí-fica das desigualdades: “quando se multiplica ou se divide os termos de uma desigualdade por um mesmo número estritamente negativo, a desigual-dade muda de sentido” observe:

a) sendo 5 > 2 5.(-4) < 2.(-4) -20 < -8

b) sendo 3 < 7 3.(-2) > 7.(-2) -6 > -14

exemplos:

1º) determine o conjunto-verdade da inequação:

>∈=⇒>

⇒>⇒>⇒>-

⇒>-

⇒>-

49 IRV

49

0 25 45 40 205 40 2

2 1

02 1

5 40 2045 1

35

4

9

xxx

xxx

xx

2º) dê o conjunto verdade da inequação 3(2x + 5) + 12 ≤ 5(2x - 1) 6x + 15 + 12 ≤ 10x - 5 6x - 10x ≤ -5 - 27 -4x ≤ -32(-1)4x ≥ 32 x ≥ 8 v = {x ∈ ir| x ≥ 8}

5 - Sistema de equações do 1º Grau com Duas incógnitas

toda equação que pode ser reduzida a uma equi-valente do tipo ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0, deno-mina-se equação do 1º grau com duas variáveis x e y.

Exemplo: 3x + y = 7se fizermos x = 2 e y = 1 teremos3 . 2 + 1 = 6 + 1 = 7x = 2 e y = 1 são valores para os quais a igualdade 3x + y = 7

é verdadeira.

esse par de valores é uma das soluções da equação.existem infinitos pares de valores que são solu-

ções da equação considerada.cada solução será denominada de par ordenado x

e y e indica-se por (x, y).

outras soluções da equação 3x + y = 7 são:(3, -2); (1, 4); (0, 7); (-1, 10); ...

Sistemas de equações

sistema de equações do 1º grau com duas incóg-nitas é formado por duas equações do 1º grau com duas incógnitas.

exemplo de um sistema com duas equações do 1º grau e duas variáveis.

=+=+

724

yxyx

o par ordenado (3, 1) sendo solução comum das duas equações é a solução do sistema.

processos para determinar a solução de um siste-ma de duas equações do 1º grau com duas incógnitas.

1º processo - Método da SUBSTITUIÇÃO

resolver o sistema:

=+=+

724

yxyx

68

I) isolar o valor x na equaçãox + y = 4 x = 4 - y

II) substituir o valor de x = 4 - y na outra equação, 2x + y = 7.2(4 - y) + y = 7 8 - 2y + y = 7 -y = -1 y = 1

III) substituir y = 1 em x = 4 – y para encontrar o valor de x.x = 4 - 1 x = 3

portanto, a solução do sistema é (3, 1).

2º processo - Método da cOMPArAÇÃO

resolver o sistema

=+=+

724

yxyx

I) isolar o valor de y nas duas equaçõesx + y = 4 y = 4 - x 2x + y = 7 y = 7 - 2x

II) comparando os resultados obtidos no item anterior, tem-se:

4 - x = 7 - 2x 2x - x = 7 - 4 x = 3

substituindo o valor de x = 3 em qualquer das equa-ções obtidas no item i, por exemplo y = 4 - x y = 4 - 3 y = 1. logo, (3, 1) é a solução do sistema.

3º processo - Método da ADIÇÃO

resolver o sistema

=+=+

724

yxyx

I) multiplicar por (-1) a equação x + y = 4 e adi-cionar com a equação 2x + y = 7.

⇒=+=+

-=--

3 72

4

xyxyx

x = 3

II) multiplicar por (-2) a equação x + y = 4 e adi-cionar com a equação 2x + y = 7.

⇒-=+=+

-=--

1y - 72

822yx

yx

y = 1

logo, a solução do sistema é (3, 1).

III) substituir x = 3 em qualquer uma das equa-ções, por exemplo, na x + y = 4.

3 + y = 4 → y = 4 - 3 → y = 1

logo, a solução do sistema é (3, 1).

um sistema de equações do 1º grau é resol-vido por qualquer um dos métodos. escolha o que achar melhor.

OBS: I) ao aplicarmos um método e encontrarmos no

sistema 0x +0y = 0, dizemos que esse sistema é inde-terminado, já que existem infinitas soluções para x e y.

II) ao aplicarmos um método e encontrarmos no sistema 0x +0y = a, com a≠0, dizemos que esse sistema é impossível, já que não existem x e y que ao multipli-carem por zero dão um resultado diferente de zero.

6 - Problemas envolvendo Sistema de equações do 1º Grau

são problemas que podem ser resolvidos por meio de um sistema de equações do 1º grau.

compor o sistema solução consiste em traduzir a situação proposta em sentenças matemática.

Exemplos:

1º) o preço de uma lapiseira é o tríplo do preço de uma caneta. se as duas juntas custam r$ 24,00, deter-mine o preço de cada uma.

Solução:

preço de uma caneta = xpreço de uma lapiseira = y y = 3x

x + y = 24y = 3x

x + 3x = 24 x = 6 e y = 18

Resp.) preço de uma caneta é r$ 6,00 e o preço de uma lapiseira é r$ 18,00.

2º) em uma revendedora há carros e motos, num total de 22 veículos e 74 rodas. determine o número de carros e o de motos dessa revendedora.

69

Solução:

número de carros = x número de rodas dos carros = 4x

número de motos = y número de rodas das motos = 2y

( )

=+-=+4 72422 2

yxyx

5 10 32 4 724

4 422

=⇒=

+=+-=--

xxyx

yx

se x + y = 22 15 + y = 22 y = 7 motos

resp.) 15 carros e 7 motos


01. resolva, em ir, as inequações

a) 3

24

5 --

- xx >2

1 x-

Resp.) V = {x ∈r| x < 17}

b) 3(x - 1) + 2 < 3(x + 1) + x

Resp.) V = {x∈Ir| x > -4}

c) 04

352

12≤

+-

+ xx

Resp.) V = {x ∈ Ir| x ≥ -1}

d) 4

3223

2xx

+<-

Resp.) V = {x ∈ Ir| x > -14}

02. resolva os problemas

a) um pai tem 64 anos e o filho, 10. daqui a quantos anos a idade do pai será o quádruplo da idade do filho?

Resp.) 8 anos

b) numa fábrica trabalham homens e mulheres, sen-do que o número de mulheres é 3/5 do número de homens. foram dispensados 5/12 dos homens e duas mulheres, restando tantos homens quan-tas mulheres. quantos eram os homens e quantas eram as mulheres?

Resp.) 120 homens e 72 mulheres

c) um pai deseja dividir r$ 5000,00 entre seus dois filhos, de modo que o mais moço receba a meta-de do que recebe o mais velho e mais r$ 500,00. quanto caberá a cada um?

resp.) r$ 3000,00 para o mais velho r$ 2000,00 para o mais moço

d) num pátio existem automóveis e bicicletas. o nú-mero total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. quantos ve-ículos há no pátio?

Resp.) 52

e) um tijolo pesa 1kg mais meio tijolo. quanto pesa um tijolo e meio?

Resp.) 3kg

03. resolva os sistemas respostas

a)

=+=-

8yx24yx

v = {(4, 0)}

b)

=-=+7y3x1y3x7 v = {(1, -2)}

c)

=+-=

5y2x4x39y

-=

212,

231V

d)

=-

=-

--

9y2x3

35

2y22

1x v = {(-13, -24)}

e)

=-=-

6y3x92yx3 v = indeterminado

f)

-=--=+

7yx49yx4 v = impossível

70

Testes

01. a solução da equação 6 - 2(3x - 3) = 2(2x + 5) -4(3x - 1) é:a) 1 b) 2 c) 3d) 4

02. a solução real da equação 4

x1512

101x2 +

-=-- é

um número:a) inteiro positivo. b) inteiro negativo. c) maior que 4,5.d) menor que 4,5.

03. paulo diz a alfredo: “dá-me r$ 40,00 e terei 28 ve-zes o que terás. dá-me r$ 95,00, diz alfredo, e terei o que terás”. o valor que paulo possui é, em reais,

a) 50b) 120c) 180d) 240

04. uma pesquisa realizada num grupo de pessoas, in-dicou que ao longo de x meses o número de pesso-as infectadas por certa doença é dada pela equação

2x

1013000

+

o número de pessoas infectadas por essa doença será de 4000 após:a) 6 meses. b) 8 meses. c) 9 meses.d) 10 meses.

05. para se tornar rentável, uma granja deve enviar para o abate x frangos por dia, de modo que seja satisfeita a desigualdade 1,5x + 80 ≤ 2,5x - 20. nessas condi-ções, pode-se afirmar que o menor valor de x é:

a) 100 b) 200 c) 300d) 400

06. (cMBH/2008) dado o sistema

=+

=+

122

122

ya

xb

yb

xa ,

com a ≠ 0 e b ≠ 0, pode-se concluir que:

a) x . y = 1, quaisquer que sejam os valores de x e y.

b) x e y são simétricos.c) x e y são primos entre si.d) x . y = 1.

07. no conjunto ir x ir, o conjunto verdade do siste-

ma

-=+=-

y5x10y9x34y2x3

a) {(2, 1)} b) {(1, -2)} c) {(-1, -2)}d) {(-2, 1)}

08. se p e q são tais que

=+=-

12pq4pq então pq - 2 vale

a) 32 b) 30 c) 12d) 10

09. três números naturais pares consecutivos têm soma 36. o valor do maior número é:

a) 10b) 12c) 14d) 16

10. o sistema

-=-=+

13y3x216yx

a) é determinadob) é indeterminadoc) é impossíveld) tem o par (8, 8) como solução

11. (cMBH/2006) sendo a e b as raízes da equação 3x2

- 6x + 2 =0, o valor de 22

33

baba

--

é:

a) 41

b) 21

c) 1

d) 35

12. um menino percorre, de bicicleta, 7km em 35 mi-

nutos, com velocidade constante. aumentando essa velocidade de 1/5 do seu valor, o tempo que leva, em minutos, para percorrer 12 km, é:

a) 30 b) 40 c) 50d) 60

71

13. um comerciante aumentou o preço original de certa mercadoria em 75%. em seguida, anuncia essa mercadoria com desconte de 50%, resultando em preço final de r$ 2100,00. o preço original, em r$, dessa mercadoria é:

a) 2400,00 b) 2600,00 c) 3200,00d) 4000,00

14. (cMBH/2004) um estudante gastou todo o di-nheiro que tinha em três viagens que fez. em cada uma delas, ele gastou r$ 20,00 a mais do que a metade do dinheiro que possuía ao começar uma nova viagem. o estudante, ao iniciar sua primeira viagem, tinha em reais a quantia de:

a) r$ 240,00b) r$ 260,00c) r$ 280,00d) r$ 300,00

15. um barril cheio de água pesa 1160g e com água até a metade de sua capacidade 6,5hg. o peso do barril vazio, em kg, é:

a) 0,07 b) 0,12 c) 0,14d) 0,25

16. tenho 100 notas, algumas de r$ 10,00 e outras de r$ 5,00 num total de r$ 600,00. a quantidade de notas de r$5,00 que possuo é:

a) 20b) 40c) 60d) 80

17. a soma de dois números é 125. um deles é igual a 2/3 outro. a diferença entre o maior e o menor, nessa ordem, é:

a) 25 b) 42 c) 45d) 60

18. (cMBH/2004) em 01/01/1986, joão era 26 anos mais velho que seu filho pedro. sabe-se que eles fazem aniversário no dia 30/12. em 01/01/2003, a idade do pai era o dobro da idade do filho. a idade de joão em 01/01/1994 era:

a) 35 anosb) 37 anosc) 40 anosd) 43 anos

19. (cMBH/2004) um vendedor recebe anualmente uma gratificação composta de duas partes: uma parte fixa, no valor de r$ 10.800,00 e uma vari-ável, que corresponde a uma comissão de 2% do total de vendas que ele fez durante o ano. o valor total da gratificação deste vendedor em um ano, considerando que, nos meses que têm 31 dias, ele vendeu r$ 10.000,00 por mês e, nos meses restan-tes, vendeu r$ 9.000,00 por mês, é igual a:

a) r$ 13.100,00b) r$ 13.080,00c) r$ 13.060,00d) r$ 13.040,00

20. (cMBH/2004) resolvendo o sistema de inequa-

ções em r ,

≥-->+

020013

x x

, obtém-se :

a) s = {x ∈ r / x > -10/3} b) s = {x ∈ r / x > -2} c) s = {x ∈ r / x < -10/3 ou x > -2} d) s = {x ∈ r / -10/3 < x < -2}

21. (cMBH/2009) a idade de uma atleta olímpica é o triplo da diferença entre a terça parte da idade que ela terá daqui a 13 anos e a sexta parte da que ela teve a nove anos atrás. sabendo disso podemos afirmar que a atleta tem:

a) 24 anos.b) 25 anos.c) 30 anos.d) 35 anos.

22. (ceFeT/2009) o lucro de uma empresa, para cada quantidade x de unidades vendidas, é expresso por l(x) = 10x – 3. se esse lucro não foi inferior a 5 e não ultrapassou 55 unidades monetárias, então, a quantidade de unidades produzidas pertence ao intervalo

a) [1,5]b) [3,8]c) [5,9]d) [2,10]

23. (ceFeT/2008) considere a fração 23 .

se o numerador dessa fração for aumentado de uma unidade e o denominador diminuído de duas unidades, a nova fração obtida será igual a 1. e, se o denominador for aumentado de duas unidades e o numerador for subtraído de três, a fração será igual a 1/3. nessas condições, o valor de (m – n)n–m, será

a) –27

b) 72

1

72

c) 23

d) 4

24. (cOLTec/2008) assinale o conjunto solução des-

ta equação 23

962

=-

+-x

xx

a) { 3 }b) { 5 }c) { 3 e 5 }d) { – 3 }

25. (cOLTec / 2008) o dobro de um número real mais 3 é menor que 9, mas a sua metade é maior que 1. esse número pertence a qual conjunto?

a) {x ∈ r / x < 2 ou x > 3}b) {x ∈ r / x > 3}c) {x ∈ r / x > 2}d) {x ∈ r / 2 < x < 3}

26. (ceFeT/2009) os preços do arroz (a) e feijão (f), nos supermercados s1 e s2 , estão discriminados nos seguintes gráficos:

nos supermercados s1 e s2, as embalagens de ar-roz e feijão são sempre de um quilo. um consu-midor X foi a s1 e gastou r$ 30,00, comprando ar-roz e feijão. já o consumidor Y teve uma despesa de 36,00, adquirindo mesma quantidade de cada produto em s2.

assim sendo, o total de alimentos, em kg, que cada um comprou éa) 6b) 7c) 8d) 9

27. (cOLTec/2007) para fazer um lanche, caio pre-cisa comprar pão e queijo. ao pesquisar o preço desses ingredientes em um supermercado, verifi-

cou que gastaria r$3,60 e que, em uma mercearia, precisaria de r$3,50.

neste quadro, estão relacionados os preços dos ingre-dientes, encontrados pelo garoto. a) 300.b) 550.c) 3.000.d) 5.500.

28. (ceFeT/2008) seja x + y = –2 e 3x – 2y = 19, logo o valor de [(y - x)6]

(3x + y)-4 éa) 226

b) 326 c) –326 d) –226

29. (cOLTec/2010) considere esta sentença:

7322122

222932

43

÷⋅=+

⋅

xx

para tornar essa sentença VerDADeIrA, o valor de x é

a) 31

b) 32

c) 38

d) 94

8

30. (cOLTec/2011) considere as equações

364338227

25341 2

×-×-÷+

=×+-

= BeA

É cOrreTO afirmar que o valor de c, tal que cA=B é:a) -8

b)723

-

73

c) 723

d) 8

31. (cOLTec/2011) em uma empresa, as mulheres

constituíam 95 do total de funcionários. por meio

de um programade expansão, foram contratados no-vos funcionários.

após essa expansão, o número de funcionários do sexo feminino cresceu 20%, e o do sexo masculino, 40%.

assim sendo, é cOrreTO afirmar que, depois do programa de expansão, a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o total de funcioná-rios dessa empresa passoua ser

a) 94

b) 9241

c) 96

d) 9251

32. (ceFeT/2010) celso tinha a metade da idade de marcos há 12 anos passados.

se daqui a 8 anos, ele tiver 23

da idade de marcos, en-

tão, a soma das idades deles, em anos, seráa) 42b) 56c) 64d) 72

33. (ceFeT/2010) um comerciante vende arroz dos tipos i e ii, cujos preços, por quilo, são, respectivamente, r$3,00 e r$4,00. ele decide negociar parte desse estoque, compondo 75 quilos de uma mistura com x quilos do arroz tipo i e y quilos do arroz tipo ii. se o preço, por quilo, dessa mistura for, no máximo, r$3,40, então, é INcOrreTO afirmar que ela

a) deve ter, no máximo, 30 kg de arroz tipo ii.

b) deve ter, no mínimo, 44 kg de arroz tipo i.c) pode ser composta por 50 kg de arroz tipo i e 25

kg do tipo ii.d) pode ser composta por 47 kg de arroz tipo i e 28

kg do tipo ii.

34. (ceFeT/2011) se m = 22

35 -

e 111

=+nm então o valor de n é

a) 31

34 +-

b) 32 +

c) 01

31--

d) 3134

gabaritos

1a 2c 3d 4b 5a

6d 7a 8b 9c 10a

11d 12c 13a 14c 15c

16d 17a 18d 19a 20d

21d 22a 23b 24b 25d

26b 27b 28a 29a 30a

31b 32a 33b 34a

74

PArTe 7

eQUAÇÃO DO 2º GrAU

1 - conceito

equação do 2º grau na variável x, é toda equação do tipo:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) e a, b e c ∈r.

a equação do 2º grau é:i) completa se b ≠ 0 e c ≠ 0.ii) incompleta se b ou c forem iguais a zero.

Exemplo:3x2 - 5x + 6 = 0 - completa4x2 - 16 = 0 - incompleta5x2 + 10x = 0 - incompleta6x2 = 0 - incompleta

2 - raízes de uma equação do 2º grau

vamos considerar equações do 2º grau no uni-verso ir, a fim de obtermos o conjunto-Verdade de cada uma delas.

observe as equações a seguir:

a) x2 - 5x + 6 = 0

se substituírmos x por 2 ou por 3, temos22 - 5 . 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 032 - 5 . 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0

dizemos, assim que 2 e 3 são raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0

b) 5x2 - 20x = 0

substituindo x por 0 ou por 4, temos5 . 02 - 20 . 0 = 0 - 0 = 05 . 42 - 20 . 4 = 80 - 80 = 0

então, 0 e 4 são raízes da equação 5x2 - 20x = 0.concluímos, então, que

chama-se raiz de uma equação do 2º grau o número real, que, substituído no lugar da incógni-ta, torna a sentença matemática verdadeira.

3 - resolução das equações Incompletas do 2º grau

1º cASO: equações do tipo ax2 + bx = 0 (b ≠ 0 e c = 0).

temos: ax2 + bx = 0 → colocamos x em evidência ↓ x(ax + b) = 0

um produto de dois fatores é nulo, quando

=⇔=⇔=+

=⇔=

raiz outra é 0

u oraíz uma é 0 0

abx

abxbxa

xxx= 0

=⇔=⇔=+

=⇔=

raiz outra é 0

u oraíz uma é 0 0

abx

abxbxa

xx x= 0 é uma raiz

ou

ax + b = 0

=⇔=⇔=+

=⇔=

raiz outra é 0

u oraíz uma é 0 0

abx

abxbxa

xx x= _ b

=⇔=⇔=+

=⇔=

raiz outra é 0

u oraíz uma é 0 0

abx

abxbxa

xx x= _ b é outra raiza a

logo

-=

abv ,0

podemos dizer, ainda, que as raízes são

-=

abv ,0x’ = 0 e x" =

Exemplo:x2 - 3x = 0 \ x(x - 3) = 0x = 0 ou x - 3 = 0 x = 3

portanto v = {0, 3} ou x’ = 0 e x” = 3.

Observação:

se b ≠ 0 e c = 0, uma das raízes é nula

2º cASO: equações do tipo ax2 + c = 0 (b = 0 e c ≠ 0).

temos: ax2 + c = 0

isolando a variável, vem ⇒-

=⇒-=acxc 22 xa

--=

-+=

⇒-±

=⇒

acx

uoa

cx

acx

75

4 - resolução das equações completas do 2º Grau

as raízes das equações do tipo ax2 + bx + c = 0 (b ≠ 0 e c ≠ 0), quando existem, em ir, são dadas

pela fórmula:

acabbx

2 42 -±-

=

de onde tiramos:

acabb

xea

cabbx

24

"2

4'

22 ---=

-+-=

chamamos b2 - 4ac de discriminante representa-do por D (delta), temos:

abx

2" D--=

abx

2' D+-=

abx

2D±-

=

Exemplos:

determine o conjunto-verdade das seguintes equações completas do 2º grau, em ir.

a) x2 - 5x + 6 = 0

calculando D, temos D = b2 - 4ac D = (-5 )2 - 4 . 1 . 6 D = 25 - 24 = 1

temos:

abx

2" D--=

abx

2' D+-=

abx

2D±-

=

logo:

( )

( ) 2"2

15"1 . 2

15"

3'2

15'1 . 2

15'

=⇒-

=⇒---

=

=⇒+

=⇒+--

=

xxx

xxx

o conjunto-verdade será v = {2, 3}

logo

-

--

=ac

acv ,

ou, ainda, acxe

acx -=

-+= '''

Exemplos:

a) ⇒=⇒=⇒=-46 16 1 406 1 x4 222 xx

-=

=⇒±=

2

24

xuo

xx

ou: x' = +2 e x" = -2

b) 0 5 200 5 x2 22 -=⇒=+ x

Rxx ∉±=⇒

-= 52

2052 -

logo ov /=

Observação:

quando b = 0 e c ≠ 0, as raízes reais, se exis-tirem, serão simétricas.

