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Mecânica Quantica

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De radiação do corpo negra às equações de Schroedinger

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Estrutura da Matria-I (Notas de Aula)Roberto V. Ribas

4 de agosto de 2008

Sumrio1 Teoria Cintica dos Gases1.1 Evidncias para uma descrio Atmica da Matria 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 A descoberta do eltron A Experincia de Millikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 5 8 11 14 15 16 23 27

A Teoria Cintica da Presso Equipartio da Energia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capacidade Calorca dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Distribuio de Maxwell-Boltzmann Exerccios O Movimento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 As Origens da Mecnica Quntica2.1 A Radiao do Corpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.3 Lei de Stefan-Boltzmann e Deslocamento de Wien . . . . . . . . . . A Lei de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Teoria de Planck Para a Radiao do Corpo Negro . . . . . . . . O Calor Especco dos Slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2929 30 33 36 39 41 46

O Efeito Fotoeltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerccios

3 Interao de Ftons com a Matria3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raios X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Espalhamento Compton de Raios X Produo e Aniquilao de Pares Absoro de Ftons Pela Matria Exerccios

5151 51 55 58 62 63

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 O tomo de Bohr4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Espectros Atmicos e Sries Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Espalhamento Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Modelo de Bohr para o tomo de Hidrognio A Experincia de Franck-Hertz Exerccios Regras de Quantizao de Wilson-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6969 71 78 81 85 88

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Sumrio

5 Propriedades Ondulatrias da Matria5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Postulados de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades Gerais das Ondas O Princpio de Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9191 95 102 103 106 108

Interferncia Em um Sistema de Duas Fendas Aplicaes do Princpio de Incerteza Exerccios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 A Equao de Schroedinger6.1 6.2 6.3 6.4 A Equao de Ondas Quntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operadores Qunticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equao de Schroedinger Independente do Tempo . . . . . . . . . . . . . . Aspectos Qualitativos das Solues da Equao de Schroedinger

111111 113 115 117

7 Aplicaes da Equao de Schroedinger7.1 7.2 Partcula Livre 7.2.1 7.2.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.4 7.4.1 7.4.2 7.5 7.5.1 7.5.2 7.6 7.7 Caso Caso Caso Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potencial Degrau

119119 120 120 123 125 125 127 130 130 131 133 139 140 142 144

E < V0 : E > V0 E > Vo E < Vo

Barreira de Potencial

Partcula em Uma Caixa (Poo Quadrado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poo Innito Poo Finito

O Oscilador Harmnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espectro Vibrao-Rotao Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . Operadores de Criao e Aniquilao de Fonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Caixa Cbica: Equao de Schroedinger em 3 Dimenses . . . . . . . . . . Exerccios

8 Bibliograa 9 Apndice

149 151

4

1 Teoria Cintica dos Gases1.1 Evidncias para uma descrio Atmica da Matriagregos (Demcrito, Epicuro

450AC). Da vem a palavra tomo (a-tomo = indivis-

vel). At o sculo XVII, essa idia era associada aos quatro elementos dos quais era composto tudo na Terra (gua, fogo, ar e terra).

Newton (1662) tenta explicar a lei de Boyle PV = cte. tratando gases como partculas rgidas estticas que se repelem mutuamente com fora inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre as partculas.

Bernulli (1738) primeira descrio cintica dos gases. Formulou um modelo similar ao que apareceu mais de um sculo depois, conseguindo antecipar inclusive propriedades dos gases que s seriam conhecidas cerca de 50 anos depois.

Em 1811, o italiano Amedeo Avogadro apresentou hipteses para a teoria atmica, que entretanto no foram muito aceitas at meados do sculo XIX: Partculas de um gs so pequenas, comparadas com a distncia mdia entre elas. Partculas dos elementos consistem, s vezes, de 2 ou mais tomos unidos (chamou esses agrupamentos de molculas). Volumes iguais de gases em T e V constantes contm nmeros iguais de molculas.