3º cASO: equações do tipo ax2 = 0 (b = 0 e c = 0).

temos ax2 = 0 e x2 = a0

x2 = 0

vem x = ± 0 x = 0 portanto v = {0}, ou ainda, x’ = x” = 0.

Exemplo: 632

31 22 xx -=

+

m.m.c. (3, 6) = 6logo2(x2 + 1) = 2 - 3x2 2x2 + 2 = 2 - 3x2 5x2 = 0

x2 = 0 x = 0

portanto v = {0}

ou: x’ = x” = 0.

Observação:

se b = c = 0, as duas raízes são nulas.

76

b) 06332 =+- xx

calculando D:

( ) 34 27 26 . 1 . 4 33 2 =-=D⇒--=D

temos:

2333"

2333'

-=

+=

x

x

2333 ±

=x

logo:

3"2

32"

32'2

34'

=⇒=

=⇒=

xx

xx

portanto: { }32 ,3 V =

5 - Discriminante de uma equação do 2º Grau (D)

na resolução de uma equação do 2º grau as raízes dependem da extração de uma raiz quadrada, pois

abx

2D±-

=

entretanto, o valor D pode ou não apresentar valores no campo real. como conseqüência, são três os casos possíveis:

1º cASO:

D > 0

se D > 0, ocorrerá

206

2±

=D±-

=a

bx

e v = {x’, x”}, com x’ ≠ x” .

dizemos que as raízes são reais e desiguais

Exemplo:

resolva, em ir, a seguinte equação:

2x2 - 5x - 3 = 0a = 2, b = - 5 e c = - 3D = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 . 2(-3) = 25 + 24 = 49

como D > 0, a equação admite duas raízes reais e desiguais.

475

2±

=D±-

=a

bx

=+

=4

75'x

21

475" -=

-=x

portanto

-= 3,

21v

2º cASO: D = 0

neste caso, D = 0 e ocorrerá:

abx

2D±-

=

ab

abx

ab

abx

220"

220'

-=--

=

-=+-

=

o que implica que x’ = x” .dizemos, então, que as raízes são reais e iguais

ou, ainda, que a equação tem uma raiz dupla.

Exemplo:

resolva, em ir , a equaçãox2 - 6x + 9 = 0a = 1, b = 6 e c = 9D = b2 - 4ac = (- 6)2 - 4.1.9 = 36 - 36 = 0

como D = 0 , a equação admite duas raízes reais e iguais.

32

06"

32

06'

=-

=

=+

=

x

x

206

2±

=D±-

=a

bx

portanto v= {3}.

3º cASO: D < 0

se D < 0, D não pertence ao conjunto dos reais e dizemos que a equação não admite raízes reais.

77

2

2

4" . '

2

2" . '

abxx

ab

abxx D-

=⇒

D--

D+-=

ou ( )

22

22

4 4

4 4" . '

aca

acabbxx =

--=

logo acxx ="'.

Exemplos:

01. calcule o produto das raízes da equação 5x2 - 3x - 2 = 0.

x’ . x” = ac

; como c = - 2 e a = 5: x’ . x” = -52 .

02. determinar o valor de m na equação (m + 2)x 2 - 3x + 2 = 0, de modo que a soma das raí-zes da equação seja igual a 1/4.

Solução:

pela relação: x’ + x” = ab

- x’ + x” = ( )

23

23

+=

+--

mm

pelo problema: x’ + x” = 41

logo 41

23

=+m

12 = m + 2 m = 12 - 2 m = 10

Resposta: m = 10

03. calcular o valor de p na equação 3x2 - 4x + p - 1 = 0, a fim de que o produto das raízes da equação seja igual a 4/5.

Solução:

pela relação: x’ . x” = ac x’ . x” =

31-p

pelo problema: x’ . x” = 54

logo: 54

31=

-p

5(p - 1) = 12 5p - 5 = 12

5p = 17 p = 57 1

Resposta: p = 57 1

Exemplo:

resolva, em ir, a equação3x2 - x + 1=0a = 3, b = -1 e c = 1D = b2 - 4ac = (- 1)2 - 4 . 3 . 1 = - 11como D < 0, a equação não tem raízes em ir .

portanto v = o/

resumo

para ax2 + bx + c = 0se D > 0, a equação tem duas raízes reais e

diferentes.se D = 0, a equação admite uma única raiz

real (raiz dupla).se D < 0, a equação não admite raizes reais.se ∆ ≥ 0, a equação tem raízes reais.

6 - relações entre os coeficientes e as raízes da equação do 2º Grau

na equação ax2 + bx + c = 0 há duas relações im-portantes entre os coeficientes a,b,c e as raízes x’ e x”. vamos examiná-las.

1ª relação: Soma das raízes

adicionando membro a membro as igualdades seguintes, temos

abx

2' D+-= a

bx2

" D--=e

abbxx

2"' D--D+-=+ a

babxx =

-=+

22"'ou

logo abxx -=+ "'

Exemplo:

na equação 2x2 - 9x + 4 = 0, determine a soma das raízes sem calcular cada uma delas.

x’ + x” = ab

- ; como b = - 9 e a = 2: x’ + x” = 29

.

2ª relação: Produto das raízes

multiplicando membro a membro as igualdades seguintes, temos

abx

2' D+-= a

bx2

" D--=e

-

78

7 - Formação de uma equação do 2º Grau, dadas as raízes

dados x’ e x”, queremos conhecer a equação do 2º grau que tenha essas raízes.

na equação ax2 + bx + c = 0, dividimos os mem-bros por a ≠ 0.

02 =++acx

abx

ou

oacx

abx =+

--2

como , temos

"' xxab

+=- e "' xxac=

1 + 1 = _ b X ' X " c

logo, a equação será do tipo x2 - Sx + P = 0, onde S é a soma das raízes e P, o produto das raízes.

Exemplos:

01. determine a equação de raízes 3 e 5. basta substi-tuir x’ e x” na equação

x2 - (x’ + x”) x + x’ . x” = 0ou x2 - (3 + 5) x + 3 . 5 = 0ou x2 - 8x + 15 = 0

02. dados x’ = 2 e x” = -3 , determine a equação.

x2 - (x’ + x”) x + x’ . x”= 0 ou x2 - (2 -3) x + 2 (-3) = 0ou x2 + x - 6 = 0

Obs: repare que ela se parece bem com o produto notável x² + sx + p. só o sinal de s é diferente.


01. resolva a equação: 3x2 - 5x + 2 = 0

Resp.) V = {2/3, 1}

02. resolva a equação: x + x = 1 x + 1 x + 4

Resp.) V = {-2, 2}

03. determine o valor real de p na equação 5x2 - (p + 1)x + (p - 4) = 0, de modo que uma das raízes seja nula.

Resp.) p = 4

04. na equação mx2 + 36x + 18 = 0, determine m, de modo que:

a) uma raiz seja -1. resp.) m = 18b) a soma das raízes seja 9. resp.) m = -4c) o produto das raízes seja 2. resp.) m = 9d) uma das raízes seja o tríplo da outra. resp.) m = 27/2

05. na equação x2 - 2px + p - 1 = 0, determine p, de modo que:

a) uma raiz seja nula. resp.) p = 1b) as raízes sejam simétricas. resp.) p = 0c) as raízes sejam inversas. resp.) p = 2

06. determine m para que a soma dos quadrados das raízes da equação 2x2 - 5x + m + 1 = 0 seja 20.

Resp.) m = -59/4

07. na equação 2x2 - 4x + m - 1 = 0, determine m de modo que:

a) as raízes sejam reais e diferentes. Resp.) m < 3b) as raízes sejam reais e iguais. Resp.) m = 3c) as raízes não sejam reais. Resp.) m > 3

08. forme a equação de raízes:a) 2 e 3 Resp.) x2 - 5x + 6 = 0b) 1 e 1/2 Resp.) 2x2 - 3x + 1 = 0c) Resp.) x2 - 4x + 1 = 0d) 2/3 e 3/4 Resp.) 12x2 - 17x + 6 = 0

09. na equação 2x2 - (m + 1)x + 16 = 0 a soma das raízes é 6. determine o valor de m.

Resp.) m = 11

11. calcule m da equação 2x2 - 5x + m = 2, para que a soma das inversas raízes seja 5/4.

Resp.) m = 6

12. determinar a soma dos quadrados dos inverssos das duas raízes da equação 6x2 - 5x + 1 = 0

Resp.) 13

79

Testes

01. considere a sequência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o resultado anterior.

comece com um número x. subtraia 2, multipli-que por 3/5, some 1, multiplique por 2, subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o nú-mero 21.

o número x pertence ao conjunto:a) {-3, -2, -1, 0} b) {-7, -6, -5, -4} c) {5, 6, 7, 8}d) {1, 2, 3, 4}

02. sendo -2 e 5 as raízes da equação ax2 + bx + 10 = 0, o valor de (a + b) é:

a) 3b) 2c) 1d) -1

03. (cMBH/2004) o valor de K para que a equação x2 - kx + k + 1 = 0 admita duas raízes naturais e consecutivas é

a) 1 b) 2c) 3 d) 5

04. o número de raízes reais da equação x3 = x é:a) 1 b) 2c) 3 d) 4

05. uma torneira deixa cair x gotas a cada 20 segundos. esse número x de gotas é raiz da equação x(x - 2) = 21 + 2x.

o volume de água, em litros, que vaza por hora, sendo 0,4 ml o volume de cada gota, é:a) 5,04 x 10-1

b) 5,04 x 10-2

c) 5,04 x 10-3

d) 5,04 x 10-4

06. uma pessoa distribui 240 balas para um certo núme-ro de crianças. se houvesse uma criança a mais, cada criança teria recebido uma bala a menos. o número de crianças para quem foram distribuídas as balas, é:

a) 12b) 14c) 15d) 16

07. (cMBH/2006) sabendo que a diferença entre as raizes da equação do 2º grau dada por x2 + (-m + 1) x = m é 3, o produto dos possíveis valores de m é

a) 8 b) 4c) 1 d) -8

08. carlos gastou r$ 120,00 na compra de cadernos. se cada caderno custasse menos r$ 5,00, poderia ter comprado mais 4 cadernos. o número de ca-dernos que ele comprou, é:

a) 6b) 8c) 10d) 12

09. um pai tinha 30 anos quando nasceu seu filho. se se multiplicam as idades que possuem hoje, obtém-se um produto que é igual a três vezes o quadrado da idade do filho. a idade do pai está entre:

a) 32 e 37b) 37 e 42c) 42 e 47d) 47 e 52

10. (cMBH/2005) o valor de m para a equação x2 - mx + 20 = 0 admita raízes naturais e con-secutivas é:

a) -7 b) 7c) 5 d) 9

11. (cMBH/2005) um número x mais o seu inverso

é igual a 5. então o valor de y+ y1 , onde y é a ter-

ceira potência de x , é igual a:a) 125b) 110c) 100d) 80

12. um pedaço de arame de 24 cm é dividido em duas partes e com cada uma delas constrói-se um qua-drado. sendo 20 cm2 a soma das áreas desses qua-drados, a medida do lado do menor quadrado, em cm, é:

a) 2b) 4c) 6d) 8

13. (cMBH/2006) uma empresa fabrica e vende apa-relhos de som.para um determinado modelo, de acordo com um levantamento feito pela área

80

financeira, a um preço de p reais por unida-de, o custo c e a receita r, em milhares de reais, são expressos, respectivamente, por

c = p54

563- e r = 5p – p2 . quando a receita é

igual ao custo acrescido de 25%, esta receita, em milhares de reais, será:

a) 6b) 7c) 8d) 9 14. (ceFeT/2008) no balcão de uma lanchonete, a

diferença entre a quantidade de pães de queijo e o de coxinhas é 6, e o produto entre o número de pastéis e o de pães de queijo é 720. se o total de unidades desses três salgados é 72, e o número de pães de queijo é maior que 20, pode-se afirmar que a quantidade de coxinhas é

a) 16b) 18c) 20d) 22

15. (cOLTec/2007) nos estudos de literatura, cha-mamos de “métrica” o número de sílabas poéticas de um verso. considere este trecho da obra morte e vida severina:

o meu nome é severino

[...]como há muitos severinos,

que é santo de romaria,deram então de me chamar

severino de maria.

se chamarmos de x a métrica dos versos des-se trecho, sabemos que é válida a equação

42

62

23

=+--xx

xxx .

então podemos afirmar que x valea) 7.b) 8.c) 9.d) 3.

16. (cOLTec/2007) considere c1 uma circunferên-cia de raio r e c2 uma circunferência de raio r - 4.

sabendo-se que o valor numérico do comprimento

de c1 é igual ao valor numérico da área de c2, podemos afirmar que r vale

a) 2.b) 4.c) 8.d) 12.

17. (cOLTec/2008) dados dois quadrados a e b, sabe-se que os lados do quadrado b têm 1 unidade de comprimento a mais que os lados de a. sabe-se também que a diferença entre as áreas deles é 20% da área do quadrado b. qual é o intervalo que contém a medida do lado do quadrado a?

a) [6,7]b) [7,8]c) [8,9]d) [9,10]

18. (ceFeT/2006) a diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é 2 cm. se sua área é menor ou igual a 24 cm2, então, o valor de x, em cm, será

a) 0 < x < 6b) 0 < x < 4c) 2 < x < 6d) 2 < x < 6

19. (ceFeT/2007) considere a equação do 2º grau x2 – 3x - m + 1 = 0 onde x1 e x2 são suas raízes e m ∈ r. se x1 < 1 < x2 , então, necessa-riamente,

a) m > –1b) m < 4c) m > 3d) m > 4

20. (cOLTec/2010) considere esta equação:x2 – 2x + a – 3 = 0

assinale a alternativa que apresenta o conjunto de valores de a tais que essa equação tenha so-lução real.

a) { }4/ ≤∉ aRab) { }4/ <∉ aRac) { }4/ >∉ aRad) { }4/ ≥∉ aRa

21. (cOLTec/2011) determine o valor de K de modo que a equação x2+3x=k+1 tenha raízes reais iguais.

81

então é cOrreTO afirmar que

a) k= 431

-

b) k=-1

c) k=0

d) k= 45

22. (cMBH/2007) a superfície ocupada pela área da piscina da casa de pedro tem 8m de largura por 10m de comprimento. ao redor da piscina ele pretende construir uma calçada de largura cons-tante e revesti-la com pedras.

cada metro quadrado de pedra custa r$ 18,00 e o pe-dreiro cobra r$ 12,00 por metro quadrado para colocar as pedras. pedro possui o valor de r$ 1200,00 para a con-clusão da obra. então, a largura da calçada sera igual a:a) 1m b) 2mc) 4m d) 5m

gabaritos

1c 2b 3d 4c 5a

6c 7d 8b 9c 10d

11b 12a 13a 14b 15a

16c 17a 18c 19a 20a

21a 22a

PArTe 8

SISTeMAS De eQUAÇõeS DO 2º GrAU

1 - conceito

um sistema de equações é do 2º grau quando é redutível a equação do 2º grau;

Exemplos:

a){ x + y = 7x . y = 10

de x + y = 7 y = 7 - x, que substituindo em xy = 10, vem:

x(7 - x) = 10 x2 - 7x + 10 = 0

de x2 - 7x + 10 = 0 tem-se que

x’ = 2 e x” = 5 y’ = 7 - 2 ou y” = 7 - 5 y’ = 5 y” = 2

portanto, para x = 2 y = 5 e para x = 5 y = 2

cada solução é um par ordenado (x, y) (2, 5) e (5, 2).

logo, v = { (2, 5), (5, 2)}

b) determine dois números naturais cuja soma é 10, sabendo-se que o dobro do maior aumentado do quadrado do menor é 23.

sejam os números x ∈ in e y ∈ in com x > y.

=+

=+

3 220 1

2yxyx

de x + y = 10 x = 10 - y que substituindo em2x + y2 = 23 2(10 - y) + y2 = 23 ouy2 - 2y - 3 = 0 y’ = 3 e y” = -1 ∉ in

para y = 3, tem-se que x = 10 - 3 x = 7.

logo, os números naturais são 7 e 3.

82

2 - equação Biquadrada

2.1 - conceito

equação biquadrada na variável x, é toda equação redutível à forma.

ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)

resolução: a

cabbx2

4 2 -±-

±=

Exemplo:

resolva a equação:

24

392

53 12

5 23 1

06 33 1x 22

±=⇒±=

±=⇒±=

±±=

±±=

=+-

xx

xxa

x

x4x

3 - equação Irracional

3.1 - conceito

equação irracional é toda equação que apresenta variável (incógnita) no radicando.

Exemplo: 27 =-x

a resolução de uma equação irracional faz-se ele-vando os dois membros da igualdade a um “expoente” conveniente, afim de eliminar o radical, transforman-do a equação irracional em uma equação racional.

esta operação será realizada quantas vezes for necessária e sempre “isolando” um radical num dos membros da igualdade.

Determinando as raízes da equação racional, faz-se a verificação das mesmas, visto que entre as raízes da equação racional resolvida, pode haver raiz ou raízes estranhas à equação irracional primitiva.

exemplo: resolva a equação:

53 -=- xx (irracional)

Solução:

( ) ( ) 5 20 1353 22 2 +-=-⇒-=- xxxxx ou

x2 - 11x + 28 = 0 (racional)

a raízes da equação racional correspondente, são: x' = 4 e x" = 7

Verificação:

1154344 -≠⇒-=-⇒=x (estranha)

2457377 =⇒-=-⇒=x (verdadeira)

resp.): V = { 7 }


reSOLVA OS SISTeMAS

01.

==

2 1 . 1-

yxyx

resp.) V = {(4, 3), (-3, -4)}

02.

=-=+

35622

yxyx

Resp.) V = {(7, 4), (-4, -7)}

03.

=+

=

4 7 2 1-

22 yxyx

Resp.) V = {(7, -5), (5, -7)}

reSOLVA AS eQUAÇõeS

04. x4 - 3x2 - 4 = 0

Resp.) V = {± 2}

05. x4 + 13x2 + 36 = 0

Resp.) V = ∅

06. x4 - 3x2 + 2 = 0

Resp.) V = { ±1, ± 2 }

83

reSOLVA OS PrOBLeMAS

07. a soma dos termos de uma fração é 10. soman-do-se 4 unidades ao numerador e tirando-se 4 unidades do denominador, obtém-se a sua recí-proca. determine essa fração.

resp.) 3/7

08. determine dois números, sabendo que a razão en-tre a sua soma e o seu produto é 18/77 e que a ra-zão entre a soma de seus quadrados e a sua soma é 85/9.

resp.) 7 e 11

09. um retângulo é equivalente (tem a mesma área) a um quadrado de lado 18cm. aumentando cada lado desse retângulo em 2cm, a área aumenta em 82cm2. determine as dimensões do retângulo.

resp.) 12cm e 27cm

Testes

01. as raízes da equação, x4 - 5x2 + 6 = 0, são núme-ros:

a) racionais positivos b) racionais negativos c) irracionaisd) inteiros

02. (cMBH/2006) o par ordenado (a, b) é a solução do sistema:

-7x - 8y = 18 8 7 5-y = x = -22 7 8 5

+

então, a soma a + b vale:a) -10 b) -9 c) - 8 d) 1

03. as raízes racionais da equação, x4 - 3x2 + 2 = 0, são:

a) 1 e 2 b) ±1

c) ±2

d) ±21

04. a solução da equação, x - 15 2 2 =- x , é a) 1 b) 2 c) 3d) 4

05. a solução da equação, 2 123 -=- xx , éa) 5 b) 6 c) 7d) 9

06. (cMBH/2004) o conjunto s, em r, da equação

0313 2 =-+x é:

a)

-=

362,

362S

b)

-=

32,

32S

c) { } 6 2 ,62 - =S

d)

-=

322,

322S

07. a solução da equação 26 =- x é:a) 4 b) 6 c) 8d) 9

08. (cMBH/2009) um brasileiro fanático por futebol chegou de pequim para assistir ao jogo do brasil x argentina. ao chegar ao aeroporto, alugou um carro motor flex (álcool/gasolina) e colocou em seu tanque r$12,00 de gasolina em total de 18 litros de combustível. sabendo que o preço do litro de gasolina em r$ 1,00 mais caro que o litro do alcóol e que 1 real equivale a 4 iuanes (moeda da corrente chinesa), podemos afirmar que:

a) o preço do litro de alcool era de 2,1 iuanesb) o preço do litro de gasolina era de 5,2 iuanesc) o preço do litro de alcool era de 4 iuanesd) o preço do litro de gasolina era de 6 iuanes

84

09. (cMBH/2008) a soma de todas as raízes da equação (x2 + 5x -1)2 = 5x2 + 25x -5 é igual a:

a) -5 b) -6c) -10d) 10

10. a soma de dois números é 5 e a soma de seus in-versos é

65 . o produto destes números é:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8

11. (ceFeT/2007) o par (x, y) de números reais é a solução do sistema

{ x2 + x - 2xy + y2 = 4 x - y = 1

e pertence ao gráfico da equaçãoa) xy = -3 b) y = x + 1c) 3x - 2y - 5 = 0 d) y = x2 - 4x + 1

gabaritos

1c 2c 3b 4d 5c

6a 7a 8c 9c 10c

11c

Parte 9

GeOMeTrIA PLANA

1. Introdução

geometria é uma palavra de origem grega e que significa “medida de terra”.

geometria, como um dos ramos da matemática, estuda as figuras geométricas e suas propriedades.

os conceitos previamente estabelecidos, em ge-ometria, são conceitos não-definidos, são as noções primitivas.

2. Noções Primitivas

as noções primitivas estabelecem as proprieda-des geométricas, que são classificadas em:

i) Axiomas - propriedades aceitas sem demons-tração.

ii) Teoremas - propriedades que são demonstra-das (deduzidas).

3. notações

• ponto

• reta

• plano

• semi-reta

ab : de origem a que passa pelo ponto b

ba : de origem b que passa pelo ponto a

• segmento de reta

B A ou A B

85

classificando os segmentos de reta, tem-se seg-mentos de reta que são:

a) consecutivos: “tem uma extremidade comum”.

são consecutivos os segmentos de reta ab e bc.

b) colineares: “estão contidos numa mesma reta”.

ab e cd mn e np mn e np

c) Adjacentes: “são colineares, são consecutivose possuem apenas um ponto comum”.

ab e bc

Segmentos de reta congruentes: ab = cd , lê--se ab é congruente a cd se as medidas de ab e cd são iguais.

Ponto médio de um segmento de reta

sendo am ≡ mb, o ponto m é o ponto médio de ab.

4. Ângulo

conceito:

ângulo é a região plana formada por duas semire-tas de mesma origem.

classificação

a) consecutivos: dois ângulos são consecutivos se têm um lado comum.

b) Adjacentes: dois ângulos consecutivos são adjacentes se não possuem pontos internos comuns.

c) Ângulos opostos pelo vértice (o. p. v.): dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

os ângulos o. p. v. são congruentes, isto é, são ângulos que têm medidas iguais.

uma das medidas de ângulo é o grau.

86

d) Ângulos complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º.

é deno-minado “ângulo reto”.

e) Ângulo suplementares: dois ângulos são su-plementares se a soma de suas medidas é 180º.

f) Ângulo agudo: é todo ângulo menor que um ângulo reto .

ângulo reto. .

g) Ângulo obtuso: é todo ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo obtuso

ângulo reto e menor que um ângulo raso. .

Bissetriz

bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo, interna ao ângulo, e que o divide em dois ângulos adjacentes congruentes.

Propriedade da Bissetriz de um Ângulo “todo ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados do mesmo”.

retas coplanares

Paralelas ⇒ não possuem pontos emcomum

rs

r//s

coincidentes ⇒ possuem todos os pontos em comun .

r≡ s

concorrentes ⇒ possuem apenas um ponto comum.

Perpendiculares ⇒ interceptam-se formando ângulos retos entre si.

87

Distintas

coincidentes

Oblíquas

Perpendiculares

Paralelas

concorrentes

retas{Mediatriz

mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendi-cular ao segmento passando pelo ponto médio do mesmo.

am = mb

ab, é a retamediatriz de ab.

qualquer ponto da reta mediatriz de B A é eqüi-distante dos extremos de B A .


01. efetue:a) 18º 35’ 27” + 32º 47’ 35” resp.) 51º 23’ 02”b) 87º 13’ 27” - 23º 47’ 38” resp.) 63º 25’ 49”c) 13º 42’ 28” x 5 resp.) 68º 32’ 20”d) 73º 25’ 47” : 2 resp.) 36º 42’ 53,5”

02. determine a medida de um ângulo se a quinta parte do seu suplemento vale 24º.

resp.) 60º

03. calcule a medida do ângulo que excede seu com-plemento em 43º.

resp.) 66º 30’

04. observe a figura.

resp.) 10º

Testes

01. o complemento de 12º 37’ 42” mede:a) 78º 23’ 18”b) 77º 22’ 18”c) 78º 22’ 18”d) 78º 23’ 17”

02. o ângulo que mede a metade de seu complemen-to é o ângulo de:

a) 60ºb) 50ºc) 40ºd) 30º

03. a medida do ângulo igual ao triplo de seu com-plemento é igual a:

a) 60ºb) 66º 20’c) 67º 30’d) 69º

04. a medida do suplemento do ângulo de 93º 15’ é:a) 86º 45’b) 87º 15’c) 86º 15’d) 87º 45’

05. classificando verdadeira com V e falso com F as afirmações:

I- dois ângulos consecutivos são adjacentes.II- dois ângulos adjacentes são consecutivos.III- dois ângulos o. p. v. são adjacentes.

obtém-se a sequência.a) vffb) fvfc) vvfd) ffv

06. o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângu-los adjacentes mede 40º. sendo um deles igual a três quintos do outro, a medida do maior desses ângulos é:

a) 15ºb) 25ºc) 30ºd) 50º

07. (cMBH) na figura abaixo, r / / s. então os v alo-res do complemento, do suplemento e do reple-mento de x são, respectivamente:

a) 3130, 1330 e 430

88

b) 1330, 430 e 3130

c) 470, 1370 e 3170

d) 430, 1330 e 3130

08. (cMBH) um relógio de pronteiro marca 12h 24min. o menor ângulo entre os ponteiros, nesse instante, vale:

a) 1440

b) 1400

c) 1380

d) 1320

09. os pontos a, b e c são colineares com c entre a e b. se os pontos m e n são pontos médios de ab e bc, respectivamente. então, mn é igual a:

a) ab + ac2

b) 22 CBBA -

c) ab + bc2

d) ab - ac2

10. são dados os segmentos ab, cd, ef e gH, pro-porcionais nessa ordem. se ab = (x +1) cm, cd = (x +8) cm, ef = (x +10) cm e gH = (x + 20) cm, podemos afirmar que a soma das medidas ab + cd + ef + gH vale, em cm

a) 98b) 109c) 119d) 129

11. seja o segmento mn e q mn tal que mqqn

59

= . se o ponto q está situado a 15cm da extremidade

m do segmento mn, a medida de mn, em cm, é:a) 48b) 42c) 36d) 27

12. dois segmentos são tais que um deles mede 2m e o outro mede 80cm. a razão entre o maior e o menor desses segmentos é:

a) 5/2b) 5/4c) 40d) 4

13. as medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas, em graus, por (3x + 40º) e (6x - 21º). a medida x é igual a:

a) 20º 12’

b) 12º 20’c) 20º 20’d) 12º 12’

14. observe a figura, onde E0 é bissetriz de B0D .

a medida de C0A , éa) 20ºb) 50ºc) 70ºd) 140º

15. duas retas concorrentes formam entre si um ân-gulo de 112º. a medida dos outros ângulos agu-dos que essas retas formam entre si, mede

a) 58ºb) 68ºc) 78ºd) 112º

16. dois ângulos adjacentes complementares têm medidas expressas por 2x e x + 42º. as medidas desses ângulos, são

a) 32º e 58ºb) 42º e 48ºc) 44º e 46ºd) 52º e 38º

17. as medias de dois ângulos congruentes são ex-pressas por (3x + 20º) e (5x - 34º). a medida des-ses ângulos, é:

a) 27ºb) 91ºc) 101ºd) 110º

gabaritos

01b 02d 03c 04a 05b

06d 07d 08d 09b 10c

11b 12a 13c 14b 15b

16a 17c

89

5. paralelas, transversais e ângulos

retas concorrentes - Definição

duas reta são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto comum.

retas Paralelas - Definição

duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e somen-te se, são coincidente (iguais) ou são coplanares e não têm nenhum ponto comum.

sejam a e b duas retas paralelas ou não e t uma reta concorrente com a e b.

1) t é uma transversal de a e b.

Propriedades do Paralelismo

se duas retas r e s, paralelas, são cortadas por uma transversal t;

1 - os ângulos correspondentes são congruentes.

2 - os pares de ângulos alternos internos são congruentes.

3 - os pares de ângulos alternos externos são congruentes.

4 - os pares de ângulos colaterais internos são suplementares.

5 - os pares de ângulos colaterais externos são suplementares.

90


01. observe a figura, sendo a // b e c um transversal

calcule x

Resp.) 7º 12’

02. observe a figura, onde r //s e t é uma transversal

determine o valor de (x + y)

Resp.) 50º

03. observe a figura onde os ângulos de medidas a e b têm lados paralelos.

sendo a = 8x e b = 2x + 30º, determine o suple-mento de b.

Resp.) 140º

04. na figura abaixo, D E é paralela a C B . sendo

bâe igual a 80º e ABC ˆ igual a 35º, calcule a me-dida de aêd.

Resp.) 115º

05. determinar o valor de x, sendo r//s.

Resp.) 10º

06. calcule o valor de x, sendo r//s.

Resp.) 72º

07. se r//s, calcule a

Resp.)80º

08. na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, calcule a .

100°

3

A

B

c

r

s2a

a

Resp.) 52º

09. na figura, calcule a medida do ângulo a, sendo r//s.

30o

a)

r

s 50o

)

)

)

80o

Resp.) 100º

91

Testes

01. observe a figura, sabendo que as retas r e s são paralelas.

80ºx

20º

r

s

o valor de x, é:a) 100º b) 110º c) 120º d) 130º

02. observe a figura, sendo r // s

r

60º x70º

30º

s

o valor de x, é:a) 90ºb) 100ºc) 130ºd) 150º

03. observe a figura, sendo r // s.

x

40º

r

s

o valor de x, é:a) 30ºb) 40ºc) 50ºd) 60º 04. observe a figura onde r // s.

70º

60º

x

r

s

a medida do ângulo x, é:a) 50º b) 70º c) 110º d) 130º

05. Na figura, sendo r // s, o ângulo α mede:

3x2x 120º

r s

a) 142º b) 146º c) 144ºd) 148º

06. na figura, 0m é a bissetriz do ângulo , 0n é a bissetriz do ângulo e o 0p é a bissetriz do ângulo . a soma é:

D 0 A

P

C

N

B

M

a) 90ºb) 60ºc) 45ºd) 30º

gabaritos

1a 2b 3c

4d 5c 6a

92

Parte 10

TrIÂNGULO

1. conceito

sejam, não colineares, os pontos a, b, e c.

cb

a

cb

a

Dabc é a união dos segmentos B A , C A e C B .

lados: ab ⇒ m (ab) = c vértice: a ac ⇒ m (ac) = b b bc ⇒ m (bc) = a c

2. clasificação

1º) Quanto aos lados eqüilátero isósceles escaleno

I) Eqüilátero

cb

a

c b

a

D aBc é eqüilátero a = b = c e â = B = C

II) Isósceles

ca

b

c a

b

D abc é isóscelesa = c e ac é a baseâ = Ĉ, ângulos de baseb é o ângulo do vértice

III) Escaleno

b ca

c b

D abc é escaleno a ≠ b, a ≠ c e b ≠ c retângulo

2º) Quanto aos ângulos acutângulo obtusângulo

I) Acutângulo

cb

a

c b

a

D abc é acutângulo

â, B e C são agudos

II) Retângulo

D abc é retângulo â = 90º (tem um ângulo reto)

c

c

•

a

b

b

a

III) Obtusângulo

D abc é obtusângulo

â é obtusoB e C são agudos

a b

c

a

b

c

93

observação

c

c

•

a

b

b

a

D abc é retângulo bc = hipotenusa

ab e ac são catetos ⇒ a > b e a > c

3. Soma das Medidas dos Ângulos Internos de um Triângulo

seja de// bc.m (eâc) = m(aĈb) = a (alternos internos)m (dâb) = m (a B c) = a (alternos internos)a + θ+b=180º ou â + B + C = 180º

logo, a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.

4. Ângulo externo de um Triânguloângulo externo de um triângulo, relativo a de-

terminado vértice, é formado por um lado do triân-gulo e pelo prolongamento do outro lado.

abe é o ângulo externo relativo ao vértice b.

Propriedade do ângulo externo

a medida do ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

ê = Â + Ĉ

5. desigualdades em triângulos

D ABc é equilátero

a = b = c ⇒ â = B = C = 60º

lados iguais opõem-se a ângulos iguais

II)

∆ abc é isósceles a = b ⇒ â = B a ≠ c e b ≠ c â ≠ C B ≠ C

a lados diferentes opõem-se ângulos diferentes.

III)

∆ abc é um triângulo retângulo

a > b ⇒ â > Ba > c ⇒ â > C

ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

as proposições recípocras de i, ii e iii são verdadeiras

6. PONTOS NOTÁVeIS De UM TrIÂNGULO

• Alturas (ortocentro)• Medianas (baricentro)• Mediatrizes (circuncentro)• Bissetrizes (incentro)

94

Dabc

bm = mc e r ⊥ bc

r é a reta mediatriz do Dabc, relativa ao lado bc.

as três mediatrizes de um triângulo se intercep-tam num mesmo ponto, denominado circuncen-tro do triângulo.

IV) Incentro

Dabc

bâs ≡ câs

semi-reta as é a bissetriz doângulo interno â do triângulo.

as três bissetrizes de um triâgulo se interceptam num mesmo ponto, denominado incentro do tri-ângulo.

7. cONGrUêNcIA De TrIÂNGULOS

DeFINIÇÃO

dois triângulo são congruentes se, e somente se, os três lados e os três ângulos de um deles forem orde-nadamente congruentes aos três lados e aos três ângu-los do outro triângulo.

Dabc≡Da1b1c1⇔ 111

111111

CC e BB,AA

C BC B e C AC A,B AB A

≡≡≡

≡≡≡

casos de congruência de triângulos (condições mínimas para concluir que dois triângulos são con-gruentes).

I) Ortocentro

aH é perpendicular a bc

aH = h é a altura relativa ao lado bc.

as três alturas de um triângulo se interceptam num mes-mo ponto, denominado de ortocentro do triângulo.

II) Baricentro

sendo bm = mc.

am é a mediana relativa ao lado bc.

as três medianas de um triângulo se interceptam num mesmo ponto, denominado de baricentro do triângulo.

PrOPrIeDADe DO BArIceNTrO De UM TrIÂNGULO.

seja g o baricentro do Dabc

gm =31 am

ag = 2gm ag =

32 am

Obs.: quando o Â = 90° (reto), temos que am= bm = mc.

III) Circuncentro

95

1º caso – LAL

“se dois triângulos têm ordenadamente con-gruentes dois lados e o ângulo compreendido entre eles, então estes triângulos são congruentes.”

esquema do 1º caso:

≡

≡

≡

≡D→

≡

≡

≡

' CC

' BB

' AA

' C ' B 'AC B A

' C ' BC B

' C ' AC A

' B ' AB ALLL→

≡

≡

≡LAL

CBCB

CACA

BABA

''

''

''

2º caso – ALA

“se dois triângulos têm ordenadamente con-gruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então estes triângulos são congruentes”.

esquema do 2º caso.

≡

≡

≡

≡D→

≡

≡

≡

' C ' AC A

' AA

' B ' AB A

' C ' B 'AC B A

' CC

' C ' BC B

' BBALA

3º caso – LLL

“se dois triângulos têm ordenadamente congruen-tes os três lados, então estes triângulos são congruentes.”


≡

≡

≡

≡D→

≡

≡

≡

' CC

' BB

' AA

' C ' B 'AC B A

' C ' BC B

' C ' AC A

' B ' AB ALLL

≡

≡

≡

≡D→

≡

≡

≡

' CC

' BB

' AA

' C ' B 'AC B A

' C ' BC B

' C ' AC A

' B ' AB ALLL

4º caso – LAA

“se dois triângulos têm ordenadamente con-gruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então estes triângulos são con-gruentes.”


≡

≡

≡

≡D→

≡

≡

≡

' CC

' C ' AC A

' B ' AB A

' C ' B 'AC B A

' AA

' BB

' C ' BC BLAA


01. o ângulo do vértice de um triângulo isósce-les mede 100º. determine a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos da base e oposto à base.

resp.) 140º

02. observe a figura

determine o valor de (x + y)

resp.) 195º

96

03. um ângulo externo da base de um triângulo isósceles

é igual aos 45 do ângulo do vértice desse triângulo.

calcule os ângulos desse triângulo.

resp.) 120º, 30º e 30º

04. na figura, determine a medida do ângulo a em função de m.

3m

2m ma

resp.) 6m

05. se dois lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 14cm, determine a medida do terceiro lado desse triângulo.

resp.) 38cm

06. o lado ab de um triângulo abc é expresso por um número inteiro.

determine o seu valor máximo sabendo que os lados ac e bc medem respectivamente 27cm e 16 cm e que C < â < B .

resp.) 15cm

07. na figura, o triângulo abc é congruente ao triân-gulo cde. determine o valor de a e b.

resp.) a = 10º e b = 12º

08. na figura abaixo, o triângulo abd é congruente ao triângulo cbd. calcular x e y.

resp.) 16 e 8

09. na figura, o triângulo abc é congruente ao tri-ângulo cde. determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos.

resp.) 14, 10 e 1

10. na figura abaixo, os triângulos abc e cda são congruentes. calcular x e y.

resp.) 60º e 9º

11. num triângulo isósceles o semi-perímetro vale 7,5m. calcular os lados desse triângulo, sabendo-se que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base.

resp.) 3m, 6m e 6m

8 - TeOreMA De TALeS

um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais.

t1t2

r2

r2

r2

a d

e

fc

b

sendo r1 // r2 // r3 e as transversais t1 e t2, tem-se que:

F EE D

C BB A=

97

9 - TeOreMA DA BISSeTrIZ INTerNA / eXTerNA

TeOreMA DA BISSeTrIZ INTerNA

a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo qualquer determina sobre o lado oposto dois segmen-tos proporcionais aos lados adjacentes.

a

c db

C A é bissetriz do ângulo â

bcab

= cdad

TeOreMA DA BISSeTrIZ eXTerNA

sempre que a bissetriz de um ângulo externo de certo triângulo interromper a reta que possui ao lado oposto, ficará estabelecido nesta mesma reta dois seg-mentos proporcionais aos lados desse triângulo.

vejamos:

10 - SeMeLHANÇA De TrIÂNGULOS

DeFINIÇÃO – dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem três ângulos ordenadamen-te congruentes e os lados homólogos proporcionais. lados homólogos ou lados correspondentes são os lados opostos aos ângulos congruentes.

símbolo que indica semelhança é ~.

a'

c'b'a

cb

sendo â = â', ^b = ^

b'e ^c = ^

c' , então Dabc ~Da'b'c'.

em triângulos semelhantes os lados homólogos são proporcionais.

logo, se Dabc ~Da'b'c', tem-se que

aba'b'

= aca'c'

= bcb'c'

se aba'b'

= k ⇒ k é a razão de semelhança.

PrOPrIeDADeS

a'

c'b' H'

a

cb H

Dabc ~Da'b'c' ⇒ aba'b'

= aca'c'

= bcb'c'

= k

1ª Propriedade - as alturas homólogas, aH e a’H’ são tais que: aH

a'H' = k.

2ª Propriedade - os perímetros dos triângulos abc e a’b’c’ são tais que: ab + ac + bc

a'b' + a'c' + b'c' =k

3ª Propriedade - se s1 = área do triângulo abc e s2 = área do triângulo a’b’c’, tem-se que: s1

s2

= k2.

98

11 - reLAÇõeS MÉTrIcAS NO TrIÂNGULO reTÂNGULO

(uma aplicação de semelhança de triângulos)

Dabc ~DabH ⇓ ah = b . c iac

= bh

= cn

⇒ c2 = a . n iiDabc ~DacH ⇓ b2 = am iiiab

= bm

= ch

⇒ ah = bc iDabH ~DacH ⇓ cb

= hm

= nh

⇒ h2 = m . n iv

•TEOREMADEPITÁGORAS

das relaçoes II e III tem-se que:c2 = anb2 = am

+

b2 + c2 = a (n + m) e n + m = a ⇓b2 + c2 = a2

12 - rAZõeS TrIGONOMÉTrIcAS NO TrIÂNGULO reTÂNGULO

c

c

a

ab

ba

i) sen a = ba

ii) cos a = ca

iii) tg a = bc

⇓

Tg a = Sen acos a

01. as retas r, s, e t são paralelas. determine o valor de x.

Solução:

⇒=+-

41

1356

xx 4(6x - 5) = 3x + 1

⇓

x = 1 resposta) 1

02. sendo a//b//c, calcule x e y.