Teoria cintica dos gases foi formalmente e amplamente desenvolvida a partir de meados do sculo XIX por Maxwell, Clausius, Boltzmann e outros. Descoberta do eltron por J. J. Thomson em 1897.

1.1.1 A descoberta do eltronOs raios catdicos foram descobertos no nal do sculo XIX e sua natureza no estava ainda bem estabelecida quando Thomson iniciou seus experimentos no Laboratrio Cavendish, na Inglaterra. Contrariamente maioria dos cientistas germnicos, que achavam os raios catdicos serem conseqncia de um processo ocorrendo no ether, Thomson (e outros cientistas ingleses) propunha que os raios eram partculas materiais carregadas negativamente

5

1 Teoria Cintica dos Gases

e desenvolveu um mtodo para medir a razo entre a carga e a massa dessas partculas, os eltrons. No tubo de raios catdicos (gura 1.1), os dois nodos A e B so ligados ao potencial positivo e o catodo ao negativo. Com uma presso baixa, mas ainda com uma quantidade razovel de gs no interior do tubo, h ionizao do gs residual e uma luz emitida na regio entre o catodo e o nodo A. Quando a presso diminuda abaixo de um certo valor, tudo se torna escuro, exceto uma faixa (imagem do nodo) no anteparo fosforescente colocado na outra extremidade do tubo. campos eltricos ou magnticos. Os raios catdicos podem ser desviados por Ao se aplicar uma diferena de potencial V entre as

placas D e E, a imagem desviada para cima ou para baixo.

Figura 1.1: Tubo de Raios Catdicos como o usado por J. J. Thomson Aplicando-se um campo magntico uniforme B, por exemplo na regio das placas D e E, na direo perpendicular ao plano do papel, na regio em que existe campo, os raios catdicos tero como trajetria um arco de crculo, cujo raio dado pela segunda lei de Newton, igualando-se a fora magntica com a centrpeta:

Fmag = Fcentrpeta :

qvB =

mv 2 ; R

R=

mv qB Q=

Para determinar a velocidade v dos raios, Thomson coletava e media a carga total

N q,

onde

N

o nmero total de partculas dos raios catdicos atingindo uma pequena Medindo-se o aumento de temperatura dessa

placa condutora onde a carga coletada.

placa e sabendo-se que a quantidade de calor gerado corresponde perda de energia W Q 1 2 das partculas do raio, onde W = N mv . Substituindo-se N = na expresso para a 2 q 2 perda de energia, temos: v = 2W q/mQ o que resulta na expresso:

2W q = m QR2 B 2Este procedimento resultava em valores muito incertos para a razo devido as diculdades de se determinar

q/m, principalmente

W.

Num segundo mtodo desenvolvido por J. J.

Thomson, ele aplicava, alm do campo magntico B, uma diferena de potencial V na regio entre as duas placas. Supondo ser o raio devido a um feixe de partculas de carga q

6

1.1 Evidncias para uma descrio Atmica da Matria

e massa m atravessando a regio entre as placas com velocidade v perpendicular direo do campo magntico (e do eltrico), na regio em que h campo B, a fora magntica far com que as partculas descrevam um arco de crculo de raio R dado pela expresso mostrada anteriormente,

R = mv/qB .

Note que com v na direo do eixo do instrumento e B perpendicular ao plano do papel, a fora magntica ter direo perpendicular ao plano das placas, ou seja, na mesma direo da fora eltrica. Se o campo eltrico entre as placas E, a fora eltrica nas partculas de carga q ser qE. Ajustando-se a intensidade do campo eltrico de modo que a fora eltrica cancele a fora de direo oposta devido ao campo magntico (fazendo portanto que a faixa luminosa no anteparo que na mesma posio em que cava quando no havia nem B nem E), tem-se a igualdade:

qvB = qE; de onde v =tela.

E B

Mantendo-se