Solução:I) ⇒=

x4

36 x = 2

99

II) 53

=yx ⇒ ⇒=

532

y y =

30 1

resposta) x = 2 e y =301

03. na figura, S A é a bissetriz interna do ângulo â. calcule x.

a

x + 32x

b 4 s 5c

Solução:

⇒=+ xx 2

53

4 8x = 5(x + 3) ⇒ x = 5

resposta) 5

04. os lados de um triângulo medem 9cm, 15cm e 18cm. determine a medida de cada lado de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, sa-bendo-se que a razão de semelhança do primeiro para o segundo é 3/4.

9 18

15

y

x z

~

Solução:

I) ⇒=439

x x = 12 cm

II) ⇒=435 1

y y = 20 cm

III) ⇒=438 1

z z = 24 cm

resposta) 12cm, 20cm, 24cm

05. calcule o valor de x da figura.

Solução:

Dabc ~Dedc

⇒=5 10 25 1

x x = 11,25

resposta) 11,25

06. num triângulo abc, os lados medem ab = 4 cm, bc = 5 cm e ac = 6 cm. calcule os lados de um triângulo semelhante ao triângulo abc, cujo pe-rímetro mede 20cm.

Solução:

I) perímetro do Dabc = 4 + 5 + 6 = 15cmII)

5 10 2

465===

zyx

⇓

x = 5 1

5 0 2 × y = 5 1

6 0 2 × z =5 1

4 0 2 ×

III) x = 30 2 cm y = 8cm z = 3

6 1 cm

resp.) x= 302 cm, y = 8cm, z =

361 cm

07. calcule a altura relativa à hipotenusa e as proje-ções dos catetos sobre a hipotenusa no triângulo retângulo de catetos que medem 12cm e 16cm.

Solução:

I - a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 162 + 122 ⇒ a = 20cmII - ah = bc⇒ 20h = 16 . 12 ⇒ h = 9,6cmIII - b2 = a . m ⇒ 162 = 20 . m ⇒ m = 12,8cm VI - c2 = a . n⇒ 122 = 20 . n⇒ n = 7,2cm

08. calcule a diagonal d de um quadrado de lado l.d2 = l2 + l2 ⇒⇒ d2 = 2l2 ⇒ ⇒ d= 22l

ou d = l 2

resposta: d = l 2

100

09. calcule a altura h de um triângulo eqüilátero de lado l.

Solução:

resp.) h =

10. uma escada de 2,5m está apoiada em uma parede e seu pé dista 1,5m da parede. determine a altura que a escada atinge na parede.

h

1,5

2,5

h2 = (2,5)2 - (1,5)2⇒ h2 = 4⇒ h = 2m

resp.) 2m

11. dado um triângulo de lados a = 3cm, b = 4cm e c = 6cm, determine a medida da projeção do lado a sobre o lado c.

Solução:

a = 3 b = 4

x y

h

c = 6B

C

A

i) h2 = 9 – x2 e h2 = 16 – y2 y2 – x2 = 7

ii) x + y = 6

iii)

-=⇒=+=-

xyyxxy

66722

( ) cmxxx219276 22 =⇒=-- cm

resp.: mc2192

12. determine a altura de um trapézio isósceles que tem 12,4 dm de perímetro, sabendo que suas bases medem 5dm e 1,4dm.

Solução:

x xh h

14

14 1818

12, 4 dm = 124 cm5 dm = 50 cm1, 4 dm = 14 cm

i) 2x + 64 = 124 ⇒ x = 30 cmii) h2 = 302 – 182 ⇒ h = 24 cm

Resp.: 24 cm ou 2,4 dm

13. na figura, triângulo abc é retângulo e bâc = 90º.

B

A

C

8

a

6

a

calcule: sen a, cos a e tg a.

Solução:

i - CB = a ⇒ a2 = 62 + 82 ⇒ a = 10

ii - sen a = 01

6 ou sen a= 0,6

iii- cos a = 01

6 ou cos a=0,8

iv- tg a = CB ou Tg a=0,75

101

14. observe a figura e calcule o valor de x.

x 8

60º

Solução:

sen 60º = 8x

ou 23

= 8x

ou x = 34

resp.) 34

15. observe a figura e calcule o valor de x.

x8

60º

Solução:

cos 60º = 8x

⇒ CB = 8x

⇒ x= 16

resp.) 16

16. um dos ângulos de um losango de 4m de lado mede 120º. calcule a medida de sua diagonal maior.

Solução:

4x

60º

60º

i - sen 60º = 8x ⇒

23 =

8x ⇒ 32=x

ii - d = 2x ⇒ d = 2 . 34 ⇒ 32=x

resp.)

17. no paralelograma abcd, tem-se que CB ⇒

CB , CB = 5cm, CB = 12cm e CB = 4cm. determine a área do triângulo edc.

DE

CB

A

Solução:

DE

CB

A4

5

12

8

M

L=5

a dedc = ( ) ( )2. MCED onde CB = 8cm e CB = 5cm

a dedc = BDDA

⇒ a dedc = 20cm2

resp.) 20cm2


01. na figura, ab // de, ab ⊥ bd, ed ⊥ bd, de = 4cm, cd = 2cm, bc = 6cm. calcule ab.

resposta: 12 cm

02. na figura abaixo, consideremos os quadrados de lados x, 6 e 9. determine o perímetro do quadrado de lado x.

resposta: 16 cm

102

03. na figura abaixo, determine o valor de x.

A

D

resposta: 4

04. consideramos um triângulo abc de lado C B = 10cm. seja um segmento D C interno ao triângu-lo tal que d seja um ponto do lado B A . sabendo que D B = 4cm, e os ângulos DCB ˆ e são con-gruentes, determine a medida de D A .

resposta: 21

05. na figura abaixo, o quadrado defg está ins-crito no triângulo abc. sendo D B = 8cm e

E C = 2cm, calcule o perímetro do quadrado.

resposta: 16cm

06. determine a medida do lado do quadrado afde da figura abaixo.

resposta: 52 1 cm

07. os três lados de um triângulo abc medem res-pectivamente, 8 cm, 18 cm e 16 cm. determine os

lados de um triângulo a’b’c’ semelhante a abc, sabendo que a razão de semelhança do primeiro para o segundo é igual a 3.

resposta: 38 cm

08. o perímetro de um triângulo é de 60 m e um dos lados tem 25 m. qual o perímetro do triângulo se-melhante ao triângulo dado cujo lado homólogo ao lado dado é de 15 m?

resposta: 36 cm

09. um triângulo cujos lados medem 12 m, 18 m e 20 m é semelhante a outro cujo perímetro mede 30 m. calcular a medida do menor dos lados do triângulo menor.

resposta: 7,2 cm

10. na figura CB = 2 ( )CB , CB = 2 ( )CB e CB

= 14, calcular CB , sabendo que DC // DC .

AC

D

E

14

B 2a

x

a

resp.) 21

Testes

01. na figura ac = cb = bd e a = 25º

AB

D

25º xC

o ângulo x mede:a) 50º b) 60º c) 70ºd) 75º

103

02. na figura ab = bc e ad = bd

C

A

BDx

60º



x40º10º

50º


04. na figura triângulo abc é isósceles de base bc e A = 80º

x

B

A

C

a medida do ângulo x entre as bissetrizes dos ângulos da base, é:a) 130º b) 120º c) 110ºd) 100º

05. a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede:

a) 1/3 da hipotenusab) 1/2 da hipotenusac) 1/4 da hipotenusad) 2/3 da hipotenusa

06. na figura am é mediana do triângulo retângulo abc em a, e b = 26º

A

CBM

o ângulo amc mede:a) 128º b) 104º c) 64ºd) 52º


A

CBM H

x

20º

o ângulo x formado pela altura e a mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo, mede:a) 30º b) 40º c) 50ºd) 60º

08. num triângulo retângulo que tem um ângulo agudo medindo 60º, a medida do ângulo formado entre a bissetriz do ângulo reto e a mediana relativa à hipotenusa, é:

a) 10º b) 15º c) 25ºd) 30º

09. a hipotenusa bc do triângulo retângulo abc, mede 30cm. os pontos m e n são pontos médios dos lados ab e bc, respectivamente. a medida de an, em cm, é:

a) 10 b) 12c) 15d) 20

10. dois lados de um triângulo medem 12cm e 21cm. o menor valor inteiro do terceiro lado desse tri-ângulo, em cm, é:

a) 33 b) 32 c) 10d) 9

11. num triângulo abc, ab = 15, bc 7 e ac é múlti-plo de 9. então, entre os ângulos a, b e c, pode-se afirmar que:

a) a > cb) a > bc) b > cd) b > a

104

12. no triângulo abc de lados inteiros, a < b < c. se ab = 7cm e bc = 4cm, a soma das possíveis me-didas de ac, em cm, é:

a) 5b) 6c) 11d) 15

13. na figura, bc = ca = ad = de.

40ºB

A

C D E40º

o ângulo cad mede:a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º

14. num triângulo abc, com a obtuso, os lados ab e ac medem 3 e 4 respectivamente. então:

a) bc < 4 b) bc < 5 c) bc < 7d) 5 < bc < 7

15. dois lados de um triângulo isósceles medem respec-tivamente, 5cm e 2cm .o perimetro desse triângulo, em cm, é:

a) 14 b) 12 c) 9d) 7

16. num triângulo abc, a obtuso, os lados ab e ac medem 6 e 2 respectivamente. então, a medida x do lado bc, pertence ao conjunto:

a) { 7} b) { 8 } c) { 9,10 }d) { 5,6 }

17. o primeiro ângulo de um triângulo mede (5x + 3)º, o segundo (3x + 5)º e a medida de um ângulo externo pelo terceiro vértice é 120º. a diferença entre o pri-meiro e o segundo ângulo é:

a) 14ºb) 26ºc) 47ºd) 73º

18. na figura, ac = bd, ab = be e α = β

A B

b

CE D

a

então:a) bc = de

b) bc = de

c) bc = de

d) bc = 2 . de

19. na figura, a = 100º e b = 110º

a

x

b

o ângulo x, mede:a) 20º b) 30º c) 40ºd) 50º


nela, a, 2a, b, 2b e x representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados.o valor de x, em graus, éa) 100b) 110c) 115 d) 120

21. (cefet/2004-adaptada) num triângulo de ângulos a , b = 60º e c = 20º + x, o valor de a em função de x, em graus é

a) 100 – xb) x – 20c)

2x

d) x – 40

105

22. (ceFeT/2011) um parque ecológico com formato circular, cujo diâmetro ac mede 500 metros, tem 3 entradas m, n e p que dão acesso ao espaço trian-gular abc, reservado ao plantio de árvores, con-forme figura abaixo.

se o lado bc do triângulo mede 300 m, então, a área do parque, externa ao espaço plantado, em m2, é igual aa) 93.700b) 127.500c) 147.500d) 153.750

23. (cefet/2011) um foguete é lançado de uma ram-pa situada no solo sob um ângulo de 60°, conforme a figura.

a altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12 km, éa) 600 damb) 12.000 m

c) 6.000 3 dmd) 600.000 3 cm

gabaritos

1d 2c 3b 4a 5b

6d 7c 8b 9c 10c

11d 12c 13b 14d 15b

16a 17b 18a 19b 20d

21a 22b 23d

TeSTeS (cONTINUAÇÃO)

01. na figura, os segmentos de retas ao, bp, cq e dr são paralelos. a medida do segmento pq, em me-tros, é:

a) 24b) 35c) 40d) 50 O

PQ

R

A B C D40 m 30 m 20 m

120 m

02. Num triângulo ABC, o ângulo Â é reto. A altura relativa à hipotenusa divide esta em dois segmentos m e n (m > n). Sabendo que o cateto b é o dobro do cateto c, podemos afirmar que vale:

a) 4 b) 3 c) 2d)

03. Observando a figura e sabendo que y-x = 4 , o valor da soma x + y será:

y

x

60º30º

a) 2

b) 6

c) 8

d) 10

Lembrete:“Em um triângulo retângulo o cateto oposto a um ângulo de 30º mede a metade da medida da hipotenusa”.

04. uma pipa na forma de losango foi construída

utilizando 2 varetas e uma certa quantidade de papel de seda. as varetas formam as diagonais de um losango e o ângulo bâc = 60º, como mostra a figura. sabendo que a vareta menor mede 5 cm, a área do papel de seda utilizado, em cm2, é:

a) 4

352

A

B

C

D

b)

c) 4

352

d)

106

05. um menino de 1,50 m de altura observa, num dia de sol, as sombras de uma torre de rádio emissora e a sua própria. não dispondo de fita métrica ou de trena, ele toma um cordão, mede sua sombra e a compara com a da torre, verificando ser esta 10 vezes maior do que a sua. a altura da torre, em m, é:

a) 12 b) 15c) 18d) 21

06. um triângulo escaleno abc tem área igual a 96 m2. sejam m e n os pontos médios dos lados ab e ac, respectiva-mente. o quadrilátero bmnc tem área igual a:

a) 24 b) 48 c) 64d) 72

07. duas circunferências exteriores têm raios medindo 5 cm e 3 cm e a distância entre seus centros é de 18 cm. a medida do prolongamento dos centros até que este se encontre a tangente comum externa é, em cm,

a) 9 b) 18c) 27d) 36

08. para medir a altura de um poste ac, um observador mede, primeiramente, comprimento ab = 9 m da sombra determinada no chão pelo poste. depois, po-sicionado no ponto b, o observador mede, com auxílio de um transferidor, o ângulo = 30º. supondo que o observador tem 1,80 m de altura, pode-se afirmar que a altura do poste ac, em metros, é

D

B

A

E

C

a) 10,8b) 10,8c) 9d) 9

09. uma abelha sai de sua colméia em a e voa até e fazendo o trajeto, num plano, conforme o desenho a seguir. sabe-se que as medidas dos segmentos ab,

bc, cd e de são respectivamente 6 m, 8 m, 10 m e 4 m, e que os ângulos e são retos. a distância em linha reta, em metros, que a abelha se encontra da colméia é:

A

B

C

D

E

a) 301b) 20

c) 301d) 24

10. na figura, estão representados um morro, uma árvore e um observador no ponto a. a altura da árvore é 25 m e a distância entre ela e o observador é de 150 m. a distância do observador ao ponto b é de 450 m. se aos olhos do observador, o topo da árvore e o pico do morro estão alinhados, podemos dizer que a altura do morro é:

A

Ba) 65 mb) 50 mc) 75 md) 85 m

11. um agricultor possui um terreno cuja forma é a de um quadrado de área 225m2. ele deseja plantar alfaces nas regiões desse terreno, que aparecem hachuradas no desenho. o restante do terreno permanecerá sem cultivo. a parte do terreno que permanecerá sem cultivo terá um perímetro de:

5

5

5

5

a) 5 mb) 10 mc) 15 md) 20 m

12. os catetos de um triângulo retângulo abc, com ângulo reto no vértice a, medem = ab 10 cm e ac = 20 cm, conforme figura. a altura aH

107

b) 2,6c) 3,2d) 3,8

16. na figura, o segmento x vale:

Cx

D4

A

13 8

B

a) 7b) 9c) 10,5d) 11

17. a hipotenusa de um triângulo retângulo mede cm e um dos catetos mede 2cm. a medida da mediana relativa ao maior cateto desse triângulo é, em cm a,

a) 2b) c) d) 4

18. os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 2p são os vértices de um quadrado de perímetro:

a)

b)

c)

d)

gabaritos

1c 2a 3c 4c 5b

6d 7c 8b 9b 10c

11d 12d 13b 14d 15a

16a 17b 18a

relat ivas à hipotenusa div ide o t r iângulo em dois outros . a medida da área do t r i -ângulo aHc, em cm 2, é :

CHB

A

a) 20b) 40c) 60d) 80

13. duas árvores situadas, em cada um dos lados de um rio estão alinhadas, conforme a figura. a largura do rio, em metros, é

20m60m

RIO

24m

a) 48 b) 50 c) 60d) 72

14. observe a figura trapézio abcd.

A 5H

13

B

D 15 C

20

a medida de ab, é:a) 30b) 32c) 34d) 36

15. na figura, abcd é um retângulo. a medida do segmento ef é:

D C

3

A 4 B

E

F

a) 1,4

108

TeSTeS (cONTINUAÇÃO)

01. em um triângulo retângulo de catetos x2 - y2 e 2xy, a hipotenusa é:

a) x4 + y4

b) x4 - y4

c) x2 + 2xy + y2

d) x2 + y2

02. na figura, abcd é um trapézio isósceles sendo ab = 5cm, cd = 7cm e adc = 30º.

C

B

D

A

a área do trapézio abcd, em cm2, é:

a)

b)

c) d)

03. no losango abcd, ad = 4cm e adc = 60º, con-forme figura

D

A

B

C

a área do losango, em cm2, é:

a)

b)

c)

d)

04. a área do octógono inscrito num quadrado de 6cm de lado, conforme figura, em cm2, é igual a:

a) 24b) 28c) 32d) 36

05. (ceFeT/2010) nas três retas paralelas, a circun-ferência que tangencia as retas r e s tem raio 2 e o semicírculo possui área 112,5 π.

o comprimento da circunferência que tangencia as retas r e t éa) 19 πb) 22 πc) 24 πd) 27 π

06. (ceFeT/2010) no retângulo abcd, ab = 30, bc = 40,

m é o ponto médio do lado bc e 32

=BDPD

nesse caso, a área do quadrilátero cDPM, em cm2, valea) 400b) 450c) 500d) 550

07. (ceFeT/2011) considere os números reais a, b, c e d tais que a< b e c < d. nesse caso é INcOrreTO afirmar

a) a + c < b + d.b) ac < bd.c) b – a > 0.d) (a – b) : (d – c) < 0.

gabaritos

01 d 02 a 03 a 04 b

05c 06c 07b

109

Testes

01. na figura, BDDA , sendo de paralelo a bc. a razão

entre a área dos triângulos ade e abc, é:

A

B

ED

C

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/9d) 1/16

02. cinco quadrados de lado l formam a cruz da figura. a área do quadrilátero convexo de vértices abcd é:

D

A

B

C

a) 4 l 2

b) 5 l 2

c) 6l 2

d) 2l 2

03. os diâmetros das pizzas grande e média são 40cm e 36 cm, respectivamente. se a grande custa r$ 20,00 e os preços são proporcionais às áreas da pizzas, o preço da média é, em r$,

a) 15,50 b) 16,20 c) 17,40d) 18,50

04. um ciclista de uma prova de resistência deve percor-rer 500 km sobre uma pista circular de raio 200 m. o número aproximado de voltas que ele deve dar é:

a) 100 b) 200 c) 300d) 400

gabaritos

01d 02b 03b 04d

13- LeI DOS SeNOS e cOSSeNOS (TrIÂNGULOS QUAISQUer)

a lei dos cossenos e dos senos são importantes ferramentas matemáticas para o cálculo das medidas dos lados e dos ângulos de triângulos quiasquer.

Lei dos cossenos

a2 = b2 +c2 - 2.b.c.cosâb2 = a2 +c2 - 2.a.c.cosBc2 = a2 +b2 - 2.a.b.cosC

A

CB CB

A

Lei dos senos

num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. a razão de proporcionalidade é igual a 2r, onde r é o raio da circunferência de centro o circunscrita ao triângulo.

asenâ

= bsenB

= csenC

= 2r

A

C

B


01. calcule a medida da diagonal menor de um pa-ralelogramo em que dois lados consecutivos for-mam um ângulo de 60º e medem 10 cm e 16 cm.

resp: 14 cm

02. um triângulo possui ângulos de 45º e 60º se o lado oposto ao ângulo de 45º mede 8 cm, qual o valor do ângulo oposto ao ângulo de 60º?

resp: 4 6 cm

03. dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 6 cm e 2 3 cm. se cada ângulo do pa-

110

ralelogramo mede 30º, qual a medida da diagonal menor desse quadrilátero?

resp: 2 3 cm

04. (Unicamp-SP) a água utilizada na casa de um sí-tio é captada e bombeada do rio para uma caixa--d’água a 50 m de distância. a casa está a 80 m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pe-las direções caixa-d’água – bomba e caixa-d’água – casa é de 60º. se a idéia é bombear água do mes-mo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?

resp: 70 m

Testes

01. (cMBH/2007) a secretaria de turismo de andrelân-dia quer instalar um teleférico ligando os topos de duas montanhas a e b que contornam a cidade, veja a figura:

a altitude da montanha a é de 978 m e da monta-nha b é de 1.224 m. os técnicos verificaram que o segmento que liga o topo das duas montanhas for-ma um ângulo de 30º com a horizontal que passa pelo ponto a. por causa da grande distância que liga o topo das duas montanhas, o cabo de aço que sustentará o teleférico deverá fazer uma curvatura quase imperceptível aos olhos de um observador, por isso o comprimento do cabo de aço deverá ser 7% maior que o segmento ab. então o compri-mento do cabo de aço deverá ser igual a:

a) 131,61 mb) 227,95 mc) 492,00 md) 526,44 m

02. (cMBH/2007) o triângulo abc está inscrito em uma cir-

cunferência cujo diâmetro é CA . se CB = 3cm ,

sen â = 85

. a medida, em centímetros de BA.35 é

igual a:

a) 93

b) 012

c) 14

d) 24

03. (cMBH/2008) seja um triângulo retângulo abc, reto em a, cuja hipotenusa mede 10 cm. se o ângulo formado pela altura relativa à hi-potenusa e pela bissetriz do ângulo reto é igual a 15º, então a medida do menor cateto desse triângulo é:

a) 6 cmb) 8 cmc) 5 cmd) 4 cm

04. (cMBH/2008) em um triângulo abc, qualquer, o maior ângulo entre as bissetrizes dos ângulos â e c vale 105º. então, o ângulo b mede:

a) 75ºb) 60ºc) 37º 30’d) 30º

05. cMBH/2004) sendo r // s, observe a figura:

o valor de x é:a) 2b) 4c) 5d) 20

06. (cMBH/2004) a medida do lado bc do triângu-lo abaixo é:

a)

b)

111

c)

d)

07. (cMBH/2004) o trapézio retângulo representado abaixo tem perímetro igual a 16 m. assim, o valor de x, em metros, é:

a)

b)

c) 4

d)

08. (cMBH/2004) na figura abaixo, ad é bissetriz do

ângulo bâc e bc = .

sendo bc = 18 cm e sabendo que bd é o dobro de cd, o valor de ab, em cm, é:a) 4b) 5c) 6d) 8

09. (cMBH/2004) seja o triângulo abc inscrito na cir-cunferência de diâmetro ac = 10 cm. considerando p = 3,14 e ab = 8 cm, a área sombreada vale em cm2:

a) 30,5b) 48,5c) 50d) 54,5

10. (cMBH/2004) na figura a seguir, ab é o diâmetro da circunferência de centro O.

sabendo que ap = 6 e pâb = 30°, o raio da circunfe-rência vale:

a) 3b) 2 3c) 6d) 2 11. (cMBH/2004) um holofote está situado no ponto

a, a 40 m de altura, no alto de um poste, perpen-dicularmente ao plano do chão. ele ilumina uma parte do chão (de c a d) com os alinhamentos mostrados na figura. assim, o cos a vale:

a) - 52

b) -41

c) -21

d) -53

12. (cMBH/2004) na figura, abcd é um quadrado de lado 8 cm. sabendo-se que a área do triângulo abe está para a área do triângulo bce assim como 9 está para 5, então o valor de de, em cm, é:

a) 923

b) 953

112

c) 973

d) 973

13. (cMBH/2005) um pescador atravessou um rio, com seu barco, da margem a até a mar-gem b. porém, devido a uma forte correnteza, o barco percorreu uma trajetória retilínea que formava 30° com a reta suporte da menor tra-jetória possível. dessa forma, percorreu 15 m a mais do que se tivesse percorrido o menor caminho. então, sabendo que as margens são paralelas entre si, pode-se afirmar que a largu-ra do rio é, em metros:

a) igual a 90.b) igual a 15.c) menor que 25.d) maior que 80.

14. (cMBH/2006) em um torneio de tiro ao alvo, um competidor posiciona sua carabina confor-me esquema abaixo, com o objetivo de acertar o centro de um "prato". o centro desse prato está localizado a 15 3 m do eixo vertical e a 15m do eixo horizontal quando o atirador efe-tua um disparo, estando a ponta do cano da carabina a 1 m do solo. supondo que o projétil pode atingir instantaneamente o prato, pode--se afirmar que esse projétil

a) passará 0,5 m acima do centro do pratob) atingirá o centro do pratoc) passará 1 m abaixo do centro do pratod) passará 1 m acima do centro do prato

15. (cMBH/2006) um triângulo abc, de perímetro igual 35 cm, é semelhante ao triângulo def,cujos lados medem: 4,2 cm, 7,8 cm e 9 cm.a medida, em cm, do lado que se opõe ao menor ângulo, do tri-ângulo abc é:

a) 15b) 14c) 13 d) 7

16. (cMBH/2007) observe a figura. nela, três cir-cunferências de raio r são tangentes duas a duas e tangentes aos lados de um quadrado. a medida do lado do quadrado em função do raio r das cir-cunferências é igual a:

a) 3 . rb)

25 . r

c) r . (2 + 3 )d) r . (2 +

23 )

17. (cMBH/2008) seja o trapézio abcd, representa-do na figura (desenho fora de escala):

a altura desse trapézio vale 2 cm, ab = 7 cm e dc = 4 cm. a medida de bc é, em centímetros igual a:a) 5b) 5 5c) 2 5d) 5

18. (cMBH/2009) numa caixa onde a tampa é proje-tada para guardar 4 bolas de vôlei, resolve-se cal-cular a área não utilizada entre as bolas, conforme região hachurada na figura abaixo.

sabendo que os quatro círculos da tampa da caixa tem raio de 15 cm e são dois a dois, tangentes. logo podemos afirmar que a área da região hachurada é:a) 225 p cm2.b) 225 (4 - p ) cm2.c) 450 (1 - p ) cm2.d) 450 (4 - p ) cm2.

113

19. (cMBH/2009) a figura abaixo representa uma pis-ta de atletismo construída a partir de uma circunfe-rência de centro o e raio 72 m, utilizando os arcos congruentes bc e ad e as cordas também con-gruentes ab e cd. uma prova de corrida tem como percurso: largada no ponto b e chegada no ponto d.

podemos afirmar que essa corrida tem distância de:a) 24 (p + 3 a ) m.b) 48p m.c) 200 m.d) 300 m.

20. (ceFeT/2009) no quadrilátero ABcD abaixo,

Ae é bissetriz do ângulo bâd, ab = 2, be = 1 e os ângulos adc^ , bêa e bce são retos.analisando essa figura, afirma-se:

I- o ângulo bêc é congruente com aêd.II- a medida de ae é igual à de cd.III- os triângulos bce e ade são semelhantes.IV- a área do triângulo abe é o quádruplo da área do

triângulo bce.V- a área do triângulo abe é igual a área do triângulo

bce.

estão cOrreTAS apenas as afirmativasa) i, ii e iv.b) i, ii e v.c) ii, iii e iv.d) iii, iv e v.

21. (ceFeT/2008 ) sabendo-se que as medidas dos la-dos de um triângulo abc são 5cm, 8 cm e uma das raízes da equação 3 – 17x + 22 = 0 (em cm), então seu perímetro vale

a) 2b) 11/3c) 3d) 50/3

22. (ceFeT/2008) na figura abaixo, ABcD é um qua-drado e BF o prolongamento de AB.

se ef = 8, eb = 1, De diâmetro do semicírculo e D pon-to médio de eG, então a área hachurada é igual a

a)

b)

c)

d)

Para responder às três questões seguintes, considere este texto:

ana e rafael decidiram brincar de calcular ângu-los e distâncias. iniciaram a brincadeira na origem O de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, com abscissa Ox e ordenada Oy.

23. (cOLTec/2007) ana andou 42m para o oeste; depois, 10m para o norte; 60m para o leste. nova-mente, andou 7m para o norte e 3m para o oeste. por fim, percorreu 37m para o sul. ana então pe-diu a rafael que calculasse a distância entre eles. rafael deu a resposta cOrreTA, que foi

a) 15m.b) 20m.c) 25m.d) 30 m

24. cOLTec/2007 ana voltou à origem O do siste-ma cartesiano, juntando-se novamente a rafael; andou 8m para o norte, parando no ponto A e, depois, 17m em direção ao ponto B, situado no eixo Ox, onde parou.

114

a menina então seguiu para o ponto c do mes-mo eixo, como mostrado na figura abaixo. deste ponto, seguiu para d, informando a rafael que o ângulo cDB^ era reto e que db media 5m.

quando ana perguntou ao colega quantos metros ela teria andado de c até D, rafael outra vez respondeu cOrreTAMeNTe. a resposta foi

a) 10 2 m

b) 83

m

c) 4 m.d) 5 m.

25. cOLTec/2007) foi então a vez de rafael partir da origem do sistema cartesiano e andar para o norte uma certa distância, chegando ao ponto e; em seguida dirigiu-se para o leste, chegando ao ponto f, percorrendo a mesma distância do ponto de origem ao ponto e. depois rafael seguiu para o ponto g de tal forma que o triângulo efg fosse eqüilátero. por fim, rafael retornou ao ponto de origem, fazendo um trajeto como mostrado nesta figura:

rafael perguntou a ana qual teria sido o valor do ân-gulo ego. ana também respondeu cOrreTAMeN-Te. o valor encontrado foia) 52,5°.b) 60°.c) 75°.d) 82,5°.

26. (cOLTec/2007) as extremidades a e b de uma corda de 102m de comprimento são presas ao chão de modo que ab mede 100m. o ponto central da corda é levantado até que seja formado o triângulo

isósceles acb. podemos afirmar que c fica, apro-ximadamente, a

a) 0,5m do chão.b) 1m do chão.c) 2m do chão.d) 10m do chão.

27. (cOLTec/2008) o quadrilátero abcd está ins-crito em um círculo, sendo os arcos be e cd congruentes.

se ac = 6 cm, af = 2 cm e ad = 4 cm, então quanto mede o lado ab, em cm?a) 3b) 5 c) 4/3d) 9 /8

28. (cOLTec/2008) nesta figura, o ponto e pertence à diagonal do retângulo abcd, e a área do triân-gulo ace tem 12 cm².

qual é a área do triângulo cde, em cm²?a) 8 2b) 10 3c) 12d) 14

29. (cOLTec/2009) sabe-se que a área de um triân-gulo isósceles, inscrito em uma parábola, vale ¾ da área sombreada nesta figura:

115

considerando o triângulo isósceles abc, qual é a área sombreada, em unidades de área?a) 27b) 36c) 42d) 63

30. (ceFeT/2006) a figura mostra o polígono AB-cDeF, no qual dois lados consecutivos quais-quer são perpendiculares. o ponto G está sobre o lado cD e a reta r. as medidas dos lados AB, Bc, eF e FA são, respectivamente, 16 cm, 12 cm, 6 cm e 8 cm.

o perímetro do polígono ABcG, em cm, éa) 46b) 48c) 50d) 52

31. (ceFeT/2006) o quadrilátero ABCD da figura abaixo tem 16 cm2 de área. M e N são pontos mé-dios dos lados CD e BC respectivamente.

a área do triângulo AMN, em cm2, éa) 6b) 8c) 10d) 12

32. (ceFeT/2006) na figura, â = 900, bm = cm, bs é bissetriz do ângulo b e asb = 1260.

nessas condições, o ângulo c mede a) 300

b) 360c) 440d) 540

33. (ceFeT/2007) na figura, AQ e AP são, respecti-vamente, bissetrizes interna e externa do triângulo ABc. se bq = 8 m e qc = 6 m, então, a medida de QP, em metros, é

a) 32b) 36c) 42d) 48

34. (ceFeT/2004) na figura abaixo, o valor de a em função de c , em graus é

a) 100 - cb) c -20c)

d) c - 40

35. (ceFeT/2004) os catetos de um triângulo re-tângulo abc, representado na figura abaixo, com ângulo reto no vértice a, medem ab = 10cm e ac = 20cm. a altura aH relativa à hipo-tenusa divide o triângulo em dois. a medida da área do triângulo aHc, em cm2 , é

a) 20b) 40c) 60d) 80

116

36. (ceFeT/2004) duas árvores situadas em cada um dos lados de um rio estão alinhadas, conforme a figura. a largura do rio, em metros, é

a) 48b) 50c) 60d) 72

37. (ceFeT/2005) na figura, AD é a distância do vér-tice A ao lado Bc do triângulo ABc. sendo ab = 5, bd = 3,8 e bc = 10, a medida x do lado Ac é

a) 7b) 8c) 9d) 10

38. (ceFeT/2005) – na figura, o triângulo bcd é retângu-lo em c, onde ad = cd = 1 e bc = e bdc = 60º. a área do triângulo abc representado, é

a)

b)

c)

d)

39. (ceFeT/2005) – na figura, ABc é um triângulo retângulo em A e DeFG é um quadrado inscrito nesse triângulo. considerando-se que bg = 9 e cf = 4, o perímetro desse quadrado é igual a

a) 24b) 28c) 32d) 36

40. (cOLTec/2010) INSTRUÇÃO: observe e analise atentamente a figura que se segue.

nessa figura, está representada uma das situações em que se pode observar a formação desombras:

suponha que, na situação representada nessa figu-ra, o chão é plano, os postes têm a mesma altura e as lâmpadas e o homem estão num mesmo plano, que é perpendicular ao plano do chão. sabe-se que a distância entre as lâmpadas dos dois postes é de 12 m; a altura do homem é de2 m; e a soma dos com-primentos das duas sombras do homem é de 3 m .

então, é cOrreTO afirmar que a altura a que as luzes estão do chão é dea) 6 m .b) 8 m .c) 10 m .d) 14 m .

41. (cOLTec/2010) dois quadrados – um com lado igual a 4 cm e um com lado igual a 6 cm – estão encostados um no outro, como mostrado nesta figura:

com base nesses dados, é cOrreTO afirmar que a distância bc mede

a) 3

622

b) 5

434

c) 3

246

d) 5

648

117

42. (ceFeT/2010) no retângulo ABcD os lados AB e Bc medem, respectivamente, 16 cm e 10 cm e e e F são pontos médios dos segmentos.

a área do triângulo ceF, em cm2, éa) 20b) 40c) 60d) 80

gabaritos

01d 02a 03c 04d 05d 06d 07a

08d 09d 10b 11d 12a 13d 14d

15d 16c 17a 18b 19a 20c 21d

22d 23c 24b 25c 26d 27b 28c

29c 30c 31a 32d 33d 34a 35d

36b 37a 38d 39a 40c 41b 42c

Parte 11

Polígonos

1. Definição

dada uma seqüência de pontos de um plano (a1, a2, ... , an) com n ≥ 3, todos distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, chama-se po-lígono à reunião dos segmentos A A , A A 3221 , ... ,

A A , A A 1nn1n- .

exemplos

eLeMeNTOS

considerando-se, por exemplo, o polígono a1a2a3a4a5, temos:

q os pontos a1, a2, a3, a4 e a5 são os vértices do polígono;

q os segmentos A A , A A 3221 , A A 43 , A A 54 e 15 A A são os lados do polígono;

q os ângulos , â1 , â2 , â3 , â4 e â5 são os ângulos internos do polígono.

2 - Polígonos convexos e cônvacos

um polígono é convexo quando, e somente quando, um segmento determinado por dois pontos interiores ao polígono está inteiramente contido no polígono.

um polígono é não convexo, ou côncavo, quando um segmento determinado por dois pontos interiores

118

ao polígono pode não estar contido inteiramente no polígono.

3 - NOMe DOS POLÍGONOS

de acordo com o número n de lados, os polígonos recebem nomes especiais. veja a seguir as correspon-dências:n = 3 triângulo ou trilátero______________3 ladosn = 4 quadrângulo ou quadrilátero________4 ladosn = 5 pentágono _____________________ 5 ladosn = 6 hexágono ______________________ 6 ladosn = 7 heptágono _____________________ 7 ladosn = 8 octógono_______________________ 8 ladosn = 9 eneágono ______________________ 9 ladosn = 10 decágono _____________________ 10 ladosn = 11 undecágono___________________ 11 ladosn = 12 dodecágono ____________________12 ladosn = 15 pentadecágono _________________ 15 ladosn = 20 icoságono _____________________ 20 lados

4 - POLÍGONO reGULAr

um polígono que possui todos os lados congruen-tes é equilátero. se possui todos os ângulos congruen-tes, é equiângulo.

quadrilátero equilátero.

quadrilátero equiângulo

um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os lados congruentes (é equilátero) e todos os ângulos congruentes (é equiângulo).

o triângulo regular é o triângulo equilátero.

o quadrilátero regular é o quadrado.

5 - NÚMerO De DIAGONAIS De UM POLÍGONO

diagonal de um polígono é um segmento cujas ex-tremidades são vértices não consecutivos do polígono.

o número de diagonais d de um polígono de n lados (n ≥ 3) é dada por:

( )2

3-=

nnd

6 - SOMA DOS ÂNGULOS INTerNOS De UM POLÍGONO cONVeXO

a soma si dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados (n ³ 3) é dada por:

si = (n - 2) . 2 retos

ou, simplesmente, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é

si = (n - 2) . 180º

B

119

7 - SOMA DOS ÂNGULOS eXTerNOS De UM POLÍGONO cONVeXO

ângulo externo de um polígono convexo é um ângulo suplementar adjacente a um ângulo (interno) do polígono.

a soma se dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados (n ≥ 3) é dada por

se = 4 retos

ou, simplesmente, a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é.

se = 360º

8 - ÂNGULO INTerNO e eXTerNO De UM POLÍGONO reGULAr

os ângulos internos de um polígono regular são congruentes.

n · ai = si ⇒n · ai = (n – 2) · 180º ⇒ai = n

180 ) 2– n ( ⋅

os ângulos externos de um polígono regular são congruentes.

n · ae = Se ⇒n · ae = 360º ⇒ae = n360

âi + âe = 180º


01. calcule o números de diagonais de um decágono.

resp.) 35

02. calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono.

resp.) 3240º

03. cada lado de um polígono regular mede 12cm e o número de diagonais do mesmo é 170. determine o perímetro desse polígono.

resp.) 240cm

04. em um polígono, o número de diagonais é o tri-plo do número de lados. determine a soma dos ângulos internos desse polígono.

resp.) 1260º

05. em um polígono, o número de diagonais é o quá-druplo do número de lados. determine a soma dos ângulos internos desse polígono.

resp.) 1620º

06. determine a medida de cada ângulo interno de um polígono regular, no qual o número de lados é igual ao número de diagonais.

resp.) 108º

Testes

01. o polígono convexo cuja soma dos ângulos inter-nos é igual ao número de diagonais multiplicado por 180º, é um:

a) triângulob) quatriláteroc) pentágonod) hexágono

02. o número de diagonais de um polígono regular convexo cujo ângulo externo vale 24º, é:

a) 60b) 75c) 90d) 120

03. cada lado de um polígono regular de 54 diago-nais, mede 15cm. em cm, o perímetro desse po-lígono vale:

a) 120b) 150c) 165d) 180

04. a medida de lado, em cm, de um eneágono regu-lar cujo perímetro é 20,25cm é:

a) 2,25b) 2,89c) 3,375d) 4,05

05. no polígono regular em que a razão entre o nú-mero de lados e o número de diagonais é 2/5, cada

B

120

ângulo interno mede:a) 45ºb) 75ºc) 135ºd) 150º

06. um polígono regular de 2,5m de lado possui 30m de perímetro. nessas condições, o número de dia-gonais desse polígono é:

a) 27b) 35c) 44d) 54

07. o polígono cujo número de diagonais é igual a 6 vezes o número de lados possui:

a) 15 ladosb) 13 ladosc) 12 ladosd) 10 lados

08. a razão entre os perímetro de um octágono regu-lar e de um decágono regular é 6/5. sabendo que o lado do octógono mede 3cm, a medida do lado do decágono é, em cm:

a) 1,5b) 2c) 2,5d) 3

09. o número de lados de um polígono regular cujas mediatrizes de dois lados consecutivos formam um ângulo de 24º, e:

a) 8b) 10c) 12d) 15

10. o polígono no qual aumentando-se de 5 o núme-ro de lados, o número de diagonais aumenta de 40, é um

a) pentágonob) hexágonoc) heptágonod) octágono

11. (ceFeT/2009) – a razão entre o perímetro do he-xágono regular abcdef e o perímetro do triângu-lo ace, nessa ordem, é

a)

b)

c)

d)

12. (cOLTec/2011) ao final de 90 minutos de duração de uma partida de futebol realizada em um dia quente, certo atleta profissional reduziu cerca de 4% da sua massa corporal, que passou a ser de 76,8 kg. então. é cOrreTO afirmar que, antes da partida, a massa corporal desse atleta era, aproximadamente, de

a) 73,7 kgb) 80 kgc) 80,8 kgd) 125 kg

gabaritos

1b 2c 3d 4a 5c 6d

7a 8b 9d 10c 11D 12c

121

Parte 12

Quadriláteros Notáveis

1 - DeFINIÇÃO e eLeMeNTOS

sejam a, b, c e d quatro pontos de um mesmo pla-no, todos distintos e três deles não colineares. se os seg-mentos, B A , C B , D C e A D interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero.

ABcD convexo

quadrilátero abcd = B A ∪ C B ∪ D C ∪ A D

o quadrilátero é um polígono simples de quatro la-dos.

B A , C B , D C e A D são os lados, â = dâb, B = a Bc, C = b Cd e D = cDa são os ângulos e C A e

D B são as diagonais do quadrilátero abcd.um quadrilátero tem 2 diagonais (d = 2), soma

dos ângulos internos igual a 360º (si = 360º) e soma dos ângulos externos também igual a 360º (se = 360º).

2 - QUADrILÁTerOS NOTÁVeIS

os quadriláteros notáveis são os trapézios, os para-lelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados.

2.1 - TrAPÉZIO

um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos.

abcd é trapézio ⇔ ( B A // D C ou D A // C B ).

os lados paralelos são as bases do trapézio. com os outros dois lados não paralelos, temos trapézio isósceles, se esses lados são congruentes; trapézio es-caleno, se esses lados não são congruentes; trapézio retângulo (ou bi-retângulo) é um trapézio que tem dois ângulos retos.

2.2 - PArALeLOGrAMO

um quadrilátero plano convexo é um paralelogra-mo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.

abcd é paralelogramo ⇔ ( B A // D C e D A // C B ).

2.3 - reTÂNGULO

um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes.

abcd é retângulo ⇔ â ≡ B ≡ C ≡ D .

122

2.4 - LOSANGO

um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes.

abcd é losango ⇔ B A ≡ C B ≡ D C ≡ A D

2.5 - QUADrADO

um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes.

abcd é quadrado ⇔ (â ≡ B ≡ C ≡ D e B A ≡ C B ≡ D C ≡ A D )

3 - PrOPrIeDADeS DOS PArALeLO-GrAMOS

Ângulos opostos congruentesem todo paralelogramo, dois ângulos opostos

quaisquer são congruentes.

Lados opostos congruentesem todo paralelogramo, dois lados opostos quais-

quer são congruentes.

Diagonais dividem-se ao meioem todo paralelogramo, as diagonais intercepta-

mse nos respectivos pontos médios.

4 - PrOPrIeDADeS DO reTÂNGULO, DO LOSANGO e DO QUADrADO

retângulo - diagonais congruentesalém das propriedades do paralelogramo, o re-

tângulo tem a propriedade característica que segue:- em todo retângulo, as diagonais são congruentes.

Losango - diagonais perpendicularesalém das propriedades do paralelogramo, o lo-

sango tem a seguinte propriedade característica:- todo losango tem diagonais perpendiculares.

em todo losango as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado - diagonais congruentes e perpen-diculares

pelas definições, podemos concluir:- todo quadrado é retângulo e também é losango.

portanto, além das propriedades do paralelogra-mo, o quadrado tem as propriedades características dos retângulos e do losango.

Observação:notemos, em resumo, que se um quadrilátero

convexo:q tem as diagonais que se cortam ao meio, então

é um paralelogramo;q tem as diagonais que se cortam ao meio e são

congruentes, então é retângulo;q tem diagonais que se cortam ao meio e são per-

pendiculares, então é losango;q tem diagonais que se cortam ao meio, são con-

gruentes e são perpendiculares, então é quadrado.

5 - BASe MÉDIA DO TrAPÉZIO

se um segmento tem extremidades nos pontos mé-dios dos lados não paralelos de um trapézio, então

1º) ele é paralelo às bases;2º) ele é igual à semi-soma das bases.

2D C B AN M +

=

6 - BASe MÉDIA DO TrIÂNGULO

a

n

c

m

b

mn= 2CB

123


01. em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ân-gulo reto forma com a bissetriz do ângulo agu-do do trapézio um ângulo de 110º. determine o maior ângulo do trapézio.

resp.) 130º

02. a bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados um ângulo de 55º. determine o valor dos ângulos agudos desse losango.

resp.) 70º

03. um dos ângulos internos de um trapézio isóceles é a 2/7 o ângulo externo adjacente. determine os ângulos do trapézio.

resp.) 40º, 40º, 140º e 140º

04. determine a medida de um lado do losango que tem 144cm de perímetro.

resp.) 36cm

05. calcule as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo, sabendo a diferença entre dois ân-gulos de vértices consecutivos é 46º.

resp.) 67º, 67º, 113º e 113º

06. o perímetro de um trapézio isóceles é 40cm. suas bases diferem em 4cm. cada um dos lados con-gruentes é a média aritmética das bases. calcule cada lado desse trapézio.

resp.) 12cm, 8cm, 10cm e 10cm

Testes

01. seja abcd um trapézio retângulo. o ângulo for-mado pelas bissetrizes do seu ângulo reto e do ângulo consecutivo de base maior mede 92º. os ângulos agudo e obtuso deste trapézio medem respectivamente.

a) 88º e 92ºb) 86º e 94ºc) 84º e 96ºd) 82º e 98º

02. observe a figura onde os ângulos â, b , c e d me-dem respectivamente

2x , 2x,

2x3 e x e o ângulo ê

é reto. a medida do ângulo f é:

a) 18ºb) 20ºc) 22ºd) 24º

03. no triângulo abc, temos ab = 5, ac = 6 e bc = 7. os pontos m e n são os pontos médios dos lados B A e C A respectivamente. o perímetro do trapézio bcnm, é:

a) 5,5b) 10,5c) 16d) 18

04. observe na figura, o paralelogramo abcd. o pe-rímetro do triângulo dpc é:

a) 75b) 85c) 95d) 105

05. no paralelogramo abcd da figura, a medida x é igual a:

a) 27ºb) 41ºc) 56ºd) 64º

06. a figura é um retângulo. a medida x indicada é:

a) 38ºb) 42ºc) 46ºd) 48º

07. na figura, abcd é um quadrado, ade e abf são triângulos equiláteros. se M A é a bissetriz do ângu-lo fâe, então o ângulo fâm mede:

a) 75ºb) 75º 30’c) 80ºd) 82º 30’

124

08. (cMBH/2005) seja a figura:

o losango bdef está inscrito no triângulo abc. sabe-se que ab = 10 m e bc = 12 m. portanto, a medida do lado do losango vale:

a) 1106 m

b) 60 m

c) 973 m

d) 5 m

9. (cMBH/2006) o valor absoluto da diferença entre as raízes da equação é a medida do lado de um quadrado. a diagonal desse quadrado mede:

a) 2- 2b) 3- 2c) 3-2 2d) 2+ 2

10. (cMBH/2009) um nadador dos 100 metros nado livre fez um excelente tempo numa classificatória.

sabendo que seu tempo em segundos é o valor da operação:

8x

3y+ e os valores de x e y são encontra-

dos observando a figura do trapézio isósceles abai-xo e considerando db como bissetriz de d. então, podemos afirmar que o tempo do nadador foi:

a) 36s e 15.b) 42s e 15.c) 45s e 30.d) 47s e 30.

gabaritos

1b 2a 3c 4c 5a6a 7a 8A 9A 10D

PArTe 13

circunferência e círculo

1 - DeFINIÇÃO

circunferência é um conjunto de pontos de um plano, eqüidistantes de um ponto fixo do mesmo pla-no, chamado de centro da circunferência.

observe a figura:

circunferência de centro no ponto 0.

2 - eLeMeNTOS DA cIrcUNFerêNcIA

observe a figura:

O A = raioD C = cordaN M = diâmetro⇓

d = 2r= arco

a) raio é qualquer segmento que une o cen-tro a qualquer ponto da circunferência.

b) corda é qualquer segmento que une dois pontos quaisquer e distintos de uma circunfe-rência.

c) Diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência. o diâmetro é a maior corda da circunferência e equivale à medida de dois raios.

3 - cÍrcULO - cONceITO

toda circunferência determina no plano duas regiões distintas: a região interna e a região ex-terna.

círculo é a união da circunferência com a re-gião interna.

A B

125

4 - PrOPrIeDADeS DA cOrDA

a) um diâmetro perpendicular a uma corda di-vide a corda ao meio.

ponto 0 = centro da circunferência. D C B A ⊥ ⇒ B MM A =

b) o diâmetro que passa pelo ponto médio de uma corda, é perpendicular à corda.

c) a mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência.

d) toda corda divide a circunferência em duas partes, chamadas de arcos da circunferência.

corda B A ⇓

arco

arco

semi circunferência é o arco determinado por um diâmetro.

5 - reTA TANGeNTe A UMA cIrcUNFerêNcIA

uma reta é tangente a uma circunferência somen-te quando ela tem um único ponto comum, com a cir-cunferência chamado de ponto de tangência.

i ) toda reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

ii) se de um ponto p exterior a uma circunfe-rência traçamos os segmentos A P e B P tangentes à

circunferência nos pontos a e b, então os segmentos A P e B P são congruentes.

6 - reTA SecANTe A UMA cIrcUNFerêNcIA

uma reta é secante a uma circunferência somente quando ela intercepta a circunferência em dois pontos distintos.

7 - reTA eXTerIOr A UMAcIrcUNFerêNcIA

uma reta é exterior a uma circunferência quando ela não intercepta a circunferência.

Nota:seja d a distância de uma reta s ao centro de uma

circunferência de raio r.i) sendo s uma reta tangente ⇒ d = rii) sendo s uma reta secante ⇒ d < riii) sendo s uma reta exterior ⇒ d > r

126

8 - ÂNGULOS NA cIrcUNFerêNcIA

Ângulo central

um ângulo é central somente quando possui o vértice no centro de uma circunferência.

seja o ponto O centro da circunferência.

aÔb é um ângulo central.

m(aÔb) = m(apb)

Ângulo Inscrito

um ângulo é inscrito em uma circunferência so-mente quando seu vértice é um ponto da circunferência e seus lados são secantes a ela.

aPb é um ângulo inscrito.

m(aPb ) = m2

) B A (

todo ângulo inscrito numa semi-circunferência é reto.

Ângulo de Segmento ou Ângulo Semi-inscrito

um ângulo é semi-inscrito em uma circunferência somente quando seu vértice é um ponto da circunferên-cia e seus lados são um secante e o outro tangente à cir-cunferência.

RTP é um ângulo semi-inscrito ou ângulo de seg-mento.

m ( RTP ) = 2

) R M T ( m

Ângulo excêntrico Interno

um ângulo é excêntrico interno a uma circunferên-cia somente quando seu vértice é um ponto interno à cir-cunferência, distinto do centro.

aPc é um ângulo excêntrico interno.

m(aPc) = 2

) D N B ( m) C M A ( m +

Ângulo excêntrico externo

um ângulo é excêntrico externo a uma circunferência so-mente quando seu vértice é um ponto externo à circunferência.

aPb é um ângulo excêntrico ex-terno.

m(aPb) =2

) D N C ( m) B M A ( m -


01. no triângulo abc, p, r e q são pontos de tangência da circunferência nele inscrita. calcule o perímetro desse triângulo, dados ap = 2, br = 5 e cq = 3.

resp.) 20

127

02. observe a figura, sabendo que pa = 12 cm.calcule o perímetro do triângulo prs.

resp.) 24 cm

03. abcd é um trapézio retângulo circunscrito a umacircunferência de raio r.calcule r, sabendo que ab = 20, cd = 30 e ad = 26.

resp.) 12

04. na figura, o ponto c é o centro da circunferência.determine o valor de x.

resp.) 65º


resp.) 75º


resp.) 50º


resp.) 20º

Testes

01. observe a figura onde o triângulo PQr é isósce-les, a medida da base rq é expressa por x e a me-dida do lado pr é expressa por y. o polinômio que expressa o perímetro do triângulo pqr, é:

PR

Q

0

a) 2x + 2y b) 2x + y c) x + 2yd) x + y

02. observe a figura onde ar = 15 cm e bs = 11 cm. a medida do lado ab, em cm, é:

A B

C

T

R Sa) 11 b) 15 c) 26d) 60

03. na figura, a medida do segmento ad é 15 cm e a do segmento dg em 5 cm. a medida do segmento ab, em cm, é:

DHA

E G

FB C

a) 8 b) 10 c) 12d) 15

128

04. na figura, a medida do ângul é expressa por 5x e a do ângulo por 3x + 42º, sendo O o centro da circunferência. a soma das medidas dos ângulos

e , é:a) 45º b) 60º c) 75ºd) 90º

R

T

S0

05. na figura, a medida do arco amc é 126º e a do arco bnc é 160º e o ponto O é o centro da circun-ferência. a soma das medidas dos ângulos e , é:

A B

M N

C

0

a) 111º b) 74º c) 37º d) 31º

06. na figura, ab é um diâmetro da circunferência. o valor de y, em graus, é:

A

(

( (x

2x

yB

0

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70

07. na figura o ponto O é o centro da circunferência de raio 3cm, inscrita no triângulo retângulo abc. em cm, o perímetro desse triângulo é:

C A

B

0

12 cm

x

6 cm

a) 24 b) 30 c) 36 d) 40

08. na figura, as medidas dos arcos ac, cd, db e ab são expressas, em graus, por x, (x + 10º), (x + 20º) e (x + 30º), respectivamente.

y

A

C

D

B

(

então y vale:a) 95º. b) 100º. c) 105º. d) 115º.

09. em relação a todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência, pode-se afirmar que:

a) os ângulos opostos são suplementes.b) os lados opostos são congruentes.c) a soma das medidas dos lados opostos são iguais.d) os ângulos consecutivos são suplementares.

10. em relação a qualquer quadrilátero inscrito em uma circunferência, pode-se afirmar que:

a) os ângulos opostos são suplementares.b) os ângulos opostos são congruentes.c) os lados opostos são congruentes.d) os lados consecutivos são congruentes.

11. todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é um triângulo;

a) eqüilátero b) isósceles c) escalenod) retângulo

12. o raio da circunferência inscrito no triângulo retângulo abc, sabendo que ab = 3, ac = 4 e bc = 5, é igual a:

A

B

C

0

a) 1 b) 4/5 c) 3/5 d) 2/5

13. se a corda ab da figura é um lado de um triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro em c, a medida do ângulo x, em radianos, é:

A

C

B

) x

a)

b)

c)

d)

129

14. as bases de um trapézio isósceles circunscritos a uma circunferência medem 9 m e 6m. cada um dos outros dois lados do trapézio mede, em m,

a) 4 b) 6 c) 7,5 d) 8

15. (cOLTec/2010) três circunferências, cujos raios medem 4 cm, tangenciam-se duas a duas. nesta fi-gura, mostram-se três arcos dessas circunferências.

com base nessas informações, é cOrreTO afirmar que o perímetro dessa figura medea) 12π cm.b) 20π cm.c) 24π cm.d) 36π cm.

gabaritos

1 c 2 c 3 b 4d 5 a6c 7c 8a 9c 10a

11d 12a 13a 14c 15B

9 - reLAÇõeS MÉTrIcAS NO cÍrcULO

(uma aplicação de semelhança de triângulos)

relação entre Duas cordas

quando duas cordas se cruzam, o produto das medidas dos dois segmentos determinados sobre uma delas é igual ao produto das medidas dos dois segmen-tos determinados sobre a outra.

Dpac~ Dpdb

⇒= B PC P

D PA P

⇓

(pa) . (pb) = (pd) . (pc)

relação entre Duas Secantes

se de um ponto p externo a um círculo traçarmos duas secantes à mesma, o produto das medidas de uma das secantes pela sua parte externa é igual ao produto das medidas da outra secante pela sua parte externa.

Dpad~ Dpcb ⇓

⇒= B PD P

C PA P

(pb) . (pa) = (pd) . (pc)

relação entre Uma Secante e Uma Tangente

se de um ponto p externo de um círculo traçamos uma secante e uma tangente, o quadrado da medida da tangente é igual ao produto da medida da secante pela medida de sua parte externa,

Dpat~ Dpbt ⇓

⇒= T PA P

B PT P (pt)2 = (pa) . (pb)


01. observe a figura e calcule o valor de x = ab

resp.) 14

130

02. observe a figura, onde o ponto 0 é o centro da cir-cunferência de raio 4 cm e calcule o valor de pb = x.

dados: pa = 4 pc = 6

resp.) 21

03. duas cordas B A e D C de uma circunferên-cia cortam-se um ponto p tal que A P = 9cm,

B P = 4cm e C P = 12cm. determine D P .

resp.) 3cm

04. em uma circunferência, cujo raio mede 8cm, uma corda B A fica dividida por um diâmetro

D C em dois segmentos A P e B P que me-dem 3cm e 5cm, respectivamente. determinar as medidas dos segmentos determinados sobre o diâmetro. (sugestão: x = medida de um dos seg mentos pedidos e 16 - x = medida do outro).

0B

A

C

resp.) 1cm e 15cm

05. uma corda de 18 cm corta outra de 12 cm deter-minando sobre esta segmentos de comprimentos, um o dobro do outro. calcular o comprimento dos segmentos determinados sobre a corda maior.

resp.) 2 cm e 16 cm


os raios destas circunferências medem ac = 8cm e bd = 3cm e a distância entre seus centros, 13cm. al-cule a medida de ab.

resp.) 12 cm

07. a projeção de uma corda de 12 cm sobre o diâme-tro que passa por um dos seus extremos mede 8 cm. calcule o raio dessa circunferência.

resp.) 9 cm

Testes

01. na figura ,31

=CEEA , be = 8 cm e ed = 6 cm. o

comprimento ac, em cm, é:

C

B

A

E

D

a) 10b) 12c) 16d) 20

02. numa circunferência, a corda cd é perpendicular ao diâmetro ab no ponto e. sendo ae . bc =3 a medida de ce, vale:

a) 1 b) c)

d)

03. seja ab o diâmetro de uma circunferência de raio 5 cm e centro o, e seja c um ponto dessa circunfe-rência, c a e c b. considere o triângulo obd, retângulo em o como indica a figura. sabendo-se que ac = 8 cm, podemos afirmar que a área do triângulo obd vale, em cm2,

0A B

DC

a) 973

b) 973

c) 973

d) 973

131

04. a três circunferências de centro a, b e c têm o mesmo raio, igual a 2 cm, e são exteriormente tangentes duas a duas. as retas paralelas r e s são tangentes às circunferências, conforme a figura. a distância entre r e s, em cm, é,

A

B C

r

s

a)

b) c)

d)

05. na figura, ab = 7 m, ad= 6 m e de= 4 m. então, bc, em m, é:

A

BD

E

C

a) 24 7b) 12 7 c) 11 7d) 9 7

06. na figura, at é tangente à circunferência de centro 0 e raio r . sabendo-se que at = 2r , então o valor de ac é:

A

T

C0

a) ( )15 +R

b)

c)

d) ( )15 -R

gabaritos

1c 2c 3a 4d 5c 6 d

10 - POLÍGONOS INScrITÍVeIS e cIrcUNScrITÍVeIS

tomando-se 3, 4, 5, 6 ... pontos distintos sobre uma circunferência, as cordas consecutivas formam polígo-nos inscritos na circunferência, como nas figuras:

se pelos pontos marcados na circunferência tra-çarmos tangentes, obteremos polígonos circunscritos, como nas figuras:

pqr - triângulo circunscrito

mnpq - quadrilátero circunscrito

132

Observações:

• um polígono é inscritível, quando existe uma circunferência que passa por todos os vértices.

• um triângulo é sempre inscritível, pois exis-te sempre uma circunferência passando por três pontos não colineares.

• um polígono é circunscritível, quando existe uma circunferência que tangencia todos os seus lados.

• um triângulo é sempre circunscritível, pois as três bissetrizes se cortam num ponto eqüidistante dos lados que é o centro da circunferência.

Polígonos regulares

um polígono convexo é regular, se e somente se, tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.

assim, o triângulo equilátero é o triângulo regu-lar e o quadrado é quadrilátero regular.

um polígono regular é equilátero e equiângulo.

OBS.: todo polígono regular é inscritível numa cir-cunferência

ou

dado um polígono regular, existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices.

cálculo do Lado e do Apótema de alguns Polígonos regulares

apótema de um polígono regular é a distância do centro do polígono a um lado. indicaremos por l a medida do lado do polígono regular de n lados e por an a medida do apótema do polígono regular de n lados. estudaremos apenas o triângulo equilátero, o quadra-do e o hexágono regular.

exemplos:

OBS.: o apótema de um polígono regular é raio da circuferência inscrita.

a4 = 2

4l a6 = 236l

a3 = 633l

133

Perímetro Área

360º

R 2 ap=l s =

360º R 2 ap

setor circular


01. dado um triângulo equilátero de 6 cm de altura, calcular:a) o raio do círculo inscrito;b) o lado;c) o apótema;d) o raio do círculo circunscrito.

resp.) a) 2cm, b) 4 3 cm, c) 2cm e d) 4cm

02. no hexágono regular abcdef da figura, o lado mede 5 cm. calcular:

a) o apótema;b) o raio do círculo inscrito;c) a diagonal C A .

resp.) a) 2

3 5 cm, b) 2

3 5 cm, c) 5 3 cm

03. calcule as medidas do lado e do apótema do quadrado inscrito numa circunferência cujo raio mede 8 cm.

resp.) 8 2 cm e 4 2 cm

04. calcule o raio de uma circunferência cujo apóte-ma do hexágono regular inscrito mede 6 3 cm.

resp.) 12cm

05) o apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 5 cm. calcule a me-dida do lado do quadrado inscrito na mesma cir-cunferência.

resp.) 10 2 cm

Lado e Apótema em Função do raio da circunferência circunscrita

lado apótema

Hexágono regular l6 = r a6 = 2

3R

quadrado l4 = r 2 a4 = 2

2R

triângulo equilátero l3

= r 3 a3 = 2R

11 - ÁreA DAS FIGUrAS PLANAS

Perímetro Área

2p = 4a s = a2

2p = 2(a + b) s = a . b

2p = a+b+c s = 2b a ⋅

2c b ap

++

=

⇓

2p = 2(a + b) s = a . b

2p = b+b+c+d s = 2

h ) b B( ⋅+

2p = 4l s = 2

d D ⋅

2p = 2pr s = pr2

)cp( )bp( )ap(pS ---⋅=

trapézio

losango

circunferência e círculo

paralelogramo

triângulo

retângulo

quadrado

134

Testes


BA

D C

O

sendo o raio do círculo inscrito no quadrado abcd igual a 3cm, a área sombreada, em cm2, é:

a) 6πb) 9πc) 12πd) 18π

02. na figura, o retângulo oace está inscrito num setor

circular de 90º e raio r. sendo oa = 32 r, a medida

do segmento ac é:

a) E C

O A

b)

c)

d)

03. a razão entre os comprimentos das circurferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:

a) 1/2 b) c) d)

04. seja a medida do lado do octógono regular da figura. então, a área das regiões hachurada é:

a)

b)

c)

d)

05. sendo a a medida do apótema de um hexágono regular, a área desse hexágono mede:

a)

b)

c)

d)

gabaritos

1b 2a 3b 4c 5c

Testes Finais

01. (ceFeT / 2009) a figura mostra o corte transver-sal de um cabo de alta tensão, no formato cilíndri-co, composto de borracha em sua composição, e por um agrupamento de quatro fios de cobre, tam-bém cilíndricos e iguais entre si.

sabendo-se que as cinco circunferências são tangentes entre si e que a soma dos raios dos quatro fios é 8, o raio do cabo vale

a) 2( 2 + 1)

b) 8( + 1)

c) 3( 2 + 1)

d) 3( + 2)

135

02. (ceFeT / 2006) uma circunferência, inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 20 cm, possui comprimento, em cm, igual a

a) p 2

b) 5p 2

c) 10p 2

d) 20p 2

03. (cOLTec/2007) sabe-se que a distância do incen-tro de um triângulo equilátero a um dos seus vérti-ces mede dois terços da altura do triângulo.então a razão entre as áreas da circunferência circunscrita e da circunferência inscrita a um triângulo equilá-tero vale

a) 1/3b) 4/9c) /2d) 4

04. (cOLTec/2008) o quadrilátero abcd está ins-crito em um círculo, sendo os arcos e con-gruentes.

se ac = 6 cm, af = 2 cm e ad = 4 cm, então quanto mede o lado ab, em cm?a) 3b) 5 c) 4/3d) 9 /8

05. (cOLTec/2009) duas circunferências que se tangenciam têm raios iguais a 4 cm e 2 cm e cen-tros nos pontos a e b.

se os pontos c e d são os pontos de tangência da reta r com essas circunferências, então a área do quadrilátero abdc, em cm2, vale

2

10 2

12 2

16 2

a)

b)

c)

d)

06. (cMBH/2004) observe a figura:

o valor de x é:a) 40°b) 50°c) 60°d) 70°

7) (cOLTec/2011) nesta figura mostra-se um cír-cilo inscrito num quadrado, que, por sua vez, está incristo num outro círculo.

considere que o lado do quadrado mede 2 cm. então, é cOrreTOa) p – 4.b) 3p – 4.c) p + 4.d) 4 – 3p .

gabaritos

1 a 2 c 3 d 4 a5 c 6b 7b

136

Parte 14

FUNÇõeS

1 - PLANO cArTeSIANO – x 0 y

o plano cartesiano (sistema cartesiano ortogonal) é formado por duas retas orientadas (eixos cartesianos), perpendiculares entre si num ponto O (origem).

os dois eixos perpendiculares dividem o plano em quatro regiões que são os quatro quadrantes.

ox - abscissaseixos:

oy - ordenadas

ponto p ∈ xoy ⇒ p ( a, b )

ordenada do ponto p abscissa do ponto p

(a, b ) ⇒ par ordenado

ponto ( x, 0 ) ∈ oximportante ⇒ ponto ( 0, y ) ∈ oy

2 - reLAÇõeS

conceitodados dois conjuntos a e b, denomina-se relação

r de a em b qualquer subconjunto de a × b.ex.: a = {1, 2, 3, 4}, b = {2, 4, 6, 7} e a relação de r

de a em b, sendo r = {(x, y) ∈ a x b / y = 2x}.logo, r = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}.

3 - FUNÇõeS

conceitodenomina-se aplicação ou função f de a e b todarelação r de a em b que a cada elemento de a asso-

cia um único elemento de b.

ex.: diagrama

em geral, representamos uma função ou defini-mos uma função através de uma equação.

ex.: y = 3x + 2 ou f(x) = 3x + 2

Identificar uma Funçãoa partir da representação gráfica em um sistema

cartesiano, é possível identificar se uma relação é ou não uma função.

137

ex.: 01d = [ a, b ] ⇓∀x1 ∈d ⇒ existe apenas uma única imagem y1. ⇓este gráfico representa uma função.

ex.: 02d = [ a, b ] ⇓x1 ∈ d ⇒ existem duas imagens y1 ≠ y2 . ⇓este gráfico não representa uma função.

Imagem de uma Funçãosendo y = f(x), a imagem de x = k é igual a y = f(k).ex.: f(x) = 3x + 2

a imagem de x = 5 é y = f(5) e f(5) = 3 × 5 + 2 ouy = f(5) = 17.

se a imagem de x = k é zero, isto é, se y = f(k) = 0, então k é raiz de f(x).

a raiz de uma função y = f(x) é o valor real de x para o qual a função é igual zero.

o gráfico representa uma função que se anula para x = k, isto é f(k) = 0.

logo, k é raiz de y = f(x).

4 - FUNÇÃO DO 1º GrAU

conceito

é toda função f:ir → ir definida por f(x) = ax + b, com a ∈ ir* e b ∈ ir.

Gráfico

o gráfico da função y = ax + b (1º grau) é uma reta.

construção do Gráfico de y = ax + b

estudo do Sinal de y = ax + b

1º caso: a > 0

coeficiente linearinclinaçãoou coeficiente angular

138

2º caso: a < 0

5 - FUNÇÃO DO 2º GrAU

conceitoé toda função f: ir → ir definida por f(x) = ax2 + bx + c

com a ∈ ir*, b ∈ ir e c ∈ ir .

raízes ou Zerosas raízes ou zeros de f(x) = ax2 + bx + c são dadas

por f(x) = 0 ou ax2 + bx + c = 0 onde

x =a 2

b D±- e D = b2 – 4ac

se D > 0 ⇒ duas raízes reais e diferentes.se D = 0 ⇒ duas raízes reais e iguais.se D < 0 ⇒ não existem raízes reais.

Gráficoo gráfico da função do 2º grau é uma parábola.

o vértice da parábola é o ponto v (xv, yv) definido por:

xv = a 2 b- e yv =

a 4 D-

analisando a parábola no xoy, tem-se:

1º caso a > 0

2º caso a < 0

conjunto Imagem

1º caso a > 0

139

im( f ) = { y ∈ ir | y ≥ yv }

yv é o mínimo da função (valor mínimo da função)

2º caso a < 0

im( f ) = { y ∈ ir | y ≤ yv }

yv é o máximo da função (valor máximo da função)

estudo do Sinal de y = ax2 + bx + c

1º) a > 0 e D > 0

⇓

x < x’ ou x > x’’ ⇒ y > 0

x’ < x < x’’ ⇒ y < 0

2º) a > 0 e D = 0

⇓

x ≠ x’ ⇒ y > 0

3º) a > 0 e D < 0

⇓ ∀x1 ∈ir ⇒ y > 0

4º) a < 0 e D > 0

⇓

x < x’ ou x > x’’ ⇒ y < 0

x’ < x < x’’ ⇒ y > 0

5º) a < 0 e D = 0

⇓ x ≠ x’ ⇒ y < 0

6º) a < 0 e D < 0

⇓ ∀x1 ∈ir ⇒ y < 0


01. seja f uma função real definida por f(x) = ax + b. determine a e b se f(1) = 2 e f(4) = 7

resp.) a = 35 b =

31

02. seja f uma função real definida por f(x) = ax2 + bx + c. determine a, b e c se f(0) = 0, f(1) = 0 e f(2) = – 2.

resp.) a = -1, b = 1 e c = 0

140

03. sendo f(x) = 2x – 5, g(x) = x + k e g(2) + f(1) = 2, determine f(4) + 3g(– 4)

resp.) 0

04. determine a soma das raízes da funçãof(x) = (x – 1) (x – 2)(x – 3)

resp.) 6

05. dada a função 2x + 3y = 5, determine:I- a sua raiz.II- os valores de x que tornam y > 0.III- os valores de x que tornam y < 0.IV- a sua representação gráfica.

resp.)

I) x = 25

II) x < 25

III) x > 25

IV)

06. esboce o gráfico de f(x) = mx + n sendo:I- m > 0 e n > 0II- m > 0 e n < 0III- m < 0 e n > 0IV- m < 0 e n < 0

resp.)

07. o vértice da parábola y = x2 – 4x + 1 é o ponto v(2, b). calcule o valor de b.

resp.) b = – 3

08. resolva a inequação em ir, x2 – 5x + 6 ≤ 0

resp.) 2≤ x ≤ 3

09. resolva a inequação em ir, 3x2 – 2x + 5 < 0

resp.) Ø

Testes

01. seja f(x) = ax3 + b, sendo f(–1) = 2 e f(1) = 4. o valor de (a – b ) é:a) – 2 b) – 1 c) 2d) 4

02. o gráfico representa uma função do tipo y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. então, pode-se afirmar que

0

y

x

a) a > 0, b2 = 4ac e c > 0b) a < 0, b2 > 4ac e c < 0c) a < 0, b2 < 4ac e c < 0d) a < 0, b2 > 4ac e c > 0

03. o gráf ico representa uma função do t ipo y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0.

0

y

x

então pode-se afirmar que:a) a < 0, b < 0 e c < 0b) a > 0, b < 0 e c > 0c) a > 0, b > 0 e c < 0d) a < 0, b > 0 e c > 0

141

04. o gráf ico representa uma função do t ipo y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0.

0

y

x

então pode-se afirmar que:a) a > 0, b > 0 e c < 0b) a < 0, b < 0 e c > 0c) a > 0, b < 0 e c = 0d) a < 0, b > 0 e c = 0

05. os valores de x e ir que satisfazem o sistema

são tais que:

a) 1 < x < 3b) – 3 < x < - 2c) 0 < x < 2d) 2 < x < 3

06. considere um quadrado de lado l, diagonal d e perímetro p. a função que define a diagonal em termos do perímetro do quadrado é dada pela expressão:

a)

b)

c)

d)

07. se f(x) = x – 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) é:

a) {0, 1}b) {–1, 0}c) {1}d) {3, 4}

08. a figura representa a função y = ax + b. o valor da

função no ponto x = é:

y

3

-2 0 x

a) 2, 8

b) 2, 6 c) 2, 5 d) 1, 8

09. o domínio da função f(x) = é:a) { x ir| x > – 1 e x < 4 }b) { x ir| x < – 1 ou x 4 }c) { x ir| x – 1 e x 4 }d) { x ir| x – 1 ou x > 4 }

10. o domínio da função real f(x) = é:a) { x ir| x < 3 e x ≠ 1 } 2b) { x ir| 1 < x < 3 } 2c) { x ir| x > 3 e x ≠ 1 } 2d) { x ir| x > 1 }

11. a função y = ax2 + bx + c está representada na figura. a afirmativa certa é:

y

x0

a) a > 0, b > 0 e c < 0b) a < 0, b < 0 e c < 0c) a < 0, b > 0 e c < 0d) a < 0, b > 0 e c > 0

12. o valor mínimo da função y = x2 + bx + c, cujo gráfico é mostrado na figura, é:

3

y

x0

a) – 1 b) – 2 c) 9 4d) 9 2

13. sabe-se que o gráfico representa uma função qua-drática. esta função é:

-2

-1 310

y

x

a) x2 +x + 3 2 2

142

20. sobre a função f(x) = ax2 + bx + c, representado no gráfico abaixo, a afirmativa cOrreTA é

y

0x

a) a > 0, b > 0 e c > 0b) a < 0, b < 0 e c < 0 c) a < 0, b > 0 e c < 0d) a < 0, b > 0 e c > 0

21. dada a função de domínio ir, a

afirmativa cOrreTA é: a) f(– 1 ) = 0

b) ( )3

102f -=-

c) não existe f(0)d) f(x) é função constante

22. um avião sai de são josé dos campos com des-tino a parati. a altura h do avião (em metros) é determinada em função do tempo t (em minutos) decorrido após a decolagem, pela fórmula:

h(t) = – 4t2 + 120t

então, a altura máxima atingida pelo avião, em metros, foi dea) 300 b) 500 c) 900d) 1200

23. sejam as funções f e g nas quais f(x) = x2 – 3x + 2 e g(x) = px2 – qx + p + 2 sendo x um número real qualquer. a soma dos valores de p e q, para que as interseções dos gráficos dessas duas funções estejam sobre o eixo das abscissas, é

a) 5 b) 6 c) 7d) 8

24. (ceFeT/2009) os gráficos das funções f(x) = x(6 – 2x) e g(x) = x – 3 cruzam-se nos pontos P e Q do sistema cartesiano. pode-se afirmar que P e Q pertencem, res-pectivamente, ao

a) 1º e 2º quadrantes.b) 3º e 4º quadrantes.c) 3º quadrante e eixo das abscissas.d) eixo das ordenadas e 2º quadrante.

25. (ceFeT/2008) a empresa A prestadora de servi-ços de digitação estabeleceu uma taxa fixa de r$ 20,00 e mais r$ 10,00 por hora de trabalho; en-

b)

c)

d) x2 – 2x – 3

14. uma conta perfurada de um colar é enfiada em um arame fica com o formato da parábola y = x2 – 6. do ponto p de coordenadas (4, 10) deixa-se a conta deslizar no arame até chegar ao ponto q de ordenada y = – 6. a distância horizontal percorrida pela conta é:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3

15. um projétil é lançado verticalmente, para cima, e sua trajetória é uma curva de equação s = – 40t2 + 200t, onde s é o espaço percorrido, em metros, em t segundos. a altura máxima atingida por esse projétil, em metros, é:

a) 50 b) 250 c) 500d) 2500

16. as dimensões de um retângulo são numericamente iguais às coordenadas do vértice do parábola de equa-ção y = 128x2 + 32x + 6. a área desse retângulo é:

a) 1/2 b) 8 c) 64d) 128

17. considerem-se todos os retângulos de perímetro 80 m. a área máxima que pode ser associada a um desses retângulos é, em m2, igual a:

a) 200 b) 250 c) 400d) 800

18. o lucro de sua empresa é calculado pela fórmula l(x) = 10 (1 – x) (x – 2) em que x é a quantidade vendida. podemos afirmar que o lucro é:

a) máximo para x = 2b) positivo para qualquer valor de xc) positivo para x > 2d) positivo para 1 < x < 2

19. os valores de a e b para que o gráfico da função f (x) = ax2 + bx contenha os pontos (–1, 5 ) e (2, – 4) são, respectivamente:

a) 1 e 4 b) – 1 e 4 c) 1 e – 4d) – 1 e – 4

143

quanto a empresa B fixou seu preço de r$ 12,00 apenas para hora trabalhada pelo mesmo serviço. o gráfico que melhor representa essa situação é

26. (ceFeT/2008) o gráfico da função

inercepta o eixo das abs-cissas em P e o das ordenadas em Q, no sis-tema cartesiano de origem O, logo, a medi-da da hipotenusa PQ do triângulo POQ vale

a) 4

b)

c) 5

d)

27. (ceFeT/2006) a função f(x) = ax2 + bx + c está definida no gráfico seguinte.

o valor de éa) –2

b) –1c) 1d) 2

28. (ceFeT/2006) a função definida por f: r r, tal que f(x) = – x2 , está corretamente representa-da em

29. (ceFeT/2007) a função f(x) = ax2 – 2x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais.

nessas condições, f(–2) é igual aa) –4b) –1c) 1d) 16

30. (ceFeT/2007) o gráfico da função f : r → r, tal que f(x) = x2 – 10x + 9 é uma parábola

a) cujo máximo é 5.b) cujo mínimo é –16.c) que intercepta o eixo das ordenadas no ponto

(0,10).d) que intercepta o eixo das abscissas nos pontos

(–1,0) e (–9,0).

144

31. (ceFeT/2007) a função do 2º grau representada no gráfico da figura é

a)

b)

c) x2 – 2x – 3

d)

32. (cMBH/2004) uma bola de tênis, após bater no ponto b, descreveu a trajetória parabólica p mos-trada na figura:

considerando os pontos b e c como sendo as raízes de uma função polinominal do 2º grau y = – x2 + bx + c, cuja parte situada acima do eixo das abscissas está desenha-da, pode-se dizer que a ordenada do vértice v vale:a) 6b) 7c) 8d) 9

33. (cMBH/2005) os gráficos das funções f(x) = x2 + 3x – 4 e g(x) = ax + 4 se interceptam em dois pontos, sendo um deles o ponto cuja abscissa é a menor raiz de f(x). a área da figura cujos vértices são as raízes das funções e os pontos de interseção das duas funções vale:

a) 10b) 12c) 15d) 18

34. (cMBH/2005) sejam a = {1, 2, 3, 4, 5} e b = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. se f : a ® b é uma fun-ção tal que f(x) = x + 2, então a soma de todos os

valores do conjunto imagem desta função é:a) 15b) 18c) 20d) 25

35. (cMBH/2005) o lucro da produção de bonecas de pano, feitas por um artesão, varia de acordo com a quantidade produzida, segundo a relação l = 60p – p2 , onde l é o lucro em reais e p, o nú-mero de unidades produzidas. nessas condições, é cOrreTO afirmar que:

a) é possível obter um lucro de r$ 1000,00 na venda das bonecas.

b) quanto maior o número de bonecas produzido, maior o lucro.

c) o artesão lucrará o máximo se produzir 30 bonecas.d) o maior lucro possível, neste caso, é r$ 600,00.

36. (cMBH/2006) em uma partida de beisebol, o lançador encontra-se entre o rebatedor e um muro de proteção de 4m de altura. feito o lan-çamento, o arrebatedor acerta a bola, que passa sobre a cabeça do lançador, onde atinge a altura máxima de 10m, em relação ao ponto da rebatida. sabendo que o lançador está a 20m do rebatedor e a 16m do muro e que a bola descreve uma taje-tória parabólica, pode- se afirmar que a bola (em relação à rebatida):

a) passará por cima do murob) atingirá o muro a 3,6m de alturac) atingirá o muro a 3,4m de alturad) atingirá o muro a 3,0m de altura

37. (cMBH/2006) dados os conjuntos { }2,1,0,1,2 --=A e { }4,1,0=B , o conjunto imagem

da função ABf →: , definidqa por xxf =)( , é :

a) { }2,1,0,1,2 --

b) { }2,1

c) { }2,1,0

d) { }2,1,1,2 --

38. (cMBH/2007) observe o gráfico da função do 2º grau y = a . x2 + b . x + c , em x, com a, b e c reais.

para o gráfico é cOrreTO afirmar que:a) {a<0, b=0, c<0}b) {a>0, b>0, c>0}

145

c) {a>0, b=0, c>0}d) {a<0, b<0, c<0}

39. (cMBH/2007) em uma partida de basquete, uma bola, ao ser lançada de uma altura inicial, por um jogador, teve sua trajetória descrita pela equação h ( t ) = – 2t2 – at ( t > 0 ) sendo t o tempo medido em segundos e h ( t ) a altura da bola, em metros, no instante t. após o lançamento, sabe-se que a bola atinge depois de 4 s à altura inicial. dessa forma, o valor de a é:

a) – 8 b) – 7 c) – 6,5 d) 6

40. (cMBH/2008) o gráfico da função f: r → r, defi-nida por f (x) = ax + b, passa pelos pontos (3, 4) e

(5, 6). o menor ângulo formado pelo gráfico des-sa função com o eixo das abscissas é:

a) 45ºb) 40ºc) 75ºd) 60º

41. (cMBH/2008) a função f : r → r, definida por f (x) = (k – 3) x2 + (k2 – 16) x + 92, intercepta o eixo das abscissas em dois pontos simétricos entre si. sabe-se que essa função possui um ponto má-ximo. então, podemos afirmar que k vale:

a) -3b) 5c) -5d) -4

42. (cMBH/2008) o recorde mundial de arremesso de peso é igual a 22 metros. um atleta tem seu

arremesso descrito pela função ( x) xmx +- 2

23

e pretende igualar esse recorde. para que isso ocorra, ovalor de “m” deve ser igual a:

a) 22.b) 10.c) 43.d) 33.

43. (cMBH/2008) no quadro final de medalhas olímpicas em pequim, a espanha ficou em 14º lugar com “n” medalhas de ouro. dado que a quantidade de medalhas de prata é o dobro da quantidade de medalhas de ouro e o total de me-dalhas de bronze é o antecessor ímpar de n e n é a terça parte do oposto do número que representa a

soma dos números inteiros da solução do sistema abaixo:

-≤≤+x

xx2131

0182 2

podemos afirmar que no quadro final de medalhas a espanha ficou com:a) 5 medalhas de ouro, 10 de prata e 3 de bronze.b) 4 medalhas de ouro, 8 de prata e 3 de bronze.c) 7 medalhas de ouro, 14 de prata e 5 de bronze.d) 6 medalhas de ouro, 12 de prata e 5 de bronze.

44. (cOLTec/2010) uma caixa de água tem o for-mato de cubo e a água nela depositada escoa por um duto, com vazão constante, até ela se esvaziar totalmente. imediatamente após a caixa estar va-zia, o duto fecha-se e abre-se uma torneira de ali-mentação, com vazão também constante, porém maior que a do duto.

assinale a alternativa cujo gráfico melhor repre-senta o nível (v) da água na caixa em função do tempo (t).

146

45. (ceFeT/2010) o conjunto imagem da função f(x) = – 4 – 3x + x2, definida para todo x ∉ r, está contido em

a)

≤∉=

452/ yRyA

b)

≥∉=

452/ yRyB

c)

-≤∉=

452/ yRyC

d)

-≥∉=

452/ yRyD

46. (ceFeT/2010) na figura seguinte, as raízes da equação da parábola expressa por y = a (x – x1) (x – x2), com a ∈ r*, são x1 e x2.

os valores de a, x1 e x2 são, respectivamente

a) 0631

-, 31

52-

, 31441

b) 06

1- ,

3152

-, 31

441

c) 0631

, 3152

, 31441

d) 06

1

, 3152

, 31441

47. (ceFeT/2011) se o gráfico da função quadrá-tica f (x) = ax2 + bx + c passa pelos pontos p(0, 1), q(–1, 7) e r(2, 7), então, o valor a + b –2c é igual a

a) – 2b) – 1c) 2d) 4

48. (cefet/2011) um restaurante serve um prato especial com dois tipos de comida a e b, cujas

quantidades de carboidratos e gorduras por porção encontram-se indicadas na tabela abaixo.

comidas carboidratos (g) gorduras (g)a 20 2b 5 1

o nutricionista prepara esse prato de forma que contenha 60 g de carboidrato e 8 g de gordura. se x e y são os números de porções A e B, res-pectivamente, usadas pelo nutricionista, então, a solução desse problema é um par ordenado que pertence ao gráfico da funçãoa) y = –3x + 1b) y = 5x – 6c) y = 4xd) y = x – 2

gabaritos

01a 02b 03d 04c 05c

06c 07a 08c 09d 10b

11b 12c 13b 14c 15b

16a 17c 18d 19c 20c

21d 22c 23d 24c 25a

26c 27d 28d 29b 30b

31c 32d 33c 34d 35c

36b 37c 38e 39a 40a

41d 42d 43a 44a 45d

46a 47a 48b

6 – INeQUAÇõeS DO 2º GrAU

uma inequação do 2º grau de incógnita x é toda inequação da forma:

ax²+bx+c < 0 ou ax²+bx+c > 0 ouax²+bx+c ≤ 0 ouax²+bx+c ≥ 0.

147

para resolvermos uma inequação do 2º grau, devemos estudar o sinal da função correspondente a equação. para isso, seguiremos os seguintes critérios:

1. igualar a sentença do 2° grau a zero;2. localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.3. traçar o esboço do gráfico da função.4. estudar o sinal da função correspondente.

não podemos deixar de analisar a concavidade do gráfico e a quantidade de raízes (Δ) ao construirmos o esboço do gráfico. as possibilidades serão, conforme quadro abaixo:

0>D

0=D

0<D

+ +

2

analisando o gráfico, podemos ver que o gráfico é negativo somente em uma área: 1 < x < 2.

logo, s = {x ∈ ir / 1 < x < 2}.

obs: nas raízes, os valores são nulos. por isso, es-tão representados por bola aberta.

ex: x² – 4x + 4 ≥ 0ou seja, queremos saber onde o gráfico é positivo

ou nulo.

x² – 4x + 4 = 0Δ = (–4)² –4(4)(1) = 16 – 16 = 0

neste caso, já temos uma única raiz real (ou duas iguais) e a > 0. logo:

s = ir

224

213

122

213

==+

==-

ex: x² – 3x + 2 < 0

ou seja, queremos saber onde o gráfico é negativo.seguindo os passos indicados acima, temos:

x² – 3x + 2 = 0

Δ = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1

x = -(-3) ± √1 = 3 ± 1 = 2(1) 2

logo, as raízes são 1 e 2.fazendo-se o esboço do gráfico com duas raízes

distintas e a ≠ 0:

+ +

1 2

148

s = ir

ex: –2x² + x – 3 ≥ 0

ou seja, queremos saber onde o gráfico é nulo ou positivo.

–2x² + x – 3 = 0 (–1)2x² – x + 3 = 0Δ = (–1)² –4(–2)(–3) = 1 – 24 = – 23 raízes reais.

logo, o gráfico não toca o eixo x e a < 0 ∃ x ∈ ir:

— ——

como você pode perceber, não há valores positi-vos nem nulos para esta inequação. assim:

s = ∅.

7 – Inequação-produto e Inequação-quociente

são inequações que envolve produto e divisão de expressões do 1º e/ou do 2º grau. veja exemplos:

ex: i) (x² – 2x)(x² + 6x – 12) > 0 ii) x2 - 4 ≤ 0 -x2 + 12x + 5 iii) -x2 + 3x + 2 ≥ x2 - 16 2x + 1sabemos que, em produto e divisão de sinais, é

necessário analisarmos seu comportamento, já que+ . + = + e + : + = ++ . – = – e + : – = –– . + = – e – : + = –– . – = + e – : – = +

assim, a partir do produto (ou fração) geral dada, faremos o estudo de sinal de cada expressão algébrica, analisaremos seus sinais conjuntamente em um qua-dro de sinal e daremos o resultado conforme solicita-do na inequação.

ex.: (3x + 3)(x² – 4) ≤ 0

queremos os valores onde o produto é nulo ou negativo.

1) 3x + 3 = 0

—

+3x = – 3x = – 1

2) x² – 4 = 0

-2 2+ +

—x² = 4x = ± 2

juntando os sinais em um quadro de sinal:

→ raízes das equações

→ produto e divisão dos sinais

-2 -1 2

1) – – + +

2) + – – +

s – + – +

s = {x ∈ ir / x ≤ –2 ou –1 ≤ x ≤ 2}

ex: 0x2x3x4x

2

2

>+-+-

queremos os valores positivos e não-nulos da fra-ção algébrica. assim, os valores que anulam cada uma das expressões não serão contados (as raízes estão fora da solução, logo, utilizaremos bola aberta).

1) x² – 4x + 3 = 0 + +

1 3

s = 4 p = 3 x’ = 1 x” = 3

2) –x² + 2x = 0 x(-x + 2) = 0x = 0 ou -x + 2 = 0-x = -2x = 2


0 1 2 3

1) + + – – +

2) – + + – –

s – + – + –

s = {x ∈ ir / 0 < x< 1 ou 2 < x < 3}

ex: 0)2x4(x

6xx2

2

≤----

queremos os valores de x para os valores nega-tivos ou nulos no quadro de sinal, mas não podemos esquecer que:

149

não existem frações com zero no denomina-dor, logo, as raízes das expressões algébricas de-vem conter bola aberta ao construirmos o esboço do gráfico.

1) x² – x – 6 = 0 + +

—-2 3

s = 1 p = –6 x’ = –2 x” = 3

02) –x² = 0 (–1) — —

x² = 0x = 0

3) 4x – 2 = 0

-

+4x = 2x = ½


-2 0 ½ 3

1) + – – – +

2) – – – – –

3) – – – + +

s + – – + –

obs: apesar de ser negativo entre –2 e ½ , 0 está com “bola aberta”. logo, nÃo faz parte da solução.

s = {x ∈ r / –2 ≤ x < ½ ou x ≥ 3 e x ≠ 0}

ex: 18x2

x2

≥+

neste caso precisamos, primeiramente, encontrar uma única fração para só depois resolver a inequação. assim, colocamos todos os termos no 1º membro e deixamos o segundo com ≥ 0.

⇒≥++-

⇒≥-+

⇒≥+

08x2

)8x2(x018x2

x18x2

x 222

0

8x28x2x2

≥+--

⇒

assim, queremos os valores cujo quadro de sinal apresentou positivo ou nulo.

1) x² – 2x – 8 = 0s = –2 p = –8x’ = – 4 x” = 2

2) 2x + 8 = 02x = –8x = –4

Obs: para a equação do 2º grau, –4 é solução.

mas, para a equação do 1º grau, –4 não pode ser, pois esta expressão algébrica se encontra no denomi-nador. logo, bola aberta prevalece.


-4 2

1) + – +2) – + +s – – +

s = {x ∈ r / x ≥ 2}


01. dê o conjunto solução das inequações abaixo:a) x² + 5x + 6 ≥ 0

resp.: S = {x ∈ r / x ≤ –3 ou x ≥ –2}

b) 4 – x² > 0

resp.: S = {x ∈ r / –2 < x < 2}

c) –x² + 3x – 2 > 0

resp.: S = {x ∈ r / 1 < x < 2}

02. determine o conjunto solução da inequação (x + 2)(2x – 1) > 0

resp.: S = {x ∈ r / x < –2 ou x > ½}

+ +

—-4 2

+

—

–4

150

03. quais são os possíveis valores de x para que a ex-pressão algébrica

2

2

x46x7x

-+- tenha valores positi-

vos ou nulos?

resp.: –2 < x ≤ 1 ou 2 < x ≤ 6

Testes

01. o conjunto solução da desigualdade 01x

6x5x2

≥-+- é:

a) {x ∈ r / x ≤ 3 e x ≠ 1}ab) {x ∈ r / 1 < x ≤ 3}c) {x ∈ r / x < 1 ou x ≥ 3}d) {x ∈ r / 1 < x ≤ 2 ou x ≥ 3}

02. o conjunto solução da desigualdade (x – 2)² > x – 2 é:a) {x ∈ r : x > 2}b) {x ∈ r : x < 2}c) {x ∈ r : x < 2 ou x > 3}d) {x ∈ r : 2 < x < 3}

03. o menor valor natural de x que satisfaz a desi-gualdade 0

x3)3x(x<

-+ é:

a) 1b) 2c) 3d) 4

04. a soma dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade 0

4x3x6 18 4≥

+- é:

a) 0b) 2c) 3d) 5

05. seja f: r ∈ r uma função dada por f(x) = 2 + 1x2 +. pode-se afirmar que o conjunto imagem de f é:

a) {y ∈ r : y ≥ –1}b) {y ∈ r : y ≥ 0}c) {y ∈ r : y ≥ 2}d) {y ∈ r : y ≥ 3}

06. se ax² + ax + 1 + a3 < 0 para todo x real, o único valor

inteiro de a é:a) –6b) –3c) –2d) –1

07. no intervalo [–4, 7], a inequação

-

+ x4x

1x1 ≥ 0

tem n soluções inteiras. o valor de n é:a) 4

b) 6c) 8d) 9

08. (ceFeT/2011)o número de soluções inteiras da inequação – x2 + 13x – 40 ≥ 0 no intervalo i = {x ∈ z / 2 ≤ x ≤ 10} é

a) 1b) 2c) 3d) 4

gabaritos

1e 2c 3d 4d5d 6d 7a 8d

Anotações

151

Parte 15

estatística

Média Aritmética Simples: Ma

dado um conjunto de n números {n1, n2, n3, n4, ...nn} a Média Aritmética Simples é o quociente da soma desses números por n.

nn...nnnna M n4321 +++++

=

exemplo:

nos dez jogos que disputou, um jogador de bas-quete fez a seguinte pontuação.

qual é a média de pontos por partida desse jogador?

média 9 10 10 9 1

0 1s on t o p s o d a m o s

===

Média Aritmética Ponderada: Mp

dado um conjunto de n números {n1, n2, n3, n4, ...nn} onde cada número tem as respectivas importân-cias relativas (pesos) {p1, p2, p3, p4, ...pn}, a Média Aritmé-tica Ponderada é a soma dos produtos de cada número pelo seu respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.

n

n

pppppppnpnpnpn

........ . . .

4321

33332211

+++++++

Exemplo:

em um grupo de pessoas, 40% recebem r$ 500,00 por mês e 60% recebem r$ 1.000,00 por mês. qual a média salarial do grupo?

média = 8000 0 1

0 0 0 . 0 60 0 0 . 0 20 0 1

0 0 0 1 . 0 60 0 5 . 0 4=

+=

+

observe que a média aritmética simples de r$ 500,00 e r$ 1000,00 é r$ 750,00. o fato do salário de r$ 1000,00 corresponder a 60% do grupo faz com que a média ponde-rada aproxime-se de r$ 1000,00, ou seja r$ 800,00.

Média Geométrica

a Média Geométrica de n números positivos é a raiz enézima do produto desses n números. ela é utili-zada para o cálculo de taxa média de variações.

Exemplos:o salário mínimo do brasil cresceu 50% na déca-

da de 80 e diminuiu 4% na década de 90. qual a varia-ção média do salário mínimo nas duas décadas?

crescimento de 50% ⇒ multiplicado por 1,50decrescimento de 4% ⇒ multiplicado por 0,96

média geométrica = 0 2 , 14 4 , 16 9 , 0 0 5 ,1 ==x

multiplicado por 1,20 - crescimento médio de 20% por década.

Média Harmônica

a Média Harmônica de n números é o inverso da média aritmética simples dos inversos desses n núme-ros. ela é utilizada para o cálculo de média de razões onde o antecedente é constante.

Exemplo:

uma torneira a enche um tanque em 4 horas e outra torneira b enche o mesmo tanque em 6 horas. qual tempo para que as duas torneiras juntas encham o tanque?

média harmônica =

2123

2

61

41

2+

=+

média harmônica = === h544

54 2

2 152

2 10 6 x 54 eh 4 //

= min = 4h e 48 min

4 horas e 48 minutos é o tempo médio para que cada torneira encha o tanque sozinha. as duas juntas encherão o tanque na metade do tempo, ou seja, 2 horas e 24 minutos.

Testes

01. (cMBH/2004) a nota geral ( ng ) para um aluno passar de ano em uma escola deve ser igual ou su-perior a 6. o cálculo desta ng obedece à formula

ng = ma + 2mg , onde ma corresponde à média 3

152

aritmética das notas do 1º e 3º bimestres e mg , a média geométrica das notas do 2º e 4º bimestres. um aluno obteve as seguintes notas:

1º bim 2º bim 3º bim10 4 6

assim, a nota mínima que o aluno deve tirar no 4º bimestre para passar será:a) 5,5b) 6,25c) 6,5d) 6,75

02. (cMBH/2007) em um concurso todas as quatros provas (língua portuguesa, matemática, língua estrangeira e noções de informática) têm o mesmo valor máximo, que é 100. a prova de língua portuguesa tem peso 4, a de língua estrangeira tem peso 3 e a de noções de informática, peso 2. um candidato obteve nota 75 em língua portuguesa, 80 em matemática, 90 em língua estrangeira e 70 em noções de informática, sem computar os pesos. a média ponderada foi igual a 79,20. assim sendo, o peso da prova de matemática é:

a) 3,1b) 3,25c) 3,5d) 3,75

03. (cMBH/2007) o gráfico abaixo mostra como o gasto, em reais, varia com a produção de óleo vegetal, em litros.

assim, podemos afirmar que:a) para fabricar 3 litros de óleo, a empresa gasta mais que para fabricar 5 litros de óleo.b) quando a empresa não produz nada, não gasta nada.c) se a empresa gasta r$170,00, então ela produz 4 litros de óleo.d) para produzir 1 litro de óleo a empresa gasta r$ 54,00.

04. (cMBH/2007) sendo ma a média aritmética e mg a média geométrica das raízes da equação x3 + 10x2 + 16x = 0, podemos afirmar que:

a) 0 < mg < mab) 0 < ma < mgc) ma < 0 < mgd) ma < 0 < mg

05. (cMBH/2009) a seleção de vôlei masculina do brasil tem média de altura dos seus jogadores igual a 196 cm. se dos dozes jogadores o líbero sair, essa média sobe para 197 cm. podemos afirmar que o líbero mede:

a) 195 cm.b) 180 cm.c) 191 cm.d) 185 cm.

06. (cMBH/2007) o gráfico a seguir mostra a produção de café, em milhões de toneladas,na cidade de são sebastião do paraíso.

153

usando as informações contidas no gráfico, é correto afirmar que, em 1994, a produção de café nesse município, em milhões de toneladas, foi igual a:a) 9,5b) 10c) 10,5d) 11

07. (cOLTec/2007) assinale o gráfico que representaria o número de assassinatos no campo de 1983 a 2003, a partir dos dados deste quadro:

FONTE: CPT e MST - *Dados atualizados em 29/8/2003 (adaptado)

a)

b)

c)

d)

este quadro mostra, de acordo com o número de medalhas de ouro conquistadas, a classificação final de três países nos jogos panamericanos do rio de janeiro de 2007, bem como as respectivas populações desses países.

países medalhas de ouro população, em milhões de habitantesestados unidos 97 301cuba 59 11 ,5brasil 54 190

www.uol.com.br, consulta em 01/08/07; wikipedia. consulta em 01/08/07

154

08. (cOLTec/2008) qual seria o ordenamento cOrreTO desses países, se fossem colocados em ordem de-crescente da razão entre o número de medalhas de ouro e as suas populações?

a) brasil, estados unidos e cuba.b) cuba, brasil e estados unidos.c) cuba, estados unidos e brasil.d) estados unidos, cuba e brasil.

09. (cOLTec/2009) o quadro a seguir apresenta a massa em toneladas e o percentual de resíduos recuperados em belo Horizonte no ano de 2006.

QuantidadeMateriais recuperados, exceto material orgânico e rejeitoPapel e Papelão Plásticos Metais Vidros Outros Total

Massa (ton) 4131,0 912,0 33,5 788,1 1022,0 6886,6% 60,0 13,2 0,5 11,4 14,8 100

Fonte: Diagnóstico do Manejo de Resíduos Sólidos Urbano 2006 – Sistema Nacional de Informações sobre Saneamento (SNIS).

o gráfico de setores, a seguir, apresenta a participação do papel e papelão, plásticos, metais, vidros e outros no total de resíduos recuperados conforme os dados do quadro acima.

considerando as informações acima, o valor em graus do ângulo α éa) 210 b) 216c) 220d) 227

10. (cOLTec/2009) no desenho abaixo, observamos a seqüência de posições que um quadrado abcd, de lado igual a 1 cm, pode apresentar, se girasse, sempre de 90° no sentido horário, com centros nos vértices d , c e b, sobre a reta r, num plano.

dos gráficos abaixo, o que melhor representa a trajetória do vértice a é

155

11. (cOLTec/2010) INSTrUÇÃO: analise atentamente o gráfico que se segue

com base nas informações contidas nesse gráfico, é cOrreTO afirmar que, em 2001, a produção de soja no cerrado foi de, aproximadamente,a) 1,1 t/ha .b) 2,8 t/ha .c) 4,9 t/ha .d) 5,6 t/ha.

11. (cOLTec/2010) INSTrUÇÃO: analise o gráfico que se segue

com base nas informações contidas nesse gráfico, é cOrreTO afirmar que, em relação ao total de energia renovável ofertada no mundo, no período indicado, o percentual de energia hidráulica e elétrica é de, aproxi-madamente,a) 11,2 %.b) 13,2 %.c) 15,8 %.d) 24,8 %.

156

13. (cOLTec/2011) analíse atentamente o gráfico que se segue

a partir da analise desse gráfico, é cOrreTO afirmar que a razão entre o número de escravos e o número de imigrantesa) constante no período de 1875 a 1877b) crescente no período de 1872 a 1877c) decrescente no período de 1872 a 1877d) decrescente no período de 1874 a 1877

14. (ceFeT/2010) segundo as estimativas do ibge, em 2009 o brasil tem, aproximadamente, 190 milhões de habitantes espalhados pelas suas 27 unidades da federação e 5.565 municípios. a tabela seguinte mostra o número aproximado de habitantes em algumas capitais brasileiras.

capitais n.º de Habitantes

belo Horizonte 2.400.000

brasília 2.600.000

rio de janeiro 6.000.000

são paulo 11.000.000

com base nesses dados, é correto afirmar que, aproximadamente,_____________ habitantes estão distribuídos em ______________.

a opção que completa, corretamente, as lacunas acima éa) 1,68 x 108, 5.561 municípios.b) 2,45 x 107, 5.561 municípios.c) 7,52 x 106, belo Horizonte e brasília.d) 7,10 x 106, belo Horizonte e são paulo.

15. (ceFeT/2010) o gráfico, a seguir, representa o faturamento mensal correspondente ao total de ganho me-nos o total de gastos de uma indústria automobilística.

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analisando esse gráfico, é cOrreTO afirmar que o faturamento da empresaa) foi negativo no primeiro semestre.b) foi negativo em março e nulo em novembro.c) mateve-se constante entre junho e setembro.d) diminuiu entre os meses de fevereiro e março.

gabaritos

1b 2c 3d 4d 5d

6d 7d 8c 9b 10a

11b 12c 13d 14a 15d

Anotações

Documents

Matematica Versao Final 01-08-11 2